Dominio y rango

Dominio, codominio y rango
En su forma más simple el dominio
son todos los valores a los que
aplicar una función, y el rango son
los valores que resultan.
Pero de hecho son conceptos
importantes cuando se define una
función. ¡Sigue leyendo!
Por favor, primero lee "¿Qué es una función?"...
Funciones
Una función relaciona una entrada con una salida.
Ejemplo: este árbol crece 20 cm cada año, así que
la altura del árbol está relacionada con la edad por
la función a:
a(edad) = edad × 20
Así que si la edad es 10 años, la altura es a(10) =
200 cm
Decir que "a(10) = 200" es como relacionar 10 con 200. O bien 10 → 200
Entrada y salida
Pero muchas veces es importante decir qué valores pueden entrar y pueden salir de
una función.
Aquí tienes algunas razones:



La función no funciona si das valores equivocados (como una edad negativa)
Limitar los valores de entrada te puede permitir hacer después cosas especiales
con la función
Saber el tipo de valores de salida (por ejemplo siempre positivos) también ayuda
Entonces, ¿cómo se dice lo que entra o sale en una función? respuesta: se usan
conjuntos...
Un conjunto es una colección de cosas, por
ejemplo números.
Aquí tienes unos ejemplos:
Conjunto de números pares: {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}
Conjunto de números impares: {..., -3, -1, 1, 3, ...}
Conjunto de números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}
Múltiplos positivos de 3 que son menores que 10: {3, 6,
9}
De hecho, las funciones se definen sobre conjuntos:
Definición formal de una
función
Una función relaciona cada elemento de
un conjunto
con exactamente un elemento de otro
conjunto
(puede ser el mismo conjunto).
Dominio y rango
Hay nombres especiales para lo que puede entrar, y también lo que puede salir de una
función:
Lo que puede entrar en una función se llama el dominio
Lo que es posible que salga de una función se llama el
codominio
Lo que en realidad sale de una función se llama rango o
imagen
Entonces, en el diagrama de arriba el conjunto "X" es el dominio, el conjunto "Y" es el
codominio, y los elementos de Y a los que llegan flechas (los valores producidos
realmente por la función) son el rango.
Parte de la función
Lo que sale (el rango) depende de lo que pones (el dominio), pero TÚ defines el
dominio.
De hecho el dominio es una parte esencial de la función. Un dominio diferente da una
función diferente.
Ejemplo: una simple función como f(x) = x2 puede tener dominio (lo que entra) los
números de contar {1,2,3,...}, y el rango será entonces el conjunto {1,4,9,...}
Y otra función g(x) = x2 puede tener como dominio los enteros {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...},
entonces el rango será el conjunto {0,1,4,9,...}
Aunque las dos funciones toman la entrada y la elevan al cuadrado,
operan en conjuntos diferentes de entradas, y por eso dan salidas
diferentes.
También tienen diferentes propiedades.
Por ejemplo f(x) siempre da resultados distintos, pero g(x) puede dar
la misma respuesta para dos entradas (como g(-2)=4 y g(2)=4)
Así que el dominio es una parte muy importante de la función.
Entonces, ¿todas las funciones tienen su dominio?
Sí, pero en matemáticas sencillas no lo notas, porque el dominio se supone:



Normalmente se supone que es algo así como "todos los números que hacen que
funcione".
O si estás estudiando números enteros, el dominio será los enteros.
etc.
¡Pero en matemáticas más avanzadas tienes que tener cuidado!
Codominio y rango
El codominio y el rango tienen que ver con la salida, pero no son exactamente lo
mismo.
El codominio es el conjunto de valores que podrían salir.
El rango es el conjunto de valores que realmente salen.
Ejemplo: puedes definir una función f(x)=2x con dominio y codominio los enteros
(porque tú lo eliges así).
Pero si lo piensas, verás que el rango (los valores que salen de verdad) son sólo los
enteros pares.
Así que el codominio son los enteros (lo has elegido tú) pero el rango son los enteros
pares.
Así que rango es un subconjunto del codominio.
¿Por qué los dos? Bueno, a veces no conoces exactamente el rango (porque la función
es complicada o no es conocida del todo), pero sabes el conjunto en el que está (como
los enteros o los reales). Así que defines el codominio y sigues trabajando.
La importancia del codominio
Déjame que te haga una pregunta: ¿la raíz cuadrada es una función?
Si tú dices que el codominio (las salidas posibles) es el conjunto de los números
reales, ¡entonces la raíz cuadrada no es una función! ... ¿te sorprende?
La razón es que podría haber dos respuestas para una entrada, por ejemplo f(9) = 3 o -3
Una función debe ser univaluada. No puede dar 2 resultados para el mismo valor de
entrada. ¡Por ejemplo "f(2) = 7 o 9" no está bien!
Pero se puede arreglar simplemente limitando el codominio a los números reales no
negativos.
√De hecho, el símbolo radical (como en √x) siempre significa la raíz cuadrada positiva
(la principal), así que √x es una función porque su codominio es correcto.
Así que el codominio que elijas puede afectar el que algo sea o no una función.
Notación
A los matemáticos no les gusta escribir muchas palabras cuando unos pocos símbolos
hacen el mismo trabajo. Así que hay maneras de decir que "el dominio es", "el
codominio es", etc.
Esta es la mejor manera que conozco:
Esto dice que la función "f" tiene dominio "N" (los
números naturales), y también codominio "N".
y esto dice que la función "f" toma "x" y devuelve "x2"