1o Grado en Ingenierı́a Mecánica
Matemáticas I - Grupo T2
Tema 6: Funciones de varias variables
En estas notas explico el final del Tema 6 que no he tenido tiempo de
explicar en clase. Casi todos los grupos medianos habéis avanzado hasta el
mismo punto, pero siempre hay pequeñas diferencias. Por tanto, puede ser
que alguno ya haya visto en clase parte de lo que aquı́ explico.
La primera semana después de navidades corregiremos la relación de
problemas correspondiente al Tema 6 en las sesiones prácticas. Si es necesario, en esa misma sesión explicaré lo que no se entienda de este documento.
IMPORTANTE: He actualizado la relación de problemas eliminando algunos ejercicios que con los contenidos teóricos explicados no se pueden
realizar.
Derivadas sucesivas
Todos habéis visto en clase la definición de derivada sucesiva y el cálculo
de éstas. Hay una propiedad muy importante de simetrı́a que verifican las
derivadas sucesivas: el teorema de Schwarz, que aunque lo he nombrado en
todos los grupos, no en todos lo he escrito con detalle, ası́ que paso a hacerlo:
Teorema de simetrı́a de Schwarz. Sea f : A ⊆ R2 → R una
función de dos variables. Si las derivadas parciales de 2o orden
cruzadas
∂2f
(x, y) (fxy )
∂x∂y
∂2f
(x, y) (fyx )
∂y∂x
y
son continuas, entonces coinciden.
Ejemplo Sea f (x, y) = xex
2 +y 2
. Es inmediato comprobar que
∂f
2
2
(x, y) = (1 + 2x2 )ex +y
∂x
y
∂f
2
2
(x, y) = 2xyex +y .
∂y
A partir de aquı́, podemos calcular las derivadas parciales de 2o orden de la
función f , y comprobar que efectivamente el teorema de Schwarz se verifica:
∂2f
2
2
(x, y) = 2x(3 + 2x2 )ex +y ,
2
∂x
∂2f
2
2
(x, y) = 2y(1 + 2x2 )ex +y ,
∂x∂y
1
∂2f
2
2
(x, y) = 2y(1 + 2x2 )ex +y ,
∂y∂x
∂2f
2
2
(x, y) = 2x(1 + 2y 2 )ex +y .
2
∂y
Es importante tener en cuenta que, como todo lo que se ha estudiado
en este tema, el teorema de Schwarz también es cierto para funciones de
más de dos variables. Ası́, siempre que consideremos derivadas parciales
de 2o orden cruzadas, y que sean continuas, el orden de derivación no va a
importar. Por ejemplo, si f es una función de tres variables con todas sus
derivadas parciales de 2o orden cruzadas continuas:
∂2f
∂2f
(x, y, z) =
(x, y, z),
∂x∂y
∂y∂x
y
∂2f
∂2f
(x, y, z) =
(x, y, z)
∂x∂z
∂z∂x
∂2f
∂2f
(x, y, z) =
(x, y, z).
∂y∂z
∂z∂y
El teorema también es válido cuando realizamos derivadas parciales de
orden mayor que 2: si las derivadas correspondientes son continuas, entonces
lo único que importa es el número de veces que derivamos con respecto a
cada variable, pero no el orden. Por ejemplo, si f es una función de dos
3
∂3f
∂3f
variables y ∂x∂ 2 f∂y (x, y), ∂x∂y∂x
(x, y) y ∂y∂x
2 (x, y) son funciones continuas,
entonces coinciden.
NOTA: Aunque en los ejemplos que utilizamos y en los ejercicios las
derivadas parciales de cualquier orden serán casi siempre continuas, hay que
tener presente que la continuidad es fundamental, si fallase esta condición
las derivadas no tendrı́an porque coincidir.
Relación entre el gradiente y las derivadas direccionales
El cálculo de una derivada de una función en un punto con respecto a
un vector (o de una derivada direccional) mediante la definición como lı́mite
puede ser largo y complicado. Por ello, es útil tener un método alternativo
de cálculo mucho más práctico:
Sea f : A ⊆ R2 → R. Si existen las derivadas parciales y son
continuas, entonces ∀a = (x0 , y0 ) ∈ A y ∀v ∈ R2 se tiene que:
f 0 (a; v) = ∇f (a) · v.
2
NOTA: Recordemos que v · w representa el producto escalar de dos vectores v y w. Ası́, si v = (x, y) y w = (z, t) su producto escalar se calcula
como
v · w = xz + yt.
2
2
Ejemplo. Sea la función del ejemplo anterior f (x, y) = xex +y . En
el ejemplo observamos que las derivadas parciales de f son continuas, por
tanto, la derivada de f en el punto a = (1, 0) con respecto al vector v = (2, 3)
viene dada por
f 0 (a, v) = f 0 ((1, 0); (2, 3)) = ∇f (a) · v.
Ahora bien, dado cualquier punto (x, y) ∈ R2
∂f
∂f
2
2
2
2
∇f (x, y) =
(x, y),
(x, y) = (1 + 2x2 )ex +y , 2xyex +y ,
∂x
∂y
y por tanto
∇f (a) = ∇f (1, 0) = (3e, 0).
Luego finalmente,
f 0 (a, v) = f 0 ((1, 0); (2, 3)) = (3e, 0) · (2, 3) = 6e.
Ya os he explicado en clase que el gradiente a una función en un punto
es perpendicular a la curva de nivel de la función que pase por dicho punto.
Como ya os he contado también, esto está relacionado con el hecho de que la
dirección del vector gradiente nos indica la dirección de ascenso más rápido,
es decir, la dirección para la cual la derivada direccional es mayor. Por otro
lado, si consideramos como vector el opuesto al vector gradiente, obtendremos la menor derivada direccional posible. Por último, si tomamos un
vector tangente a la curva de nivel la derivada direccional correspondiente
se anula (ya que “nos mantenemos en la misma altura”). Esto se traduce
en las siguientes propiedades:
Sea f : A ⊆ R2 → R y sea a ∈ A. Si existen las derivadas parciales
de f en a y coinciden, entonces:
a) {max f 0 (a; v) : v ∈ R2 , |v| = 1} = |∇f (a)| y se alcanza cuando
∇f (a)
v = |∇f
(a)| .
b) {min f 0 (a; v) : v ∈ R2 , |v| = 1} = −|∇f (a)| y se alcanza cuando
∇f (a)
v = − |∇f
(a)| .
3
c) Si v es perpendicular a ∇f (a), es decir, si v es tangente a la
curva de nivel de f que pasa por a, entonces f 0 (a, v) = 0.
4
0
