Clase Coloreo 1 - FCEIA - Universidad Nacional de Rosario

C AP ÍTULO 3: C OLOREO DE GRAFOS
Pablo Torres
Facultad de Ciencias Exactas, Ingenierı́a y Agrimensura - Universidad Nacional de Rosario
Asignatura: Tópicos Avanzados en Teorı́a de Grafos
I NTRODUCCI ÓN
I NTRODUCCI ÓN
Conjetura de los 4 colores [Hnos. Guthrie, 1852]
4 colores son suficientes para colorear cualquier mapa de modo tal
que regiones limı́trofes (i.e. regiones con un segmento en común, no
solo un punto) posean distinto color.
I NTRODUCCI ÓN
I NTRODUCCI ÓN
I NTRODUCCI ÓN
I NTRODUCCI ÓN
I NTRODUCCI ÓN
I NTRODUCCI ÓN
I NTRODUCCI ÓN
I NTRODUCCI ÓN
Conjetura de los 4 colores [Hnos. Guthrie, 1852]
4 colores son suficientes para colorear cualquier mapa de modo tal
que regiones limı́trofes (i.e. regiones con un segmento en común, no
solo un punto) posean distinto color.
I NTRODUCCI ÓN
Conjetura de los 4 colores [Hnos. Guthrie, 1852]
4 colores son suficientes para colorear cualquier mapa de modo tal
que regiones limı́trofes (i.e. regiones con un segmento en común, no
solo un punto) posean distinto color.
Equivalentemente,
Conjetura de los 4 colores [Hnos. Guthrie, 1852]
Todo grafo planar puede ser coloreado con a lo sumo 4 colores.
I NTRODUCCI ÓN
Conjetura de los 4 colores [Hnos. Guthrie, 1852]
Todo grafo planar puede ser coloreado con a lo sumo 4 colores.
1852: Los Hnos. Guthrie plantean el problema a Augusts De Morgan (University
College London).
De Morgan consulta a Sir William Hamilton (Dublin).
I am not likely to attempt your quaternion of colors very soon.
I NTRODUCCI ÓN
Conjetura de los 4 colores [Hnos. Guthrie, 1852]
Todo grafo planar puede ser coloreado con a lo sumo 4 colores.
1852: Los Hnos. Guthrie plantean el problema a Augusts De Morgan (University
College London).
De Morgan consulta a Sir William Hamilton (Dublin).
I am not likely to attempt your quaternion of colors very soon.
Primera publicación Arthur Cayley, On the colorings of maps, Proc. Royal
Geographical Society 1, 259-261, 1879.
I NTRODUCCI ÓN
Teorema de los 4 colores
Todo grafo planar puede ser coloreado con a lo sumo 4 colores.
1852: Los Hnos. Guthrie plantean el problema a Augusts De Morgan (University
College London).
De Morgan consulta a Sir William Hamilton (Dublin).
I am not likely to attempt your quaternion of colors very soon.
Primera publicación Arthur Cayley, On the colorings of maps, Proc. Royal
Geographical Society 1, 259-261, 1879.
1879: Alfred Bray Kempe publica una prueba de la Conjetura (American Journal
of Mathematics).
I NTRODUCCI ÓN
Conjetura de los 4 colores [Hnos. Guthrie, 1852]
Todo grafo planar puede ser coloreado con a lo sumo 4 colores.
1852: Los Hnos. Guthrie plantean el problema a Augusts De Morgan (University
College London).
De Morgan consulta a Sir William Hamilton (Dublin).
I am not likely to attempt your quaternion of colors very soon.
Primera publicación Arthur Cayley, On the colorings of maps, Proc. Royal
Geographical Society 1, 259-261, 1879.
1879: Alfred Bray Kempe publica una prueba de la Conjetura (American Journal
of Mathematics).
1890: Percy John Heawood muestra que la prueba era incorrecta. Con la misma
idea se prueba que los grafos planares son 5-coloreables.
I NTRODUCCI ÓN
Teorema de los 4 colores
Todo grafo planar puede ser coloreado con a lo sumo 4 colores.
1852: Los Hnos. Guthrie plantean el problema a Augusts De Morgan (University
College London).
De Morgan consulta a Sir William Hamilton (Dublin).
I am not likely to attempt your quaternion of colors very soon.
Primera publicación Arthur Cayley, On the colorings of maps, Proc. Royal
Geographical Society 1, 259-261, 1879.
1879: Alfred Bray Kempe publica una prueba de la Conjetura (American Journal
of Mathematics).
1890: Percy John Heawood muestra que la prueba era incorrecta. Con la misma
idea se prueba que los grafos planares son 5-coloreables.
1977: demostración computacional de Kenneth Appel y Wolfgang Haken
(University of Illinois).
I NTRODUCCI ÓN
Teorema de los 4 colores
Todo grafo planar puede ser coloreado con a lo sumo 4 colores.
1852: Los Hnos. Guthrie plantean el problema a Augusts De Morgan (University
College London).
De Morgan consulta a Sir William Hamilton (Dublin).
I am not likely to attempt your quaternion of colors very soon.
Primera publicación Arthur Cayley, On the colorings of maps, Proc. Royal
Geographical Society 1, 259-261, 1879.
1879: Alfred Bray Kempe publica una prueba de la Conjetura (American Journal
of Mathematics).
1890: Percy John Heawood muestra que la prueba era incorrecta. Con la misma
idea se prueba que los grafos planares son 5-coloreables.
1977: demostración computacional de Kenneth Appel y Wolfgang Haken
(University of Illinois).
1997: N. Robertson, D. P. Sanders, P. D. Seymour and R. Thomas, The four
color theorem, J. Combin. Theory Ser. B. 70 (1997), 2-44.
C OLOREO DE GRAFOS
Definición: Un k-coloreo de un grafo G es una función
f : V(G) 7→ {1, . . . , k} tal que
f (u) = f (v) = i =⇒ uv ∈
/ E(G).
1
2
3
4
1
2
C OLOREO DE GRAFOS
Definición: Un k-coloreo de un grafo G es una función
f : V(G) 7→ {1, . . . , k} tal que
f (u) = f (v) = i =⇒ uv ∈
/ E(G).
1
3
1
2
3
2
C OLOREO DE GRAFOS
Definición: Un k-coloreo de un grafo G es una función
f : V(G) 7→ {1, . . . , k} tal que
f (u) = f (v) = i =⇒ uv ∈
/ E(G).
1
3
1
2
3
2
χ(G) = mı́n{k : G admite un k-coloreo}
C OLOREO DE GRAFOS
Definición: Un k-coloreo de un grafo G es una función
f : V(G) 7→ {1, . . . , k} tal que
f (u) = f (v) = i =⇒ uv ∈
/ E(G).
1
3
1
2
3
2
χ(G) = 3
χ(G) = mı́n{k : G admite un k-coloreo}
C OLOREO DE GRAFOS
Definición: Un k-coloreo de un grafo G es una función
f : V(G) 7→ {1, . . . , k} tal que
f (u) = f (v) = i =⇒ uv ∈
/ E(G).
1
3
1
2
3
2
χ(G) = 3
χ(G) = mı́n{k : G admite un k-coloreo}
Un grafo G se dice color-crı́tico o χ(G)-crı́tico si para todo v ∈ V(G),
χ(G − v) < χ(G).
A PLICACIONES
En un aeropuerto existen 4 instalaciones que son destinadas al mantenimiento de los
aeroplanos (i.e. a lo sumo 4 aeroplanos pueden ser atendidos al mismo tiempo).
Estas instalaciones se encuentran operables de 7 : 00 a 19 : 00 hrs. Realizar el
mantenimiento requiere de tres horas por cada aeroplano. En un dı́a particular 12
aerolanos necesitan mantenimiento en los periodos indicados:
P1 : 11 : 00 − 14 : 00; P2 : 15 : 00 18 : 00; P3 : 8 : 00 − 11 : 00; P4 : 13 : 30 − 16 : 30;
P5 : 13 : 00 − 16 : 00; P6 : 14 : 00 − 17 : 00; P7 : 9 : 30 − 12 : 30; P8 : 7 : 00 − 10 : 00;
P9 : 12 : 00 − 15 : 00; P10 : 16 : 00 − 19 : 00; P11 : 10 : 00 − 13 : 00; P12 : 9 : 00 − 12 : 00.
¿Pueden realizarse todas las tareas de mantenimiento?
A PLICACIONES
P12
P1
P11
P2
P3
P10
P4
P9
P8
P5
P7
P6
A PLICACIONES
P12
P1
4
1
P11 3
P10
2
P9
4
P2
4
1
P3
3
3
P8
2
2
P7
1
P6
P5
P4
C OTAS DEL N ÚMERO CROM ÁTICO
n = |V(G)|, m = |E(G)|, δ (G): grado mı́nimo de G,
α(G): número de estabilidad de G, ω(G): número de clique de G,
C OTAS DEL N ÚMERO CROM ÁTICO
n = |V(G)|, m = |E(G)|, δ (G): grado mı́nimo de G,
α(G): número de estabilidad de G, ω(G): número de clique de G,
ω(G) ≤ χ(G) ≤ n.
χ(G)α(G) ≥ n.
χ(G)(n − δ (G)) ≥ n.
C OTAS DEL N ÚMERO CROM ÁTICO
n = |V(G)|, m = |E(G)|, δ (G): grado mı́nimo de G,
α(G): número de estabilidad de G, ω(G): número de clique de G,
ω(G) ≤ χ(G) ≤ n.
χ(G)α(G) ≥ n.
χ(G)(n − δ (G)) ≥ n.
χ(G) ≤ n + 1 − α(G).
q
χ(G) ≤ 12 + 2m + 14 .
χ(G) ≤ 1 + máx{δ (G0 ) : G0 ⊆ G}.
C OTAS DEL N ÚMERO CROM ÁTICO
T EOREMA
Para todo grafo k-crı́tico, con k ≥ 2, es (k − 1)-arista conexo.
C OTAS DEL N ÚMERO CROM ÁTICO
T EOREMA
Para todo grafo k-crı́tico, con k ≥ 2, es (k − 1)-arista conexo.
C OROLARIO
Si G es color crı́tico, χ(G) ≤ 1 + δ (G).
C OTAS DEL N ÚMERO CROM ÁTICO
T EOREMA
Para todo grafo k-crı́tico, con k ≥ 2, es (k − 1)-arista conexo.
C OROLARIO
Si G es color crı́tico, χ(G) ≤ 1 + δ (G).
T EOREMA (B. R EED , 1998)
Para todo grafo G de orden n se verifica,
n + ω(G)
χ(G) ≤
.
2
C OTAS DE χ(G)
T EOREMA (N ORDHAUS -G ADDUM , 1956)
Si G es un grafo de orden n entonces,
√
1 2
n ≤ χ(G) + χ(G) ≤ n + 1,
2
2 n ≤ χ(G).χ(G) ≤ n+1
.
2
C OTAS DE χ(G)
T EOREMA (N ORDHAUS -G ADDUM , 1956)
Si G es un grafo de orden n entonces,
√
1 2
n ≤ χ(G) + χ(G) ≤ n + 1,
2
2 n ≤ χ(G).χ(G) ≤ n+1
.
2
T EOREMA
Sea n un entero positivo. Para todo par de números enteros a, b tales
que
√
n+1 2
2 n ≤ a + b ≤ n + 1 ∧ n ≤ a.b ≤
,
2
existe un grafo G de orden n tal que
χ(G) = a ∧ χ(G) = b.
C OTAS : A LGORITMO G REEDY
Dado un grafo G y un orden de sus vértices v1 , v2 , . . . , vn , el algoritmo
greedy colorea los vértices en el orden dado asignando a vi el menor
color aún no utilizado en sus vértices vecinos de menor ı́ndice.
C OTAS : A LGORITMO G REEDY
Dado un grafo G y un orden de sus vértices v1 , v2 , . . . , vn , el algoritmo
greedy colorea los vértices en el orden dado asignando a vi el menor
color aún no utilizado en sus vértices vecinos de menor ı́ndice.
a
b
c
e
Orden: a, b, c, d, e:
a, b → 1, c → 2, d → 3, e → 4.
d
C OTAS : A LGORITMO G REEDY
Dado un grafo G y un orden de sus vértices v1 , v2 , . . . , vn , el algoritmo
greedy colorea los vértices en el orden dado asignando a vi el menor
color aún no utilizado en sus vértices vecinos de menor ı́ndice.
a
b
c
e
Orden: a, b, c, d, e:
a, b → 1, c → 2, d → 3, e → 4.
Orden: a, d, b, c, e:
a, d → 1, b, e → 2, c → 3.
d
C OTAS : A LGORITMO G REEDY
Dado un grafo G y un orden de sus vértices v1 , v2 , . . . , vn , el algoritmo
greedy colorea los vértices en el orden dado asignando a vi el menor
color aún no utilizado en sus vértices vecinos de menor ı́ndice.
χ(G) ≤ 1 + ∆(G).
C OTAS : A LGORITMO G REEDY
Dado un grafo G y un orden de sus vértices v1 , v2 , . . . , vn , el algoritmo
greedy colorea los vértices en el orden dado asignando a vi el menor
color aún no utilizado en sus vértices vecinos de menor ı́ndice.
χ(G) ≤ 1 + ∆(G).
Si G tiene la secuencia de grados d1 ≥ d2 ≥ · · · ≥ dn entonces
χ(G) ≤ 1 + máx1≤i≤n mı́n{di , i − 1}.
C OTAS DE χ(G): T EOREMA DE B ROOKS
Para todo k ≥ 1,
χ(C2k+1 ) = 3 = ∆(C2k+1 ) + 1,
C OTAS DE χ(G): T EOREMA DE B ROOKS
Para todo k ≥ 1,
χ(C2k+1 ) = 3 = ∆(C2k+1 ) + 1,
χ(Kk ) = k = ∆(Kk ) + 1.
C OTAS DE χ(G): T EOREMA DE B ROOKS
Para todo k ≥ 1,
χ(C2k+1 ) = 3 = ∆(C2k+1 ) + 1,
χ(Kk ) = k = ∆(Kk ) + 1.
T EOREMA (B ROOKS , 1841)
Si G es un grafo conexo que no es un ciclo impar o un grafo completo,
entonces
χ(G) ≤ ∆(G).
C OTAS DE χ(G): T EOREMA DE B ROOKS
Para todo k ≥ 1,
χ(C2k+1 ) = 3 = ∆(C2k+1 ) + 1,
χ(Kk ) = k = ∆(Kk ) + 1.
T EOREMA (B ROOKS , 1841)
Si G es un grafo conexo que no es un ciclo impar o un grafo completo,
entonces
χ(G) ≤ ∆(G).
Prueba:
[Lovász, 1975]
C OTAS DE χ(G).
Los únicos grafos k-crı́ticos (k − 1)-regulares son los ciclos
impares y los grafos completos.
C OTAS DE χ(G).
Los únicos grafos k-crı́ticos (k − 1)-regulares son los ciclos
impares y los grafos completos.
Conjetura[Borodin y Kostochka, 1977]: Si ω(G) < ∆(G) y ∆(G) ≥ 9
entonces χ(G) < ∆(G).
C OTAS DE χ(G).
Los únicos grafos k-crı́ticos (k − 1)-regulares son los ciclos
impares y los grafos completos.
Conjetura[Borodin y Kostochka, 1977]: Si ω(G) < ∆(G) y ∆(G) ≥ 9
entonces χ(G) < ∆(G).
La conjetura es cierta para ∆(G) ≥ 1014 [B. Reed, 1999].
C OTAS DE χ(G).
Los únicos grafos k-crı́ticos (k − 1)-regulares son los ciclos
impares y los grafos completos.
Conjetura[Borodin y Kostochka, 1977]: Si ω(G) < ∆(G) y ∆(G) ≥ 9
entonces χ(G) < ∆(G).
La conjetura es cierta para ∆(G) ≥ 1014 [B. Reed, 1999].
ω(G) ≤ χ(G) ≤ n.
C OTAS DE χ(G).
Los únicos grafos k-crı́ticos (k − 1)-regulares son los ciclos
impares y los grafos completos.
Conjetura[Borodin y Kostochka, 1977]: Si ω(G) < ∆(G) y ∆(G) ≥ 9
entonces χ(G) < ∆(G).
La conjetura es cierta para ∆(G) ≥ 1014 [B. Reed, 1999].
ω(G) ≤ χ(G) ≤ n.
χ(G) ≤
ω(G)+n
.
2
C OTAS DE χ(G).
Los únicos grafos k-crı́ticos (k − 1)-regulares son los ciclos
impares y los grafos completos.
Conjetura[Borodin y Kostochka, 1977]: Si ω(G) < ∆(G) y ∆(G) ≥ 9
entonces χ(G) < ∆(G).
La conjetura es cierta para ∆(G) ≥ 1014 [B. Reed, 1999].
ω(G) ≤ χ(G) ≤ n.
χ(G) ≤
ω(G)+n
.
2
ω(G) ≤ χ(G) ≤ n + 1 − α(G).
C OTAS DE χ(G).
Los únicos grafos k-crı́ticos (k − 1)-regulares son los ciclos
impares y los grafos completos.
Conjetura[Borodin y Kostochka, 1977]: Si ω(G) < ∆(G) y ∆(G) ≥ 9
entonces χ(G) < ∆(G).
La conjetura es cierta para ∆(G) ≥ 1014 [B. Reed, 1999].
ω(G) ≤ χ(G) ≤ n.
χ(G) ≤
ω(G)+n
.
2
ω(G) ≤ χ(G) ≤ n + 1 − α(G).
χ(G) ≤
ω(G)+n+1−α(G)
2
[Brigham y Dutton, 1985].
C OTAS DE χ(G).
Los únicos grafos k-crı́ticos (k − 1)-regulares son los ciclos
impares y los grafos completos.
Conjetura[Borodin y Kostochka, 1977]: Si ω(G) < ∆(G) y ∆(G) ≥ 9
entonces χ(G) < ∆(G).
La conjetura es cierta para ∆(G) ≥ 1014 [B. Reed, 1999].
ω(G) ≤ χ(G) ≤ n.
χ(G) ≤
ω(G)+n
.
2
ω(G) ≤ χ(G) ≤ n + 1 − α(G).
χ(G) ≤
ω(G)+n+1−α(G)
2
[Brigham y Dutton, 1985].
ω(G) ≤ χ(G) ≤ 1 + ∆(G).
C OTAS DE χ(G).
Los únicos grafos k-crı́ticos (k − 1)-regulares son los ciclos
impares y los grafos completos.
Conjetura[Borodin y Kostochka, 1977]: Si ω(G) < ∆(G) y ∆(G) ≥ 9
entonces χ(G) < ∆(G).
La conjetura es cierta para ∆(G) ≥ 1014 [B. Reed, 1999].
ω(G) ≤ χ(G) ≤ n.
χ(G) ≤
ω(G)+n
.
2
ω(G) ≤ χ(G) ≤ n + 1 − α(G).
χ(G) ≤
ω(G)+n+1−α(G)
2
[Brigham y Dutton, 1985].
ω(G) ≤ χ(G) ≤ 1 + ∆(G).
Conjetura[B. Reed, 1998]: χ(G) ≤
ω(G)+1+∆(G)
.
2