(x,y) de

PROBLEMAS RESUELTOS del espacio vectorial curso 2001-2002
1.- Consideremos el conjunto R2 formado por todas las parejas (x,y) de números reales.
Se define en R2 la operación interna (x,y)+(x’,y’)=(x+x’,y+y’) y una de las operaciones
externas siguientes:
a) λ(x,y)=(λx,0)
b) λ(x,y)=(λx,λy)
c) λ(x,y)=(λ+λx-1,λ+λy-1)
d) λ(x,y)=(λy,λy)
para λ ∈ R .Decir, para cada uno de los cuatro casos, si se obtiene o no una estructura
de espacio vectorial en R2.
Solución:
Previamente comprobemos que R2 con la suma tiene estructura de grupo abeliano:
G G G
G G G G G G
[A1] Asociativa: a + b + c = a + b + c ∀a , b, c ∈ R 2 .
G
G
G
Sean a = ( x, y), b = ( x', y'), c = ( x'', y'') ∈ R 2 entonces:
G G G
a + b + c = ((x, y) + (x' , y' ) ) + (x' ' , y' ' ) = (x + x', y + y' ) + (x' ' , y' ' ) = ((x + x') + x' ' , (y + y' ) + y' ')
G G G
a + b + c = (x, y) + ((x' , y') + (x'' , y' ' )) = (x, y) + (x' +x'', y' +y'') = ( x + (x' +x'' ), y + (y' +y'') ) .
(
(
(
(
(
)
)
(
)
)
Por ser R un cuerpo se cumple la asociativa y se tiene que
G G G
G G G
a + b + c = ( x + x' +x'', y + y' +y'') = a + b + c y se verifica la propiedad asociativa
G G G G G G
a+b +c =a+ b+c
)
)
(
)
(
)
neutro: Existe un elemento que designaremos
[A2] Existencia de elemento
G
G G G G G
G
2
0 = (0,0) ∈ R que verifica que a + 0 = 0 + a = a para cualquier a ∈ R 2 .
G G
G
En
efecto:
a + 0 = ( x, y) + (0,0) = ( x + 0, y + 0) = ( x, y) = a
y
por
otra
G G
G
G G G G G G
parte 0 + a = (0,0) + ( x, y) = (0 + x,0 + y) = ( x, y) = a luego a + 0 = 0 + a = a y 0 = (0,0) es el
vector nulo.
G
[A3] Existencia de elemento simétrico: Para cualquier a G∈ R 2 existe un único
G
G
G
G G
elemento de R2, que designaremos por - a tal que a + ( − a ) = ( − a ) + a = 0 .
G
G
El elemento − a = ( − x,− y) es el elemento opuesto del vector a = ( x, y) ∈ R 2 ya que
G
G
G
a + ( − a ) = ( x, y) + ( − x,− y) = ( x − x, y − y) = (0,0) = 0
y
que
G
G G
( − a ) + a = ( − x,− y) + ( x, y) = ( − x + x,− y + y) = (0,0) = 0
y
se
cumple
G
G
G G G
a + ( −a) = ( −a) + a = 0 .
G G G G G G
[A4] Conmutativa: a + b = b + a ∀a , b ∈ R 2
G
G
G G
Sean a = ( x, y), b = ( x', y' ) ∈ R 2 entonces: a + b = (x, y) + (x', y') = (x + x', y + y')
y
G G
G G G G
permutando b + a = (x' , y') + (x, y) = (x' +x, y' +y) y por ser conmutativo R a + b = b + a .
Por tanto, es (R2,+) un grupo conmutativo.
A continuación iremos viendo las siguientes condiciones para cada caso:
a) λ(x,y)=(λx,0)
Este caso se resuelve rápidamente considerando la [A8] El elemento unidad del cuerpo
G G
G
K, que designaremos por 1, verifica 1. a = a para cualquier a ∈ R 2 .
G
G
Como 1. a = 1.( x, y) = (1. x,0) = ( x,0) ≠ ( x, y) = a . No se cumple una de las condiciones
y no puede ser un espacio vectorial con esta ley externa.
U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I.t.G.C.
1
b) λ(x,y)=(λx,λy)
Vamos a estudiar
las cuatro
condiciones:
G
G G
G
G G
[A5] λ(a + b) = λa + λb λ ∈ K ∀a , b ∈ R 2
G G
En efecto: λ (a + b) = λ((x, y) + (x' , y' ) ) = λ (x + x' , y + y' ) =
G
G
= (λx + λx' , λy + λy' ) = (λx, λy) + (λx' , λy' ) = λa + λb
G
G
G
G
[A6] (λ + μ)a = λa + μa ∀λ, μ ∈ K y ∀a ∈ R 2 .
En este caso:
G
(λ + μ)a = (λ + μ )(x , y ) = ((λ + μ )x , (λ + μ )y ) = ((λx + μx ), (λy + μy )) =
G
G
= ((λx + μx ), (λy + μy )) = (λx , λy ) + (μx , μy ) = λ(x , y ) + μ(x , y ) = λa + μa
G
G
G
[A7] λ(μa ) = (λμ )a ∀λ, μ ∈ K y ∀a ∈ R 2 .
G
G
Ahora: λ(μa ) = λ(μ( x , y) ) = λ(μx , μy ) = (λμx , λμy ) = (λμ )( x , y) = (λμ )a
G G
[A8] El elemento unidad del cuerpo K, que designaremos por 1, verifica 1. a = a para
G
cualquier a ∈ R 2 .
G
G
Por último: 1.a = 1( x, y) = (1x ,1y) = ( x, y) = a .
Cumple las ocho condiciones y con estas operaciones R2 es un espacio vectorial sobre
K.
c) λ(x,y)=(λ+λx-1,λ+λy-1)
Podemos verificar en primer lugar cualquier condición, por ejemplo, [A6]
G
G
G
G
(λ + μ)a = λa + μa ∀λ, μ ∈ K y ∀a ∈ R 2 . Y resulta que:
G
(λ + μ)a = (λ + μ )(x , y ) = (λ + μ + (λ + μ )x − 1, λ + μ + (λ + μ )y − 1) =
= (λ + μ + (λx + μx ) − 1, λ + μ(λy + μy ) − 1) ≠ (λ + μ + (λx + μx ) − 2, λ + μ(λy + μy ) − 2 ) =
H
H
= (λ + (λx ) − 1, λ + (λy ) − 1) + (μ + (μx ) − 1, μ + (μy ) − 1) = λ ( x , y) + μ( x , y) = λa + μa .
G
G
G
Por tanto, (λ + μ)a ≠ λa + μa no se cumple la condición y no puede ser un espacio
vectorial con esta operación.
d) λ(x,y)=(λy,λy)
Este caso se resuelve rápidamente considerando la [A8] El elemento unidad del cuerpo
G G
G
K, que designaremos por 1, verifica 1. a = a para cualquier a ∈ R 2 .
G
G
Como 1.a = 1.( x, y) = (1.y,1.y) = ( y, y) ≠ ( x, y) = a . No se cumple una de las
condiciones y no puede ser un espacio vectorial con esta ley externa.
2.- Analizar cuáles de los siguientes subconjuntos de R3 son subespacios vectoriales.
Para los que lo sean, buscar una base:
a) F = {(x,y,z) ∈R3 / x+y+z=0 }
b) G = {(x,y,z) ∈R3 / z=2x+1 }
c) H = {(x,y,z) ∈R3 / x+2y+z = 0, z = y-x }
d) I = {(x,y,z) ∈R3 /x,y,z ≥ 0}
e) J = {(x,y,z) ∈R3 /máx(x,y,z)<1}
f) K = {(x,y,z) ∈R3 /x=0}
Solución:
G
G G
G
a) Tenemos que comprobar si se cumple que: ∀λ , μ ∈ K, ∀a , b ∈ F ⇒ λa + μb ∈ F
U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I.t.G.C.
2
G
⎧ a = ( x , y , z) ∈ F ⇔ x + y + z = 0
G G
G
∀λ , μ ∈ K, ∀a , b ∈ F ⇒ ⎨
⇒
⎩b = ( x' , y', z') ∈ F ⇔ x'+ y'+ z' = 0
G
λ a = ( λ x , λ y , λ z ) ∈ F ⇔ λx + λ y + λ z = λ 0 = 0
G
⇒
μb = (μx' , μy' , μz' ) ∈ F ⇔ μx'+ μy'+ μz' = μ 0 = 0
G
G
λa + μb = ( λx + μx' , λy + μy', λz + μz') ∈ F ⇔ λx + μx'+ λy + μy'+ λz + μz' = 0 .
G
G
λa + μb ∈ F . Por tanto, se cumple la caracterización de subespacios vectoriales y F es un
subespacio vectorial con x+y+z=0 la ecuación cartesiana que lo determina, de donde se puede
⎛ x⎞
⎛ −1⎞
⎛ −1⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
despejar x siendo x=-y-z o bien ⎜ y⎟ = λ ⎜ 1 ⎟ + μ⎜ 0 ⎟ unas ecuaciones paramétricas y una
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ z⎠
⎝ 0⎠
⎝ 1⎠
posible base de F
{( −11, ,0), ( −1,0,1)} y por supuesto dim(F)=2.
b) Es fácil observar que el vector nulo de R3 no pertenece al subconjuntoG G.
G
0 = (0,0,0) ∈ R 3 , pero no cumple la ecuación z=2x+1 ya que 0 = 2.0 + 1 = 1 ⇒ 0 ∉ G .
G no es un subespacio vectorial del espacio vectorial R3.
⎛ x⎞
⎧x + 2y + z = 0
⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 0⎞
c) En este caso, el sistema ⎨
se puede escribir ⎜
⎟ y =⎜ ⎟
⎝ 1 −1 1⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0⎠
⎩ z = y-x
⎝ z⎠
abreviadamente
AX=0
y
el
subconjunto
H={X/AX=0}
siendo
⎛ x⎞
G
⎛ 1 2 1⎞
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
G G
G
A=⎜
⎟ ; X = ⎜ y⎟ ;0 = ⎜ ⎟ , entonces ∀λ , μ ∈ K, ∀a , b ∈ H ⇒ λa + μb ∈ H se cumple,
⎝ 1 −1 1⎠
⎝ 0⎠
⎜ ⎟
⎝ z⎠
G
G
⎧ a = X ∈ H ⇒ AX = 0
G
y resulta que λa + μb = λX + μX' ∈ H ya que
puesto que ⎨ G
⎩b = X' ∈ H ⇒ AX' = 0
A ( λX) + B(μX') = λ(AX) + μ( AX') = λ 0 + μ 0 = 0 + 0 = 0 . Tenemos un subespacio vectorial,
por ser un sistema de ecuaciones lineales homogéneo.
⎧
⎧x=α
⎪y=0
⎪
⇔ ⎨ y = 0 y una
Para obtener una base resolvemos dicho sistema quedando ⎨
⎪z = − x
⎪z = − α
⎩
⎩
base posible {(1,0,-1)}.
d) En este caso: I = {(x,y,z) ∈R3 / x, y, z ≥ 0} basta con considerar un vector (1,0,0)
del suconjunto I y observar que su opuesto (-1)(1,0,0) = (-1,0,0) ya no es un vector del
subconjunto I , ya que −1 < 0 y no se cumple x ≥ 0 . Por tanto I no es un subespacio vectorial.
e) J = {(x,y,z) ∈R3 / máx(x,y,z)<1} es un caso análogo al anterior, tomando al vector
(1/2,0,0) del subconjunto J y se le multiplica por 3 se obtiene 3(1/2,0,0)=(3/2,0,0) con 3/2>1 y
por consiguiente (3 / 2,0,0) ∉J , luego J no es un subespacio vectorial.
G
G G
G
f) Tenemos que comprobar si se cumple que: ∀λ , μ ∈ K, ∀a , b ∈ K ⇒ λa + μb ∈ K
U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I.t.G.C.
3
G
⎧ a = ( x , y , z) ∈ K ⇔ x = 0
G G
G
∀λ , μ ∈ K, ∀a , b ∈ F ⇒ ⎨
⇒
⎩b = ( x', y', z') ∈ K ⇔ x' = 0
G
λ a = ( λ x , λ y , λz ) ∈ K ⇔ λ x = λ 0 = 0
G
⇒
μb = (μx' , μy' , μz' ) ∈ K ⇔ μx' = μ 0 = 0
G
G
λa + μb = ( λx + μx', λy + μy', λz + μz') ∈ K ⇔ λx + μx' = 0 .
G
G
λa + μb ∈ K . Por tanto, se cumple la caracterización de subespacios vectoriales y F es un
subespacio vectorial con x=0 la ecuación cartesiana que lo determina, de donde se puede
⎛ x⎞
⎛ 0⎞
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
escribir ⎜ y⎟ = λ ⎜ 1⎟ + μ⎜ 0⎟ unas ecuaciones paramétricas y una base {( 0,1,0), ( 0,0,1)} y por
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ z⎠
⎝ 0⎠
⎝ 1⎠
supuesto dim(K)=2.
3.- Comprobar que el conjunto {(1,1,0), (1,0,2), (0,1,2)} forma una base del espacio R3.
Hallar las coordenadas del vector (2,5,10) en dicha base.
Solución:
Sabemos que dim R3=3 y que el cardinal del conjunto {(1,1,0), (1,0,2), (0,1,2)} es 3 si
calculamos el rango del conjunto {(1,1,0), (1,0,2), (0,1,2)} obtenemos que:
1 1 0
⎛ 1 1 0⎞
⎜
⎟
1 0 1 = −4 ≠ 0 ⇒ r ⎜ 1 0 1⎟ = 3 que quiere decir que el sistema es libre contres
⎜
⎟
0 2 2
⎝ 0 2 2⎠
vectores linealmente independientes y por tanto base del espacio vectorial R3.
Para hallar las coordenadas se plantea el sistema:
−1
⎛ 2⎞
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎛ 0⎞ ⎛ 1 1 0⎞ ⎛ x⎞
⎛ x⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 1 0⎞
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ 5 ⎟ = x⎜ 1⎟ + y⎜ 0⎟ + z⎜ 1⎟ = ⎜ 1 0 1⎟ ⎜ y⎟ ⇔ ⎜ y⎟ = ⎜ 5 ⎟ ⎜ 1 0 1⎟ = ⎜ 1⎟ . Siendo que el
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜
⎟
⎝ 10⎠
⎝ 0⎠
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠ ⎝ 0 2 2⎠ ⎝ z⎠
⎝ z⎠ ⎝ 10⎠ ⎝ 0 2 2⎠
⎝ 4⎠
vector (2,5,10) respecto la base canónica es igual al vector (1,1,4) respecto la base {(1,1,0),
(1,0,2), (0,1,2)}.
4.- Demostrar que los vectores (1,0,-2,1), (1,3,2,-2) y (2,3,4,1) son linealmente
independientes. Construir, a partir de la base canónica, una base que contenga a estos
tres vectores.
Solución:
Calculamos el rango del sistema formado por los tres vectores (1,0,-2,1),
1 2⎞
⎛ 1 0 0⎞
⎛ 1 0 0⎞
⎛1
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
0
3 3⎟
0 3 3⎟
0 3 0⎟
⎜
⎜
⎜
= 3 . Los pasos
=r
=r
(1,3,2,-2) y (2,3,4,1): r
⎜ −2 4 4⎟
⎜ −2 4 8 ⎟
⎜ −2 2 4⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝ 1 −3 2⎠
⎝ 1 −3 −1⎠
⎝ 1 −2 1⎠
seguidos par obtener el rango son: 1)c2-c1 y c3-2c1. 2)c3-c2.
G G G G
La base canónica B c = {e1 , e 2 , e 3 , e 4 } del espacio vectorial R4 permite escribir:
G
G
G G
G
G
G
G
(1,0,−2,1) = 1e1 + 0e 2 − 2 e 3 + e 4 pudiendo despejar e 4 = (1,0,−2,1) − 1e1 − 0e 2 + 2 e 3 . Con lo
G G G
cual la nueva base será: B1 = {(1,0,−2,1), e 2 , e 3 , e 4 } .
U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I.t.G.C.
4
G
G
G
G
Ahora
el
segundo
vector
(1,3,2,−2) = 1e1 + 3e 2 + 2 e 3 − 2 e 4
y
como
G
G
G
G
G
G
G
G
e 4 = (1,0,−2,1) − 1e1 − 0e 2 + 2 e 3 sustituyendo se tiene que (1,3,2,−2) = 1e1 + 3e 2 + 2 e 3 − 2 e 4 =
G
G
G
G
G
G
G
G
G
= 1e1 + 3e 2 + 2 e 3 − 2((1,0,−2,1) − 1e1 − 0e 2 + 2 e 3 ) = −2(1,0,−2,1) + 3e1 + 3e 2 − 2 e 3 pudiendo
G
G
G
despejar
e 3 = −(1,0,−2,1) − 1 / 2(1,3,2,−2) + 3 / 2e1 + 3 / 2 e 2
y
otra
base
G G
B 2 = {(1,0,−2,1),(1,3,2,−2), e1 , e 2 } .
G
G
G G
Por último (2,3,4,1) = 2e1 + 3e 2 + 4 e 3 + e 4 y los resultados anteriores de
G
G
G
G
G
G
G
e 3 = − (1,0,−2,1) − 1 / 2(1,3,2,−2) + 3 / 2 e1 + 3 / 2 e 2 y e 4 = (1,0,−2,1) − 1e1 − 0e 2 + 2 e 3 permiten
G
G
G
G
G
e 4 = (1,0,−2,1) − 1e1 − 0e 2 + 2( − (1,0,−2,1) − 1 / 2(1,3,2,−2) + 3 / 2 e1 + 3 / 2 e 2 ) =
escribir
G
G
G
G
G G
resultando
(2,3,4,1) = 2e1 + 3e 2 + 4 e 3 + e 4
= −3(1,0,−2,1) − (1,3,2,−2) + 2 e1 + 3e 2
G
G
G
G
G
G
= 2e1 + 3e 2 + 4( − (1,0,−2,1) − 1 / 2(1,3,2,−2) + 3 / 2 e1 + 3 / 2 e 2 ) − 3(1,0,−2,1) − (1,3,2,−2) + 2 e1 + 3e 2
G
G
= −7(1,0,−2,1) − 3(1,3,2,−2) + 10e1 + 12 e 2 .
G
G
Despejando e 2 = 7 / 12(1,0,−2,1) + 3 / 12(1,3,2,−2) − 10 / 12e1 y la base definitiva
G
B = {(1,0,−2,1),(1,3,2,−2),(2,3,4,1), e1 }
5.- Encontrar una base del subespacio F de R3 engendrado por los vectores (1,2,3) (1,5,2) y (1,9,8). ¿Qué valor hay que dar a x para que el vector (x,16,13) sea de este
subespacio?
Solución:
Los vectores (1,2,3) (-1,5,2) y (1,9,8) son claramente linealmente dependientes, puesto
que (1,9,8)=2(1,2,3)+(-1,5,2). Nos quedamos con (1,2,3) y (-1,5,2) que son linealmente
independientes y generador de F. Una posible base de F es BF={(1,2,3),(-1,5,2)}.
Para que ( x,16,13) ∈ F tiene que ser (x,16,13) combinación lineal de los vectores de la
x 1 −1
base de F que se puede expresar mediante el determinante de los tres vectores 16 2 5 = 0
13 3 2
y cuya ecuación es -11x+11=0, de donde x=1.
G
6.- Si los números 1,3 y 5 son las coordenadas de un vector v en la base {(1,1,0),(0,1,1),
G
(1,0,1)}, hallar las coordenadas del vector v en la base canónica.
Solución:
G
La expresión analítica del vector v teniendo en cuenta que sus coordenadas son 1, 3 y
G
G
5 es v = 1 (1,1,0)+3 (0,1,1)+5 (1,0,1), de donde v = 1 (1,1,0)+3 (0,1,1)+5 (1,0,1)=(6,4,8),
siendo 6, 5 y 8 las coordenadas respecto de la base canónica.
G G G
G G G
7.Sean
B = {u, v, w} y
B' = {u', v', w'} dos
bases
de
R3 ,
tales
que
G G G G G G G G G G
u' = u + v + w , v' = u + v y w ' = u + w . Hallar las ecuaciones del cambio de la base B a B’ y
de la base B’ a B.
Solución:
U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I.t.G.C.
5
El
G
( u'
G
v'
G G G G G G G G G G
u' = u + v + w , v = u + v y w' = u + w en forma matricial sería:
⎛ 1 1 1⎞
⎟
G
G G G ⎜
G
w ') = ( u v w )⎜ 1 1 0⎟ . Cualquier vector v ∈ R 3 se puede escribir respecto a
⎜
⎟
⎝ 1 0 1⎠
sistema
⎛ x'⎞
⎛ x⎞
G ⎜ ⎟
G G G ⎜ ⎟
w ')⎜ y'⎟ = ( u v w )⎜ y⎟ . Ahora
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ z'⎠
⎝ z⎠
ecuación
anterior,
resulta
1
1
1
x
'
x
⎛
⎞⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎟⎜ ⎟
G G G ⎜
G G G ⎜ ⎟
= ( u v w )⎜ 1 1 0⎟ ⎜ y'⎟ = ( u v w )⎜ y⎟ . Como
⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 1 0 1⎠ ⎝ z'⎠
⎝ z⎠
G
G G
las dos base B’ y B en la forma matricial v = ( u' v'
sustituyendo
G
G G
v = ( u ' v'
la
x
'
⎛ ⎞
⎛ x⎞
G ⎜ ⎟
G G G ⎜ ⎟
w ')⎜ y'⎟ = ( u v w )⎜ y⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ z '⎠
⎝ z⎠
⎛ 1 1 1⎞ ⎛ x'⎞ ⎛ x⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
la expresión de un vector respecto de una base es única queda ⎜ 1 1 0⎟ ⎜ y'⎟ = ⎜ y⎟ que son
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 1 0 1⎠ ⎝ z'⎠ ⎝ z⎠
las ecuaciones del cambio de base de B’ a B. Para obtener las ecuaciones del cambio de base
de B a B’ basta con despejar (x’,y’,z’) con respecto a (x,y,z) en el sistema anterior,
−1
⎛ 1 1 1⎞ ⎛ x'⎞ ⎛ x⎞
⎛ 1 1 1⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x'⎞
⎛ −1 1 1 ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ x'⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 1 1 0⎟ ⎜ y'⎟ = ⎜ y⎟ ⇔ ⎜ 1 1 0⎟ ⎜ y⎟ = ⎜ y'⎟ ⇔ ⎜ 1 0 −1⎟ ⎜ y⎟ = ⎜ y'⎟
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 1 0 1⎠ ⎝ z'⎠ ⎝ z⎠
⎝ 1 0 1⎠ ⎝ z⎠ ⎝ z'⎠
⎝ 1 − 1 0 ⎠ ⎝ z ⎠ ⎝ z '⎠
G
G
G
G
8.- Dadas las bases de R3, B={ u1 = (2,1,0), u 2 = (-1,0,1), u 3 = (0,1,-2)} y B´={ v1 = (0,1,1),
G
G
v 2 = (1,0,0), v 3 = (2,0,1)}. a) Hallar la expresión analítica del cambio de base de B a B´,
G
de B´a B y de B´a la base canónica. b) Si a = (1,1,1) respecto de B ¿cuáles son sus
G
G G
G
coordenadas respecto de B’? c) Si b = v 2 − v 3 , escribir la expresión de b respecto de B.
Solución:
G
G
G
a) Si consideramos la base canónica B c = {e1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0), e 3 = (0,0,1)} y que
los vectores de las bases B y B’ vienen referidos a la base canónica, tenemos los sistemas en
⎛ 2 −1 0 ⎞
⎟
G G
G
G G G ⎜
forma
matricial:
y
( u1 u 2 u 3 ) = ( e1 e 2 e 3 )⎜ 1 0 1 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0 1 −2⎠
⎛ 0 1 2⎞
⎟
G ⎜
G
e 3 )⎜ 1 0 0⎟ . Cualquier vector v ∈ R 3 se puede escribir respecto
⎜
⎟
⎝ 1 0 1⎠
en
la
forma
matricial
a
las
tres
bases
B,
B’
y
Bc
⎛ x⎞
⎛ x'⎞
⎛ xc ⎞
G
G G
G ⎜ ⎟
G G
G ⎜ ⎟
G G G ⎜ ⎟
v = ( u 1 u 2 u 3 )⎜ y⎟ = ( v 1 v 2 v 3 )⎜ y'⎟ = ( e1 e 2 e 3 )⎜ y c ⎟ .
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ z⎠
⎝ z'⎠
⎝ zc ⎠
G
( v1
G
v2
G
G
v 3 ) = ( e1
G
e2
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6
Ahora
sustituyendo
las
ecuaciones
anteriores,
resulta
⎛x ⎞
⎛ 2 −1 0 ⎞ ⎛ x⎞
⎟⎜ ⎟
G ⎜ c⎟
G G
G ⎜
y
e ⎜y ⎟ = e e
e ⎜ 1 0 1 ⎟ ⎜ y⎟
2
3 ⎜ c⎟
1 2
3⎜
⎟⎜ ⎟
⎝ 0 1 −2⎠ ⎝ z⎠
⎝ zc ⎠
⎛x ⎞
⎛ x'⎞
⎛ 0 1 2⎞ ⎛ x'⎞
⎟⎜ ⎟
G G
G
G ⎜ ⎟ G G
G ⎜ c⎟ G G
G ⎜
v= v v
v ⎜ y'⎟ = e e
e ⎜y ⎟ = e e
e ⎜ 1 0 0⎟ ⎜ y'⎟ .
1 2
3⎜ ⎟
1 2 3 ⎜ c⎟
1 2 3⎜
⎟⎜ ⎟
z
⎝ z'⎠
⎝ 1 0 1⎠ ⎝ z'⎠
⎝ c⎠
Como la expresión de un vector respecto de una base es única queda
⎛ x ⎞ ⎛ 2 −1 0 ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 0 1 2⎞ ⎛ x'⎞
⎜ c⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
⎟⎜ ⎟ ⎜
⎜ y ⎟ = ⎜ 1 0 1 ⎟ ⎜ y⎟ = ⎜ 1 0 0⎟ ⎜ y'⎟ de donde, podemos obtener cualquier cambio de
⎟⎜ ⎟
⎟⎜ ⎟ ⎜
⎜ c⎟ ⎜
⎝ z c ⎠ ⎝ 0 1 −2⎠ ⎝ z⎠ ⎝ 1 0 1⎠ ⎝ z'⎠
base entre las tres bases consideradas, a saber B, B’ y Bc:
⎛ x ⎞ ⎛ 2 −1 0 ⎞ ⎛ x⎞
⎜ c⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
• Cambio de base de B a Bc: ⎜ y ⎟ = ⎜ 1 0 1 ⎟ ⎜ y⎟
⎜ c⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
⎝ z c ⎠ ⎝ 0 1 −2⎠ ⎝ z⎠
(
G
G
v= u
1
(
G
u
⎛ x⎞
G ⎜ ⎟
G G
u ⎜ y⎟ = e e
3⎜ ⎟
1 2
⎝ z⎠
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
⎛ x ⎞ ⎛ 0 1 2⎞ ⎛ x'⎞
⎜ c⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
• Cambio de base de B’ a Bc: ⎜ y ⎟ = ⎜ 1 0 0⎟ ⎜ y'⎟
⎜ c⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
⎝ z c ⎠ ⎝ 1 0 1⎠ ⎝ z'⎠
• Cambio de base de B’ a B:
⎛ 2 −1 0 ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 0 1 2⎞ ⎛ x'⎞
⎛ x⎞ ⎛ 2 −1 0 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜ 1 0 1 ⎟ ⎜ y⎟ = ⎜ 1 0 0⎟ ⎜ y'⎟ ⇔ ⎜ y⎟ = ⎜ 1 0 1 ⎟
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎝ 0 1 −2⎠ ⎝ z⎠ ⎝ 1 0 1⎠ ⎝ z'⎠
⎝ z⎠ ⎝ 0 1 −2⎠
−1
⎛ 0 1 2⎞ ⎛ x'⎞
⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ 1 0 0⎟ ⎜ y'⎟
⎜
⎟⎜ ⎟
⎝ 1 0 1⎠ ⎝ z'⎠
⎛3
⎜
⎜ 43
=⎜
⎜2
⎜1
⎜
⎝4
1
4
1
−
2
1
−
4
3 ⎞
⎟
4 ⎟ ⎛ x'⎞
1 ⎜ ⎟
− ⎟ ⎜ y'⎟
2⎟⎜ ⎟
3 ⎟ ⎝ z'⎠
− ⎟
4⎠
• Cambio de base de B a B’:
−1
⎛ 0 1 2⎞ ⎛ x'⎞ ⎛ 2 −1 0 ⎞ ⎛ x⎞
⎛ x'⎞ ⎛ 0 1 2⎞ ⎛ 2 −1 0 ⎞ ⎛ x⎞ ⎛ 1 0 1 ⎞ ⎛ x⎞
⎟⎜ ⎟
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜
⎜ 1 0 0⎟ ⎜ y'⎟ = ⎜ 1 0 1 ⎟ ⎜ y⎟ ⇔ ⎜ y'⎟ = ⎜ 1 0 0⎟ ⎜ 1 0 1 ⎟ ⎜ y⎟ = ⎜ 4 −3 6 ⎟ ⎜ y⎟
⎟⎜ ⎟
⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜
⎝ 1 0 1⎠ ⎝ z'⎠ ⎝ 0 1 −2⎠ ⎝ z⎠
⎝ z'⎠ ⎝ 1 0 1⎠ ⎝ 0 1 −2⎠ ⎝ z⎠ ⎝ −1 1 −3⎠ ⎝ z⎠
G
b) Para el vector a = (1,1,1) respecto de la base B usamos las ecuaciones últimas
0
1 ⎞⎛ x ⎞
⎛ x' ⎞ ⎛ 1
⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
y
sustituimos(x,y,z)
por
(1,1,1)
quedando
⎜ y'⎟ = ⎜ 4 − 3 6 ⎟⎜ y ⎟
⎜ z' ⎟ ⎜ − 1 1 − 3 ⎟⎜ z ⎟
⎝ ⎠ ⎝
⎠⎝ ⎠
0
1 ⎞⎛1⎞ ⎛ 2 ⎞
⎛ x' ⎞ ⎛ 1
⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
G
⎜ y'⎟ = ⎜ 4 − 3 6 ⎟⎜1⎟ = ⎜ 7 ⎟ , siendo (2,7,-3) las coordenadas del vector a respecto de la
⎜ z' ⎟ ⎜ − 1 1 − 3 ⎟⎜1⎟ ⎜ − 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝
⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
base B.
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7
G G
G
c) Análogamente para el vector b = v 2 − v 3 necesitamos las ecuaciones del cambio de
3 ⎞
⎟
4 ⎟⎛ x' ⎞
1 ⎜ ⎟
− ⎟⎜ y'⎟ y sustituimos (x’,y’z’) por (0,1,-1) puesto que
2 ⎟⎜ ⎟
3 ⎟⎝ z' ⎠
− ⎟
4⎠
3 ⎞
⎛3 1
⎛ 1⎞
⎟
⎜
4 ⎟⎛ 0 ⎞ ⎜ − ⎟
⎛x⎞ ⎜ 4 4
⎜ ⎟
3
1
1 ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟
= (0,1,−1) B' , de donde se obtiene ⎜ y ⎟ = ⎜
−
− ⎟⎜ 1 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ con lo cual
⎜
2
2 ⎟⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟
⎜z⎟ ⎜ 2
1
1
3 ⎟⎝ - 1⎠ ⎜
⎝ ⎠
⎟
−
− ⎟
⎜
⎝ 2 ⎠
4
4⎠
⎝4
1
1
⎛ 1 1⎞
= (0,1,−1) B' = ⎜ − ,0, ⎟ = − u 1 + u 3 .
2
2
⎝ 2 2 ⎠B
⎛3
⎜
⎛x⎞ ⎜ 4
⎜ ⎟
3
base de B’ a B: ⎜ y ⎟ = ⎜
⎜
⎜z⎟ ⎜ 2
1
⎝ ⎠
⎜
⎝4
G G
G
b = v 2 − v3
G G
G
b = v 2 − v3
1
4
1
−
2
1
−
4
⎛ 1 1 1⎞
⎜
⎟
G G G
9.- Sea la matriz A= ⎜ 2 0 2⎟ de cambio de base de B a B’, siendo B={ u1 , u 2 u 3 } y
⎜
⎟
⎝ 1 1 4⎠
G G G
G
B´={ v1 v 2 , v 3 }. Escribir el vector u 2 en función de los vectores de B’. Hallar la matriz
del cambio de base de B’ a B.
Solución:
La matriz A que representa el cambio de base de B a B’ esta construida con las
⎛
⎞
⎜ 1 1 1⎟
⎜
⎟
coordenadas de los vectores de la base B referidos a la base B’, en nuestro caso será ⎜ 2 0 2 ⎟
⎜ 1 1 4⎟
⎜ GN GN GN ⎟
⎝ u1 u 2 u 3 ⎠
G
G
G
G
G
G
G
G
siendo cada vector u 1 = (1,2,1) B' = 1v 1 + 2 v 2 + 1v 3 ; u 2 = (1,0,1) B' = 1v 1 + 0v 2 + 1v 3 ;
G
G
G
G
u 3 = (1,2,4) B' = 1v 1 + 2 v 2 + 4 v 3 .
La matriz del cambio de base de B’ a B será la inversa de la matriz A:
1
1⎞
⎛ 1
− ⎟
−1
⎜
2
3⎟
⎛ 1 1 1⎞
⎜ 3
⎜
⎟
1
−1
A = ⎜ 2 0 2⎟ = ⎜ 1 −
0⎟
2
⎟
⎜
⎜
⎟
⎝ 1 1 4⎠
1⎟
⎜ 1
0
⎟
⎜−
⎝ 3
3⎠
10.- Consideremos las bases de
G
G
G
V 3 : B1 = {e1 = (1,0,0), e 2 = ( 0,1,0), e 3 = ( 0,0,1)} ,
1 1 1 G
1
1 G
1 1 1 ⎫
⎧G
B 2 = ⎨ u1 = ( ,
, ), u 2 = (
,0,), u 3 = ( ,, ) ⎬ . a) Hallar el cambio de base
2 2 2
2
2
2
2 2 ⎭
⎩
de B1 a B2 b) Hallar el conjunto F de vectores que tienen las mismas coordenadas
respecto de B1 y de B2. Demostrar que F es subespacio de V 3 y hallar una base de F.
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8
Solución:
1
1 ⎞
⎛ 1
⎟
⎜
2 ⎟
2
⎜ 2
1
1 ⎟
representa el cambio de base de B2 a B1, pues las
0
−
a) La matriz ⎜
⎜ 2
2⎟
⎜ 1
1
1 ⎟
−
⎟
⎜
⎝ 2
2 ⎠
2
columnas son los vectores de la base B2 respecto de la base B1. Entonces calculamos la matriz
inversa de la anterior, que resulta ser la misma (es ortogonal) y tenemos la matriz del cambio
−1
1
1 ⎞
1
1 ⎞
⎛ 1
⎛ 1
⎜
⎟
⎜
⎟
2 ⎟ ⎛ x1 ⎞
2 ⎟ ⎛ x1 ⎞ ⎜ 2
2
2
⎛ x2 ⎞ ⎜ 2
⎜ ⎟
1 ⎟⎜ ⎟
1
1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1
−
−
0
0
y1 ⎟ =
de base de B1 a B2: ⎜ y 2 ⎟ = ⎜
b)
⎜ y1 ⎟
⎜
2 ⎟⎜ ⎟
2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2
⎜ ⎟ ⎜ 2
⎝ z2 ⎠ ⎜ 1
1
1 ⎟ ⎝ z1 ⎠
1
1 ⎟ ⎝ z1 ⎠ ⎜ 1
−
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ 2
⎝ 2
2 ⎠
2 ⎠
2
2
Buscamos los vectores que tienen las mismas coordenadas respecto a las dos bases:
1
1 ⎞
1
1 ⎞
⎛1
⎛ 1
⎟
⎟
⎜ −1
⎜
2 ⎟ ⎛ x⎞
2 ⎟ ⎛ x⎞ ⎛ 0⎞
2
2
⎛ x⎞ ⎜ 2
⎜2
⎜ ⎟ ⎜ 1
1 ⎟⎜ ⎟
1 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ 1
0
0−1 −
−
⎜ y⎟ = ⎜ 0⎟ y
⎜ y⎟ , de aquí se obtiene ⎜
⎜ y⎟ = ⎜
⎟
2
2 ⎜ ⎟
2
2 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ z⎠ ⎜ 1
⎜ 1
1
1 ⎟ ⎝ z⎠
1
1 ⎟ ⎝ z⎠ ⎝ 0⎠
−
− 1⎟
−
⎟
⎜
⎜
⎝ 2
⎝ 2
2 ⎠
2
2 2 ⎠
resolviendo el sistema queda
{
}
x − 2y − z = 0
como única ecuación. Por tanto,
F = ( x , y , z) / x − 2 y − z = 0 .
Para demostrar que F es un subespacio vectorial del espacio vectorial R3 utilizamos la
G
G G
G
caracterización: ∀λ , μ ∈ K, ∀a , b ∈ F ⇒ λa + μb ∈ F
G
⎧ a = ( x , y , z) ∈ F ⇔ x − 2 y − z = 0
G G
∀λ , μ ∈ K, ∀a , b ∈ F ⇒ ⎨ G
⇒
⎩b = ( x', y', z') ∈ F ⇔ x'− 2 y'− z' = 0
G
λa = ( λ x , λ y , λ z ) ∈ F ⇔ λ x − 2 λ y − λz = λ 0 = 0
G
⇒
μb = (μx', μy' , μz' ) ∈ F ⇔ μx'− 2μy'− μz' = μ 0 = 0
G
G
λa + μb = ( λx + μx', λy + μy', λz + μz') ∈ F ⇔ λx + μx'− 2 (λy + μy') − (λz + μz' ) = 0 .
G
G
λa + μb ∈ F . Por tanto, se cumple la caracterización de subespacios vectoriales y F es un
subespacio vectorial con x − 2 y − z = 0 la ecuación cartesiana que lo determina, de donde se
⎛ x⎞
⎛ 1⎞
⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
puede despejar z siendo z = x − 2 y o bien ⎜ y⎟ = λ ⎜ 0⎟ + μ⎜ 1 ⎟ unas ecuaciones
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎝ z⎠
⎝ 1⎠
⎝ − 2⎠
paramétricas y una posible base de F
{(1,0,1), (0,1,− 2 )} y por supuesto dim(F)=2.
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⎛ 1 2 −4 3 ⎞
⎟
⎜
2 5 −3 4 ⎟
⎜
11.- a) Hallar el rango de la matriz A=
. b) Hallar una base del
⎜ 6 17 −7 10⎟
⎟
⎜
⎝ 1 3 −3 2 ⎠
subespacio engendrado por los vectores fila de la matriz A. c) Hallar unas ecuaciones
vectoriales, paramétricas e implícitas de dicho subespacio.
Solución:
a) El rango de la matriz A se obtiene mediante combinación lineal de las filas de dicha
⎛ 1 2 −4 3 ⎞
⎛ 1 2 −4 3 ⎞
⎛ 1 2 −4 3 ⎞
⎛ 1 2 −4 3 ⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
2 5 −3 4 ⎟
0 1 5 −2⎟
0 1 5 −2⎟
0 1 5 −2⎟
⎜
⎜
⎜
⎜
⇒
⇒
⇒
matriz:
⎜ 6 17 −7 10⎟ f2 − 2 f1 ⎜ 0 5 17 −8⎟ f3 −5f2 ⎜ 0 0 −8 2 ⎟ f4 − 2 f3 ⎜ 0 0 −8 2 ⎟
f 3 − 6 f1
f 4 − f2
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟ f −f ⎜
⎜
0⎠
⎝0 0 0
⎝ 0 0 −4 1 ⎠
⎝ 1 3 −3 2 ⎠ 4 1 ⎝ 0 1 1 −1⎠
La última matriz indica que son tres las filas linealmente independientes, luego el
rango de A es 3.
b) Una base posible es la formada por las tres filas resultantes en el proceso anterior.
B = {(1,2,−4,3), ( 0,1,5,−2), ( 0,0,−8,2)} .
c) Las ecuaciones del subespacio vectorial se obtienen a partir de la base anterior.
G
• Ecuación vectorial: v = ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = λ 1 (1,2,−4,3) + λ 2 (0,1,5,−2) + λ 3 (0,0,−8,2)
x1 = λ 1
⎧
⎪
x 2 = 2λ 1 + λ 2
⎪
• Ecuaciones paramétricas: ⎨
⎪x 3 = −4λ 1 + 5λ 2 − 8λ 3
⎪⎩ x 4 = 3λ 1 − 2λ 2 + 2λ 3
x1 1
0 0
• Ecuación implícita:
x2
x3
x4
2
1 0
= 0 ⇔ 14 x 1 − 3x 2 − x 3 − 4 x 4 = 0 .
−4 5 − 8
3 −2 2
12.- Hallar una base del subespacio vectorial F formado por las matrices de la forma
⎛ a b⎞
⎜⎜
⎟⎟ . Encontrar un subespacio complementario de F.
⎝ − b 0⎠
Solución:
Puesto que podemos escribir la matriz como combinación lineal de dos matrices
⎛ 0 1⎞
⎛1 0⎞
⎛ a b⎞
⎛1 0⎞ ⎛ 0 1⎞
⎟⎟ son
⎟⎟ y ⎜⎜
⎟⎟ = a ⎜⎜
⎟⎟ + b⎜⎜
⎟⎟ se cumple que ⎜⎜
independientes ⎜⎜
⎝ −1 0⎠
⎝0 0⎠
⎝ − b 0⎠
⎝0 0⎠ ⎝ −1 0⎠
⎛ 0 1⎞
⎛1 0⎞
⎟⎟ ≠ k⎜⎜
⎟⎟, ∀k por tanto una base de F puede ser
independientes ya que ⎜⎜
⎝ −1 0⎠
⎝0 0⎠
⎧⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞⎫
⎟⎟, ⎜⎜
⎟⎟⎬ .
⎨⎜⎜
0
0
−
1
0
⎠⎝
⎠⎭
⎩⎝
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10
Como el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 es de dimensión 4
⎧⎛ a b ⎞
⎫
⎟⎟ / a , b, c, d ∈ R ⎬ , la dimensión del subespacio complementario de F, F’, será:
M 2 = ⎨⎜⎜
⎩⎝ c d ⎠
⎭
dim F’=dim M2-dim F= 4-2=2. Necesitamos dos matrices cuadradas de orden 2
independientes y que no pertenezcan al subespacio F.
⎧⎛ a b ⎞
⎫ ⎧ ⎛1 0⎞ ⎛ 0 1⎞
⎫
⎟⎟ / a , b ∈ R ⎬ = ⎨a ⎜⎜
⎟⎟ + b⎜⎜
⎟⎟ / a , b ∈ R ⎬
El subespacio F dado es F = ⎨⎜⎜
⎩⎝ − b 0 ⎠
⎭ ⎩ ⎝ 0 0⎠ ⎝ −1 0⎠
⎭
⎫
⎧ ⎛ 0 0⎞ ⎛0 0⎞
⎛ 0 0⎞
⎟⎟ ∉ F'
⎟⎟ / α, β ∈ R ⎬ puesto que ⎜⎜
⎟⎟ + β⎜⎜
Y un subespacio suplementario F' = ⎨α⎜⎜
⎝1 0⎠
⎭
⎩ ⎝1 0⎠ ⎝0 1⎠
⎛0 0⎞
⎟⎟ ∉ F' y son independientes.
y ⎜⎜
⎝0 1⎠
13.- Dados los subespacios vectoriales F determinado por las ecuaciones cartesianas
⎧ x 1 = λ1
⎪x = λ + λ
1
2
⎪⎪ 2
⎧x 1 + x 2 − x 3 = 0
y G por las ecuaciones paramétricas ⎨ x 3 = λ 1 + λ 2 del espacio
⎨
⎩x 1 + x 4 − x 5 = 0
⎪x = λ + λ
1
3
⎪ 4
⎪⎩ x 5 = λ 1 + λ 3
5
vectorial R , se pide: bases de F, G, F+G y F ∩ G .
Solución:
a) Una base del subespacio vectorial F debe tener tres vectores de F linealmente
independientes, puesto que la dimensión de F es la dimensión del espacio vectorial R5 menos
el número de ecuaciones linealmente independientes de F. Los tres vectores necesarios son
soluciones
particulares
del
sistema
x
=
α
⎧ 1
⎛ x1 ⎞
⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎪ x =β
⎜x2 ⎟
⎜ 0⎟ ⎜1⎟ ⎜ 0⎟
2
⎪
⎧x 1 + x 2 − x 3 = 0
⎪
⎟
⎜
⇔ ⎨x 3 = α + β ⇔ x 3 = α⎜ 1 ⎟ + β⎜ 1 ⎟ + γ⎜ 0 ⎟
⎨
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎩x 1 + x 4 − x 5 = 0
⎪ x =γ
x
⎟
⎜
⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜1⎟
4
⎪ 4
⎟
⎜
⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟
⎪⎩ x 5 = α + γ
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ x5 ⎠
⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫
⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪
⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎪⎪
⎪
luego una base de F puede ser ⎨⎜ 1 ⎟, ⎜ 1 ⎟, ⎜ 0 ⎟⎬ .
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎪
⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪
⎩⎪⎝ 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎭⎪
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11
b) En el caso del subespacio vectorial G tenemos las ecuaciones paramétricas
⎧⎛1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫
⎧ x 1 = λ1
⎛ x1 ⎞
⎛ 0⎞
⎛0⎞
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪
⎪x = λ + λ
x
1
1
0
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
2
2
1
2
⎪⎜1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎪
⎪⎪
⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎨ x 3 = λ 1 + λ 2 ⇔ ⎜ x 3 ⎟ = λ 1 ⎜1⎟ + λ 2 ⎜ 1 ⎟ + λ 3 ⎜ 0 ⎟ y una base puede ser ⎨⎜1⎟, ⎜ 1 ⎟, ⎜ 0 ⎟⎬
⎪x = λ + λ
⎪⎜1⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎪
⎜x4 ⎟
⎜1⎟
⎜0⎟
⎜ 1⎟
1
3
⎪ 4
⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪
⎜x ⎟
⎜1⎟
⎜0⎟
⎜ 1⎟
⎪⎩ x 5 = λ 1 + λ 3
⎪⎩⎝1⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎪⎭
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ 5⎠
c) Una base del subespacio suma sale de la unión de los vectores de cada base
quitando los que sean combinación lineal de los restantes, para ello calculamos el rango de la
⎛1 0 0 1 0 0⎞
⎜
⎟
⎜0 1 0 1 1 0⎟
siguiente matriz r⎜ 1 1 0 1 1 0 ⎟ = 4 , la matriz que identifica el rango indica los
⎜
⎟
⎜0 0 1 1 0 1⎟
⎜1 0 1 1 0 1⎟
⎝
⎠
vectores
linealmente
independientes
y
por
lo
tanto
la
base,
{(1,0,1,0,1), (0,1,1,0,0), (0,0,0,1,1), (1,1,1,1,1)} . Si queremos escribir las ecuaciones del subespacio
F+G,
podemos
escribir
el
siguiente
determinante
1 0 0 1 x1
0 1 0 1 x2
1 1 0 1 x3 = 0 ⇔ x2 − x3 − x4 + x5 = 0
0 0 1 1 x4
1 0 1 1 x5
d) Para obtener las ecuaciones del subespacio vectorial F ∩ G solamente debemos
juntar las ecuaciones cartesianas de cada subespacio vectorial F y G; de las ecuaciones
paramétricas de G obtenemos las ecuaciones x 2 = x 3 ; x 4 = x 5 .
⎧ x 1 + x 2 − x 3 = 0⎫
⎬≡F
⎪
⎪ x 1 + x 4 − x 5 = 0⎭
Por lo tanto las ecuaciones de F ∩ G : ⎨
que es un sistema
⎪ x 2 − x 3 = 0⎫⎬ ≡ G
⎪⎩ x 4 − x 5 = 0⎭
⎧ x1 = 0
⎪x = λ
1
⎪⎪ 2
equivalente al siguiente x 1 = 0; x 2 = x 3 ; x 4 = x 5 cuyas ecuaciones paramétricas son ⎨ x 3 = λ 1
⎪x = λ
2
⎪ 4
⎪⎩ x 5 = λ 2
⎧⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫
⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪
⎪⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎪
⎪
⎪
y una base es ⎨⎜ 1 ⎟, ⎜ 0 ⎟⎬ .
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎪
⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪
⎩⎪⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎭⎪
Concluimos observando que las dimensiones de los distintos subespacios vectoriales
cumplen: dim(F + G ) = dim F + dim G − dim(F ∩ G ) , en efecto, 4=3+3-2.
U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I.t.G.C.
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