f(~{,nl) A(rl) + f(~Z,nZ) A(rZ) + o •• +f(~n,nn) A r

184
i)
Sea Runa regi6n de área A en el plano
conceptos dedisco
-
I XY
(análogamente a los
abierto y cerrado si la regi6n incluye los puntos
de la frontera decirnos que es una regi6n cerrada) y que es cerrada.
ii)
Trazando rectas paralelas a los ejes coordenados subdividirnos el
(XY
iii)
.
J).s
El espaciamiento entre las rectas
puede o no ser igual.
Considerando los rectángulos contenidos en la regi6n cerrada R, son
enumerado s secuencialmente aquellos que e stén completamente contenidos en R.
iv)
Las áreas de estos rectángulos simbolizados A(rl); A(ri) A( r n ).
v)
El conjunto de los rectángulos completamente contenidos en R se denomina una subdivisi6n o partición
Asr
vi)
A
de R.
de R =
Se define corno norma de una partición y se denota corno
11 A /1 la
longitud de la mayor diagonal (del mayor rectángulo) de la partición.
vii)
Sea f (x, y) una funci6n definida J/-(x, y) é:
R.
viii)
Designando corno coordenadas (lfi, ni ) las de un punto arbitrario
-
r·1
ix)
Tomando la suma
f(~{,nl) A(rl) + f(~Z,nZ) A(rZ) +
en
o
••
+f(~n,nn) A r n
185
o má s c ompad:a men te
n
~
f (~i, ni)
(1)
A (r i)
i =1
Nota: Las
2:
y con
se pueden conformar para particiones con cualquier I\~I/>O
(8 i, IU) elegido arbitrariamente en el rectángulo ri
un número L es e11ímite de las
-
Definici6n: Se dice que
X
del tipo (1) y
escribimos
lim
IJAII-o
n
')
f (<Si, 'li) A (ri) = L
i =1
-Vt; >
Si L tiene la propiedad de que
3 6>
portar su magnitud,
I
i i f (e;.l1. i ) A(ri) - L
1
JI 411
<'
5
-<
E-
O
con
O con E: E R
Re
para toda partici6n
•
e
•
SIn Im-
tal que
~
que posea
y para toda se1eci6n posible de los puntos
(S i, l1..i)
en los rectángulo s ri
Definici6n ii)
Si f(x, y) está definida en una regi6n cerrada R y si el nú-
mero L de la definici6n i) existe; se dice que f(x, y) es integraY al número L se llama lintegra1 dob1e" de f(x, y) en
b1e en R.
R•
1im
A sí se pue de denotar:
n
¡JIJ¡I_ o ~ f
i =1
(~i,l7..i)
A ( ri) =
Jj
R
f (x,y) dA
L
186
Otros símbolos para la integral dable son:
JJ
Jj
y
f(x, y) dy dx
R
Nota:
f(x,y)dx dy.
R
Para que una funci6n de dos variables sea integrable en una regi6n
cerrada se requiere que sea continua en R.
Interpretaci6n: Se interpreta la
ff
geométricamente como la medida del
volúmen de un s6lido.
•
•
•••
•
•
•
••
•
•••
••
••
I
••
•
•••
•
•I•
••
R.
por simplicidad; sea f(x, y)
>
O
f(~i,Yl.i)~X L1 Y = f(~i,f(,i) A , ri) =Volúmen del prismo..que
tiene la base A(ri) y por altura f(~ i,/li).
La suma de todos los prismas acotados superiomente por la superficie
Z = f(x, y) e inferiormente por la regi6n R en el plano IXY es el volúmen
del s6lido.
18 7
T e o r e m a : Sea' f una funci6n de dos variable s continua en una regi6n cef(x, y ) 2::: O
rrada en el plano (XY y si
.v-( x, y ) €
R.
y si V ( s) es la medida del volúmen del s6lido S que tiene a
la regi6n R como base y una altura f(x, y) en el punto (x, y)
en R entonce s
V(s) = lim
ti jj
(/_ 0
~l
f( 8 i, tti)
A(ri)~ Jf f(x, y) dA.
R
Las propiedades de la integral doble más importantes aparecen en los
siguientes teoremas:
i)
e
Si
e s una constante y la funci6n f es integrable en una regi6n cerra-
da R entonce s cf e s integrable en R.
1J cf(x, y)
dA = c
11
R
ii)
f (x,y) dA
R
Si las funciones f y g son integrables en una regi6n cerrada R, entonces la funci6n f+g es integrable en R y
JJ[f(X,
y) + g(x, y) ]
"dA
R
=Jj
f(x,y) dA +
R
J1
g(x,y) dA.
R
Nota: Los dos teoremas anteriores permiten afirmar que la región cerrada es un lJespacio real lJ de funciones.
iii) Si las funciones f y g son integrables en R y f(x, y) ..2: g(x, y)
+
(x, y) €o R. entonces
jJ
R
f(x, y) dA
.~ )j
R
g(x,y) dA.
188
iv)
Sea la funci6n f integrable en una regi6n cerrada R y si m y M son dos
números tales que m':::' f(x,y) ::: M
entonce s si
A e s la medida del área de la re gi6n R se tiene
JJ
~
m A
MA.
f(x,y) dA
R
v)
Si la funci6n f e s continua en la regi6n cerrada R • Y e sta regi6n está
compuesta por dos subregiones R 1 Y R Z' las cuales no tienen puntos
comunes excepto por los puntos en partes de sus fronteras.
JJ
JJ
f(x,y) dA =
R
Para
+
ff f(x,y) dA.
RZ
Rl
Cálculo de integrables
i)
f(x, y) dA
entonces
dobles e integrables iteradas.
superfici es cerradas, acotadas por rectas:
Sea f(x, y) una funci6n integrable continua en una regi6n R
acotada por las rectas
X
, X = bl
U z <. b Z
y
entonces: V( s) =
=cZ l
LXY
E
y= b Z
; si f (x J y) ~
° ..v
(x,y)ER.
Jj f(x, y) dA.
R
Sea
y
r= @¿,
punto (O,y,O).
b
zl .
•
Considerando el plano
que pasa por el
Sea A (y) el área de la regi6n plana de la intersecci6n
de este plano con el s6lido.
V( s) =
III XY
(b Z
-d
z
Asr el volúmen será:
A(y) dy.
que e s también
V{s)=
ff f(x, y) dA
R
189
C aluulando u n a integral de A( y ) e s entonce s posible encontrar la
ff
de f en R.
Ahora bien corno A(y) es el área de una regi6n plana, se puede encontrar por Integraci6n.
El límite superior para la regi6n plana es f(x, y) cuando X
JUt
así que A(y) =
fl1,
b 1]
bi
f(x, y) dX
sustituyendo en V(s) se tiene:
•
V(s)
=f;
R
bl
r
f(x,y)dA=~ ~
lZ 2 q
.
(b~
f(x,y) dX dy
en el proceso de integraci6n primero se integra en funci6n de X mante
ni endo a
Y constante.
También es posible cambiar el orden de inte-
graci6n teniendo especial cuidado en lo s límite s de in te gr ac i6n.
~
,
____: "_.,-~_==:::-~-- z· f (~'j)
-,.,-
,
I
I
I
, C\t
I
I
-.
•
Ejemplo i)
Calcular
JI
-'
_
..
,,"
•.
1 ,·'
j.~.
,,' "
-'
~
",'
,
"
,, '
.",,"
-ri'-0. __ • _ . _
".0
(2X 2_ 3y ) dR.
Si R es la regi6n que consiste
R
de
-t (x, y)
tal que
-1 :::: X
~
2
y
1
-
y .5:-
3
190
2
( 2X 2_ By )dA =
JJ
R
-1
3
3
(2X 2_3y)dy dx =
1
1
2
J
(2X 2_ 3y)dx dy = - 24.
-1
f(x~
Ejemplo ii) Encontrar el volúmen del sólido acotado por la superficie
4 -
-+
Y,b
X:2. _
y;a
y =2
y los planos X = 3
y)=
y los pla-
•
nos coordenados.
o
~X
3
=JJ
V(s)
~
0:::y~2
3
f(x~y)
•••••
2
f(x, y)
dy dx
= 21. 5
O O
ii)
Integrale s Dobles para superficie s cerradas acotadas por curvas:
Sea R una región en el plano XY acotada por las lectas X = ~ A X = b
con
CL
siendo
<
b
para las curvas
cp 1 /\ c9 2
y también
rf 1 5
t1 : el
f2
y = ~ 2 (x)
ce. ~ X :=
siempre y cuando
= Xo ~
J
X 1 <. X 2 "
1c o
Ai X
~(
"
______ ________
•
I
~(~--------~------~~---
-1ft'!
•
I
·
I
·I
•
•
__
~(X
I
•
I
-'ex
Si./). e s una
¿ Xn = b
•••
•J
0_ _ __ - - _ -1-------.-.':1
b.
J
definida
tomando R en tiras verticales Con anchos
i
~ :._.- .-._. '-.-._--.
A
funcione s continuas en el intervalo cerrado [a, b
partición del intervalo [a, b
I
y = ~~ ~ (x)
,...
191
Para superficies cerradas acotadas por curvas:
i)
Sea Runa regi6n cerrada en el plano XY; acotada por las rectas
X= a..I\X=b con a< b y por las curvas
ii)
con
~l
Sea
~l (x)
iii) Sea
y~z
1:!
$
y = ~l (x)
:t.
funciones continuas en el intervalo cerrado
V
¡iZ(x)
I
(x)
ú..~X
una partici6n del in terva10
,
a...
[a, b ]
~
y = ¡i z (x)
[a, b
J
b
defir.ú.da
Xn
1\
Xo
b
iv)
Tornando la regi6n R dividida en tiras paralelas al eje -y- con anchos
v)
tornan do un pun to (X = C; i
y=O) tal que
-
-
.>
vi)
La intersecci6n de la superficie
es una curva.
Xi
Xi-l
Xi-l
Z = f(x, y) y el plano que pasa por~ i
Un segmento de esta curva está sobre (por encima) la
"
i-esima
tira paralela al eje y.
vii) La me dida del áre a de e sta re gi6n e stá dada po r:
í~
. \~ i)
J"
I
~, (~ i)
viii)
f (~i, y) dy
-
El volúmendel s61ido acotado superiormente por la superficie
Z = f(x, y) e inferiormente por la isema tira en el plano LXY
Y.
es aproximadamente igual a:
- / ' ¡i(t¡ I)
[ JrÁ t cl
~(4 i)
f(~\, y)dy
J Ll
iX
JI al eje
192
ix)
1/1111 - . . ::.
Tomando el límite con la
cales desde X = a ---"';·>;:.>;:. X = b
O
para la suma de n tiras verti-
se obtiene el volúmen
del sólido aco-
tado por Z = f(x, y) superiormente e inferiormente por R en el plano
1XY.
; lo cual e s la inte gral doble de f en R.
~ 2 ( t i)
n
~
lim
A
f( e i, y) dy
J
II iX = J
( b J ~2(X)
a
1
.-0
JI
=
~l (x)
f(x~ y)dydx
f(x,y)dydx
R
las condiciones suficientes son que f(x, y) sea continua
~l
y ~ 2
en R y que
sean funciones lisas (que tienen derivadas continuas).
Expre sar el volúmen del sólido que está acotado inf eriormente por el
l
plano XY!
V -- .•
superiormente por Z = X 2+ 4y 2
y por el cilindro
Usando propiedades de simetría se tiene que el volúmen del sólido
e s cuatro veces el cil sólido que e stá en el primer cuadrante:
v
= 4
f2
(X 2 +4y2 )dy dx
o
o
Ejemplo: ii)
,
4_X2/2
Hallar el volúmen por la integral Iterada
.fi" f(x, y) dx dy •
v=
j
.1
2 Yl- y
z'
(X2 +4y2 ) dx dy
o
=
4 1f
•
193
Nota: 'Para todos los casos si f(x, y) = 1 la integral
JJ
dá por resultado
el áre a de la región R.
Ejemplo: iii)
•
Encontrar por integración doble el área de la región en el
acotada por las curvas y = X
plano LXY
'2
A =}
J2
A
Y =4X-X
2
2
--
dy dt-
X
o
Ejemplo: iv)
(4X-X
2
8
3
-
Hallar el vo1úmen de la región común a los cilindros
X 2+y2=
a. 2
X 2+ Z2=
a. 2
v
= 8 veces el vo1úmen del primer octante
[2
\b.
v
-X
2
I
Z dy dx =
= 8
~
:: O
Z=
= 16 a,}
(2_x 2'
3
-
Centros de Masa y
Mo men...t.o s
de
Inercia •••
i)
S e a una lámina que tiene la forma de una región R cerrada en e11 Xy
ii)
Si
P\x, y) es la densidad de
iii)
Si
f
área en cualquier (x~ y) de R
(x, y) es continua en R
Para hallar la masa total de la lámina se considera:
1)
jj una partición de R con n-rectángulos.
2)
Se toma
(e!i, Ti) como las coordenadas de un punto en el i-simo
rectángulo el cual posee un área
L1
iA
-
194
3)
La aproximaci6n a la medida de la masa del i- simo rectángulo está
f
dada por
4)
(4i, ~i)
.L1 iA
La masa total de la lámina se aproxima por
n
L.
.f(~ i, ~i) 8 iA
i =1
5)
Tomando el límite cuando
denota como M,
)/.811
----,:>
o
se tiene que si el límite se
este va"br corresponde a la masa de la lámina; así
que:
M=
n
lim
L
liD IJ --....~ o
j
(t!, i, Y i ) A iA
jJ f(x,y)
=
i =1
dA
R
el momento de masa del i-simo rectángulo Con respecto al eje X se
puede aproximar como
La suma de las medidas de los momentos de masa de los n-rectángulos con re specto al eje X se aproxima por la suma de n de tale s
términos.
Así entonce s el primer momento de masa
Mx con re spect o al
eje X de toda la lámina e stá dada por
Mx
lim
1 11111 ~ 0
¿
i
n
-
=1
Jj
y.f (x,y)dA
R
de forma análoga; la medida de My del primer momento con respecto al eje Y está dada por
My=
lim
¡/11 //
=
JI
R
-
-",.'>.
X
-
o
.f (x,y)
dA
195
El centro de masa de la lámina se denota por el punto (x, Y)
-X=
Ejemplo:
My
M
-y=
Una lámina en forma de
J!.
con
Mx
M
rectángulo is6sceles tiene una den-
sidad de área que varía con el cuadrado de la distancia al vértice del ángulo recto.
Si la masa se mide en Slugs, y la dis-
tancia en pies, cuáles son a) la masa y el <entro de masa de la
lámina?
-
K
My=
K
M.
J)
jJ
K a
(X2 +y 2)dy dx =
2
6
X ( X 2+ y 2)dy dx ::
R
-X
1
15
-
ja
¡a-x
2
M=K
(X +I)dy dx
o
Ka 5
- -= Y
2
5
o
= Mx
a
Por simetría el centro de masa debe estar sobre la recta
Momento
re
Y = X
Inercia:
Definici6n: El de una partícula de masa m con respecto a un eje se define corno
m
ii)
r 2
con r es la distancia.L de la partícula al eje.
Cuando se tiene un sistema de n partículas.
El momento de inercia
del si. stema se define como la suma de los momentos de Inercia de todas las partículas que conforman el sistema.
m
1 =
;¿
i
=1
m 1.
19 6
iii)
Dada una m asa con distribuci6n continua en una re gi6n R
tiene po r
1 XY
se
e xten si6n que e s :
a) Si la densidad de área de la distribuci6n de masa en el punto
f( x,y) y si '¡;(x, y) es continua en R. El momento de
(x, y) es
Inercia
Ix con respecto al eje X está dado por:
•
lim
Ix =
IIAII_-. o
n
¿
i
r i 2
=1
jJ(~ i, t i) .d iA =
JJ
y 2f( x, y)dy dx
R
an álo gamen te :
ty
=
n
lim
~ i~(~ i,Y i) dA =jj X 2 ! \x,y) dy dx
L
i =1
/ /.IJ 11--_!:> o
R
y la medida del momento de inercia con re specto al origen o al eje
Z es:
Momento
Polar de
Inercia.
n
lim
Li =1
0=] lo = " 611 ~
· 0
-
Jf
R
Ejemplo: Una lámina rec tangular homogénea tiene una densidad de área
constante de
P Slugs/pie 2
h allar el momento de inercia de la
lámina con respecto a una esquina.
lo =
jff(X2 +y2) dx dy
R
=J
l bf a
o
(X 2 +y2) dx dy.
o
,x
197
de
Radio
i)
.
gl ro.
Se considera que la masa total M de una lámina e stá concentrada en
un punto.
ii)
Si el punto se encuentra a una distancia r
de un eje dado (L) el
mone nto de inercia con re specto a L de esta masa e s Mr 2 ; el # r
es la medida del llamado radio de giro con respecto a ( L)
De finici6n : Si 1 e s la medida del momento de Inercia con respecto a un
eje L de una distribuci6n de masa en un plano, y M es la medida de la masa total de distribuci6n, entonce s el radio de
giro de la distribuci6n con respecto a L tiene medida r, donde:
r 2
Ejemplo:
=
1
M
Sea una lámina de forma semicilrcular y la densidad de área de
la lámina en cualquier punto proporcional a la distancia del
punto al dii1metro.
~
Hallar el radio de giro de la lámina con res-
pecto al eje X.
i) M =
-el.
lim
I/IJI! .-..0
-
-5i =l
K r i
~
iA
~( K Y dA
J
R
K y dx dy
ii)
=
2 _ K (L3
3
Sea Ix el momento de Inercia de la lámina con respecto al eje X
19 8
Ix =
K Y dy dx =
-a
r 2
15
o
4
-15 Ka?
=
2
3
-
- Ka]
La Integral
5
KCL
4
úL 2
2
-5
•
doble en Coordenadas Polares.
i)
ii)
e= ~
sea R
la regi6n acotada
por las rectas &-= aL. Y
e- = f3
por los círculos r = a
y
Sea
r
y
=b
/l una partici6n trazando rec-
tas por el polo y círculos concéntricos en el polo -
_ rectángulos
curvos.
iii)
[==J
I/~I/
mayor en
iv)
Sean
diagonal del rectángulo
II .
n rectángulos, y seaA iA
la medida del i-simo
v)
.L1
iA
[=-J
rectángulo.
área del i- simo rectángulo curveado es la diferencia entre
dos sectore s circulares.
Ll
1
_
iA =
2
r· 2
1
--
-2
1
1
( ~ i - ~ i-l) - 2
r i-1
(81 -9. ) (r:-r. 2)
1-1
1 1-1
2
ti
(1' i -~i-])
= -21
(r . +r. ) (r. - r. )(Eh --B. )
1 1-1
1 1-1
1-1
199
VI,)
=
S'1 - r i
+'n- 1) ;
1/2 ( rl,
= -r,
..Ll iA
se tiene
1
A
l..J.
1,r
A
Air
-_
r l' -rl'_l
..1 iO = Oi --9 1'-1
y si
i@
- -
vii) Considerando el punto de coordenadas polares (ri ,Bi)
rectángulo, con .oi-l
.:s -6-i
en el i-siIno
en el cual está definida la fun-
'::="9i
ci6n f( r, a) y formando la suma de sde i = 1 hasta 4 = n
n
2.
i
viii)
f (r i ' ii)
=1
t1 iA =
¿
n
(1)
i =1
Si f e s continua en R y el lrmite de la suma (1) cuando
JI/J 11 .
'a()
existe; este lrmite se llama la integral doble asrque:
Hm
n
2:=
tltJll--o
=1
i
=1J
f(";i ,&i)
II
iA
=L =
jj
dr de
f(r,a) r
--
R
,
f( r , a) r dB dr
R
A)
Si la región R es acotada por r
=11
(8)
funciones continuas y derivables en R, y por las rectas
y si
fJ I
entonces
)
=
a(. /\
6 =
P
•
== 472 (Q)
(9)
e-
f( r ,-e) r dr d&
f( r • Q.) dA =
R
B)
Si R/ ) e stá acotada por las curvas
-e = Xl
(r)
y
9
=X 2 ~ r)
Con Xl
y X 2 funciones continuas y derivables en R.; Y por los crrculos r
=a
200
/\ r ::: b
y con Xl ' r) ::: X 2(r) para todo
jJ
f( r , 9-) dA =
j
E
r
[a,b ]
entonces
X2
f( r , .e) r dO dr
b
a
R
C)
Estas
jJ
son el volúmen del s61ido en coordenadas polares.
Ejemplo: i) Encontrar el volúmen del s6lido en el primer octante
yr = 3 sen 9
acotado por Z::: r (cono)
jJ
v --
(cilindro).
,•
f( r , t}) dr de
f(r,G)=Z=r
R
y
r::: O
6 varía entre
-
c.:
O
como es en el primer octante
r::: 3
así que
v
=
r
o
o
11/ 2
dG
o
Ejemplo ii)
11j2
Y
sen~
,11; 2
d~ ~o o
f
3 sen .g
r 2 dr de =
3 sen.e
=J
--
dr
. r
~
G-
Sen 3
:::
e +3
de
--
o
O
- 9 cos
e
1TÍ2
cos 3 &
::: 6
o
Encontrar la masa de la lámina que tiene la forma del semicírculo
O
r::: a cos .e
:= e :=: 1/271
; tal que la densidad en cualquier punto
es proporcional a su distancia al polo
201
Ji
<?lI t
1 1
M=
1 =kr
f
(r , e) r dr d6 -
Gt.c osB
2
K r· r . dr de- -
9
-
Ejemplo iii) Encontrar el centro de roa sa para la lámina anterior si X
-y
y
son las coordenadas cortesianas del centro de la masa de la lámina,
Mx
j
1!lZJ ccos O
(Y) (k
o
reemplazando
y
por
o
_ (~2
Mx
r) (r dr) dG
J.
r sen B
j d.. COS O
(r sen ~)(k r) (r dr) da
o
o
=
1
4
"*Z
K eL
rI¡ Z acos
~
o
4}
J
O
3
Kr sen-9 dr de
o
4
cos Q sen B dQ =
o
....!....
ZO
K
a...4
análogamente
M g=
K r
o
-
X=
My
M
cos g
o
-y
JI
Z
15
Mx
_
1
M
--
Encontrar por
r dr dQ- =
9
-40
el área de la regi6n dentro de una hoja de la Rosa
r = sen 39
Sen 3f)
r dr d9
o
UNIVERSIDAD NACIONAL
BIBLIOTECA CENTRAL
-
.
202
Area de la Superficie
La inte g ral doble sirv e par a determinar el áraa de la porci6n de la superficie Z = f(x, y) que se localiza sobre una regi6n cerrada R del plano
i)
Si f(x, y) es continua igual que be A. fy en R.
ii)
Si f(x, y)
iii) Sea
'> O
en R
/!J una partici6n en
LXY
V- (x,y) € R.
R con n-rectángulos.
iv)
El área del i-simo rectángulo es jj, iA.
v)
Tornando (S i, r'i) corno un punto del i-simo rectángulo.
vi)
Sea Q (¿! i, r'i) la imagen de (~ i, Y'i) en la superficie.
vii) Tornando el plano tangente a la superficie en el punto Q.
viii) Sobre el plano tangente proyec tamos el i- simo rec tángulo.
ix)
El área de esta proyecci6n que sea
./J
i OV esta área es una aproxima-
ci6n a la medida del área en la superficie que e stá sobre el i- simo
rectángulo, corno hay n-rectángulos se torna
x)
La suma
"t:.
Ai t::r corno una aproximaci6n al área de la superficie.
i =1
xi)
Tornando corno u' el áraa de la superficie se tiene que
cr':..
lim
l/Al (-o
n
¿
./.l i
cr
i =1
Para h allar el limite se procede a calcular
Ai
paralelo g ramo mediante el uso de vectore s. Así:
(Y
corno el aárea de un
203
i)
Como (C;i, Oi) es un punto dentro del isimo rectángulo se puede considerar que es el punto que está en el punto ('?\i-l, Yi-l) con lo que
se tiene que ~ i = Xi-l
ii)
...:.
Sean A
~
y B
vectores correspondientes a los segmentos de rectas
que tienen al punto Q como punto común inicial y que conforman los
lados adyacentes del paralelogramo cuya área es
.ll i
~ Y que está so-
bre el plano tangente asr que
lA
Recordando que
x
~
es la pendiente de la recta tangente en Q
1
'------,
-- A¡X
Rs = 4i ~ ~ e = .1; X [
'e.
•
iii) En general:
1:
=
...
t:!
L1 iX L + fx( c:¡ i, r i) Lhx
B - .Aiyj+
fy (4i, Ti)
....
1
1txB=
6ix
o
...
k
~iy
k
..J
o
Aiy
.
k
fx
f
Q
Áix
á iy
204
= - ~ iX
A i
..;;,-
IA
<r=
x
...
B
A iY
I
fx
i
-
A iX ¿1 i Y f YJ + L1 iX A i Y
fx1~i, Yi) + fy2(~i, Y'i) + 1
-- "
Así que
--
!I (jll
,
n
lim
Li = 1
-• o
A
'./ fx2 + fy2+ 1
k
1
AiXll iy
iX Aiy
corno se asumi6 que fx y fy existen en R este limite existe y se tiene entonces.
T e o r e m a:
Que si fex, y) y sus primeras derivadas parciales son continuas en la regi6n cerrada R en
\
xy.
Entonce s si
(7-'
e s la
Z = f(x,y) que está sobre R.
medida del área de la superficie
dx dy
Ejemplo:
Encontrar el área de la superficie que se forma cuando los
plano s X = O, X = 2
y =0
Y = 3
A.
X
2
+Z
2
contra al cilindro
= 16
Z = V16 _ X 2
al
=
JfVfX
2
+fy2+l'
dx dy
R
o
---- -----
= 4
.,
--- -- .
f3
· 0
r
0'0-
-1 ~ Jb
;~3~
3
2
Sen
X
dy
=-1"" 1
-X_ )2-Kl+l
dx dy
l6_X2
2
4 dx dy
'f l6_X2
•
,
•
205
•
-17
-16
Ejemplo ii)
dy =
211 .
Encontrar el área del paraboloide
Z = X 2 +y2 bajo el pla-
no Z = 4.
2
2
i)
f(x, y) = X
ii)
El paraboloide se e xtiende de sde Z = O hasta Z = 4
iii)
+y
La proyecci6n del par a DOlL-CIl" de sobre l XY. origina el
c!rculo X
el:. G= ]
2
2
+Y = 4
á'rea
requerida e s =
f
Vfx 2 +fy 2+ l '
dx dy
R
ff V4
d=
(X 2 +y2) + l '
dx dy
R
el cálculo se
simplifica por las coordenadas polar e s as!:
dA = dx dy = r dr de
los límites de integración son
as!:
J
2?1'
•
o
~R2 +1
2
7
o
=
Ejemplo iii)
y
-+ 11
(17
V17
-1)
Encontrar el área del h emisferio superior de la esfera
X 2 +y2+Z2 =
Z = \
a3 -X
a... 2
2_ Y
1 1/ 2
206
-x /
f x =
(a:.,2_X 2_ y 2) 1/2
/
en el crrculo X 2+ y 2= eL 2
Además
d
=
l
que e s la frontera en el
Jj
a..
XY.•
dx dy integral que es impro-
R
pia ya que el integrando tiene discontinuidad infinita en cada punto de
la frontera.
Se puede enfocar el problema tornando R
el crrculo X 2 +y2 = b 2
.~
b
con b
<
t
corno la regi6n acotada por
a, lue go tornar el lrmite cuando
a; Además, el cálculo se simplifica si la integral doble se
calcula corno interada en coordenadas polares se tiene
v=
lim
b
'Xl.
-
jb
o
- 2'1ia
--
r de- dr
211'a
lim
b
loa
lim
b
-
271
a
.a -
lim
b --..a-
lb
o
[
-
r
dr
Y¿_r 2
~ ~2 _ r 2
b
o
[-
2
" a
-
l'
b
+a]
-- 2 '7t a 2
207
Area de una superficie de
IJ
por
revoluci6n
•
,r
I
,
,/
,I
/
I
I
I
i)
Sea la curva y
ii)
F(x) '>0
= F (x)
11 x f
a
con
[a, bJ
===
Y
x
¿
-
b
Ft(x) e s continua en
[a, bJ
iii) Al rotar la curva con re specto al eje X se obtiene una superficie de
revoluci6n.
iv)
~
La proyecci6n de los diferentes giros sobre el plano
se ob-
tienen c{rculos de diversos radios que dep61den de F(x) as{
y 2+Z 2= LF(x)
J
2
es la ecuaci6n de la superficie pues se
o btienen diversos c{rculos al variar X entre a
v)
1\
b.
de las propiedades de siInetrra, el área de la superficie que está sobre el plano
lxz
acotada por los planoslXY
y
Lxz
es un cuarto
del área total.
vi)
De spejando Z se tiene
que Z =
[lx(x)]
no se toma la rarz negativa porque Z > O.
2
-yzJ
1/2
= f(x,y)
en la zona considerada.
20(j
vii) La regi6n R en el plano
curva y
viii)
= F(x)
LXY
y por las rectas X
=a
X =b
A
/
Calculando las derivadas parciales de f obtenemos:
F(x) F I(X)
=
fx(x, y)
fxl. x, y)
fy(x, y)
A
y =
+
2 _y J1/2
-
-y
--
V[F \x) J 2_y 2'
no existen cuando
pue s el mdica1 se anula y
F (x)
-
fy (x, y) =
: =-
t [ F(X)]
ix)
es la acotada por el eje X por la
y
f1
fy
no e stán definidas
x)
El área es:
~=
,
11
F,5X)
F I(X) 2
F2~ x) _ y 2
R
c/ --
+
F (x) 2 -y 2
+1
dy dx
dy dx
F(x)
R
xi)
Esta integral es impropia por la discontinuidad existente en y =
+
-
F (x)
siendo necesario calcularla por integral iterada, para 10 cual la integra1 interior es impropia.
0- =
4
J
a
b
j
F(X)
o
F(x)
V Fl (X) 41 '
-J F (x)
2_ y2 '
F x)
o
dy dx
=
209
donde
F(x)
dy
f
o
-
--
lim
--
E. -'>0+
[
lim
Sen -1
lim
,>0+
~
F(x)2 - y 2 '
Sen -1
E
F(x) -
VF(xl- y
o
-
t
F(x)
{. --.. 0+
zI
-
F(x) - E
~
1-
dy
1/2
TT.
así se tiene:
d=
211
b
'./ F I(X) 2
F(x)
+1 I
dx
Este resultado se enuncia en forma de teorema.
Te or e m a :
>O
Si f \x) e s
[a, b
J
en
[a, b J
y fl(X) es continua en
Entonces la medida del área de la superficie de re-
voluci6n ob1"enida al JOtar la curva y = f(x) con a.~X !: b,
alrededor del eje X.
d=
2
lb
1f
f(x)
V fl(x) 2+ l '
dx
a
Encontrar el área del paraboloide de revolución generado al rotar la mitad
superior de la parábola y
2
= 4pX
con
O
d
~X
=
.:5. h, alrededor del e je X
:¡
,h
271
l/V
2(pX)L+ 1
X
o
__ 47/
(1
pl/2. (
J_
o
h
.1
V p
+X¡
I
dX
"dx
210
h
-
o
8
-
3"
Tf ( ~P(p+h)3
I
_ p2
La Integral Triple:
El criterio de Integral triple como extensión de la integral doble es similar a la extensión de la integral doble a partir de la sencilla.
1)
La región tridimensional más simple en R 3 es la encerrada por un
paralelepípedo rectangular acotado por seis planos:
x =al
con al
< a 2
2)
Considerando una función de tres variables continua en una región
3)
Una partición de S puede ser dividiendo la región en cajas rectangu-
11
lare s con lado s
a 10 s plano s c oor denado s, se de signa
A,
y la
cual posee n-cajas.
11
4)
Si el volúmen de la i-sima caja se toma como
5)
Un punto arbitrario en esta - i-sima caja que sea (~i, ri, Ui)
6)
Tomando el producto f(~i,l"'i, Ui)
lliv
iV
si f (~i, ,i, Ui) correspon-
de a la densidad el producto es la roa sa de la i-sima caja.
7)
n
Al tomar la suma
i
8)
Si la
/lL11
--'l>'l>
integral triple
o
L
=1
f (é!i,
n,
Ui) A iV
•
la suma se aproxima a un límite el cual se llama
S
211
.:t
lim
(lA 1/
9)
.0
•
f ~¿ i"i,Ui) Ll iV
=jff
f (x,y,z) dV
S
Así como la
JJ
es una integral
iterada - doble la
JS5 e s una
integral iterada -triple así se tiene
j) f
=;: y :;
C2
f (x,y,z) dV
S
S
b 2
~
a 2
f (x, y, z) dx dy dz
al
S
Ejemplo: Calcular la
Jif
JJi
xy
como una integral iterada si
Sen (yz) dV
rectangu 1ar acota do por 1os p 1anos
con S tomada como el paralelepípedo
X -_
-.-1/
1
y los planos coordenados
JIS
f
dV
¡
=
r1j1Í/2
o
j1f/3
o
o
Si S es una regi6n cerrada por X
y por las superficie s
Z
lisas tiene derivadas continuas
--
Jíl-~f----
•
--
x
= a, b
= Fl (x, y)
... ---
--
xy Sen ( yz) dz dy dx
--- -
Z = F2 (x, y)
y
=~l (x)
con
!tl ,2
rJ 2
(x)
212
n
>- ~
Toarnndo
i
lim
1/ ¡j 1/ --__
.... o
e;
f' i, Y i, Ui) dV
=1
la condici6n suficiente para que el lim
¡j A //
Además como
rj1, 2
JjJ
-
es
f(x, y, z) dV
que F sea continua en S.
'a>()
f JJ
son lisas la
puede ser calculada
como la integral Iterada.
f(x,y,z) dz dy dx
Jf
se puede interpretar como un área cuando f(x, y) - 1 así
Jj)
se puede concebir como un volúmen cuando f(x,y,z) = 1.
Así como
también
Así
v
=
jjf
dx dy dz
yasí
j fJ
es la medida de un volúmen.
Ejemplo:
Encontrar el V del s6lido acotado por el cilindro X 2 +y2 = 25
y el plano X
+Y +Z =
8
Encontrar la masa del s6lido sobre el plano XY
y el plano Y ::: 9,
encualquier
-
{Xy
y el plano
acotado por el cono
si la medida de la densidad de volúmen
punto (x, y, z) en el s6lido es proporcional a la medida de la
distancia del punto al plano XY
M =
-
fl
- - .....•
,
,-- ~
JI!
KZ DV
-- 2K
dz dx dy
o
o
~
R
-
729
2
R
o
213
La Integral triple en coordenadas cilfndricas y Esféric a s •
Pgs. 863-865
865-868.
Las coordenadas cilÚldticas y E sféricas son generalizacione s de las coordenadas polares en el espacio tridimensional.
Un punto P tridimensinnal en coordenadas cilrndricas es P( r,O,Z) donde
(r, e) son las coordenadas polares de la proyecci6n de P en el
Z es la altura levantada desde la proyecci6n del punto en el
l polar
i polar
y
hasta
el punto mismo
x =r
cos
e
y
tan g
= r sen e
= -y
X
Z = Z
z
e
o o r den a d a s E s f é r i c a s :
En este si stema hay un plano polar y un
eje perpendicular al plano polar con el origen del eje Z en el f oLo
plano polar un punto se ubica por medio de tres números ( f ,
e
e ,
~
del
).
es la medida en radianes no negativa del ángulo polar de
la proyecci6n P en el plano polar Y.
•
214
es la medida en radianes (+) del ángulo más pequeño desde el lado (+)
del eje Z a la recta OP. El origen tiene la representaci6n (O,e-,~) si el
punto P(
f, S, ~)
no es el origen
f:>o
y
Si una regi6n S en R 3 tiene un eje de simetría, las integrales triples en
S son más fáciles en coordenadas cilíndricas.
Si hay simetría con re specto a un punto es a menudo conveniente tornar dicho punto corno origen y usar coordenadas esféricas.
A)
Para la definici6n de la
InJ:e~ral
en coordenadas cilíndricas
triple_
se construye un a partici6n de la regi6n S.
I
--
II
_/,..........-
--
• .~-­
I
.. - - --
--1•
,...
-.
i)
Trazando planos a través del eje Z y que le sean perpendil::ulares.
ii)
Cilindros rectos circulares que tengan al eje Z corno eje.
iii)
E sta parcici6n se llama Cilíndrica.
iv)
La norma es la diagonal más grandes.
215
A iV
v)
Si
es el volúmen de la i-sima regi6n
vi)
La medida del área de la b ase e s
-
/:l ir
r·1
•
con
A iZ
vii)
La altura de la i- sima regi6n e s
viii)
Así que
izx:)
Si f e s funci6n de r, e, z y si f e s continua en S
x)
Tornando (ri, ¡i, Zi) en la i-sima subregi6n tal que
b. iV
= -r i
-
f\.l·.... c:._
"7
(\. <.
~
I:r
1
-
'Formando la suma
xi)
r
fj i
LI. i9
e'l t 1
lHZ
Zi-l
y
~
-
-Zi
=1
i
Zi
n
n
2:
~
f(r i, ei, Zi)
/j iV
=
X.
i
=1
f(Pi, 'Q:i, Zi).
.A iZ
cuando la 11
A l'~o
si el limite existe se llama Integral triple en
coordenadas cilíndricas.
n
lim
11 A /)
.. o
L
i =1
E s posible calcular la
En general si
si Z
= F 1 ( r , Q.)
JJ1
S
f
eh,
JJf
ii,
zi) h iV =
Z
dZ
por el proceso Iterado.
.
di}
r
SI
= F 2 (r, 9)
f(r,e-,Z) r dZ dr
f( r , e, Z) r dr de
.s
C;¿:;::;9-~f
Y
jJJ
=
=A¡ (&)
y
r
= A2(9-)
se tiene que
jJ3 f
~
.~
·")...2
• • •• • • • • •
B)
Para la integral triple en cOlDrdenadas e sféricas se construye una
partici6n de la
le gi6n
S
i)
Se trazan planos que pasen o contengan al eje Z
ii)
Se trazan esferas concéntricas que tengan el origen como
centro.
iii)
Se consideran conos circulare s con vértices en el origen y
que posean el eje Z como eje.
Una subregi6n típica se
pue de apreciar del gráfico siguiente.
\
\
iv)
Considerando la norma de la partici6n como la mayor diagona! del mayor "paralelipípedo".
4i V
v)
Si
es la medida del volumen de la i-sima subregi6n.
vi)
Tomando como punto característico de
vii)
Haciendo la consideraci6n de
que
se ha1la una aproximaci6n de
L\ i
Ai V
L1
iV al punto
es un paralelipípedo,
V como el producto de tres
2.15 ¿¿
dinlensiones.
viii)
Las tres dimensiones a considerar son
y
su obtención se aprecia te los gráficos siguientes:
-
= re
lf-' sen tJ...' ¡~·e
.
~~-1
-
=
I
I
I
,~------~I----~j
ei
ix)
x)
~
_2
i V
= f
i
Sen
7
¿
i
f 4ie
La integral triple en coordenadas esféricas de una función f
en
S e stá con sider ada como el ll'mite de una suma Ri,emman
n
Hm
UJ /1ó
-
¿:
.. O
i =1
ffj f (f,
f (f i, .gi, ~i ) L1 i V = f/j
(1 ,
f (/, (1 , ~) d V.
S
~)
f 2 Sen ~
c1f'
d(1
d~
•
la cual se puede calcular por medio de una integral iterada. Este proceso es muy util y por ello es quizás de los más recomendadas.