µ I θ(t) - Universidad de Huelva

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S ISTEMAS ELECTRÓNICOS Y A UTOMÁTICOS
PROBLEMAS PROPUESTOS PARA EL BLOQUE DE AUTOMÁTICA
1) La respuesta de un sistema de segundo orden a una entrada escalón de altura dos unidades presenta un 20% de sobreelongación con un tiempo de pico de 0.9 s. Si el valor estacionario es de 6
unidades, determinar la función de transferencia.
46, 15
Solución: -----------------------------------------------------2
s + 3, 577 ⋅ s + 15, 38
2) Dado el sistema mecánico de rotación de la figura:
θ(t)
µ
k=5 N·m/rad
I
encontrar el valor de I y de µ para que la respuesta a la señal escalón presente un sobreimpulso
del 20% y un tiempo de establecimiento al 2% de 2 segundos.
Solución: I = 0.26 Kg·m2 ; µ=1.04 N·M/rad/s.
3) Dado el siguiente diagrama de bloques:
Href
+ -
k
----------s+2
1
----------------------------2
s + 9s + 20
H(s)
A) Determinar el valor de k para que el sistema tenga un error estacionario frente a la señal escalón unitaria igual a 0.25.
B) Para este caso determine los polos dominates del sistema en bucle cerrado y en base a ellos
aproxime el valor del sobreimpulso. Utilice Matlab para comparar la diferencia entre el valor predicho y el obtenido.
Solución: A) k= 120. B) Los polos dominantes: -1.1265 +- 4.1257i; M ≅ 42% Mreal ≅ 37%
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4) Considere el diagrama de bloques adjunto. Determinar: A) Una expresión que relacione ω y ξ
con K1 y K2. B) Si K1=1 y K2 =2, determine el error en velocidad para una entrada rampa de pendiente 0.5. C) Si K2=5, determine el máximo valor de K1 para que no haya sobreelongación.
Href
K1
+ -
-
2
----------s+2
2-s
H(s)
K2
2 + 2 ⋅ k2
Soluciones: A) ω = 2 k1 ; ξ = ---------------------- ; B) Ev=0.75; C) K1=9
4 k1
5) Un sistema de seguimiento visual está sometido a una señal de entrada (ángulo deseado de la
cámara) de la forma θr (t)=0.01·t rad. Si en condiciones de estado estacionario se desea que la
señal de error no exceda el valor 0.05 rad. y que el comportamiento transitorio sea críticamente
amortiguado, determine el valor de k y de T.
θr
+ -
k
1
---------------------s ( sT + 1)
θy
Solución: K = 0.2; T=1.5.
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6) El diagrama de la figura 1 representa un esquema de un controlador proporcional. El sistema
cuya función de transferencia es G1 ha sido sometida a una señal de entrada escalón unitaria, y su
respuesta es la que se representa en la figura 2. A) Se pide obtener el valor de K para que cuando
el sistema sea excitado con una señal rampa de pendiente unitaria el error estacionario sea inferior
a 0.05. B) ¿Cuanto vale el error estacionario cuando el sistema es excitado con una señal escalón?
Fref
+
1-s
G1 (s)
K
-
Y(s)
1)
Step Response
1
0.9
0.8
0.7
Amplitude
0.63
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Time (sec)
2)
Soluciones: A) K=20; B) Ep=0
7) Considerando el esquema de la figura adjunta: a) Diseñe un controlador para que el sistema en
lazo cerrado presente un error estacionario cero para la entrada escalón con un sobre impulso de
aproximadamente el 10% y un tiempo de asentamiento al 2% de aproximadamente 2.5 s. B) Calcule la constante de error en velocidad y el error para la entrada rampa de pendiente unitaria. En
cada caso justifique convenientemente las soluciones adoptadas
Href
+ -
Controlador
2s
1-s
+ -
H(s)
3
Soluciones: A) Kd =0,10, K0 =3.6627, α=36.6275 (M final =10.% t s=2.16 s); C) Kv= 2.44, Ev=0.41
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8) El diagrama de bloques de la figura 1 representa el modelo linealizado del sistema de la figura
2. A) A la vista de los mismo y conociendo los valores de R1 y R2 determine los valores de C1 y
C2. B) El sistema dispone de un controlador que regula la entrada de líquido al primer depósito,
cuyo propósito es que la altura del líquido en el segundo depósito sea igual a la altura deseada href .
Diseñe el controlador de forma que: el error en estado en estacionario sea igual a cero para una
entrada escalón; el porcentaje de sobreimpulso sea aproximadamente del 8% y el tiempo de asentamiento inferior a 1.5 s. Razone los motivos que le llevan a escoger el controlador y cada uno de
los razonamientos en los que se basa para dar valor a los parámetros del mismo. C) Considere que
se activa una nueva entrada de líquido f 2. Dibuje el nuevo diagrama de bloques que incorpora esta
entrada. Suponiendo que el valor de f 2 se mantiene constante, determine como afecta éste al valor
estacionario del error.
Href
G(s)
+ -
Fi
1
----------------------0,5 ⋅ s + 1
Qm
0,5
---------------s + 5,5
H(s)
1)
V. Entrada
href
+ -
G(s)
F1+f1(t)
C1
R1
F2+f2(t)
R1= 0.5
Qm
R2= 0.0909
V. Salida
h(t)
2)
C2
R2
Fo+fo(t)
Soluciones: A) C1=1, C2=2; B) Ki =39.2446; K0=18.6685; α=2.1022 (Mfinal=9.05 % t s=1.43 s);
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9) El sistema de bloques de la figura adjunta representa una planta regulada mediante un controlador PID. Se pretende determinar el valor de los parámetros que hacen que el comportamiento del
sistema cumpla: 1) sea estable; 2) el sobreimpulso sea aproximadamente de un 8%; 3) el tiempo
de asentamiento sea inferior a 1.4 s. Para ello se pide: A) Considerar Kd=0 y estudiar si existen
valores de Ko y Ki que permitan obtener las especificaciones transitorias especificada. B) Considerar el calculo de controlador completo (K d, Ki, Ko) utilizando una aproximación de cancelación
de polos.
Kd
d
dt
Rr
Ki
+ -
∫
+ +
+
1
------------------------------------( s + 3) ⋅ ( s + 1)
Y(s)
Ko
Solución: A) En este caso un controlador PI no proporciona estabilidad. B) Kd =10.8838, Ko =
94.2594, Ki = 83.3756.
NOTA IMPORTANTE: En el examen no estará permitido el uso de ningún tipo de material a
excepción del computador del aula o la calculadora. No será necesario memorizar niguna de las
siguientes expresiones, ya que serán proporcionadas en el examen:
log ( M ) )
ξ ≈ – -----------------------------------2
2
π + ( log M )
4
t 2% ≈ ------ωξ
π
t p ≈ ----------------------2
ω 1–ξ
y max – yest
M = ------------------------y est
Se recomienda revisar los problemas de modelado además de los de simplificación de diagramas
de bloques que se proponen en los apuntes entregados.
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PROBLEMA RESUELTO
10) El dibujo de la figura 1 representa un sistema de posicionamiento vertical formado por un
carrito de masa m, un sensor de posición que mide la ubicación horizontal del carrito x(t) y un
controlador capaz de ejercer sobre el carrito una fuerza f(t). Además, el sistema dispone de un
amortiguador cuya constante de rozamiento viscoso es µ. La figura 2 muestra un diagrama de bloques que representa el modelo linealizado de todo el mecanismo. A la vista del mismo:
A) Determine los valores de m y de µ.
B) Diseñe un controlador que permita, frente a la entrada escalón, obtener un error estacionario
igual a cero, un sobreimpulso de aproximadamente un 5% y un tiempo de asentamiento al 2% de
2 s. Justifique por qué un control proporcional no permite obtener las especificaciones establecida.
C) Determine el error estacionario si a la entrada del sistema se dispone de una señal rampa de
pendiente unitaria.
x(t)
µ
m
f(t)
Controlador
xref (t)
1)
F(s)
Xref
+ -
G(s)
+ -
1
---------------0, 5 ⋅ s
X(s)
2
s
2)
Soluciones: A) m=0.5, µ=1; B) Kd=1; K0 =4.1995; α=4.1995 (M final =7.4 % t s=1.83 s); C) Kv=
4.1995, Ev=0.2381
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SOLUCIÓN
A) La ecuación que modela el comportamiento del un sistema mecánico es la siguiente:
m ⋅ x&& + µ ⋅ x& + k ⋅ x = f ( t )
En este caso no hay resorte y se considera k=0.
Realizando la transformada de Laplace de la expresión anterior:
s2 ⋅ m ⋅ x (s) + s ⋅ µ ⋅ x (s ) = f (s )
x ( s ) ⋅  s 2 ⋅ m + s ⋅ µ  = f ( s )
Se obtiene la función de transferencia:
x (s )
f (s )
=
1
s ⋅m + s⋅ µ
2
Del sistema de figura es posible simplificar el primer bucle e identificar coeficientes;
1
1
0.5 ⋅ s 2
=
=
1
f (s ) 1 +
0.5 ⋅ s 2 + s
⋅
s
0.5 ⋅ s 2
x (s )
Comparando ambas expresiones se obtiene: m=0.5 y µ=1
B) Dado que el tipo del sistema es 1, el error en posición en bucle cerrado es 0, por tanto la especificación para la respuesta estacionaria se cumple sin problema.
Si se intenta utilizar un controlador proporcional para alcanzar las especificaciones transitorias
establecidas, la función de transferencia del sistema en lazo cerrado será:
F.T.L .C =
k
0.5 ⋅ s + s + k
2
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A partir de las especificaciones del enunciado se calculan los valores de ξ y ω, para determinar el
polo dominante:
M=5/100;
ts=2;
chi=-log(M)/sqrt(pi^2+log(M)^2)
w=4/(ts*chi)
%Calculo del polo dominante
p=-chi*w-j*wn*sqrt(1-chi^2)
Los resultados obtenidos en matlab.
chi = 0.6901.
w = 2.8981.
p = -2.0000 - 2.0974i
Dado que la Función de Transferencia genérica de un sistema de segundo orden es de la forma:
G (s ) =
w n2
s 2 + 2 ⋅ ξ ⋅ w n2 ⋅ s + w n2
se comprueba que, a partir de los datos obtenidos anteriormente, no es posible dar valores a K
para alcanzar una G(s) equivalente a la anterior F.T.L.C.
Por tanto, se concluye que no es posible alcanzar con un controlador proporcional las especificaciones transitorias establecidas en el enunciado.
El controlador a usar será un P.D, cuya función de transferencia es:
G (s ) = k 0 + kd ⋅ s → k d ⋅ (s + α )
La F.T. en bucle abierto queda:
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kd ⋅ (s + α )
G(s)= -----------------------------------s ⋅ ( 0, 5 ⋅ s + 1 )
Para que el polo deseado pertenezca al lugar de las raices ha de cumplirse que:
kd ⋅ (p + α )
-------------------------------------= –1
p ⋅ (0, 5 ⋅ p + 1)
Mediante la condición del módulo se determinar el valor de alfa.
%calculo de la ubicación del cero, condición del argumento
angulo=pi+angle(p)+angle(0.5*p+1)
alfa=(imag(p)/tan(angulo))-real(p)
Los resultados obtenidos en matlab son:
angulo = -0.7616.
alfa = 4.1995.
%Condición del módulo para determinar el valor de la ganancia.
%cálculo de la ganancia (condición del módulo)
kd=abs(p)*abs(0.5*p+1)/(abs(p+alfa))
ko=alfa*kd
Los valores son:
kd= 1.0000.
ko=4.1995
k d ⋅ (s + α ) 
C) La constante de error en velocidad es: kv = lim  s ⋅ -----------------------------------= k d ⋅ α = 4.1995.
s ⋅ ( 0, 5 ⋅ s + 1) 
s→ 0
1
El error en velocidad para pendiente unitaria: Ev = ---- = 0.2381.
kv
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