P1-6-REDES SMALL WORLD

 1. REDES SMALL‐WORLDS Como ya se ha comentado, se asume que las redes reales (redes sociales, biológicas, de
transporte, comunicación…) no son topológicamente ni regulares ni aleatorias, sino que
suelen encontrarse en una posición intermedia entre ambos tipos, es decir, poseen
propiedades características de los dos grandes grupos de grafos.
Watts y Strogatz han estudiado estas redes reales y han buscado modelos que se ajusten
a ellas, creándolos finalmente a partir de “provocar un cierto desorden” en un grafo
regular [72-74]. Han demostrado que estas redes tienen un alto índice de agrupamiento,
como los grafos regulares, además de una longitud de camino característica pequeña
como los grafos aleatorios. Por las
analogías de estas investigaciones con otras
realizadas en psicología por Stanley Milgram en torno a 1960, en las cuales se
experimentaba con las redes sociales norteamericanas (se demostró que dos personas
cualesquiera pertenecientes a los Estados Unidos de América estaban conectas por lazos
de amistad en no más de seis personas. A este efecto Milgram lo denominó efecto de
pequeño mundo (efecto Small-World o efecto de los seis grados de separación)), este
tipo de redes han sido denominadas redes Small World.
El modelo propuesto por Watt y Strogatz en 1998 es el siguiente:
Figura 27
Comenzamos a partir de un anillo de n vértices y k aristas por vértice. Iremos
considerando las distintas aristas, y con una probabilidad p movemos un extremo de
ella de un nodo a otro nodo seleccionando este último aleatoriamente, con la salvedad
de que no se pueden crear dos aristas entre un par de nodos ni tampoco aristas que no
estén entre dos nodos distintos.
108 Así, cuando p=0, tenemos un grafo regular, mientras que cuando p=1 el grafo es
aleatorio.
Este modelo es un poco limitado. El hecho de que movamos tan solo un extremo de la
arista, de que una arista no pueda nacer y morir en el mismo vértice, y de que solo
pueda establecer una arista entre dos nodos, dificulta el que podamos seguir creando el
grafo aleatorio con este criterio. Es por esto por lo que comenzaron a surgir otras
variantes del mismo. Una primera variante, usada con propósitos de tratamiento
matemático, simplificaba el modelo, a raíz de lo cual se permitían esas prohibiciones
(proceso de interpolación entre los grafos regular y aleatorio). Una segunda variante,
propuesta independientemente por Monasson [46] y por Newman y Watts [49], que
adquirió mucha popularidad, no recoloca las aristas, sino que además de las aristas que
ya había, añade aristas, creando “shortcuts” (caminos cortos). En este caso, el parámetro
p debería gobernar la densidad de aristas shortcuts. Por esto, y buscando una definición
que asemeje este parámetro al parámetro p anterior, p es definida como la probabilidad
de que sea creada una arista ‘shortcut’ en cualquier lugar del grafo. Entonces, el número
total de shortcuts es Lkp y el grado medio 2nk (1+p) siendo n el número de vértices y k
el número de vecinos que tienen los vértices (recordar que el grafo es regular). Este
último modelo tiene además una propiedad bastante deseable, y es que ningún vértice
estará disconexo del resto de la red. Figura 28: (a) Grafo regular de dimensión 1. K=3. (b) Modelo Small-world propuesto por Watts y
Strogazt. (c) Ligera variación del caso b. Propuesta posteriormente en la cual se añaden shortcuts.
Propiedades de las redes Small‐World Si calculamos el coeficiente de agrupación de una red small-world por el procedimiento
original obtenemos el siguiente valor:
1
109 (60)
Si lo calculamos con el modelo de Newman obtenemos:
(61)
En la figura 29, se representa dicho coeficiente de agrupación (ec.(60)). Se puede
observar como cuando p=0 (grafo regular) el coeficiente de agrupación es la unidad,
mientras que cuando p=1 (grafo aleatorio) el coeficiente de agrupación es nulo.
Para el primer caso, la probabilidad de que un nodo aleatorio tenga un grado j es:
0, ∑
,
1
0 1
, 2
2
!
, (62)
En el segundo:
(63)
La longitud de camino característica cambia su escala cuando p alcanza un determinado
valor. Para valores pequeños de la misma, varía linealmente, mientras que para valores
mayores lo hace de forma logarítmica (figura 29). La razón de esta rápida caída es la
existencia de arcos ‘shortcuts’ entre nodos, que provoca, aun cuando el número de los
mismos no sea muy elevado, un incremento notable del grado de la red.
Figura 29 110 Para valores intermedios de p como, por ejemplo, puede ser p
0.01, el valor de L es
mucho menor que el de C. Este sería aproximadamente el caso de las small-worlds,
redes en las cuales la longitud de camino característica es pequeña (igual que en redes
aleatorias) y el coeficiente de agrupamiento es elevado (igual que en redes regulares).
Es por esto, que la eficiencia de una small-world tanto global como local es muy
elevada. Si el coeficiente de agrupación es elevado, esto quiere decir que existirán
conexiones topológicamente hablando entre los elementos de la red, por lo que la
eficiencia local sería elevada. Si la longitud de camino característico es pequeña, la
separación entre pares de nodos será, en general, pequeña. Esto implica que la eficiencia
global sea elevada.
En el año 1999, Watts demostró que el punto de transición de p depende del tamaño de
la red y posteriormente, en ese mismo año, Barthelemy y Amaral conjeturaron sobre la
escala de la nombrada magnitud llegando a la conclusión de que existe un valor de n
umbral por debajo del cual la longitud de camino característica es proporcional al
número de nodos. Por el contrario, si el número de nodos es superior a ese umbral, L es
proporcional al ln(n), es decir, [11]:
,
~
(64)
donde
, ln , 1
1
(65)
Posteriormente, en los años 1999-2000, se realizaron una serie de simulaciones
numéricas y analíticas (Barrat 1999; Barthelemy and Amaral, 1999; Newman and
Watts, 1999a; Argollo de Menezes et al., 2000; Barrat and Weigt, 2000) que
concluyeron que
~
donde d es la dimensión original del enrejado regular
antes de que ninguna arista sea añadida.
Para valores de n cercanos a los del umbral, no se ha obtenido todavía una expresión
precisa. No obstante, si se han hecho aproximaciones como las realizadas por Newman,
Moore y Watts en el año 2000.
111