GEOMETRÍA DIFERENCIAL DE CURVAS REGULARES: NOTACIÓN Y FORMULARIO F. Navarrina, L. Ramírez & GMNI GMNI — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Universidad de A Coruña, España e-mail: [email protected] página web: http://caminos.udc.es/gmni U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA ÍNDICE I Representación de una curva en paramétricas I Longitud de arco y vector tangente I Triedro de Frenet I Cálculo de la curvatura y la torsión I Contacto I Ecuaciones intrínsecas I Integral a lo largo de una curva I Algunos problemas clásicos I Estudio particular de curvas planas U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA Representación de una curva en paramétricas (I) REPRESENTACIÓN DE UNA CURVA EN PARAMÉTRICAS (IRn ) U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA Representación de una curva en paramétricas (II) EXPRESIÓN GENERAL: 1 e i . con ~ ei = ēi = . en i ~r = α ~ (t) = ~ei αi(t) m ~r = α ~ (t) = E ᾱ(t) e 1 1 e con E = .. e e n1 1 ··· ... e ··· e nn n .. , 1 α (t) .. ᾱ(t) = α n(t) U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA Representación de una curva en paramétricas (III) EXPRESIÓN GENERAL EN LA BASE CANÓNICA (ORTONORMAL): r̄ = ᾱ(t) con 1 α (t) .. ᾱ(t) = α n(t) (*) Por tanto, ~ r = r̄ , y α ~ (t) = ᾱ(t). U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA (*) Longitud de arco y vector tangente (I) DIFERENCIAL DE ARCO U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA Longitud de arco y vector tangente (II) LONGITUD DE ARCO: Z tF s= |ᾱ 0(t)| dt tI ⇓ s0(t) = |ᾱ 0(t)| Z ⇐⇒ t s(t) = |ᾱ 0(t)| dt (*) tI (*) Se supone s(tI) = 0 =⇒ r̄ = ᾱ(tI) es el origen a efectos de la longitud de arco. U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA Longitud de arco y vector tangente (III) DIFERENCIAL DE ARCO: dr̄ = ᾱ 0(t) dt ⇓ ds = | dr̄ | = |ᾱ 0(t)| dt U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA Longitud de arco y vector tangente (IV) VECTOR TANGENTE: dr̄ 0 ᾱ (t) dt t̄ = = 0 dr̄ |ᾱ (t)| dt =⇒ | t̄ | = 1 m dr̄ t̄ = ds =⇒ | t̄ | = 1 U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA Longitud de arco y vector tangente (V) REPARAMETRIZACIÓN EN FUNCIÓN DEL ARCO: r̄ = ᾱ(t) β̄(s) con ᾱ(t) = β̄(s) s=s(t) (*) con β̄(s) = ᾱ(t) t=t(s) (*) Donde t(s) es la función inversa de s(t). La parametrización en función del arco se denomina PARAMETRIZACIÓN NATURAL U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA Longitud de arco y vector tangente (VI) NOTACIÓN ESPECIAL: dr̄ d r̄0 = = ᾱ(t) dt dt ⇐⇒ dr̄ d r̄˙ = = β̄(s) ds ds ⇓ 0 0 ˙ t̄ = r̄ = r̄ / |r̄ | dr̄ = r̄0 dt = r̄˙ ds √ √ ds = |r̄0| dt = r̄0 · r̄0 dt = dr̄ · dr̄ U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA Longitud de arco y vector tangente (VII) RELACIÓN ENTRE DERIVADAS: 0 0 ˙ r̄ = r̄ s 2 r̄00 = r̄¨ (s0) + r̄˙ s00 3 r̄000 = ... r̄ (s0) + 3 r̄¨ s0 s00 + r̄˙ s000 m 0 ˙ r̄ = r̄ ṫ 2 r̄¨ = r̄00 (ṫ) + r̄0 ẗ 3 ... 000 00 0 ... r̄ = r̄ (ṫ) + 3 r̄ ṫ ẗ + r̄ t U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA Triedro de Frenet (I) TRIEDRO DE FRENET U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA Triedro de Frenet (II) VECTOR TANGENTE: dr̄ t̄ = ds =⇒ con dt̄ k = ds | t̄ | = 1 VECTOR NORMAL: 1 dt̄ n̄ = k ds =⇒ | n̄ | = 1 (*) VECTOR BINORMAL: b̄ = t̄ ∧ n̄ =⇒ | b̄ | = 1 (*) Donde k ≥ 0 es la CURVATURA, y R = 1/k es el RADIO DE CURVATURA. U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA Triedro de Frenet (III) DERIVADAS DE LOS VECTORES TANGENTE, NORMAL Y BINORMAL: d h t̄ ds n̄ i h b̄ = t̄ n̄ b̄ i 0 k 0 −k 0 τ 0 −τ 0 (*) (*) Donde τ es la TORSIÓN, y T = 1/τ es el RADIO DE TORSIÓN. Esta expresión indica que al avanzar ds, el triedro experimenta los siguientes giros: ( dφ = τ ds en torno a la tangente ⇐⇒ ds = T dφ dθ = k ds en torno a la binormal ⇐⇒ ds = R dθ U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA Triedro de Frenet (IV) OBTENCIÓN DEL TRIEDRO: Procedimiento directo [t̄ → n̄ → b̄] r̄ = β̄(s) ⇒ t̄ = r̄˙ → k n̄ = r̄¨ 1 0 0 0 00 0 0 2 00 r̄ = ᾱ(t) ⇒ |r̄ | t̄ = r̄ → k n̄ = −(r̄ · r̄ ) r̄ + |r̄ | r̄ 4 0 |r̄ | → b̄ = t̄ ∧ n̄ Procedimiento alternativo [t̄ → b̄ → n̄] (*) r̄ = ᾱ(t) =⇒ 0 |r̄ | t̄ = r̄ 0 −→ 0 3 0 |r̄ | k b̄ = r̄ ∧ r̄ 00 −→ n̄ = b̄ ∧ t̄ (*) En el caso general (cuando el parámetro no es el arco) estos cálculos son potencialmente más sencillos. U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA Cálculo de la curvatura y la torsión CURVATURA: r̄ = β̄(s) r̄ = ᾱ(t) TORSIÓN: r̄ = β̄(s) r̄ = ᾱ(t) =⇒ k = r̄¨ = r̄˙ ∧ r̄¨ → k≥0 =⇒ 0 r̄ ∧ r̄00 k = 3 r̄0 → k≥0 =⇒ τ= =⇒ τ= ... ... ˙r̄ , r̄¨ , r̄ ˙r̄ , r̄¨ , r̄ = r̄˙ ∧ r̄¨ 2 k2 0 00 000 r̄ , r̄ , r̄ 2 = r̄0 ∧ r̄00 0 00 000 r̄ , r̄ , r̄ 6 2 k r̄0 U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA Contacto (I) RECTA TANGENTE: (*) r̄ = r̄o + λ t̄o PLANO NORMAL: (*) r̄ = r̄o + λ n̄o + µ b̄o ⇐⇒ (r̄ − r̄o) · t̄o = 0 (*) s = so → r̄ = r̄o, t̄ = t̄o, n̄ = n̄o, b̄ = b̄o U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA Contacto (II) PLANO OSCULADOR: (*) r̄ = r̄o + λ t̄o + µ n̄o PLANO RECTIFICANTE: ⇐⇒ (r̄ − r̄o) · b̄o = 0 ⇐⇒ (r̄ − r̄o) · n̄o = 0 (*) r̄ = r̄o + λ t̄o + µ b̄o (*) s = so → r̄ = r̄o, t̄ = t̄o, n̄ = n̄o, b̄ = b̄o U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA Contacto (III) CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ: 2 r̄ − r̄c · r̄ − r̄c = Rc , ESFERA OSCULATRIZ: 2 r̄ − r̄e · r̄ − r̄e = Re , (*) r̄ − r̄o · b̄o = 0 r̄c = r̄o + Rc n̄o con 1 Rc = ko (situada en el plano osculador) (centro) (radio) (*) ! 1 −k̇o r̄e = r̄o + n̄o + b̄o 2 τ k k o o o v con !2 u 2 u −k̇o 1 t + Re = ko ko2 τo (*) s = so → r̄ = r̄o, t̄ = t̄o, n̄ = n̄o, b̄ = b̄o, k = ko, k̇ = k̇o, τ = τo, U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA (centro) (radio) Ecuaciones intrínsecas ECUACIONES INTRÍNSECAS: Las funciones k(s) > 0, τ (s) β̄(so) = r̄o t̄(so) = t̄o con las condiciones iniciales n̄(s ) = n̄ , n̄ ⊥ t̄ o o o o b̄(so) = t̄o ∧ n̄o ( determinan totalmente la curva r̄ = β̄(s) su curvatura es k(s) su torsión es τ (s) tal que U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA Integral a lo largo de una curva Dada la curva C ≡ r̄ = ᾱ(t), t ∈ [tI, tF] → sI = s(tI), sF = s(tF), (*) CAMPO ESCALAR f (r̄): Z Z sF f ds = C f (r̄) sI Z tF ds = r̄=β̄(s) f (r̄) tI r̄=ᾱ(t) 0 ᾱ (t) dt CAMPO VECTORIAL f¯(r̄): Z C f¯ · dr̄ = Z sF sI f¯(r̄) Z tF · t̄ ds = r̄=β̄(s) tI f¯(r̄) · ᾱ0(t) dt r̄=ᾱ(t) I (*) Si la curva es cerrada se utiliza el símbolo =⇒ INTEGRAL CIRCULAR U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA Algunos problemas clásicos Involuta o Evolvente: (anti-evoluta) r̄ = β̄(s) −→ r̄ = β̄(s) + (c − s) t̄(s) (*) Evoluta: (anti-involuta) 1 1 r̄ = β̄(s) −→ r̄ = β̄(s) + n̄(s) + cot k(s) k(s) Z τ (s)ds + constante Envolvente: (de una familia de curvas planas) F (x, y, λ) = 0 −→ F (x, y, λ) = 0, r̄ = ᾱ(t, λ) −→ ∂ ᾱ(t, λ) ∂λ k ∂ F (x, y, λ) = 0 ∂λ ∂ ᾱ(t, λ) ∂t (*) Para cada valor del parámetro c se obtiene una involuta diferente. U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA b̄(s) Estudio particular de curvas planas (I) CURVA PLANA: ( r̄ = ᾱ(t) con r̄ − r̄a · p̄ = 0, donde r̄a ≡ un punto del plano p̄ ≡ vector normal al plano m τ (t) = 0 ∀t REPRESENTACIÓN EN EXPLÍCITAS: y = f (x) U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA Estudio particular de curvas planas (II) PARAMETRIZACIÓN TRIVIAL: ( y = f (x) ⇐⇒ r̄ = ᾱ(x) con ᾱ(x) = x f (x) 0 ) DIFERENCIAL DE ARCO: r ds = 2 0 1 + f (x) U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA Estudio particular de curvas planas (III) VECTOR TANGENTE: t̄ = r 1 2 1 + f 0(x) ( 1 0 f (x) 0 ) CURVATURA Y VECTOR NORMAL: k= 00 f (x) 23/2 1 + f 0(x) , ( ) 00 −f 0(x) sgn f (x) n̄ = r 1 2 0 1 + f 0(x) U NIVERSIDAD DE A C ORUÑA — G RUPO DE M ÉTODOS N UMÉRICOS EN I NGENIERÍA