Departamento de Física Aplicada III

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Superior de Ingenieros
Camino de los Descubrimientos s/n
41092 Sevilla
APELLIDOS:
NOMBRE:
Examen de Campos Electromagnéticos. 2o de Industriales. Septiembre-2006
SOLUCIÓN A LA CUESTIÓN A
Cuestión A.-
(2.5 ptos.)
1. Demuéstrese que la función de tipo sinusoidal
F (z, t) = Aux cos(kz − ωt + δ0 ),
siendo A, k, ω y δ0 escalares, satisface la ecuación de ondas vectorial homogénea. ¿Qué relación debe
cumplir k y ω?. (0.8 ptos.)
t) = 10ux cos(kz − 107 πt + π/2), medido todo en el Sistema Internacional, representa
2. Si el campo E(z,
el campo eléctrico de una onda de ese tipo, determı́nese su amplitud, frecuencia natural, frecuencia
angular y longitud de onda. ¿En qué dirección se propaga? (0.8 ptos.)
3. Obténgase la expresión del campo magnético asociado a la onda.
(0.9 ptos.)
SOLUCIÓN
1) La ecuación de ondas vectorial homogénea es
∇2 F −
1 ∂ 2 F
= 0,
c2 ∂t2
donde en el caso de las ondas electromagnéticas c representa la velocidad de la luz.
Para verificar que el campo dado satisface dicha ecuación primero observamos que en cartesianas sólo tiene
una componente (la que va dirigida según el eje OX), y que además la dependencia con las coordenadas
se reduce a la que tiene con la coordenada z. En definitiva, el operador ∇2 requiere sólo el calculo de la
derivada ∂ 2 /∂z 2 . Es fácil obtener los siguientes resultados:
∂ 2 Fx
= −Ak2 cos(kz − ωt + δ0 )
∂z 2
y
∂ 2 Fx
= −Aω 2 cos(kz − ωt + δ0 ),
∂t2
por lo que al sustituir en la ecuación de ondas basta exigir que
c = ω/k
para que se satisfaga.
2) Comparando las expresiones dadas en el primer y segundo apartado, es claro que la amplitud del campo
eléctrico es
E0 = 10 V/m
Las frecuencias angular (ω) y natural (ν = ω/(2π)) son, respectivamente
ω = 107 π rad/s
ν = 12 107 Hz.
Por último la longitud de onda se obtiene de k = ω/c = (π · 107 /3 · 108 )m−1 = (π/30)m−1 , y de λ = 2π/k,
es decir
λ = 60 m
Se trata de ondas que en el espectro electromagnético corresponden a ondas de radio. Su propagación se
realiza según la dirección y sentido marcados por el unitario uk , puesto que en el argumento del coseno la
expresión general k · r se reduce a kz = kuz · r.
3) El campo magnético asociado a la onda se reconstruye a partir del conocido campo eléctrico y de las
siguientes propiedades de las ondas planas monocromáticas:
• Ambos campos están en fase. En este caso δ0 = π/2.
B
y k forman un triedro ortogonal. En nuestro caso, como E
va dirigido según ux y k según uz , el
• E,
campo B se orienta según uy .
= c|B|.
• Se cumple la relación de amplitudes |E|
Como resultado de todo ello, el campo magnético asociado es
= 1 10−7 uy cos(πz/30 − π · 10−7 t + π/2)
B
3
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Camino de los Descubrimientos s/n
41092 Sevilla
APELLIDOS:
Cuestión B.-
NOMBRE:
(2.5 ptos.)
Contéstese al cuestionario teniendo en cuenta las siguientes normas:
(1) Sólo se admite una respuesta a cada pregunta, que será claramente identificable (evı́tense tachones).
(2) Una respuesta incorrecta cuenta negativamente como un tercio de una respuesta correcta.
(3) Si la calificación del test resulta negativa, se tomará como cero el resultado final en esta parte (cuestión
B) del examen.
1
El campo magnético es
×
2
2
2
2
2
Irrotacional solamente en magnetostática.
2
×
2
8
Electrostático, pero no magnetostático.
Electrostático y magnetostático.
Ni electrostático y ni magnetostático
Newton.
Weber.
Voltio.
Amperio·vuelta.
Nunca acumula energı́a, pero sı́ carga.
Acumula carga y transmite energı́a, pero no la almacena.
Almacena energı́a por acumulación de carga neta.
Almacena energı́a mediante la separación de cargas.
9
De las intensidades.
De la geometrı́a y las intensidades.
Ni de la geometrı́a ni de las intensidades.
La polarización.
Las cargas libres.
Las cargas libres y la polarización.
Ni las cargas libres ni la polarización.
La reluctancia de un circuito magnético simple de longitud l, sección S y permeabilidad µ vale
2
2
2
×
2
Magnetostático, pero no electrostático.
De la geometrı́a.
está determinado por
El campo D
2
×
2
2
2
Se cumple siempre.
Un condensador
2
2
7
Sólo se cumple en situaciones con alta simetrı́a.
sólo cuando se cumple.
Es útil para calcular E
¿Cuál es la unidad de medida en el S.I. de la fuerza
electromotriz?
2
2
×
2
2
5
Irrotacional.
siempre.
Es útil para calcular E
Dado un sistema de espiras los coeficientes de inducción
dependen
×
2
2
2
2
Solenoidal solamente en magnetostática.
Un campo definido por la expresión a × r, con a un
vector constante y r el vector de posición puede ser:
2
×
2
2
2
4
Solenoidal.
La ley de Gauss en forma integral
2
2
2
×
2
3
6
S/(µl).
µl/S.
Sµ/l.
l/(µS).
La unidad de medida de la magnetización en el S.I. es
×
2
2
2
2
A/m.
A·m.
A/m2 .
A·m2 .
10 Dada la superficie de separación entre dos medios se
puede decir con toda generalidad que la componente
tangencial es continua para el campo
2
×
2
2
2
D.
E.
H.
B.
Examen de Campos Electromagnéticos - 2o curso de Ingenierı́a Industrial - Septiembre 2006