Ejercicios de Técnicas Avanzadas de Control. EPSA

Técnicas Avanzadas de Control
Memoria de ejercicios
Curso:
Titulación:
Especialidad:
Alumno:
2007/08
Ingeniero Técnico Industrial
Electrónica Industrial
Adolfo Hilario
Tutor: Adolfo Hilario Caballero
Índice general
Presentación
1
1. Simulación de una red RC
1.1. Objetivos y alcance . . . . . . . . . . .
1.2. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Datos del problema . . . . . . . . . . .
1.4. Metodologı́a . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Obtención del modelo . . . . . . . . . .
1.6. Análisis previo del modelo del sistema
1.7. Simulación con Matlab y Simulink . . .
1.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . .
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2
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3
3
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I
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Presentación
Este documento fue realizado en el año 2003 como una guı́a para el desarrollo de la
memoria de ejercicios y actividades de los alumnos de Regulacin Automtica I y Regulacin
Automtica II .
Como se puede observar, la presentación debe ser la introducción al documento completo:
se comentan brevemente los objetivos del documento en su totalidad y se describe cómo
está estructurado haciendo referencia a los distintos capı́tulos que lo componen.
En el capı́tulo 1.“Simulación de una red RC” se presenta un ejemplo completo de simulación de la respuesta temporal de una red RC ante un escalón unitario.
El código fuente LATEX de este documento se encuentra en PoliformaT.
1
Capı́tulo
1
Simulación de una red RC
1.1.
Objetivos y alcance
En este capı́tulo se simula el comportamiento dinámico de un circuito RC. No se analiza
la respuesta en frecuencia del circuito, únicamente se estudia la respuesta transitoria ante
un escalón unitario en la tensión de entrada.
1.2.
Resumen
La red RC es un circuito formado por una resistencia y un condensador tal como se
muestra en la figura 1.1. La tensión de entrada se reparte entre la caı́da de tensión en
la resistencia y la tensión de salida que se corresponde con la caı́da de tensión en el
condensador.
En el apartado 1.4 en la página 3 se describe la metodologı́a utilizada para analizar la
respuesta del circuito ante un cambio brusco de 1 V en la tensión de entrada. En el
apartado 1.5 se describen los pasos que se
han seguido para obtener el modelo del sistema.
Figura 1.1: Circuito RC
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Ejercicios de
Técnicas Avanzadas de Control
Simulación de una red RC
En el apartado 1.7 se detalla la forma en que se ha implementado el sistema utilizando las
herramientas Matlab y Simulink, y se presentan los resultados obtenidos. Por último,
las conclusiones del capı́tulo se encuentran en el apartado 1.8.
1.3.
Datos del problema
A continuación se relacionan los datos numéricos de los componentes del circuito RC se
plantea en este capı́tulo:
Topologı́a del circuito: Véase figura 1.1
Tensión de entrada: Escalón unitario, es decir, ve (t) = u0 (t)
Valor de la resistencia: R = 10 kΩ
Valor de la capacidad del condensador: C = 470 µF
1.4.
Metodologı́a
Partiendo de las ecuaciones de definición de la resistencia y del condensador se ha obtenido
la ecuación diferencial que relaciona la tensión de entrada con la tensión de salida según
un modelo lineal invariante en el tiempo. Aplicando la transformada de Laplace se ha
representado la función de transferencia del circuito.
El modelo en la transformada de Laplace se ha analizado con Matlab y se ha simulado
con Simulink.
1.5.
Obtención del modelo
Para la obtención de la función de transferencia en la transformada de Laplace de la red
RC se van a seguir los pasos que se relacionan a continuación:
1. Ecuaciones de definición de la resistencia y del condensador.
2. Aplicación de la ley de Ohm al circuito para obtener la intensidad que circula por
la resistencia.
3. Realizando las sustituciones necesarias, se obtiene la ecuación diferencial del circuito.
4. Aplicando la transformada de Laplace y agrupando términos se obtiene la función
de transferencia.
Adolfo Hilario
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Ejercicios de
Técnicas Avanzadas de Control
Simulación de una red RC
Las ecuaciones diferenciales que definen el comportamiento dinámico de la resistencia y
del condensador, véase [?], son:
d vc (t)
dt
vr (t)
ir (t) =
R
ic (t) = C
(1.1)
(1.2)
En donde:
ir (t):
vr (t):
ic (t):
vc (t):
Es la intensidad de corriente que circula por la resistencia.
Diferencia de potencial en bornes de la resistencia.
Es la intensidad de corriente que circula por el condensador.
Diferencia de potencial en bornes del condensador.
La intensidad en la resistencia se tomará en sentido entrante al circuito, que, en este
caso en el que no hay resistencia de carga, es la misma que la intensidad que circula
por el condensador. Por otra parte, la tensión en la salida del circuito es exactamente la
diferencia de tensión en bornes del condensador:
ir (t) = ic (t)
(1.3)
vs (t) = vc (t)
(1.4)
Aplicando la ley de Ohm a la resistencia se puede calcular la intensidad que circula tanto
por la resistencia como por el condensador:
ir (t) = ic (t) =
1
[ve (t) − vs (t)]
R
(1.5)
Sustituyendo en la ecuación (1.5) el valor de ic (t) basándose en la ecuación de definición
del condensador dada en (1.1), y teniendo en cuenta que vc (t) = vs (t), se obtiene:
C
d vc (t)
d vs (t)
1
=C
= [ve (t) − vs (t)]
dt
dt
R
(1.6)
Por último, agrupando términos se obtiene la ecuación diferencial ordinaria lineal de coeficientes constantes de la red RC, que relaciona la tensión de entrada con la tensión de
salida:
RC
d vs (t)
+ vs (t) = ve (t)
dt
(1.7)
Aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros de la igualdad, y agrupando
términos se obtiene:
Vs (s)(RC s + 1) = Ve (s)
Adolfo Hilario
(1.8)
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Ejercicios de
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Simulación de una red RC
Finalmente despejando la tensión de salida y la tensión de entrada se obtiene la función
de transferencia:
G(s) =
1.6.
Vs (s)
1
=
Ve (s)
RC s + 1
(1.9)
Análisis previo del modelo del sistema
Se puede observar en la ecuación (1.9) que el model obtenido del sistema es de primer
orden (un solo polo), y que su ganancia estática es:
1
=1
s→0 RC s + 1
Ke = lı́m G(s) = lı́m
s→0
(1.10)
Por otra parte la constante de tiempo es τ = RC. Esto significa que para t = 4 RC el
sistema habrá alcanzado prácticamente el valor final de la respuesta ante el escalón.
1.7.
Simulación con Matlab y Simulink
En la figura 1.2 se muestra la secuencia de comandos que se han utilizado para modelar
y simular el comportamiento de la red RC.
La salida que ofrece Matlab para el script de la figura 1.2 es la que se muestra en
la figura 1.3. Se puede observar que la función de transferencia es la correcta según la
ecuación (1.9).
El resultado que ofrece el comando step() es el que se muestran en la figura 1.4, en la
que se puede observar que para t = 4, 7 s se alcanza aproximadamente el 63 % del valor
final, tal como se espera de un sistema de primer orden.
Con el fin de realizar la simulación también con la herramienta Simulink, se ha implementado el diagrama de bloques mostrado en la figura 1.5. Los resultados de la simulación se
muestran en la figura 1.6. Como se puede observar, estos resultados son idénticos a los
obtenidos en la figura 1.4.
Adolfo Hilario
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Ejercicios de
Técnicas Avanzadas de Control
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Simulación de una red RC
------------------------------------Grupo "Los siete magnı́ficos"
Ejercicio: Red RC
6 de octubre de 2003
-------------------------------------
R = 10E3;
% 10*10^3
C = 470E-6; % 470*10^(-6)
c_tiempo = R*C
% Constante de tiempo
ST = 6*c_tiempo;
% Stop Time (Simulink)
MSS = c_tiempo/1000; % Max Step Size (Simulink)
redRC = tf(1, [R*C, 1])
step(redRC), grid;
% -------------------------------------
Figura 1.2: Modelo de una red RC y simulación con Matlab
1.8.
Conclusiones
El modelo de la red RC obtenido se comporta como un sistema de primer orden en el que
se cumple que el valor final se alcanza aproximadamente a partir de t = 4 RC, tal como
se puede observar en las figuras 1.4 y 1.6.
Observe en la figura 1.7 que es posible organizar las figuras en grupos, utilizando el paquete
subfig. De esta forma, en la figura 1.7a se muestran los resultados de la simulación
realizada con el comando step(), y en la figura 1.7b los resultados de la simulación
realizada con Simulink.
Adolfo Hilario
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Ejercicios de
Técnicas Avanzadas de Control
Simulación de una red RC
c_tiempo =
4.7000
Transfer function:
1
--------4.7 s + 1
Figura 1.3: Salida de Matlab para el script de la figura 1.2
Step Response
1
0.9
0.8
0.7
Amplitude
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
20
25
30
Time (sec)
Figura 1.4: Resultado de la simulación de la red RC utilizando el comando step()
Adolfo Hilario
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Simulación de una red RC
1/(R*C)
s+1/(R*C)
Step
Scope
Transfer Fcn
Figura 1.5: Diagrama de bloques de la red RC
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
20
25
30
Figura 1.6: Resultado de la simulación de la red RC realizada con Simulink
Step Response
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
Amplitude
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
5
10
15
20
25
Time (sec)
(a) Utilizando el comando step()
30
0
0
5
10
15
20
25
30
(b) Utilizando Simulink
Figura 1.7: Simulación de la red RC
Adolfo Hilario
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