Tema 1.- ESPACIOS VECTORIALES

Tema 1.-
ESPACIOS VECTORIALES
!ESPACIO VECTORIAL
!SUBESPACIO VECTORIAL
!BASE Y DIMENSIÓN DE UN
ESPACIO VECTORIAL
Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso 2006-07
1
Aunque histó
históricamente el primer trabajo de Álgebra Lineal consistió
consistió en
resolver sistemas de m ecuaciones lineales con n incó
incógnitas,
comenzaremos este curso estudiando la estructura de espacio vectorial.
vectorial.
Los vectores libres del plano (del espacio) pueden sumarse unos con otros
(por la “ley del paralelogramo”
paralelogramo”) y multiplicarse por un nú
número real:
Pero, ¿qué
qué es un vector libre del plano?
Definimos
como el conjunto de vectores
con
.
Es evidente que se puede pensar que cualquier punto en el plano es
un vector de
(definició
(definición algebraica de vector), y viceversa. Sin
embargo, para muchas aplicaciones fí
físicas (incluyendo las nociones
de fuerza, velocidad, aceleració
aceleración y momento) es importante pensar en
un vector no como un punto sino como una entidad que tiene
“longitud”
longitud” y “direcció
dirección”.
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Tanto en Fí
Física como en Ingenierí
Ingeniería
un vector se caracteriza por dos
magnitudes (longitud y direcció
dirección) y
se representa por un segmento recto
dirigido. Un vector en el plano puede
ubicarse en diferentes lugares. Sin
embargo, con independencia de
dónde esté
esté situado, si la longitud y
direcció
dirección no varí
varían se trata del
mismo vector.
El conjunto de los vectores libres del plano (
) es só
sólo un ejemplo
entre los muchos ejemplos de objetos matemá
á
ticos
que
pueden
sumarse
matem
entre sí
sí y multiplicarse por nú
números reales, y que ademá
además satisfacen
unas mismas propiedades. Este ejemplo de los vectores libres del plano
(o el de los vectores libres del espacio) es importante porque su
representació
representación geomé
geométrica ayuda a entender la definició
definición general de
vector.
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Algunos ejemplos que podemos mencionar son:
" los propios nú
números reales,
" los nú
números complejos,
" los vectores en el plano,
" los vectores en el espacio,
" los polinomios de grado menor o igual que n,
" las funciones reales de variable real con dominio D,
" las funciones continuas en un intervalo,
" las funciones derivables en un punto,
" las funciones integrables en un intervalo,
" .....................................
Un vector puede ser un nú
número, una n-tupla, un polinomios, una
funció
función continua, etc.
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Tambié
También hay magnitudes fí
físicas de tipo vectorial con las mismas
propiedades: fuerzas, velocidades, aceleraciones,....
Cuando en varios conjuntos distintos aparecen estructuras similares, es
conveniente axiomatizar éstas y dar un nombre al ente resultante. Aunque
este primer tema tiene el inconveniente de trabajar en el mundo abstracto
de los espacios vectoriales arbitrarios, tambié
también presenta una gran ventaja.
La abstracció
abstracción resulta ser matemá
matemáticamente eficiente en el sentido de que
ahora pueden demostrarse resultados generales cuya validez afecta a
todos los espacios vectoriales. Es decir, una vez que se establecen los
hechos sobre los espacios vectoriales en general, se pueden aplicar estos
hechos a todos los espacios vectoriales. De otro modo, habrí
habría que probar
cada hecho una y otra vez, para cada nuevo espacio vectorial que nos
encontrá
encontráramos (y existen un sin fin de ellos).
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En este curso, bá
básicamente trabajaremos con cuatro espacios vectoriales.
En el tema 1 definimos la estructura de espacio vectorial y trabajaremos
con los espacios vectoriales siguientes:
#
, normalmente n=3 o n=4.
n=4.
#
, normalmente n=2 o n=3.
n=3.
En el tema 2 estudiamos el espacio vectorial de las matrices reales de m
filas y n columnas, que denotamos:
Por último, en el tema 6 trabajaremos tambié
también con espacios vectoriales
de funciones reales de variable real y continuas sobre un intervalo.
A continuació
continuación, presentamos un ejemplo introductorio que proporciona
una motivació
motivación para desarrollar las matemá
matemáticas subsecuentes.
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Ejemplo introductorio: vuelos espaciales
y sistemas de control
De doce pisos de altura y con un peso de
75 toneladas, el US Columbia se elevó
elevó
majestuosamente de la plataforma de
lanzamientos en una fresca mañ
mañana de
un domingo de ramos de abril de 1981.
Producto
de
diez
añ
de
años
investigaciones y desarrollos intensivos,
el primer transbordador espacial de los
Estados Unidos era un triunfo de la
ingenierí
ingeniería de sistemas de control, que
abarca muchas ramas de la ingenierí
ingeniería:
aeroná
quí
elé
aeronáutica,
química,
eléctrica,
hidrá
hidráulica y mecá
mecánica.
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Los sistemas de control de transbordador espacial son
absolutamente críticos durante el vuelo. Como el
transbordador tiene un fuselaje inestable, necesita una
vigilancia constante por computador durante el vuelo
atmosférico. Los sistemas de control envían una corriente
de instrucciones a las superficies de control
aerodinámicas y a 44 pequeños impulsores de propulsión
a chorro. La figura 1 muestra un sistema de control con
retroalimentación en ciclo cerrado que controla el ángulo
de inclinación del cono de nariz del transbordador
durante el vuelo. Los símbolos ! muestran dónde se
añaden las señales de diversos sensores a las señales del
computador que fluyen por la parte superior de la figura.
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Rapidez de
cambio
requerida de
la inclinación
Inclinación
requerida
+
"
!
K1
+
+
"
!
Rapidez de
cambio de la
inclinación
Aceleración
requerida de
la inclinación
Dinámica del
Controlador transbordador
+
+
"
!
K2
Error en la
rapidez de
cambio de la
inclinación
G1(s)
G2(s)
Inclinación
de la nariz
Error en la
aceleración de la
inclinación
Acelerómetro
s2
Giróscopo de
rapidez de cambio
s
Unidad de medición inercial
1
FIGURA 1 Sistemas de control de la inclinación de la nariz para el transbordador espacial.
(Fuente: Control Systems Engineering, por Norman S. Nise, Benjamin-Cummings Publishing,
1992, p.274. Esquema simplificado basado en Space Shuttle GN&C Operations Manual, Rockwell
International, 1988.)
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Matemáticamente, las señales de entrada y salida de un sistema
de control son funciones. Es importante, para las aplicaciones,
que estas señales puedan sumarse, como en la figura 1, y
multiplicarse por escalares. Estas dos operaciones con
funciones tienen propiedades algebraicas que son en todo
análogas a las operaciones de sumar vectores en
y
multiplicar un vector por un escalar, como se verá en los
ejemplos de espacios vectoriales que estudiaremos en este y
otros capítulos del curso. Por esta razón, el conjunto de todas
las posibles entradas (funciones) se llama espacio vectorial. Los
fundamentos matemáticos de la ingeniería de sistemas
descansan sobre los espacios vectoriales y las funciones, y
necesitamos extender la teoría de vectores en
para incluir
tales funciones.
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Un poco de historia
El matemático alemán Grassmann es reconocido como el primero que
introdujo la idea de un espacio vectorial (aunque no lo llamó de esta manera,
sino sistema de números hipercomplejos) y de independencia lineal en 1844.
Desafortunadamente su trabajo era muy difícil de leer y no recibió la atención
que merecía.
Peano en su libro Calcolo geometrico (1898) acalaró el trabajo de Grassmann y
estableció los axiomas de espacio vectorial como los conocemos en la
actualidad. En este mismo libro iintrodujo las operaciones de conjuntos. Sus
notaciones #, $ y % son las que todavía utilizamos, aunque no fueron
aceptadas de inmediato. La definición axiomática de Peano de un espacio
vectorial también tuvo muy poca influencia durante muchos años. Su
aceptación se produjo en 1918, después de que Hermann Weyl la repitiera en
su libro Space, time, matter, una introducción a la teoría de la relatividad
general de Einstein.
También podemos mencionar a William R. Hamilton, que durante los veinte
últimos años de su vida, dedicó la mayor parte de su creación matemática a
desarrollar la tería de un tipo especial de números, los cuaterniones. Con estos
trabajos cimentó la moderna noción de vector. Todavía hoy se utiliza la
notación i, j, k de Hamilton para los vectores de la base canónica en el espacio
tridimensional.
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Hermann Gü
Günther Grassmann (1808-1877) nació
nació y murió
murió en Stettin, Alemania (hoy
Polonia). Dio clases en la escuela superior de su pueblo natal, y en 1844 publicó
publicó un
libro donde presentaba varias ideas nuevas de geometrí
geometría n dimensional y espacios
vectoriales. Como Grassmann no estaba adiestrado como matemá
matemático investigador, su
libro es de difí
difícil lectura, y no recibió
recibió tanto reconocimiento como ahora.
Giuseppe Peano (1858-1932) matemá
matemático italiano. Se graduó
graduó en la Universidad de
Turí
Turín, Donde enseñó
enseñó durante el resto de su carrera. Tambié
También dio clases en una
academia militar cercana, de la cual fue forzado a renunciar cuando comenzó
comenzó a explicar
su “nuevo simbolismo”
simbolismo”. Peano es bien conocido por su definició
definición axiomá
axiomática de los
números naturales. Ademá
Además de las matemá
matemáticas, tambié
también intervino en la mejora de la
educació
stica.
educación en escuelas secundarias y en lingüí
lingüística.
William Rowan Hamilton (1805-1865) matemá
matemático irlandé
irlandés nacido y fallecido en Dublí
Dublín.
Hamilton fue un niñ
niño prodigio que manifestó
manifestó tener un talento precoz para las
matemá
matemáticas. Realizó
Realizó un trabajo importante sobre óptica que ayudó
ayudó a demostrar la
naturaleza ondulatoria de la luz. Sin embargo su obra má
más importante, fue la que él llamó
llamó
de los cuaterniones, a principios de los añ
años 1840. Tres cuartos de siglo má
más tarde la idea
de álgebra no conmutativa desarrollada por Hamilton iba a ser la base de la mecá
mecánica
cuá
cuántica y tambié
también servirí
serviría para la propia comprensió
comprensión de la estructura interna del átomo.
Hermann Weyl (1885-1955) físico y matemá
matemático alemá
alemán, nacido en Elmshorn. Desde
1933 hasta 1952 trabajó
trabajó en el Instituto de Estudios Avanzados (IAS) de Princeton (USA).
Realizó
Realizó importantes investigaciones sobre la teorí
teoría cuá
cuántica, la mecá
mecánica ondulatoria y la
relatividad.
“Mi trabajo siempre ha tratado de fusionar la verdad con la belleza, sin embargo,
cuando he tenido que escoger entre una y otra, por lo comú
común he elegido la belleza”
belleza”
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ESTRUCTURA DE ESPACIO
VECTORIAL REAL
Sean
(cjto. números reales) y
#
#
operación interna en V
operación externa en
V con dominio de
operadores
Definiremos cuando V es un espacio vectorial real
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Como hemos visto, partimos de un conjunto no vací
vacío V , cuyos
elementos se denotan
..., y se denominan vectores y del cuerpo
conmutativo (estructura algebraica) de los nú
números reales. En
general se puede trabajar con cualquier cuerpo conmutativo K y en
este curso surgirá
surgirán algunos ejercicios con espacios vectoriales
complejos ( K= ).
La ley de composició
composición interna se suele denotar con el sí
símbolo de la
suma ( + ) y se suele denominar suma de vectores. Es una
aplicació
de V les hace
aplicación que a cada par de elementos
corresponder el elemento, tambié
, denominado suma
también de V,
de
e
.
La ley de composició
composición externa con dominio de operadores (en
general, con dominio de operadores K) es una aplicació
aplicación que
denominamos producto por un escalar y denotamos con el sí
símbolo
del producto ( • ) que a todo elemento
de V y a todo elemento &
de
(o K) hace corresponder el elemento
.
OBSERVACIÓ
OBSERVACIÓN.- ¿Es la suma de polinomios una ley de
composició
composición interna sobre el conjunto de los polinomios de grado
exactamente 2?
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ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL
1.- Para ( + ) (operació
(operación interna) se cumple:
2.- Para ( • ) (op. externa con dominio
) se cumple:
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Los elementos de un espacio vectorial reciben el nombre genérico de
vectores y en general se utiliza la notación vectorial (
,...) para
denotarlos. Esto no es obstáculo para que en algunos casos particulares
(polinomios, matrices, funciones,...) se utilice la notación propia en cada
caso.
Los axiomas 1.- de la definición de espacio vectorial real se refieren a la
suma de vectores, los axiomas 2.- c.- y 2.- d.- se refieren exclusivamente a
la multiplicación por escalares (números reales) y las propiedades 2.- a.- y
2.- b.- son las propiedades distributivas de una operación con respecto a
otra.
A continuación presentamos varios ejemplos de espacios vectoriales. Para
comprobar que tienen estructura de espacio vectorial deberíamos ver que
se satisfacen los 8 axiomas de la definición con las operaciones suma y
producto por un escalar definidas. Este trabajo es muy sencillo y se basa
exclusivamente en propiedades de los números reales (no olvidar que
estamos trabajando, en principio, con espacios vectoriales reales). Dado
que también es una labor muy tediosa omitiremos las comprobaciones,
pero hay que insistir en que es absolutamente necesario comprobar los 8
axiomas.
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EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES
-EJEMPLO 1.conjunto de los vectores libres del espacio
$ ¿Cómo se suman dos vectores libres?
$ ¿Cómo se multiplica un vector por un número real?
$ ¿Cuál es el vector nulo?
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-EJEMPLO 2.-
$ ¿Cómo se suman dos vectores libres?
$ ¿Cómo se multiplica un vector por un número real?
$ ¿Cuál es el vector nulo?
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-EJEMPLO 3.- Conjunto de los polinomios de grado menor o
igual que n.
$ ¿Cómo se suman dos polinomios?
(coeficiente a coeficiente)
$ ¿Cómo se multiplica un polinomio por un número real?
(se multiplica cada coeficiente por el nú
número real)
$ ¿Cuál es el polinomio nulo?
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-EJEMPLO 4.- Conjunto de las funciones reales de variable
real con dominio
.
$ ¿Cómo se suman dos funciones?
$ ¿Cómo se multiplica una función por un número real?
$ ¿Cuál es la función nula?
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EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES
suma:
producto por un escalar:
vector nulo:
vector opuesto:
suma:
producto por un escalar:
vector nulo:
vector opuesto:
suma:
producto por un escalar:
vector nulo:
vector opuesto:
suma:
producto por un escalar:
vector nulo:
vector opuesto:
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Propiedades.- Sea V un e. v. real:
1.-
2.3.4.5.6.-
Al multiplicar cualquier escalar por el
vector nulo obtenemos el vector nulo.
Al multiplicar cualquier vector por el escalar
0 obtenemos el vector nulo.
7.-
Esta propiedad
no es tan obvia
como puede parecer.
8.-
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COMBINACIONES LINEALES
Sea V un espacio vectorial real:
COMBINACIÓN LINEAL.es combinación lineal de
cuando
tales que:
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COMENTARIOS.Dados los vectores
(nú
(números reales),
reales), el vector
y los escalares &1 , &2 ,..., &n
definido por:
se llama combinació
combinación lineal de los vectores :
Algunas combinaciones lineales de los vectores
El vector (2,1,1) de
(1,1,0) de
.
son, por ejemplo:
no es combinació
combinación lineal de los vectores (1,0,0) y
El polinomio x2+1 de
x3+x–
.
+x–1 , x+2 y 1 de
no es combinació
combinación lineal de los polinomios
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Para comprobar si un vector
es combinació
combinación lineal de m
vectores de
se plantea la ecuació
ecuación vectorial siguiente:
Utilizando las definiciones de las operaciones suma de vectores de
y
producto de un vector de
por un escalar realizamos la operació
operación:
Teniendo en cuenta que dos vectores de
son iguales si todas sus
componentes son iguales dos a dos, tenemos el siguiente sistema de n
ecuaciones lineales con m incó
:
incógnitas
Si el sistema es compatible determinado, entonces
es combinació
combinación
lineal de los vectores
Si el sistema es incompatible, entonces
NO es combinació
combinación lineal
de los vectores
El sistema nunca puede ser compatible indeterminado.
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25
En el espacio vectorial real
de los polinomios reales de grado menor
o igual que n se procede del mismo modo que en el espacio vectorial
real
. Tenemos que tener en cuenta que dos polinomios de grado
menor o igual que n son iguales si coinciden todos y cada uno de sus
coeficientes, incluido el té
término independiente. De este modo
tendremos un sistema de n+1 (ATENCI
ÓN!!!)
(ATENCIÓ
N!!!) ecuaciones lineales con
m incó
incógnitas.
A continuació
continuación resolvemos un par de ejercicios en los que trabajamos
con el concepto de combinació
combinación lineal de vectores en los espacios
vectoriales introducidos en los ejemplos 2 y 3 de este capí
y
capítulo:
.
Destacar que es necesario conocer las definiciones de suma de
vectores (o polinomios) y producto de un vector (o polinomio) por un
escalar. Ademá
Además tenemos que tener claro qué
qué significa que dos
vectores de
sean iguales (o que dos polinomios de
sean
iguales).
SUGERENCIA.SUGERENCIA.- Utilizar las té
técnicas de resolució
resolución de sistemas de
ecuaciones lineales conocidas (mé
(método de Gauss), que explicaremos
con detalle en el Tema 5 de este curso.
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SUBESPACIOS VECTORIALES
Algunos subconjuntos de un espacio vectorial V son a su vez espacios
vectoriales con las operaciones definidas en V.
Estos subconjuntos se denominan subespacios vectoriales.
SUBESPACIO VECTORIAL.es un subespacio vectorial de V, si es espacio vectorial con las
operaciones definidas en V.
% Subespacios vectoriales impropios
% Subespacios vectoriales propios:
propios: cualquier subespacio vectorial
de V distinto de
y V.
Antes de dar ejemplos de subespacios vectoriales, es conveniente dar dos resultados
que hacen relativamente sencillo determinar si un subconjunto S de V es
subespacio vectorial de V.
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27
Para demostrar que ' ( S ) V es subespacio vectorial de V, NO
ES NECESARIO comprobar los 8 axiomas de la definició
definición de
espacio vectorial.
• Un subconjunto S no vacío de V es s.v. de V si y sólo si
cumple:
• Un subconjunto S no vacío de V es s.v. de V si y sólo si
cumple:
Para demostrar que S ) V es subespacio vectorial de V, basta con
comprobar que es un subconjunto no vací
vacío (pues todo espacio vectorial
ha de contener al menos el vector nulo, luego es conveniente comprobar
que el vector nulo es un vector de S) y que S es cerrado bajo las
operaciones suma de vectores y producto por un escalar.
escalar. El resto de las
propiedades son “heredadas”
heredadas” por S. Esto es lo que significan las dos
caracterizaciones de subespacio vectorial que acabamos de enunciar.
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28
En la pr
áctica, para demostrar que
práctica,
S NO es s. v. de V
o
!
Basta con comprobar
una de estas tres cosas
!
o
!
Presentaremos a continuación algunos ejemplos de conjuntos con dos
operaciones (suma y producto por un escalar) que no tienen estructura de
espacio vectorial. Para demostrar que un conjunto no es espacio vectorial es
suficiente comprobar que no satisface alguno de los ocho axiomas de la
definición, pero basta con comprobar una de las tres condiciones arriba
mencionadas.
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29
-EJEMPLO 1.- El conjunto de los números enteros no tiene
estructura de espacio vectorial con las operaciones habituales
de suma y producto por un escalar real.
El conjunto de todos los números enteros con las operaciones normales de
suma y producto por un escalar no tiene estructura de espacio vectorial, ya
que el producto no es una operación cerrada.
0.5*1 = 0.5
escalar
entero no entero
-EJEMPLO 2.- El conjunto de los polinomios de grado
exactamente 2 no tiene estructura de espacio vectorial.
El conjunto de los polinomios de grado exactamente 2 no tiene estructura
de espacio vectorial, ya que la suma no es una operación cerrada.
p(x) = x2
q(x) = -x2+x+1
son polinomios de grado 2, pero su suma es un
polinomio de primer grado
p(x) + q(x) = x+1
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30
INTERSECCIÓN DE SUBESPACIOS VECTORIALES.Si S , T son subespacios vectoriales de V, entonces:
1. S $ T es subespacio vectorial de V.
2. S $ T es el mayor de todos los subespacios vectoriales
de V incluidos en S y T.
La unió
unión de subespacios vectoriales de V
no es necesariamente un subespacio vectorial de V.
V.
En el siguiente apartado veremos una manera de encontrar y construir
subespacios de un espacio vectorial V. Este mé
método nos será
será de gran
utilidad para demostrar, sin emplear las caracterizaciones de subespacio
vectorial del apartado anterior, que un subconjunto no vací
vacío de un
espacio vectorial V es un subespacio vectorial de V.
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31
SUBESPACIO VECTORIAL ENGENDRADO
POR UNA PARTE FINITA DE UN E. V.
Sea V un espacio vectorial real.
Sea G un conjunto (no vacío) de vectores de V:
Definimos
como el conjunto formado por todas las
combinaciones lineales de los vectores:
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32
-Ejemplos.-
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33
SUBESPACIO VECTORIAL ENGENDRADO POR
UNA COLECCIÓN FINITA DE VECTORES DE V.-
!
!
En un mismo subespacio vectorial es posible encontrar
distintos sistemas de generadores
!
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34
¿Cómo encontrar distintos sistemas de generadores
de un subespacio vectorial?
¿Cómo demostrar que S es s.v. de V?
?
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35
-EJEMPLO- Demostrar que
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36
Algoritmo para hallar una base del
subespacio vectorial engendrado por una
familia G de vectores
Sea
vectorial
. Para hall
ar una base del subespacio
hallar
podemos proceder del modo siguiente:
1.- Formar la matriz A de r filas y n columnas con los vectores
de G como filas.
2.- Realizar operaciones elementales de fila hasta llegar a una
matriz B escalonada y equivalente a la matriz A.
3.- Las filas no nulas de B constituyen una base del subespacio
engendrado por G.
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37
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
En el estudio del Álgebra Lineal, una de las ideas centrales es la
de dependencia o independencia lineal entre vectores.
Podemos plantearnos la siguiente pregunta. ¿Existe una
relació
y
?
relación especial entre los vectores
, o escrito de otro modo:
Es decir, el vector nulo se puede escribir como una
combinación no trivial de
y
. En este caso se dice que
los vectores son linealmente dependientes. En general, se
tienen las siguientes definiciones:
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SISTEMA LIBRE. SISTEMA LIGADO.es un sistema libre (o son
vectores linealmente independientes) si:
es un sistema ligado (o son
vectores linealmente dependientes) si:
A continuació
continuación enunciamos algunas propiedades de los
sistemas libres y ligados que nos pueden resultar útiles má
más
adelante.
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39
PROPIEDADES.-
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40
Las consecuencias siguientes son resultados que se demuestran de forma
inmediata a partir de los conceptos de sistema libre de vectores y sistema
ligado de vectores.
1. Todos los vectores de un sistema libre son no nulos.
2.
3.
4.
Si un sistema de vectores contiene al vector nulo, entonces
es un sistema ligado.
sistema libre sii
Un sistema de dos vectores es un sistema ligado si y sólo si
uno de los vectores es “múltiplo” del otro.
5. Si a un sistema ligado se le añaden nuevos vectores, resulta
otro sistema ligado.
6. Todo subconjunto de un sistema libre es un sistema libre.
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41
PRUEBAS PARA LA DEPENDENCIA LINEAL
La consecuencia 3.- nos permite decir cuando un conjunto
formado por un único vector de un espacio vectorial V es un
sistema libre y cuando es un sistema ligado.
Del mismo modo, la consecuencia 4.- es una condició
condición necesaria
y suficiente para que una familia formada por dos vectores de un
espacio vectorial V sea linealmente dependiente.
Cuando disponemos de una colecció
colección de má
más de dos vectores
tendremos que recurrir necesariamente, en principio, a la
definició
definición para demostrar que se trata de un sistema libre o un
sistema ligado.
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42
Para comprobar si una familia de vectores es linealmente
dependiente o linealmente independiente vamos a utilizar, en
muchos casos, el concepto de rango de una matriz.
Hablaremos de rango de una matriz en un tema posterior, pero
como es un concepto que muchos alumnos ya conocen,
conviene decir que, en general, resulta má
más có
cómodo y má
más
sencillo estudiar la dependencia o independencia lineal de
una familia de vectores utilizando el concepto de rango de una
matriz.
A partir del momento en el que definimos el concepto de
rango de una matriz resolveremos ejercicios de sistemas
libres y ligados utilizando la idea del rango de una matriz.
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43
BASES Y DIMENSIÓN DE UN
ESPACIO VECTORIAL
En este apartado presentaremos el concepto fundamental de una base de un
espacio vectorial. Como veremos, una base es un conjunto generador
“eficiente” que no contiene vectores innecesarios. De hecho, se puede
construir una base a partir de un conjunto generador desechando algunos
vectores innecesarios. Además, conocer una base de un espacio vectorial es
muy útil para comprender el espacio y sus propiedades.
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL.-
es una base del e.v. real V si:
B s. libre
B s. generador de V
Fundamentos Matemáticos II Electrónicos 01,16 Curso 2006-07
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-EJEMPLOS DE BASES.-EJEMPLO 1.-
base canónica
-EJEMPLO 2.-
base canónica
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EXISTENCIA DE BASES.Todo e.v. V engendrado por un sistema de generadores finito
tiene al menos una base.
Todas las bases del e.v. V
elementos. Entonces:
poseen el mismo número de
DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL.El número de elementos que posee una base cualquiera de un
e.v. V , recibe el nombre de dimensión del e.v. V (dim V).
Esta informació
información resulta muy útil
como se verá
verá posteriormente
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-CONSECUENCIAS.Si V es un e.v. con dim V = n, entonces:
En un espacio vectorial de dimensió
dimensión n no puede haber má
más de n vectores linealmente independientes
n vectores l.i. de un e.v. V de dimensió
dimensión n constituyen una base de V
Un s.g. de n vectores de un e.v. V de dimensió
dimensión n constituye una base de V
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Dos perspectivas de una base
Cuando se usa el teorema de la reducció
reducción de un conjunto generador, la
eliminació
eliminación de vectores de un conjunto generador debe terminar cuando el
conjunto generador resulta linealmente independiente. Si se elimina otro vector,
no será
será combinació
combinación lineal de los vectores restantes y por lo tanto el conjunto
resultante ya no generará
generará el mismo espacio vectorial V.
Una base tambié
también es un conjunto linealmente independiente que es lo má
más
grande posible. Si B es una base de V y si B se agranda con un vector,
digamos
, de V, entonces el nuevo conjunto ya no puede ser linealmente
independiente, porque B genera V y
es por lo tanto una combinació
combinación
lineal de los vectores de B.
Ejemplo.- Los siguientes tres conjuntos de
muestran có
cómo un conjunto
linealmente independiente de dos vectores de
puede agrandarse para
formar una base de
y có
cómo un agrandamiento adicional destruye la
independencia lineal del conjunto. Este mismo ejemplo lo podemos ver desde
otra perspectiva: Un conjunto generador de
formado por 4 vectores puede
encogerse para dar una base, pero una contracció
contracción adicional destruye la
propiedad de ser generador.
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Cuando se conoce la dimensió
dimensión de un espacio o
subespacio vectorial, la bú
búsqueda de una base se
simplifica con el resultado que damos a continuació
continuación,
que dice que si un conjunto tiene el nú
número correcto de
elementos, entonces basta con demostrar que el conjunto
es linealmente independiente o bien que genera el
espacio. El teorema es de importancia crí
crítica en
numerosos problemas de aplicaciones (que tienen que
ver con ecuaciones diferenciales o en diferencias, por
ejemplo) donde la independencia lineal es mucho má
más
fácil de comprobar que la propiedad de generar.
Según la consecuencia 3.-, conocida la dimensión de un e.v.
V (
,
), ¿cómo encontrar una
base B de V?:
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COORDENADAS DE UN VECTOR
Sea V e.v. real con
base de V.
únicos tales que:
A los escalares (únicos)
llama coordenadas del vector
se les
en la base B.
Hallar las coordenadas del vector
• en la base canó
canónica de
• en la base
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de
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DIMENSIÓN DE UN SUBESPACIO
VECTORIAL
Sea S s.v. de V y
B base de S si
: número de elementos de una base de S
Si dim V = n, y S es un s.v. de V, entonces:
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¿Cómo encontrar una base B de un subespacio vectorial S?
B = G es s.g. de S
Hay que demostrar que B = G es s. libre
¿Cómo encontrar una base B de un espacio vectorial V?
Para encontrar una base de
vectores l.i. de
, pues
, basta con hallar n
Para hallar una base de
, basta con hallar n + 1
polinomios l.i. de
, pues
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RANGO DE UN SISTEMA DE VECTORES
Sea V espacio vectorial real y F una colecció
colección de vectores de V.
Se llama rango de F ( r ( F ) ) al número máximo de
vectores linealmente independientes de F.
Volveremos a estudiar el concepto de rango de una familia de vectores dentro del
marco de la teorí
teoría de matrices. Esto nos permitirá
permitirá desarrollar mé
métodos má
más
eficientes para calcular el rango de una familia de vectores y tambié
también para hallar
una base de un subespacio vectorial generado por una familia de vectores.
Si F es un subconjunto del e.v. V que consta de m vectores y dim V = n
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Conceptos
preliminares
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ESPACIO VECTORIAL
ESCALAR
VECTOR
Coordenadas
DEPENDENCIA LINEAL
INDEPENDENCIA LINEAL
SISTEMA GENERADOR
Resultados interesantes
Relación
Concepto
Condiciones
SUBESPACIO VECTORIAL
COMBINACIÓN LINEAL
BASE
Dimensión de un
espacio vectorial
Dimensión de un
subespacio vectorial
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Concepto
Ejemplos básicos
Condiciones
Propiedades
S. V. PROPIO
S. V. IMPROPIO
Resultados interesantes
COORDENADAS
Resultados interesantes
Rango de un sistema
de vectores
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