Unidad_3_RLC 1061KB Apr 08 2015 01:13:52 AM

Preámbulo de Foster
Si la F(s) es Función Real Positiva (FRP) entones es posible:
remover polos en 0
remover polos en ±jω
remover polos en infinito
remover constantes menores o iguales a la mínima parte Re[Z(j ω)]
y la función que resta (si queda) sigue siendo FRP.
Si F(s) tiene polos y ceros alternados en - puedo remover polos
como F(s) o bien como F(s)/s y F(s) sigue siendo FRP.
Este proceso es conocido como el preámbulo de Foster.
Y a menudo puede sintetizar por completo una red.
Ejemplo:
Sintetice la siguiente función real positiva:
s 2  2s  2
Z ( s)  2
s  s 1
Polos:
-1±j
Ceros:  1  j 3
Singularidades:
•Polos y ceros complejos conjugados en el semiplano
izquierdo
Evaluamos que:
1. No tiene polos ni en cero ni en ±jω
2. No tiene polos en infinito.
3. No tiene polos en cero
4. No tiene polos en el semieje real negativo.
5. La mínima parte Re F(jω) se da para ω =±∞ y es 1Ω.
Por lo tanto podemos iniciar la síntesis removiendo la
constaste de 1 Ω en ∞
Para ello se propone realizar una remoción de constante
en ∞, utilizando la primera forma de Cauer.
2
2
Se realiza un paso por 1º Forma de Cauer,
s 2  s  1) s 2  2s  2 (1
 s2  s 1
s 1
Función
residual
La operación resultante del primer paso nos permite
evaluar que:
•Se removió una constante igual a la mínima parte real de la
función evaluada en jω.
•Que la inversa de la función residual presenta polos en el
semieje real negativo, por lo tanto puedo seguir
sintetizándola
s 1
1
Z ( s)  1  2
 1 2
s  s 1
s  s 1
s 1
La operación resultante del primer paso nos permite evaluar que
la inversa de la función residual presenta polos en el semieje real
negativo, por lo tanto el proceso puede continuar.
Siguiendo con la síntesis de una red escalera,
obtenemos la expansión completa en fracciones
continuas
s 2  s  1) s 2  2s  2 (1
Z1
 s2  s 1
s  1) s 2  s  1( s
Y2
 s2  s
1) s  1 ( s
s
1) 1 (1
Z3
Y4
Podemos escribir la función expandida en fracciones continuas, como:
1
Z (s)  1 
s
1
s
1
1
La función que queda después de aplicar el Preámbulo de Foster tiene las
siguientes características:
No presenta polos ni ceros en j ω,
No presenta polos ni ceros alternados en -
Tiene parte Re[Z(jω)]=0 para una o más frecuencias.
Una Z(s) sin polos en j ω se la llama de mínima reactancia (X)
•Una Y(s) sin polos en j ω se la llama de mínima susceptancia. (Y)
•Una Z(s) cuya parte Re=0 para alguna frecuencia se la llama de mínima
resistencia (R )
•Una Y(s) cuya parte Re=0 para alguna frecuencia se la llama de mínima
conductancia. (1/R)
Toda función que en forma conjunta es:
•de mínima reactancia, de mínima susceptancia, de mínima resistencia, y de mínima
conductancia
es simplemente
Función Mínima.
Estas funciones presentan:
• Igual grado de numerador y denominador.
•En s=0 y s=infinito tienen valores finitos, reales y positivos.
•Tiene una parte real que se anula al menos para alguna frecuencia.
Conclusión:
Al evaluar la factibilidad de síntesis de una FRP deben
agotarse en primera instancia todos los posibles procesos
del Preámbulo de Foster.
En la mayor parte de los casos al seguirlo la función se
sintetiza por completo, o bien se llega a una expresión de
Función Mínima.
Método de Brune:
Brune demostró que toda función mínima (perteneciente al
subconjunto de las FRP no sintetizables por algún proceso
enunciado en el llamado Preámbulo de Foster) puede ser
sintetizada.
El método de Brune parte de una función mínima.
Se inicia la síntesis evaluando el valor de Z(jω1), en donde ω1 es la
frecuencia a la cual la parte real de Z(jω) se hace nula.
Z(jω1) es reactiva pura.
Si ese valor es positivo el primer elemento a extraer es un inductor
Si ese valor es negativo el primer elemento a extraer es un
“inductor negativo”
Se inicia el proceso a partir de una función Real Positiva Mínima,
removiendo un inductor cuyo valor es:
X
L1 
1
1
CASO I: L1 <0 :
Al remover L1 de Z(s) nos queda:
Z1 (s)  Z (s)  ( L1.s)
L1.s no es una FRP porque L1 <0, no obstante Z1(s) sí es FRP.
•Z1(s) tiene un cero en jω1 porque
Z ( j1 )  j1 L1  0
Por lo tanto
1
Y1 ( s) 
Z1 ( s)
Que presenta un polo en jω1, que se remueve como un circuito
resonante serie, es decir como un inductor y un capacitor en
paralelo.
Como Z1(s) es FRP, L2 y C2 son positivos.
A la frecuencia ω1 : L2 y C2 resuenan produciendo un corto circuito a esa
frecuencia, por lo tanto a esa frecuencia la red se representa sólo por el
inductor L1.
La admitancia de la red que queda es:
2 K1s
Y2 ( s)  Y1 ( s)  2
2
s  1
Y los valores de los elementos son positivos , pues K1 es positivo.
De esa expresión se deducen los valores de L2 y C2
1
L2 
2 K1
C2 
2 K1
12
Y2(s) es un FRP, pues al extraer un par de polos complejos conjugados de
una FRP, el resto también lo es.
Expresamos a Y2(s) como:
1
2 K1s
1
Y2 ( s) 
 2

Z ( s)  L1s s  12 Z 2
Considerando que L1 es negativa, Z2 presenta un polo en infinito (que se le
generó al sumársele el polo de L1) que debe removerse como un inductor L3.
Este inductor es positivo, pues Z2 es FRP.
Cómo se originó este polo en infinito?
•Z(s) no lo tenía, pues era función mínima.
Al removerle –L1s se le origina un polo en infinito., con L1 negativa.
Así Y2(s) tiene un cero en infinito y su inversa Z2(s) presenta un polo en
infinito, así L3 corresponde a la remoción de dicho polo.
Z3 (s)  Z 2 (s)  L3s
Resumiendo el proceso sufrido por la red original:
Se incrementó el orden del numerador en uno al formar Z1(s)
Al remover la red serie LC para formar Z2(s) se reduce en 2 el
grado del numerador y del denominador
La remoción de L3 al formar Z3(s) reduce en 1 el grado del
numerador resultante.
Z(s)
Grado
numerador
n
Grado
denominador
n
Z1(s)
n+1
n
Y1(s)
n
n+1
Y2(s)
n-2
n-1
Z2(s)
n-1
n-2
Z3(s)
n-2
n-2
La reducción del número de polos y ceros de la función original es de
dos. Se puede repetir esta operación hasta que la función final no
tenga ni polos ni ceros y quede una constante positiva que
corresponde a un Resistor Terminal.
La red que consiste en tres inductores (uno negativo) y un
capacitor se conoce como red de Brune.
La operación que resulta en la reducción de dos polos y ceros de la
función mínima Z(s) se conoce como ciclo de Brune.
La función Z3(s) puede ser realizada nuevamente reduciéndola a una
función mínima por una operación de remoción de constante seguida por
un ciclo de Brune . Así puede sintetizarse cualquier FRP.
Brune demostró que no sólo es condición necesaria para una inmitancia
ser FRP sino que es suficiente para que pueda sintetizarse como una
realización pasiva.
La aceptación de dicha conclusión depende de la justificación de la
equivalencia de los tres inductores del ciclo de Brune (uno negativo) a un
transformador, considerado como un elemento realizable.
Si se escriben las ecuaciones correspondientes se llega a la conclusión
que para ser equivalentes ambas redes debe cumplirse que:
L p  La  Lb
Ls  Lc  Lb
M  Lb
El coeficiente de acoplamiento de un transformador se define como:
M2
k 
Lp Ls
2
sustituyendo los valores de Lp, Ls y M se demuestra que k2=1.
Se demuestra que:
El transformador a utilizarse debe tener coeficiente de acoplamiento unitario.
Observamos que Lp y Ls son siempre positivas.
La realización de redes que usan el método de Brune dependen del
transformador que tiene inductancias primarias y secundarias positivas pero
debe presentar un coeficiente de acoplamiento unitario.
La forma final de la red de Brune es:
CASO 2: L1 > 0 :
Cuando L1 > 0, su remoción como un elemento de la red origina una
función Z1(s) que no es real positiva:
Z1 (s)  Z (s)  L1.s
En este caso se remueve un elemento positivo y la función que resta no es
real positiva. Por qué Z1(s) no es real positiva?
Si graficamos Z(σ) como función de σ (sabemos que de ser FRP
debería presentar valores reales y finitos para 0 e ∞).
También sabemos que Z(s) no presenta polos ni ceros para σ
positiva..
Realizando el gráfico de Z(σ) vs.σ superponemos L1 σ. La
intersección de estas dos curvas satisface la condición :
Z(σ)-L1 σ=0
Y origina un cero de Z1(s). Este cero se presenta para σ positiva, por
esta razón Z1(s) no es FRP.
A partir de la observación de que Z1(s) tiene un cero en s=± jω1.
Como en el caso 1, este polo de 1/ Z1(s) se remueve como una red
serie L2C2 conectada a tierra.
La función admitancia resultante:
2k s
Y2 ( s)  Y1 ( s)  2 1 2
s  1
Nuevamente la función no es real positiva. Sin embargo k1 , es el
residuo de Y1(s) evaluado en el polo ± jω1 , es real y positivo.
Z2(s), la inversa de Y2(s) presentará el mismo cero real en el
semiplano derecho que Z1(s).
Siguiendo los pasos del caso 1, observamos que Z2(s) tiene un
polo en infinito. Se demuestra que éste puede ser removido
sustrayendo:
L3 s
Donde L3 tiene signo negativo.
Por lo tanto al remover un elemento negativo de una función que no
es real positiva, resulta:
Z3 (s)  Z 2 (s)  L3 s
Se demuestra el carácter real positivo de Z3(s).
Al completarse el ciclo de operaciones de Brune Z3(s) tiene dos ceros y dos
polos menos que Z (s).
El ciclo de Brune para el 2º Caso a Z (s) comienza sumando un polo en infinito
De este proceso resulta un cero en el semiplano derecho de Z1(s).
El último paso lleva a la remoción de este polo en infinito de forma tal de
remover al mismo tiempo el cero en el semiplano derecho, quedando como
residual una función real positiva.
El ciclo se lleva a cabo tantas veces como sea necesario para sintetizar
completamente cualquier función inmitancia.
Se demuestra que también para este caso el coeficiente de acoplamiento del
transformador a utilizar es unitario.
Ejemplos:
Caso 1:
s2  s  2
Z ( s)  2
2s  s  1
Donde Z(s) es una función mínima cuya parte real se hace cero en ω1=1.
A dicha frecuencia la impedancia Z(j1)=-j1, es negativa.
Se inicia la síntesis del ciclo extrayendo un inductor negativo:
L1  1 H
Z1 ( s)  Z ( s)  ( s)  Z ( s)  s
Z1(s) es función real positiva, operando:
2( s 2  1)(s  1)
Z1 ( s) 
2s 2  s  1
Y Z1(s) presenta los ceros en ±j1, estos ceros de Z1(s) son los polos de
Y1(s)=1/ Z1(s) que pueden ser removidos:
1/ 2 s 1/ 2
1
1
Y1 ( s)  2



s  1 s  1 2s  2 / s 2s  2
Asociando cada término con un elemento o par de elementos del ciclo de
Brune:
Y1 ( s) 
1
1

2s  2 / s 2s  2
Se observa que el último elemento es un resistor de valor 2 Ω.
Calculando los valores del transformador equivalente, la síntesis del
ciclo de Brune se realiza con:
Ejemplos:
Caso 2:
s2 1/ 2 s 1/ 2
Z ( s) 
s2  s  2
Re Z ( j1 )  0 en 1  1
1
Z ( j1)  j 
2
Por lo tanto:
1
L1  H
2
Al remover este inductor:
2s
4
1
1
Y1 ( s)  2



s  1  s  1 s / 2  1 / 2s  s / 4  1 / 4
Y la red final y su equivalente quedan