La proposición XXXIII de Saccheri

La proposición XXXIII de Saccheri
Ferran Mir
Universitat de Barcelona
October 24, 2006
Abstract
Esquema de la demostración en el Euclides vindicatus de que la "Hipótesis del ángulo agudo es absolutamente falsa, ya que repugna a la naturaleza
de la línea recta"
1
Introducción
La proposición 33 del Euclides ab omni naevo vindicatus de Girolamo Saccheri
es, con mucho, la más extensa del libro: desde la página 70 hasta la 86. Es decir,
ocupa dieciseis páginas, mientras que en las 69 primeras páginas ha demostrado
las otras 32 proposiciones. O sea, a una media de dos páginas por proposición.
Normalmente se ha considerado que en esta proposición se concentra el dogmatimo del autor y siempre se recuerda la famosa frase "repugna a la naturaleza
de la línea recta" tachándola de poco menos que metafísica.
Con estas breves notas, no pretendo modi…car esta opinión generalizada y
que, de alguna manera, también comparto, sino tan sólo examinar la proposición, poniéndola en su contexto para resaltar el esfuerzo intelectual de un autor
quien, al encontrar resultados totalmente inesperados, se aferra a la teoría vigente con el …n de no dar un salto en el vacío.
Efectivamente, los descubrimientos más notables que hace Saccheri al analizar
la Hipótesis del Ángulo Agudo (HAA), se encuentran a partir de la proposición
23 donde introduce el concepto de dos líneas coplanares, AX y BX, perpendiculares a una tercera. Líneas que debemos entender como asintóticas (aunque
Saccheri nunca usará la expresión) ya que tienen un punto, X, en común, pero
que Saccheri siempre se encarga de dibujar dos puntos X diferentes (…guras 27
a 36), dando a entender, quizá, que dicha unión se produce en el in…nito.
2
Lemas previos
Saccheri pretende demostrar que no pueden existir líneas rectas asintóticas.
Para ello, introduce cinco lemas, con sus corolarios, en la siguiente forma:
Lemma 1 Dos rectas no encierran un espacio.
1
Proof. A partir de la de…nición euclidiana de línea recta (la línea más corta
que une dos puntos)
Cualquier línea que une dos puntos A y X sin ser recta […gura 37] permite
una rotación sobre el eje de…nido por dichos puntos.
Las líneas ABBX y ACCX no pueden ser denominadas rectas. Sólo la
línea ADDX es recta, porque al rotar el plano sobre el eje AX, los puntos
D permanecen en el mismo lugar mientras que los puntos B y C, ocuparán
diferentes posiciones.
Para que dos líneas encierren un espacio, han de ir de un punto A a otro X
mediante distinto recorrido. Como hemos visto ello no es posible con la línea
recta.
Corolario 1: De ello se deriva que debemos admitir el primer
postulado euclídeo: sólo existe una recta entre dos puntos.
Corolario 2: También se sigue otra de…nición euclídea: una
super…cie es plana si se extiende entre dos líneas rectas.
Lemma 2 Dos rectas no pueden tener un mismo segmento en común.
Proof. Primero: si ello fuera así […gura 38], dos líneas rectas podrían encerrar
un espacio lo que contradice el lema 1. Supone las líneas rectas AXB y AXC,
con un segmento común AX. Con centro en X y radio XC, dibuja el círculo
z }| {
BM DF C. Cualquier recta trazada desde uno de sus puntos (por ejemplo M )
hasta X, también será una línea recta junto con el segmento común AX. Pero
2
AXM no es recta, porque siempre existirá una línea recta entre los punto A y
M que, o bien interseca la supuesta recta AXB en un punto K, o bien la rodea
como AP LM .
La primera opción es contradictoria con el lema anterior, ya que AXK y
AT K encerrarían una supericie.
La segunda también es absurda porque la prolongación de AXB, intersecará AP LM en algún punto L y, nuevamente, ambas rectas encerrarán
una super…cie.
Segundo: una línea recta no puede tener dos posiciones distintas en el mismo
plano, teniendo en ambas un segmento invariante y otra porción cambiante.
Tercero: no puede haber una posición en el mismo plano en que pueda
prolongarse una recta en dos direcciones distintas
Cuarto: existirá un punto entre ambos segmentos cambiantes por el que
se podra prolongar el segmento invariante formando una recta única con este
último.
Quinto: sólo esta última prolongación es una línea recta.
Corolario (1): Dos rectas no pueden encerrar un espacio aunque
la distancia entre ambas sea in…nitésimal.
Corolario (2): Al prolongar una recta no puede dividirse en
dos, ni siquiera aunque su intervalo sea in…nitesimal.
Corolario (3): También queda demostrado Eu.XI.1: que una
recta no puede estar en dos planos distintos.
3
Lemma 3 Si dos rectas se cortan en un punto intermedio, no pueden intersecarse en otro punto mas que ese.
Proof. Por el lema anterior y analizando las prologaciones de las rectas […gura
39].
Lemma 4 Todo diámetro bisecta su círculo y su circunferencia.
Proof. Todos los radios son iguales […gura 23]. Los radios sólo tinene una prolongación: el diámetro. Todos los diámetros se cruzan en un punto intermedio:
el cenytro de la circunferencia. Dos diámetros no pueden encerrar un espacio.
Escolio: Saccheri dice que ha leído en Clavius que esta verdad
fue demostrada por Thales de Mileto, pero quizá sin llegar a estar
libre de toda objeción.
Lemma 5 Entre los ángulos rectilíneos, todos los ángulos rectos son iguales,
sin ninguna desviación ni siquiera in…nitesimal.
Proof. Euclides (Eu.I.Def.10) de…ne el ángulo recto como aquel que es igual a
su adyacente. Saccheri hace lo que Euclides seguramente pretendía evitar (para
no entrar en la noción de movimiento) con su Cuarto Postulado: […guras 40 y
41] trasladar y superponer dos dibujos de ángulos rectos.
Corolario: De ello se sigue que la perpendicular a una recta levantada en uno de sus puntos es única y no puede dividirse en dos.
Des pués de los cinco lemas anteriores y sus corolarios, Saccheri refuta
la hipótesis del ángulo agudo diciendo que son contradictorias las siguientes
proposiciones:
1. al prolongar una recta se obtienen dos rectas diferentes
2. existen dos perpendiculares a una recta en el mismo punto y en el mismo
plano
entonces: la hipótesis del ángulo agudo es absolutamente falsa, porque no
pueden existir dos rectas AX, BX que puedan ser perpendiculares a una tercera
en el mismo punto X, derrumbando, con ello, todo lo que ha construido en las
proposiciones 23 a 32.
4