Sistemas de ecuaciones lineales 3x3. COLEGIOS SINALOA A. C.

COLEGIOS SINALOA A. C.
Preparatoria, Campus Guadalupe
“Acredita su calidad educativa por la CNEP”
Asignatura: Matemáticas I.
Profesor: Lucas Picos Millán.
Sistemas de ecuaciones lineales 3x3.
Introducción.
Un sistema de ecuaciones es un grupo de ecuaciones que representan líneas rectas.
Una ecuación es una igualdad en la que los términos pueden ser conocidos o desconocidos.
Ecuaciones simultáneas.
Dos o más sistemas de ecuaciones con dos o más incógnitas, se pueden considerar simultáneas,
cuando los valores de las incógnitas satisfacen a las ecuaciones entre sí.
Las ecuaciones:
x + 6y = 27
7x - 3y = 9
Son simultáneas porque x = 3, y = 4 son valores de las incógnitas que satisfacen las dos
ecuaciones.
Ecuaciones equivalentes
Son las ecuaciones que se obtienen una en función de la otra, es decir, ampliando o reduciendo
una ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente a la inicial.
Ejemplo:
Las ecuaciones:
3x + 6y = 12
x + 2y = 4
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Son equivalentes porque dividiendo entre 3 la primera ecuación se obtiene la segunda ecuación.
Estas ecuaciones tienen una serie infinita de soluciones comunes.
Clasificación de los sistemas de ecuaciones:
Determinados. Son
los que tienen una
solución.
Compatibles. (tienen
solución)
Indeterminados. Son
los que tienen
infinitas soluciones.
Por sus soluciones.
Incompatibles. (no
tienen solución)
Clasificación de los
sistemas de
ecuaciones.
Homogéneos.
Todos los términos
independientes son
nulos.
No homogéneos.
No todos los términos
independientes son
nulos.
Por sus términos
independientes.
Sistemas de tres ecuaciones simultáneas de primer grado
con tres incógnitas.
Para resolver un sistema lineal de ecuaciones con tres incógnitas se debe proceder de la
siguiente manera:
1.- De las tres ecuaciones dadas se escogen dos y se elimina una de las incógnitas (para realizar
esto lo más aconsejable es el método de eliminación por reducción) y con ello se obtiene una
nueva ecuación (4) con dos incógnitas.
2.- Ahora se escoge la tercera ecuación y se relaciona con cualquiera de las otras dos ecuaciones
dadas y se elimina entre ellas la misma variable que hayamos eliminado en el primer paso,
obteniéndose otra ecuación (5), con dos incógnitas.
3.- Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones (4) y (5) que se han obtenido, hallando dos
de las incógnitas.
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4.- Los valores de éstas dos incógnitas obtenidas, se reemplazan en cualquiera de las tres
ecuaciones iniciales para obtener el valor de la tercera incógnita.
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
(1)...................5x - 2y + z = 24
(2)...................2x + 5y - 2z = -14
(3).....................x - 4y + 3z = 26
Se relacionan las ecuaciones (1) y (2) para eliminar la variable z. Para esto se multiplica la
ecuación (1) por 2, y luego sumamos algebraicamente:
La ecuación (1)................5x - 2y + z = 24 se multiplica por 2.
.......................(2)............... 2x + 5y - 2z = -14
(1) 10x - 4y + 2z = 48
(2) 2x + 5y - 2z = -14
Sumando las dos ecuaciones, da como resultado:
(4) 12x + y = 34
Ahora, se toma la ecuación (3) con la ecuación (2), para eliminar la misma variable que se eliminó
en el procedimiento anterior. Para ello se multiplica la ecuación (2) por 3, y la ecuación (3) por 2:
La ecuación (3)...................x - 4 y + 3 z = 26 se multiplica por 2
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La ecuación (2)..................2 x + 5 y - 2 z = -14 se multiplica por 3
Este valor lo reemplazo en cualquiera de las ecuaciones (4) ó (5) iniciales, para obtener el valor
de la variable y:
Ahora, se reemplazan los dos valores obtenidos en cualquiera de las tres ecuaciones iniciales:
Determinante de tercer orden:
Como se vio anteriormente el orden de un determinante viene dado por el número de filas y de
columnas que lo conforman. Cuando nos referimos a un determinante de tercer orden se trata de
tres columnas por tres filas, por ejemplo
Estos determinantes se resuelven de una forma sencilla empleando la regla de Sarrus.
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Veamos el desarrollo de esta regla mediante un ejemplo.
Ejemplo: Resolver.
Utilizando la regla de Sarrus.
Debajo de la tercera fila I 6 2 4 I se repiten las dos primeras filas resultando:
Se trazan tres diagonales de derecha a izquierda y tres de izquierda a derecha:
Se multiplican entre si los tres números que pasan por cada una de las diagonales.
Los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de izquierda a derecha se
escriben con su propio signo y los productos de los números que hay en las diagonales trazadas
de derecha a izquierda se escriben con el signo cambiado.
Productos de los números que hay en las diagonales trazadas de izquierda a derecha:
-24 - 12 - 60
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Productos de los números que hay en las diagonales trazadas de derecha a izquierda con signo
cambiado:
5
- 32 - 6 + 90
Uniendo los dos grupos:
- 32 - 6 + 90 -24 - 12 - 60 = - 44
Luego el resultado del determinante
es - 44
Resolución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas mediante
determinantes:
Resolviendo un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas de la forma:
Se encuentran los valores para x, y, y z obteniendo:
(1)
2x + y - z = - 1
(2)
x-2y+3z=-6
(3)
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x+y+z=-6
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Ejemplo: Resolver el sistema.
Resolviendo cada uno de los determinantes por la Regla de Sarrus obtenemos los valores para
las tres variables:
Entonces se tiene que:
x=-1
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z=-3
7
y=-2