Resolución guía 6 (ejercicio 2) y guía 7 (función g(x))

Resolución guía 6 (ejercicio 2) y guía 7 (función g(x))
Ejercicio 2
a) Este ejercicio fue resuelto en clase. Como nos pedían una f(x) racional con raíces en x=4 y en
x=-3,5 y tal que el dominio de f(x) sea R-{1} habíamos propuesto una función:
݂ሺ‫ݔ‬ሻ =
ܽሺ‫ ݔ‬− 4ሻሺ‫ ݔ‬+ 3,5ሻ
‫ݔ‬−1
Como también pedían que f(0)=17, utilizamos dicha condición para calcular a.
Finalmente,
݂ሺ‫ݔ‬ሻ = −
17 ሺ‫ ݔ‬− 4ሻሺ‫ ݔ‬+ 3,5ሻ
14
ሺ‫ ݔ‬− 1ሻ
En clase discutimos que no existía una única f(x) que cumpla todo lo anterior ya que:
݂ሺ‫ݔ‬ሻ = −
17 ሺ‫ ݔ‬− 4ሻሺ‫ ݔ‬+ 3,5ሻ
ሺ‫ ݔ‬− 1ሻଷ
14
también cumple todo lo anterior. En general, cualquier función de la forma
݂ሺ‫ݔ‬ሻ = −
17 ሺ‫ ݔ‬− 4ሻሺ‫ ݔ‬+ 3,5ሻ
ሺ‫ ݔ‬− 1ሻ௕
14
cumple lo anterior, siempre y cuando ሺ−1ሻ௕ = −1 (de otro modo, no cumplimos la condición
sobre la ordenada al origen).
b) Nos piden una función g(x) que cumpla las mismas condiciones que f(x) pero que, además,
g(18)=-10.75. Con lo cual, veamos si podemos utilizar la forma general de f(x) y si podemos
conseguir algún valor de b (∈ ܴ) tal que g(18)=10.75
Reemplazando en la forma general de f(x) se tiene,
݃ሺ18ሻ = −
−
17 ሺ18 − 4ሻሺ18 + 3,5ሻ
= 10,75
14
ሺ18 − 1ሻ௕
17 ሺ14ሻሺ21,5ሻ
= 10,75
14 ሺ17ሻ௕
17 ሺ14ሻ
1
=−
௕
14 ሺ17ሻ
2
17ሺଵି௕ሻ = −
1
2
Cuando llegamos a este punto, notamos que no existe ninguna potencia de 17 que nos
devuelva un número negativo. Luego, no existe b tal que cumpla lo anterior
∄ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ‫݋݀݅݀݁݌ ݋݈ ݋݀݋ݐ ݈ܽ݌݉ݑܿ ݁ݑݍ‬
Sin embargo podríamos proponer un función g(x) que en lugar de tener raíces con
multiplicidad 1, tuviera raíces con multiplicidades mayores. Luego, pedir la condición g(0)=17 y
g(18)=10,75. Queda esto como tarea, para seguir practicando.
c) En este caso, no existe ninguna función j(x) que cumpla lo pedido ya que dom(j)= R-{-3;2} y
j(2)=5.
d) Nos piden una función racional sin raíces ni ordenada al origen y que el dominio sea distinto
de R. La función ݇ሺ‫ݔ‬ሻ = ௫ cumple todo lo pedido y fue vista en clase. Si hubiéramos tenido
ଵ
alguna condición más, por ejemplo, k(2)=3, hubieramos propuesto ݇ሺ‫ݔ‬ሻ =
௔
௫
y, en este caso,
tomamos a=6 para que cumpla la condición antes mencionada.
e) Nuevamente no existe l(x) ya que no existe j(x).
Guía 7
Consideremos la función,
݃ሺ‫ݔ‬ሻ
=
‫ۓ‬
ۖ
‫۔‬
ۖ
‫ە‬
‫ݔ‬
‫ݔ‬ଶ − 1
‫ ݔ‬ଶ − 4‫ ݔ‬+ 4
‫ݔ‬−1
‫ < ݔ ݅ݏ‬1
‫ > ݔ ݅ݏ‬1
a) Domino
El primer tramos está definido para x<1 y el tramo tiene problemas en x=1 y x=-1 pues estos
valores anulan el denominador del tramo. Por lo tanto, para este tramo, los valores posibles de
x son:
ሺ−∞; −1ሻ ∪ ሺ−1; 1ሻ
El segundo tramo está definido para x>1 y el tramo tiene problemas en x=1. Por lo cual, los
valores posibles de x son:
ሺ1; +∞ሻ
ࢊ࢕࢓ሺࢍሻ = ሺ−∞; −૚ሻ ∪ ሺ−૚; ૚ሻ ∪ ሺ૚; +∞ሻ
b) Imagen de x=1 y x=-1
Debido al dom(g), ∄ ࢍሺ૚ሻ ࢔࢏ ࢍሺ−૚ሻ
c) Raíces y ordenada al origen
La ordenada al origen corresponde al valor que toma g(x) cuando x=0.
݃ሺ0ሻ = ଴మ ିଵ = 0
଴
Raíces del tramo 1
‫ݔ‬ଶ
(0;0) es ordenada al origen
Raíces del tramo 2
‫ ݔ‬ଶ − 4‫ ݔ‬+ 4
=0
‫ݔ‬−1
‫ݔ‬
=0
−1
‫ ݔ‬ଶ − 4‫ ݔ‬+ 4 = 0. ሺ ‫ ݔ‬− 1ሻ
‫ = ݔ‬0. ሺ‫ ݔ‬− 1ሻ
ଶ
‫ = ݔ‬0 ES RAÍZ YA QUE EL TRAMO ESTÁ
DEFINIDO PARA X<1
‫ ݔ‬ଶ − 4‫ ݔ‬+ 4 = 0
‫ = ݔ‬2 ES RAÍZ DOBLE, YA QUE EL TRAMO
ESTÁ DEFINIDO PARA X>1
d) Ecuaciones de las asíntotas
Asíntota vertical (A.V)
Para el tramo 1, debemos buscar A.V en x=1 por izquierda y en x=-1. En el primer caso,
buscamos por izquierda ya que el tramo está definido para x<1.
Para el tramo 2, debemos buscar A.V en x=1 por derecha, ya que el tramo está definido para
x>1. Con lo cual, resolvemos los límites que nos piden:
lim శ
௫→ିଵ ‫ ݔ‬ଶ
‫ݔ‬
= +∞
−1
(ya que el numerador tiende a -1 y el
denominador tiende a -0)
lim ష
௫→ିଵ ‫ ݔ‬ଶ
‫ݔ‬
= −∞
−1
(ya que el numerador tiende a -1 y el
denominador tiende a +0)
Asíntota Horizontal (A.H)
limష
௫→ଵ ‫ ݔ‬ଶ
‫ݔ‬
= −∞
−1
(ya que el numerador tiende a 1 y el
denominador tiende a -0)
limశ
௫→ଵ
‫ ݔ‬ଶ − 4‫ ݔ‬+ 4
= +∞
‫ݔ‬−1
(ya que el numerador tiende a 1 y el
denominador tiende a +0)
Para el tramo 1, calculamos el límite cuando x tiende a −∞ ya que este tramo está definido
para x<1.
lim
௫→ିஶ ‫ ݔ‬ଶ
‫ݔ‬
=0
−1
Con lo cual, la ecuación de la asíntota horizontal es y=0 y g(x) interseca a su A.H en el punto
(0;0) ya que g(x) tiene una raíz allí.
Para el tramo 2, calculamos el límite cuando x tiende a +∞ ya que este tramo está definido
para x>1.
lim
௫→ାஶ
‫ ݔ‬ଶ − 4‫ ݔ‬+ 4
= +∞
‫ݔ‬−1
De esta última cuenta deducimos que g(x) no tiene asíntota horizontal por derecha.
Asíntota Oblicua (A.O)
Deberíamos buscar sólo para el tramo 2, ya que el tramo 1 tiene A.H
Con lo cual, propongamos una asíntota oblicua de la forma y=mx+b
݉ = lim
௫→ାஶ
ܾ = lim
௫→ାஶ
‫ ݔ‬ଶ − 4‫ ݔ‬+ 4 1
‫ ݔ‬ଶ − 4‫ ݔ‬+ 4
. = lim
=1
‫ݔ‬−1
‫ ݔ‬௫→ାஶ
‫ݔ‬ଶ − ‫ݔ‬
‫ ݔ‬ଶ − 4‫ ݔ‬+ 4
‫ ݔ‬ଶ − 4‫ ݔ‬+ 4 ‫ݔ‬ሺ‫ ݔ‬− 1ሻ
− ‫ = ݔ‬lim
−
=
௫→ାஶ
‫ݔ‬−1
‫ݔ‬−1
ሺ‫ ݔ‬− 1ሻ
−3‫ ݔ‬+ 4
= −3
௫→ାஶ ‫ ݔ‬− 1
= lim
Entonces, y=x-3 es A.O por derecha.
e) Intesercción con las asíntotas
Las asíntotas verticales no pueden ser intersecadas, ya que si alguna función lo hiciera, tendría
dos valores de imagen para un mismo x. Y toda función está definida de forma tal que para
cada valor de x exista una única imagen.
La asíntota horizontal por izquierda se interseca en el punto (0;0) ya que, cuando la asíntota
horizontal es y=0, los valores de intersección se corresponden con las raíces del tramo debido.
Restaría buscar la posible intersección de g(x) con su asíntota oblicua. Con lo cual, igualamos el
tramo por derecha con la ecuación de su A.O y de allí resulta:
‫ ݔ‬ଶ − 4‫ ݔ‬+ 4
=‫ݔ‬−3
‫ݔ‬−1
‫ ݔ‬ଶ − 4‫ ݔ‬+ 4 = ሺ‫ ݔ‬− 3ሻሺ‫ ݔ‬− 1ሻ
4 = 3 ABS!!
Con lo cual, g(x) no atraviesa a su A.O
f) Para graficar, sólo resta calcular algún g(x) en algún valor de las abscisas menor a -1. Por
ejemplo g(-2) = −
ଶ
ଷ
g) ܿ ା = ሺ−1; 0ሻ ∪ ሺ1; 2ሻ ∪ ሺ2; +∞ሻ
ܿ ି = ሺ−∞; −1ሻ ∪ ሺ0; 1ሻ
ܿ ଴ = {0; 2}
Recuerden que una forma de verificar si sus intervalos de positividad fueron calculados de
forma correcta es verificar que ܿ ା ∪ ܿ ି ∪ ܿ ଴ = ݀‫݉݋‬ሺ݃ሻ