espacios vectoriales

ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA.
1- ESPACIOS VECTORIALES.
Apuntes de la Cátedra.
Alberto Serritella.
Colaboraron: Cristian Mascetti
Vanesa Bergonzi
Edición Previa – CECANA – CECEJS – CET – Junín – 2010.
UNNOBA
Universidad Nacional de Noroeste de la Pcia. de Bs. As.
Para mensajes: [email protected]
1- ESPACIOS VECTORIALES:
Se requiere conocer previamente los conceptos de Estructuras Algebraicas
(Grupo, Cuerpo, Módulo, Espacios Vectoriales).
Combinación Lineal:
r
r r
r
Sea U = {u i }in=1 = {u1 ; u 2 ;.....; u n } ⊂ V
Sea v ∈ V donde V = (V ; K ;+;
⋅) es un espacio vectorial sobre un cuerpo K.
Diremos que:
v es una combinación lineal del conjunto de vectores U ⇔
r r
r
⇔ v es una combinación lineal de los vectores u1; u2 ;.....; un ⇔
r
v n
⇔ ∀ i = 1;2;.....n : ∃ λi ∈ K : v = ∑ λi ui
i =1
Independencia Lineal:
{ r }in=1 = {ur 1 ; ur 2 ;.....; ur n } ⊂ V
Sea U = u i
un conjunto de vectores de un
espacio vectorial V sobre un cuerpo K .
Diremos que:
El conjunto de vectores U es Linealmente Independiente ⇔
r
r
r
⇔ Los vectores u 1 ; u 2 ;.....; u n son “Linealmente Independientes” ⇔
r r
⇔ ∀ i = 1;.....; n : ∃λi ∈ K : ∑ λi u i = 0 ⇒ ∀ i = 1;.....; n : λi = 0 ∈ K
n
i =1
Es decir que la única manera de obtener el vector nulo como una combinación
lineal de los vectores del conjunto es utilizando todos los escalares igual al
escalar nulo.
Dependencia Lineal:
Diremos que:
un conjunto de vectores U es “Linealmente Dependiente”
si no es “Linealmente Independiente”
O sea :
El conjunto de vectores U es Linealmente Dependiente ⇔
r
r
r
⇔ u 1 ; u 2 ;.....; u n son “Linealmente Dependientes” ⇔
n


r r
⇔ ∼ ∀ i = 1;.....; n : ∃λi ∈ K : ∑ λi ui = 0 ⇒ ∀ i = 1;.....; n : λi = 0 ∈ K  ⇔

i =1

n
r r
⇔ ∀ i = 1;.....; n : ∃λi ∈ K : ∑ λi ui = 0 ⇒ ∧ ∃ i = 1;.....; n : λi ≠ 0 ∈ K ⇔
i =1
r
r
∃ j = 1;.....; n : λ j ∈ K ∧ λ j ≠ 0 ∧ ∀ i ≠ j : ∃ λ i ∈ K : ∑ λ i u i = 0
n
i =1
Es decir que se logra obtener el vector nulo como una combinación lineal de los
r r
r
vectores u 1 ; u 2 ;.....; u n con al menos uno de los escalares no nulo.
Conjunto Generador:
{ r }in=1
Sea U = u i
⊂ V un subconjunto de un espacio vectorial V .
Diremos que “U es un conjunto generado de V ” si cualquier vector de V se
puede expresar como una combinación lineal de los vectores de U .
Es decir:
r
U = {u i
}in=1 Conjunto Generador de V
Espacio Vectorial
r
r
⇔ ∀ v ∈ V : ∀ i = 1;.....; n : ∃ λ i ∈ K : v =
n
r
∑λ u
i
i
i =1
Base de un Espacio Vectorial:
{ r }in=1 = {ur 1 ; ur 2 ;.....; ur n } ⊂ V
Sea B = u i
un subconjunto de un K -Espacio
Vectorial V .
Diremos que:
B es una base del Espacio Vectorial V si y solo si B es linealmente
independiente y a la vez es un conjunto generador de V .
Es decir: B es una base de V ⇔
) B es un conjunto de vectores linealmente independientes
⇔ ∧ 1º
2º ) B es un conjnto generador de V
{
n r
r
∑ λ i ui = 0 ⇒ ∀ i = 1;.....; n : λ i = 0

⇔ ∧ i =1
∀ vr ∈ V : ∀ i = 1;.....; n : ∃ λ i ∈ K : vr =


n
r
∑ λ i ui
i =1
Dimensión de un Espacio Vectorial:
Se demuestra que todas las bases de un espacio vectorial tienen la misma
cantidad de vectores. Esto permite dar la siguiente definición:
r
B = {u i
}in=1 base de V ⇒ dim V
=n
Subespacio de un Espacio Vectorial:
Sea V = (V ; K ;+;⋅) un K -espacio vectorial
Sea W ⊂ V ∧ W ≠ ∅
Sea W = (W ; K ;+W ;⋅W ) una cuaterna donde
r r
r
r r r
+ W es una “restricción” de + a W o sea: ∀ u , v ∈ W : u + W v = u + v
⋅ W es una “restricción” de ⋅ W a W o sea:
r
r
r
∀ λ ∈ K : ∀ v ∈ W : λ ⋅W v = λ ⋅ v
Es decir:
+W :W ×W → W
⋅W : K × W → W
Bajo tales condiciones diremos que: W es un subespacio de V ⇔ W cumple
con las condiciones de un K -Espacio Vectorial.
Corolario 1:
r r
r
r
W es un subespacio de V ⇔ ∀ λ , µ ∈ K : ∀ u , v ∈ W : λ ⋅ u + µ ⋅ v ∈ W
Corolario 2:
r r
r r
1 º ) ∀ u , v ∈ W : u + v ∈ W
W es un subespacio de V ⇔ 
r
r
2º ) ∀ λ ∈ K : ∀ v ∈W : λ ⋅ v ∈W
Repasemos algunos conceptos:
Par Ordenado:
Recordemos el concepto de par ordenado (Teoría de Conjuntos). Un par
ordenado es un conjunto de dos elementos con un criterio de orden que nos
señala cual es el primero y cual el segundo entre dichos dos elementos:
1º
2 º
 
→
( a ; b ) = {a ; b } + a b
Terna Ordenada:
Recordemos también el concepto de terna. Una terna ordenada es un conjunto
de tres elementos con un criterio de orden que nos señala cual es el primero,
cual es el segundo y cual el tercero de tales elementos:
1º
2 º
3 º
   
→
( a ; b ; c ) = {a ; b ; c } + a b c
n-upla:
(Este concepto se define en Teoría de Conjuntos como un caso particular de
Familia de Elementos). Una n-upla es un conjunto de n elementos con un
criterio de orden. Es usual establecer dicho criterio de orden numerando los
elementos (por lo común de 1 a n):
( x i ) in=1 = ( x 1 ; x 2 ;.....; x n )
La notación con “puntos suspensivos” usualmente no es considerada una
buena forma de escritura. Pero tiene la ventaja de ser “intuitiva”. Podemos verla
algo así como que no escribimos todos los elementos porque “nos cansamos” y
por eso hacemos trampa y pasamos a escribir el último.
Vectores formados por n-uplas:
Estos vectores son n-uplas en las cuales sus elementos son determinados
tipos de números. Por ejemplo: números reales. Cada uno de los elementos
que forman dicha n-upla se dice que es una componente del vector.
Nota:
es común escribir una flecha sobre las letras que representan vectores.
r
{ }in=1 = {v 1 ; v 2 ;.....; v n } diremos que:
Sea el vector v = v i
v 1 es la primer componente
v 2 es la segunda componente
……………………………………
v i es la i-ésima componente
……………………………………
v n es la n-ésima componente
Ejemplos y Representaciones Gráficas
r
u = (1; 2 )
vector de 2 componentes
r
v = ( − 3; 2 )
vector de 2 componentes
r
w = ( 0 ; −1 )
vector de 2 componentes
r
s = (1; 2 ; 3 )
vector de 3 componentes
r 
2

r =  − 1; ; 3 ; 0 ; 4 
3


vector de 5 componentes
Se demuestra que el número de componentes resulta ser igual a la dimensión
del Espacio Vectorial que forman.
Operaciones con Vectores:
Suma:
Dos vectores con igual número de componentes pueden sumarse (luego
veremos esto con mayor precisión en “Estructuras Algebraicas” y “Espacios
Vectoriales”)
La suma se efectúa “componente a componente”.
Sea:
r
u = {u 1 ; u 2 ;.....; u n }
r
v = {v 1 ; v 2 ;.....; v n }
r r
u + v = ( u 1 ; u 2 ;.....; u n ) + ( v 1 ; v 2 ;.....; v n ) = ( u 1 + v 1 ; u 2 + v 2 ;.....; u n + v n
Es decir se suma la primer componente del primer vector con la primera del
segundo. La segunda componente del primero con la segunda del segundo y
así sucesivamente hasta llegar a sumar la última componente del primero con
la última del segundo.
Ejemplos Y Representaciones Gráficas:
r
u = (1; 3 )
r
v = (− 2; 2 )
r r
u + v = (1; 3 ) + ( − 2 ; 2 ) = (1 − 2 ; 3 + 2 ) = ( − 1; 5 )
Si suprimimos algunas líneas auxiliares del dibujo podemos observar la “Regla
del Paralelogramo”. La “regla del paralelogramo” es una forma de sumar
vectores.
Producto de un Vector por un Escalar:
Sea λ un “escalar”.
r
Sea u = u 1 ; u 2 ;.....; u n
Se define el producto:
{
} un vector.
r
λ ⋅ u = λ ⋅ ( u 1 ; u 2 ;.....; u n ) = ( λ ⋅ u 1 ; λ ⋅ u 2 ;.....; λ ⋅ u n
)
Es decir, se multiplica cada componente por el escalar.
no nos asustemos con la palabra “escalar”. Un escalar es (por ahora)
nada más que un número del mismo tipo que las componentes del vector.
Nota:
Ejemplos y Representaciones Gráficas:
λr = 3
u = (1;1 )
r
λ ⋅ u = 3 ⋅ (1;1 ) = ( 3 ⋅ 1; 3 ⋅ 1 ) = ( 3 ; 3 )
r
r
Vemos que λ ⋅ u es un vector que “prolonga” a u . (es mas largo y tiene su
misma dirección)
)
Otro ejemplo:
λr = −1
v = ( 2 ;1 )
r
λ ⋅ v = −1 ⋅ ( 2 ; 1 ) = ( − 1 ⋅ 2 ; −1 ⋅ 1 ) = ( − 2 ; −1 )
r
En este caso vemos que λ ⋅ v es un vector “que va para el otro lado”.
Espacios Vectoriales de n-uplas:
(
)
Sea K = K ; + ; ⋅ un cuerpo
n
Sea K =
Definimos:
{( v
)
i
n
i =1
; ∀ i = 1;.....; n : v i ∈ K
}
+ : K n × K n → K n : ∀ (u i
) in=1 ; ( v i ) in=1 ∈ K n :
( u i ) in=1 + ( v i ) in=1 = (u i + v i ) in=1
n
n
n
⋅ : K n × K n → K n : ∀ λ ∈ K : ∀ ( v i ) i =1 : λ ⋅ ( v i ) i =1 = ( λ ⋅ v i ) i =1
Se tiene que K
n
(
)
= K n ; K ; + ; ⋅ es una K -espacio vectorial
Demostración:
La demostración aunque algo extensa es muy sencilla, se trata de aplicar
mecánicamente las definiciones de sumas y producto por un escalar y probar
que se cumplen las propiedades: G1; G2; G3; G4 y también V10; V11; y V12.
Propiedades de la Suma y del Producto por un Escalar:
Vimos con más detalle al estudiar los espacios vectoriales que las operaciones definidas
para vectores tienen las siguientes propiedades:
Asociativa de la Suma:
r
r r
r r
r
u + (v + w ) = (u + v ) + w
Existencia Vector Nulo:
r r r r r r
∃0:u +0 = 0+u = u
Existencia Vector Opuesto:
r
r r
r
r r
∀ u : ∃ − u : u + (− u ) = − u + u = 0
Conmutativa de la Suma:
r r r r
u +v =v +u
Asociativa Combinada del Producto:
r
r
r
λ ⋅ (µ ⋅ u ) = (λ ⋅ µ ) ⋅ u = µ ⋅ ( λ ⋅ u )
Distributiva del Producto respecto a la Suma:
r
r
r
r
λ ⋅ (u + v ) = λ ⋅ u + λ ⋅ v
Escalar Unidad:
r r
1⋅ u = u
Recordemos una vez más: Idea de Sumatoria:
n
Supongamos que a 1 ; a 2 ;.....; a n sean números
∑a
i
= a 1 + a 2 + ..... + a n
i =1
Esta es la definición “intuitiva” de sumatoria. La definición estricta requiere conocer
Inducción Completa y por lo tanto es una “definición por recurrencia”.
1
∑a
i
= a1
i =1
 n
a i =  ∑ a i
∑
i =1
 i =1
n +1

 + a n +1


(hay variantes)
Ejemplo de Sumatoria:
ai = 2i
4
4
∑a
=
i
i =1
∑2
i
= 2{1 + 2{2 + 2{3 + 2{4 = ....
i =1
i =1
i=2
i =3
i=4
Otro Ejemplo:
a1 = 3
5
∑a
a2 = 5
a 3 = −1
a4 = 2
a5 = 0
= a1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = 3 + 5 + (− 1) + 2 + 0 = 7 + 2 + 0 = 9
{ { { { {
i
i =1
i =1
i=2
i=4
i =3
i =5
Módulo de un Vector:
r
{
Sea u = u 1 ; u 2 ;.....; u n
Se define su módulo así:
r
u =
} un vector.
n
+
∑u
2
i
=
+
u 12 + u 22 + ..... + u n2 donde
+
indica quedarse con el valor
i =1
positivo de la raíz. El módulo nos da la “longitud” del vector.
Ejemplo y Representación Gráfica:
r
u = (3 ; 4 )
r
u = (3 ; 4 ) =
+
32 + 42 =
+
9 + 16 =
+
25 = 5
No es más que un caso de Pitágoras
Vector Nulo:
Se denomina vector nulo a un vector que tenga todas sus componentes nulas. Se utiliza
r
la notación 0 .
r
(r
Intuitivamente: 0 = 0 ; 0 ;.....; 0
)
( ) in=1 vector nulo de n componentes
Mas estrictamente: 0 = 0 i
⇔ ∀ i = 1;..... n : 0 i = 0
Este vector nulo es precisamente el vector utilizado para demostrar la propiedad de
existencia del vector nulo mencionada anteriormente.
Vector Opuesto:
r
{
De la misma forma dado un vector u = u 1 ; u 2 ;.....; u n
r
− u = {− u 1 ; − u 2 ;.....; − u n
} su opuesto es el vector
} se verifica también: − ur = −1 ⋅ ur
Versores:
r
r
Todo vector u tal que u = 1 recibe el nombre de versor.
(
Para los versores se usa la notación: u .
r
u
r
(
Todo vector u ≠ 0 tiene un versor asociado: u = r y un versor asociado opuesto:
u
r
u
(
−u = − r
u
r
u
1 r
1
Observación: r = ( ⋅ u donde ( cumple el papel de un escalar λ en la definición
u
u
u
de producto de un vector por un escalar.
Ejemplos de versores (2 componentes):
2 
(  2
u =
;
 2
2 

Otros:
(
i = (1; 0 ; 0 )
3 
(  1
v =− ;
 2 2 


(
j = ( 0 ; 1; 0 )
(
k = ( 0 ; 0 ;1 )
(
i = (1; 0 )
(
j = ( 0 ;1 )
Producto Escalar de Vectores:
Sean dos vectores con igual número de componentes:
r
u = {u 1 ; u 2 ;.....; u n
r
v = {v 1 ; v 2 ;.....; v n
}
}
r r
Definimos el producto escalar de ambos vectores: u ⋅ v =
n
∑u
k
⋅ vk
k =1
Con otra notación:
r r
u ⋅ v = ( u 1 ; u 2 ;.....; u n ) ⋅ ( v 1 ; v 2 ;.....; v n ) = u 1 ⋅ v 1 + u 2 ⋅ v 2 + ..... + u n ⋅ v n
Ejemplo 1:
r
r
u = (2;3 )
v = ( − 3; 4 )
r r
u ⋅ v = ( 2 ; 3 ) ⋅ ( − 3 ; 4 ) = 2 ⋅ ( − 3 ) + 3 ⋅ 4 = −6 + 12 = 6
Ejemplo 2:
r
r
u = ( 0 ; −1; 3 )
v = ( − 4 ; 3 ;1 )
r r
u ⋅ v = ( 0 ; −1; 3 ) ⋅ ( − 4 ; 3 ;1 ) = 0 ⋅ ( − 4 ) + ( − 1 ) ⋅ 3 + 3 ⋅ 1 = 0 − 3 + 3 = 0
n
Producto Escalar en K :
Podemos definir en K
n
r r
: u ⋅ v = (u i
)
)
n
i =1
⋅ (v i
r
( ) in=1 ; vr = ( v i ) in=1 :
un producto escalar: ∀ u = u i
n
n
i =1
=
∑u
i
⋅ vi
i =1
Propiedades del Producto Escalar de Vectores:
El producto escalar de vectores en K
r r
r r r r
i)
∀ u;v ∈ K n : u ⋅v = v ⋅u
ii)
a)
b)
iii) ∀
n
tiene las siguientes propiedades:
Conmutativa
r r r
r r r
r r r r
∀ u ; v ; w ∈ K n : u ⋅ (v + w ) = u ⋅ v + u ⋅ w
r r r
r r r r r r r
∀ u ; v ; w ∈ K n : (u + v ) ⋅ w = u ⋅ w + v ⋅ w
r r
r r
r
r
Distributivas
r
r
λ ∈ K : ∀ u ; v ∈ K n : λ ⋅ ( u ⋅ v ) = ( λ ⋅ u ) ⋅ v = u ⋅ ( λ ⋅ v ) Asociativa Combinada
Demostración de la Propiedad Conmutativa:
r r
u ⋅v =
n
∑u
k =1
n
k
⋅ vk =
∑v
k
r r
⋅uk = v ⋅u
k =1
Las otras demostraciones son similares y se dejan para el lector.
Angulo entre Vectores:
r r
Suponemos conocidos los conceptos básicos de trigonometría. Sean u ; v dos vectores
r
r
no nulos ( u ≠ 0 ∧ v ≠ 0 ).
α entre ambos vectores como un número real (α ∈ R ) tal que:
Definimos el ángulo
r r
u ⋅v
cos α = r r
u ⋅ v
Es válido hacer la definición así:

r r
α = arg(u ; v ) = ar cos

r r
u ⋅v
r r
u⋅v




Ejemplo 1:
(
)
r r
(3 ; 3 ) ⋅ ( 3 ; 3 ) =
u ⋅v
cos α = r r =
u ⋅ v
(3 ; 3 ) ⋅ ( 3 ; 3 )
3 3 + ( 3 )3
6 3
=
=
9+3 ⋅ 3+9
3 +( 3) ⋅ ( 3) +3
r
u = 3; 3
+
=
12
r
v=
2
2
6 3
(
)
)
2
=
(
3 ;3
2
+
=
2
6 3
3
π
=
⇒α =
= 30 º
12
2
3
Ejemplo 2:
Sean los vectores de un ejercicio anterior:
r
u = ( 0 ; −1; 3 )
r r
u ⋅v
cos α = r r =
u ⋅ v
=
+
r
v = ( − 4 ; 3 ;1 )
0 ⋅ (− 4 ) + (− 1) ⋅ 3 + 3 ⋅ 1
0 + (− 1) + 3 ⋅ (− 4 ) + 3 + 1
0−3+3
0
=
=0
0 +1+ 9 ⋅ + 0 +1+ 9
10 ⋅ 26
⇒α =
π
2
= 90 º
+
2
2
2
+
2
2
=
2
Ejemplo 3:
r
u = (2; 2 )
r
v = ( − 3; 3 )
2 ⋅ (− 3 ) + 3 ⋅ 2
cos α =
2
2 +2
⇒ α = 90 º
2
r r
⋅
(− 3 )
r
r
2
=
+3
−6+6
8 ⋅ 18
2
=
0
8 ⋅ 18
=0
Corolario: u ⋅ v = u ⋅ v cos α
Se demuestra con un simple pasaje de términos en la definición.
Vectores Ortogonales:
r
r
Sea u ≠ 0 ∧ v ≠ 0 .
r r
r r
Diremos que u y v son ortogonales (simbólicamente: u ⊥ v ) si el ángulo entre ambos

vectores es de 90º  α =

r
π 

2 
r
(r
r
r r
Corolario: u ≠ 0 ∧ v ≠ 0 ⇒ u ⊥ v ⇔ u ⋅ v = 0
Demostración:
⇒)
r
)
r
Sean: u ≠ 0 ∧ v ≠ 0 :
r r
r r π
u ⊥ v ⇔ Por definición de ortogonalidad ⇔ α = arg(u ; v ) =
2
Aplicando el corolario de la definición de ángulo entre vectores:
⇐)
r r
r r
π
r r
⇒ u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos = u ⋅ v ⋅ 0 = 0
2
r r
u ⋅v
0
r r
Supongamos: u ⋅ v = 0 ⇒ cos α = r
r = r r =0
u ⋅ v
u ⋅ v
⇒α =
π
2
r r
⇔u⊥v
Completándose así la demostración.
Vectores Perpendiculares u Ortogonales:
Con la definición usual de ángulo y de perpendicularidad para ángulos iguales a
se
r puederenunciar: r
r
r r
u ≠ 0∧v ≠ 0 ⇒ u ⊥ v ⇔ u ⋅v = 0
π
2
(90º)
Teorema:
{ r }in=1
Sea Q = u i
⊂ K n un subconjunto de K n que es un K -espacio vectorial con
dim K n = n
r
 ∀ i = 1;.....; n : u i ≠ 0
Supongamos: ∧ 
r r
 ∀ i ; j = 1;.....; n : i ≠ j ⇒ u i ⋅ u j = 0
n
Se demuestra que Q es una base de K
[
]
Demostración:
n
Supongamos
r
r
∑ λi ⋅ u i = 0
i =1
n
r r r r
0 = u j ⋅ 0 = u j ⋅ ∑ λi ⋅ ui =
i =1
n
=
(
n
r
∑ u ⋅ (λ
j
i
r
⋅ ui ) =
i =1
r
)
r
n
∑ λ i ⋅ u j ⋅ u i = λ j ⋅ u j ⋅ u j + ∑ λi ⋅ u j ⋅ u i =
i =1
j =1
r
= λj ⋅u j ⋅uj + 0 = λj ⋅ u j
= 0⇒ λj = 0
123
2
≠0
Linealmente Independiente. Al ser n-vectores linealmente independientes en K
dim K n = n forman base.
n
con
Producto Vectorial:
A diferencia de la definición de producto escalar que se dio para vectores de ncomponentes; la definición siguiente la daremos para vectores de 3 componentes:
r
r
Sean u = u 1 ; u 2 ; u 3
v = v1 ; v 2 ; v 3
(
)
(
)
r r
Se define el producto vectorial de u y v como el vector:
r r r
w = u ∧ v = (u 2 v 3 − u 3 v 2 ; u 3 v 1 − u 1 v 3 ; u 1 v 2 − u 2 v1
)
Observación:
Teniendo en cuenta los versores de 3 componentes ya vistos en un ejemplo:
(
i = (1; 0 ; 0 )
(
j = ( 0 ; 1; 0 )
(
k = ( 0 ; 0 ;1 )
Se podría escribir:
r r
u ∧ v = (u 2 v 3 − u 3 v 2 ; 0 ; 0 ) + ( 0 ; u 3 v 1 − u 1 v 3 ; 0 ) + (0 ; 0 ; u 1 v 2 − u 2 v1 ) =
= ( u 2 v 3 − u 3 v 2 )(1; 0 ; 0 ) + ( u 3 v 1 − u 1 v 3 )( 0 ;1; 0 ) + ( u 1 v 2 − u 2 v 1 )( 0 ; 0 ;1 ) ⇒
(
(
(
r r
u ∧ v = (u 2 v 3 − u 3 v 2 ) i + (u 3 v 1 − u 1 v 3 ) j + (u 1 v 2 − u 2 v 1 ) k
Lo anterior cuando trabajemos con determinantes de 3x3 veremos que nos hará pensar
en la expresión que en realidad es puramente una regla mnemotécnica y no un
determinante pues en tal “determinante”:
( ( (
La fila 1 está formada por versores ( ⇒ vectores) i j k mientras que las otras dos filas
están compuestas por “escalares”, a saber:
2º fila: u 1
u2
v2
3º fila: v 1
u3
v3
Ejemplo 1:
(
(
Tomemos precisamente el caso de los versores i = 1; 0 ; 0
u1 = 1
u2 = 0
u3 = 0
 v1 = 0
v2 = 1
v3 = 0
O sea 
)
(
j = ( 0 ; 1; 0 )
(
( (
i ∧ j = (1; 0 ; 0 ) ∧ ( 0 ;1; 0 ) = ( 0 ⋅ 0 − 0 ⋅ 0 ; 0 ⋅ 0 − 1 ⋅ 0 ;1 ⋅ 1 − 0 ⋅ 0 ) = ( 0 ; 0 ;1 ) = k
r v
u ∧ v = (u 1 ; u 2 ; u 3 ) ∧ ( v1 ; v 2 ; v 3 ) = (u 2 v 3 − u 3 v 2 ; u 3 v1 − u 1 v 3 ; u 1 v 2 − u 2 v1
(
(
)
(
O sea: i ∧ j = k
Ejemplo 2:
(
(
(
(hacerlo) j ∧ i = − k
Es decir: el producto vectorial no es conmutativo
Ejemplo 3:
(los vectores ya vistos)
r
u = ( 0 ; −1; 3 )
r
v = ( − 4 ; 3 ;1 )
r r r
w = u ∧ v = ( 0 ; −1; 3 ) ∧ ( − 4 ; 3 ;1 ) =
= ( − 1 ⋅ 1 − 3 ⋅ 3 ; 3 ⋅ ( − 4 ) − 0 ⋅ 1; 0 ⋅ 3 − ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) ) = ( − 10 ; −11; −4 )
r v
u ∧ v = (u 1 ; u 2 ; u 3 ) ∧ ( v1 ; v 2 ; v 3 ) = (u 2 v 3 − u 3 v 2 ; u 3 v1 − u 1 v 3 ; u 1 v 2 − u 2 v1
Observamos que:
r r
r r
w ⋅ u = ( − 10 ; −12 ; −4 )( 0 ; −1; 3 ) = 0 + 12 − 12 = 0 ⇒ w ⊥ u
r r
r r
w ⋅ v = ( − 10 ; −12 ; −4 )( − 4 ; 3 ;1 ) = 40 − 36 − 4 = 0 ⇒ w ⊥ v
(hacer la representación gráfica)
)
Propiedades del Producto Vectorial:
1)
2)
3)
r r
r r
u
∧
v
=
−
v
r r r ∧ ru r r r
w=u∧v ⇒ w⊥u∧w⊥v
r r r r
u ∧ v = u ⋅ v ⋅ senα
Algunas precauciones: A veces en matemática se suelen utilizar símbolos parecidos (o
incluso iguales) para distintas cosas.
En la propiedad 2 no se debe confundir la primer “cuña” ∧ que denota producto vectorial:
r r
u ∧ v con la segunda (después del ⇒ ) que es la conjunción lógica.
En la tercer propiedad las “barras” que esta a ambos lados de senα son “valor absoluto
(de un número). En cambio las otras son “módulos” de vectores.
Hay otras propiedades. Se sugiere al lector hacer una lista de propiedades.
 Alberto Serritella, 2010.
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Junín - 25-julio-2010.∼
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