Examen de la XVIII Olimpiada Estatal de

Examen de XVIII Olimpiada Estatal de
Matemáticas en el Estado de Sinaloa
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Sistema:
( )Federal
( )Estatal
( )Autónomo
( )Particular
( )Otro
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Cede de aplicación del examen: ______________________________________________
Instrucciones:







Tu nombre solo debe anotarse en esta hoja; se prohíbe anotarlo en otros lados.
El examen es individual.
La duración del examen será de 4.5 horas.
No se permite el uso de medios electrónicos.
Indica claramente a que problema corresponde cada procedimiento.
No mezcles procedimientos de problemas distintos.
Las respuestas sobre la pagina de preguntas no tienen validez, éstas deben estar en otras hojas.
(hojas de procedimientos)
Formulas y definiciones que te pudieran servir:
 1 2 3  n
n(n 1)
2
 n! 1* 2 * 3 ** n
 Teorema de Pitágoras:- En un triángulo rectángulo, la suma de cuadrados de los catetos es igual
al cuadrado de la hipotenusa.
 Una figura es convexa si para cualquier par de puntos dentro de ella, la línea que los une
también está totalmente dentro de ella.
1. La siguiente figura esta formada por triángulos equiláteros de 1 cm. de lado. Si completas una fila con 80
triángulos siguiendo el mismo esquema de la figura, ¿cuál sería el perímetro de la figura resultante?
2. Una enredadera crece a razón de 1% diariamente. Inicialmente tiene una altura de 10 cm. ¿Cuál será su altura al
cabo de 3 días?
3.
Si el promedio de 3 números es 85 y el promedio de otros 2 números es 95 ¿Cuál es el promedio de los 5
números?
4. En una carrera compiten 5 corredores A, B, C, D y E. Si nunca hay empates, de todos los posibles resultados ¿en
cuántas resultados A le gana a B?
5. Una señora tiene 6 canastas de frutas, unas canastas tienen solo naranjas y otras solo manzanas (no hay canastas
que tengan de ambas frutas). Las 6 canastas tienen 8, 12, 15, 17, 19 y 22 frutas respectivamente, pero no sabemos
cuales son naranjas y cuales son manzanas. La señora vendió una canasta completa y en las 5 canastas restantes,
quedó el doble de naranjas que de manzanas ¿Cuántas naranjas le quedan en total a la señora?
6. Considere los números naturales ordenados como se indica en el diagrama. Si seguimos con este orden y
haciendo el diagrama mas grande y cuadrado. ¿en qué fila y en qué columna se colocará el número 2006?
Columnas
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10 15
F
2
2
5
9
14
i
3
4
8
13
l
4
7
12
a
5
11
s
6
6
Ejemplo: El número 14 se encuentra en la fila 2 y en la columna 4.
7. Para que valor de n se cumple la siguiente igualdad?
8. Si el radio la circunferencia pequeña es r
pequeña.
9 18 27 36 45 54  n 180
2 1 , encuentra el área sombreada alrededor de la circunferencia
9. Encontrar el punto en el plano que dé la suma menor de distancias entre él y los vértices de un
cuadrilátero convexo.
10. Si a, b y c son números reales que satisfacen a b c 0 , encuentra una expresión simplificada
para expresar a 3 b 3 c 3 ?
Solución del Examen de XVIII Olimpiada Estatal en Sinaloa
1. Al colocar los 80 triángulos tenemos 40 triángulos cuya base está abajo y 40 triángulos cuya base
está arriba. Por lo tanto, la longitud de los lados horizontales de la figura es 40. Entonces el
perímetro es 80 cm. Los dos lados de los extremos, es decir, el perímetro es 82.
2. Al término del primer día medirá 10+0.01(10)=10(1+0.01)=10.1 cm, al cabo del segundo día
10.1+0.01(10.1)=10.1(1.01)=10.201 cm y finalmente al transcurrir del tercer día deberá medir
10.201+0.01(10.201)=10.201(1.01)=10.30301 cm.
a b c
3. Sean los tres números a, b y c ; entonces
85 , luego a b c 255 y sean d y e
3
d e
tales que
95 , luego d e 190 ; por lo tanto el promedio de los cinco números será:
2
a b c d e 255 190 445
89
5
5
5
4. El número de resultados en que A es el primer lugar absoluto (supera a B) es 4 * 3 * 2 *1 24
El número de resultados en que A es el segundo lugar absoluto y supera a B es 3 *1* 3 * 2 *1 18
El número de resultados en que A es el tercer lugar absoluto y supera a B es 3 * 2 *1* 2 *1 12
El número de resultados en que A es el cuarto lugar absoluto y supera a B es 3 * 2 *1*1*1 6
Por lo tanto el total de resultados en los que A supera a B es 24+18+12+6=60
5. El total frutas es 8 + 12 + 15 + 17 + 19 + 22 = 93 frutas; si A al número de frutas que contenía la
canasta que la señora vendió, entonces el total de frutas después de la venta es 93 – A.
Si N y M es el número de naranjas y de manzanas respectivamente entonces queda finalmente lo
siguiente:
N M 93 A
N 2M
93 A
Así que 2M M 93 A esto es 3M 93 A así que M
3
Luego, A = 12 ó A = 15, ya que, a ninguna de las otras diferencias es divisible entre 3. Ahora,
si A = 12, M = 27 = 19 + 8 y N = 54 = 15 + 22 + 17 y es la solución
6.
Columnas
1
2
3
4
5
6
7
1
1
3
6
10
15
21
28
2
2
5
9
14
20
27
3
4
8
13
19
26
4
7
12
18
25
5
11
17
24
6
16
23
7
22
8
Filas
8
Considerando las líneas inclinadas y numerándolas de arriba hacia abajo, el problema consiste
primero en saber en qué línea estará el 2006 y una vez que se encuentre ésto, bastará con saber
el número que se tiene en la columna 1 de esa línea y saber los cuadros que se deben recorrer
hacia arriba para colocar el 2006.
En la línea 1 solo se tiene 1 número, en la línea 2 se tienen 2 números, así sucesivamente, de
manera que en la línea n se tienen n números. Así que en las primeras n líneas habrá
n(n 1)
números, por lo que debemos encontrar la n más grande para la
1 2 3 4 ... n
2
n (n 1)
que
sea menor o igual a 2006 y esta será la línea donde se encuentre el 2006 si la
2
expresión es igual a 2006, pero si es menor entonces estará en la siguiente línea. Este número es
62 y la expresión es 1953 que es menor a 2006, por lo que el 2006 se encuentra en la línea 63.
Ahora, la línea 63 inicia con 1954 en la fila 63 y columna 1, faltan 52 números por colocar y se
hará hacia arriba pero cada vez que se coloque un número se debe restar 1 a la fila y aumentar 1
a la columna, por lo que el 2006 estará en la fila 63-52=11 y columna 1+52=53.
7. Observemos que al sumar el primer término con el segundo, el tercero con el cuarto, el quinto
con el sexto y así sucesivamente obtenemos 9, entonces para obtener 180, es necesario tener 20
sumas de dos números continuos de la sucesión.
Por lo cual se requiere tener 2 x 20 = 40 Términos.
8. Al unir los centros de dos circunferencias grandes contiguas se forma un cuadrado de lado 2R .;
el área buscada AB corresponde al área de tal cuadrado AC menos el área de la circunferencia
pequeña Ar y las cuatro cuartas partes de las circunferencias grandes (equivalente al área de una
circunferencia grande AR);
Calculo del radio de la circunferencia grande (R)
El triángulo formado por los centros de la circunferencia pequeña y dos circunferencias
contiguas grandes es un triángulo isósceles y rectángulos cuyas medidas de los lados son r+R y
la hipotenusa R+R y sus ángulos iguales miden 45 grados, así que por un lado:
r R
1
2
r
sen (45 )
, luego r R R 2 , esto es r R ( 2 1) , de donde R
,
2R
2
2
2 1
que sustituyendo el valor de r resulta que R=1; luego
AB AC AR Ar 4R 2
( 2 1) 2 4R 2
(1 2 2 2 1) 4R 2 2 (2
2)
9. Sea ABCD un cuadrilátero convexo; sea P cualquier punto en el plano, sea O la intersección de
las diagonales del cuadrilátero.
Supongamos que A y C son vértices opuestos y B y D también son opuestos.
Consideremos la suma de las distancias entre P y los vértices: AP+BP+DP+CP
Y la suma de las distancias entre O y los vértices: AO+BO+DO+CO.
Es claro que AO+BO+DO+CO< AP+BP+DP+CP ya que en
De la misma manera en
DPB, DP+PB>DB=DO+OB.
b a, se tiene que
10. Dado que c
3
3
3
3
a b c
a b 3 ( b a) 3
a 3 b3 a 3
3ab a b
3a 2 b 3ab 2
3abc.
b3
APC AP+PC>AC=AO+OC
Examen de XIX Olimpiada Estatal de
Matemáticas en el Estado de Sinaloa
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El examen es individual.
La duración del examen será de 4.5 horas.
No se permite el uso de medios electrónicos.
Indica claramente a que problema corresponde cada procedimiento.
No mezcles procedimientos de problemas distintos.
Las respuestas sobre la pagina de preguntas no tienen validez, éstas deben
estar en otras hojas. (Hojas de procedimientos).
2
bx c para x=1 tiene el valor de 0 y para x=2 tiene el valor 1. Encuentra el
1. El trinomio x
valor del trinomio para x = 3
2. Una exposición se exhibe en 4 salas. Cada sala está comunicada con sus salas vecinas y el número
indica cuántas veces José pasó por cada una de ellas. ¿Determina Cuántas veces pasó José por la
sala que no tiene dato?
3. Un total de 96 niños en un campamento de verano van a separarse en grupos, de forma que cada
grupo tenga el mismo número de niños. ¿De cuantas maneras se puede hacer la separación si cada
grupo debe de tener más de 5 niños pero menos de 20?
4. Si se tienen 2 cuadrados cuyos lados en el mayor miden 6 cms. y en el menor miden 4 cms. y se
encuentran como se muestran en la figura.
5. ¿Cuanto vale la diferencia de las áreas no sombreadas del cuadrado mayor y del cuadrado menor?
6. En Sikinia solo hay monedas de $5.00, $8.00 y $13.00 ¿Cuál de las cantidades $52.00, $53.00,
$51.00, $54.00, $55.00; no se puede pagar utilizando exactamente 6 monedas sikinias?
7. A julio le dieron el número secreto de su nueva tarjeta de crédito y observó que la suma de los
cuatro dígitos de tal número es 9 y ningún dígito es cero; además tal número es múltiplo de 5 y
mayor que 2007. ¿Cuál es el número secreto?
8. Suponiendo que cada letra de la palabra CONCURSO representa un dígito, encuentra el valor de la
expresión URSO*10000 CONC *10000 CONCURSO
9. Se tienen 10 costales de monedas de los cuales 9 contienen solo monedas de pesan 10 grs cada una
y uno que contiene solo monedas que pesan 9 grs cada una. ¿Cómo saber cuál es el costal con
monedas de 9 grs. si se permite hacer solo una pesada en una báscula?
10. Encontrar el punto P que dé la suma de menor distancia, entre él y los vértices del cuadrilátero de la
figura.
11. Divide la figura en 4 partes iguales, en tamaño y misma forma.
Febrero 29 de 2008
Examen de XX Olimpiada Estatal de
Matemáticas en el Estado de Sinaloa
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Tus procedimientos deben de ser con letras claras y bien marcadas.
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deben estar en otras hojas. (hojas de procedimientos)
1.- Utilizando 4 de las siguientes figuras se puede construir un cuadrado. ¿Cuál de ellas no debe
utilizarse? ¿Por qué?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2.- Juan Ha decidido repartir 35 canicas, entre sus primos. Si ninguno puede tener la misma cantidad de
canicas y todos deben tener al menos una. ¿Cuál es el máximo número de primos a los que les puede
repartir sus canicas?
3.- En la figura, cada triángulo pequeño tiene área 1. ¿Cuál es el área del
trapecio formado dentro de la figura?
4.- En una escalera, se encuentran numerados los escalones desde: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Una rana se
encuentra en el escalón 0. Para subir la escalera la rana salta 5 escalones hacia arriba y luego 2 para
abajo, continua saltando alternando 5 escalones hacia arriba y 2 hacia abajo. Durante los saltos de la
rana ¿Llegará ésta a pisar el escalón 2008?
fg
d
v
5.- Se forman señales como la que se muestra enseguida
en la que en el rectángulo
donde aparece fg se coloca una figura geométrica (circunferencia, cuadrado, triángulo o hexágono), en
el rectángulo donde aparece d se coloca un dígito y en el rectángulo donde aparece v se coloca una
vocal y así en este orden. ¿Cuántas señales diferentes de este tipo pueden formarse?
6.- Los puntos A, B y C’ están sobre la misma línea. Se rota el triángulo ABC fijando el punto B de tal
forma que el punto A llega a A’ y el punto C a C’. Si AB = 1 y ABC = 72 . o
Calcula el área
sombreada.
C
A´
A
B
C´
7.- Se tiene un reloj que adelanta un minuto por día y otro que atrasa 1.5 minutos por día. Si en un
instante dado se ponen simultáneamente en hora exacta. ¿Cuántos días pasarán para que ambos
marquen al mismo tiempo la hora correcta?
8.- Mamá compró una caja llena de chocolates. Sara se comió todos los del piso de arriba, que eran 77,
en seguida se comió 55, que eran los que quedaban en un costado y finalmente se comió los que
quedaban al frente. ¿Cuántos Chocolates quedaron el la caja?
A
E
9.- El círculo inscrito a un triángulo rectángulo ABC toca a la
hipotenusa AC en el punto E. Muestre que el área del triángulo
es AE*EC
F
I
B
D
C
10.- La siguiente figura está compuesta por dos circunferencias tangentes, una de radio r y la otra de
r
radio
. Si la circunferencia chica rueda sobre el perímetro al derredor de la grande. ¿Cuántas veces
12
los ojos del mono estarán horizontalmente y la nariz debajo de ellos hasta antes de llegar a la posición
original?
Febrero 27 de 2009
Examen de XXI Olimpiada Estatal de
Matemáticas en el Estado de Sinaloa
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( ) Autónomo
( ) Particular
( ) Otro
Teléfono:_________________________ Lada:____________________________
Sede de aplicación del examen:_______________________________________
Instrucciones:
 Tu nombre solo debe anotarse en esta hoja; se prohíbe anotarlo en otros lados.
 El examen es individual.
 La duración del examen será de 4.5 horas.
 Tus procedimientos deben de ser con letras claras y bien marcadas.
 No se permite el uso de medios electrónicos.
 Indica claramente a que problema corresponde cada procedimiento.
 No mezcles procedimientos de problemas distintos.
 Las respuestas sobre la página de preguntas (examen) no tienen validez, éstas
deben estar en otras hojas. (Hojas de procedimientos)
1.- En un edificio se enumeran las puertas de las oficinas, iniciando con el número 1, y utilizando placas
que contienen un dígito. Por ejemplo, al enumerar la puerta de la oficina que le corresponde el número
14, se utilizan 2 placas, una que contiene el número 1 y otra que contiene el número 4. Si en total se
utilizaron 35 placas. ¿Cuántas puertas (oficinas) tiene el
6
4
8
edificio?
4
6
2.- Los números de la figura representan distancias en
centímetros. Calcule el área de la región sombreada.
4
4
6
4
8
4
6
3.- Lalo quiere comprar unas pelotas iguales si comprara 5 le sobran 10 pesos. Si comprara 7 tendría
que pedir prestado 22 pesos. ¿Cuánto dinero tiene Lalo y cuánto cuesta cada pelota?
4.- El sol de cierta galaxia emite tres diferentes rayos, de la siguiente manera: El rayo alfa cada 16
segundos, el rayo beta cada 45 segundos y el rayo gama cada 140 segundos; si en este momento dicho
sol emite los tres rayos simultáneamente. ¿Cuántos segundos transcurrirán para emitirse los tres rayos
de nuevo al mismo tiempo?
5.- ¿Cuánto vale el producto siguiente 1
1
1
1
1
1
1
... 1
2
3
1
2008
1
?
2009
1
6.- ¿Cuánto vale la suma de los últimos 33 dígitos del producto siguiente 2 53 3 21 5 32 ?
r
7.- Dos semicírculos de radio 3 están inscritos en un semicírculo de
radio 6, como se muestra en la figura. Un círculo de radio r es
tangente a los tres semicírculos tal como lo muestra la figura.
¿Cuánto vale r?
6
3
8.- Se tiene una hoja cuadrada de papel de lado 10 cm como la que se
muestra en la figura, si la esquina que corresponde a la letra Q se
desliza sobre la diagonal QS, ¿Cuál es el valor de k (segmento XT)
para el que el área del triángulo Q’XX’ es igual al área del polígono
X’RSTXQ’?
Q
X'
R
9.- Si x 3
8x
2 0 . Encuentra el valor de x 5
10x 3
2x 2
16x 10
K
X
T
Q'
S
10.a) Sobre las manchas (círculos) de la serpiente escribe los números enteros del 1 al 9, uno en cada
círculo sin repetirse, de manera que cada línea horizontal o vertical de tres números sume 13.
b) Justifica que no se pueden hacer lo mismo que en el inciso anterior si las sumas dan 12 en lugar
de 13.
= 13
=
= 13
=
13
13
Solución del Examen de XXI Olimpiada Estatal en Sinaloa.
1. Las primeras 9 puertas solo requieren de una placa, las restantes requieren de 2 placas (de dos
dígitos).
Dado que ay 35 placas, entonces después de numerar las primeras nueve puertas, quedarían 35 – 9 =
26 placas, las cuales servirán para enumerar a 13 puertas, luego el número total de puertas
enumeradas es 9 + 13 = 22.
6
8
4
2. Observe que el área total del rectángulo grande
es 14 * 18 = 252
El área de cada región no sombreada es 2 * 32 = 64
y son dos regiones iguales, así que suman 128.
Así que el área buscada es 252 – 128 = 124.
4
6
4
4
6
4
4
8
6
3. Sean P = precio de cada pelota y D = dinero que trae Lalo.
El modelo resultaría ser el siguiente: 5P = D – 10 y 7P = D + 22
Cuya solución es P = 16 y D = 90
Lalo tiene 90 pesos y cada pelota cuesta 16 pesos.
4. Observe que el producto de estos números 16 * 45 * 140 = 100 800, es un tiempo en segundos en el
que los rayos coincidirían.
Hay tiempos menores y el menor de ellos es el mínimo común múltiplo.
El mínimo común múltiplo se encuentra expresando cada número como producto de factores primos
y multiplicando todos los factores diferentes con sus potencias mayores, esto es:
16
24 ,
45
32 5
y
El tiempo mínimo es 24 32 5 7
144
22 5 7
5040 Segundos.
5. Observe que al desarrollar la expresión:
1
1
1
1
1
1
... 1
1
2
3
2008
1
1
2009
1
=
2
1
3
2
4
2008
...
3
2007
2009
2008
2010
2009
Cada uno de los factores es fraccionario, el numerador de la i-ésima posición es igual que el
denominador i-ésima + 1 posición.
=
2
1
3
2
4
2008

3
2007
2009
2008
2010
2009
Se cancelan todos excepto el primer denominador y el último numerador
queda solamente
2010
1
El resultado es 2010.
6. Queremos encontrar el producto de
siguiente manera
De aquí
253
253 321 532
el cual podremos expresarlo de la
221 232
253 321 532
2 21 321 532 232
6 21 10 32
Observe que el segundo factor 10 32 posee 32 ceros al final y el último dígito del primer 6 21 factor es
6. Así que los últimos 33 dígitos del producto son un 6 seguido por 32 ceros, por lo tanto la suma de
tales dígitos es 6.
6- r
3+
r
7. Tracemos un triángulo, desde el centro del
círculo de radio r, al centro del semicírculo de
radio 6 y al centro de uno de los semicírculos de
radio 3, tal como lo muestra la figura.
3
Usando el teorema de Pitágoras se tiene que 3
r
Desarrollando los binomios al cuadrado 9 6r
Simplificando se tiene 18r 36 , donde r 2 .
r2
2
32
9
6 r
36 12 r
2
r2
8. Observe que la región sombreada es doble, porque la hoja de papel esta doblada, así que el área del
polígono X’RSTXQ’ la del triángulo de enfrente X’Q’X y la de la parte doblada son iguales.
100
K
Es decir tales áreas miden
3
Q
Así el área del cuadrado QX ' Q ' X
De la figura: K
10 QX
10
QX
200
3
2
100
2
3
1.835
X
200
3
X'
R
T
Q'
S
9. Tenemos la expresión
Sumar 2 x
3
x5 10x3
2 x 2 16x 10
2 x3
x 5 10x 3 2 x 2 2 x 3 2 x 3 16x 10
x 5 8x 3 2 x 2 2 x 3 16x 10
Factorizando
0
2
3
x x 8x 2
Como x
2x
3
2 x 3 16 x 10
3
8x 2
16x 10
0
Sumar 4 – 4
2 x3 16x 4 10 4
Factorizando tenemos:
0
2( x 3
8 x 2) 10 4
Por lo cual
x5
10x 3
2x 2
16x 10 14
10.
a) Esta puede ser una solución:
5 6
2 = 13
=
7
4
1 = 13
3
9
=
13
8
13
b) Si las sumas dan 12 en lugar de 13. Observe que al sumar los números sobre las manchas
resulta 12 4 48 y la suma de los números del 1 al 9 es 45.
Se observa que en cada uno de los dobleces de la culebra, en este caso son tres, se suma
el número que se pone en los dobleces dos veces.
De las sumas anteriores, la diferencia entre ellas es 48 – 45 = 3
Tal diferencia debe estar repartida en tres sumandos distintos. La única forma de
ponerlos como una suma de tres números enteros mayores que 0 es 3 = 1 + 1 + 1 y esto
no es posible porque no son diferentes.
Folio ___________
Febrero 26 de 2010
Examen de XXII Olimpiada Estatal de
Matemáticas en el Estado de Sinaloa
Datos Personales
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Datos de su escuela
Escuela: _________________________________________________________
Nivel: ( ) Secundaria
( ) Preparatoria
Grado:________________________ Turno: ______________________________
Sistema:( ) Federal
( ) Estatal
( ) Autónomo
( ) Particular
( ) Otro
Teléfono:_________________________ Lada:____________________________
Sede de aplicación del examen:_______________________________________
Instrucciones:
 Apaga tu teléfono celular
 Tu nombre solo debe anotarse en esta hoja; se prohíbe anotarlo en otros lados.
 El examen es individual.
 La duración del examen será de 4. horas.
 Tus procedimientos deben de ser con letras claras y bien marcadas.
 No se permite el uso de medios electrónicos.
 Indica claramente a que problema corresponde cada procedimiento.
 No mezcles procedimientos de problemas distintos.
 Las respuestas deben estar en hojas separadas del examen, de lo contrario no tienen validez.
1. La suma de 3 números pares consecutivos es 2010. ¿Cuál de los tres números es el más pequeño?
2. Para la figura 2, si la longitud del segmento AB es de 6 cm y los 5 cuadritos de la cruz son
iguales, ¿Cuánto vale el área de la cruz (de los 5 cuadritos)?
3. ¿Cuántas parejas de enteros positivos a y b satisfacen que a
2
b2
15 ?
4. En el pentágono regular ABCDE de la figura 1, P es el punto de intersección de las diagonales
BE y AC. Encuentra el valor del ángulo BPC
5. Don Alfredo se dedica a cuidar carros en el centro comercial y su uniforme incluye una gorra
que puede ser de 4 modelos diferentes. ¿De cuántas formas puede Don Alfredo elegir las 5
gorras no necesariamente distintas que usará la semana próxima (tiene dos días de descanso)?
6. Cenobio le pide permiso a Don Celestino para cortar naranjas de su huerto; Don Celestino
acepta, con la condición de que en cada una de las 5 puertas que tiene la cerca del huerto deje
naranjas de la siguiente forma:
En la primera puerta deje la mitad de las naranjas que cortó más media naranja.
En la segunda puerta deje la mitad de las naranjas que le quedan más media naranja.
En la tercera puerta deje la mitad de las naranjas que le quedan más media naranja.
En la cuarta puerta deje la mitad de las naranjas que le quedan más media naranja.
Y que al retirarse del huerto le quede solo una naranja.
¿Cuántas naranjas debió cortar Cenobio?
7. ¿Cuántos números enteros positivos n existen, tales que al dividir 1381 entre n se obtiene a 16
como residuo?
8. Si la influenza AH1N1 se propaga de la forma siguiente:
En la hora 0 se tiene un infectado
A partir de ahí, cada hora un infectado infecta a dos personas infecta a 2 personas no infectadas.
a. ¿Cuántos individuos habrá infectados cuando han transcurrido 6 horas?
b. Y cuando han transcurrido n horas ¿cuántos infectados habrá?
Nota: Suponga que no ocurren decesos durante el periodo que se esta analizando
9. Para la figura 3, el área del triángulo ABC es 3 unidades cuadradas. ¿Cuál es el área del triángulo
CDE, si CA = 4 unidades, AD = 6 unidades, CB = 6, BE = 2?
10. Encuentre el resultado de la siguiente suma
1
1
1
2
2
1
3
3
4

B
C
P
C
D
Figura 1
A
C
B
E
99
100
D
A
A
1
Figura 2
E
B
Figura 3
Solución del Examen de XXII Olimpiada Estatal en Sinaloa.
Problema 1
Los números consecutivos son
y su suma es
Así
, luego
; que es el número más pequeño.
Problema 2
Sea l la longitud de cada lado de los cuadraditos
Por teorema de Pitágoras aplicado en el triangulo coloreado se tiene que
Luego el área de cada cuadradito es
; de donde, el área buscada resulta ser 36
Problema 3
Pero el 15 se puede factorizar solo como 1x15 y 3x5, de ahí que por ser enteros positivos ambos, la
suma de ellos debe ser el mayor, luego suponiendo primero que la factorización
es la primera, se tendrá que
De donde solucionando las ecuaciones se tendría que a = 8 y b = 7.
Ahora, suponiendo que es la segunda, se tiene que
Con lo que se tiene que solucionando las ecuaciones a = 4 y b = 1
Así, la solución es, que hay dos parejas de números que satisfacen las condiciones.
Problema 4
BPC
CPE 180
CDE ; este último por ser ángulo interior en
ED paralela a AC y DC paralela a EB así, CPE


CPE 180 108 72
un pentágono, su medida es de 180 , luego BPC 180
Por lo tanto
BPC 72 .
Problema 5
Cada día puede elegir una de las 4 gorras, o sea que cada día tiene 4 opciones y por el principio de la
multiplicación tiene 4x4x4x4x4=1024 formas diferentes de elegir las cinco gorras que usara en la
semana.
Problema 6
Partiendo del hecho en el cual al salir del huerto salio con solo una naranja
Antes de dejar naranjas en la quinta puerta, debió tener 3 naranjas, esto es la mitad de las naranjas que
tenia más media naranja, es decir
3
2
1
2
2 naranjas que dejo en la quinta puerta.
Antes de dejar naranjas en la cuarta puerta, se debió quedar con 7 naranjas, esto es la mitad de las
naranjas que tenia más media naranja, es decir
7
2
1
2
4 naranjas que dejo en la cuarta puerta.
Antes de dejar naranjas en la tercera puerta, se debió quedar con 15 naranjas, esto es la mitad de las
naranjas que tenia más media naranja, es decir
15
2
1
2
8 naranjas que dejo en la tercera puerta.
Antes de dejar naranjas en la segunda puerta, se debió quedar con 31 naranjas, esto es la mitad de las
naranjas que tenia más media naranja, es decir
31
2
1
2
16 naranjas que dejo en la segunda puerta.
Antes de dejar naranjas en la primera puerta, debió cortar 63 naranjas, esto es porque tendría que dejar
la mitad de las naranjas que tenía más media naranja, es decir
63
2
1
2
32 naranjas que dejo en la
primera puerta.
Por lo tanto, debió cortar 63 naranjas para poder cumplir las condiciones que se le impusieron.
Problema 7
El problema equivale a encontrar números enteros n mayores que 16 tales que sean factores de 138116=1365
Luego los factores de 1365 son
1365=1x3x5x7x13.
Así, los enteros positivos son
21, 39, 35, 65, 91, 105, 195, 273, 455 y 1365
Problema 8
Si la influenza AH1N1 se propaga de la forma siguiente:
En la hora 0 se tiene un infectado
A partir de ahí, cada hora un infectado infecta a 2 personas no infectadas
a.
individuos habrá infectados cuando han transcurrido 6 horas?
b.
han transcurrido n horas ¿cuántos infectados habrá?
¿Cuántos
Y
cuando
Nota: Suponga que no ocurren decesos durante el periodo que se esta analizando
Hora 0
1
=
Hora 1
1+1x2 =
Hora 2
3+3x2 =
Hora 3
9+9x2 =
Hora 4
27+27+2=
Hora n
=
Problema 9
Para la figura, el área del triángulo ABC es 3. ¿Cuál es el área del triángulo CDE, si CA=4,
AD=6, CB=6, BE=2?
Solución
El área del triangulo ABC con base CB y altura h1 es
y CB=6, entonces h1=1
El área del triangulo ACE con base CE tiene altura h1, así, tal área es
Esta misma área se puede calcular tomando como base a CA=4, esto es,
Así h2=2, que será la altura del triangulo CDE con base CD; de donde el área buscada es
Problema 10
n
Encuentre el resultado de la siguiente suma
Solución
=