Espacio vectorial

Espacio Vectorial
1.- Dado el subconjunto F= {(λ − 2μ, λ,2μ,−μ) ∈ R / λ, μ ∈ R }de R , se verifica que:
4
4
a) dim F=4
b) {(1,1,0,0),(-2,0,2,-1)} es una base de F.
c) F no es un subespacio vectorial de R 4 .
2.- En un sistema ligado, se verifica que:
a) Agregando otro vector es libre.
b) Todo subconjunto de él es ligado.
c) Existe un vector que es combinación lineal de los restantes.
3.- Sea un espacio vectorial de dimensión n, entonces:
a) Todo sistema de generadores tiene un número de vectores igual o menor que n.
b) Todo sistema de vectores que tenga más de n vectores es ligado.
c) Todo sistema de vectores que tenga menos de n vectores es libre.
4.- Sea F una recta vectorial de R3 y F’ un subespacio suplementario de F. Se verifica:
a) F’ puede ser un plano vectorial cualquiera de R3.
b) F’ es una recta vectorial de R3.
c) F’ es cualquier plano vectorial de R3 que no contenga a F.
5.- Sea V(R) un espacio vectorial, si dim (V) = n, entonces:
a) Todo subconjunto F de V con n vectores es base de V(R).
b) Todo sistema generador de V tiene n vectores.
c) El máximo número de vectores linealmente independientes es n.
6.- Sean F y G dos subespacios vectoriales de R 3 .
a) F ∪ G es un subespacio vectorial de R 3 .
b) F ∩ G es un subespacio vectorial de R 3 .
c) Ninguna de las anteriores.
3
7.- Un sistema generador G de R :
a) Está constituido por 3 vectores.
b) Está constituido por vectores linealmente independientes entre sí.
3
c) Cualquier vector de R es combinación lineal de los vectores de G.
3
8.- En el espacio vectorial R , la ecuación general de un hiperplano es de la forma
a) Ax+By+Cz=0, A, B, y C no todos nulos.
b) Ax+By+Cz+D=0, A, B, y C no todos nulos.
c) (x,y,z)= λ (a,b,c), λ ∈ R
9.- Si la familia {u1 , u 2 , u 3 } de vectores de V(R), es ligada, podemos asegurar:
a) u 1 es combinación lineal de u 2 y u 3 .
b) dim V < 3.
c) {u 1 , u 2 , u 3 , v} es ligada, siendo v ∈ V .
10.- Dos subespacios F y G de V son suplementarios si y solo si se verifica:
a) F ∩ G = 0
b) F ∪ G = V
c) F + G = V y F ∩ G = 0
11.- Sea A ∈ M mxn (R ) tal que rango(A)=r, se verifica:
a) Todos los menores de orden r de A son distintos de cero.
b) El subespacio generado por los vectores fila de A tiene dimensión r.
{}
{}
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Espacio Vectorial
c) El subespacio generado por los vectores columna de A puede tener dimensión distinta
de r.
12.- Dado el subconjunto F = {(λ − μ, λ + μ,2μ,−μ ) ∈ R 4 / λ, μ ∈ R } de R4, se verifica
a) dim F⊥ = 1
b) {(1,1,0,0), (−1,1,2,−1)} es un sistema generador de F.
c) {(1,0,0,0), (0,1,0,0)} es una base de F.
13.- Sean F y G dos subespacios vectoriales de R3
a) F ∪ G es un subespacio vectorial de R3.
b) F ∩ G es un subespacio vectorial de R3.
c) F + G = R3
14.- Sean F y G dos subespacios vectoriales de R3, B y B’ dos bases de F y G respectivamente,
entonces:
a) B ∪ B' es base de F ∪ G .
b) B ∪ B' es sistema generador de F+G.
c) B ∪ B' es base de F+G.
15.- Si G = {u1 , u 2 ,..., u m } es un sistema generador de R3, podemos asegurar:
a) m=3
b) m ≥ 3
c) m ≤ 3
16.- Sea A una matriz de rango r. Podemos afirmar que:
a) Todos los menores de A de orden r son distintos de cero.
b) El subespacio engendrado por los vectores fila de A es de dimensión r.
c) A tiene r filas linealmente independientes, pero, no podemos asegurar lo mismo de las
columnas.
3
17.- Un hiperplano de R es:
a) Una recta.
b) Un plano.
c) {0}.
18.- ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es falsa?
a) En R3 todas las bases tienen 3 vectores.
b) Toda familia de vectores de R3 es libre.
c) Toda familia libre de R3 tiene como máximo 3 vectores.
19.- La matriz de cambio de base en R2 de la base B = {(1,0), (0,1)} a la base B' = {(2,3), (−3,−4)} es:
−1
3 ⎞
⎛ 2
⎛ 2 − 3⎞
⎛ 2 − 3⎞
⎟⎟ ;
⎟⎟ ;
⎟⎟
c) ⎜⎜
b) ⎜⎜
a) ⎜⎜
⎝ − 3 − 4⎠
⎝ 3 − 4⎠
⎝ 3 − 4⎠
20.- Sean E y F dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial V, tales que:
dim(E+F)=dim(E)+dim(F), entonces:
a) E y F son subespacios suplementearios.
b) E+F=V.
c) E ∩ F = 0 .
21.- Si S = {e1 , e2 , e3 , e4 } es un sistema de generadores de un espacio vectorial V, entonces podemos
afirmar que:
a) dim V ≤ 4.
{}
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Espacio Vectorial
b) dim V = 4.
c) dim V < 4.
22.- Sea B = {u1 , u 2 ,..., u n } una base de un espacio vectorial V. Podemos afirmar:
a) u1 = (1,0,0,..,0) respecto de la base canónica.
b) u 2 = (0,1,0,..,0) respecto de la base B.
c) u1 + u 2 = (1,1,0,..,0) respecto de la base canónica.
23.- Sea B una base de V3 y G un sistema generador de V3. Se verifica:
a) B y G tienen el mismo número de vectores.
b) B y G están constituidos por vectores linealmente independientes.
c) V3 = < B > y V3 = < G >
24.- Sean B1 y B2 dos bases de V3 y M la matriz de cambio de base de B1 a B2 .Si X1 y X2 son los
vectores de coordenadas de un vector genérico u ∈ V3 respecto de B1 y B2 respectivamente. Se
verifica:
a) La ecuación de dicho cambio es X1 = M X2
b) La ecuación de dicho cambio es X2 = M X1
c) El rango de M no tiene porqué ser 3.
25.- Se sabe que {a, b, c} es una base de V. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es FALSA?
a) {a, b, c} es libre.
b) a = 0 .
c) {a, 2b, c} es base de V.
⎛1 0 0⎞
⎜
⎟
26.- Sea P = ⎜ 4 5 0 ⎟ la matriz del cambio de base de B = a , b, c a B' = {u , v, w}, entonces:
⎜ 6 2 3⎟
⎝
⎠
{
}
a) a = u + 4v + 6w .
b) v = 5b + 2c .
c) c y w son linealmente independientes.
27.- Sea V un espacio vectorial de dimensión n, entonces:
a) No hay sistemas ligados con más de n vectores.
b) No hay sistemas libres con más de n vectores.
c) Los sistemas libres tienen todos n vectores.
28.- Sea V un espacio vectorial de dimensión n, entonces:
a) Cualquier sistema de vectores con menos de n elementos es libre.
b) Un sistema libre de V tiene como mucho n vectores.
c) Hay sistemas generadores con n vectores que no son base de V.
29.- ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es la verdadera?
a) F = {(x, y, z ) ∈ R 3 / x + 2 y = 3z} es un subespacio vectorial de R3 de dimensión 2.
b) F = (x , y, z ) ∈ R 3 / x = 2 y = 3z es un subespacio vectorial de R3 de dimensión 2.
c) F = (x, y, z ) ∈ R 3 / x + 2 y = 3z + 1 es un subespacio vectorial de R3 de dimensión 2.
30.- Sea V un espacio vectorial de dimensión n, entonces:
a) Cualquier sistema libre de V tiene como máximo n vectores.
b) Cualquier sistema ligado de V tiene como mínimo n vectores.
c) Puede existir una base de V con menos de n vectores.
{
{
}
}
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/ x + y + z = 0, 2x = a} es un subespacio vectorial de dimensión
31.- El conjunto F = {(x, y, z ) ∈ R 3
1:
a) Si a=0.
b) Para cualquier valor real de a.
c) Si a=2.
32.- Sean las bases B1 = a , b, c y B 2 = { u , v, w} del espacio vectorial R3, tales que la ecuación del
⎛1 0 1⎞
⎜
⎟
cambio de base de B1 a B2 es: X 2 = ⎜ 1 − 1 0 ⎟X 1 , entonces las coordenadas del vector b respecto
⎜0 2 0⎟
⎝
⎠
de la base B2 son:
a) ( 0,-1,2).
b) ( 1,-1,0).
c) ( 0,1,0).
33.- Sean E y F dos subespacios vectoriales de R3 distintos de 0 . Entonces:
a) E ⊕ F = R 3 ⇔ E ⊥ = F
b) E ⊕ F = R 3 ⇔ E y F son suplementarios.
c) E + F = R 3 .
34.- Sean B1 y B2 dos bases de un espacio vectorial V. La matriz de cambio de base de B1 a B2
verifica que:
a) Sus columnas son las coordenadas de los vectores de la base B1 respecto de la base B2.
b) Sus columnas son las coordenadas de los vectores de la base B2 respecto de la base B1.
c) Ninguna de las anteriores.
35.- En un espacio vectorial V, se verifica:
a) Todo sistema generador es una base de V.
b) Toda base de V, es un sistema generador.
c) Todo subconjunto de un sistema generador de V, es una base.
36.- Sea B = {u1 , u 2 ,..., u n } una base de un espacio vectorial V. Podemos afirmar siempre que:
a) u1 = (1,0,0,..,0) respecto de la base canónica.
b) u 2 = (1,1,0,..,0) respecto de la base B.
c) u1 + u 2 = (1,1,0,..,0) respecto de la base B.
{
}
{}
{
}
37.- Sea a , b, c una base de un espacio vectorial V. Se verifica entonces que:
a) a + b + c = 0
b) a ,2b,3c es también una base de V.
{
}
c) {a , b,0} es también una base de V.
38.- Sea S un subespacio vectorial de R3 definido por S = {(x, y, z ) ∈ R 3 / x + y = 0;2 x + 3z = 0} se
cumple que:
a) dim(S)=1.
b) dim(S)=2.
c) dim(S)=3.
39.- En un espacio V de dimensión n se verifica:
a) Cualquier sistema generador con n vectores es base
b) No hay sistemas libres con menos de n vectores
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c) Todo sistema con menos de n vectores es libre
40.- El rango de un conjunto arbitrario de vectores de ℜn es siempre:
a) Menor o igual que n
b) Mayor o igual que n
c) Igual que n
41.- La intersección de dos subespacios vectoriales
a) En general no es un subespacio vectorial
b) Es un subespacio vectorial
c) Es un subespacio vectorial si no contiene al vector nulo
⎧x = 0
. Tomando 3
42.- En R 3 sea el subespacio vectorial S definido por las ecuaciones ⎨
⎩2 x + 3 y = 0
vectores cualesquiera de S, podemos asegurar que:
□ a) Forman un sistema libre.
□ b) Forman una base de S.
□ c) Forman un sistema generador de S.
43.- Sean S y S’ dos subespacios vectoriales de V. Se verifica:
a) dim(S+S’)= dimS+dimS’.
b) S+S’= < S ∪ S' > .
c) S+S’ no tiene por qué ser un subespacio vectorial de V.
44.- Si E y F son subespacios vectoriales de R3, ambos de dimensión 2, entonces:
a) E ∩ F ≠ {( 0, 0, 0 )} .
b) E + F = R3.
c) E + F no es un subespacio vectorial de R3.
45.- Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Se verifica:
a) Cualquier sistema libre tiene como mucho n vectores.
b) Cualquier sistema ligado tiene más de n vectores.
c) Un sistema generador tiene como mucho n vectores.
46.- Si F y G son subespacios suplementarios de un espacio vectorial V de dimensión n, se verifica:
a) F ∩ G = ∅
b) F+G es suma directa
c) dim(F+G)<n
47.- La ecuación matricial en R 3 , del cambio de base de la base B = {(1,0,1), (0,0,1), (1,2,3)} a la base
canónica B c es:
⎛ 1 0 1 ⎞⎛ x c ⎞
⎛x⎞
⎟⎜ ⎟
⎜
⎜ ⎟
□ a) ⎜ y ⎟ = ⎜ 0 0 2 ⎟⎜ y c ⎟ ; □ b)
⎟⎜ ⎟
⎜
⎜z⎟
⎝ ⎠ B ⎝ 1 1 3 ⎠⎝ z c ⎠ Bc
⎛ 1 0 1 ⎞⎛ x ⎞
⎛xc ⎞
⎟⎜ ⎟
⎜
⎜ ⎟
⎜ y c ⎟ = ⎜ 0 0 2 ⎟⎜ y ⎟ ; □ c)
⎟⎜ ⎟
⎜
⎜z ⎟
⎝ c ⎠ Bc ⎝ 1 1 3 ⎠⎝ z ⎠ B
−1
⎛1 0 1⎞ ⎛ x ⎞
⎛xc ⎞
⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎜ ⎟
⎜ yc ⎟ = ⎜ 0 0 2⎟ ⎜ y ⎟ .
⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎜z ⎟
⎝ c ⎠ Bc ⎝ 1 1 3 ⎠ ⎝ z ⎠ B
48.-Se sabe que {a, b, c} es una base de V. Puede ocurrir que:
a) {a, b, c,0} es libre.
b) a = 0 .
c) {a, b, c,0} es sistema generador de V.
49.- Sea A= {u1 , u 2 , u 3 } un sistema libre de R4 y sea u ∉< A > , entonces:
a) u ∈ A ⊥ .
b) Cualquier subespacio vectorial suplementario de A contiene a u .
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Espacio Vectorial
c) {u1 , u 2 , u 3 , u} es base de R4.
50.- Sean B = {u1 , u 2 , u 3 , u 4 } y B ' = {v1 , v 2 , v3 , v 4 } dos bases de R4 y M B→B'
⎛ 1 −1
⎜
1 0
=⎜
⎜1 1
⎜
⎝1 1
1 0⎞
⎟
3 0⎟
2 −1⎟
⎟
0 0⎠
la matriz de
cambio de B a B’, entonces:
a) v 4 = −u 3
b) u1 = v1 + v 2 + v3 + v 4
c) v 2 = u1 + 3u 3
51.- Dadas las bases B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} y B’={(1,2,3),(1,3,2),(1,0,0)} de R3. La matriz
−1
⎛1 1 1⎞
⎜
⎟
P = ⎜ 2 3 0 ⎟ es la matriz de cambio de base de:
⎜ 3 2 0⎟
⎝
⎠
a) B a B’.
b) B’ a B.
c) Ninguna de las anteriores.
52.- Sean u1 , u 2 , u 3 , u 4 ∈ R 3 cuatro vectores no nulos y distintos entre sí. Si M = {u1 , u 2 , u 3 , u 4 } y el
vector u 4 es combinación lineal de u 2 y u 3 entonces:
a) El rango(M)=3.
b) El rango(M)=2.
c) El rango(M) ≤ 3 .
53.- Si G = {u1 , u 2 ,..., u m } es un sistema generador de R3, podemos asegurar:
a) G es una base de R3 para cualquier número natural m.
b) Si m > 3 , entonces G es ligado.
c) u1 ≠ 0 .
54.- Sean F y G dos subespacios vectoriales de V. Se verifica:
a) dim F + dim G = dim(F ∪ G) − dim(F ∩ G) .
b) dim F + dim G = dim(F + G) − dim(F ∩ G)
c) dim F + dim G = dim(F + G) + dim(F ∩ G)
55.- Si G = {u1, u2, u3, u4 } es un sistema generador de R n , podemos asegurar:
a) n ≥ 4 .
b) n=4
c) n ≤ 4.
56.- Sea V1 el subespacio engendrado por el vector (1, 1, 1) y V2 = {( x, y, z ) / x − y = 0} . Entonces
se cumple que:
a) V1 ∩ V2 = V1
b) V1 ∩ V2 = V2
c) V1 ∩ V2 = ∅
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Espacio Vectorial
G
57.- Se considera el vector x ∈ R3 de coordenadas (1, 1, 1) en la base canónica. En la base
{(1,1,1), (1, 2,1 ), (1, 3, 2)}las coordenadas de xG son:
a) (1, 0, 0)
b) (1, 1, 1)
c) (1, 1, 0)
G G G
G G G
58.- Sean B = {u1 , u 2 , u 3 } y D = {v1 , v 2 , v3 } bases del espacio vectorial V tales que:
⎛ 1 1 1⎞
G G G
G G G
G G G
⎜
⎟
u1 = v1 , u 2 = v1 + v 2 , u 3 = v1 + v 2 + v3 , entonces la matriz ⎜ 0 1 1⎟ .
⎜ 0 0 1⎟
⎝
⎠
a) Es la matriz del cambio de base de B a D.
b) Es la matriz del cambio de base de D a B.
c) Ninguna de las anteriores.
G G
59.- Sean u y v vectores linealmente independientes de R3, ¿cuál de los siguientes conjuntos
forman un sistema libre?
G G G
a) 0, u, v
G G G G
b) {u + v, u − v}
G G G G
c) {u, v, u + v}
G G
G
60.- Si S = {u1 , u 2 ,..., u n } es un sistema generador de un espacio vectorial V, entonces:
{
}
a) dim ( V ) >n
b) dim ( V ) ≤ n
c) rango(S)=n
61.- Sea F un subespacio vectorial de R n , con dim F = m. Se verifica:
a) Si B es una base de R n , pueden eliminarse vectores de B hasta obtener una base de F.
b) Si B es una base de F, pueden añadirse vectores a B hasta obtener una base de R n .
c) Si B es un sistema ligado de R n , pueden eliminarse vectores de B hasta obtener una
base de R n .
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