Guía FS 0211 Física General I

PREFACIO
Este manual de prácticas se dirige a estudiantes universitarios de facultades de
ingeniería principalmente, ya que la física forma parte de las bases esenciales de sus carreras.
Los estudiantes de la carrera de Física, al igual que los de ingeniería comienzan a
desarrollar destrezas, que en un futuro serán la base para aquellos que se dediquen a la
investigación en cualquiera de las ramas de la física.
El objetivo primordial de este manual es proveer a los estudiantes de bases sólidas en
física, que les servirán en sus estudios posteriores. Paro lograr este objetivo hemos incluido en
cada práctica una nota teórica junto con la descripción de algunas aplicaciones directas a la
ingeniería.
De esta forma pretendemos proporcionar una herramienta que ayude al estudiante a
prepararse en ambos aspectos, tanto teóricos como prácticos, ya que cada una de las
prácticas propuestas conlleva una visión práctica de los conceptos físicos adquiridos en el
curso de teoría.
Por último agradecemos las observaciones realizadas por los físicos José Andrés Díaz Loría y
Adrián Solano, a los ingenieros Randall Figueroa y Diego Ríos así como a Mauricio Acuña,
estudiante de la maestría en Física.
º
GRAFICACIÓN
Objetivo:
- Conocer los diferentes grupos en los cuales se clasifican las gráficas.
- Notar la importancia que tienen las gráficas en la transmisión de información.
- Utilizar los diferentes tipos de papel para hacer gráficas.
- Utilizar el programa EXCEL como herramienta en el proceso de graficación.
Trabajo previo:
-
Investigar en cuantos y cuales grupos se clasifican las gráficas.
Investigar cuales son las reglas para construir una gráfica.
Leer el apéndice de graficación y mínimos cuadrados.
Procedimiento
1) La tabla 1 muestra como varia la posición de una hormiga en el tiempo, con respecto a su
hormiguero, dicho movimiento se efectúa con velocidad uniforme.
Tabla 1. Movimiento de una hormiga
Posición
x
(m)
11,45
16,49
23,42
25,31
27,09
33,50
Tiempo
t
(s)
1,5
2,3
3,4
3,7
4,3
5,0
Con la ayuda de ésta información obtenga:
 Una gráfica de la posición en función del tiempo,
 A partir de dicha gráfica obtenga la recta de mejor ajuste,
 ¿Cuál fue la velocidad de la hormiga durante el movimiento?
 ¿Fue el hormiguero su posición inicial? Explique.
 Determine aplicando el método de mínimos cuadrados la ecuación de mejor ajuste, así
como su correlación que describe el movimiento de la hormiga.
 Una gráfica en la computadora de la posición en función del tiempo, en donde aparezca
el ajuste lineal, la ecuación de la recta y coeficiente de determinación, calculados por el
mismo programa.
 Compare los resultados obtenidos en los puntos (b), (e) y (f).
2
Tabla 2. Cálculos para la determinación de los parámetros de ajuste
Dato
Xi
Yi
1
2
3
4
5
6
Suma
Promedio
1.5
2.3
3.4
3.7
4.3
5.0
11.45
16.49
23.42
25.31
27.09
33.5
X i2
Yi2
X i Yi
2) En cierto experimento se midió el período de un péndulo en función de la longitud, la
información de dicho ensayo se muestra en la tabla 3.
Tabla 3. Variación del período de un péndulo simple (1)




Periodo
T
(s)
2,5
2,8
3,2
3,5
Longitud
L
(m)
1,5
2,0
2,5
3,0
3,8
3,5
4,0
4,5
5,3
5,7
6,3
7,8
9,0
4,0
5,0
7,0
8,0
10
15
20
Muestre en una gráfica la relación que existe entre el período y la longitud, (T en función
de L), utilice un papel de rayado común (milimétrico).
Como usted observa, en un papel de rayado común dicha relación no se muestra como
una línea recta, por consiguiente emplee papel doblemente logarítmico para mostrar tal
relación, ¿Cómo se observa ahora la relación entre el periodo y la longitud? Determine
con ayuda de las dos gráficas anteriores la ecuación que muestra al período como una
función de la longitud, esto sin emplear el método de mínimos cuadrados.
Incluya los siguientes valores en la tabla 2 y repita los puntos anteriores:
(L = 0,25 m: T = 1,0 s); (L = 0,12 m: T = 0,68 s): (L = 0,05 m: T = 0,45 s).
Utilizando los datos de la tabla 3 y los del punto c determine la ecuación que modela la
relación entre periodo y longitud, para ello emplee el método de mínimos cuadrados
realizando los cambios necesarios para poder utilizar dicho método. Construya una
tabla similar a la tabla 2.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
La relación teórica entre dichas variables es la siguiente:
T  2
L
Donde, L es la longitud del péndulo y g es la aceleración de la gravedad
g
 Utilizando el programa EXCEL grafique el período en función de la longitud, primero en
3
escala común y luego en escala logarítmica. En cada una debe mostrar la ecuación de
la curva y el coeficiente de determinación.
 Compare los resultados obtenidos por medio del uso del papel doblemente logarítmico,
el método de mínimos cuadrados y la computadora.
3)
En una campana cerrada se colocó una fuente de Rn222 (este isótopo radiactivo se obtiene
por desintegración del Rn226 al emitir una partícula () de 5,48 MeV), la actividad del gas
medida en el tiempo está dada en la tabla 4, con esa información:
Tabla 4. Emisión de partículas  a partir del Rn226
Actividad A
(Bq)
2000
1389
964
669
465
323
224
156
Tiempo T
(s)
0
2
4
6
8
10
12
14

Construya una gráfica de actividad en función del tiempo en papel de rayado común
(milimétrico),

Como usted observa en un papel de rayado común (milimétrico) dicha relación no se
muestra como una línea recta, por consiguiente emplee papel semi - logarítmico para
mostrar dicha relación, ¿Cómo se observa ahora la relación entre la actividad y el
tiempo? Determine con ayuda de las dos gráficas anteriores la ecuación que muestra a
la actividad como una función del tiempo (2).

Determine con ayuda de los mínimos cuadrados la ecuación que muestra a la actividad
como una función del tiempo (3), realizando en el programa EXCEL, una tabla similar a
la tabla 2.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3
La ecuación que muestra como se desintegra una sustancia radiactiva es:
t
0
A A e
donde A0 es el valor inicial de la actividad,  es una constante conocida como constante de desintegración.

Utilizando el programa EXCEL realícela gráfica de la actividad en función del tiempo,
4
primeramente en escala milimétrica y luego en escala semi-logarítmica. En cada una
debe aparecer la ecuación de la curva.

Compare los resultados obtenidos por medio del uso del papel logarítmico, el método
de mínimos cuadrados y EXCEL
5
INCERTIDUMBRES Y SU
PROPAGACION
Objetivo:
Determinar la incertidumbre asociada a medidas directas y a medidas indirectas.
Calcular la incertidumbre de una función f ( x, y) , en el caso de que sus variables se
encuentren bajo el algoritmo de la suma, resta, multiplicación y división.
Calcular la media y la desviación estándar de un conjunto de mediciones.
Equipo:
- Calculadora y Computadora
Trabajo previo:
- Leer el apéndice 2 de este manual
MEDICIONES DIRECTAS
PARTE PRIMERA
Utilizando la regla de plástico mida las tres dimensiones del bloque de nylon que se encuentra
sobre su mesa, anote sus resultados en la tabla 1.
NOTA: Recuerde que en las mediciones directas, la incertidumbre se determina tomando
como tal la mitad de la mínima escala de dicho instrumento, por ejemplo si una balanza esta
graduada de forma que puede medir de 0,1 g en 0,1 g, la incertidumbre con la que ella da
cada medida es de 0,1 / 2 = 0,05 g, que corresponde a la incertidumbre, con que expresa las
medidas dicho instrumento. En las medidas indirectas la incertidumbre se determina por
medio de derivadas parciales. Consulte a su profesor.
Tabla 1: Medidas directas e indirectas con una regla
Medida
Largo
L
(cm)
Ancho
a
(cm)
Altura
h
(cm)
Área Basal
A
2
(cm )
Volumen
V
3
(cm )
Valor
Incertidumbre
6
El área de cualquiera de las caras laterales de bloque de nylon se puede expresar como el
producto de su largo por el ancho y cualquiera de esas áreas puede ser el área basal.
Utilizando derivadas parciales, demuestre que la incertidumbre en la medición del área basal,
así como la incertidumbre en el volumen se pueden expresar por las relaciones,
A 
V 
A
A
L 
a
L
a
V
V
V
L 
a 
h
L
a
h
PARTE SEGUNDA
Utilizando un vernier, mida de nuevo las dimensiones del bloque de nylon y complete de nuevo
la Tabla 2.
Tabla 2: Medidas directas e indirectas con un vernier
Medida
Largo
L
(cm)
Ancho
a
(cm)
Altura
h
(cm)
Área Basal
A
2
(cm )
Volumen
V
3
(cm )
Valor
Incertidumbre
Hagamos una práctica de funciones f ( x, y) y f ( x, y, z)

La fuerza neta sobre un objeto de masa M, cuando es radial, se denomina centrípeta y
F  M a  M  2 R . Exprese la incertidumbre en haciendo uso de las
es de la forma
derivadas parciales.

Calcule mediante el uso de derivadas parciales la expresión para la incertidumbre en el
desplazamiento angular.
7
1
2
  t   t2
PARTE TERCERA
Con frecuencia dos o más cantidades medidas experimentalmente, X e Y, se combinan para
dar una nueva cantidad f ( x, y ) . La pregunta surge naturalmente sobre el error que resulta de
f , es decir, e f .
Como
f  f ( x, y)
entonces,
df 
f
f
dx 
dy
x
y
1.
donde,
f es precisamente e f
 x  e x es la incertidum bre en la var iable x
 y  e y es la incertidum bre en la var iable y
La derivada de la función (f) con respecto a ( x ) es f x , mientras que la derivada con respecto a
( y ) es f y , por lo que la ecuación (1) se transforma en,
e f  f x ex  f y e y
1ª.
Elevando al cuadrado 1ª, se obtiene,

e f  f 2 e2  f 2 e2
x
x
y
y

1
2
1b.
A partir de la ecuación 1b se puede demostrar fácilmente que si la función es la suma o la
diferencia de dos variables (x) y (y), entonces la incertidumbre de (f) está dada por,
e f   e2
x
 e2y

1/ 2
2.
8
Si f  f ( x, y) es el producto o el cociente de las dos variables, entonces, la incertidumbre de la
medición, para el producto y la división, están dadas por,
 e  2  e y  2 
e  x y  x     
 x 
 y  
x  e 
e   x 
y  x 

2
1/ 2
 ey
 
 y
3.



2 1/ 2



4.
ACTIVACIÓN NEUTRONICA
La activación neutrónica es una técnica nuclear, mediante la cual se cuantifica la cantidad de
un elemento en una muestra, por ejemplo la cantidad de oro en una roca.
En activación neutrónica con neutrones térmicos (¿Qué energía poseen esos neutrones?) esto
es, cuando se provoca la reacción nuclear X ( n,  ) Z , un elemento natural se convierte en un
isótopo radiactivo.
En el reactor nuclear se coloca una muestra pura del elemento y una muestra de la roca y se
irradian simultáneamente al flujo de neutrones por un tiempo dado. Al cabo de ese tiempo en
ambas muestras se han activado, es decir emiten radiación gamma.
A las muestras irradiadas se les mide el número de fotones que emiten en un tiempo dado, que
el analista decide para ese conteo, para lo cual toma en cuenta algunos parámetros que acá no
se discutirán.
El conteo de las muestras mediante una cadena de espectroscopía gamma, queda plasmado
en el espectro de emisión del isótopo formado, el cual está constituido por fotopicos. Un
espectro se muestra en la figura 1. La cantidad de fotones emitidos está representada por el
área del fotopico. Cabe destacar que en ese fotopico también se acumuló lo que se llama
radiación de fondo, es decir fotones que no provienen propiamente del isótopo.
Al contaje total debe sustraérsele el contaje de la radiación de fondo para obtener el contaje
neto.
9

Hagamos una pequeña práctica para obtener el contaje neto y su respectiva
incertidumbre.
Contaje total en un minuto RT = 100 fotones, ex = 10 fotones.
Contaje de radiación de fondo RB = 18 fotones, ey = 4,2 fotones
¿Cual es el valor de RN = RT – RB con su respectiva incertidumbre?
Apliquemos ahora, las ecuaciones que se describieron a un problema real. Se irradió una
muestra que contiene cobre (M) y una muestra de cobre pura (S) y se obtuvo los siguientes
resultados:
Contaje total RT, M = 10 000 ± 100
Contaje total RT, S = 40 000 ± 200
Contaje de fondo, para ambas muestras 18 ± 0,5
Calcule el contaje neto para ambas muestras, con su respectiva incertidumbre, esto es obtenga
RM, NETO y RS, NETO.
Para calcular la cantidad de cobre en la muestra (M) supongamos que la masa en el estándar
es de W S = (10,0 ± 0,2) mg. hagamos la razón entre RT, M y RS, NETO, e indique la respectiva
incertidumbre.
Ahora ese resultado lo multiplicaremos por W S y así se obtiene la cantidad de cobre presente
en la muestra. Incluya la respectiva incertidumbre. Si Ud., g mL-1realizó el procedimiento
correctamente, entonces su resultado debe ser igual a (2,500 ± 0,058) mg. Los cálculos
muéstrelos a su profesor y presentarle a demás una hoja EXCEL, con esos mismos cálculos.
Repita los cálculos para un conteo de 100 ± 10 en la muestra. Utilice el mismo valor de
radiación de fondo.
¿Cual es el error en la razón entre RT, M y RS, NETO para ambos casos?
¿Qué sugiere usted, si los porcentajes de error son muy diferentes?
10
137
Figura 1. Espectro de emisión del Cs . El área del fotopico cuantifica el número total de
fotones recolectados. Espectro cortesía del CICANUM.
CUESTIONARIO
1. Demuestre las ecuaciones 2, 3 y 4 de la Tercera Parte, desde la ecuación 1b.
2. Recalcule las incertidumbres de la parte primera, pero ahora utilice las ecuaciones
2,3 y 4.
3. Indague a que se le llama sesgo o Bias en idioma inglés.
4. ¿Cual es la ecuación que permite calcular el sesgo?
5. Encuentre la incertidumbre para la función f ( x, y)  xm y n
ESTADISTICA EN LAS MEDICIONES
PARTE CUARTA
Muchas veces en la producción en serie de un objeto, por ejemplo, los bloques de nylon
utilizados en los apartados anteriores, se mide sus dimensiones por parte de un estudiante,
pero aunque se supone que todos esos bloques deberían poseer las mismas dimensiones,
siempre se encuentran diferencias en ellas.
11
En un caso, como el mencionado es propio de las grandes industrias, donde se fabrica por
ejemplo disoluciones de algún elemento. Se espera que en todos los envases, la concentración
de la disolución (g mL-1) sea la misma.
En este caso en particular se mide la concentración de la sustancia en un lote estadísticamente
significativo y se obtiene el valor promedio de la concentración y su respectiva desviación
estándar.
La media o promedio
X
de n mediciones viene dado por,
X 
La desviación estándar
S
de las
n
S
X
i
5.
n
medidas, está dada por,
( X
i  X)
2
/ ( n 1 )
6.
Ahora, calcule la media y su desviación para los siguientes datos que se obtuvieron en una
empresa que fabrica disoluciones de una sustancia en (g mL-1). Para facilitar sus cálculos
tomaremos solamente 20 datos dados en la Tabla 3.
Tabla 3. Datos de la concentración de un elemento o sustancia en una disolución en g mL-1.
0,51
0,50
0,49
0,48
0,52
0,53
0,47
0,48
0,49
0,50
0,52
0,52
0,48
0,49
0,51
0,48
0,53
0,47
0,51
0,49
Al dividir la desviación estándar por el valor de la media se obtiene el coeficiente de variación,
el cual nos muestra en porcentaje la desviación de los datos con respecto al promedio.
Calcule el coeficiente de variación, para este caso.
1.
2.
Averigüe a que se le llama moda de un conjunto de datos. ¿Cual es ese valor en la
Tabla 3? ¿Cuando se utiliza?
Con ayuda de su profesor confeccione un histograma en columnas, con los datos de la
Tabla 3
12
CAIDA LIBRE
Objetivo General
Medir el valor de la gravedad en el Laboratorio de Física General I
La aceleración de la gravedad es la manifestación de la atracción universal que impulsa los
cuerpos hacia el centro de la tierra, planeta o cuerpo en general, es la fuerza que determina el
peso de los cuerpos. La aceleración de la gravedad se denota con la letra (g) y se define como
el incremento constante de la velocidad por unidad de tiempo, percibida por un cuerpo en caída
libre, esta aceleración es directamente proporcional a la fuerza que ejerce el planeta sobre el
cuerpo e inversamente proporcional a la masa del cuerpo en caída libre.
En el Sistema Internacional de Unidades la magnitud de la aceleración se mide en m s -2,
aunque también es normal encontrarla expresada en Gales, en honor a Galileo Galilei.
1 GAL = 0,01 m s-2
El GAL no es una unidad perteneciente al Sistema Internacional de Unidades.
El valor de la aceleración de la gravedad local es de suma importancia al realizar correcciones
en mediciones de alta exactitud, con instrumentos basados en el método primario, que hacen
uso del método gravimétrico y en general en instrumentos en los que se utiliza corrección por
gravedad como en: manómetros de columna líquida, barómetros de columna líquida, balanzas
de presión, durómetros de masas suspendidas, determinación de la viscosidad, etc.
Vale la pena aclarar para no confundir el valor de la aceleración con el valor de la constante (g)
de gravitación universal (G), cuyo valor fue determinado por el físico inglés Henry Cavendish
(1731-1810) en 1798, basado en la teoría de gravitación universal, descubierta por el físico
también inglés Isaac Newton (1642-1727) en 1665.
La fuerza de gravitación entre dos masas se expresa por la relación,
F 
G M m
r2
Donde,
[F: ]
[M:]
[m:]
[ r: ]
Fuerza de atracción gravitacional en Newton
Masa del planeta
Masa del cuerpo en caída libre
Separación entre centros de masa de los cuerpos.
La fuerza de atracción es radial y de acuerdo a la Segunda Ley de Newton, entonces el valor
de (g) se expresa por la relación,
13
g 
GM
r2
La aceleración de la gravead no es la misma en todos los lugares del planeta: en los polos
9,832 m s-2 y en el ecuador 9,780 m s-2.
El valor de la aceleración de la gravead local puede calcularse utilizando la ecuación
recomendada por la Organización Internacional de Metrología Legal, ecuación publicada en el
Boletín OIML 127 con una exactitud del 0,01%
g  go (1  f sen2   f4 sen2 2  3,086 x 106 x 106 x H)
donde,
[go :] 9,780318 ms-2 , que corresponde al valor de la gravedad en el ecuador a 0 m de altura
(s.n.m.).
[f :] 0,0053024
[f4 :] 0,0000058
[ :] Latitud en grados
[H :] altitud medida sobre el nivel del mar en metros.
Como parte de su trabajo previo, calcule el valor de la gravedad par San Pedro de
Montes de Oca. Con ayuda de un GPS mida el valor de la latitud.
Además, calcule el valor de (g) para un sitio cuya latitud es 19º 42´ 10” y cuya altura es
de 1520 m. Si su cálculo es bueno, entonces g = (9,78150 ± 0,00098) m s-2. ¿Puede
explicar como se obtuvo la incertidumbre de la medición?
Teoría
Para la medición de (g) se utilizará los conceptos de caída libre de un cuerpo en el vacío.
Despreciando el rozamiento del cuerpo en su caída, la posición ( Y ) de ese cuerpo en el
tiempo, está dado por,
Y  Yo  Vo * t 
1 2
gt
2
(1)
Donde,
Yo : Posición inicial del cuerpo
Vo : Velocidad inicial del cuerpo
t : Tiempo transcurrido para alcanzar la posición Y
14
Si hacemos que el cuerpo caiga desde el reposo, entonces el desplazamiento de ese cuerpo
esta dado por,
1
Y  Yo    Y   g t 2
2
(2)
Por lo que el valor de (g) a partir de la ecuación (2) queda expresada por,
g 
Haga  Y  h , por lo que (3) se rescribe por,
2 Y
t2
g 
2h
t2
(3)
(4)
Como parte de su trabajo previo y utilizando derivadas parciales calcule la incertidumbre del
valor de (g) a obtener.
Equipo
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Liberador de bolas con diámetros de 1,27 y 1,91 cm
Mecanismo de liberación
Almohadilla receptora
Caja controladora
Cable para Smart Timer
Cable para conectar almohadilla y Caja Controladora
Conector tipo teléfono
Soporte de 2 m de altura
Prensa para bureta
Procedimiento
En la Figura No. 1 se muestra los componentes del equipo que usted requiere para realizar el
experimento de caída libre de los cuerpos, con el fin de medir la aceleración de la gravedad, la
cual usted comparará con el valor teórico calculado.
15
Figura No. 1 Componentes del equipo
En la Figura No.2 se le muestra el esquema del equipo armado para que usted proceda a
realizar las mediciones. La llave desde la cual se libera el balín es muy delicada, por favor
trátela como tal.
16
Libere el balín desde una altura de 2,0m de altura, lea el tiempo de caída y repita la medición
cinco veces.
Libere ahora el balín desde una altura de 1,80 m de altura, lea el tiempo de caída y repita cinco
veces.
Continúe disminuyendo la altura como se indica en la Tabla No. 1, para las alturas que se le
indican y lea los tiempos correspondientes.
Tabla No. 1
Altura
(m)
uh
Tiempo de caída
ut
g
ug
(m)
(s)
(s)
(ms-2)
(ms-2)
t1
t2
t3
t4
t5
2,00
1,80
1,60
1,40
1,20
1,00
0,75
Valor promedio de g y su incertidumbre (ms-2)
Análisis de incertidumbres
Modelo Matemático
g
2h
t2
Para una altura dada y midiendo n veces el tiempo de caída para esa altura
2
u  u 
ug  g  h    t 
h t 
2
17
donde
uh = incertidumbre en la medición de la altura en metros
ut = incertidumbre en el tiempo (en segundos) de caída desde la altura h
Nota:
Tanto uh como ut pueden estimarse a partir de
ui 



n 
ures 2   Sn1 
2
ures = Resolución del equipo estimado como una distribución de probabilidad rectangular.
d
u res 
2 3
Donde d es su resolución si es de indicación digital o para un equipo analógico
donde d es la menor división de la escala y N es el número de veces en el que se
divide la mínima división de la escala.
u res 
d
N 3
Sn-1 = Desviación estándar de las mediciones

Con los datos de la Tabla No.1 proceda a graficar en papel milimétrico y doblemente
logarítmico el desplazamiento en función del tiempo.

Calcule la pendiente de la gráfica y compárela con el valor de la gravedad.

Calcule el porcentaje de error de su medición.

Si el valor encontrado difiere más allá de un 5 %, entonces identifique sus fuentes de
error.

Haciendo uso de la ecuación V = Vo – at, calcule la velocidad con que el balín impacta
sobre el sensor, para cada caso y grafique la velocidad en función del tiempo.
Construya la tabla correspondiente. Si la gráfica es una recta, entonces sus resultados
son buenos. ¿Cual es la correlación entre (V) y (t)?
Conclusiones
Describa su experimento del laboratorio y discuta sus resultados.
18
Considere las preguntas siguientes:
1. ¿La aceleración es causada por la constante de gravedad?
2. ¿Es la aceleración causada por la gravedad el mismo para todos los objetos? Discuta
las condiciones bajo las cuales usted cree que sus resultados para son correctos.
Incluya una discusión de los errores en sus mediciones y cómo ellos afectan sus
conclusiones. ¿Cuan lineal es su gráfica?
3. ¿Cómo usted podría alterar su técnica de medición, o el experimento para reducir los
errores experimentales
19
TIEMPO DE REACCIÓN
Objetivo:
-
Medir el tiempo de reacción de una persona, a partir de conocimientos de caída libre,
además comparar este con el determinado a partir del uso de un cronometro.
Ampliar la práctica que el estudiante ha realizado con en la determinación de promedios,
desviación estándar e incertidumbres.
Equipo:
-
Una regla graduada de un metro.
Papel de 10 cm de ancho y un metro de largo
Trabajo previo:
Demostrar de dos maneras distintas la ecuación (1) de esta práctica.
Marco teórico:
El tiempo de reacción de una persona, lo podemos describir como el
intervalo de tiempo que transcurre entre dos instantes: el primero
cuando la persona percibe un estimulo y el segundo cuando
reacciona a él. Por ejemplo, para el conductor de un auto, es el
tiempo transcurrido entre el instante en que ve a un niño en el Centro
de la calle al frente del carro, y el momento en que presiona el pedal
para frenar, o bien el tiempo que transcurre entre el instante que
observamos un objeto caer y movemos nuestra mano para detenerlo.
Ponga una mano extendida con la palma hacia arriba. Sitúe un peso
pequeño pero apreciable sobre ella, como un libro o un manojo de
llaves. Deje caer la mano hacia abajo, acelerando exactamente a 9,8
m/s2. Si, puede hacerlo al menos por un momento. Píenselo. Esa
sería la velocidad a la que el libro caería si nada lo impidiera; así que,
déjelo caer libremente, haciendo que su mano simplemente lo
preceda en la caída. Bajo la sola influencia de su peso, el libro sufrirá
una aceleración igual a g. Si su mano lo sostiene, es decir, lo empuja
hacia arriba, la fuerza neta sobre el libro será inferior a Fw y sufrirá
una aceleración hacia abajo menor que 9,8 m/s2, (g). Es evidente
que, a medida que deje caer la mano con mayor rapidez, justo en el
momento en que la mano caiga a una aceleración g, dejará de sentirse la presión del libro; el
libro habrá llegado a no tener peso efectivo (aparente) en caída libre. Si el libro estuviera sobre
una balanza apoyada también en la mano y se repitiera la caída con
aceleración g, tanto el libro como la balanza flotarían y esta última
Figura 1:
Determinación
indicaría cero. Podría obtenerse la misma situación saltando de una silla
del tiempo de
reacción
20
sosteniendo el libro.
En nuestro caso, y como usted se dará cuenta, conforme se desarrolla la práctica, dicho tiempo
es muy pequeño, por lo que se nos hace difícil (casi imposible) medirlo con un cronómetro,
para ello y como lo indicamos anteriormente, utilizamos la caída libre para su determinación. El
tiempo que tarda un objeto en recorrer una distancia h, en caída libre, partiendo del reposo,
depende de la gravedad g y la mencionada altura. Dicha relación es de la forma:
t
2h
g
(1)
Donde (g) toma un valor de 9,81 m/s2 y h (en metros) es la altura que recorre el objeto antes
de detenerse.
Procedimiento:
1. Sobre la pared del aula o de un pasillo coloque la hoja de papel blanco que su profesor le
entregará y le indicara la altura que debe colocarla verticalmente. Haga a 2cm del borde
superior de la hoja una marca visible. Tome una regla métrica y haga coincidir un extremo
de la misma con la marca.
2. El estudiante que sostiene la regla la soltará y otro tratará de atraparla lo más pronto
posible, sin incurrir en algún movimiento vertical de su mano.
3. Se mide la distancia vertical h que descendió la regla, y se anota en la tabla 1.
4. El proceso anterior se repite 9 veces más, diez en total para cada estudiante.
5. Para cada distancia y la ecuación (1), calcule los tiempos de reacción para cada valor de
(h) propio, anote sus resultados en la Tabla 1.
5) Recuerde que la incertidumbre esta dada por la ecuación 2.
t 
h
2
2 g

gh 2
2h
g3
(2)
Donde,
g tiene un valor de 0,005 m/s2, y g un valor de 9,782 mis2.
21
Tabla 1. Tiempo de reacción de un estudiante
Medida
Altura
h
(m)
Tiempo de reacción
tr
(s)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Promedio
Desviación
Estándar
7) Con ayuda de la tabla anterior y la información de sus demás compañeros proceda a llenar
la tabla 2.
Cuestionario:
1) ¿Que factores influyen directamente en el tiempo de una reacción?
2 ) Complete la Tabla 3. ¿Qué puede inferir de los coeficientes de variación?
3) ¿Qué importancia tiene en la ingeniería el conocer el tiempo de reacción?
4) ¿Podría evitarse una colisión si el tiempo de reacción fuese menor?
22
Tabla 2. Tiempos de reacción de cada uno de los estudiantes, incluyendo el promedio de cada
uno, así como su desviación estándar y coeficiente de variación.
Damas
Estudiante
Tiempo de reacción
promedio
tr
(s)
Promedio
Desviación
estándar
C.V.
Caballeros
Estudiante
Tiempo de reacción
promedio
tr
(s)
Promedio
Desviación
estándar
C.V.
Tabla 3. RESUMEN DE TIEMPOS DE REACCION PROMEDIOS
Variable
Tiempo de reacción
TP
(s)
Desviación estándar D.E.
C.V.
(%)
Caballeros
Damas
Propio
Grupo
Promedio
Nota: El Coeficiente de Variación (C.V.) se define como el cociente de la desviación estándar y el
promedio y expresa el porcentaje con que los datos están desviados con respecto al promedio .
23
PRIMERA LEY DE NEWTON
Objetivos:
- Estudiar la primera ley de Newton mediante el análisis del Movimiento Rectilíneo
Uniforme.
- Aplicar los conocimientos adquiridos en las prácticas anteriores de graficación
incertidumbres.
e
- Conocer el equipo básico del laboratorio.
Equipo:
-
Riel neumático
Carro con diafragma de 2,5 cm y 10,0 cm
Soplador
2 Contadores digitales
2 Fotoceldas
Disparador
Papel de graficación (milimétrico)
Nivel
Teoría:
Isaac Newton nació la Navidad de 1642, a un año de haber muerto Galileo. Newton era corto
de estatura, miope, con cabello ya cano cuando todavía no tenía 40 años, descuidado en su
presentación, increíblemente olvidadizo y, posiblemente, virgen. Este hombre nervioso,
hipocondríaco, sensible, piadoso y vulnerable fue uno de los máximos genios de todos los
tiempos. Entre sus muchas hazañas se cuenta una teoría del movimiento que resistió toda
prueba durante más de 200 años.
La primera de las tres leyes de Newton fue propuesta, incompleta, por
Galileo: un cuerpo, una vez en movimiento y sin perturbarlo en
adelante, continuará eternamente con rapidez constante, por sí mismo.
Esto se oponía totalmente al punto de vista aristotélico: sin una fuerza
que lo empuje, un cuerpo en movimiento se detiene de inmediato. La
teoría de Aristóteles parece concordar con la experiencia, pero está
equivocada. Vivimos en un planeta donde la gravedad y la fricción
enmascaran lo que realmente sucede.
En 1687 Newton publicó sus "leyes del movimiento" en el libro que ahora llamamos Principia.
Su primera ley fue la ley de la inercia:
24
Todo cuerpo continúa en un estado de reposo o de movimiento uniforme en línea recta,
excepto cuando se le obliga a cambiar ese estado debido a fuerzas que se le aplican.
En lo anterior se enuncia una equivalencia entre reposo y movimiento uniforme. Para alterar
ambas cosas se requiere una fuerza, pero, una vez establecido cualquiera de esos estados,
persiste para siempre en ausencia de la fuerza.
En 1969, los astronautas del Apolo apagaron los motores y siguieron sin su impulso durante
gran parte de su viaje a la Luna. En este mismo instante, la sonda espacial Pioneer 10 va hacia
las estrellas, a decenas de miles de kilómetros por segundo, habiendo agotado sus cohetes
hace décadas. El truco famoso de retirar de golpe un mantel de debajo de varios platos es una
grandiosa manifestación de la primera ley. Y el objeto de los cinturones de seguridad se aclara
cuando el cuerpo en movimiento, que tiende a permanecer en movimiento después de aplicar
los frenos a fondo, se le aclara a usted una vez efectuado la práctica.
Procedimiento:
1) Haciendo uso de los tornillos que se encuentran en uno de los extremos del riel neumático
y del nivel asegúrese que el carro colocado en cualquier parte del riel neumático, no se
mueve hacia ninguno de los lados, al quedar nivelado el riel.
2) Conecte las fotoceldas con cronómetro incluido, siguiendo el diagrama que se encuentra en
el laboratorio.
3) Mida 10 veces el tiempo (t) y el tiempo (t), para cada distancia (x) entre fotoceldas.
4) Repita el paso anterior para diez desplazamientos diferentes a su elección.
25
Diafragma de x = __________ cm
Tabla 1. Movimiento Rectilíneo Uniforme.
Desplazamiento
x
(cm)
Tiempo
t
(s)
t1
t2
t3
t4
t5
t6
Tabla 2. Movimiento Rectilíneo Uniforme.
Desplazamiento
x
(cm)
t7
t8
t9
t10
Diafragma de __________ cm
Tiempo
t
(s)
t1
t2
t3
t4
Promedio
tprom
(s)
t5
6) Sustituya el diafragma por otro de más longitud
resultados en las tablas 3 y 4.
t6
t7
t8
t9
t10
Promedio
tprom
(s)
y repita los puntos 4 y 5, anote sus
26
Diafragma de x = __________ cm
Tabla 3. Movimiento Rectilíneo Uniforme.
Desplazamiento
x
(cm)
Tiempo
t
(s)
t1
t2
t3
t4
Tabla 4. Movimiento Rectilíneo Uniforme.
Desplazamiento
x
(cm)
t5
t6
t7
t8
t9
t10
Promedio
tprom
(s)
t10
Promedio
tprom
(s)
Diafragma de x = _________ cm.
Tiempo
t
(s)
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t9
Resultados:
Con los datos de los cuadros anteriores construya una gráfica de distancia recorrida x, como
una función del tiempo t, con ayuda del método de mínimos cuadrados determine la ecuación
de la recta de mejor ajuste, emplee los valores promedio del tiempo t, repita el análisis anterior
para los datos obtenidos con el otro diafragma.
Con los valores promedio del tiempo t, y el tamaño del diafragma x determine la velocidad
27
del carro (v = t / x) para cada x, y realice una gráfica de la velocidad como una función del
tiempo tprom, repita para el otro diafragma.
Tabla 5. Primera ley de Newton.
Diafragma de x = _________ cm.
Desplazamiento
x
(cm)
tiempo
tprom
(s)
tiempo
δtprom
(s)
velocidad
v = x / t
(cm/s)
Tabla 6. Primera ley de Newton
Diafragma de x = _________ cm.
Desplazamiento
x
(cm)
tiempo
tprom
(s)
tiempo
δtprom
(s)
velocidad
v=x/ t
(cm/s)
Cuestionario:
1. Que significado físico tiene la pendiente en cada una de las graficas elaboradas.
2. ¿Se demostró que el movimiento es uniforme? Explique.
3. ¿Qué importancia tiene el nivelar el riel neumático?
4. ¿Qué importancia tiene el colocar la primera fotocelda F1 al inicio del movimiento?
5. En caso de no haber podido demostrar que el movimiento es uniforme, que factores
pueden ser la causa de que así sea. ¿Recuerde el significado de la incertidumbre?
28
Figura 2: Montaje de equipo de la primera Ley de Newton
29
SEGUNDA LEY DE NEWTON
Objetivos:
- Estudiar la segunda ley de Newton mediante el análisis del Movimiento Rectilíneo
Uniformemente Acelerado (MRUA).
- Obtener un valor experimental de la aceleración de la gravedad terrestre.
Equipo:
- Riel neumático
- Carro con diafragma de 2,5 cm
- Soplador
- 2 Contadores digitales
- 2 Fotoceldas
- Disparador
- Papel de graficación (milimétrico)
- Nivel
- Polea de precisión y trípode PASS
- Masas de 1 g, 10 g, 20 g y 50g.
- Porta masas
Teoría:
El estado de movimiento de un objeto cambia cuando se le aplica una fuerza neta, es lo que
nos dice la primera ley. Pero, ¿cuánto cambia? La respuesta la da la segunda ley de Newton,
que es un enunciado cuantificado y una ampliación de la primera ley.
La idea de que la rapidez sola no permite tener un aspecto esencial del movimiento de un
objeto data de Jean Buridan, más o menos de 1330. Trataba de comprender por qué una
esfera de hierro del mismo tamaño que una de madera llegaba mucho más lejos cuando
ambas eran disparadas con la misma rapidez. De la misma forma, por qué se prefiere ser
golpeado por una luciérnaga que vuele a 60 km/h que por un auto de bomberos con la misma
rapidez. Buridan dedujo que el concepto crucial es el producto de la masa (m) por la rapidez
(v). El “Impulso" que tiene un cuerpo en movimiento, la capacidad de arrastrar algo, no se
puede atribuir sólo a su rapidez, porque la luciérnaga tiene la misma rapidez que el camión de
bomberos. La "verdadera medida del movimiento" era una cantidad básica nueva, el producto
de la masa por la rapidez (mv). Cuando el cuerpo tiene más masa, su inercia es mayor y es
más difícil de cambiar la forma en que se mueve; es mucho más difícil cambiar el movimiento
de un camión de bomberos que el de una luciérnaga.
La idea, aunque algo deteriorada, fue tomada por Galileo, que la llamó momento y después por
Descartes, que la llamó cantidad de movimiento. Cuando Newton enunció el concepto central
de su teoría, que es la medición del movimiento, definió a la cantidad de movimiento (p), como:
el producto de la masa por la velocidad del objeto
p= mv
30
II Ley del Movimiento
“El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza aplicada, y se
hace en la dirección de la recta en la que se aplica la fuerza.”
Esta es la segunda ley, traducida del latín original que usó Newton.
Aun cuando la redacción es algo confusa, vale la pena el esfuerzo de
tratar de apreciar su razonamiento. Según la primera ley, sabemos
que la fuerza cambia al movimiento. Además, "la medida del
movimiento" es la cantidad de movimiento. La segunda ley dice que
una fuerza aplicada (F), produce un cambio proporcional en la
cantidad de movimiento del cuerpo ( p), esto es, F   p.
Figura 1: Galileo Galilei
Sabemos, por experiencia, que en este caso también interviene el
tiempo. Mientras más dure un cohete con sus motores encendidos, mayor será su rapidez final
y p será mayor. En el enunciado original de la segunda ley no se menciona explícitamente al
tiempo, pero es claro que Newton hablaba de cambio de movimiento por unidad de tiempo. La
fuerza aplicada es igual al cambio resultante en la cantidad de movimiento por unidad de
tiempo. Una versión moderna de la segunda ley es:
“La fuerza ejercida sobre un cuerpo es igual al cambio resultante en su cantidad de
movimiento dividido entre el tiempo transcurrido en el proceso.”
Newton se daba cuenta de la naturaleza direccional del fenómeno; el cambio de movimiento
tiene la dirección de la fuerza aplicada. En otras palabras, p es paralelo a F, y resumiendo
todo:
 dp p
F

dt t
(1)
Procedimiento
Procederemos a medir la aceleración que experimenta el carrito, cuando el mismo es halado
por una fuerza externa, en nuestro caso esta fuerza, la ejerce el cuerpo que cuelga. La
disposición del equipo a utilizar se muestra en la Figura 1. La masa que cuelga es única y no
cambia a lo largo de la práctica.
1) Haciendo uso de los tornillos que se encuentran en uno de los extremos del riel neumático
y del nivel, asegúrese que el carro colocado en cualquier parte del riel neumático no se
mueve ni hacia delante ni hacia atrás, al quedar nivelado el riel.
2) Conecte las fotoceldas con cronómetro incluido como lo hizo para la primera práctica.
3) Separe las fotoceldas 10 cm entre centros, esto es la distancia que recorrerá el carrito
inicialmente. Aumente la separación entre las fotoceldas de 5 en 5 cm hasta la distancia
máxima que le permita la pista.
31
4) Mida 10 veces el tiempo t y el tiempo t, para cada distancia de separación entre
fotoceldas. Anote los tiempos en las tablas 1 y 2.
5) Recuerde que la masa del sistema permanece constante, esto es la masa del carro y la
masa colgante.
6) Complete las tablas 1 y 2. Recuerde que (t) es el tiempo que tarda el carro en recorrer
la distancia entre las foto celdas y (t) el tiempo que tarda en recorrerse el diafragma
de 2,5 cm.
Resultados:
1. Cuando el carro recorre el diafragma de 2,5 cm, su velocidad promedio es simplemente
el cociente de X / t. Este valor de velocidad tiende al valor de la velocidad instantánea
del mismo al final del tiempo t. Calcule los valores de X / t y complete las tablas 1 y 2.
2. La velocidad instantánea de un móvil con Movimiento rectilíneo Uniformemente
Acelerado, se expresa por la relación,
V f  Vo  a t
(3)
Como el carrito parte del reposo, entonces la aceleración se expresa por la siguiente relación,
a
vf
t

( x /  t )
x

t
( t ) * t
(4)
La fuerza neta que actúa sobre el carrito a lo largo del movimiento, es entonces de acuerdo a la
segunda Ley de Newton
F  ma  m
x
 t*t
(5)
Siendo m la masa que cuelga.
32
Tabla 1. Segunda Ley de Newton.
Masa colgante __________ g
Separación
entre
fotoceldas
(cm)
Tiempo
t
(s)
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t9
t
t10
Promedio
10
15
20
25
30
35
40
50
Etc.
Tabla 2. Segunda Ley de Newton
 X = 2,5 cm
Vi =  X/ t
(cm/s)
 t1
 t2
 t3
 t4
 t5
Tiempo
t
(s)
 t6
 t7
 t8
 t9
 t10
 tpro.
33
3. Calcule el valor de la aceleración utilizando la ecuación 4, para cada una de las
distancias que recorrió el carrito. Anote sus resultados en la tabla 3.
4. Calcule el valor de la fuerza que actúa sobre el carrito y anótela en la Tabla 3.
Cuestionario:

¿Que factores influyen directamente en el tiempo de una reacción?

Complete la Tabla 3. ¿Qué puede inferir de los coeficientes de variación?

¿Qué importancia tiene en la ingeniería el conocer el tiempo de reacción?

Podría evitarse una colisión si el tiempo de reacción fuese menor?
Tabla No 3. Cálculo de la fuerza externa.
Tiempo
promedio
(s)
Velocidad
Promedio
X/t
(cm/s)
Rapidez final
Vf=(x / t)
(cm/s)
Aceleración
(a)
2
cm/s )
Fuerza
Externa
(N)
5. Trace las gráficas de distancia y velocidad en función del tiempo y corrobore que las
mismas satisfacen la condición de MRUA.
34
Montaje Equipo para Segunda Ley de Newton
35
Cuestionario:
1) ¿Por qué se emplea en esta práctica el diafragma de 2,5 cm y no uno de 10 cm? Explique.
2) Calcule la desviación estándar de la aceleración.
3) Señale las principales fuentes de error de este experimento.
4) ¿Cómo habrían cambiado los resultados y la forma de las gráficas si hubiera utilizado el
disparador?
5) ¿Es posible calcular la velocidad instantánea a partir de la gráfica posición en función del
tiempo?
6) Plantee las ecuaciones de movimiento para los cuerpos que intervienen. No olvide medir la
masa del carrito.
7) Calcule el porcentaje de error entre el valor de la aceleración experimental y el valor teórico
de la misma.
36
COLISIONES ELÁSTICAS
Objetivos:
- Comprobar que en todo tipo de colisión se conserva la cantidad de movimiento lineal.
- Comprobar que en las colisiones elásticas se conserva la energía cinética.
- Relacionar las variaciones en la cantidad de movimiento lineal de dos objetos durante
una colisión con la Tercera Ley de Newton.
- Mostrar la importancia que tiene la
determinación de la incertidumbre en la
comprobación de la conservación de la energía en un choque.
Equipo:
-
Riel neumático
2 barreras fotoeléctricas (fotoceldas)
2 tope magnético
2 disparadores
2 diafragmas de 10 cm
masas de 10 g
masas de 50 g
masas de 1 g
soplador
2 contadores
un metro de madera
balanza
Teoría:
Si un camión de 18 ruedas choca de frente con un auto
compacto, ¿qué es lo que determina hacia dónde se mueven
los restos después del choque? ¿Por qué es mucho más
probable que los tripulantes del auto salgan heridos que los
del camión? ¿Cómo decide usted la dirección que debe darle
a la bola blanca en el billar para meter la bola 8 en una
canastilla?
Figura 1: Una colisión elástica
Algo que tienen en común estas preguntas es que no pueden contestarse aplicando
directamente la segunda ley de Newton, F = ma, porque actúan fuerzas sobre las que
sabemos muy poco: las fuerzas que actúan entre el auto y el camión, o entre dos bolas de
billar. Lo curioso es que en esta práctica veremos que no necesitamos saber nada acerca de
esas fuerzas para contestar a preguntas de este tipo.
37
Nuestro enfoque usa dos conceptos nuevos, cantidad de movimiento e impulso, y una nueva
ley de conservación, la de conservación de la cantidad de movimiento, tan importante como la
de la conservación de la energía. La ley de la conservación de la cantidad de movimiento es
válida aun en situaciones en las que las leyes de Newton son inadecuadas, como cuerpos que
se mueven con una rapidez muy alta (cercana a la de la luz) u objetos muy pequeños (como
los constituyentes de los átomos). En el ámbito de la mecánica newtoniana, la conservación de
la cantidad de movimiento nos permite analizar muchas situaciones que serian muy difíciles si
usáramos las leyes de Newton directamente. Entre ellas están los choques, donde dos cuerpos
que chocan ejercen, uno sobre el otro, fuerzas muy grandes durante un tiempo muy corto.
La conservación de la cantidad de movimiento es un concepto particularmente útil cuando se
consideran colisiones. Una colisión es una interacción entre dos o más objetos que tiene lugar
en un intervalo corto de tiempo y en una región delimitada del espacio. Uno o varios objetos
penetran en una región del espacio e interaccionan rápidamente dentro de ella, posteriormente
uno o más objetos abandonan esta región. Puede que las fuerzas de interacción entre los
objetos sean grandes, pero no vamos a examinarlas en detalle. Sólo vamos a considerar los
objetos antes y después de la colisión y supondremos que durante el tiempo de la colisión, el
impulso debido a las fuerzas externas al sistema es despreciable y por tanto no contribuye a la
cantidad de movimiento del sistema. Como el efecto de las fuerzas externas es despreciable, la
cantidad de movimiento del sistema se conserva, y por tanto la cantidad de movimiento del
sistema es igual antes y después de la colisión.
Uno de nuestros objetivos al considerar las colisiones es ser capaces de relacionar las
velocidades de los objetos antes y después de la colisión. Por ejemplo, en las colisiones
atómicas se usan las velocidades de las partículas resultantes de la colisión para estudiar la
interacción entre las partículas incidentes. Imaginemos una colisión en la que entran y salen
dos partículas. Si conocemos las velocidades de las partículas antes de la colisión y deseamos
conocer las velocidades de las partículas después de la misma, la conservación de la cantidad
de movimiento nos proporciona una ecuación vectorial que relaciona las velocidades antes y
después de la colisión. La conservación de la cantidad de movimiento, escrita para cada una
de las componentes, proporciona tres ecuaciones, pero tenemos seis incógnitas (deseamos
conocer las tres componentes de las velocidades de las dos partículas después de la colisión).
En estas condiciones el problema no tiene solución, ya que tenemos más incógnitas que
ecuaciones. Este problema matemático subsistiría aunque la colisión fuese en una dimensión,
ya que la conservación de la cantidad de movimiento nos da una ecuación y necesitamos
conocer las velocidades de las dos partículas después de la colisión.
Por tanto, para resolver el problema se necesita más información. La energía siempre se
conserva, pero como la energía puede adoptar muchas formas, en general su consideración no
es de gran ayuda. En algunas colisiones se conserva la energía cinética, y estas colisiones se
llaman elásticas. Por el contrario, las colisiones en las que no se conserva la energía cinética
se llaman inelásticas (ver práctica siguiente). A nivel atómico es frecuente que las colisiones
sean elásticas, pero a nivel macroscópico las colisiones siempre poseen cierto grado de
inelasticidad, sin embargo, muchas de estas colisiones transforman tan poca energía cinética
en otras formas de energía que, dentro de la precisión con que se realizan las medidas, son
consideradas elásticas. Este es el caso, por ejemplo, de la colisión entre dos bolas de acero
que chocan a velocidades pequeñas estas colisiones transforman tan poca energía cinética en
otras formas de energía que, dentro de la precisión con que se realizan las medidas, son
38
consideradas elásticas. Este es el caso, por ejemplo, de la colisión entre dos bolas de acero
que chocan a velocidades pequeñas.
Colisiones elásticas en una dimensión.
Consideraremos la colisión elástica en una dimensión que se da entre dos cuerpos, en la cual
un objeto de masa m1 y velocidad inicial v1 i en la dirección x colisiona con otro objeto de masa
m2 y velocidad inicial v2 i sobre el eje x (para simplificar la notación, hemos eliminado el
subíndice x de las componentes de la velocidad). Después de la colisión, las componentes x de
las velocidades son v1 f y v2 f. La conservación de la cantidad de movimiento nos da:
pi = pf
m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f
(0)
(1)
y la conservación de la energía cinética nos da:
½ m1v21i + ½ m2v22i =½ m1v21f + ½ m2v22f
(2)
Las componentes de las velocidades finales pueden obtenerse si se conocen las masas y las
componentes de las velocidades iniciales.
NOTA: En nuestro experimento es de suma importancia que los carros tengan una distribución
de masa en forma simétrica en todas sus direcciones.
Procedimiento:
Revise que su equipo de laboratorio este armado como se indica en la figura 2. Al igual que
en todas las prácticas anteriores, asegúrese de que la pista neumática se encuentre nivelada.
Caso 1: Choque con carro en reposo
2. Realice las conexiones necesarias entre las barreras fotoeléctricas (fotoceldas) y los
contadores de tal forma que se pueda medir los tiempos recorridos por los diafragmas
colocados en los carros.
3. Mida la masa de cada uno de los carro, por ahora no coloque masas adicionales, anote
sus datos en la tabla 1. (Debe poner especial atención a que la distribución de masa en
cada carro sea simétrica, es decir igual adelante que atrás, e igual de cada lado del carro)
4. Coloque uno de los carro (coloque en el extremo de la colisión un tope con horquilla con
bandas de hule) cerca del centro de la pista neumática, asegúrese de que quede en
reposo, coloque cerca de este una de las fotoceldas, de forma que se pueda medir el
tiempo de paso luego de la colisión.
39
Figura 2 Colisiones elásticas
5. Coloque el otro carro (con tope magnético en el extremo junto al disparador y en el otro
extremo uno no de orquilla con bandas de hule) al lado del disparador. Coloque la otra
fotocelda cerca del otro carro (el que esta en reposo), pero a una distancia mayor al largo
del carro, esto con el fin de que se pueda medir el tiempo de paso de diafragma antes y
después de la colisión.
6. Proceda a liberar el disparador (mantenga siempre una misma posición de disparo para
este, es recomendable usar una posición que le imprima la menor velocidad al carro) y
mida el tiempo que demora en pasar el diafragma antes de colisionar para el carro 1 (el
que se libera) y luego mida el tiempo de paso de diafragma una vez efectúa la colisión
para ambos carros, repita esta experiencia 10 veces y anote el resultado en la tabla 1, es
posible que alguno de estos tiempos sea cero, por ello no se asuste si le sucede esto.
40
Tabla 1: Colisiones con carro de masa igual.
Tamaños diafragmas: x1= _______m; x2= _______m
m1= ______kg; m2= ______kg
Carro
1
Carro
2
Promedio
Tiempo antes
de colisión
t1i
(s)
Tiempo después
de colisión
t1f
(s)
Tiempo después
de colisión
t2f
(s)
Promedio
Promedio
7. Repita los puntos anteriores, pero coloque una masa adicional de 20 g (10 a cada lado del
carro) que se encuentra en reposo, puede imprimirle ahora una mayor velocidad al carro
1 cambiando la posición del gatillo del disparador, anote sus datos en la tabla 2.
Tabla 2: Colisiones con carro de masa diferentes
Tamaños diafragmas: x1= ______m; x2= _____m
Carro
1
Carro
2
m1=______kg; m2= _____kg
Tiempo antes
de colisión
t1i
(s)
Tiempo después
de colisión
t1f
(s)
Tiempo después
de colisión
t2f
(s)
Promedio
Promedio
Promedio
Caso 2: Choque de dos carros en movimiento.
8. Coloque al lado de cada disparador un carro (con el tope magnético al lado del disparador,
y el de orquilla con bandas de hule al otro lado, de forma que quede uno frente al otro).
Mantenga la misma masa en cada carro y simétricamente distribuida.
9. Coloque las fotoceldas de tal forma que le permitan medir el tiempo t de paso de
diafragma antes y después de la colisión.
41
10. Libere cada uno de los disparadores al mismo instante y mida el tiempo t antes y
después de la colisión para cada uno de los contadores, repita esto diez veces y anote sus
datos en la tabla 3. (mantenga el gatillo en la misma posición para los dos disparadores)
Tabla 3. Colisión elástica entre dos carros en movimiento.
Tamaños diafragmas: x1= ______m; x2= _____m
m1= ______kg; m2 = _____kg
Carro
1
Carro
2
Promedio
Tiempo antes
de colisión
t1i
(s)
Tiempo después
de colisión
t1f
(s)
Tiempo antes
de colisión
t2i
(s)
Tiempo después
de colisión
t2f
(s)
Promedio
Promedio
Promedio
11. Repita los puntos anteriores (del 8 al 10) pero cambien la posición para el gatillo de uno
de los disparadores, anote sus resultados en la tabla 4.
12. Repita los puntos anteriores (del 8 al 10) pero agregue a uno de los carros una masa
adicional de 20 g (10 a cada lado), anote sus resultados en la tabla 5. (la colocación de los
gatillos queda a su criterio).
Tabla 4: Colisión elástica entre dos carros con rapidez inicial diferente
Tamaños diafragmas: x1= ______m; x2= _____m
m1= ______kg; m2= _____kg
Carro
1
Tiempo antes
de colisión
t1i
(s)
Tiempo después
de colisión
t1f
(s)
Promedio
Promedio
42
Carro
2
Promedio
Tiempo antes
de colisión
t2i
(s)
Tiempo después
de colisión
t2f
(s)
Promedio
Tabla 5: Colisión elástica entre carros de masas diferentes.
Tamaños diafragmas: x1= ______m; x2= _____m
m1= ______kg; m2= _____kg
Carro
1
Carro
2
Tiempo antes
de colisión
t1i
(s)
Tiempo después
de colisión
t1f
(s)
Tiempo antes
de colisión
t2i
(s)
Tiempo después
de colisión
t2f
(s)
Promedio
Promedio
Promedio
Promedio
NOTA: Recuerde que p y v son cantidades vectoriales
Resultados:
-
Con la información de la tabla 1 determine la velocidad de cada carro, antes y después
de la colisión (emplee los valores promedio), luego aplique la ley de la conservación
de la cantidad de movimiento y la de la conservación de la energía. (ecuaciones 1 y
2 de esta práctica). ¿Es elástica la colisión? ¿Qué sucede con la energía cinética
antes y después de la colisión? (Recuerde que la velocidad se determina como v =
x / t). Anote sus resultados en la tabla 6.
- Con la información de la tabla 2 determine la velocidad de cada carro, antes y después
de la colisión (emplee los valores promedio), luego aplique la ley de la conservación
de la cantidad de movimiento y la de la conservación de la energía. (ecuaciones 1 y
43
2 de esta práctica). ¿Es elástica la colisión? ¿Qué sucede con la energía cinética
antes y después de la colisión? Anote sus resultados en la tabla 6
-
Con la información de la tabla 3 determine la velocidad de cada carro, antes y después
de la colisión (emplee los valores promedio), luego aplique la ley de la conservación
de la cantidad de movimiento y la de la conservación de la energía. (ecuaciones 1 y
2 de esta práctica). ¿Es elástica la colisión? ¿Qué sucede con la energía cinética
antes y después de la colisión? ¿Qué concluye usted con respecto a las velocidades
de antes y después de la colisión para ambos carros? Anote sus resultados en la
tabla 6
-
Con la información de la tabla 4 determine la velocidad de cada carro, antes y después
de la colisión (emplee los valores promedio), luego aplique la ley de la conservación
de la cantidad de movimiento y la de la conservación de la energía. (ecuaciones 1 y
2 de esta práctica). ¿Es elástica la colisión? ¿Qué sucede con la energía cinética
antes y después de la colisión? ¿Se cumple su respuesta con respecto a la conclusión
sobre las velocidades del punto anterior? Anote sus resultados en la tabla 6
- Con la información de la tabla 5 determine la velocidad de cada carro, antes y después
de la colisión (emplee los valores promedio), luego aplique la ley de la conservación
de la cantidad de movimiento y la de la conservación de la energía. (ecuaciones 1 y
2 de esta práctica). ¿Es elástica la colisión? ¿Qué sucede con la energía cinética
antes y después de la colisión? ¿Se aplica la definición de colisión elástica dada en la
nota teórica de esta práctica a nuestro experimento?
Cuestionario:
1) ¿Cumple el plano experimental con lo que la teoría propone acerca de las colisiones
elásticas? Explique.
2) ¿Cuáles son las principales causas de la perdida de la energía (si es que las hay) en
esta práctica? ¿Qué se hace esta energía perdida?
3) Tendrá una variación significativa en esta práctica si los carros no se lanzan en forma
simultánea. Explique.
4) Se cumple dentro de los limites permitidos la ley de la conservación de la cantidad de
movimiento (si es necesario determine las incertidumbre para apoyar su respuesta).
5) ¿Puede ser negativa la cantidad de movimiento? ¿Y la energía cinética? Explique.
44
COLISIONES INELASTICAS I
OBJETIVO GENERAL
Aplicar el Principio de la Conservación del Momentum Lineal en una colisión inelástica.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
1. Medir la velocidad de un carrito antes y después de una colisión, utilizando una sola
fotocelda.
2. Demostrar que en una colisión inelástica no hay conservación de la energía cinética.
3. Aplicar el concepto de conservación de la energía mecánica en presencia de una fuerza
conservativa en el péndulo.
4. Calcular la incertidumbre en la medición del ángulo barrido por el péndulo.
5. Calcular la pérdida de energía cinética del carrito durante la colisión.
MARCO TEORICO
Una colisión inelástica entre dos cuerpos, es aquella en la que la energía cinética total del
sistema no es la misma antes y después de la colisión, aunque se conserve la cantidad de
movimiento lineal.
Si usted observa la colisión de dos bolas de billar, aunque pareciera que ella es elástica, el
sonido que se escucha es precisamente parte de la energía cinética convertida en energía
sonora.
Las colisiones elásticas se presentan solamente entre partículas atómicas y subatómicas. En
este tipo de colisión se conserva tanto el Momentum lineal y la energía cinética.
Un buen ejemplo de colisión inelástica es el que se discutirá en el presente experimento, en el
cual un carrito colisionará con un péndulo y ambos se moverán en forma independiente
después de la colisión.
El carrito al dispararlo sobre el riel neumático se desplaza con una velocidad constante Vc , o y
colisiona con el péndulo en reposo, ambos después del choque poseen velocidades
Vc, f y Vo, p . Del principio de conservación del Momentum lineal, tenemos entonces que:
M c Vc,o  M c Vc, f  mp Vo, p
1.
45
La masa del péndulo después de la colisión posee una energía cinética que la hará subir hasta
una altura H, en presencia del campo gravitacional, de modo que toda esa energía cinética se
convertirá en energía potencial.
1
m p V 2o, p  m p g H
2
2.
El hilo del péndulo de longitud (L) forma un ángulo  con la vertical y el ángulo se obtiene de la
relación,
Cos   1 
H
L
3.
La velocidad del carrito antes y después de la colisión se mide experimentalmente, como se
describe en el procedimiento.
El
Cos 
se expresa finalmente por la relación,
Cos   1 
1  mc
2 g  m p




2
 Vo,c

 V f ,c 2
4.
L
La pérdida de energía cinética se expresa como una fracción, la cual esta dada por la relación,
F 
1 / 2 M c Vc2, f
 1 / 2 m p V p2,o
1 / 2 M cVc2,o
x 100
5.
PROCEDIMIENTO
1. Proceda a armar el equipo como se indica en la Figura No. 1. Recuerde que no debe
deslizar el carrito sobre la pista, cuando el soplador está apagado.
2. La distancia entre las fotoceldas debe ser aproximadamente igual a 50 cm, entre caras
interiores.
3. La primer fotocelda debe encontrarse aproximadamente a 20 cm de la masa del
péndulo, mientras que la segunda a 30 cm de la masa pendular.
4. La longitud del péndulo debe ser de aproximadamente 47 cm y la masa de ese péndulo
debe ser impactada directamente por el carrito.
5. Coloque el disparador en la posición tres (la posición más a la izquierda) y dispare el
carrito, mida su velocidad instantánea antes y después de la colisión. Pídale a uno de
sus compañeros que lea el ángulo barrido por el péndulo.
6. Mida la masa del carrito y la masa del péndulo.
7. Repita 10 veces. Complete la tabla No.1
46
8. Coloque el disparador en la posición central y de nuevo repita el paso número cinco.
Complete la Tabla No. 2.
Tabla No.1
Vo,c
Vf,c
Vo,p
Ko,c
Kf,c
Ko,p

m/s
m/s
m/s
Joule
Joule
Joule
Grados
Vo,c
Vf,c
Vo,p
Ko,c
Kf,c
Ko,p

m/s
m/s
m/s
Joule
Joule
Joule
Grados
F
%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabla No.2
F
%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9. Confeccione una hoja Excel para los cálculos de las energías cinéticas y para el cálculo
de F. Esto usted debe realizarlo durante la sesión de laboratorio.
10. Realice los cálculos de las velocidades promedio y de las energías promedio y exprese
las desviaciones estándar.
11. Calcule para cada caso el ángulo promedio y su respectiva desviación estándar.
12. Calcule el porcentaje de error entre el ángulo medido experimentalmente y el ángulo
calculado con la ecuación No. 4.
47
13. Estime cuales son las fuentes de error en esta práctica. Consulte a su profesor, si tiene
dudas.
Figura No. 1 Antes de la colisión
Figura No. 2 Después de la colisión
48
FUERZA CENTRÍPETA
OBJETIVOS
1. Estudiar la dependencia de la fuerza centrípeta con el radio, la velocidad angular y la
masa del cuerpo en rotación.
2. Comprender el significado de una fuerza centrípeta.
MARCO TEÓRICO
Al efectuar la suma de fuerzas sobre un cuero, si esa suma de fuerzas es radial, entonces se
dice que la fuerza neta que actúa es una fuerza radial o centrípeta.

F  ma  m  2 R
Como se indica en la ecuación anterior la magnitud de la aceleración es  2 R , siendo , la
velocidad angular de la partícula y R el radio de la órbita que describe la partícula de masa
m .
Ahora, armemos el equipo como se muestra en la figura 1, verifique que la correa se encuentra
tensa.
I Dependencia de la fuerza centrípeta de la masa
El esta parte del experimento, se debe demostrar que la fuerza centrípeta varía linealmente con
(m), siempre que se mantengan constantes, tanto la velocidad angular como el radio de la
orbita que describe la partícula, en nuestro caso un carrito, montado sobre una plataforma.
Observe que el carrito está unido con el dinamómetro a través de una cuerda de 26 cm, la cual
pasa a través de una polea de baja fricción. La cuerda posee un saca-vueltas que evita que la
cuerda se retuerza sobre si misma.
1. Previo a la práctica debe medir la masa del carrito que se encuentra sobre la mesa
giratoria.
2. Haga girar el sistema con una velocidad angular baja y lea el valor de la fuerza
centrípeta en el dinamómetro. Anótela. Proceda a apagar el motor sin alterar el valor de
la velocidad angular.
3. Manualmente desplace el carrito hasta que el dinamómetro de la lectura leída en el
párrafo anterior y con ayuda de una cinta adhesiva trace una línea que indique el radio
que describe el carrito, con ayuda de la aguja roja lateral.
49
4. Coloque una masa de 20 g sobre el carrito y hágalo girar con la velocidad angular que
se escogió, note que la aguja roja indica otro valor para el radio. Ajuste el radio
desplazando el dinamómetro hacia arriba o hacia abajo. El valor de la velocidad
angular se verifica a través del período de revolución del carrito, el cual se mide con el
contador de tiempo. La velocidad angular está dada por:
 
2
T
5. Haga variar la masa de 20 en 20 g y haga las lecturas de la fuerza centrípeta y
complete la tabla No.1
Tabla No. 1
Fuerza
Radio
Masa
Período
Velocidad
Angular
m2
K
6. Como el radio y la velocidad angular permanecieron constantes, esto nos permite
escribir F = K m, lo que nos permite observar que entre estas dos variables se
establece una relación lineal. Grafique la Fuerza en función de la masa, donde K = m
2.
7. Calcule el porcentaje de diferencia entre k y m 2.
II Dependencia de la fuerza centrípeta de velocidad angular.
En este caso debemos mantener constante la masa del carrito y el radio de la orbita que
describe. La masa que se encuentra en rotación es la masa del carrito y la masa adicional que
le colocaremos, en este caso 40 g. Recuerde que el radio de la orbita se ajusta con el
dinamómetro, subiéndolo o bajándolo. La velocidad angular la puede variar directamente con
los botones que para este efecto posee el motor. Mida los períodos, calcule la velocidad
angular y anote sus resultados en la tabla adjunta.
En este caso, F = k 2, siendo k = m R.
50
Tabla No. 2
Fuerza
Radio
Masa
Período
V. Angular
mR
K
1. Grafique la fuerza en función de 2. La pendiente de esta línea recta debe ser
precisamente el producto de la masa total girando y el radio de la orbita.
2. Calcule el porcentaje de diferencia entre K y el producto m.R
II Dependencia de la fuerza centrípeta del radio.
1. igual que en los casos anteriores, ahora debemos mantener constante tanto el período
de revolución como la masa del carrito con su masa adicional, con un valor de 40 g.
2. a variar el período de revolución a través de los botones del motor, para construir una
gráfica de la fuerza en función del radio. Para medir el radio, debe seguir el
procedimiento descrito en el apartado 3 del punto I.
En este cado,
F=kR
Siendo K = m2.Complete la Tabla No. 3
Tabla No. 3
Fuerza
Radio
Masa
Período
V. Angular
2
m
K
3. Grafique la fuerza en función de R, obtenga la pendiente y compare ese valor con los
valores de m 2.
51
Cuestionario:
1. Comente sobre los orígenes de las fuentes de error en cada una de las tres partes de la
práctica. Coméntelos.
2. Emita el concepto de fuerza centrípeta y de dos ejemplos de fuerzas de la naturaleza
que se consideran centrípetas.
3. Resuelva el problema a No. 11, página 276, del Libro de Resnick, comente el
significado de la fuerza centrípeta.
4. Desde sus resultados, se puede concluir entonces que:

F  ma  m  2 R
52
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO
CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO
Objetivos:
- Hacer una analogía entre este movimiento y otros ya estudiados.
- Presentar al estudiante un experimento donde intervienen diversas variables que se
modifican a la vez.
- Obtener experimentalmente cómo se relacionan operacionalmente los parámetros que
definen el movimiento circular uniformemente acelerado con la causa de este tipo de
movimiento.
Equipo:
Cojinete para aire
Disco de rotación graduado
Diafragma para disco de rotación
Polea de precisión
Porta masas
- 30 masas de un gramo
-
- Soplador
- 2 Fotoceldas
- 2 Contadores Digitales
- Nivel de Burbuja
- Vernier
Teoría:
¿Qué tienen en común los movimientos de un disco compacto, una rueda de la fortuna una
sierra circular y un ventilador? Ninguno puede representarse como un punto en movimiento;
todos implican un cuerpo que gira sobre un eje que está fijo en algún marco de referencia
inercial. La rotación ocurre en todas las escalas, desde el movimiento de los electrones en los
átomos hasta el de las galaxias. Necesitamos métodos generales para analizar el movimiento
de un cuerpo en rotación.
Al analizar el movimiento de rotación, pensemos primero en un cuerpo rígido que gira sobre un
eje fijo, es decir, un eje que está en reposo en al aún marco de referencia inercial y que no
cambia de dirección respecto al marco. El cuerpo podría ser el eje de un motor, un trozo de
asado en una brocheta, o una rueda de la fortuna.
Podemos describir el movimiento de rotación de un cuerpo rígido en términos del cambio de
, de forma análoga a como describimos el movimiento rectilíneo en las primeras prácticas.
Definimos la velocidad angular media media del cuerpo en el intervalo t = t2 – t1 como el
cociente del desplazamiento angular  = 2 - 1 y t:
media 
 2  1
t2  t1


t
(1)
53
Si la velocidad angular de un cuerpo cambia, tiene una aceleración angular.
las velocidades
angulares instantánea en los
momentos t1 y t2, definimos la aceleración angular
media  en el intervalo t = t2 - t1 como el cambio de
la velocidad angular dividida entre t:
 

 2 1
t2 t1
t
Si 1 y 2 son
(2)
que escrito de otra forma tenemos (con t1 igual a cero
y t2 le llamaremos t ):
Figura 1: Estos corredores
no salen del mismo punto a
causa del movimiento
 2  1   t (3)
circular
Seguramente usted ya se percató de que estamos usando letras griegas para las cantidades
de la cinemática angular:  1 para la posición,  para la velocidad y  para la aceleración
angular. Éstas son análogas a x para la posición, v para la velocidad y a para la aceleración,
respectivamente, en el movimiento rectilíneo. En ambos casos, la velocidad es la razón de
cambio de la posición respecto al tiempo, y la aceleración es la razón de cambio de la
velocidad respecto al tiempo. Usaremos los términos velocidad lineal y aceleración lineal para
las cantidades que definimos en los prácticas anteriores, para asegurar una distinción clara
entre éstas y las cantidades angulares presentadas en este práctica.
En el movimiento de rotación, si la aceleración  es positiva, la velocidad  aumenta; si  es
negativa,  disminuye. La rotación se está acelerando si  y  tienen el mismo signo, y
frenando si tienen signos opuestos.
Procedimiento:
1. Revise que su equipo de laboratorio este armado en forma semejante a como se indica en
la figura 2. Asegúrese de que el disco esta nivelado. Haga las conexiones necesarias para
medir los tiempos respectivos, según se pide a continuación.
2. A continuación se procederá a realizar medidas para obtener la relación experimental entre
los parámetros F,, , r y .
1
La ecuación que describe como varia el ángulo con el tiempo es la siguiente:
1
 2  1  1t  t
2
2
54
Determinación de las relaciones experimentales  = f (t) y  = f (t).
3. Mida el ángulo que cubre la pestaña (diafragma)   = ______ º = _____rad.
4. Para una masa fija (puede ser 10 g) y un radio de giro constante, proceda a medir el
tiempo t que tarda en recorrer el diafragma (o pestaña) el ángulo que existe entre las dos
fotoceldas F1 y F2, además mida el tiempo t que se demora en atravesar la pestaña la
foto celda F2. Recuerde que F1 esta colocada en el punto de partida, de tal forma que  i
= 0 y  i = 0.
5. Modifique el ángulo  que se tiene entre las fotoceldas, para ello desplace la fotocelda F2 a
una nueva posición, mantenga fijos el radio y la masa. (usted decide los ángulos).
Equipo para Ecuaciones del Movimiento Circular Uniformemente Acelerado
55
Tabla 1. Movimiento circular no uniforme. Masa: m =_______g; radio: r= ______ m.
ángulo

(rad)
Tiempo
t
(s)
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t9
t10
tiempo
promedio
tpromedio
(s)
Tabla 2. Movimiento circular no uniforme. Masa: m = ______g: radio: r =_____ m.
ángulo

(rad)
Tiempo
t
(s)
t1
t2
t3
t4
t5
Determinación de las relaciones experimentales
t6
t7
t8
t9
t10
tiempo
promedio
promedio
(s)
 = f (r) y  = f (F).
6. Para un radio fijo (distancia que existe desde el punto de donde tira la cuerda y el centro de
giro) y un ángulo fijo entre las foto celdas, proceda a medir el tiempo t y t según se indico
anteriormente,
varié la masa y mida de nuevo los tiempos, anote su resultados en la
tabla 3 y 4, recuerde no sobrepasar más de 30 gramos en el porta masas.
56
Ángulo:  = _______ rad;
Tabla 3. Aceleración angular.
Masa
m
(g)
radio: r = ______m
Tiempo
t
(s)
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t9
t10
tiempo
promedio
tpromedio
(s)
Tabla 4. Aceleración angular uniforme. ángulo:  = _______ rad; radio: r = _____m
Masa
m
(g)
Tiempo
t
(s)
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t9
t10
Tiempo
promedio
tpromedio
(s)
7. Ahora investigaremos la relación que existe entre la aceleración angular y el radio de giro,
para ello mantenga fijo el ángulo que existe entre las fotoceldas y, la masa que coloca en
el porta masas, para cada uno de los tres posibles radios mida el tiempo t y t, anote los
resultados en la tabla 5 y 6.
Resultados:
Con la información de la tabla 1 (columna 1 y 12) construya una gráfica de  = f ( t ). ¿Se
asemeja al comportamiento predicho por la teoría? Explique, si es necesario determine
incertidumbres. A partir de esta gráfica determine la aceleración angular (). (si no sabe como,
observe la nota 1 al pie de página de esta práctica).
57
Tabla 5. Aceleración angular uniforme. Angulo:  = ______ rad; masa: m = ____g
radio
r
(m)
Tiempo
t
(s)
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t9
t10
Tiempo
promedio
tpromedio
(s)
Tabla 6. Aceleración angular uniforme. Ángulo:  = _____ rad; masa: m =______g
radio
r
(m)
Tiempo
t
(s)
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t9
t10
Tiempo
promedio
tpromedio
(s)
A partir de la información de la tabla 2, determine la velocidad angular final 2, recuerde que
ella se obtiene de la misma forma en que se ha determinado la velocidad lineal en las otras
prácticas, o sea 2 = (   /  t) y realice una gráfica en la que se muestre a  = f ( t ).
(Recuerde la diferencia entre t y  t ). ¿Qué representa la pendiente en esta gráfica? ¿Debe
ser su intercepción el origen de coordenadas? Explique.
Utilizando los datos de la tabla 4 determine la velocidad angular de la misma forma en que lo
hizo en el punto anterior. Luego determine la aceleración angular  con ayuda de la ecuación
2 y usando  t = t (tabla 3 columna 12), Luego proceda a realizar una gráfica en la que se
muestre  = f (m). (2)
2
Más adelante en su curso de teoría o en la práctica siguiente conoceremos los momentos de
inercia, y aplicando una suma de momentos de torsión se puede plantear una analogía entre
la rotación y la segunda ley de Newton para un cuerpo rígido, algo así:
=I
rxF=I
r m g sen 90 = I 
Donde I es el momento de inercia del disco de radio r, para más información ver página. 297
Vol. 1 de Física Universitaria de Sears, Zemansky, Addison Wesley Longman, novena edición.
58
Utilizando los datos de la tabla 6 determine la velocidad angular [2 = (   /  t)].
calcule la aceleración angular  con ayuda de la ecuación 2 y usando t = t,
Luego
Luego proceda a realizar una gráfica en la que se muestre  = f (r). ¿Qué concluye de las dos
gráficas anteriores?
Cuestionario:
1. ¿Cumple el plano experimental con lo que la teoría propone? Explique.
2. Demuestre que si el producto radio (r) de giro por la fuerza (F) (que en este caso se
puede utilizar en forma indirecta la masa m) es constante, la aceleración angular
también permanecerá constante.
3. A partir de las gráficas del  = f (t) y  = f (t) obtenga la aceleración angular (), si
existe diferencia entre los dos valores determinados, explique a que se debe.
4. Compare por medio de las ecuaciones la similitud que existe entre el movimiento
rectilíneo uniformemente acelerado y el movimiento circular uniformemente acelerado.
5.
¿Por qué los corredores (ver figura 1) que realizan una prueba en una pista circular, no
tienen el mismo punto en común?
6. De tres justificaciones de la utilidad que tiene en su carrera el conocer sobre
movimiento circular uniforme.
59
MOMENTO DE INERCIA I
Objetivos:
- Plantear la primera ley de Newton para el movimiento rotatorio.
- Comparar los momentos de inercia determinados experimentalmente con los que
plantea la teoría.
Equipo:
- Vernier
- Pie cónico
- Cojinete de aire
- Disco de rotación con diafragma
- Porta masas
- Barrera foto eléctrica
- Polea de precisión
- Soplador
- 2 contadores digitales
- Balanza
Teoría:
La primera ley de Newton tiene su equivalente rotatorio en el concepto que afirma que un
cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo, mientras que un cuerpo en movimiento
giratorio uniforme tiende a permanecer con ese movimiento, excepto cuando actúa sobre él un
par de torsión. Recordemos que las dos
condiciones que determinan a los sistemas sin aceleración (equilibrio) son F
= 0 y  = 0. La fuerza es la que cambia
todos los movimientos.
En forma
específica, el momento de la fuerza es
el par de torsión, y el par de torsión es
el que cambia el movimiento rotativo.
Figura 1: La reacción al cambio permite que un
cambio del momento de inercia cambie la
velocidad angular.
La resistencia de un objeto al cambio
del movimiento se llama inercia, y esa
resistencia
está
comprendida
físicamente en la masa inercial, o
masa, para abreviar.
Esta misma propiedad de la materia
puede presentarse como resistencia
al cambio del movimiento rotativo, y entonces se le llama inercia rotacional o inercia rotativa.
La inercia rotacional se asocia con la cantidad de masa y también su distribución con respecto
al eje de rotación. Euler llamó momento de inercia a este concepto compuesto.
Al cerrar una puerta pesada, o hacer girar una rueda masiva, es claro que si ha de acelerar su
60
movimiento de giro, se debe aplicar una fuerza, con determinado brazo de momento o brazo de
palanca. Debe existir un par de torsión neto.
Imaginemos una partícula m con su movimiento restringido a un círculo de radio r, en torno a
un eje que pase por O, bajo la influencia de una fuerza tangencial F aplicada (Fig. 1). La
partícula estará sometida a una aceleración tangencial que, de acuerdo con la segunda ley, es
o bien, sustituyendo aT = r ,
F = m aT
(1)
F=mr
(2)
El par originado por F, respecto a O es r F, y multiplicando ambos lados de la ecuación anterior
por r se obtiene
0 = r F = m r2 
(3)
Comparándola con F = m a, esta ecuación nos sugiere que el equivalente rotativo de la masa
(es decir, de la inercia) es la cantidad m r2, que es el momento de inercia de un punto
material respecto a un eje dado; se representa por I = m r2, por lo que 0 = I , en forma
semejante F = m a.
Un cuerpo rígido está formado por muchas partículas interactuantes. Cuando ese cuerpo se
pone a girar, la ecuación (3) describe a cualquiera de sus partículas componentes. La suma de
todos los pares de torsión que actúan sobre todas las partículas componentes da como
resultado una aceleración angular general del cuerpo tal que:
 0 = ( m r2) 
(4)
La sumatoria de la derecha es el momento de inercia del cuerpo respecto al eje de rotación
que pasa por O, y en consecuencia
I =  m r2
(5)
Figura 2: Una partícula de masa m, girando en un circulo de radio r, en torno al punto O.
Cada partícula (1, 2, 3,...) con su propia masa y distancia perpendicular a O tiene su propio
momento de inercia. Todos los momentos de inercia se pueden sumar, y entonces I = m 1r12 +
m2r22 + m3r32 + m4r42 +...
61
Casi siempre se emplea cálculo infinitesimal para encontrar momentos de inercia, pero
nosotros emplearemos las tablas que encontramos en los libros, que contienen lista de valores
de I para algunos cuerpos uniformes y simétricos con respecto a varios ejes. Cuanto más masa
haya y cuanto más alejada esté del eje, será mayor I y será mayor la resistencia al cambio del
movimiento giratorio.
En nuestro experimento utilizaremos un método indirecto para determinar el valor del momento
de inercia, de un balance de fuerzas en el sistema:
 F  ma  ma
T
mg  T  maT
(6)
T r  I
Sustituyendo, se obtiene
1


1 I  r
 
m  gr  g
(7)
Donde aT es la aceleración tangencial, I el momento de inercia del disco, T la tensión de la
cuerda,  es la aceleración angular del disco.
Por medio de la aplicación de la ecuación 7 podremos determinar el momento de inercia del
disco.
Procedimiento:
1. Revise que su equipo de laboratorio este armado como se indica en la figura 3, recuerde
nivelar el disco.
2. Conecte a un contador dos fotoceldas, de forma tal que se inicie el conteo del tiempo al
iniciarse el movimiento del disco al ser liberado (lugar donde se coloca la primera fotocelda,
F1), y que se detenga al final de recorrer un ángulo  (valor recomendado es de 5/12 rad
= 75º), lugar donde esta colocada la otra foto celda, F2, este tiempo le llamamos (t).
62
Figura 3: Momento de inercia
3. Conecte también la fotocelda F2 al otro contador, de manera que se pueda medir el tiempo
que demora en pasar el diafragma por ella, este tiempo le llamaremos t.
4. Mida 10 veces el tiempo t y el tiempo t, para cada masa seleccionada y mantenga el radio
de aplicación constante, al igual que el ángulo entre las dos barreras fotoeléctricas.
5. Repita lo anterior para siete valores de masa diferentes. Anote sus resultados en la tabla
1. (Recuerde que el radio de aplicación es el mismo, al igual que el ángulo).
63
Diafragma de  = _________ rad.
Radio r =
cm.
Ángulo entre fotoceldas  = __________rad.
Tabla 1: Momento de Inercia.
Masa colgada
m
(kg)
Tiempo
t
(s)
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t9
Promedio
tprom
(s)
t10
Tabla 2: Momento de Inercia
Diafragma de  = __________ rad
Radio r =
m.
Ángulo entre fotoceldas  = __________rad.
Masa colgada
m
(kg)
Tiempo
t
(s)
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t9
t10
Promedio
tprom
(s)
6) Cambie de radio y repita los puntos 1 al 5, anote sus resultados en las tablas 3 y 4.
7) Cambie al tercer
radio y repita los puntos 1 al 5, anote sus resultados en las tablas 5 y 6.
64
Diafragma de   = __________ rad
Radio r =
m.
Ángulo entre fotoceldas  = __________rad.
Tabla 3: Momento de Inercia.
Masa colgada
m
(kg)
Tiempo
t
(s)
t1
t2
t3
t6
t7
t8
t9
t10
Tiempo
t
(s)
t1
t2
Tabla 5: Momento de Inercia.
Radio r =
m.
Masa colgada
m
(kg)
t5
Diafragma de   = _________ rad.
Ángulo entre fotoceldas  = __________rad.
Tabla 4: Momento de Inercia.
Radio r =
Masa colgada
m
(kg)
t4
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t9
t10
t2
Promedio
tprom
(s)
Diafragma de   = __________
Ángulo entre fotoceldas  = __________rad.
Tiempo
t
(s)
t1
Promedio
tprom
(s)
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t9
t10
Promedio
tprom
(s)
65
Diafragma de   = _________ rad.
Radio r =
m.
Ángulo entre fotoceldas  = __________rad
Tabla 6: Momento de Inercia.
Masa colgada
m
(kg)
Tiempo
t
(s)
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t9
t10
Promedio
tprom
(s)
66
Resultados:
Con los datos de los cuadros anteriores construya una grafica de (1/m) contra (1/)
(columnas 4 y 7 de la tabla 7), una para cada radio r, realícelas en una misma hoja. Las
siguientes tablas (7 y 8) le pueden ayudar a resumir sus resultados.
Tabla 7: Resumen el experimento.
Radio de
aplicación
r
(m)
Ángulo

(rad)
Masa
m
(kg)
Inverso de
masa
1/m
(1/kg)
Velocidad
angular final*
f
(rad/s)
Aceleración
angular**

2
(rad/s)
Inverso de
aceleración
1/
2
(s/rad)
*f =  / t : **  = (f - i ) / t
A partir de cada una de las gráficas anteriores y haciendo uso de la nota teórica de esta
práctica determine el valor del momento de inercia del disco que usted ha empleado en esta
práctica, compare dichos valores con el valor teórico. De paso determine (intercepto en las
gráficas anteriores) también el valor de la aceleración de la gravedad terrestre g, anótelo en la
tabla 8, de todas formas es un dato necesario para determinar el momento de inercia.
67
Tabla 8: Valores para el momento de inercia del disco.
Procedencia
Teórico*
Aceleración de la gravedad
g
2
(m/s )
Valor de g
% de error
Momento de inercia
I
2
(kgm )
% de error
Valor de I
9,81
radio 1
radio 2
radio 3
* I = ½ M R2 con R: es el radio del disco, no el de aplicación
Cuestionario:
1. Que significado físico tiene la pendiente y la intercepción en cada una de las graficas
elaboradas.
2. ¿Qué importancia tiene el nivelar el disco empleado en esta práctica?
3. ¿Qué importancia tiene el colocar la primera fotocelda F1 al inicio del movimiento?
4. ¿Tiene algún efecto importante en los resultados el mantener constante el ángulo?
¿Serían distintos si el ángulo fuera diferente en cada uno de los treinta eventos?
5. Cuáles son las principales fuentes de error en este experimento? Explique.
68
MOMENTO DE INERCIA 2
Objetivo:
- Comparar los momentos de inercia determinados experimentalmente con los que
plantea la teoría para diferentes sólidos.
.
Equipo:
-
Pie cónico
- Cables de conexión
Resorte de espiral
- Nivel
Esfera, cilindro sólidos
- Balanza
Regla graduada
- Contador digital
Dinamómetro
- Barrera fotoeléctrica
Cilindro hueco y varilla con masas puntuales
Teoría:
La relación entre el momento angular
L de un sólido rígido en un sistema de coordenadas
estacionarias con origen en el centro de gravedad y al momento de fuerza
es:


actuando en él,
dL
dt
(1)
El momento angular se expresa en términos de la velocidad angular  y el tensor2 de inercia Î:
L  Ì 
En el presente experimento como  solo tiene dirección en el eje principal de inercia,
tiene solamente una componente:
LZ  I Z  
(2)
L
(3)
donde IZ es la componente z del tensor principal de inercia.
2
Un tensor es una cantidad con componentes de dos índices; por tanto, una componente del tensor T es
Tij, donde i y j pueden tomar los valores 1,2, y 3.
69
Donde  es el ángulo de rotación.
d
d 2
TZ  I Z
 IZ 2
dt
dt
(4)
El momento de fuerza retardador del resorte experimentalmente esta dado por la ley de Hooke
para un resorte en espiral por:
Z = -   
(5)
Donde  es la constante de restauración para el resorte.
La ecuación de movimiento para el movimiento oscilatorio esta dada por:
d 2 D
  0
d 2t I Z
(6)

2  f
IZ
(7)
y la frecuencia angular  está dada por:

por lo que la frecuencia viene expresada por:
f 

1
2
IZ
(8)
y el periodo de este movimiento, que es el inverso de la frecuencia, esta dado por:
IZ

T  2
(9)
De la ecuación (4) obtenemos el momento de inercia del sólido rígido, a lo largo del eje
principal de inercia, dado que la velocidad angular tiene esa dirección, está es el eje z.
Entonces,
2
T  
IZ    2
2 
(9.a)
70
Procedimiento:
1) La instalación del equipo se muestra en la figura 1. Revise que su equipo se encuentre
armado de igual forma.
Figura 1: Equipo de laboratorio
Momento angular de restauración
2) Para medir el momento angular de restauración, sujete el disco al tornillo central del
soporte. Coloque debajo del soporte el disco graduado.
3)
Con el dinamómetro enganchado en el tornillo y siempre perpendicular al radio del
disco, se rota el disco de 15 º en 15 º hasta un máximo de 90º. En cada caso se mide
la fuerza indicada por el dinamómetro, así como el ángulo rotado. Tenga especial
cuidado de que el ángulo que se forma entre el dinamómetro y la varilla sea siempre de
90º, o sea perpendicularmente entre ellos. Anote sus resultados en la tabla 1.
Tabla 1. Constante del resorte
Medida
1
2
3
4
5
6
Ángulo

(rad)
/12
Fuerza
F
(N)
1
Torque

(Nm)
/6
/4
/3
5/12
/2
1
Recuerde que II = r  F = r F sen, donde  es el ángulo que se tienen entre el dinamómetro
y la varilla, que para nuestro experimento es 90º.
71
Periodo de oscilación
4) Para medir el período de oscilación de cualquiera de los cuerpos (esfera, cilindro
sólido y hueco, disco), coloque la aguja diseñada para tal fin entre el cuerpo y el eje del
resorte.
5) Proceda ha colocar la fotocelda de forma que la aguja cuando esta en reposo quede
dentro de la misma, rote el sólido un ángulo  en sentido horario y mida el semiperíodo, repita este procedimiento cuatro veces más, luego haga lo mismo pero gire el
sólido un ángulo -. Anote sus resultados en las tablas siguientes. Escoja otro valor
para el ángulo y proceda hasta completar la tabla indicada para cada sólido.
Tabla 2. Momento de inercia de una esfera
Semi – período
ST
(s)
Ángulo
+
(rad)
ST1
ST2
ST3
ST4
Semi – período
ST
(s)
Ángulo
-
(rad)
ST5
ST
ST1
PROM
ST2
ST3
ST4
ST5
ST
PROM
T
(s)
1
2
3
4
PERÍODO PROMEDIO
PERÍODO PROMEDIO
Tabla 3. Momento de inercia de un cilindro sólido
Semi – período
ST
(s)
Ángulo
+
(rad)
ST1
ST2
ST3
ST4
Semi – período
ST
(s)
Ángulo
-
(rad)
ST5
ST
PROM
ST1
ST2
ST3
ST4
ST5
ST
PROM
T
(s)
1
2
3
4
PERÍODO PROMEDIO
PERÍODO PROMEDIO
72
Tabla 4. Momento de inercia de un cilindro hueco.
Semi – período
ST
(s)
Ángulo
+
(rad)
ST1
ST2
ST3
ST4
Semi – período
ST
(s)
Ángulo
-
(rad)
ST5
ST
ST1
PROM
ST2
ST3
ST4
ST5
ST
PROM
T
(s)
1
2
3
4
PERÍODO PROMEDIO
PERÍODO PROMEDIO
Tabla 5 Momento de inercia de un disco.
Semi – período
ST
(s)
Ángulo
+
(rad)
ST1
ST2
ST3
ST4
Semi – período
ST
(s)
Ángulo
-
(rad)
ST5
ST
ST1
PROM
ST2
ST3
ST4
ST5
ST
PROM
T
(s)
1
2
3
4
PERÍODO PROMEDIO
PERÍODO PROMEDIO
6) Para el caso de las masas puntuales que se encuentra sobre la varilla, haga variar la
posición de ellas (siempre colocadas en forma simétrica). Mida el período de
oscilación para varias colocaciones de las masas puntuales, rote el resorte 180 º en
sentido horario y anti-horario en cada caso. Complete la tabla siguiente.
Tabla 6: Momento de inercia de masas puntuales
Semi – período
ST
(s)
Horario
ST1
ST2
ST3
Anti-horario
ST4
ST5
ST6 ST7
ST8
ST9
ST10
ST
prom
Separación
Momento
entre
de inercia
masas
I
d
2
(kgm )*
(m)
1
2
3
4
* Recuerde que le momento de inercia teórico de una masas puntuales se determina como: I= m d2,
en este caso no lo calcule así, haga uso de la ecuación (9.a)
73
Resultados:
Con la información de la tabla 1, realice una gráfica (ángulo contra torque) que le permita
calcular la constante del resorte, si le sirve en algo, observe la ecuación (5).
Con la información anterior y la de las tablas 2, 3 ,4 y 5 y la ecuación (9 a) obtenga el
momento de inercia de cada sólido, anote los resultados en la tabla 7
Tabla 7. Momentos de inercia de diferentes cuerpos
Cuerpo
Momento de Inercia
I
(kgm2)
Cilindro sólido
Cilindro hueco
Esfera sólida
Disco
- Con la información de la tabla 5 construya una gráfica entre el momento de inercia y la
separación entre las masas y, a partir de la misma determine el valor de las masas
puntuales.
Cuestionario:
- Determine el porcentaje de error en las mediciones de los momentos de inercia de los
cuerpos anteriores, al compararlos con los valores teóricos determinados por medio de
las ecuaciones dadas en el curso teórico de Física General 1.
74
TEOREMA DEL EJE PARALELO
Objetivos:
Determinar la variación del periodo de oscilación de un péndulo físico cuando se cambia
el lugar del eje de rotación.
-
Medir periodos de oscilación de un péndulo de torsión.
-
- Emplear el Teorema del Eje Paralelo para determinar el momento de inercia de un
disco.
Equipo:
-
Pie cónico
- Cables de conexión
Resorte de espiral
- Nivel
Disco con perforaciones
- Pin para disco con perforaciones
Regla graduada
- Contador digital
Dinamómetro
- Barrera fotoeléctrica
Balanza y contra - peso de 500 g para balanza
Teoría:
En la práctica anterior apuntamos que un cuerpo no
tiene un solo momento de inercia. De hecho, tiene un
número infinito, porque el número de ejes sobre los que
podría girar es infinito. Sin embargo, hay una relación
simple entre el momento de inercia Icm de un cuerpo de
masa M alrededor de un eje que pasa por el centro de
masa y el momento Ip alrededor de cualquier otro eje
paralelo al original pero desplazado una distancia d.
Esta relación, llamada teorema de los ejes paralelos,
dice que:
Ip = Icm + Md2
(1)
El péndulo de torsión. En la Figura 1 se muestran
esquemáticamente dos ejemplos de los denominados
péndulos de torsión. Se une una fibra vertical a un sólido
rígido como por ejemplo un disco o una varilla. El disco de la
Figura 1.a puede girar en el plano horizontal en torno al eje
de la fibra vertical, donde el ángulo  nos da la orientación
del disco respecto a la orientación de equilibrio. En el equilibrio,
(a)
(b)
Figura 1. Una fibra que está
torzonada un ángulo θ ejerce un
momento de fuerza restaurador
(a) sobre un disco horizontal y
(b) sobre una varilla horizontal
 = 0 y no hay torsión en la
fibra. Cuando se produce una torsión de ángulo , la fibra ejerce un momento sobre el
75
disco que tiende a restituirlo a su orientación de equilibrio. Para la mayoría de las fibras este
momento es proporcional al ángulo de torsión , de forma que si elegimos el eje z como la
vertical a lo largo de la fibra, se tiene
z =  
(2)
que nos da la componente z del momento de fuerza, donde  se denomina constante de
torsión de la fibra (en nuestro caso la del resorte).
Supongamos que solamente la fibra ejerce un momento de fuerza sobre el disco, z = . Si Ip
es el momento de inercia del disco en torno al eje de la fibra, la Ecuación 4 y 5 de la práctica
anterior nos da -   = Ip z, o sea
z = ( -  ) / Ip
(3)
Como esta ecuación es de la forma z = - 2 , el disco experimenta un M.A.S. en la
coordenada angular  y 2 =  / Ip, de aquí que como  = 2 / T, tenemos:
T  2
Ip

(4)
La dinámica de los cuerpos rígidos (a la que nos hemos dedicado en la práctica anterior y la
presente) es importante en el diseño de diversos tipos de maquinaria, desde sistemas de
poleas hasta automóviles e instrumentos de aviación, desde licuadoras hasta sierras Skil. Los
métodos que se describen en esta práctica, también ayudan a comprender fenómenos
astronómicos que van desde los movimientos de la Tierra hasta la radiación procedente de
objetos exóticos.
En el diseño de maquinaria, con frecuencia basta el modelo de cuerpo rígido como punto de
partida para calcular las desviaciones del comportamiento rígido. Un objeto que gire con
demasiada rapidez se desintegrará, porque las tuerzas internas necesarias para acelerar el
borde del cuerpo se hacen mayores que las que puede ejercer el material. Podemos usar un
modelo de cuerpo rígido para calcular las tuerzas internas necesarias, pero se requiere de más
conocimientos sobre las propiedades de los materiales, para determinar si un cuerpo puede
proporcionar esas tuerzas.
Procedimiento:
1. Revise que su equipo de laboratorio este armado como se indica en la figura 2, recuerde
nivelar el disco.
Figura 2: Teorema del eje paralelo
76
Determinación de la constante de torsión del resorte.
2. Con ayuda el dinamómetro (recuerde que este se coloca en forma tangente al disco y en el
plano del mismo) mida la fuerza F necesaria para hacer girar el disco un ángulo (), mida
también la distancia existente desde el eje del disco y el lugar donde esta colocado el
dinamómetro (apoye el disco al resorte de torsión por el orificio central, y el dinamómetro en
el extremo de este). Reporte su información en la tabla 1.
Tabla 1: Cálculo de la constante del resorte helicoidal
Radio = ______ m
Fuerza
F
(N)
Ángulo

(rad)
/12
/6
/4
/3
5/12
NOTA: Por favor no utilice ángulos superiores a 90º. Utilizar ángulos mayores provoca
daño en el resorte y a su vez evalúa con gran incertidumbre la constante del mismo.
Determinación del momento de inercia del disco, Icm.
3. Conecte a un contador una fotocelda, de forma tal que se inicie el conteo del tiempo al
haberse efectuado un movimiento de un cuarto de periodo, (recuerde que por la naturaleza
del movimiento el contador mide medio periodo)(coloque el diafragma alineado con los
agujeros del disco).
4. Mida 10 veces el tiempo ST (semi-periodo) para cada una de las diferentes posiciones del
eje de oscilación, realice cinco medidas desviando el disco unos 180 º a la izquierda y
luego 5 veces a la derecha. Anote también en la tabla 2 la distancia (d) que existe desde
el centro del disco y la colocación del nuevo eje.
77
Tabla 2: Teorema del eje paralelo
Semi-Periodo
ST
(s)
Distancia
d
(m)
Izquierda
Semi periodo
Promedio
tpromedio
(s)
Derecha
Periodo
T= 2 STprom
(s)
ST1 ST2 ST3 ST4 ST5 ST6 ST7 ST8 ST9 ST10
Resultados:
-
Con la información de la tabla 1 construya una gráfica en la que se muestre la relación
descrita por la ecuación (2), recuerde que el torque se determina como  = r F sen , y en
este caso  = 90 al colocarse el dinamómetro en forma perpendicular al radio (tangente al
disco). A partir de dicha gráfica determine el valor de la constante de torsión. (Utilice el
método de mínimos cuadrados).
-
Con ayuda de la ecuación (4) y la información de la columna 13 de la tabla 2 determine el
valor del momento de inercia Ip, complete la tabla siguiente.
Tabla 3. Resumen de cálculos
Distancia
d
(m)
-
Distancia cuadrada
d
2
(m )
Momento de inercia
Ip
2
(kgm )
Con la información de la tabla anterior y la ecuación (1) construya una gráfica que le
permita determinar el momento de inercia del disco, Icm con respecto a su centro de masa.
Evalué su porcentaje de error comparándolo con el determinado teóricamente (ver
ecuación en práctica anterior, tabla 8), así como el error en la masa del mismo.
78
Cuestionario:
1. Que significado físico tiene la pendiente y la intercepción en cada una de las graficas
elaboradas.
2. ¿Por qué es necesario nivelar el disco empleado en esta práctica?
3. Indique al menos una aplicación práctica del teorema del eje paralelo en su carrera de
estudio.
4. ¿Cuáles son las principales fuentes de error en este experimento? Explique.
79
REFERENCIAS
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experimentos. 2 ed. Prentice Hall Interamericana, S.A. Méjico. 1991.
Bueche, F.. Física General: Serie Schawn. 3 era edición. Méjico. Mac Graw Hill. 1993
Giancoli, P. Física General. Méjico. Prentice Hall. 1994
Gómez, M. Temas de Estadística General. 7 ed. Editorial Universidad de Costa Rica. Costa
Rica. 1995.
Heght, E. Física: álgebra y trigonometría. Volumen 1 y 2. 2ed. International, Thomson Editores,
2000.
Hoel, P. Estadística Elemental. 5 ed. C.E.C.S.A. Méjico. 1986.
Kurtr Gieck. Manual de Fórmulas Técnicas. 19 ed. Alfaomega. Méjico. 1989.
Lea, S. Física: la naturalez de las cosas.
1999.
Volumen 1 y 2. International, Thomson Editores,
Loria, G y Figueroa, R. Guía de Laboratorio para Física para Ciencias de la Vida.
Universidad de Costa Rica. Costa Rica. 2000
Resnick, R. Fundamentos de Física. Méjico. CECSA. 1989.
Sears, Zemansky, Young, Freedman. Física Universitaria, Volumen 1 y 2. 3era edición Méjico,
Addison Wesley Longman. 1996.
Serway, R. Física tomo l 3era edición. Méjico. Mac Graw Hill. 1993.
Villalobos, J. A. Manual de prácticas: Laboratorio de Física II. Editorial Universidad de Costa
Rica. Costa Rica. 1988.
Víquez Carazo, M. Sistema Internacional de Pesos y Medidas. 2ed. Editorial Tecnológica de
Costa Rica. Costa Rica. 1987
80
APÉNDICE 1
PRINCIPIO DE MÍNIMOS CUADRADOS
Todos los procedimientos descritos en las lecciones de cursos anteriores tienen una
característica en común (en lo que se refiere a la obtención matemática de una ecuación): se
basan en el discernimiento visual por parte del experimentador. Así, aunque los procedimientos
se utilicen muy comúnmente y con provecho, son vulnerables a la crítica de que, aun cuando
se apliquen con mucho esmero, no podemos estar bien seguros de la importancia cuantitativa
de los resultados. Sería muy reconfortante que pudiéramos emplear algún procedimiento
matemático para identificar la "mejor" línea para un conjunto de puntos dado (sea está una
recta o una curva), porque entonces nos liberaríamos dé la inseguridad del juicio personal.
Además, podríamos confiar en llegar a predecir según el valor y de una variable conocido el
valor x de la otra variable. Además de poder evaluar la precisión de tal elección.
Este enfoque de la variable
proviene de la conciencia que se tiene de que en la
mayoría de los problemas que se estudian, intervienen muchos factores y que por ello el
análisis simultaneo de varias variables produce una mejor descripción y explicación del
fenómeno. Tal es el caso por ejemplo: de un ingeniero industrial que necesita saber como
afecta la producción en su fabrica la luz disponible en la planta, o bien la cantidad de máquinas
disponibles por etapa del ciclo productivo; o la resistencia que puede tener un puente según la
composición de los materiales de un puente, esto para un ingeniero civil; para un ingeniero
químico, tal vez este desee saber como se afecta la cinética de reacción según la
concentración de un reactivo x, y la temperatura del mismo; y así para cada uno de las distintas
profesiones lograremos encontrar una aplicación.
En todos esos casos es necesario saber cual es la correlación de nuestra regresión
propuesta, Aunque no es fácil hacer una diferencia tajante entre correlación y regresión,
puede decirse que en la correlación
las variables se estudian para descubrir si existe
asociación entre ellas y, en caso que exista medir su grado o intensidad. En la regresión por
otra parte, se estudia la naturaleza de la relación entre las variables y se trata de establecer
una relación funcional que permite predecir una de ellas (variable dependiente) conociendo
81
las otras (variables independientes).
Aquí se hará referencia básicamente a la correlación y regresión lineales simples, es
decir, a métodos y situaciones que involucran únicamente dos variables y en las cuales la
relación que se postula entre las dos variables es lineal (o de alguna forma se puede lineal
izar). Sin embargo, los procedimientos que se presenta puede extenderse fácilmente, con las
modificaciones pertinentes, a situaciones más complicadas, como aquellas en que se estudian
más de dos variables (regresión y correlación múltiples) a aquellas en que la relación funcional
que se supone entre las variables es no lineal.
El procedimiento en cuestión se basa en el principio estadístico de los mínimos cuadrados.
Consideraremos éste en su aplicación restringida para escoger una línea recta que se ajuste a
los valores medidos. Supongamos que tienen un conjunto de n valores de una variable y,
medidos como función de la variable x. Debemos restringirnos al caso especial de que toda la
incertidumbre se limita a la dimensión y: Esto es, los valores de x se conocen exactamente, o al
menos, con una precisión tanto mayor que la de los valores de y, como para poder despreciar
la incertidumbre en la dimensión x. Si no se puede satisfacer esta condición, el tratamiento
sencillo que se explica a continuación no
será válido. La pregunta por contestar
ahora
con
nuestro
procedimiento
matemático es: ¿cuál de todas las líneas
en el plano x - y escogemos como la
mejor?, y ¿qué queremos decir con "la
mejor"?. Ya que como usted observa en
la figura 1, si bien se muestra una
tendencia lineal al iniciar la observación
de puntos en A y terminar en B, pero
infinita cantidad
Figura
1. Ajuste de una línea recta
de líneas podemos trazar tocando unos
o otros puntos manteniendo la condición
de linealidad. El principio de mínimos cuadrados permite hacer esta elección con base en las
desviaciones de los puntos en dirección vertical a partir de las líneas. Sea AB en la figura 1,
una candidata a la categoría de "mejor" línea. Consideremos todos los intervalos verticales
82
entre los puntos y la línea, de los cuales P2Q2 es típico. Definiremos como mejor línea aquella
que minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones como P2Q2.
Nótese que no
tenemos la oportunidad a considerar que un criterio inventado como éste proporcione algún
camino automático a las respuestas "verdaderas" o "correctas". Se trata, simplemente, de una
opción de criterio para optimizar la trayectoria de nuestra línea entre los puntos. Hay que reconocer, empero, que si ofrece algunas ventajas sobre otras posibilidades, como minimizar la
tercera potencia de los intervalos, o la primera, etc. Aunque no hace falta, en general, que nos
ocupemos directamente de la justificación lógica del principio de mínimos cuadrados tal como
lo aplicamos, es interesante darse cuenta de cuál es la base de su validez propuesta. Se puede
probar que el procedimiento de minimizar los cuadrados de las desviaciones da lugar, en
muestreos repetidos, a una menor varianza de los parámetros resultantes, como por ejemplo la
pendiente, que al usar cualquier otro criterio. En consecuencia, tenemos derecho a confiar más
en los resultados obtenidos usando el principio de mínimos cuadrados, que en el caso de
cualquier otro método comparable; de aquí que el uso de este principio esté muy difundido.
Expresemos ahora el principio de mínimos cuadrados en forma matemática. Definimos que la
mejor línea es aquella que lleva a su valor mínimo la suma:
(p Q
i
i)
)2
y deseamos obtener los parámetros, pendiente m e intersección b en las ordenadas al origen,
de esa mejor línea.
Sea la ecuación de la mejor línea:
y=mx+b
La magnitud de la desviación PiQi es el intervalo entre un cierto valor medido yi y el valor de y
en ese punto, para el valor de x.
Este valor y se puede calcular a partir del valor
correspondiente de x como mxi + b, de modo que, si le llamamos yi a cada diferencia,
tenemos:
yi = yi – (mxi +b)
El criterio de mínimos cuadrados nos permite obtener los valores deseados de m y b, a partir
83
de la condición:
 y  mx
i
i
 b  mínimo
2
Y escribimos:
 y  mx
i
 b  M
2
i
Luego, la condición para que sea un mínimo es:
M
0
m
M
0
b
y
Que nos dan como resultado una ecuación para la pendiente y otra para él intercepto,
expresadas así:
m
n  x i y i    x i  y i
n x i2   x i 
2
 x  y   x  x y 
b
n x   x 
2
i
i
i
b
y
i
i
2
2
i
o bien:
i
i
 m x i
n
De esta forma eliminamos la aplicación del juicio personal, lo hemos sustituido por métodos
matemáticos, que da resultados de mayor precisión y exactitud, e inclusive podemos medir la
efectividad que tiene el modelo al predecir los datos que le dieron origen, ello lo hacemos
empleando él cálculo del coeficiente de correlación lineal r:
r
n x y   x  y
i i
i
i
n x 2   x 2  n y 2   y 2 
i  

i
i
i 
 
84
Para interpretar este valor de r y descubrir cuáles valores de r son de esperarse en los diversos
tipos de relaciones entre x y y, se presentan en la Figura 2, algunos diagramas de dispersión
con los valores calculados correspondientes de r. Los primeros cuatro diagramas corresponden
a dispersiones con relación lineal cada vez más acentuada. Con esto se ve que el valor
absoluto de r mide la fuerza de la relación lineal, pero que el signo de r es positivo si y tiende a
crecer al aumentar x, y es negativo si y tiende a disminuir al crecer x. En el sexto diagrama x y
y están fuertemente relacionadas, pero
la relación no es lineal. Este ejemplo
indica bien que r es una medida útil de
lo
estrechamente
que
estén
relacionadas 2 variables sólo cuando
hay una relación lineal entre ellas.
Los diagramas de la Figura 2, junto
con los valores asociados de r, hacen
convenientes dos propiedades de r,
primero, que el valor
debe (r)
satisfacer las desigualdades: -1 < r < 1
y segundo, que el valor de r será igual
Figura 2. Diagramas de dispersión con sus valores de r
asociados
a más 1 o menos 1 si y sólo si todos
los puntos del diagrama se encuentran
sobre una línea recta.
INTERPRETACIÓN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
La interpretación de un coeficiente de correlación como medida de grado de relación lineal
entre dos variables es una interpretación matemática pura y está completamente desprovista
de implicaciones de causa y efecto. El hecho de que 2 variables tiendan a aumentar, o el
disminuir al mismo tiempo no implica que una tenga algún efecto directo o indirecto en la otra.
Ambas pueden estar sometidas a la influencia de otras variables, de manera que resulten con
una estrecha relación matemática. Por ejemplo, en un período de varios años el coeficiente de
correlación entre los sueldos de maestros y el consumo de licor ha resultado ser de 0,98
(situación puramente hipotética). Durante este lapso se ha presentado una tendencia
ascendente en sueldos y salarios de todos los tipos y una
tendencia general a mayores
comodidades de vida. En tales condiciones, los salarios de los maestros también habrían de
85
aumentar Además, la tendencia general de aumento de salarios y poder adquisitivo, así como
el aumento de población, se vería reflejada en un aumento en el Consumo de licor. Así pues, la
alta correlación refleja sólo el efecto común de una tendencia ascendente de las dos variables
Los coeficientes de correlación debe manejarse con cuidado si se va a dar una información
sensata respecto a la relación entre pares de variables. Él utilizarlas correctamente requiere
familiarización con el campo de aplicación, así como con sus propiedades matemáticas.
Los coeficientes de correlación han probado ser muy útiles, por ejemplo, para pruebas
psicológicas y en otros campos en que es importante determinar la interrelación de algunas
variables que se estudian simultáneamente. Así, las correlaciones entre promedios universitarios, de escuela preparatoria, puntuaciones en pruebas de aptitud o de vocabulario y otras
variables, han permitido evaluar la importancia relativa de estos factores respecto al éxito en
estudios universitarios, o bien cuando se tiene en las tendencias productivas de un conjunto de
trabajadores y las estimulaciones y reconocimientos personales que se le den a los
trabajadores, entre otros.
EJEMPLO:
Con objeto de explicar los métodos de regresión, considérese el problema particular de
predecir el rendimiento de los suelos productores de pasto como función de la cantidad de
agua de irrigación aplicada. Los datos en la Tabla 1 representan la cantidad, en centímetros
cúbicos de agua aplicada, y el rendimiento, toneladas, de forraje del terreno de una granja
experimental.
Tabla 1. Rendimiento de una finca productora de pasto
Agua (cm3)
12
18
24
30
36
42
48
Rendimiento
5,27
5,68
6,25
7,21
8,02
8,71
9,25
La gráfica de estos datos se ilustra en la Figura 3. Según esta gráfica, resulta que cantidad de
agua (x) y rendimiento (y) están relacionadas en forma aproximadamente lineal para estos
valores de x. Se ajustará una recta, pues, a este conjunto de puntos para tratar de predecir el
valor de y partiendo del valor de x. Esta línea se ha trazado en la Figura 3.
86
Figura 3: FINCA PRODUCTORA DE
PASTO
RENDIMIENTO %
10
9
8
7
6
5
y = 0,1177x + 3,6682
r = 0,99524
4
3
2
1
0
0
10
En la siguiente tabla
20
30
40
50
CANTIDAD DE AGUA APLICADA (cm3)
60
mostramos los cálculos parciales de la información necesaria para
determinar los valores de m, b y r según las ecuaciones anteriores: (en la última fila aparecen
las respectivas sumas de cada encabezado, color rojo)
Tabla 2. Cálculos intermedios para determinar m, b y r
x
12
18
24
30
36
42
48
y
5,27
5,68
6,25
7,21
8,02
8,71
9,25
x^2
144
324
576
900
1296
1764
2304
xy
63,24
102,24
150,00
216,30
288,72
365,82
444,00
y^2
27,77
32,26
39,06
51,98
64,32
75,86
85,56
210
50,39
7308
1630,32
376,83
m
7 *1630,32  210 * 50,39
 0,117678  0,1177
7 * 7308  (210) 2
50,39  0,1177 * 210
 3,667571429  3,6676
7
7 *1630,32  210 * 50,39
 0,9952
2
2
(7 * 7308  (210) ) * (7 * 376,83  (50,39) )
b
r
De esta forma la ecuación obtenida se muestra en la figura 3.
87
APÉNDICE 2
MEDICIONES E INCERTIDUMBRE
La medición es el proceso de cuantificar nuestra experiencia del mundo exterior. El científico
escocés del siglo XIX, Lord Kelvin, dijo alguna vez: ”Cuando uno puede medir aquello de lo que
está hablando y expresando en números, sabe algo acerca de ello; pero cuando no puede
medirlo, cuando no puede expresarlo en números, su conocimiento es escaso e insatisfactorio:
podrá ser un principio de conocimiento, pero escasamente ha avanzado su conocimiento a la
etapa de una ciencia". Aunque ésta pueda parecer una afirmación un poco exagerada, sigue
siendo cierto que las mediciones constituyen uno de los ingredientes básicos de la
experimentación.
No alcanzaremos un nivel satisfactorio de competencia en la
experimentación sin un conocimiento de la naturaleza de la medición y lo que significa el
enunciado de las mediciones.
Cuando hagamos mediciones e informes de sus resultados se debe tener siempre en cuenta
este punto clave y fundamental: las medidas no son simples números exactos, sino que
consisten en intervalos, dentro de los cuales tenemos confianza de que se encuentra el valor
esperado. El acto de la medición requiere que determinemos tanto la localización como el
ancho de ese intervalo, y lo hacemos utilizando con cuidado la percepción visual cada vez que
hacemos una medición. No existen reglas para determinar el tamaño del intervalo, porque
dependerá de muchos factores del proceso de medición. El tipo de medición, la figura de la
escala, nuestra agudeza visual, las condiciones de iluminación, todas tomarán parte en
determinar la anchura del intervalo de medición. El ancho, por lo tanto, debe determinarse
explícitamente cada vez que se haga una medición.
Hay otros aspectos que también pueden confundir el problema. Considere por ejemplo, un
instrumento que da una lectura digital. Si un voltímetro digital indica que cierta diferencia de
potencial es de 15,45 V, ¿quiere eso decir que el valor es exactamente de 15,4500000000...?
Por supuesto que no, pero, ¿qué significa? Eso depende de las circunstancias. Si el
instrumento se fabrica dé manera que lea 15,45 V porque el valor real es más cercano a 15,45
de lo que es 15,40 o 15,50, entonces lo que significa es: esta lectura está entre 15,455 y
15,445. Por otra parte, se puede hacer un reloj digital de manera que cambie su indicación de
09,00 a 09,01 exactamente a las 9,01. Entonces, si vemos que marca las 09,00,
sabemos que la hora está entre las 9,00 y las 9,01; ésta es una interpretación un poco diferente
de la que es adecuada para el voltímetro digital. Y en forma general para una medición
realizada con un instrumento digital, tomaremos como regla general el que la medida oscilará
con un mas menos (+) {incertidumbre es el nombre dado a este valor} de uno en el último dígito
mostrado, y para medidas realizadas con instrumentos no digitales, la incertidumbre se tomará
como la mitad de lo menos que se puede medir en dicho ámbito, siempre y cuando no se
pueda estimar otro valor más pequeño en forma visual.
Cualquiera que sea el medio por el que hayamos hecho una medición, el resultado final
88
deberá ser un intervalo que representa, hasta donde nuestra capacidad lo garantice, los límites
dentro de los que se encuentra el valor deseado. Tomemos un nuevo ejemplo, la medida del
alto de un cuaderno, el experimento únicamente puede ser capaz de afirmar con seguridad que
la longitud del cuaderno está entre 29,4 y 29,6 cm. Aunque el único resultado significativo de
un proceso de medición consiste en un intervalo o segmento como ése. Tomemos el intervalo
de 29,4 a 29,6 y lo renombrados 29,5 + 0,1 cm. Con frecuencia es deseable, para propósitos
de descripción o de cálculo posterior, enunciar de otra forma el valor citado. Aunque
obviamente no es más que una expresión del intervalo original con el nombre cambiado, esa
nueva forma tiene ciertas ventajas. Nos da un valor central, de 29,5, que podemos utilizar en
cálculos posteriores. También nos da otro valor + 0,1; que se conoce como “la incertidumbre"
de la medida, con el que podemos juzgar la calidad del proceso de medición y puede usarse
en cálculos separados de incertidumbres. Una desventaja de esta forma de expresarlo es que
se podría citar únicamente el valor central de 29,5. A menos que recordemos claramente que
sólo la cantidad completa (29,5 + 0,1) sirve como una expresión correcta del resultado, y
podemos ser desordenados al hacer mediciones o reportes sobre ellas, olvidando la presencia
esencial de la incertidumbre. Todos deberíamos convertir en una práctica invariable asociar
un valor de incertidumbre con una lectura, tanto al momento de hacer la medición como
después de este proceso, siempre que se cite su valor o se utilice para cálculos posteriores.
TIPOS DE MEDICIONES
Las mediciones pueden ser: DIRECTAS o INDIRECTAS:
MEDICIONES DIRECTAS: Son el resultado de la comparación directa que generalmente se
realiza, con la ayuda de instrumentos de una cantidad desconocida de la entidad física con una
cantidad conocida o estandarizada, de la misma entidad. Por ejemplo cuando medimos la
presión de una persona con ayuda de un esfigmógrafo, o bien la medida de un recién nacido
con ayuda de una cinta métrica, en donde estamos comparando las dimensiones de este con
la cinta graduada, o al medir la diferencia de potencial existente entre los terminales de una
fibra nerviosa con la ayuda de un multímetro (voltímetro), etc.
MEDICIONES INDIRECTAS O DERIVADAS: son el resultado del cálculo de un valor como una
función de una o más mediciones un ejemplo muy sencillo de una medición indirecta basada en
mediciones directas, es la determinación de la resistencias de un materia empleando la formula
siguiente:
L
(1)
R
A
Donde, obtenemos en forma directa la longitud (L) del material por comparación con un patrón
dado para tales fines, como lo es una cinta métrica; la resistividad (p) del material la obtenemos
de algún manual de referencia, y el área la obtenemos por medio de alguna de las siguientes
ecuaciones, si es rectangular (a y b son los lados del rectángulo) o circular (d es el diámetro
obtenido de forma igual a 1), respectivamente, según sea el caso:
A  a  b
(2)
89
d 2
A
 r 2
4
(3)
ERRORES EXPERIMENTALES
Se acostumbra y es conveniente dividir el error experimental en dos clases, debido a la
diferencia de índole y a los métodos de tratamiento.
LOS ERRORES SISTEMÁTICOS: se deben a diversas causas y son para empezar,
determinables y corregibles si se sabe lo suficiente de la física del proceso. Se les llama
sistemáticos porque son efectos consistentes - valores que son consistentemente muy altos o
muy bajos, pero en general podemos decir que afectan de forma igual en todos lo casos, de ahí
el porque son corregibles -.
LOS ERRORES ACCIDENTALES: (erráticos o aleatorios) se deben a la suma de gran
número de perturbaciones individuales pequeñas y fluctuantes que se combinan para dar
resultados que son muy altos en un momento (o lugar) y muy bajos en otro.
Las causas
individuales pueden ser conocidas o sólo sospechadas, pero ambas incorregibles.
INCERTIDUMBRES EN CANTIDADES CALCULADAS
En las cantidades anteriores nos hemos ocupado sólo del concepto de incertidumbre de
una sola medida (de una medida directa). Sin embargo, es raro que el proceso se determine
con una sola medición. Casi invariablemente el resultado que deseamos es una combinación
de dos o más cantidades medidas, o es, por lo menos, una función calculada a partir de una
sola medida. Podemos intentar, por ejemplo, calcular el área transversal de un cilindro a partir
de la medida de su diámetro, o su volumen a partir de medidas tanto del diámetro como de la
altura. Las diferentes mediciones serán a veces de diferentes tipos, como en el cálculo de g3 a
3
Para un péndulo simple su periodo T y su longitud L están relacionados por la siguiente ecuación:
T  2
L
g
90
partir de valores de la longitud y el periodo de un péndulo. En esos casos, es obvio que la
presencia de incertidumbres en las medidas originales traerá consigo la presencia de una
incertidumbre en el valor final calculado, que es la que ahora trataremos de encontrar.
INCERTIDUMBRE EN FUNCIONES DE DOS O MÁS VARIABLES
Supongamos que tenemos una variable z que depende de las variables x and y, y que se
expresa de la siguiente forma:
z = f (x , y)
(4)
y en las cuales, x y y solo tienen un valor, al valor de z, como ocurre en las medidas directas,
se tiene que asociar una incertidumbre z, que se determina a partir del cálculo así:
z 
f
f
x 
y
x
y
(5)
y si la función z depende de más variables, se sigue planteando la derivada parcial de la
función z, con respecto a las demás variables de las que dependa ella. Para más detalle vea el
siguiente ejemplo:
La rapidez de una onda transversal en un hilo (alambre) depende de la tensión T, a la que
se encuentra sometido y de la densidad lineal de masa (), según la expresión siguiente:
v
F

(6)
supongamos que tenemos un alambre sometido a una tensión (F) de 520,0 + 0,5 N, y que la
densidad lineal de masa ()del material es de 2,00 + 0,01 kg / m, Empleando la ecuación (6)
obtenemos la velocidad, que nos da un valor de 16,12451..., pero ¿cuántos decimales
debemos colocar? La respuesta nos la dará el empleo de la incertidumbre; planteando la
ecuación (6) de la forma de la ecuación (4) tenemos:
v = f (F, )
por lo que la ecuación (5) nos permite obtener:
v 
v
v
F 

F

(7)
(8.a)
para una información mas amplia ver página 408 del libro Sears, Zemansky, Young, Freedman Física
a
Universitaria, volumen 1, 9 ed. Addison Wesley Longman, Mexico, 1998.
91
1 21 21
1 12 23
v   F F  F  
2
2
v 
1
F 
2 F
F
2
3
2

(8.b)
(8.c)
1
1 3
1 21
1
2
v  2 (520) * 0,5  (520) 2 2 2 * 0,01  0,04806...  0,05
2
2
Al ser el valor de v igual a 0,04806... tomamos sólo el primer decimal diferente de cero, por lo
que la incertidumbre es de 0,05, por lo efectos de redondeo, y en forma general la
incertidumbre la tomaremos como aquel número que este antes de la coma diferente de cero,
pero si solo decimales tenemos, se tomará el primero de ellos diferente de cero, como en el
caso anterior.
INCERTIDUMBRE EN FUNCIONES DE DOS O MÁS VARIABLES CON REPETICIÓN EN
LOS VALORES DE ESTAS
Como en todos los casos, no nos interesa tener un montón de valores de una variable, si no
que queremos presentarla como una sola, que sea representativa de la muestra tomada, en
tales casos lo primero que debemos hacer es obtener un único valor de la variable al que le
asociamos una incertidumbre, por ejemplo, sea x nuestra variable, de la cual tenemos cinco
valores, a saber, x1, x2, x3, x4 y x5, con una incertidumbre x igual para todos ellos, ya que
fueron tomados dichos valores con un mismo instrumento. El valor que representara a estos
cinco, se llama valor promedio, y se determina así:
n
(9)
x   xi 
i 1
x1  x 2  x3  x 4  x5
5
y la incertidumbre asociada a dicho valor (que es la que nos interesa ahora en este caso, y ya
no la que nos proporciona el instrumento con que se hicieron las medidas) está dada por:
92
s
n
x 
s

(10)
1 n
 xi  x
n  1 i 1

(11)
2
Donde (s) se conoce como desviación estándar de la muestra tomada, que aplicado a nuestros
datos anteriores se presenta de esta forma:
s

 
 
 
 
2
2
2
2
1 n
x1  x  x2  x  x3  x  x4  x  x5  x

5  1 i 1
x 
s
5

2
(12)
(13)
Para que nos quede más claro, veamos un pequeño ejemplo, se tienen los siguientes valores
de una resistencia R tomados a distintos tiempos:
Cuadro 1
Determinación de incertidumbres
en variables con repetición
MEDIDA
1
2
3
4
5
PROMEDIO
DESVIACIÓN
ESTANDAR
INCERTIDUMBRE
RESISTENCIA
R+1
()
358,0
356,0
357,0
359,0
358,0
358,4
1,140
0,5
93
Para este ejemplo el valor de resistencia que resume todas las tomadas es R = 358,4 + 0,5 ,
con lo que se tiene ahora un solo valor y no cinco, un solo valor que es representativo de los
anteriores cinco. Por último note que existe una concordancia entre los decimales de la
incertidumbre y de la medida en sí.
94
APÉNDICE 3
CONEXIÓN DE FOTOCELDAS
Una parte indispensable del laboratorio de mecánica es el uso de las fotoceldas. Con
ellos haremos mediciones fundamentales en nuestros cálculos, que son las mediciones de
tiempo. Con esto será posible calcular velocidad, aceleración, etc., y es por eso que es
importante aprender la forma correcta de realizar las conexiones y el funcionamiento básico de
este equipo.
La fotocelda es un dispositivo muy sencillo que consta de un sensor láser el cual
detecta el paso de objetos y envía esta información en forma de señal eléctrica al contador. La
fotocelda se alimenta con 5 voltios que son proporcionados por una fuente de 5V, así como su
conexión a tierra. La tercera conexión a la fotocelda es la de comienzo y fin del conteo.
CONEXIÓN DE FOTOCELDAS
Diseño: D. Río
95
Algunas observaciones complementarias
La fotocelda tiene una pequeña luz roja en una de sus caras. Esta se prende cuando
algún objeto está pasando por el haz. En ocasiones la fotocelda no se desactiva, es decir, no
se apaga la luz roja. Para corregir esto hay que presionar el botón que está a la par cada vez
que suceda.
Los cables pueden ser frecuentemente causa de una mala respuesta en las fotoceldas
recuerde que debe hacer las conexiones adecuadamente para que las fotoceldas funcionen
como debe ser.
96
APENDICE IV
COMO PREPARAR UN INFORME DE
LABORATORIO
Colaboración del Estudiante de Maestría Mauricio Acuña García
Guía para la Elaboración de los Informes de Laboratorio
Por medio de este documento se pretende hacer llegar al estudiante un instructivo para la
elaboración de un Informe de Laboratorio de Física General.
Los Informes de Laboratorio son un documento de suma importancia ya que recoge los datos,
análisis y conclusiones efectuadas en el experimento en cuestión. También es una herramienta
usada por otros investigadores para reproducir el experimento y tratar de obtener resultados
muy parecidos a los alcanzados en el laboratorio realizado.
El informe es un documento que se debe realizar con un orden específico y en un formato
determinado. Dicho formato dependerá del área donde estemos trabajando (Laboratorio de
Física, Ingeniería, Química, Biología, etc.) y las especificaciones que se quieren cumplir.
Partes del informe:
Título: Relacionado con lo que se hizo, tiene que ser atractivo y no debe ser ni corto ni muy
extenso (máximo dos líneas).
Datos: Nombre y carné del autor, grupo de laboratorio, nombre del profesor y fecha de
entrega.
Abstract o resumen: Debe de tener una extensión de un párrafo (máximo 6 líneas) donde se
describa de forma concreta lo que se hizo, los resultados y la conclusión principal.
Introducción: Debe realizarse con la idea de que va dirigida hacia una persona que no sabe
nada del tema que se está tratando, pero que al terminar de leer su informe debe de haber
comprendido la idea general discutida en el mismo. Es recomendable describir un poco la
historia relacionada con el experimento, así como también los términos de los cuales se va a
hacer referencia, junto con los métodos a utilizar.
La extensión recomendada es entre una página y una página y media.
Deben incluirse citas bibliográficas, las cuales consisten en las ideas que expone el autor al
cual se ha recurrido, expresada en palabras propias de los estudiantes. No se permite copiar
la frase entera del autor al cual se está haciendo referencia. Toda cita debe indicarse con
un pie de página o con un número relacionado a la bibliografía que se incluye al final. Si se usa
los pies de página NO debe incluirse en la bibliografía y viceversa.
El último párrafo es corto y define el objetivo general sobre el cual se está investigando. Por lo
general se escribe de la siguiente manera: “El objetivo de esta práctica (investigación) es…”
Procedimiento: También conocido como “Materiales y Métodos”. En una publicación en la cual
ustedes son los que realizan la investigación deberán incluir todos los equipos y reactivos, así
como los procedimientos realizados durante su trabajo en el laboratorio. Obviamente, en este
laboratorio no se hará investigación, sino que se seguirá un procedimiento ya establecido, por
lo cual se debe citar únicamente la fuente de la cual se están tomando las instrucciones. Por
ejemplo: “Se siguió el procedimiento descrito en la práctica Gráficas I de la “Guía de
laboratorio de física general I” de Loría L.” Se debe citar como nota al pie o al final, la
97
referencia total de la práctica. Se cita el procedimiento si realiza una modificación sustancial de
lo que se está haciendo y se escribe en pasado impersonal.
Se debe anotar los equipos utilizados junto con su incertidumbre y el número de identificación.
Puede tomar como ejemplo la siguiente tabla:
Resultados: La mejor y más ordenada forma de presentar resultados es en cuadros y figuras.
Debe evitarse mencionar un cuadro y hacer una figura para el mismo, ya sea un gráfico u otra
cosa. Solamente en aquellos casos que se está buscando una relación se incluyen ambos.
Cuando un resultado se obtiene mediante algún tipo de cálculo debe incluirse una muestra del
cálculo en la cual sean explícitas las ecuaciones0 y los procedimientos para obtenerlo. Se hace
para un único valor representado en el cuadro, para los demás se infiere que se obtienen de la
misma forma. En caso de que no fuese así, es necesario presentar una muestra de cada una
de las ecuaciones usadas. Todo cuadro se rotula arriba con números romanos, mientras que
las figuras (NUNCA GRÁFICAS) se rotulan abajo con números comunes. Las ecuaciones se
deben numerar.
Discusión: Es la parte más importante del reporte. Se debe redactar en pasado impersonal y
se debe relacionar y discutir cada uno de los resultados obtenidos. Esto no implica que se trate
de describir los cuadros, sino de relacionar lo que los cuadros dicen con la teoría expuesta en
la literatura. Por lo general se busca poder comparar los resultados o las inferencias de los
mismos con información proveniente de libros o artículos de revistas serios en los cuales se
haga referencia a lo que se está investigando. Las citas y las comparaciones con autores
deben ser lo más abundantes posibles, pero no siempre se puede conseguir suficiente
información como para discutir todo. Es bueno comparar entre sí los métodos que se están
utilizando y determinar sus ventajas y desventajas, así como su eficacia.
Conclusiones: Esta sección se relaciona con los resultados y la introducción, pues en ellas se
plantea si lo que se dijo en la introducción se cumplió o no, y por qué sí o por qué no (aquí
valen sus suposiciones siempre que tengan algún fundamento y algo de lógica). También se
indican las causas de por qué pueden fallar los experimentos (si es que les falló) o las formas
en que se pueden mejorar los mismos.
Cada conclusión es un párrafo aparte, de unas tres a cinco líneas como máximo de extensión.
Lo mejor es describir de la manera más clara y sencilla lo que se entendió y se deduce de los
resultados obtenidos.
Se evitará utilizar frases como: “el valor obtenido es bastante aceptable” o “las mediciones nos
dieron bastante bien”, se preferirá frases como: “el valor obtenido de la constante R = 256 kg
con un error del 3 % incluye al aceptado internacionalmente de 253 kg lo cual nos permite
afirmar que nuestras mediciones y cálculos tienen un nivel de confianza aceptable”
Bibliografía: Ya sea que se escriba en las notas al pie de página o al final, la bibliografía debe
seguir un formato convencionalmente establecido. Cada rama de la ciencia usa un formato
propio e incluso entre las mismas ramas de la física los formatos cambian. El formato que se
utilizará en este laboratorio es:
a. Si se trata de un libro se escribe así.
1. Si no posee ediciones distintas:
Cheronis N & Entrikin J. Identification of Organic Compounds. Interscience Publishers. New
York, USA, 1963. pp. 9-13, 41-61, 77-93.
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2. Si posee ediciones distintas:
Hesse, M; Meier, H. y Zeeh, B. Métodos espectroscópicos en química orgánica. 2a Ed.,
Editorial Síntesis, Madrid, 1999. pp. 29-283
3. Si posee volúmenes:
Cheronis, N. Technique of organic chemistry: Micro and semi micro methods. Vol. VI.
Interscience Publishers, Inc.: New York: USA, 1957. pp. 54-87
b. Las revistas se tratan de una manera diferente, por lo general se omite el volumen, aunque
puede ser incluido, y se escribe en negrita o subrayado:
Mirafzal, G. A.; Summer, J. M. J. Chem. Educ. 2000, 77, 356-357.
c. Los programas usados para estructuras también deben mencionarse, con su respectivo
nombre, casa fabricante, año y edición, lo mismo el tipo de procesador y la versión del
Windows o Mac que se use.
ISISTM/Draw 2.4, 2001, MDL Information Systems, Inc. PC Pentium IV con Windows
Millennium
d. Las referencias de Internet se escriben como lo indica su dirección. Es bueno incluir el autor,
el título del artículo y la fecha en que se visitó la página.
http://www.cnnet.clu.edu/quim/Q_3452/lab/aspirina.pdf (fecha de consulta)
Para páginas de Internet, no son válidas referencias como www.google.com,
www.geocities.com, www.yahoo.com, etc.
e. Si es un libro de constantes (como el Merck o el Handbook) se cita como un libro. Si es su
versión en CD se cita como sigue
The Index Merck, CD-ROM, Merck & Co., Inc., Whitehouse Station, NJ, USA. 1996.
Las referencias se numeran en orden de aparición no en orden alfabético.
ADVERTENCIA ¡POR NINGÚN MOTIVO INVENTE BIBLIOGRAFÍA!
Apéndices: Sea concreto, no agregue teoría de libros de texto. En el texto principal se debe
orientar al lector para que consulte estos apéndices. Puede agregar las hojas de la guía usadas
en el experimento como comprobación de la realización del laboratorio.
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