Sistemas de numeración posicional y cambios de base

Sistemas de numeración posicional y
cambios de base
Gustavo Ramos
Agosto 2011
Sistema de numeración posicional
I
Se define el sı́mbolo cero (0) para indicar la no existencia
de unidades
I
Se define un conjunto de sḿbolos especı́ficos que se
utilizan para representar cualquier número
I
Cada uno de los sı́mbolos posee un valor que depende
de su posición y de un numero entero llamado base
Sistema posicional
I
Se elige un número entero positivo n como base del
sistema
I
Se utilizan n sı́mbolos que representan el 0 y los n − 1
primeros numero naturales {a0 , a1 , . . . , an−1 }
I
Cada n unidades de orden m representan una unidad de
orden m + 1 y se escribe a la izquierda de las unidades del
orden m
I
Cuando no hay unidades de un orden se expresa mediante
el sı́mbolo cero (a0 ) en la posición correspondiente.
I
La unidad de primer orden se representan con el sı́mbolo
que denota al número natural 1 (a1 )
I
La unidad de orden m (nm−1 ) se expresa como
a1 a0 a0 . . . a0
| {z }
m−1
Ej 1. Notación decimal (base 10)
I
Base n = 10
I
Sı́mbolos {0, 1, . . . , 9}
I
Unidad 1
I
Unidad de segundo orden 10
Ej 2. Notación binaria (base 2)
I
Base n = 2
I
Sı́mbolos {0, 1}
I
Unidad 1
I
Unidad de segundo orden 10
Notación desarrollada
Todo número real x puede representarse de manera única en
base n por el polinomio
x=
∞
X
xi n i
i=−∞
donde xi es un śimbolo del sistema de representación.
Ejemplo 321.9810
321.98 = 3 × 102 + 2 × 101 + 1 × 100 + 9 × 10−1 + 8 × 10−2
Ejemplo 11.012
11.01 = 1 × 21 + 1 × 20 + 0 × 2−1 + 1 × 2−2
Cambio de Base 10 a 2
Dado un número en base 10 para pasar a base 2
I
Para la parte entera:
Se realizan divisiones sucesivas entre la base 2 hasta
encontrar cociente cero y se toman los residuos como los
dı́gitos del número en base 2. Comenzando desde la
última división a la primera se escribe el número en base 2
de izquierda a derecha.
I
Para la parte decimal:
Se realizan multiplicaciones sucesivas por la base 2 y se
toman los enteros de cada multiplicación como los dı́gitos
del número en base 2. Comenzando desde la primer
multiplicación hasta la última se escribe de derecha a
izquierda.
Convertir 7.610 a base 2
Parte entera:
7÷2=3×2+1
3÷2=1×2+1
1÷2=0×2+1
Parte decimal:
0.6 × 2 = 1.2
0.2 × 2 = 0.4
0.4 × 2 = 0.8
0.8 × 2 = 1.6
0.6 × 2 = 1.2
..
.
Se tiene entonces que
7.610 = 111.10011 . . .2
Cambio de Base 2 a 10
Escribir el número en base 2 en notación desarrollada
expresando los dı́gitos en base 10 y realizar las operaciones.
Convertir 101.12 a base 10
101.12 = 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 + 1 × 2−1 = 4 + 0 + 1 + 0.5 = 5.5
Ejercicio: convertir 0.110 a base 2
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