t,x(y +

2. Una onda armónica de frecuencia 100 Hz y 0.5 m de amplitud se propaga con una velocidad de 10 m/s en el
sentido positivo del eje X. En el instante inicial (t = 0 s) y en el origen (x = 0 m), la elongación es y = + 0.5 m.
Halla:
a) La ecuación de la onda y la diferencia de fase entre dos puntos separados 0.2 m.
b) La velocidad y aceleración máximas de un punto del medio.
a)
Como ecuación de una onda armónica transversal se suele utilizar habitualmente alguna de las siguientes
expresiones:
t x
y( x ,t ) = A ⋅ sen 2 ⋅ π ⋅  − + ϕ o 

T λ

y( x ,t ) = A ⋅ sen(ω ⋅ t − k ⋅ x + ϕ o )
Si se hace uso de la segunda expresión, se trata de calcular el valor de las magnitudes que en ella aparecen a partir
de los datos del enunciado, así:
A = 0,5 m
de la frecuencia:
f = 10 0 Hz
→ ω = 2π ⋅ f = 2π rad ⋅ 100 Hz = 200π
rad
s
de la velocidad:
v=λ⋅ f
→ v=
2π
ν
k
⇒
k=
2π
2π ⋅ 100 s -1
v=
= 20π
v
10 ms
rad
m
Si se sustituyen estos valores en la expresión de la función de onda quedaría:
y( x ,t ) = A ⋅ sen(ω ⋅ t − k ⋅ x + ϕ o ) →
y( x ,t ) = 0.5 ⋅ sen( 200πt − 20πx + ϕ o ) ; (en unidades del S.I.)
Para calcular la fase inicial hay que tener en cuenta que en el instante inicial (t = 0 s) y en el origen (x = 0 m), la
elongación es y = +0.5 m, por lo que al sustituirlo en la expresión anterior, resulta:
y( 0 ,0 ) = +0.5 = 0.5 ⋅ sen( 200 ⋅ π ⋅ 0 − 20 ⋅ π ⋅ 0 + ϕ o ) → 0.5 = 0.5 ⋅ senϕ o
→
senϕ o = 1 → ϕ o = π2 rad
De esta manera la ecuación de la onda vendrá dada por la expresión:
y( x ,t ) = 0.5 ⋅ sen( 200·π ·t − 20·π ·x + π2 ) (en unidades del S.I.)
Ahora para calcular la diferencia de fase, para un instante “t”, sabiendo que x2 − x1 = 0.2 m
∆ϕ = (200·π ·t − 20·π ·x1 + π2 ) − (200·π ·t − 20·π ·x2 + π2 ) = 20 ⋅ π ⋅ ( x2 − x1 ) = 20 ⋅ π
rad
m
⋅ 0.2 m = 4 ⋅ π rad
Al ser la diferencia de fase un múltiplo de 2π radianes, resulta que ambos puntos están en fase.
Se hubiera llegado a la misma conclusión si se hubiese calculado la longitud de onda:
λ=
v 10 ms
=
= 0.1 m
f 100 1s
como los puntos se encuentran separados una distancia múltiplo de la longitud de onda, están en fase.
b)
En primer lugar se deben obtener las ecuaciones correspondientes a la velocidad y a la aceleración de un punto del
medio. Este punto realiza un movimiento armónico simple, de manera que oscila transversalmente a la dirección
de propagación de la onda.
Para obtener la ecuación de la velocidad hay de derivar, con respecto al tiempo, la expresión de la posición:
v ( x ,t ) =
d y ( x ,t )
= 100 ⋅ π ⋅ cos(200 ⋅ π ⋅ t − 20 ⋅ π ⋅ x + π2 ) (en unidades del S.I.)
dt
La velocidad máxima, en valor absoluto, se obtendrá cuando el valor del coseno valga ±1, de esta manera:
vmax = 100 ⋅ π
m
s
Para obtener la ecuación de la aceleración hay de derivar, con respecto al tiempo, la expresión de la velocidad:
v ( x ,t ) =
d v( x ,t )
= −20000 ⋅ π 2 ⋅ sen(200 ⋅ π ⋅ t − 20 ⋅ π ⋅ x + π2 ) (en unidades del S.I.)
dt
La aceleración máxima, en valor absoluto, se obtendrá cuando el valor del seno valga ±1, de esta manera:
amax = 20000 ⋅ π 2
m
s2
= 1.97 ⋅ 105
m
s2