cálculo de derivadas e interpretación
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INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS GUÍA IV CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES A: RECTAS TANGENTES, RECTAS SECANTES, E INTERPRETACIÓN FÍSICA DE LA DERIVADA CÁLCULO DE DERIVADAS Si tenemos seleccionada en la ventana de álgebra una expresión: f ( x ) = sen( x )cos ( x ) y deseamos calcular su derivada podemos utilizar dos alternativas: 1.) Usar la secuencia de menú Cálculo‐Derivadas a continuación aparecerá la ventana de diálogo: En esta ventana de diálogo tenemos varios elementos, por un lado la VARIABLE DE DERIVACIÓN (que deberemos elegir si se trata de una expresión de varias variables), y el ORDEN de la derivada que deseamos calcular. Una vez seleccionados estos elementos podemos optar por hacer clic sobre el botón , en cuyo caso aparecerá en la ventana de álgebra una expresión que indica la operación de derivación a realizar: En este caso, si se desea obtener posteriormente la derivada habría que simplificar la expresión obtenida. Si por el contrario hacemos uso del botón derivada directamente. obtendremos el valor de la Observa la diferencia en el uso de ambos botones. E-mail: [email protected], [email protected], [email protected] INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS 2.) Utilizando el icono (Derivar), de la barra de herramientas, Sitúa el cursor sobre la función F(x) (que va a derivar), para resaltarla. Pulsa el icono Derivar y se repite el procedimiento anterior 3.) Escribiendo en la barra de insertar texto la expresión DIF(f(x),x), que indica que se va a derivar la función con respecto a la variable x. Simplificando esta expresión con Simplificar‐Normal obtenemos 4.) Escribiendo en la barra de insertar texto la expresión f ’(x) (usa el apóstrofe ’, no el acento ´), que indica que se va a derivar la función con respecto a la variable x. Luego, hacemos uso del icono y obtendremos el valor de la derivada. RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Dada una función y = f(x), la ecuación de la recta tangente en un punto (a, f(a)) es y = f(a) + f’ (a)(x−a). Podemos considerar la expresión entre corchetes [f(x), f(a)+f’(a)(x‐a), 0], incluye 0 para evitar que DERIVE interprete una sola función en coordenadas polares) Ejemplo: Considera la función f ( x) = x3 + 2 x 2 + 1 . Determine la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x = ‐2 Procedimiento:, “introduce” la función: Luego introducimos la expresión de la función y de la recta tangente: Seguidamente se cambia el valor de a por ‐2 E-mail: [email protected], [email protected], [email protected] INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS Y “simplifica”, quedando como resultado la función original y la recta tangente a ella: Para comprobar que eso es cierto podemos graficar ambas de una vez (tanto la función como la recta) de la siguiente manera: Seleccionar el resultado obtenido (# 13, en este caso): Una vez seleccionada, seguimos con insertar, gráfica 2D. (Ver anexo) Aparece el sistema de coordenadas, seleccione nuevamente insertar y luego gráfica, de esta manera aparecerá las gráficas buscadas. Otra forma de comprobar: Seleccionar el resultado obtenido (# 13, en este caso): E-mail: [email protected], [email protected], [email protected] INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS Una vez seleccionada, Utilizando el icono (representar expresión) de la barra de herramientas, aparece el sistema de coordenadas, utilice nuevamente el icono , y de esta manera aparecerá las gráficas buscadas. RECTA NORMAL A UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Dada una función y = f(x), la ecuación de la recta tangente en un punto (a, f(a)) es y = f(a) –(1/ f’ (a))(x−a). Podemos considerar la expresión entre corchetes [f(x), f(a) + (‐ 1/f'(a))∙(x ‐ a), 0], incluye 0 para evitar que DERIVE interprete una sola función en coordenadas polares) Ejemplo: Determine la ecuación de la recta normal a la curva de abscisa x=1 Procedimiento:, “introduce” la función: 3 2, en el punto Luego introducimos la expresión de la función y de la recta tangente: Seguidamente se cambia el valor de a por 1 Y “simplifica”, quedando como resultado la función original y la recta tangente a ella: Para comprobar seguimos procedimiento similar al anterior E-mail: [email protected], [email protected], [email protected] INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS Una vez seleccionada, Utilizando el icono (representar expresión) de la barra de herramientas, aparece el sistema de coordenadas, utilice nuevamente el icono de esta manera aparecerá las gráficas buscadas. , y PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE COMO LÍMITE DE LA PENDIENTE DE LA RECTA SECANTE Dada una función f(x), f ( x) = x 4 − 3 x 2 + 2 define una función Msec(a,b) que proporcione la pendiente de la recta secante a f(x) entre x = a y x = b: Msec (a,b):= (f(b)‐f(a))/(b‐a) Se calcula la Msec (1,x) Define una función Rsec(a, b) que proporcione una ecuación de la recta secante a f(x) entre x = a y x = b: Rsec (a,b):=f(a)+ Msec (a,b) (x ‐a) Buscamos la ecuación de la recta secante para el punto (1, 0) E-mail: [email protected], [email protected], [email protected] INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS Ahora determinamos el límite de la pendiente de la recta secante o sea del resultado: El resultado obtenido es el límite de la pendiente de la recta secante, que representa la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado, y esta a su vez es la primera derivada de la función en un punto determinado Define una función Rtg(a) que proporcione la ecuación de la recta tangente a f(x) en x = a: Rtg(a):=f(a)+f’(a)(x‐a) Ejemplos: 1) Determine la ecuación de la recta secante a la curva 1,3 Se realiza el procedimiento indicado anteriormente: 4 , en el punto Para la gráfica se coloca en derive: E-mail: [email protected], [email protected], [email protected] INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS Utilizando el icono , de la barra de herramientas, aparece el sistema de coordenadas, utilice nuevamente el icono buscadas. , y de esta manera aparecerá las gráficas 2) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva de abscisa 0. 5, en el punto Una vez seleccionado el resultado, se utiliza el icono coordenadas, nuevamente el icono buscadas , aparece el sistema de , y de esta manera aparecerá las gráficas E-mail: [email protected], [email protected], [email protected] INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS 3) Escribir la ecuación de la recta tangente y de la normal a la hipérbola y = 1 en el x punto cuya abscisa es x = 12 . Después de introducir la función definimos la siguiente orden para determinar de una vez ambas rectas. [f(x), f(a) + f'(a)∙(x ‐ a), f(a) + (‐ 1/f'(a))∙(x ‐ a), 0] CÁLCULO DE LA RECTA PUNTO PENDIENTE: Define una función REC_PDTE(m, p) que determine la ecuación de la recta conociendo la pendiente y un punto de ella. REC_PDTE(m, p) := ELEMENT(p, 2) + m∙(x ‐ ELEMENT(p, 1)). Y luego sustituye los valores respectivos. E-mail: [email protected], [email protected], [email protected] INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS Nota: el punto debe colocarse en corchete. Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 0,5 , y tiene pendiente igual a ‐ 2. El resultado obtenido es la recta buscada. INTERPRETACIÓN FÍSICA DE LA DERIVADA La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea, y la derivada de la velocidad respecto del tiempo es la aceleración instantánea. Ejemplo: 1) La ecuación de un movimiento es, instante 5 6 9, determina la velocidad en el El resultado es el valor de la velocidad, ahora en el instante En la barra de herramienta seleccione 5 , luego sustituir variable, (ver figura) Aparece el siguiente cuadro: E-mail: [email protected], [email protected], [email protected] INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI” EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS Donde aparece Nuevo valor coloque el valor correspondiente: 5 y por último seleccione simplificar. Si prefiere de una forma más directa seleccione el icono , y coloque el nuevo valor. Nota: Resolver las quías respectivas sobre los temas tratados DÁMASO ROJAS ABRIL 2008 E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
