Hoja 2

Matemática Discreta
Segundo curso del Grado en Matemáticas, UAM
Curso 2011-2012
Hoja 2
1. Pruébese la siguiente regla de recurrencia para un coeficiente trinómico:
n
n−1
n−1
n−1
=
+
+
,
donde a + b + c = n.
a, b, c
a − 1, b, c
a, b − 1, c
a, b, c − 1
Explı́quese el significado combinatorio de esta identidad.
2. Formamos listas de longitud n con tres sı́mbolos, α, β y γ. Digamos que los tres sı́mbolos
“pesan”, respectivamente, las cantidades A, B y C. El peso total de una lista se define como la
suma de los pesos de sus sı́mbolos. Calcula el peso medio de una lista.
3. Compruébese que
S(n, n − 1) =
n
y que
2
S(n, n − 2) =
Hállese una fórmula análoga para S(n, n − 3).
Por otro lado, sabemos que
S(n, 2) =
n
1 n n−2
+
.
3
2 2
2
2n − 2
.
2
Hállese una fórmula para S(n, 3).
4.
Pruébese que
S(n + 1, m + 1) =
n n
S(k, m).
k
k=m
5. El número de Bell B(n) cuenta el número de particiones de {1, . . . , n} en bloques no vacı́os:
B(n) =
n
S(n, k).
k=1
Compruébese que, si definimos B(0) = 1, se verifica la siguiente relación de recurrencia:
n n−1
n − 1
n−1
B(n) =
B(n − j) , esto es, B(n) =
B(k)
para cada n ≥ 1
j−1
k
j=1
k=0
6. Consideremos ahora el número de particiones del conjunto {1, . . . , n} en bloques no vacı́os,
de manera que los bloques van numerados (el orden dentro de los bloques sigue siendo irre
levante). A este número lo llamaremos n-ésimo número de Bell ordenado, B(n).
Compruébese
que
n
B(n)
=
k! S(n, k) .
k=1
Pruébese que, si definimos B(0)
= 1, estos números verifican la siguiente relación de recurrencia:
n n−1
n
n B(n − j) para cada n ≥ 1, o, lo que es lo mismo, B(n) =
B(k)
.
B(n) =
j
k
j=1
k=0
7. Consideremos los conjuntos A = {1, 2, . . . , n} y B = {1, 2, . . . , m}, donde m ≥ n.
(a) Dado un k fijo entre 1 y m, calcula el número αk de aplicaciones de A en B cuyo conjunto
imagen tiene exactamente k elementos.
m
(b) Calcula el valor de la suma k=1 αk .
8. Calcula el número de listas de longitud n con k sı́mbolos (donde k ≤ n) en las que se
aparecen todos los sı́mbolos (al menos) una vez.
9. Consideramos n ciudades. Durante 2n dı́as, un viajero va anotando la ciudad en la que
pernocta. Al final del viaje, debe haber dormido en todas las ciudades. Teniendo en cuenta
que podrı́a dormir varias veces seguidas (o alternas) en la misma ciudad, ¿cuántos itinerarios
distintos podrá haber hecho el viajero?
10. Una colección consta de 10 cromos distintos. Durante 20 dı́as vamos a ir cada mañana al
kiosko a comprar uno.
a) ¿Cuál es la probabilidad de completar la colección?
b) ¿Y de que acabemos la colección justamente (y no antes) el último dı́a?
(Nota: suponemos que los cromos aparecen con la misma probabilidad).
11. Un grupo de 100 personas hacen un examen tipo test que consta de 150 preguntas. A
la vista de los resultados obtenidos por cada uno de ellos (entre 0 y 150 puntos), hacemos un
ranking de los candidatos: una primera categorı́a para los de máxima puntuación, una segunda
para los que tengan la siguiente puntuación, etc. Nótese que puede haber varios candidatos en
la misma categorı́a. ¿Cuántas posibles clasificaciones finales de éstas podrá haber?
12. Sea n un entero positivo que es producto de m primos diferentes. ¿De cuántas maneras
podemos escribir n como producto de k enteros de la forma
n = n1 × · · · × nk ,
(con 1 < n1 < · · · < nk ) ?
• Sobre la función pk (n) en columnas.
13. Comprueba que
p2 (n) = n/2.
¿Podrı́as dar una fórmula para p3 (n)?
14. Comprueba que, para k fijo, pk (n) es una función creciente de n.
• Sobre la función pk (n) en lı́neas paralelas al borde derecho (diagonales).
15. Prueba, con un argumento combinatorio directo, que
pn−2 (n) = 2 si n ≥ 4
y que
pn−3 (n) = 3
si n ≥ 6.
16. Prueba que, para j fijo, la función pn−j (n) es creciente para todo n y que es constante a
partir de un cierto valor de n.