p ρ2 ρ1 l1 l2 g - Departament de Física Aplicada

FÍSICA Plan 95
Primer Examen Parcial
Departamento de Fı́sica Aplicada
21 12 2006
1. Problema
Unimos dos cuerdas de densidades ρ1 y ρ2 y las colgamos tal y como indica la Figura 1. La cuerda inferior
tiene una longitud `1 y su extremo inferior no está fijado al suelo, mientras que su otro extremo está unido
a la otra cuerda por el punto p. A su vez, la cuerda superior de longitud `2 se fija al techo por arriba.
(a) Determinar la tensión, T (y), en cualquier punto de las cuerdas. ¿Es T (y) continua en p?.
(b) Utilizando la expresión de la velocidad de propagación de las ondas transversales en una cuerda con
tensión uniforme, determinar la velocidad que tendrı́a un pulso de onda en cada una de las cuerdas.
En el instante t = 0, generamos un pulso de onda de amplitud AI en el extremo o de la cuerda inferior
(Figura 2a). Dicho pulso se propaga hacia arriba hasta llegar al punto de unión p. Suponiendo ahora
que la cuerda de arriba tiene densidad ρ2 = ρ1 /2:
PSfrag
replacements
(c) determinar el instante t1 en el cual dicho
pulso
llega a p.
(d) determinar las amplitudes AR y AT de los pulsos reflejado y transmitido, respectivamente, representados en la Figura 2b.
Posteriormente, los pulsos reflejado y transmitido se propagan hacia el punto o y hacia el punto q,
respectivamente, reflejándose ambos en los extremos, para después volver a p.
PSfrag replacements
(e) Determinar la longitud `2 para que ambos pulsos lleguen a 34 p de forma simultánea y calcúlese las
amplitudes de las ondas resultantes en las dos cuerdas inmediatamente después de que eso suceda.
ρ1
únicamente en los apartados c) d) y e). La constante gravitatoria g se supone
Aclaración: ρ2 =
2
conocida. Se suponen válidas las relaciones de TA y RA pese a que Z1 y Z2 no son uniformes.
0
0.5
1
1.5
0.5
1
y = ` 1 + `2
1.5
2
2
2.5
3
2.5
3
3.5
`2
3.5
0
ρ2
0
0.5
0.5
1
2.5
3
3.5
4
ρ1
y=0
Figura 1
~g
ρ2
`2
1
1.5
p
1.5
2
q
~g
`1
p
2
2.5
3
3.5
4
`1
ρ1
(a)
o
Figura2
(b)
2. Problema
Se tiene un ciclo rectangular como el de la figura 3, recorrido por n moles de un gas ideal. La temperatura
mı́nima la alcanza en el punto a, (p0 , 2V0 ), y vale 2 T0 . La temperatura máxima la alcanza en el punto
c y vale 18 T0 . Los puntos a y c se pueden unir por una recta, cuya prolongación pasa por el origen del
plano p V .
(a) Calcular las presiones, volúmenes y temperaturas de los puntos b, c y d.
(b) Calcular los calores intercambiados en los tramos rectos a → b, b → c, c → d y d → a.
(c) Se quiere construir una nevera, que extraiga calor de un foco frio a la temperatura del punto a y
lo entregue a un foco caliente a la temperatura del punto c. Calcular la variación de entropı́a del
universo originada por la nevera y las fuentes térmicas. Interpretar el resultado.
(d) Se quiere construir un motor térmico, que extraiga calor de un foco caliente a la temperatura del
punto c y lo entregue a un foco frio a la temperatura del punto a. Calcular su rendimiento térmico
y calcular su diferencia con el rendimiento de un motor reversible de Carnot, que trabaje entre las
mismas temperaturas.
(e) Calcular la variación de entropı́a del universo originada por el motor y las fuentes térmicas.
p
b
c
p0
a
d
V
2V0
Figura 3
Soluciones de los problemas
1. Problema
(a) Para determinar la tensión en un punto arbitrario a altura y (con 0 ≤ y ≤ `1 + `2 ) , consideramos el
peso del tramo que queda por debajo de ese punto. De este modo
T (y) =
(
ρ1 yg
[ρ1 `1 + ρ2 (y − `1 )]g
y ∈ [0, `1 ),
.
y ∈ (`1 , `1 + `2 ]
La tensión es contı́nua en el punto p, dado que
lim T (y) = lim ρ1 yg = ρ1 `1 g = lim+ T (y) = lim [ρ1 `1 + ρ2 (y − `1 )]g .
y→`−
1
y→`1
y→`1
y→`1
(b) Para una cuerda de densidad ρ con tensión uniforme T , velocidad de propagación de las ondas
transversales es c = (T /ρ)1/2 . Luego, en primera aproximación, y localmente en cada punto de las
dos cuerdas, la velocidad será:
√
y ∈ [0, `1 ),

sgy
¶
µ
c(y) =
.
ρ1 − ρ2

y ∈ (`1 , `1 + `2 ]
 g y + `1
ρ2
(c) El pulso se desplaza a una velocidad que depende del punto arbitrario de altura y sobre la cuerda de
densidad ρ1 . Por lo tanto, la ecuación que determina la posición del pulso en función del tiempo se
obtiene integrando la de su velocidad local. De este modo, el tiempo t1 que tarda el pulso en llegar
a p es:
Z t1
Z `1
¤ t1
dy
−1/2
1/2
−1/2
1/2
g 1/2 dt = g 1/2 0 →
y
dy =
= c(y) = (gy)
→y
dy = g dt →
dt
0
0
s
`1
t1 = 2
g
(d) Los coeficientes de transmisión y reflexión vienen dados por las expresiones,
√
√
√
2 ρ1 T1
ρ 1 T1 − ρ 2 T2
√
√
RA = √
, TA = √
.
ρ 1 T1 + ρ 2 T2
ρ 1 T1 + ρ 2 T2
Las tensiones T1 y T2 deben calcularse en el punto en el que se produce el cambio de medio (punto
p), es decir, en y = `1 ,
T1 (`1 ) = T2 (`1 ) = gρ1 `1 (por continuidad de la función),
y las tensiones se simplifican en numerador y denominador. Teniendo en cuenta ahora que ρ 2 = ρ1 /2,
los factores de transmisión-reflexión son,
√
√
√
√
2−1
2 2
= 2(2 − 2).
RA = √
= 3 − 2 2, TA = √
2+1
2+1
Por lo tanto,
√
AR = (3 − 2 2)AI
y
AT = 2(2 −
√
2)AI .
(e) El tiempo t2 que tarda el pulso transmitido en llegar a q lo determinamos de la misma forma que
en el apartado (c), teniendo ahora en cuenta que el pulso se desplaza por la cuerda de densidad
ρ2 = ρ1 /2:
p
dy
= c(y) = g(y + `1 ) → (`1 + y)−1/2 dy = g 1/2 dt.
dt
La diferencia radica ahora en que debemos integrar entre p y q, es decir, entre y = ` 1 e y = `1 + `2 :
Z `1 +`2
Z t2
p ´
2 ³p
2`1 + `2 − 2`1 .
y −1/2 dy =
g −1/2 dt. → t2 = √
g
`1
0
La condición de simultaneidad impone que t1 = t2 , para que ambos pulsos coincidan de nuevo en p,
luego:
p
p
p
√
t1 = t2 ⇒ 2`1 + `2 − 2`1 = `1 → `2 = `1 (1 + 2 2) .
Para determinar las amplitudes resultantes en las dos cuerdas debemos tener en cuenta que cualquier
pulso reflejado en el extremo de la cuerda inferior (libre) no cambia de signo, y que los coeficientes
de reflexión-transmisión para el pulso que baja desde el techo son:
√
0
0
2
.
RA = −RA , TA = TA
2
La suma de las amplitudes resultantes en las cuerdas superior e inferior son:
√
0
Asup.
result. = [TA AR − RA AT ]AI = 4(10 − 7 2)AI
√
0
Ainf.
result. = [RA AR − TA AT ]AI = 3(11 − 8 2)AI
Nota: para obtener este último resultado no era necesario determinar `2 .
2. Problema
(a) Se calculan en primer lugar las variables de estado del punto c. La recta ac pasa por el origen, por
p0
tanto su ecuación es: p =
V . Comparando los datos del punto a y los del c se tiene:
2V0
p0 2V0
p0 Vc2
=
=⇒ Vc = 6V0 ⇒ pc = 3p0
36V0 T0
2T0
Para el punto b se cumple: Vb = Va = 2V0 y pb = pc = 3p0 . Por tanto: Tb = 6T0 .
Para el punto d se cumple: Vd = Vc = 6V 0 y pd = pa = p0 . Por tanto: Tc = 6T0 .
(b) Qab = nCv (Tb − Ta ) = 4nCv T0 .
Qbc = nCp (Tc − Tb ) = 12nCp T0 .
Qcd = nCv (Td − Tc ) = −12nCv T0 .
Qda = nCp (Ta − Td ) = −4nCp T0 .
(c) Si el ciclo describe una nevera, el sentido de recorrido es a → d → c → b → a.
La variación de entropı́a del ciclo es nula. La entropı́a es una función de estado.
Para calcular la variación de entropı́a del universo, hay que calcular la variación de entropı́a de cada
fuente.
La variación de entropı́a de la fuente fria, de la que absorbe calor el sistema, es:
∆Sa = −
Qad + Qdc
Qda + Qcd
Qabs
=−
=
= −6nCv − 2nCp = −8nCv − 2nR
Ta
2T0
2T0
La variación de entropı́a de la fuente caliente, a la que cede calor el sistema, es:
∆Sc = −
Qced
Qcb + Qba
Qbc + Qab
2
6
8
2
=−
=
= nCv + nCp = nCv + nR
Tc
18T0
18T0
9
9
9
3
La variación de entropı́a del universo vale:
∆S = ∆Sa + ∆Sc = −
µ
64
4
nCv + nR
9
3
¶
< 0
La variación de entropı́a negativa implica que esta nevera es imposible porque contradice el segundo
principio de la termodinámica.
(d) Si se considera como un motor térmico el recorrido es a → b → c → d → a.
W
El rendimiento de un motor térmico es η =
. El trabajo W se puede calcular de dos formas:
Qabs
i. W = Qabs + Qced = Qab + Qbc + Qcd + Qda = 16nCv T0 + 12nRT0 − 16nCv T0 − 4nRT0 = 8nRT0 .
ii. W = 2p0 × 4V0 = 8p0 V0 = 8nRT0 . En este caso W se calcula a prtir del area del rectángulo.
El calor absorbido por el ciclo es Qabs = Qab + Qbc = 16nCv T0 + 12nRT0 .
2R
El rendimiento es η =
. El rendimiento de un ciclo de Carnot reversible, trabajando entre
4Cv + 3R
8
Ta
= . La diferencia entre ambos ciclos es
las mismas fuentes térmicas, es ηC = 1 −
Tc
9
ηC − η =
8
2R
32Cv + 6R
−
=
> 0
9 4Cv + 3R
9(4Cv + 3R)
Como era de esperar, el rendimiento del ciclo de Carnot reversible es mayor.
(e) Para calcular la variación de entropı́a del universo, se hace lo mismo que en el apartado c.
La variación de entropı́a del ciclo es nula. La entropı́a es una función de estado.
Para calcular la variación de entropı́a del universo, hay que calcular la variación de entropı́a de cada
fuente.
La variación de entropı́a de la fuente caliente, de la que absorbe calor el sistema, es:
∆Sc = −
Qab + Qbc
Qba + Qcb
8nCv + 6nR
Qabs
=−
=
=−
Tc
18T0
18T0
9
La variación de entropı́a de la fuente fria, a la que cede calor el sistema, es:
∆Sa = −
Qced
Qcd + Qda
=−
= 8nCv + 2nR
Ta
2T0
La variación de entropı́a del universo vale:
∆S = ∆Sa + ∆Sc =
Este motor es posible e irreversible.
µ
64
4
nCv + nR
9
3
¶
> 0
FÍSICA Plan 95
Test. Primer Parcial. Diciembre 2006.
Departamento de Fı́sica Aplicada
Identificación de la prueba: 250 18004 00 0 00
Notas:
El tiempo para hacer el test es de una hora.
Hay que marcar con lápiz o bolı́grafo el cuadro de la respuesta, de forma que la marca llene el cuadro.
Hay que rellenar los cuadros correspondientes al DNI.
Si no se rellenan los cuadros correspondientes a la permutación, NO se corregirá el TEST.
1. Tenim una massa M de gel a 0o C en un calorı́metre l’equivalent en aigua del qual és 8M . Quina massa
de vapor a 100o C cal afegir per tal que la temperatura final d’equilibri sigui de 56o C? (La calor latent de
fusió del gel a 0o C i una atmosfera és Lf = 80 cal/g, la calor latent de vaporització de l’aigua lı́quida a
100o C i una atmosfera és Lv = 540 cal/g, i la calor especı́fica de l’aigua lı́quida es pot considerar 1 cal/(g
K))
(a) M .
(b) M/8.
(c) 66M/73.
(d) El procés no és possible perquè l’entropia del vapor disminuiria.
2. En un recinte adiabàtic, n mols d’un gas ideal experimenten una compressió des d’un volum inicial V i a
un volum final Vf < Vi i observem que la seva temperatura (T ) no ha variat. Indiqueu quina afirmació és
correcta.
(a) El procés no és posible perqué viola el segon principi de la termodinàmica.
(b) El procés és necessàriament irreversible.
(c) El treball absorvit pel gas és W = nRT ln(Vf /Vi ).
!
õ ¶
1−γ
Vf
nRT
−1 .
(d) El treball absorvit pel gas és W =
1−γ
Vi
3. Un gas ideal amb Cv constant duplica el seu volum seguint un procés quasiestàtic x, que respon a l’equació
d’una paràbola en un diagrama p-V (p = aV 2 ). Què podem dir de la calor especı́fica (Cx (T )) al llarg
d’aquest procés?
(a) Cx (T ) = C¯x = Cv + R/3, i és constant (independent de T ) al llarg del procés.
(b) Cx (T ) = C¯x = Cv + 2R/3, i és constant (independent de T ) al llarg del procés.
(c) C¯x = Cv + R/3, però Cx (T ) varia al llarg del procés.
(d) C¯x = Cv + 2R/3, però Cx (T ) varia al llarg del procés.
4. Volem mantenir l’interior d’una casa a la temperatura T durant l’hivern quan a l’exterior tenim T 0 < T ,
fent servir una bomba de calor reversible de Carnot. Les pèrdues de calor a través de les parets de la
casa són Qp . Se’ns ha acudit de subministrar la potència requerida per la bomba de calor amb un motor
reversible de Carnot que aprofiti l’interior de la casa com a font calenta i l’exterior com a font freda.
Indiqueu quina afirmació és certa.
(a) No és possible mantenir la temperatura a l’interior de la casa amb el sistema proposat. El conjunt
de les dues máquines viola el segon principi de la termodinàmica.
T
(b) La potència que ha de suministrar el motor a la bomba de calor és |Ẇ | =
Qp
T − T0
(c) L’entropia de l’univers es manté constant perquè les dues màquines són reversibles.
(d) El conjunt de les dues máquines té un rendiment superior a la unitat, i per tant resulta més avantatjosa
que la instalació d’una caldera.
5. Una habitació cúbica està formada per 3 murs i un sostre d’espessor e i conductivitat k, un terra aı̈llat i
una gran vidriera ocupant una paret sencera, d’espessor e/4 i conductivitat 4k.
(a) Les pèrdues a la vidriera representen el 80% de les pèrdues totals.
(b) Les pèrdues a la vidriera són les mateixes que per cadascuna de les altres parets i el sostre, tret del
terra.
(c) Les pèrdues a la vidriera són les mateixes que per totes les altres parets i sostre sumades.
(d) Les pèrdues a la vidriera representen més del 98% de les pèrdues totals.
6. Un fluid a temperatura Ti circula per una canonada cilı́ndrica de radi interior R, radi exterior 2R i
conductivitat tèrmica k. La recobrim amb una capa d’aı̈llant d’espessor 2R i conductivitat k/2. Si la
temperatura a la superfı́cie exterior de l’aı̈llant resulta ser To , la temperatura en el punt de contacte
canonada-aı̈llant serà:
2Ti + To
3
Ti + T o
(b) T =
2
Ti + 2To
(c) T =
3
4Ti + To
(d) T =
5
(a) T =
7. La desigualdad de Clausius,
I
δq
≤ 0, define:
T
(a) La función de estado, llamada entropı́a, sólo para procesos reversibles.
(b) La variación de entropı́a en un proceso cualquiera.
(c) La variación de entropı́a para procesos irreversibles.
(d) La función de estado, llamada entropı́a, sólo para procesos irreversibles.
8. Un mol de un gas ideal, cuyo Cv es constante, pasa de un estado inicial, (pi , Vi , Ti ), a uno final ,(pf , Vf , Tf ),
mediante el proceso politrópico cuasi estático pV = C . Su calor especı́fico molar, C X , para este proceso
vale:
(a) ∞.
(b) 0.
(c) Cv − R.
(d) Cp .
9. El calor especı́fico molar de un gas ideal, a volumen constante, viene dado por: C v (T ) =
variación de entropı́a por mol de gas, para un proceso cualquiera, vale:
Ã
!
µ ¶
Tf2 + α2
β2
Vf
ln
.
+
R
ln
(a) ∆S =
2
2
2
Ti + α
Vi
µ ¶
β 2 Tf + α
Vf
(b) ∆S =
.
+ R ln
2 Ti + α
Vi
!
Ã
Tf2 + α2
β2
(c) ∆S =
.
ln
2
Ti2 + α2
Ã
!
µ ¶
Tf2 + α2
β2
Vf
ln
.
(d) ∆S =
− R ln
2
2
2
Ti + α
Vi
β2T 2
. La
T 2 + α2
10. Indicar qué afirmación es la correcta, cuando n moles de un gas ideal monoatómico se expanden, mediante
una isobara cuasiestática, hasta alcanzar un volumen doble del inicial.
(a) El calor absorbido vale ∆H = 5nRTi /2, siendo Ti la temperatura inicial.
(b) El calor absorbido vale ∆H = 5nRTf /2, siendo Tf la temperatura final.
(c) El calor absorbido vale ∆U = 5nRTf /2, siendo Tf la temperatura final.
(d) El calor absorbido vale ∆U = 5nRTi /2, siendo Ti la temperatura inicial.
11. Un motor funciona entre dos temperaturas Tf = 350 K y Tc = 500 K. El fabricante dice que el rendimiento
es del 40 %. Indicar qué afirmación es cierta:
(a) El rendimiento no puede superar el 35 %.
(b) Puede ser cierto, el rendimiento teorı́co ha de ser menor del 75 %.
(c) Si el motor es un ciclo de Carnot reversible, es verdad.
(d) Si el motor es un ciclo de Carnot reversible, en el que la sustanacia cembia de estado, es verdad.
12. Un mol de gas ideal a una presión inicial 2P se expande adiabáticamente contra el vacio, hasta una presión
final P . Indicar qué afirmación es cierta:
(a) La variación de entropı́a del universo es ∆S = Rln2.
(b) La variación de entropı́a del universo es ∆S = −Rln2.
(c) La entropı́a del universo no varı́a.
(d) Para calcular la variación de entropı́a del universo, en este caso, hay que conocer el calor intercambiado por el gas con el medio.
13. Para un proceso adiabático y a presión constante de un gas ideal, se verifica:
(a) Si es una compresión la temperatura aumenta siempre.
(b) En una expansión la temperatura disminuye siempre.
(c) El trabajo viene dado por W = (pf Vf − pi Vi )/(γ − 1).
(d) La entropı́a del universo no varı́a.
14. Dos cuerdas de densidades uniformes ρ1 y ρ2 estan unidas por un extremo. Por la cuerda de densidad ρ1
se propaga una onda dirigiéndose hacia la conexión entre ambas cuerdas. Que relación deben guardar las
densidades para que las amplitudes absolutas de las ondas transmitida y reflejada sean las mismas?
(a) ρ2 = ρ1 .
(b) ρ2 = 9ρ1 .
(c) ρ2 = 4ρ1 .
(d) ρ1 = 4ρ2 .
15. En una cuerda de longitud ` únicamente fijada en x = 0, las posiciones x m de los nodos del modo de
longitud de onda λn = 4`/(2n + 1) se encuentran en:
(a) xm = 2`m/(2n + 1)
(0 ≤ m ≤ n).
(b) xm = `(2m + 1)/(2n + 1)
(c) xm = 2`(2m + 1)/(2n + 1)
(d) xm = `m/(2n + 1)
(0 ≤ m ≤ n).
(0 ≤ m ≤ n).
(0 ≤ m ≤ n).
16. Las dimensiones de la impedancia de una cuerda son:
(a) M T −1 .
(b) M T −1 L−1 .
(c) M −1 T .
(d) es un número adimensional.
17. En los nodos de una cuerda vibrante cuyos extremos están fijos:
(a) la potencia siempre es cero.
(b) la potencia es siempre positiva o nula.
(c) la potencia es siempre negativa o nula.
(d) la potencia nunca se anula.
18. En una cuerda, que se puede considerar de longitud infinita y coincidente con el eje x, se propaga hacia la
derecha una onda armónica con longitud de onda λ = 1m y velocidad c = 2m/s y amplitud 0.05m. Si en
el instante inicial la abcisa x = 0.25m se encuentra en la posición de equilibrio y su velocidad transversal
es negativa, la ecuación de onda será:
(a) 0.05 sin(2π(x − 2t) − π/2).
(b) 0.05 cos(2πx − 4πt)
(c) 0.05 sin(2π(x − 2t))
(d) 0.05 cos(2π(x − 2t) − π/2)
19. Se tienen dos cuerdas de densidades ρ1 y ρ2 situadas en el eje x negativo y positivo respectivamente y
unidas en la posición x = 0. Inicialmente, se propaga una onda armónica hacia la derecha. Si ρ 1 > ρ2 ,
podemos afirmar que:
(a) La frecuencia de la onda transmitida será menor a la de la onda incidente.
(b) La frecuencia de la onda transmitida será mayor a la de la onda incidente.
(c) La velocidad de propagación de la onda reflejada será mayor a la de la onda incidente.
(d) La velocidad de propagación de la onda transmitida será mayor a la de la onda incidente.
20. En una cuerda de longitud L se observan dos armónicos consecutivos de una onda estacionaria en las
frecuencias fn = 425 Hz y fn+1 = 475 Hz. Si la velocidad de propagación de la onda es 200m/s, indicar
qué afirmación es cierta:
(a) Los dos extremos de la cuerda están fijos.
(b) La longitud de la cuerda es 2 m.
(c) La frecuencia fundamental vale 50 Hz.
(d) No hay suficientes datos para encontrar la longitud de la cuerda.
Departament Fı́sica Aplicada.
FÍSICA Pla 95.
ETSECCPB
Respostes al Test.
Primer Parcial
Preg.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
b
a
a
a
a
d
b
Permutació
1
2
3
d
d
a
d
a
b
b
d
d
d
c
d
c
b
c
d
b
a
c
a
d
b
c
c
c
b
a
a
d
c
a
a
c
c
d
b
d
a
a
a
a
c
d
a
d
c
c
b
c
a
c
b
a
c
d
d
b
b
d
c
4
d
d
a
a
d
d
b
a
b
b
c
d
a
b
b
c
b
b
b
b
FÍSICA Plan 95
Segundo Examen Parcial
Departamento de Fı́sica Aplicada
25 06 2007
1. Problema
~ = α(z, 0, −x). La constante dieléctrica del
En una región del espacio está definido el campo eléctrico E
medio en esa región es ²0 y su permeabilidad magnética es µ0 .
(a) Calcular la carga eléctrica total contenida en dicha región.
~
(b) Calcular la densidad de energı́a debida a E.
~ conservativo?¿Por qué?
(c) ¿Es E
(d) En el plano y = 0, hay una espira circular, centrada en el origen, de radio a y resistencia total R.
Calcular la fem inducida en ella.
(e) Calcular el valor, la dirección y el sentido de la intensidad de la corriente inducida.
~
(f) Calcular un campo magnético, inicialmente nulo, que pueda generar E.
(g) Calcular la densidad de energı́a total del campo electromagnético.
2. Problema
Una espira rectangular de lados a y b tiene una resistencia R y un condensador de capacidad C (inicialmente
descargado en t = 0) tal y como indica la figura. La espira se encuentra en el seno de un campo magnético
B = B ẑ (B > 0) uniforme y constante, perpendicular al plano de la espira. Una varilla conductora
rectilı́nea de resistencia R se desliza en contacto con la espira con velocidad constante v = v x̂, siempre
orientada paralelamente al eje ŷ. Inicialmente (t = 0), la varilla se encuentra situada en x = 0. Se pide:
(a) determinar la orientación de las intensidades inducidas en las resistencias y en el condensador. Indicar
claramente el sentido de las fuerzas electromotrices inducidas.
PSfrag replacements
(b) determinar el valor de las fuerzas electromotrices inducidas durante el perı́odo en el cual la varilla
recorre toda la longitud a.
(c) determinar la carga del condensador Q(t) en función del tiempo, ası́ como los valores de las intensidades que circulan por la resistencia de la espira, IR (t), por la resistencia de la varilla, Iv (t), y por
el condensador, IC (t), durante el mismo periodo que en el apartado anterior.
max
, ICmax , Ivmax en cada tramo del circuito y los instantes de
(d) determinar las intensidades máximas IR
tiempo en los cuales se alcanzan dichos valores máximos.
(e) el instante de tiempo en el cual el condensador tiene carga máxima, y el valor de dicha carga.
y
-1
-0.5
0
0.5
v = v x̂
1
-0.8 R
-0.6
C
R
b
x
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
B = B ẑ
x=0
x=a
1. Solución del primer problema
Se supone α > 0. Para α = 0 el problema carece de sentido porque se anula el campo eléctrico. Para
α < 0 las cuestiones a), b), c) y g) no cambian y las d), e) y f) cambian de signo y por tanto las
magnitudes asociadas cambian de sentido.
~ ·D
~ = ρ =⇒ ∇
~ ·E
~ = ρ = 0 =⇒ ρ = 0. En esa región no hay carga, la densidad
(a) Por la ley de Gauss ∇
²0
volúmica de carga es nula.
²0 α 2 2
(x + z 2 ).
2
¯
¯
¯ e~x e~y
e~z ¯¯
¯
~ ×E
~ = ¯ ∂x ∂y
∂z ¯¯ = 2αe~y 6= ~0
(c) ∇
¯
¯ αz 0
−αx ¯
Este campo no es conservativo.
(b) uE =
(d) Tomando e~y como normal unitaria de la superficie encerrada por la circunferencia dada se tiene:
I
Z
~ · d~` = ε = 2παa2
~ × E)
~ · dS
~=
E
(∇
S
∂S
Falta definir su sentido. De acuerdo con el apartado f), el signo es el adecuado y la ε = 2παa 2 . Por
tanto, su sentido es el antihorario.
(e) Teniendo en cuenta el apartado f), la intensidad de la corriente inducida vale ε = 2παa 2 /R. Su
dirección es tangente a la circunferencia y su sentido antihorario, de acuerdo a la ley de Lenz.
~
~ = −2αte~y .
~ ×E
~ = − ∂ B = 2αe~y =⇒ B
(f) ∇
∂t
(g) La densidad de energı́a del campo electromagnético es la suma de las densidades de energı́a de los
campos eléctrico y magnético.
²0 ~ 2
1 ~ 2
²0 α 2 2
2α2 t2
uem = uE + uB = |E|
+
|B| =
(x + z 2 ) +
2
2µ0
2
µ0
2. Solución del segundo problema
(a + b) Dividimos el circuito en las submallas 1 (a la izda. de la varilla) y 2 (a la dcha. de la varilla). Al
desplazarse laPSfrag
varilla,
el flujo magnético en 1 (Bbvt) aumenta y en 2 (Bb[a − vt]) disminuye, lo cual
replacements
induce f.e.m.’s ε1 y ε2 en cada una de esas mallas, respectivamente. La orientación de dichas f.e.m.
viene determinada por la ley de Faraday-Lenz:
Z
Z
I
I
∂
∂
B · dS1 y ε2 =
B · dS2 .
E2 · dl2 = −
ε1 =
E1 · dl1 = −
∂t S1
∂t S2
∂S2
∂S1
En ambas ecuaciones, las circulaciones se calculan en sentido antihorario (adoptando el convenio de
la regla de la mano derecha con respecto a los vectores dS1 = ẑ dS1 y dS2 = ẑ dS2 ), es decir:
ε1 = −
d
Bbvt = −Bbv
dt
y
ε2 = −
d
Bb(a − vt) = Bbv,
dt
lo cual nos da una ε1 negativa (horaria) y una ε2 positiva (antihoraria), tal y como se indica en la
figura:
1
-1
-0.5
0
2
0.5
1
C
-0.8 R
-0.6
R
ε1
ε2
-0.4
-0.2
IC
0
0.2
0.4
0.6
0.8
IR
B = B ẑ
Iv
x=a
x(t) = v t
x=0
Por lo tanto, las intensidades IR , Iv e IC tienen los sentidos indicados en el dibujo.
(c) Aplicando las leyes de Kirchoff en nudos y mallas, obtenemos las ecuaciones que determinan la
evolución temporal de las intensidades y de la carga del condensador:
(1) Iv = IR + IC
(2) RIR + RIv = Bbv
(3)
Q
+ RIv = Bbv .
C
Sumando (1) y (2) obtenemos:
(4) Iv =
1
(Bbv + RIC ) .
2R
Por otro lado, IC es la variación intantánea de carga del condensador, es decir:
(5) Ic =
dQ
.
dt
Sustituyendo (4) y (5) en (3), nos queda la ecuación para la carga del condensador:
2
Bbv
dQ
+
Q=
,
dt
RC
R
con condición inicial Q(0) = 0 (condensador inicialmente descargado), y cuya solución es:
Q(t) =
´
BbvC ³
1 − e−2t/RC .
2
La intensidad IC se obtiene directamente derivando la expresión anterior con respecto al tiempo, I v
se obtiene utilizando (4) e IR utilizando (1):
IC (t) =
Bbv −2t/RC
e
R
Iv (t) =
´
Bbv ³
1 + e−2t/RC
2R
IR (t) =
´
Bbv ³
1 − e−2t/RC
2R
(d) Todo el proceso de carga del condensador transcurre en el intervalo de tiempo comprendido entre
t = 0 y t = a/v, i.e., momento en el cual la varilla llega al otro extremo de la espira. Las intensidades
máximas de IC e Iv se alcanzan por lo tanto en t = 0, mientras que IR alcanza su valor máximo en
t = a/v. Dichos valores son:
ICmax =
Bbv
R
Ivmax =
Bbv
R
max
=
IR
´
Bbv ³
1 − e−2a/RCv
2R
(e) Del mismo modo, la carga del condensador se alcanza en t = a/v, cuyo valor es:
Q(t) =
´
BbvC ³
1 − e−2a/RCv .
2
Todo ello viene resumido en las siguientes gráficas (no era necesario representarlas) de las intensidades
y la carga, en las cuales se han indicado los valores máximos de Q e IR mediante puntos grises.
PSfrag replacements
BbvC/2
Qmax
Q(t)
0
t=0
t = a/v
Ivmax = ICmax = Bbv/R
IC (t)
Iv (t)
IRmax
IR (t)
0
t=0
t = a/v
FÍSICA Plan 95
Departamento de Fı́sica Aplicada
Identificación de la prueba: 250 18004 01 0 00
Test. Segundo Parcial. Mayo 2007.
1. Una carga puntual 4q está incrustada en una superficie esférica de radio a. En el volumen rodeado por la
esfera hay una carga q. El flujo del campo electrostático a través de la superficie esférica vale:
(a) 3q/²0 .
(b) 5q/²0 .
(c) q/²0 .
(d) No está definido.
2. A muy poca distancia de una superficie plana metálica, con una densidad superficial de carga σ, inmersa
en un medio de constante dieléctrica ² y coincidente con el plano y = 0, el campo electrostático vale:
~ = σy e~y .
(a) E
2²|y|
~ = σy e~y .
(b) E
²|y|
~ = σ e~y .
(c) E
²|y|
σy
~ =
e~y .
(d) E
²
3. Se carga un condensador, de capacidad C0 cuando hay aire entre sus placas, con una carga Q. Sin
desconectarlo de la baterı́a, se introduce un dieléctrico de permeabilidad relativa ² r .
(a) Su carga aumenta.
(b) La diferencia de potencial entre sus placas disminuye.
(c) El campo eléctrico entre sus placas aumenta.
(d) El vector desplazamiento permanece constante.
4. En el interior de una esfera de radio R, centrada en el origen, hay una polarización uniforme P~ . Para
todo punto contenido en la superficie esférica de radio R, se cumple:
P~ · ~r
, siendo ~r su vector posición
R
(b) La densidad superficial de carga inducida es uniforme.
(a) La densidad superficial de carga inducida vale σp =
(c) El campo electrostático es nulo.
(d) El campo electrostático tiene dirección radial.
5. En un circuito hay un condensador, de capacidad C, y una resistencia, R. La carga inicial del condensador
es Q0 . Se cumple:
Q20
.
2C
Q2
(b) la energı́a total disipada en la resistencia es 0 .
C
Q20 C
(c) la energı́a total disipada en la resistencia es
.
2
Q0
(d) la energı́a total disipada en la resistencia es
.
2C 2
(a) la energı́a total disipada en la resistencia es
6. Anulada
Para cargar un condensador de capacidad C, se conectan en serie el condensador, una resistencia R y una
baterı́a cuya fuerza electromotriz es ε. Cuando el condensador está totalmente cargado, su carga es Q m
y se cumple:
(a) la diferencia de potencial entre las placas del condensador es ε.
(b) la diferencia de potencial entre las placas del condensador es ε −
Qm
.
C
ε
.
R
ε
Qm
(d) la intensidad de corriente en el circuito vale
−
.
R RC
(c) la intensidad de corriente en el circuito vale
7. El vector momento magnético se mide, en el S.I., en: (N=newton, A=amperio, m=metro)
(a) Am2 .
(b) N m/A.
(c) m2 /A.
(d) N/A2 .
8. El potencial vector sobre el eje x de una espira circular, contenida en el plano x = 0 y centrada en el
origen, por la que circula una intensidad, es cero.
(a) El campo magnético sobre este eje no tiene por qué ser nulo.
(b) El campo magnético sobre este eje es nulo.
(c) El campo magnético sobre este eje no está definido.
(d) El campo magnético sobre este eje tiene la componente x nula.
9. Una carga puntual q se encuentra en el centro de una esfera dieléctrica, de radio R 1 y constante absoluta
²1 . A su vez, la esfera anterior está rodeada por una corteza esférica concéntrica dieléctrica de grosor
R2 − R1 y constante absoluta ²2 . Indicar qué afirmación es cierta
q~r
, si |~r| > 0.
4π|~r|3
q~r
~ r) =
(b) El campo electrostático es E(~
, si |~r| > 0.
4π²1 |~r|3
q~r
~ r) =
, si 0 < |~r| ≤ R2 .
(c) El campo electrostático es E(~
4π²1 |~r|3
q~r
~ r) =
(d) El vector desplazamiento es D(~
, si |~r| > 0.
4π²0 |~r|3
~ r) =
(a) El vector desplazamiento es D(~
10. Un conductor es un polı́gono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio R. la intensidad
de la corriente es I y el módulo del campo magnético resultante en el centro de la circunferencia es
³π´
µIn
tan
.
2πR
n
√
3 3µI
.
(a) El valor máximo del módulo es
2πR
(b) El valor máximo del módulo corresponde al valor n = 2.
~ → 0.
(c) Cuando n → ∞, |B|
~ → ∞.
(d) Cuando n → ∞, |B|
11. Una superficie cerrada S contiene en su interior un dipolo eléctrico de momento dipolar p que crea un
campo eléctrico E. Podemos afirmar que:
I
E · dS = 0.
(a)
S
I
E · dS < 0.
(b)
IS
E · dS > 0.
(c)
S
I
2kpk
E · dS =
(d)
.
ε0
S
12. Por dos hilos conductores rectilı́neos, paralelos e infinitos, separados 1 m, circula una misma intensidad
de 1 A, pero en sentidos opuestos. Podemos afirmar que los hilos:
(a) se repelen con una fuerza por unidad de longitud de 2 · 10−7 Nm−1 .
(b) se atraen con una fuerza por unidad de longitud de 2 · 10−7 Nm−1 .
(c) se atraen con una fuerza por unidad de longitud de 4π · 10−7 Nm−1 .
(d) se repelen con una fuerza por unidad de longitud de 4π · 10−7 Nm−1 .
13. Un anillo circular no conductor contiene una densidad lineal uniforme de carga eléctrica. El anillo gira con
velocidad angular constante alrededor de un eje perpendicular al plano del anillo y que pasa por su centro
O. Si E0 y B0 son los módulos del campo eléctrico y magnético en el centro del anillo, respectivamente,
podemos afirmar que en O:
(a) E0 = 0 y B0 6= 0.
(b) E0 6= 0 y B0 = 0.
(c) E0 = 0 y B0 = 0.
(d) E0 6= 0 y B0 6= 0.
14. Las armaduras de un condensador de capacidad C, inicialmente cargado y aislado, se conectan a los
extremos de una bobina de autoinducción L de resistencia despreciable. La carga del condensador oscilará
con el tiempo con frecuencia:
√
(a) 1/ LC.
(b) 1/LC.
√
(c) 2/ LC.
(d) 2/LC.
15. Una superficie esférica conductora se encuentra cargada en equilibrio electrostático. Si duplicamos su
carga eléctrica, la presión electrostática resultante:
(a) se cuadruplica.
(b) se duplica.
(c) de reduce a la mitad.
(d) no cambia.
16. Un hilo no conductor, rectilı́neo, infinito y paralelo al eje ẑ contiene una densidad uniforme de carga
eléctrica λ. Si el hilo se desplaza con velocidad constante v = v ẑ, el módulo del campo magnético creado
por el hilo a una distancia r del mismo es:
(a) µ0 vλ/2πr.
(b) 0.
(c) µ0 vλ/r.
(d) µ0 vλ/2r.
17. Una corteza esférica conductora de radios interno y externo r = R1 y r = R2 , respectivamente, tiene una
carga neta Q. En r = 0 situamos una carga puntual q. La carga neta en la superficie externa de radio R 2
es:
(a) Q + q.
(b) Q − q.
(c) q.
(d) −q
18. Si S es una superficie cerrada arbitraria, C una curva cerrada arbitraria, E es el campo eléctrico y B el
campo magnético, ¿cuál de las siguientes expresiones es siempre cierta?:
I
B · dS = 0
(a)
S
I
E · dS = 0
(b)
IS
(c)
E · dC = 0
C
(d)
I
C
B · dC = 0
19. Dos espiras circulares concéntricas de radios a y b (a << b) están contenidas en el mismo plano. El
coeficiente de inducción mutua de las dos espiras es, aproximadamente,
(a) µ0 πa2 /2b.
(b) µ0 πb2 /2a.
(c) µ0 πa2 /b.
(d) µ0 πb2 /a.
20. Las dimensiones de la magnetización o imantación (momento dipolar magnético por unidad de volumen)
son:
(a) QT −1 L−1 .
(b) QT −1 L2 .
(c) QT L−1 .
(d) QT −2 L−2 .
Soluciones del Test.
Segundo Parcial
Permutación
Preg. 0
1
2
3
4
1
a
b
d
b
d
2
a
a
d
d
c
3
a
b
b
d
b
4
a
c
a
b
a
5
a
c
a
c
c
6
nula d
b
d
b
7
a
a
a
nula
a
8
a
d
b
d
b
9
a
b
d
d nula
10
a
d
d
c
c
11
a
c
c
c
d
12
a
d
c
d
a
13
a
a
b
b
c
14
a
a
c
d
a
15
a
c
b
d
b
16
a
b nula d
c
17
a
b
d
d
a
18
a
b
a
d
a
19
a
nula d
c
c
20
a
b
a
b
d
FÍSICA Plan 95
Examen Final
Departamento de Fı́sica Aplicada
15 06 2007
1. Problema
En una fàbrica de gelats, es vol recobrir el nucli cremós dels gelats amb una capa fina de gel d’espessor
e. Per fer-ho, es refreda el nucli cremós (capacitat calorı́fica C i superfı́cie total exposada A) fins a una
temperatura Ti < 0 o C, i a continuació es submergeix en un bany d’aigua lı́quida a Te = 0 o C.
a) Expliqueu en 3 lı́nies per quins mecanismes es formarà la capa de gel al voltant del nucli cremós del
gelat.
b) Calculeu la temperatura Ti a la qual s’ha de refredar el nucli per aconseguir, a l’equilibri, l’espessor
desitjat e.
c) Calculeu l’increment d’entropia de l’univers en aquest procés i demostreu que és positiva.
d) Raoneu quant temps es tarda en assolir l’espessor e.
Es proposa refredar el nucli més del necessari (Ti encara més baixa) per assolir l’espessor e en un temps
més curt te .
e) Trobeu l’expressió del flux de calor q(t) a través del gel en funció de la temperatura del nucli T i (t) i
de l’espessor de la capa de gel e(t), per a cada instant t.
f) Sabent que la variació de temperatura del nucli és deguda a l’absorció de calor a través del gel,
dTi
(t) en funció de Ti (t) i e(t).
expresseu
dt
g) Sabent que el creixement de l’espessor de gel es deu a la cessió de calor de l’aigua lı́quida per escalfar
de
el nucli, expresseu
(t) en funció de Ti (t) i e(t).
dt
h) Suposant que assolim l’espessor desitjat e rápidament de manera que T i (t) ' Ti es pot considerar
constant, calculeu la temperatura aproximada a la que haurem de refredar el nucli (T i ), per enretirar
el gelat del bany després d’un temps te amb l’espessor desitjat e.
Hipòtesis:
• Considereu l’espessor e petit en front de la curvatura de la superfı́cie sobre la qual creix (l’àrea A del
gelat acabat és aproximadament la mateixa que la del nucli cremós del qual partim).
• Considereu la dinàmica de conducció de la calor en l’espessor de gel molt més ràpida que la de creixement de l’espessor o d’escalfament del nucli del gelat per assumir que el procés és pseudoestacionari
i la llei de Fourier val a cada instant de temps.
Dades adicionals: Lf : calor latent de fusió del gel a 0 o C; k: conductivitat del gel; ρ: densitat del gel.
2. Problema
Cuando una cuerda elástica oscila, el aire opone una resistencia a las oscilaciones transversales de dicha
cuerda. La fuerza que experimenta un tramo infinitesimal de cuerda de longitud ∆x es −∆x R v T , siendo
R un coeficiente de rozamiento dado y vT la velocidad transversal del tramo (el signo negativo indica que
esa fuerza es opuesta a la velocidad instantánea del tramo de cuerda). La ecuación de ondas para los
desplazamientos u(x, t) transversales de una cuerda de densidad ρ sometida a una tensión T y a fricción
por el aire es de la forma:
2
∂u
∂2u
2∂ u
−
β
+
2k
= 0.
∂t2
∂t
∂x2
(a) Determinar los parámetros k y β en función de R, T y ρ.
(b) Determinar las dimensiones de k y de β. Es decir, si [k] = Mp Lq Tr , determı́nense los exponentes p,
q y r y hágase lo mismo para β.
(c) Comprobar si funciones del tipo f (x ± βt) son solución de la ecuación de ondas del enunciado.
(d) Supongamos ahora que la cuerda se encuentra fijada entre los extremos x = 0 y x = `, de forma que
se satisface la condición k < πβ/`. Nos dicen que el modo n−ésimo de oscilación de la cuerda es de
la forma:
³ nπx ´
, con n = ±1, ±2, ±3, . . .
un (x, t) = gn (t) sin
`
siendo gn (t) una función por determinar. Determinar dicha función gn (t) y las frecuencias temporales
de oscilación en función de k, β y `. ¿Es gn (t) periódica en tiempo?.
3. Problema
Una espira circular, de radio a y centrada en el origen, está contenida en el plano x = 0. Por ella se mueve
una carga q con una velocidad angular constante Ω en sentido antihorario.
(a) Calcular el potencial vector creado
p por la espira en un punto lejano P . Es decir si (x, y, z) son sus
coordenadas, se verifica a ¿ r = x2 + y 2 + z 2 , siendo r la distancia de P al origen de coordenadas.
(b) Calcular el vector momento dipolar m
~ de la espira y expresar el potencial vector en función del
momento dipolar de la espira.
(c) Calcular el campo magnético creado por la espira en el punto P .
(d) El campo eléctrico creado por la espira en P ¿es conservativo?. Explicar por qué.
(e) Sea conservativo o no, calcularlo en P .
Ayuda: Recordar que: |u| ¿ 1 ⇒ (1 + u)α ' 1 + αu.
1. Solución del primer problema
(a) En estar el nucli cremós més fred que el bany d’aigua que l’envolta, tendirà a absorbir-ne calor per
mirar de restablir l’equilibri tèrmic. En cedir calor l’aigua a la seva temperatura de congelació,
solidificarà entorn al nucli cremós, tot formant una capa de gel.
(b) Aplicant un balanç energètic al sistema aı̈llat format pel nucli cremós i el bany d’aigua podem deduir
Ti :
ρAeLf
,
Qnucli + Qaigua = 0 =⇒ C (Te − Ti ) − ρAeLf = 0 =⇒ Ti = Te −
C
(c) L’increment d’entropia de l’univers es pot descomposar com la suma dels increments d’entropia del
nucli i del bany:
¶
¶
µµ
Ti
Ti
− 1 − ln
,
∆Su = ∆Sbany + ∆Snucli = C
Te
Te
on cal recordar que Ti < Te .
No és difı́cil comprovar que
∆Su (Ti = Te ) = 0
Ti < Te =⇒
d∆Su
Ti − T e
(Ti ) = C
<0
dTi
Ti Te
(d) Hem fet coincidir l’assoliment de l’espessor desitjat e amb l’establiment de l’equilibri tèrmic. Això
es produirà a un instant te pel qual tindrem Ti (te ) = Te i el flux de calor a través del gel s’anul.lara.
Però l’aproximació de Ti (t) cap a Te , només serà asimptòtica, ja que el creixement és proporcional
(llei de Fourier) a Ti (t) − Te , que decau exponencialment a mesura que ens apropem a l’equilibri. Per
tant, el sistema tardarà un temps infinit a assolir l’equilibri:
te = ∞
(e) Per trobar l’expressió de q(t) en funció de Ti (t) i de e(t), només cal plantejar la llei de Fourier per al
flux de calor a través de la capa de gel, sota les hipòtesis de flux pseudoestacionari i secció transversal
constant:
kA(Ti (t) − Te )
dT
.
q(t) = −kA (x, t) =
dx
e(t)
(f) Plantejant l’absorció de calor per part del nucli, dQnucli = C dTi , en forma instantània, i tenint
present que la calor absorbida pel nucli és precisament la que atravessa la capa de gel (que definim
positivament quan va cap a l’exterior), tenim:
dQnucli
dTi
dTi
kA (Ti (t) − Te )
(t) = C
(t) = −q(t) =⇒
(t) = −
,
dt
dt
dt
C
e(t)
on hem substituint l’expressió abans calculada per q(t).
(g) Fent l’aproximació Ti (te ) ' Ti en el moment en que retirem el gelat del bany, l’equació corresponent
a la dinàmica de creixement del glaç desacobla i pot ser resolta analı́ticament:
k (Ti (t) − Te )
k (Ti − Te )
e(t)2
k
de
(t) = −
'−
−→
=−
(Ti − Te ) t.
dt
ρLf
e(t)
ρLf
e(t)
2
ρLf
Podem finalment trobar quin ha de ser el valor de Ti per tal que a temps te l’espessor sigui precisament
e(te ) = e:
ρLf e2
Ti = T e −
.
2k te
Es pot demostrar que l’aproximació serà tant més vàlida si el nucli del gelat té gran capacitat
calorı́fica, la superfı́cie exposada és petita i l’espessor de la capa de glaç desitjada no és massa gran.
2. Solución del segundo problema
(a) Las ecuaciones de Newton para un tramo arbitrario de cuerda de masa ∆m y longitud ∆x son (visto
en clase de teorı́a):
∆m ax = T (x + ∆x) cos θ(x + ∆x) − T (x) cos θ(x),
∆m ay = T (x + ∆x) sin θ(x + ∆x) − T (x) sin θ(x),
siendo ax y ay las aceleraciones longitudinal y transversal del tramo, respectivamente. Dado que
no hay oscilación longitudinal (ax = 0) y aproximando cos θ ∼ 1 (pequeña amplitud), la primera
ecuación nos determina que la tensión es T constante.
∂u
. Si ahora incluimos los efectos
En la segunda ecuación hacı́amos la aproximación sin θ ∼ tan θ =
∂x
de fricción:
÷ ¸
· ¸ !
∂u
∂u
∆m ay = T
− ∆x R vT ,
−
∂x x+∆x
∂x x
o bien
∂2u
∂2u
= T ∆x 2 − ∆x R vT .
2
∂t
∂x
Dividiendo en ambos lados por ∆m nos queda
∆m
T ∂2u
R ∂u
∂2u
=
−
2
∂t
ρ ∂x2
ρ ∂t
∂u
donde hemos utilizado la definición de la densidad ρ = ∆m/∆x y de la velocidad transversal v T =
.
∂t
Identidicando términos con la ecuación del enunciado nos queda
R
,
k=
2ρ
β=
s
T
.
ρ
(b) Por consistencia dimensional de la propia ecuación del enunciado, se debe cumplir que
· 2 ¸ ·
¸
∂ u
∂u
=
k
→ LT−2 = [k]LT−1 → [k] = T−1 → p = 0, q = 0, r = −1 .
∂t2
∂t
De la misma forma, para β tenemos
·
¸ · 2 ¸
2
∂ u
2∂ u
β
=
→ [β 2 ]L−1 = LT−2 → [β] = LT−1 → p = 0, q = 1, r = −1 .
2
∂x
∂t2
(c)
(d) Primero calculamos las derivadas correspondientes de la función
f (x + βt):
00
∂ 2 f (x + βt)
= f (x + βt),
∂x2
00
∂ 2 f (x + βt)
= β 2 f (x + βt),
∂t2
0
∂f (x + βt)
= βf (x + βt).
∂t2
Sustituyendo en la ecuación del enunciado, se ve claramente que f (x+βt) no satisface dicha ecuación:
00
0
00
0
β 2 f + 2kβf − β 2 f = 2kβf 6= 0.
Lo mismo ocurre con f (x − βt). Por lo tanto, la ecuación del enunciado no admite soluciones en
forma de superposición de ondas viajeras.
(e) Sustituyendo el modo n−ésimo en la ecuación del enunciado nos queda
g̈ sin
³ nπx ´
`
+ 2k ġ sin
³ nπx ´
`
+
µ
nπβ
`
¶2
gn sin
³ nπx ´
`
= 0,
con lo que desaparece la dependencia en x, quedando únicamente una ecuación para g n (t):
g̈ + 2 k ġ +
µ
nπβ
`
¶2
gn = 0,
cuya solución general es
gn (t) = e−kt ( An cos(ωn t) + Bn sin(ωn t) ) ,
siendo ωn las frecuencias determinadas por las partes imaginarias de las raices del polinomio caracterı́stico de la ecuación:
sµ
¶2
¶2
µ
nπβ
nπβ
= 0, λ = −k ± i
− k 2 = −k ± iωn .
λ2 + 2kλ +
`
`
Las oscilaciones está amortiguadas por el factor e−kt , por lo tanto gn (t) no es periódica.
3. Solución del tercer problema
(a) Para un conductor filforme se verifica:
~ y, z) = µI
A(x,
4π
Z
d~l0
cond
|~r − r~0 |
Siendo ~r = (x, y, z) el vector de posición del punto P , r~0 un punto de la curva (en este caso r~0 =
QΩ
(0, y 0 , z 0 )) e I la intensidad de la corriente, que circula por el conductor. En este caso I =
.
2π
La espira en coordenadas polares es r~0 = (0, a cos ϕ, a sin ϕ) =⇒ d~l0 = a (0, − sin ϕ, cos ϕ) dϕ, con
ϕ ∈ (0, 2π].
1
y cumple:
El denominador de la integral es
|~r − r~0 |
1
|~r − r~0 |
= p
1
x2
+ (y −
a cos ϕ)2
1
|~r − r~0 |
a sin ϕ)2
+ (z −
=
(r2
1
=⇒
− 2ay cos ϕ − 2az sin ϕ + a2 )1/2
' (r 2 − 2ay cos ϕ − 2az sin ϕ)−1/2 =⇒
(teniendo en cuenta que |u| ¿ 1 ⇒ (1 + u)α ' 1 + αu)
1
|~r − r~0 |
'=
1 ay cos ϕ az sin ϕ
+
+
r
r3
r3
Sustituyendo este valor en la definición del potencial vector, queda
µ
¶
Z
µIa 2π
1 ay cos ϕ
az sin ϕ
~
A(x, y, z) =
+
dϕ +
(0, − sin ϕ, cos ϕ)
=⇒
4πr 0
r
r3
r3
2
~ y, z) = µIa π (0, −z, y)
A(x,
4πr3
QΩ
.
2π
~ es el vector momento magnético de una espira de radio r, por la que circula
(b) Se sabe que m
~ = πr 2 I N
~ viene dada por el sentido de la intensidad, según la regla
una intensidad I y cuya normal unitaria N
del tornillo. En este caso el momento magnético es:
Con I =
m
~ = πa2 I~ex
y el potencial vector en función de él es:
~ × ~r
µIa2 π
µm (0, −z, y)
~ y, z) = m
A(x,
=
(0, −z, y) =
3
3
r
4πr
4π
r3
(c) El campo magnético es:
~
~ × A(x,
~ y, z) = µ
B(x,
y, z) = ∇
4π
.
µ
¶
(m
~ · ~r)
m
~
3
~r − 3
r5
r
(d) Teniendo en cuenta que
~
~ ×E
~ + ∂ B = ~0
∇
∂t
I
~
∂B
~ ×E
~ = ~0 =⇒
~ · d~l = 0, para toda curva cerrada
= ~0 , se tiene ∇
E
∂t
C
~ es conservativo.
C, =⇒ E
~ conservativo, existe una función escalar V (x, y, z) cuyo gradiente cambiado de signo es E.
~
(e) Por ser E
I
dl0
1
V (x, y, z) =
4πε C |~r − ~r0 |
y que en todo punto
Teniendo en cuenta que dl 0 = adϕ, que ϕ varı́a entre 0 y 2π y el desarrollo, obtenido antes para
1
, queda
|~r − ~r0 |
1
V (x, y, z) =
4πε
Z
2π
0
λadϕ
λa
'
|~r − ~r0 |
4πε
Z
2π
0
V (x, y, z) =
µ
1 ay cos ϕ az sin ϕ
+
+
r
r3
r3
dϕ =⇒
2λπa 1
4πε r
Como λ es la densidad de carga por unidad de longitud, queda λ =
V (x, y, z) =
¶
q
=⇒ λ2πa = q =⇒
2πa
q
q
~ =
=⇒ E
~r
4πεr
4πεr3
FÍSICA Plan 95
Test. Examen Final. Junio 2007.
Departamento de Fı́sica Aplicada
Identificación de la prueba: 250 18004 02 0 00
Notas:
El tiempo para hacer el test es de una hora.
Hay que marcar con lápiz o bolı́grafo el cuadro de la respuesta, de forma que la marca llene el cuadro.
Hay que rellenar los cuadros correspondientes al DNI.
Si no se rellenan los cuadros correspondientes a la permutación, NO se puede corregir el TEST.
1. Indicar qué afirmación es cierta para una onda transversal cualquiera:
(a) La densidad de energı́a mecánica no es ni constante ni uniforme.
(b) Podemos calcular la densidad de energı́a mecánica media en un periodo.
(c) La densidad de energı́a mecánica es uniforme.
(d) La densidad de energı́a cinética es igual a la densidad de energı́a potencial.
2. Indicar qué afirmación es cierta para una onda armónica que se propaga:
(a) La potencia transmitida en un punto y un instante es proporcional a la densidad de energı́a en ese
punto y ese instante.
(b) La potencia media transmitida en un perı́odo es cero en todo punto.
(c) La potencia transmitida es uniforme.
(d) La potencia transmitida no se puede anular nunca.
2
3. Una onda transversal en una cuerda viene descrita por la ecuación y(x, t) = Ae −(x+ct) . Indicar cuál de
las siguientes afirmaciones es correcta:
(a) En todo punto e instante las densidades de energı́a potencial y cinética son iguales.
(b) La onda se propaga hacia la derecha.
(c) La potencia media transmitida en un periodo no puede ser nula.
(d) La densidad de energı́a cinética media en un perı́odo es igual a la densidad media de energı́a potencial
en un perı́odo.
4. Se tienen dos cuerdas en el eje x que están unidas en x = 0. La primera situada en x < 0 tiene una
impedancia Z1 . La segunda está en x > 0 y su impedancia vale Z2 . Si se propaga una onda hacia la
derecha, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
(a) La onda transmitida estará en fase con la onda incidente.
(b) La onda reflejada estará en fase con la onda incidente si Z1 < Z2 .
(c) Si Z2 es cero, no habrá onda reflejada.
(d) El coeficiente de transmisión en amplitud será negativo si Z1 < Z2 .
5. Tenim el mateix nombre de mols, a la mateixa T i p, de dos gasos ideals diferents, un monoatòmic i l’altre
diatòmic.
(a) En una expansió isobàrica contra la mateixa pressió externa i fins al mateix volum final, realitzen el
mateix treball.
(b) En una expansió adiabàtica reversible fins al mateix volum final, realitzen el mateix treball.
(c) En un escalfament isòcor fins a la mateixa temperatura final, l’increment d’entropia és el mateix.
(d) En un escalfament isobàric fins a la mateixa temperatura final, l’increment d’entropia és el mateix.
6. En un calorı́metro adiabático se mezcla una masa de agua lı́quida, ml , inicialmente a 20o C, con una masa
de hielo, mh , inicialmente a 0o C. Ası́ se obtiene agua lı́quida a 0o C. Sabiendo que el calor latente de fusión
cal
cal
y el calor especı́fico del agua lı́qida es 1 0 , indicar qué afirmación se cumple:
del hielo es 80
g
g0 C
(a) ml = 4mh .
(b) ml = 2mh .
(c) No se puede decir nada porque hace falta el calor especı́fico del hielo.
(d) Es imposible que se funda todo el hielo si no se da calor exterior.
7. Un mol de un gas ideal está inicialmente en un estado de equilibrio (pi , Vi , Ti ). Se comprime adiabáticamente hasta el estado (2p i, Vf , Tf ), con una presión exterior constante 2pi . ¿Qué afirmación es
cierta?
(a) el volumen final vale
Vi (Cp + R)
.
2Cp
(b) la temperatura final vale
Ti (Cp + R)
.
2Cp
(c) la temperatura final vale
Ti (Cp − R)
.
Cp
(d) el volumen final vale
Vi (Cp + R)
.
Cp
8. Un mol de un gas ideal está inicialmente en un estado de equilibrio (2p, V i , Ti ). Se expande adiabáticamente
a presión constante, p, hasta el estado p, Vf , Tf . Si γ = Cp /Cv , ¿qué afirmación se cumple?
¶
µ
γ+1
− Cv ln 2.
(a) La variación de entropı́a del universo vale ∆S = Cp ln
γ
µ
¶
γ+1
.
(b) La variación de entropı́a del universo vale ∆S = Cp ln
γ
(c) La energı́a interna del gas permanece constante.
(d) La variación de entropı́a del universo vale ∆S = R ln 2.
αRT 2
. Indicar
T 2 + β2
cuál de las siguientes afirmaciones es cierta, cuando se calienta el gas desde una temperatura T a hasta
Tb > T a .
9. El calor especı́fico molar, a volumen constante, de un gas ideal viene dado por C v =
(a) La variación de entropı́a del gas es ∆S = αR ln
(b) La variación de entropı́a del gas es ∆S = Cv ln
µ
Tb2 + β 2
Ta2 + β 2
Tb
.
Ta
¶1/2
.
¶
Tb2 + Ta2
.
2β 2
µ 2
¶
αR
Tb + Ta2
= αR(Tb − Ta ) +
ln
.
2
2β 2
(c) El calor absorbido por el gas es Qab = αR(Tb − Ta ) + αR arctan
(d) El calor absorbido por el gas es Qab
µ
10. La pared de una habitación está dividida en dos partes de la misma superficie y grosor. La inferior está
formada por cemento de conductividad térmica kc y la de arriba por vidrio de conductividad térmica
kv > kc . Indicar qué afirmación es cierta, para los flujos de calor a través del vidrio, φ v , y del cemento,
φc .
φc
φv
=
.
kv
kc
(b) φc ≥ φv .
(a)
(c) φv kv = φc kc .
(d) φv + φc = 0.
11. Se tiene un esfera hueca conductora de radio interior R1 y exterior R2 (R1 < R2 ) cargada con una carga
q. Si r es la distancia al centro de la esfera, indicar qué afirmación es falsa:
(a) r ∈ (R1 , R2 ) ⇒ V (r) = 0.
(b) r < R1 ⇒ V (r) = constante.
~
(c) r ∈ (R1 , R2 ) ⇒ E(r)
= ~0.
(d) El campo eléctrico es discontinuo en R2 .
12. Indicar qué afirmación es cierta:
~ y P~ se miden en las mismas unidades.
(a) D
~ yE
~ se miden en las mismas unidades.
(b) D
~ yB
~ se miden en las mismas unidades.
(c) H
~ yB
~ se miden en las mismas unidades.
(d) M
~ · ~j = 0. Indicar qué afirmación
13. La densidad de corriente en un conductor no filiforme cumple ~j 6= ~0 y ∇
es cierta:
(a) El campo eléctrico creado por este conductor es cero en todos los puntos.
(b) La densidad de corriente en el conductor es uniforme.
(c) La intensidad de la corriente en el conductor es cero.
(d) El campo eléctrico creado no es uniforme y varı́a con el tiempo.
14. Una superficie metálica tiene una densidad de carga σ.
~ es discontinua en ella y el salto de la función es, en valor absoluto, |σ|.
(a) La componente normal de D
~ es discontinua en ella y el salto de la función es, en valor absoluto, |σ| .
(b) La componente normal de E
2ε0
~
(c) La componente tangencial de D es discontinua en ella y el salto de la función es, en valor absoluto,
|σ|.
~ es discontinua en ella y el salto de la función es, en valor absoluto,
(d) La componente tangencial de E
|σ|
. m
2ε0
~ que relaciona la polarización de un dieléctrico con el campo electrostático, cumple:
15. La relación P~ = ε0 χE,
(a) es un modelo simplificado para dieléctricos homogeneos, isótropos y lineales.
(b) es una consecuencia de las ecuaciones de Maxwell.
(c) es un modelo que vale para todo dieléctrico.
(d) si se cambiara, no valdrı́an las ecuaciones de Maxwell.
~ = β(−y, x, 0)
16. Un campo vectorial V
x2 + y 2
(a) puede representar un campo magnético creado por una corriente infinita coincidente con el eje z.
(b) puede representar un campo magnético creado por una corriente en un conductor, contenido en el
eje z, de longitud L y con un extremo en el origen.
(c) puede representar un campo eléctrico no conservativo en una región del espacio donde hay un campo
magnético que varı́a con el tiempo.
(d) puede representar un campo eléctrico conservativo en una región del espacio donde hay una densidad
de carga ρ(x, y, z) > 0.
~ = −3t2 αe~z , con α 6= 0 y el eléctrico E
~ = β(y, −x, z), ambos estarán
17. Dados el campo magnético B
asociados por alguna ecuación de Maxwell si:
(a) β = −3αt.
(b) β = 3αt.
~ ·E
~ 6= 0.
(c) Nunca porque ∇
~ ×B
~ = ~0.
(d) Nunca porque ∇
~ · ~j = 0. En este caso:
18. Se tiene una distribución de cargas que pueden moverse, tal que ∇
(a) El campo eléctrico debido a estas cargas es conservativo.
(b) El rotacional del campo eléctrico creado por estas cargas es diferente de cero.
(c) La divergencia del campo magnético creado por esta distribución no es nula.
(d) Estas cargas no pueden crear ningún campo magnético.
19. Una superficie conductora, en la que hay una densidad de corriente ~j, separa dos medios diferentes. Indicar
qué afirmación es cierta:
~ es continua e igual en ambos medios.
(a) La componente normal del campo magnético B
~ es discontinua en la superficie y su discontinuidad es
(b) La componente normal del campo magnético B
~
|jN |.
~ es discontinua en la superficie y su discontinuidad es
(c) La componente normal del campo magnético B
|~jN |
.
µ0
~ es discontinua en la superficie y su discontinuidad es
(d) La componente normal del campo magnético B
~
µ0 |jN |.
20. Una esfera construida con un material dieléctrico tiene una densidad de carga por unidad de volumen ρ y
un radi R. Indicar qué afirmación es cierta
(a) En r = R la componente normal del vector desplazamiento es continua.
(b) En r = R la componente normal del vector desplazamiento es discontinua.
(c) En r < R el vector desplazamiento es nulo.
(d) En r < R no se puede definir el vector deplazamiento.
Respostes al Test.
Examen Final
Preg.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Permutació
1
2
3
a
b
b
d
a
a
a
d
c
b
d
c
c
b
c
a
b
a
c
b
b
b
a
a
b
b
b
d
d
a
c
d
d
d
a
b
b
c
c
b
a
b
b
d
b
a
b
c
d
c
d
d
a
a
b
d
b
b
c
b
4
d
c
c
c
b
a
a
c
b
c
b
a
d
d
b
a
b
c
d
b