Interpolación polinomial

Interpolación polinomial
Métodos numéricos
1
Problema
Dados n + 1 pares (xi , yi ) ∈ R2 con xi 6= xj ∀i 6= j queremos
encontrar un polinomio P de grado ≤ n tal que P(xi ) = yi
∀0 ≤ i ≤ n.
2
Existencia
Siempre existe un P que cumple lo pedido. Por ejemplo, el
polinomio interpolador de Lagrange:
Pn (x) =
n
X
k=0
yk
n
Y
x − xj
xk − xj
j=0
j6=i
3
Unicidad
Dados los n + 1 pares (xi , yi ) ∈ R2 con xi 6= xj ∀i 6= j el
polinomio de Lagrange es el único P de grado ≤ n tal que
P(xi ) = yi ∀0 ≤ i ≤ n.
4
Unicidad
Dados los n + 1 pares (xi , yi ) ∈ R2 con xi 6= xj ∀i 6= j el
polinomio de Lagrange es el único P de grado ≤ n tal que
P(xi ) = yi ∀0 ≤ i ≤ n.
Demo:
Sean P y Q polinomios de grado ≤ n tales que
P(xi ) = Q(xi ) = yi ∀0 ≤ i ≤ n.
4
Unicidad
Dados los n + 1 pares (xi , yi ) ∈ R2 con xi 6= xj ∀i 6= j el
polinomio de Lagrange es el único P de grado ≤ n tal que
P(xi ) = yi ∀0 ≤ i ≤ n.
Demo:
Sean P y Q polinomios de grado ≤ n tales que
P(xi ) = Q(xi ) = yi ∀0 ≤ i ≤ n.
Sea D(x) = P(x) − Q(x).
4
Unicidad
Dados los n + 1 pares (xi , yi ) ∈ R2 con xi 6= xj ∀i 6= j el
polinomio de Lagrange es el único P de grado ≤ n tal que
P(xi ) = yi ∀0 ≤ i ≤ n.
Demo:
Sean P y Q polinomios de grado ≤ n tales que
P(xi ) = Q(xi ) = yi ∀0 ≤ i ≤ n.
Sea D(x) = P(x) − Q(x).
D tiene grado ≤ n por ser resta de polinomios de grado ≤ n.
4
Unicidad
Dados los n + 1 pares (xi , yi ) ∈ R2 con xi 6= xj ∀i 6= j el
polinomio de Lagrange es el único P de grado ≤ n tal que
P(xi ) = yi ∀0 ≤ i ≤ n.
Demo:
Sean P y Q polinomios de grado ≤ n tales que
P(xi ) = Q(xi ) = yi ∀0 ≤ i ≤ n.
Sea D(x) = P(x) − Q(x).
D tiene grado ≤ n por ser resta de polinomios de grado ≤ n.
D(xi ) = P(xi ) − Q(xi ) = yi − yi = 0 ∀0 ≤ i ≤ n.
4
Unicidad
Dados los n + 1 pares (xi , yi ) ∈ R2 con xi 6= xj ∀i 6= j el
polinomio de Lagrange es el único P de grado ≤ n tal que
P(xi ) = yi ∀0 ≤ i ≤ n.
Demo:
Sean P y Q polinomios de grado ≤ n tales que
P(xi ) = Q(xi ) = yi ∀0 ≤ i ≤ n.
Sea D(x) = P(x) − Q(x).
D tiene grado ≤ n por ser resta de polinomios de grado ≤ n.
D(xi ) = P(xi ) − Q(xi ) = yi − yi = 0 ∀0 ≤ i ≤ n.
Entonces D es un polinomio de grado ≤ n con n + 1 raíces
distintas.
4
Unicidad
Dados los n + 1 pares (xi , yi ) ∈ R2 con xi 6= xj ∀i 6= j el
polinomio de Lagrange es el único P de grado ≤ n tal que
P(xi ) = yi ∀0 ≤ i ≤ n.
Demo:
Sean P y Q polinomios de grado ≤ n tales que
P(xi ) = Q(xi ) = yi ∀0 ≤ i ≤ n.
Sea D(x) = P(x) − Q(x).
D tiene grado ≤ n por ser resta de polinomios de grado ≤ n.
D(xi ) = P(xi ) − Q(xi ) = yi − yi = 0 ∀0 ≤ i ≤ n.
Entonces D es un polinomio de grado ≤ n con n + 1 raíces
distintas.
Entonces D ≡ 0. Entonces P ≡ Q
4
Ejercicio 1
Sea f (x) = sin(2x), hallar un polinomio que la interpole en los
puntos xk = π/4 + kπ con 0 ≤ k ≤ n. Calcular el error máximo
cometido en la interpolación.
5
Diferencias divididas
El método de las diferencias divididas permite construir el
polinomio interpolador recursivamente, facilitando el agregado
de un punto nuevo al conjunto de puntos interpolados.
6
Diferencias divididas
La diferencia dividida de orden 0 de f respecto de xi se define:
f [xi ] = f (xi )
La diferencia dividida de orden 1 de f respecto de xi , xi+1 se
define:
f [xi+1 ] − f [xi ]
f [xi , xi+1 ] =
xi+1 − xi
La diferencia dividida de orden k de f respecto de
xi , xi+1 , . . . , xi+k se define:
f [xi , xi+1 , . . . , xi+k ] =
f [xi+1 , . . . , xi+k ] − f [xi , xi+1 , . . . , xk−1 ]
xi+k − xi
7
Diferencias divididas
Entonces, usando las diferencias divididas, el polinomio
interpolador se puede escribir como:
pn (x) = f [x0 ]+f [x0 , x1 ](x−x0 )+· · ·+f [x0 , . . . , xn ](x−x0 ) . . . (x−xn−1 )
Notar que la forma recursiva de las diferencias divididas
permite agregar fácilmente un nuevo par (xn+1 , yn+1 ):
pn+1 (x) = f [x0 , . . . , xn+1 ](x − x0 ) . . . (x − xn ) + pn (x)
8
Ejercicio 2
a. Dados los puntos (x0 , y0 ), . . . , (xn , yn ) en el plano, sea p el
polinomio de grado ≤ n que los interpola. Demostrar que si
el grado de p es < n, entonces f [x0 , . . . , xn ] = 0.
b. Dados los puntos (−1, 3), (1, 1), (2, 3), (3, 7), determinar
cuántos polinomios de grado d existen que pasen por todos
los puntos para:
1
2
3
d=2
d=3
d=4
Para cada valor de d, en caso de ser posible, mostrar uno.
9
Error
Dada una función f con n + 1 derivadas continuas en el
intervalo [a, b], y sean x0 , . . . , xn puntos distintos en dicho
intervalo, entonces para todo x ∈ [a, b] existe un ξ(x) ∈ [a, b] tal
que:
n
f (n+1) (ξ(x)) Y
f (x) = P(x) +
(x − xi )
(n + 1)!
i=0
10
Interpolación fragmentaria
Interpolación lineal:
Llamamos interpolación lineal de un conjunto de puntos
(x0 , y0 ), . . . , (xn , yn ) a unir cada par de puntos consecutivos
mediante una recta, resultando en una función continua
partida en n intervalos, cada uno de ellos formado por una
función lineal.
11
Ejercicio 3
Determinar cuántos puntos equiespaciados se necesitan para
interpolar linealmente la función ex en el intervalo [−1, 0] tal
que el error de interpolación lineal sea menor a 0.005.
12
Splines
Ahora cada par de puntos lo vamos a unir con un polinomio de
grado ≤ 3. Dados los n + 1 puntos a interpolar, se construyen n
splines Si , con 0 ≤ i ≤ n − 1, tales que:
1
Si pasa por los puntos (xi , yi ): esta condición también
asegura continuidad
S(xi ) = yi ∧ Si (xi+1 ) = yi+1 , ∀0 ≤ i ≤ n − 1
2
Las derivadas primera y segunda son continua
S0i (xi ) = S0i+1 (xi ), ∀0 ≤ i ≤ n − 1
S00i (xi ) = S00i+1 (xi ), ∀0 ≤ i ≤ n − 1
13
Splines
Esto determina 4n − 2 restricciones. Cada spline está involucra
4 incógnitas Si (x) = ai x3 + bi x2 + ci x + di . Para agregar las 2
restricciones restantes vamos a considerar 2 opciones:
1
Spline natural: La derivada segunda se anula en los
bordes
S000 (x0 ) = 0 ∧ S00n−1 (xn ) = 0
2
Spline sujeto a la función interpolada f : La derivada
primera es igual a la de f en los bordes
S00 (x0 ) = f 0 (x0 ) ∧ S0n−1 (xn ) = f 0 (xn )
14
Ejercicio 4
Sea S un spline cúbico sujeto a f :
(
x2 + 1
S(x) =
x3 + bx2 + a
−2 ≤ x ≤ x1
x1 ≤ x ≤ 2
1
Hallar a,b y x1 .
2
Hallar f 0 (−2) y f 0 (2).
3
Determinar si S es también spline natural.
15