Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Introducción
Euler modificado
Runge-Kutta de cuarto orden
Milne
Adams-Moulton
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Dr. Fernando Rodríguez Haro
January 17, 2011
Dr. Fernando Rodríguez Haro
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Euler modificado
Runge-Kutta de cuarto orden
Milne
Adams-Moulton
Tabla de contenidos
1
Introducción
2
Euler modificado
3
Runge-Kutta de cuarto orden
4
Milne
5
Adams-Moulton
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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Introducción
Euler modificado
Runge-Kutta de cuarto orden
Milne
Adams-Moulton
EDO
Ecuación diferencial ordinaria (EDO) general de primer orden es:
dy
= f (x, y)
dx
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(1)
Introducción
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EDO
Solución general debe tener una constante arbitraria c, así la
solución general de la ecuación 1 es:
F (x, y, c) = 0
(2)
La ecuación 2 representa una familia de curvas en el plano x − y.
Cada una de ellas se obtiene para un valor particular de c. Cada
una de las curvas corresponde a una solución particular de la EDO.
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Runge-Kutta de cuarto orden
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EDO: Solución
Para dar una solución, la ecuación diferencial se acompaña con
condiciones auxiliares. Para las EDO de primer orden, se requiere
un tipo de condición auxiliar, llamada valor inicial, para determinar
la constante y obtener una solución unica.
y = −0.5x 4 + 4x 3 − 10x 2 + 8.5x + 1
dy
= f (x, y) = −2x 3 + 12x 2 − 20x + 8.5
dx
Al integrar dy
dx obtenemos:
y = −0.5x 4 + 4x 3 − 10x 2 + 8.5x + C
(3)
(4)
(5)
Sea la condición inicial x = 0 y y = 1 sustituimos en 5:
1 = −0.5(0)4 + 4(0)3 − 10(0)2 + 8.5(0) + C
Donde C = 1
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(6)
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Euler modificado
Pasos:
1
predictor: Con valor inicial (x0 , y0 ) se usal el método de Euler
para obtener el valor de y correpondiente a x1 , el cual se
denota como y 1 , ya que solo es un transitorio para y1 .
y i+1 = yi + hf (xi , yi )
2
(7)
corrector: Usando la ecuacion diferencial ordinaria que se esté
resolviendo se obtiene una media aritmética de la derivada en
el punto inicial y en el punto obtenido en el paso 1.
yi+1 = yi +
h
[f (xi , yi ) + f (xi+1 , y i+1 )]
2
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(8)
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Runge-Kutta de cuarto orden
Milne
Adams-Moulton
RK cuarto orden
yi+1 = yi +
h
(k1 + 2k2 + 2k3 + k4 )
6
(9)
Donde:
k1 =f (xi , yi )
hk1
h
k2 =f (xi + , yi +
)
2
2
h
hk2
k3 =f (xi + , yi +
)
2
2
k4 =f (xi + h, yi + hk3 )
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(10)
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Milne
Es un método de pasos múltiples de orden superior más común.
Pasos:
1
predictor: Usa la fórmula abierta de Newton-Cotes de tres
puntos como un predictor.
y i+1 = yi−3 +
2
4h
(2fi−2 − fi−1 + 2fi )
3
(11)
corrector: Usando la fórmula cerrada de Newton-cotes de tres
puntos (regla de simpson 13 ).
yi+1 = yi−1 +
h
(fi−1 + 4fi + fi+1 )
3
Donde fi = f (xi , yi )
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(12)
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Adams-Moulton
Adams-Moulton
Un método común de pasos multiples basado en las formulas de
integración de Adams.
1
predictor: Usa la fórmula de Adams-Bashforth de cuarto
orden.
y i+1 = yi +
2
h
(55fi − 59fi−1 + 37fi−2 − 9fi−3 )
24
(13)
corrector: Usando la fórmula de Adams-Moulton de cuarto
orden.
yi+1 = yi +
h
(9fi+1 + 19fi − 5fi−1 + fi−2 )
24
Donde fi = f (xi , yi )
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(14)