resueltos

Probabilidad II
Tercero de Matemáticas
Curso 2007-2008
Dos ejercicios resueltos de la Hoja 1
1. En (Ω, F , P) , consideremos una colección de sucesos A1 , . . . , An , y llamemos A = ∪nj=1 Aj .
n
(c) Muéstrese que 1A ≤ j=1 1Aj y obténganse las primeras “desigualdades de Bonferroni”:
P(A) ≤
P(A) ≥
n
j=1
n
P(Aj )
P(Aj ) −
j=1
P(Ai ∩ Aj )
i<j
Sea ω ∈
Entonces 1A (ω) = 1. Pero ω ha de estar, al menos, en uno de los Aj , por
A.
n
lo que j=1 1Aj (ω) ≥ 1. Por otro lado, si ω ∈
/ A, entonces ambas cantidades, 1A (ω) y
n
1
(ω)
son
0.
j=1 Aj
Tomando esperanzas, obtenemos la primera desigualdad entre probabilidades.
La segunda desigualdad se deduce de que
1A ≥
n
j=1
1A
j
−
1A 1A
i
j
i<j
(y recordando que 1Ai 1Aj = 1Ai ∩Aj ).
Si ω ∈
/ A, entonces 1A (ω) = nj=1 1Aj (ω) − i<j 1Ai (ω) 1Aj (ω) = 0.
Pero si ω ∈ A, entonces estará en r ≥ 1 de los Aj :
n
Si r = 1, 1A (ω) = 1 y
i<j 1Ai (ω) 1Aj (ω) = 1 − 0 = 1.
j=1 1Aj (ω) −
r
Y si r ≥ 2, ω estará en r de los Aj y en 2 de las intersecciones 2 a 2. Por lo tanto,
la suma de la derecha vale
r
r(r − 1)
3−r
r−
=r−
=r
,
2
2
2
que es ≤ 1 para cada r ≥ 2.
2. Sea Ω el conjunto de todas las listas de n posiciones formadas con los sı́mbolos {1, . . . , n} (sin que
se puedan repetir sı́mbolos). Es decir, Ω es el conjunto de las n! permutaciones de {1, . . . , n}. A cada
permutación le asignamos probabilidad 1/n!.
Estamos interesados en calcular la probabilidad de que una permutación sea un desbarajuste, es
decir, una permutación en la que ningún sı́mbolo está en “su” posición (el 1 no está en la posición
primera, el 2 no está en la segunda, etc.).
(a) Llamemos, para cada j = 1, . . . , n, Aj al conjunto de las permutaciones en las que el sı́mbolo j
está en la posición j. Comprueba que, si D es el conjunto de los desbarajustes, entonces
P(D) = 1 − P(A1 ∪ · · · ∪ An ) .
Sólo hay que darse cuenta de que D = Ω \ (A1 ∪ · · · ∪ An ).
(b) Utiliza el principio de inclusión/exclusión para obtener una expresión para P(D). Puedes utilizar
también las desigualdades de Bonferroni para estimar esta cantidad.
Calculemos P(Aj ), para un cierto j = 1, . . . , n.
Contemos, para ello, cuántas permutaciones hay en Aj , es decir, cuántas tienen el sı́mbolo j en la
posición j de la lista. Pero si la lista tiene ese sı́mbolo colocado, hay (n − 1)! maneras de situar los
restantes sı́mbolos. Ası́ que
1
(n − 1)!
= .
P(Aj ) =
n!
n
Por otro lado, permutaciones en Ai ∩ Aj (que tienen el sı́mbolo i en la posición i y el j, en la j-ésima)
hay (n − 2)!, pues sólo hay que decidir qué posiciones ocupan los n − 2 sı́mbolos restantes. Ası́ que
P(Ai ∩ Aj ) =
1
(n − 2)!
=
.
n!
n(n − 1)
Y ası́, sucesivamente. Al emplear el principio de inclusión/exclusión, obtenemos que
P(D) = 1 −
n
j=1
P(Aj ) −
i<j
P(Ai ∩ Aj ) +
P(Ai ∩ Aj ∩ Ak ) − · · · + (−1)n−1 P(∩nj=1 Aj )
i<j<k
n
1 1
1
1
+
−
+ · · · + (−1)n
n i<j n(n − 1)
n(n − 1)(n − 2)
n!
j=1
i<j<k
n
1
n
1
n 1
1
+
−
+ · · · + (−1)n
=1−
2 n(n − 1)
3 n(n − 1)(n − 2)
1 n
n!
n!
n!
n!
1
1
1
1
+
−
+ · · · + (−1)n
=1−
1!(n − 1)! n 2!(n − 2)! n(n − 1) 3!(n − 3)! n(n − 1)(n − 2)
n!
1
1
1
1
= 1 − + − + · · · + (−1)n
1! 2! 3!
n!
n
j
(−1)
=
.
j!
j=0
=1−
Esta última cantidad, en cuanto n es grande, es prácticamente 1/e.