Guía de Matemáticas

DIRECCIÓN ACADÉMICA
DEPARTAMENTO DE DESARROLLO
ACADÉMICO
12° ENCUENTRO ACADÉMICO, CULTURAL Y
DEPORTIVO INTERBACHILLERES 2014
CONCURSO DE CONOCIMIENTOS 2014
GUÍA DE ENTRENAMIENTO
DISCIPLINA: MATEMÁTICAS
Septiembre de 2013
1
2
ÍNDICE
Contenido
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................... 4
DIVISIBILIDAD .................................................................................................................. 5
Ejercicios ........................................................................................................................ 9
COMBINATORIA ..............................................................................................................12
Ejercicios .......................................................................................................................22
GEOMETRÍA ....................................................................................................................25
Ejercicios .......................................................................................................................29
EJERCICIOS RESUELTOS ..............................................................................................33
EJERCICIOS PROPUESTOS...........................................................................................40
BIBLIOGRAFÍA… .............................................................................................................43
3
INTRODUCCIÓN
La presente guía va dirigida a los estudiantes que participarán en el concurso de
conocimientos 2014 en la disciplina Matemáticas, en su fase regional. Esta guía se enfoca a
desarrollar la teoría del bloque Principios de Teoría de Números y combinatoria, esta
formada por 5 secciones:





Divisibilidad: teoría básica, ejemplos y ejercicios.
Combinatoria: teoría básica, ejemplos y ejercicios.
Geometría: teoría básica, ejemplos y ejercicios.
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Se recomienda que el estudiante desarrolle la totalidad de los ejercicios propuestos, pues en
la mayoría de los ejercicios se verá reflejada la habilidad que tienen los estudiantes para
interpretar, resolver y concluir en la solución de problemas. Cabe recalcar que este tipo de
problemas son los se aplican en las olimpiadas que organiza la Sociedad Matemática
Mexicana.
Aunque en la presente se desarrollan algunos temas de geometría, es necesario que el
estudiante aborde todos los temas y subtemas publicados en el temario:





Aritmética
Álgebra
Geometría y Trigonometría
Geometría Analítica
Principios de Teoría de Números y Combinatoria
Esta guía debe verse como un apoyo adicional a los Diarios de Aprendizaje, principalmente
en el tema “Principios de Teoría de Números y Combinatoria” por lo cual se recomienda a
los estudiantes estudiarla en su totalidad. Para los bloques: Aritmética, Álgebra, Geometría y
Trigonometría y Geometría Analítica, se recomienda estudiar los Diarios de Aprendizaje o
cualquier otra bibliografía que sugiera el asesor académico.
Nota: Para el examen regional no se permite el uso de calculadoras ni formularios.
4
DIVISIBILIDAD
La teoría de números, como uno esperaría de su nombre, estudia a los números. Iniciamos
su estudio con los números enteros,
.
Definición: Decimos que divide a , o que es divisible entre , (con símbolos,
resultado de dividir entre es entero, es decir si existe número entero talque
este caso también decimos que:




), si el
. En
es divisor de
es factor de
es divisible entre
es múltiplo de
Ejemplos:
1. Los números pares son aquellos que son divisibles por el , pues tiene la forma
con entero.
2.
porque existe el número entero talque
, evidentemente el también
divide al .
3.
porque existe el
número entero talque
.
Divisor propio de un número: Decimos que
es divisor propio de
; en este caso también se dice que es múltiplo propio de .
si
pero
Números Primos: Sea un número entero distinto de
, decimos que es primo si sus
únicos divisores son
y
; es decir es primo si no tiene divisores propios.
Ejemplos:
1. El es primo porque sus únicos divisores son
2. El 11 es primo porque sus únicos divisores son
3. El 9 no es primo porque sus divisores son
propios.
.
.
, donde
son divisores
Teorema Fundamental de la Aritmética. Todo número natural diferente de 1 puede ser
representado de manera única (salvo por el orden) como un producto de números primos.
Ejemplos:
5
1. Expresar como producto de números primos a 14, 82, 104 y 1250.
Solución:
Lema: Sea un número entero mayor que 1 con la propiedad de que ningún número primo
menor o igual que √ lo divida. Entonces es primo.
Ejemplos:
1. Probar que 43 es primo.
Solución. Aplicando el lema anterior, como √
, basta con comprobar que 43 no
es divisible por ninguno de los números primos
, lo cual es claramente cierto.
2. Determina si 1417 es primo o no.
Solución. Aplicando el lema, como √
, basta con comprobar que 1417 no
es divisible por ninguno de los números primos menores que 38; es decir: 2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 y 37. El único que lo divide es 13, 1417=13∙109, por lo tanto
1417 no es primo.
Máximo Común Divisor: Sea
un número natural. Dada una colección de números
enteros distintos de cero
su máximo común divisor, en símbolos
, es el mayor de sus divisores comunes, es decir,
si
y cualquier número entero que cumpla estas condiciones es menor o igual
que .
Mínimo Común Múltiplo: Sean
distintos de cero. Definimos el mínimo común
[
]o solo [
] como el menor de
múltiplo de ellos, en símbolos
todos los múltiplos comunes positivos de ellos.
Ejemplos:
a) Hallar el máximo común divisor de los números 15, 20, 35.
Solución. Encontraremos los divisores de cada uno de estos números:
Los divisores del 15 son:
Los divisores del 20 son:
Los divisores del 35 son:
6
Los divisores comunes son:
, y el mayor de ellos es el 5, así que éste es el máximo
común divisor de 15, 20 y 35.
b) Si
y
, halla el mínimo común múltiplo de ellos.
Solución.
Los múltiplos positivos de
son:
Los múltiplos positivos de
son:
Entonces el
[ ]
c) Si
y
, entonces el mínimo común múltiplo es 8.
d) Encontrar el
.
Solución. Representamos a los números como productos de números primos:
Por lo tanto el
.
[
].
e) Halla el
Solución. Representaremos a los números como producto de números primos:
Por lo tanto el
[
]
.
Definición de primos relativos: Dos números naturales se dicen relativamente primos
(coprimos, o primos relativos) si no tienen un divisor común mayor que 1.
Criterios de Divisibilidad: Un número entero
es divisible:
 Entre 2, si y sólo si el dígito de las unidades es 0, 2, 4, 6 u 8.
 Entre 3, si y sólo si la suma de sus dígitos es divisible por 3.
 Entre 4, si y sólo si el número formado por los dos últimos dígitos (el de las unidades y
el de las decenas) es divisible por 4.
 Entre 5, si y sólo si el dígito de las unidades es 5 ó 0.
 Entre 6, si y sólo si es divisible por 2 y 3.
 Entre 7, si y sólo si lo es también el número de dos cifras que obtengamos con el
siguiente proceso:
Tomamos el dígito de las unidades y lo duplicamos; el resultado se lo restamos al
número original sin el dígito de las unidades; repetimos el proceso hasta obtener un
número de dos cifras.
 Entre 8, si y sólo si el número formado por sus tres últimos dígitos es divisible por 8.
 Entre 9, si y sólo si la suma de sus dígitos es divisible por 9.
7
 Entre 10, si y sólo si el dígito de las unidades es 0.
 Entre 11, si y sólo si obtenemos 0 o un múltiplo de 11 con el siguiente proceso:
numeramos todos los dígitos del número de izquierda a derecha. Sumamos todos los
dígitos que ocupan una posición par en el número y le restamos la suma de todos los
dígitos que ocupan una posición impar en el número.
 Entre 12, si y sólo si es divisible por 4 y por 3.
“Si y sólo si” significa que es una
condición necesaria y suficiente.
Ejemplos:
a) ¿Es 29 × 3 divisible entre 2?
Solución. No, porque no se cumple el criterio de divisibilidad para el 2 ya que el dígito de
las unidades es 7.
b) ¿Es 29 × 3 divisible entre 3?
Solución. Sí, por ser múltiplo de 3; además se cumple el criterio de divisibilidad por 3 ya que
29 × 3=87 y la suma de sus dígitos es 8+7=15 y el 3 divide al 15.
c) ¿Es 29 × 3 divisible entre 5?
Solución. No, porque no se cumple el criterio de divisibilidad para el 5 ya que el dígito de
las unidades es 7.
d) ¿Es 29 × 3 divisible entre 8?
Solución. No, porque 29 × 3=87=087 y no es divisible por 8.
e) ¿Es 29 × 3 divisible entre 9?
Solución. No, porque 29 × 3=87 y la suma de sus dígitos es 8+7=15 y 15 no es divisible por
9.
f) ¿Es 29 × 3 divisible entre 6?
Solución. No, porque no cumple la condición de ser dividido por 2.
g) Considera todos los números de tres dígitos distintos que se pueden formar con los
dígitos 0, 1, 2, 3 y 5. ¿Cuántos de estos números son múltiplos de 6?
Solución:
Para que un números sea múltiplo de 6, debe ser divisible por 2 y además divisible por 3.
Para que sea divisible por 2, el dígito de las unidades sólo tiene dos posibilidades ser 0 ó
2.
8
Si es 0, la suma de los dos dígitos restantes debe ser múltiplo de tres por lo cual sólo hay
cuatro posibilidades: 1+2, 2+1, 1+5 y 5+1.
Si es 2, la suma de los tres dígitos debe ser múltiplo de tres por lo cual sólo hay tres
posibilidades: 1+0, 3+1 y 1+3.
Por lo tanto la respuesta es siete.
EJERCICIOS
1. ¿Es cierto que si un número natural es divisible entre 4 y entre 6, entonces es
divisible entre 4 × 6 = 24?
2. El número A no es divisible entre 3. ¿Es posible que el número 2A sea divisible entre
3?
3. El número A es par. ¿Es cierto que el número 3A debe ser divisible entre 6?
4. Dados los números A = 23 × 310 × 5 × 72 y B = 25 × 3 × 11, encuentra el máximo
común divisor.
5. Dados los números A = 28 × 53 × 7 y B = 25 × 3 × 57, encuentra el mínimo común
múltiplo.
6. Dados dos números primos distintos p y q, encuentra el número de diferentes
divisores positivos de:
a) pq
b) p2q
c) p2q2
d) pnqm
7. ¿Es cierto que el producto de cualesquiera tres números naturales consecutivos es
divisible por 6?
8. ¿Es cierto que el producto de cualesquiera cinco números naturales consecutivos es
divisible por 30?
9. ¿Es cierto que el producto de cualesquiera cinco números naturales consecutivos es
divisible por 120?
10. Encuentra todas las soluciones en números naturales de las ecuaciones:
a) x2 − y2 = 31
b) x2 − y2 = 303
11. En una mesa hay 220 canastas vacías numeradas del 1 al 220. José puso una pelota
azul en cada canasta con número par, Roberto puso una pelota verde en cada
canasta con número múltiplo de 3, Luis puso una pelota roja en cada canasta con
número múltiplo de 5 y Fernando puso una pelota morada en cada canasta con
9
número múltiplo de 7. ¿Cuántas pelotas y de que color son las que hay en la canasta
número 211?
12. Un vendedor de telas va a Puerto Escondido cada 28 días, otro va cada 30 días
y un tercero va cada 16 días. Hoy coincidieron los tres vendedores, ¿dentro de
cuántos días volverán a coincidir?
Recordemos que los elementos que intervienen en una división son:




Dividendo
Divisor
Cociente o producto
Residuo
Ejemplo:
Observe que tal división la podemos expresar como sigue:
.
En general toda división de números enteros puede expresarse de forma similar a la
anterior; es decir, si en una división
es el dividendo,
el divisor,
el cociente y el
residuo, dicha división se puede representar como
con
. A la
representación anterior se le llama el Algoritmo de la división para y .
Otra forma de escribir lo anterior es:
Definición. Dividir a un número natural
representar al número como
residuo de dividir entre .
entre el número natural
con residuo significa
, donde
. Al número lo llamamos el
Ejemplo:
10
a) El residuo de la división de 501 por un número de un dígito es 3. ¿Cuál es el residuo de la
división del número 1006 por el mismo número?
Solución:
Sean m y k números enteros con m número de un dígito, entonces:
Note que
, además observe que las únicas posibilidades para
y
son:
1.
2.
3.
Si la primera ocurriera, el residuo de dividir 501 entre 2 sería 1 y no 3, por lo tanto se
descarta. Si ocurriera la segunda 501 es múltiplo de 3, por lo tanto el residuo de dividir 501
por 3 es cero, también se descarta; así la opción que si puede ocurrir es la 3. En
consecuencia el número buscado es 6, y el residuo de dividir 1006 por 6 es 4, por lo tanto la
respuesta correcta es 4.
b) Encontrar
Solución:
y del Algoritmo de la división en el caso de que
, donde
c) Encontrar
y
y
y
.
.
del Algoritmo de la división en el caso que
, donde
y
.
y
.
11
COMBINATORIA
Regla de la suma. Si una cierta tarea puede realizarse de maneras de una forma o
de maneras para una segunda, en total la tarea se puede hacer de
formas.
Principio Fundamental de Conteo: Si una cierta tarea puede realizarse de
maneras
diferentes y, para cada una de esas formas, una segunda tarea puede realizarse de
maneras distintas, entonces las dos tareas juntas pueden realizarse (en ese orden) de
formas diferentes.
Ejemplos:
a) ¿Cuántas palabras de cuatro letras se pueden formar si se dispone de un alfabeto con
dos letras: j y e? Nota: se permiten las palabras como jjee y jjje.
Solución:
Utilizaremos el principio fundamental del conteo. Consideremos 4 rayas, cada una
representa el espacio correspondiente para las cuatro letras:
_____ _____ _____ _____
En cada raya hay dos elecciones posibles; la letra j o la letra e. Por cada raya podemos
poner 2 letras, entonces la respuesta es
.
Para aclarar exhibimos la lista de las 16 palabras que se forman:
jjjj
jjje
jjee
jeee
jjej
jeej
jejj
jeje
eeee
eeej
eejj
ejjj
eeje
ejje
ejee
ejej
b) ¿Cuántas banderas bicolores se pueden formar si se dispone de 5 lienzos de tela de
colores distintos y un asta?
Nota: como las banderas son bicolores no se permiten banderas con los dos lienzos del
mismo color; ejemplo verde-verde; por otro lado, es importante el color que queda junto al
asta, es decir verde-blanco y blanco-verde se consideran distintas.
Solución:
Note que para este caso solo necesitamos dos rayas. Podemos suponer que la de la
izquierda representa el lienzo junto al asta, el cual tiene 5 elecciones posibles. Una vez
elegido éste, el color para la derecha se puede escogerse de 4 formas (ya que no se permite
la repetición de colores). Así hay
formas diferentes de formar las banderas.
12
Para aclarar exhibimos la 20 banderas; tomando los colores azul, verde, blanco, morado y
rojo.
c) ¿Cuántas banderas bicolores se pueden formar si se dispone de 5 lienzos de tela de
colores distintos?
Nota: en este caso las banderas blanco-verde y verde-blanco se consideran iguales.
Solución:
Note que para este caso solo necesitamos dos rayas. Para el color de la izquierda hay 5
elecciones posibles. Una vez elegido éste, el color para la derecha se puede escogerse de 4
formas (ya que no se permite la repetición de colores). Así hay
formas diferentes
de formar las banderas, pero en esta cuenta estamos contando dos veces la banderas de la
forma blanco-verde y verde-blanco, por lo que tenemos que dividir por 2, es decir hay
banderas diferentes.
Para aclarar exhibimos la 10 banderas; tomando los colores azul, verde, blanco, morado y
rojo.
d) Hay cinco distintos tipos de tazas y tres de platos en una tienda. ¿De cuántas maneras se
puede comprar una taza y un plato?
Solución:
13
Sin perdida de generalidad podemos elegir primero las tazas, para estas hay 5 formas y para
elegir los platos tenemos 3 formas, así en total hay
formas diferentes de comprar
una taza y un plato.
Para aclarar exhibimos las 15 formas en un diagrama de árbol: 3 por cada taza y al final
incluimos un diagrama general.
14
e) En una cocina hay 6 distintos tipos de tazas, 4 de platos y 2 diferentes tipos de cucharas.
¿De cuántas formas diferentes podemos elegir juegos con una taza, un plato y una cuchara?
Solución:
Este problema es similar al anterior; sin perdida de generalidad podemos elegir primero las
tazas, para las cuales hay 6 formas; en segundo lugar a los platos, 4 formas; y por último a
las cucharas, 2 formas; así en total hay
formas diferentes de elegir una taza,
un plato y una cuchara.
f) En cierto país hay tres pueblos San Juan, San Pedro, y San Lucas. Existen seis caminos
de San Juan a San Pedro, y cinco de San Pedro a San Lucas. ¿De cuántas formas se puede
ir desde San Juan hasta San Lucas?
Solución:
Note que para ir de San Juan hasta San Lucas es necesario pasar por San Pedro. De San
Juan a San Pedro hay 6 caminos y por cada uno de estos caminos hay 5 formas de llegar a
San Lucas, así tenemos
caminos diferentes para ir de San Juan a San Lucas.
g) En una comida te dan 5 tortillas. Un taco se prepara con una o dos tortillas y uno de dos
guisados. ¿De cuántas formas puedes prepararte un plato de tacos? (Nota: Debes usar
todas las tortillas y el orden en que pongas los tacos en el plato no importa.)
Solución:
Llamemos a los guisados A y B. Podemos hacer uno, dos o ningún taco doble.
 Si tenemos dos tacos dobles, hay que elegir cuántos de esos son del guisado A (cero,
uno o dos) y de qué guisado será el taco sencillo (A ó B). Así, hay 6 formas en este
caso.
 Si tenemos un taco doble, hay que elegir de qué es (A ó B) y cuántos de los tacos
sencillos son de guisado A (cero, uno, dos o tres). Así en este caso hay 8 formas.
 Finalmente, si no tenemos tacos dobles sólo hay que elegir cuántos de esos son de
guisado A (6 formas).
En total hay 20 posibilidades.
Definición: Sea un número natural, al producto de todos los números naturales del
se le llama factorial o factorial de y se denota por
Se define al cero factorial como
.
15
al n
El número
de distintas formas en que se pueden ordenar objetos es . Cada una de las
listas ordenadas que se forman con los objetos se llama permutación (de los objetos).
Entonces el número de permutaciones de objetos es
Ejemplos:
1. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar en una fila una manzana, una pera y
un plátano?
Solución:
El número de cosas a ordenar es 3, por lo tanto hay
formas diferentes
de ordenarlas.
2. De un grupo de 4 estudiantes quiere elegirse equipos de 3 personas para que cada uno
visite una universidad de una lista de tres. ¿Cuántos equipos distintos se pueden formar?
Solución:
Usemos rayas
Así el resultado es
.
16
3. Ana, Minerva, Liliana y Linley quieren visitar universidades, para ello se van agrupar en
equipos de 3 para que juntos visiten la misma universidad. ¿Cuántos equipos diferentes
pueden formar?
Solución:
Note que este ejemplo es muy parecido al anterior, con la única diferencia de que no
importa el orden en la elección de personas, pues visitarán la misma universidad; así, el
equipo Ana-Minerva-Liliana, se considera igual a los equipos Ana-Liliana-Minerva,
Minerva-Liliana-Ana, Minerva -Ana-Liliana, Liliana-Ana-Minerva y Liliana-Minerva-Ana. En
total una lista de este tipo aparece 6 veces, ya que estamos contando las formas en que
se pueden ordenar 3 personas, que es precisamente el número de permutaciones
.
Entonces ya exhibimos que cada equipo de 3 personas se cuenta 6 veces, así la solución
de nuestro problema queda como:
Para clarificar la explicación enlistaremos los equipos:
1. Ana-Minerva-Liliana
2. Ana-Minerva-Linley
3. Minerva-Liliana-Linley
4. Ana-Liliana-Linley
4. ¿De cuántas formas se pueden sentar 6 personas en sillas numeradas del 1 al 6?
Solución:
En la silla número uno se pueden sentar 6 personas; en la silla número dos se pueden
sentar cualquiera de las 5 personas restantes; en la silla número tres se pueden sentar
cualquiera de las 4 personas restantes; en la silla número cuatro se pueden sentar
cualquiera de las 3 personas restantes; en la silla número cinco se pueden sentar
cualquiera de las 2 personas restantes; y en la silla número seis se sienta la única
persona que sobra.
Hagamos la representación con rayas:
Así tenemos
formas en las que se pueden sentar seis
personas en seis sillas numeradas del 1 al 6.
5. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden escribir con los dígitos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9}? Nota: no se pueden repetir dígitos.
17
Solución:
Para encontrar la cantidad de números de tres cifras que se forman usamos tres
espacios, donde cada espacio representa un dígito, centenas, decenas y unidades. Para
el dígito de las centenas tenemos 9 opciones, para el dígito de las decenas 8 opciones y
para el dígito de las unidades 7 opciones; así tenemos
números con tres
dígitos.
Definición de combinación: Dado un conjunto de elementos, una combinación de
elementos de , es un subconjunto de
formado de
elementos. Al número de
combinaciones de
elementos, de un conjunto de
elementos, se denota por ( ) y es
igual a:
( )
donde
Dicho de otra forma el número de subconjuntos de
elementos que tiene un conjunto con
elementos es ( ).
Para las combinaciones el orden no importa.
Ejemplos:
1. Calcular a)( ), b) ( ) y c)( ).
Solución:
a)
( )
Es decir el número de subconjuntos con 2 elementos de un subconjunto de 5
elementos es 10.
Si el conjunto de cinco elementos es
, los subconjuntos de 2 elementos
son:
.
b)
( )
Es decir el número de subconjuntos con 3 elementos de un subconjunto de 5
elementos es 10.
18
Si el conjunto de cinco elementos es
son:
, los subconjuntos de 3 elementos
.
c)
( )
Es decir el número de subconjuntos con 3 elementos de un subconjunto de 3
elementos es 1.
Si el conjunto de cinco elementos es
, el único subconjunto de 3 elementos es
el mismo
.
2. Se tienen 8 pelotas blancas, 3 pelotas negras y una pelota gris. ¿De cuántas formas
se pueden colocar en una fila si lo único que nos importa es de qué color son?
Solución:
Son 12 lugares los que ocupan las pelotas. La pelota gris tiene 12 posibles lugares
que puede ocupar.
Como en las otras pelotas únicamente nos importa el color, no es un simple problema
de permutaciones. Sin embargo, si de los 11 lugares restantes elegimos 8 para que
en ellos queden las pelotas blancas, entonces tendremos
determinado
completamente el acomodo. Es decir, nuestro problema ya nada más necesita saber
de entre 11 objetos, de cuántas formas podemos elegir 8 de ellos, es decir:
(
)
.
Por lo cual tenemos
sólo nos importa el color.
formas de acomodar las pelotas en una línea si
3. En un grupo de 50 personas, 20 son hombres y 30 mujeres. Se quiere formar una
comisión de 10 personas que tenga exactamente 4 mujeres. ¿Cuántas comisiones
distintas se pueden formar?
Solución:
Primero elegimos a las mujeres, para ellas hay ( )
formas. Como la comisión debe estar formada por 10 personas y debe haber
exactamente 4 mujeres, entonces los hombres serán 6; éstos se pueden elegir de
( )
es
formas. Por lo tanto el resultado
.
19
4. En un grupo de 20 personas, 10 son hombres y 10 mujeres. Se quiere formar una
comisión de 5 personas que tenga a lo más 3 mujeres. ¿Cuántas comisiones distintas
se pueden formar?
Solución:
Este problema es similar al anterior, pero lo haremos por casos y después sumamos
los resultados de cada uno.
Como nos indican que la comisión a lo más puede tener 3 mujeres, eso significa que
puede que tenga exactamente 3 mujeres, 2 mujeres, 1 mujer o 0 mujeres.
a) Que la comisión tenga exactamente 3 mujeres.
Si hay exactamente 3 mujeres entonces solo podemos elegir 2 hombres:
(
)(
)
b) Que la comisión tenga exactamente 2 mujeres.
Si hay exactamente 2 mujeres entonces solo podemos elegir 3 hombres:
(
)(
)
c) Que la comisión tenga exactamente 1 mujer.
Si hay exactamente 1 mujer entonces solo podemos elegir 4 hombres:
(
)(
)
d) Que la comisión no tenga mujeres.
Si no hay exactamente mujeres entonces podemos elegir 5 hombres:
(
Así la respuesta es
)(
)
.
Después de revisar los ejemplos te habrás dado cuenta que ( )
(
).
5. En una caja hay 3 canicas verdes y 2 moradas. ¿Cuántas filas distintas de 3 canicas
se pueden formar?
Solución:
Observe que las canicas no están numeradas. Como solo se formaran filas con 3
canicas, dejaremos fuera 2. Resolveremos el problema por casos y después
sumaremos los resultados:
20
a) Dejar fuera 2 canicas moradas. Como nos quedan 3 canicas verdes entonces
solo podemos formar una fila.
b) Dejar fuera 2 canicas verdes. Tenemos que formar las filas con una canica
verde y 2 moradas, así obtenemos:
c) Dejar fuera una canica verde y una morada. Formamos las filas con 2 canicas
verdes y una morada.
La respuesta es
.
6. ¿Cuántos cubos positivos dividen a
Solución:
Observe que
,
?
y que
.
Por lo cual
Luego, un divisor cubo positivo de
debe ser de la forma
donde
y son todos múltiplos de 3. Tenemos tres posibles valores para
y . Hay dos posibles valores para
y . El único valor posible para
es 0. Por
lo tanto, hay
cubos positivos distintos que dividen a
. Ellos son:
21
EJERCICIOS
1. En una bolsa negra hay 5 bolsas cafés, en cada bolsa café hay 3 bolsas blancas y en
cada bolsa blanca hay 10 galletas de chocolate. La bolsa negra, las bolsas cafés y las
bolsas blancas están amarradas con una liga cada una. ¿Cuál es la menor cantidad
de ligas que hay que quitar para obtener 50 galletas de chocolate?
2. En una bolsa hay 3 canicas rojas y 2 canicas azules. Se quiere formar una fila con
todas ellas. ¿De cuántas maneras distintas puede quedar la fila?
3. Un grupo de 15 personas quiere dividirse en 3 equipos de 5 integrantes cada uno.
Cada equipo tendrá una labor específica distinta a las demás. ¿De cuántas formas
distintas es posible hacer la distribución?
4. Un grupo de 15 personas quiere dividirse e 2 equipos de 5 integrantes cada uno.
Todos los equipos tendrán la misma labor. ¿De cuántas formas es posible hacer la
distribución?
5. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ordenarse en un librero 3 cuadernos rojos, 4
azules y 2 verdes, con la única condición de que los verdes no queden juntos?
6. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono regular de m lados? Una diagonal es un
segmento que une dos vértices del polígono y que no es un lado.
7. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 6 personas en una fila de 9
asientos numerados del 1 al 8?
8. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar 8 personas alrededor de una
mesa redonda? Considere dos distribuciones iguales si una se puede obtener de la
otra mediante un giro.
9. ¿Cuántas placas distintas se pueden formar con 3 letras a la izquierda y 4 números a
la derecha? Considera el alfabeto de 27 letras y los 10 dígitos.
10. ¿Cuántas palabras distintas se pueden escribir revolviendo las letras de la palabra
IEBO?
11. Cinco estudiantes se escogen al azar de un grupo de 10 para formar una fila.
¿Cuántas filas diferentes se pueden formar?
22
12. Se tienen 8 piezas de ajedrez: 2 torres, 2 alfiles, 2 caballos y 2 peones, uno de cada
color (negro y blanco). ¿De cuántas formas pueden acomodarse las 8 piezas en una
columna de manera que no queden dos piezas del mismo color juntas?
13. En un torneo de básquetbol compiten 16 equipos. En cada ronda los equipos se
dividen en grupos de 4. En cada grupo cada equipo juega una vez contra cada uno de
los equipos restantes. De cada grupo los dos mejores equipos califican para la
siguiente ronda y los dos peores son eliminados. Después de la última ronda quedan
dos equipos que se enfrentan en un partido para determinar al ganador del torneo.
¿Cuántos partidos se jugarán a lo largo de todo el torneo?
14. Rosy escoge dos números del 1 al 10 y escribe en su libreta el elemento mayor de la
pareja que escogió. Después de elegir todas las parejas posibles de números del 1 al
10 (sin repetir nunca una pareja), Rosy sumó todos los números que escribió. ¿Cuál
es la suma que obtuvo?
15. A una fiesta van a asistir 2010 personas. Para servir la cena se van a usar mesas
con forma de hexágono regular y en cada lado de ellas se puede sentar a lo más una
persona. Se desea que todas las mesas queden juntas y la manera de juntar es
pegando cada mesa, por un lado, con una sola de las demás mesas que están
pegadas. ¿Cuál es el mínimo número de mesas que se necesitan para sentar a todas
las personas?
16. ¿De cuántas maneras se puede pintar un cubo si cada cara debe pintarse de negro o
de blanco? (Dos cubos se considera que están pintados de la misma forma cuando
girando uno de ellos se puede lograr que se vea idéntico al otro).
17. ¿De cuántas maneras podemos ir de Puerto Escondido a la ciudad Oaxaca pasando
por San Gabriel y Zimatlán si existen 3 caminos distintos de Puerto Escondido a San
Gabriel, 4 caminos distintos de San Gabriel a Zimatlán y 5 caminos distintos de
Zimatlán a Oaxaca?
18. En un salón se tienen cierta cantidad de sillas acomodadas en fila y cierta cantidad de
personas.
a) ¿De cuántas maneras distintas se pueden acomodar las personas en las sillas
si tenemos 5 sillas y 5 personas?
b) ¿De cuántas maneras distintas se pueden acomodar las personas en las sillas
si tenemos 5 sillas y 8 personas?
c) ¿De cuántas maneras distintas se pueden acomodar las personas en las sillas
si tenemos 8 sillas y 5 personas?
19. ¿Cuántas banderas bicolores se pueden formar si se dispone de 4 lienzos de tela de
colores distintos? Contesta la pregunta en dos casos:
i) Se utiliza un asta
23
ii) No se utiliza asta
20. Una profesora tiene 5 dulces de distintos sabores y 6 paletas de distintos sabores.
¿De cuántas maneras puede la maestra darle un dulce a cada uno de sus 2 alumnos
y una paleta a cada una de sus 3 alumnas?
21. Los dígitos
se escriben en el orden habitual en un arreglo de
(es decir,
en el primer renglón están, de izquierda a derecha, 1, 2 y 3, en el segundo renglón 4,
5 y 6, etcétera) ¿Cuántos números N de siete cifras, todas distintas de cero, tienen la
propiedad de que cifras consecutivas en el desarrollo decimal de N son distintas y
comparten renglón o columna en el arreglo? (Por ejemplo, N = 7125474 tiene la
propiedad, pero N = 3998541 y N = 5634782 no la tienen).
24
GEOMETRÍA
Ahora daremos algunas definiciones que nos pueden ser útiles para resolver problemas de
geometría, aun así es necesario que los estudiantes por su parte aborden la totalidad del
temario.









Un triángulo es isósceles si tiene al menos dos lados iguales.
Un triángulo es equilátero cuando sus tres lados son iguales.
Un triángulo es escaleno cuando sus tres lados son distintos.
Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto o de 90°.
Bisectriz. es la semirrecta que parte del vértice de un ángulo y lo divide en dos
ángulos congruentes.
Polígono convexo: Es un polígono en el que todos los ángulos interiores miden
menos de 180°. La suma de los ángulos interiores es
, donde
es el
número de lados.
La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°.
Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es
igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Polígono inscrito. Un polígono se dirá inscrito en una circunferencia si sus vértices
están sobre una circunferencia, y el círculo se dice circunscrito al polígono. También
se dice que el polígono es cíclico.
Ejemplos:
1. Sea ABC un triángulo talque el ángulo es el doble del ángulo
, el lado CA es 2
unidades mayor que el lado AB y BC mide 5 unidades. ¿Cuánto mide AB y CA?
Solución:
Primero trazamos el triángulo:
25
Construyamos la bisectriz desde el vértice B hasta cruzar con el lado AC en el punto
D, note que se forman dos nuevos triángulos
y
:
Como el ángulo
es el doble del ángulo
el lado BD es igual al lado DC.
Llamemos
y
. Entonces,
Note que por el criterio
los triángulos
y
Resolveremos las ecuaciones
:
Despejaremos
de :
y
el triángulo
es isósceles, así
y
.
son semejantes, entonces:
de cada una de las ecuaciones e igualaremos para obtener el valor
Igualando:
26
Sustituimos el valor de
Así
y
en
:
.
2. ¿Cuántos lados como máximo puede tener un polígono convexo, en el cual todos los
ángulos interiores son menores que
?
Solución:
Supongamos que es el número de lados de un polígono convexo, entonces la suma
de sus ángulos interiores está dada por
Cómo todos los ángulos son
menores que
, tenemos que
, luego
, de donde se
concluye que
.
Por lo tanto, el polígono convexo a lo más puede tener 17 lados.
3. En la figura se muestran 6 círculos idénticos. Sabiendo que el rectángulo chico pasa
sobre los centros de todos los círculos y que su perímetro es 60 cm, ¿cuál es el
perímetro del rectángulo grande?
Solución:
Sea la medida del radio de las circunferencias. Observemos que el perímetro del
rectángulo chico
puede calcularse en función de
De donde se sigue que
Para calcular el perímetro del rectángulo grande en función , obtenemos:
4. La longitud de una circunferencia es
y su área es de
. ¿Cuál es el valor de ?
27
Solución:
La longitud de una circunferencia de radio
Luego, el área es
, por lo tanto
es
, entonces
.
.
5. A un cuadrado de papel se le cortan todas las esquinas, ¿cuál es el máximo número
de esquinas que puede quedar?
Solución:
Si cortamos una esquina del triángulo de forma que el corte NO se haga por la
diagonal del cuadrado, tendremos cinco esquinas en lugar de cuatro en la región más
grande. Esto quiere decir que al cortar una esquina del cuadrado, lo más que
podemos hacer es agregar otra. Así pues, el máximo de esquinas que podemos
tener es 8.
6. En la siguiente figura
mide
. ¿Cuánto mide el ángulo
, el ángulo
?
mide
y el ángulo
Solución:
Como
entonces el triángulo
es isósceles, esto implica que
.
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es
entonces que
, así
.
El triángulo
es isósceles pues
, esto implica que
.
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es
entonces:
Observemos que
.
28
Por lo tanto
.
7. En una tira de papel rectangular se dibujan líneas verticales que la dividen en 4 partes
iguales. También se dibujan líneas verticales que la dividen en 3 partes iguales.
Finalmente, se corta la tira siguiendo las líneas dibujadas. ¿Cuántos pedazos de
diferente longitud se tienen?
Solución:
Dibujamos los cuartos de la tira de papel y los numeramos de izquierda a derecha. Si
cortamos por esas marcas, quedan los cuatro pedazos numerados, todos del mismo
tamaño. Ahora, las marcas que dividen el papel en terceras partes quedan en los
pedazos número 2 y 3, y, si volviéramos a unirlos, las marcas serían simétricas, por lo
que, al cortarlos nuevamente, ambos pedazos (2 y 3) quedarían divididos de la misma
forma. Pero este último corte dividió cada segmento en dos pedazos de longitudes
diferentes además de los pedazos 1 y 4 que son de igual longitud. Por lo tanto hay
piezas de tres longitudes diferentes.
EJERCICIOS
1. En la siguiente figura
ángulo
?
,
,
, ¿cuánto mide el
2. El siguiente rectángulo está formado por 6 cuadrados. La longitud de cada lado del
cuadrado señalado con el número 6 es 2 cm. ¿Cuál es la longitud del lado del
cuadrado marcado con el número 5?
Nota: El cuadrado 1 es igual al cuadrado 2.
29
3. Al recortar las esquinas de un cuadrado de 2704 cm2 resulta la siguiente figura. En
ella, el lado de cada uno de los cuadritos es nueve unidades menores que la cuarta
parte del lado del cuadrado original. ¿Cuál es la medida del lado x?
4. En la siguiente figura se cumple que:
perímetro del triángulo ABC?
¿Cuál es el
5. Sea
un hexágono regular cuyos lados miden
. Sea
intersección de las diagonales
y . ¿Cuál es el área del triángulo
el punto de
?
6. ¿Cuánto mide la altura de un triángulo equilátero de 8 cm por lado?
7. ¿Cuál es el valor de en el triángulo
?
30
8. En el siguiente rectángulo se inscriben 2 circunferencias de radio 4 cm, determina el
área sombreada.
9. En la siguiente circunferencia centrada en el origen y de radio 3 cm, se inscribe un
cuadrado, ¿cuál es el área de la región sombreada?
10. Observa la siguiente figura, en ella se presenta un círculo inscrito en un hexágono
regular. Si el área del círculo es
. ¿Cuál es el área de la región sombreada?
11. La siguiente figura es un rectángulo inclinado
ocupa el triángulo sombreado?
. ¿Qué porcentaje del rectángulo
31
12. El cuadrado
tiene lados de longitud 2; y
y
, respectivamente, y es un punto en
¿Cuál es el área del triángulo
?
son los puntos medios de los lados
tal que
(ver la figura).
13. Determine las coordenadas del centro de la elipse dada por la ecuación general
14. Determina el vértice de la parábola dada por la ecuación general es
32
EJERCICIOS RESUELTOS
En esta sección se abordan ejercicios y problemas tipo olimpiada, con la finalidad de que el
estudiante tenga en cuenta que hay diversas formas de abordar y preguntar un mismo tema.
1. ¿Cuánto vale la suma de los dígitos del resultado de la operación
Solución:
Observemos que
y que
, sustituyendo en
?
obtenemos:
Aplicando las reglas de los exponentes:
Luego la suma de los dígitos de
, la cual es
es la misma que la suma de los dígitos de
2. Sergio tiene ocho fichas numeradas del 1 al 8. Las divide en dos montones de forma que
cada montón tenga al menos dos fichas y que ningún número sea igual al promedio de
cualesquiera dos números del mismo montón. ¿Cuáles de las siguientes ternas de
números no pueden estar en el mismo montón?
A) 1, 2, 8
B) 1, 2, 6
C) 4, 3, 7
D) 8, 4, 3
Solución:
Si ponemos el 1, 2 y 8 en un montón tenemos que el 3 y 5 no pueden estar en ese
montón ya que:
Entonces, ponemos al 3 y al 5 en el segundo montón. Luego, el 7 tiene que estar en el
primer montón. Por lo tanto, el 4 no lo podemos poner en ninguno de los dos montones, lo
que implica que el 1, 2 y 8 no pueden estar juntos.
Además, una forma de dividir las fichas es hacer un montón con 1, 2, 5 y 6, y el otro con
3, 4, 7 y 8. Por lo que las otras ternas pueden estar juntas en un montón.
3. En un baile había 28 personas, N de ellas eran mujeres. La mujer 1 bailó con 5 hombres,
la mujer número 2 bailó con 6 hombres, la mujer número 3 bailó con 7 hombres y así
sucesivamente hasta la mujer número N que bailó con todos los hombres. ¿Cuántos
hombres y cuántas mujeres había en el baile?
Solución:
Observemos que:
33
Número de mujer
Uno
Dos
tres
Número de hombres con los que bailó
5 = 1+4
6 = 2+4
7 = 3+4
Por lo tanto la cantidad de hombres con los que bailó la mujer N es N+4, por lo cual
N+N+4=28, resolviendo la ecuación llegamos a que N=12, por lo tanto en la fiesta habían
12 mujeres y 16 hombres.
4. ¿Cuántos números distintos pueden ser expresados como la suma de tres números
distintos del conjunto {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19}?
Solución:
Observemos que el número más pequeño que podemos formar es
y el
más grande es el
.
Veamos cuáles números intermedios podemos escribir como suma de tres números
distintos del conjunto
Los números en el conjunto son de la forma
con
entonces la suma
de cualesquiera tres de ellos es igual a
con
y distintos entre sí.
Entonces, tenemos que
Observemos que podemos encontrar
valores enteros entre 3 y 15:
y
tales que al sumarlos obtenemos todos los
Por lo tanto, todos los múltiplos de 3 entre 12 y 48 pueden ser suma de tres números
distintos del conjunto, es decir, en total hay 13 valores posibles.
5. Si se sabe que
√
, calcula el valor de
34
( )
( ) .
Solución:
√
Sabemos que
, dividiendo la expresión anterior entre
√ ( )
√ ( )
√ (
obtenemos:
)
√
Llamemos
y
, entonces buscamos
.
Por un lado tenemos que
(√ )
Ecuación 1
y por otro que
Ecuación 2
Además note que como
2 y obtenemos:
, entonces
sustituimos este valor en el Ecuación
De donde
Ecuación 3
Observe que
( √ )
Ecuación 4
Sustituyendo la Ecuación 4 en la Ecuación 3 obtenemos:
Por lo tanto
.
6. Erika tenía 97 canicas y Rogelio tenía 11 canicas. Erika le dio algunas de sus canicas a
Rogelio de tal manera que Erika terminó con el doble de canicas que Rogelio. ¿Cuántas
canicas le dio Erika a Rogelio?
Solución:
Sea el número de canicas que Erika le dio a Rogelio. Entonces
donde
.
, de
35
7. La lectura de un libro que se va a grabar en discos compactos dura 412 minutos. Cada
disco puede tener hasta 56 minutos de lectura. Asuma que se usan el menor número
posible de discos y que cada disco contiene la misma cantidad de lectura. ¿Cuántos
minutos de lectura contendrá cada disco?
Solución:
Ya que
, la lectura necesitará 8 discos. Por lo tanto, cada disco contendrá
minutos de lectura.
8. Antonio trabaja dos horas al día y se le paga $0.50 por hora por cada año completo de su
edad. Durante un periodo de seis meses Antonio trabajó 50 días y ganó $630. ¿Qué edad
tenía Antonio al final del periodo de seis meses?
Solución:
Antonio trabajó 100 horas. Su ganancia promedio por hora durante este periodo es de
=$6.30. Por lo tanto, su promedio de edad durante este periodo fue de
=12.6 años.
Luego, al final del periodo de seis meses tenía 13 años.
9. Mateo cumplió años el martes 27 de mayo en el año bisiesto 2008. ¿En qué año será la
próxima vez que caiga su cumpleaños en un día sábado?
Solución:
Un año no bisiesto tiene 365 días. Como
, tenemos que en un año no
bisiesto hay 52 semanas y 1 día. Como el 2008 fue un año bisiesto y el 27 de mayo fue
martes, que es después del 29 de febrero, tenemos que en el 2009 Mateo cumplió años
un miércoles, y cumplirá años un jueves en el 2010 y un viernes en el 2011. Ahora bien,
como el 2012 es bisiesto, ese año su cumpleaños será domingo, en el 2013 será lunes,
en el 2014 será martes, en el 2015 será en miércoles, en el 2016 será en viernes (pues es
otro año bisiesto) y en el 2017 será en sábado.
10. La longitud del intervalo de soluciones de la desigualdad
el valor de
?
es 10. ¿Cuál es
Solución:
Resolviendo la desigualdad tenemos que,
Luego, si
, entonces
.
36
11. ¿Cuál es el valor de (
)
?
Solución:
Distribuyendo los signos negativos tenemos que
(
)
12. ¿Cuántos números del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} hay que elegir para asegurar
que su producto sea múltiplo de 32?
Solución:
Primero notemos que
no nos ayudan a que el producto sea múltiplo de
. Consideremos lo siguiente
Si sólo elegimos ocho números, estos podrían ser todos los impares, el
(que
sólo aportan un factor 2), que no es múltiplo de . Ahora, si elegimos nueve números lo
peor que podría pasar es que tengamos los cinco impares los tres que aportan sólo un
factor 2 al producto y el 4, que aporta dos factores 2, cuyo producto es múltiplo de .
Entonces la respuesta es 9.
13. Una sala de cine tiene 26 filas con 24 asientos cada una. El total de los asientos se
numera de izquierda a derecha, comenzando por la primera fila y hacia atrás. ¿En qué
número de fila está el asiento número 375?
Solución:
Como 15 x 24 = 360 y 375 = 360 + 15, el asiento número 375 es el 15 de la fila 16.
14. ¿Cuánto es la suma de las cifras del número N=1092 - 92?
Solución:
El número 1092 se escribe como un 1 seguido de 92 ceros. Entonces 10 92-92 se escribe
como noventa 9's seguidos de un 0 y un 8. Tenemos que 9 x 90 + 0 + 8 = 818.
15. A Julio le dieron el número secreto de su nueva tarjeta de crédito, y observó que la suma
de los cuatro dígitos del número es 9 y ninguno de ellos es 0; además el número es
múltiplo de 5 y mayor que 1995. ¿Cuál es la tercera cifra de su número secreto?
Solución:
37
Por ser el número múltiplo de 5, debe terminar en 0 o 5, pero como no debe tener 0's, el
número termina en 5. Ahora hay que buscar tres números cuya suma sea 4 (pues la suma
de todas las cifras del número es 9); como ninguno debe ser cero la única posibilidad es
que sean 1,1, 2 y, como el número debe ser mayor que 1995, debe ser 2115. Por lo tanto
su tercera cifra es 1.
16. ¿Cuántos números múltiplos de 6 menores que 1000 tienen la propiedad de que la suma
de sus cifras es 21?
Solución:
Queremos que el número sea múltiplo de 6, por tanto debe serlo de 2 y de 3. Al pedir que
la suma de sus cifras sea 21 el número ya será múltiplo de 3. El número deberá además
ser par, así es que pensemos en las posibilidades para su última cifra.
El número no puede terminar en 0 ni 2 porque no tenemos posibilidades para las primeras
dos cifras de forma que la suma alcance 21. Si la última cifra es 4, las dos primeras deben
sumar 17, así es que deben ser 8 y 9, y hay dos combinaciones posibles: 984 y 894.
Si la última cifra es 6, las primeras pueden ser 8 y 7, o bien 9 y 6, con los que se pueden
formar cuatro números: 876, 786, 966 y 696. Si la última cifra es 8, las posibilidades para
las primeras son 6 y 7, 5 y 8, o bien 4 y 9; y hay 6 números: 768, 678, 588, 858, 498, 948.
En total hay 12 números.
17. ¿Cuántos números entre 5678 y 9876 tienen la propiedad de que el producto de sus
cifras es igual a 343?
Solución:
Observemos que
. Como los números son de cuatro cifras, 3 de ellas son 7 y la
otra es 1. Entonces las únicas posibilidades son 7177, 7717, 7771.
18. Una caja que compró mamá está llena de chocolates en forma de cubo. Sara se comió
todos los del piso de arriba, que eran 77. Después se comió 55, que eran los que
quedaban en un costado. Después se comió los que quedaban enfrente; ¿cuántos
chocolates sobraron en la caja?
Solución:
Como el número de chocolates del piso de arriba es 77, la cantidad de chocolates a lo
largo por la cantidad de chocolates a lo ancho es 77. Las posibilidades son 11 a lo largo y
7 a lo ancho, o 77 a lo largo, en una sola hilera. Como al final quedan chocolates en la
caja, la posibilidad correcta es la primera:
. Como después de comerse el piso de
arriba quedan 55 en un costado, cuando la caja estaba llena debió tener 6 chocolates a lo
38
alto. Así, inicialmente había
chocolates. Originalmente en el frente de
la caja había
chocolates, de los cuales Sara se comió primero 7 de la fila de
arriba y 5 que quedaban en la fila de un costado. Quedan
chocolates.
19. ¿Cuál es el resultado de la operación:
?
Solución:
Reagrupemos los sumandos de la siguiente manera:
20. ¿Cuántas cifras tiene el número
?
Solución:
Agrupemos todos los 2's y los 5's que podamos:
Por lo tanto el número tiene 2001 cifras.
39
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Si
A.
, determina el signo de las expresiones:
D.
E. √
B.
C.
2. Los primeros cuatro términos de una sucesión aritmética son
el término 2010 de esta sucesión?
y
¿Cuál es
3. Es el resultado de simplificar la expresión
4. Las figuras 1, 2, 3, y 4 que se muestran, son las primeras en una secuencia de figuras.
Para
la figura se construye a partir de la figura
formando un cuadrado a su
alrededor y colocando un punto más en cada lado del nuevo cuadrado que el que tenia la
figura
en cada lado de su cuadrado exterior. Por ejemplo, la figura 3 tiene 13 puntos.
¿Cuántos puntos hay en la figura 20?
5. La siguiente sucesión se forma al escribir los dígitos de los números naturales en orden
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, …
¿Cuál es el dígito en el lugar 2010?
6. Supongamos que tenemos 21 monedas, de las cuales 20 son originales y una es falsa. La
moneda falsa tiene distinto peso, pero no sabemos si pesa más o menos. ¿Cuál es el
mínimo número de pesadas que se deben hacer en una balanza para saber si la moneda
falsa pesa más o pesa menos? (No es necesario especificar cuál es la moneda falsa,
únicamente queremos saber si pesa más o menos.)
7. Si
entonces, ¿cuál es el valor de
8. ¿Cuántos y cuáles enteros positivos
?
menores o iguales que 21 cumplen que
es un número entero?
40
9. ¿Cuántos números enteros hay entre 9992 y 10002, sin incluir estos dos números?
10. La suma de todos los dígitos del número 1099 - 99 es:
11. En la siguiente figura los lados grandes son iguales y los lados chicos también son
iguales. Los lados chicos miden la mitad de los grandes. Todos los ángulos son rectos y el
área de la figura es
. ¿Cuál es el perímetro de la figura?
12. Empiezas con el número 1. Una "operación" consiste en multiplicar el número por 3 y
sumarle 5. ¿Cuál es la cifra de las unidades después de aplicar la operación 1999 veces?
13. ¿Cuántas soluciones enteras tiene la ecuación: 23+x + 23-x = 65?
14. Un hombre nació en el año
y murió en el año
(donde los números
son enteros
positivos). Considera que murió en el día de su cumpleaños. Sabemos que vivió entre el
año 1800 y el 2000. ¿Cuántos años vivió el hombre?
15. Si
16. Si
, ¿cuál es el valor de ?
son números positivos, tales que
, ¿Cuál es el valor de ?
17. Si A y B son números naturales y
A
,
,
,
y
/7 + B/5 = 31/35 el valor de A es:
18. Si n es un número entero, entonces
siempre es divisible entre:
19. ¿Cuántas veces aparece el factor 2 en las descomposición en primos de 1 + 2 + 3 +...+
1011?
20. La expresión algebraica
¿Cuál es el valor de
se escribe en la forma
.
?
21. ¿Cuántos números se pueden representar como suma de algunos de los números 1, 2, 4,
8, 16 donde cada número se escoge a los más una vez? (Por ejemplo el 11 se puede
representar como 8 + 2 + 1). Las sumas con un sólo sumando están permitidas.
22. ¿Cuántos números diferentes de cinco cifras se pueden formar con los dígitos 1, 1, 2, 2,
3?
23. Considere 6 puntos sobre una circunferencia. ¿De cuántas maneras pueden ser estos
puntos unidos por pares con 3 cuerdas que no se corten dentro del círculo?
24. En una clase hay 25 estudiantes. Entre ellos 17 estudiantes son ciclistas, 13 nadadores y
8 esquiadores. Ningún estudiante hace tres deportes. Los ciclistas, nadadores y
esquiadores se sacaron 9 en matemáticas. Seis estudiantes en la clase se sacaron 6 en
matemáticas. ¿Cuántos nadadores saben esquiar?
41
25. Considera el menor entero positivo que al dividirlo entre 10 deja residuo 9, al dividirlo
entre 9 deja residuo 8, al dividirlo entre 8 deja residuo 7, etc., hasta que al dividirlo entre 2
deja residuo 1. ¿Qué residuo deja al dividirlo entre 11?
42
BIBLIOGRAFÍA
1. María Luisa, Pérez Seguí (2012). Matemáticas Preolímpicas (3ª ed). México:
UNAM-SMM.
2. María Luisa, Pérez Seguí (2010). Combinatoria (3ª ed). México: UNAM-SMM.
3. María Luisa, Pérez Seguí (2011). Teoría de Números (6ª ed).México: UNAM-SMM.
4. R. Bulajich & J. A. Gómez (2012). Geometría (9ª ed). México: UNAM-SMM.
5. R. Bulajich & J. A. Gómez (2010). Geometría, Ejercicios y problemas (6ª ed).
México: UNAM-SMM.
6. Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Revista Tzaloa.
7. Factorial! Revista de Matemáticas. Casa Olímpica/ CARMA /Editorial Dinosaurio
43