FACULTAD DE CIENCIAS Un contraejemplo clásico al problema

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SAN LUIS POTOSÍ
FACULTAD DE CIENCIAS
Un contraejemplo clásico
al problema del
isomorfismo de anillos de
grupo.
Tesis que, para obtener el grado de
Licenciado en Matemáticas,
presenta
Oscar Sánchez Reyes
bajo la asesorı́a de los doctores
Álvaro Pérez Raposo.
Antonio Morante Lezama.
2009
ii
Resumen
Un anillo de grupo es una estructura algebraica construida a partir de un
anillo y un grupo. El resultado es un nuevo anillo que contiene tanto al anillo
como al grupo originales.
Dados un anillo y dos grupos se pueden construir los dos anilos de grupo
correspondientes. El problema del isomorfismo plantea si el hecho de que los
anillos de grupo son isomorfos necesariamente implica que los grupos lo sean.
El problema ya ha sido bastante estudiado y existen respuestas en las que,
bajo ciertas restricciones, resulta que los grupos necesariamente son isomorfos.
En este trabajo, sin embargo, se describe una respuesta negativa mediante un
contraejemplo. Se trata del caso de las álgebras de grupo contruidas a partir de
un cuerpo algebraicamente cerrado y grupos abelianos finitos. En efecto, basta
que los grupos sean del mismo orden para que las álgebras correspondientes sean
isomorfas. El trabajo consiste en exponer la demostración de este resultado. Las
herramientas a usar son la teorı́a de las representaciones de grupos finitos y la
teorı́a de módulos.
iii
iv
Índice general
1. Introducción
1.1. Anillos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. El problema del isomorfismo y un contraejemplo . . . . . . . . .
2. Representaciones de grupos
2.1. Representaciones de grupos finitos . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Representación regular . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Representaciones lineales . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. Representaciones reducibles e irreducibles . . . .
2.2. Representaciones y KG-módulos . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Cada representación define un KG-módulo . . .
2.2.2. Cada KG-módulo define una representación . . .
2.2.3. KG-módulos asociados a ciertas representaciones
2.3. Demostración de teorema . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
2
5
5
6
7
9
13
13
15
16
17
3. Prueba en la teorı́a de módulos
21
4. Prueba constructiva
25
5. Conclusiones
31
v
vi
ÍNDICE GENERAL
Capı́tulo 1
Introducción
Un anillo de grupo es un anillo que se construye a partir de un anillo A y
un grupo G, y lo denotamos por AG. Es una aportación de nuevos anillos a la
teorı́a de anillos y álgebras.
En el actual capı́tulo se define un anillo de grupo junto con algunas de sus
propiedades, también dedicamos una sección a explicar el problema del isomorfismo y algunas de sus respuestas.
1.1.
Anillos de grupos
Definición 1.1. Dado un anillo A y un grupo G, el conjunto AG consta de
todas las combinaciones lineales formales finitas de elementos del grupo G con
coeficientes en el anillo A:


X

AG =
ag g|ag ∈ A, ag = 0 excepto una cantidad f inita ,


g∈G
junto con las operaciones:
Suma:
X
ag g +
g∈G
X
bg g =
g∈G
X
(ag + bg )g,
g∈G
donde ag + bg es la suma como elementos del anillo A (es decir, la suma
se hace por componentes).
Producto:
!
!
X
g∈G
ag g
X
bh h
h∈G
=
X
(ag bh )gh,
g,h∈G
donde ag bh es el producto como elementos del anillo A, mientras que gh
denota el producto como elementos del grupo G.
1
2
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
El conjunto AG con las operaciones de suma y producto definidas previamente tiene estructura de anillo. De hecho basta con que G sea semigrupo para
que el conjunto AG sea anillo.
Si el anillo A tiene identidad, 1, entonces AG es anillo con identidad dada por el elemento 1 · e donde e es la identidad del grupo G. En lo sucesivo
consideraremos que éste es el caso.
Con un anillo con identidad podemos abusar de la notación y decir que G
está copntenido en AG por medio de la siguiente función,
σG : G
→
AG
g
7→
1g,
con 1 la identidad de A. La función σG es inyectiva, motivo por el que escribimos
G ⊂ AG. Pero más aún, σG es homomorfismo respecto al producto en G y el
producto en AG. Por tanto G preserva su estructura de grupo dentro de AG
(con otras palabras, G es subgrupo del grupo de unidades).
De igual modo, podemos considerar que A está contenido en AG, con la
siguiente función,
σA : A
→
a 7→
AG
ae
donde e es el neutro de G. La función σA es también inyectiva, por lo que
escribimos A ⊂ AG. Y σG es un homomorfismo de anillos, por lo que A es
subanillo de AG. Por todo ello no es necesario distinguir entre las identidades
de A, G y AG, pues todas coinciden en AG, y escribiremos simplemente 1 para
referirnos a cualquiera de ellas.
También se puede definir un producto por escalares del anillo A.
P
Definición 1.2. Producto por escalares: para todo g∈G bg g ∈ AG y a ∈ A,
definimos


X
X
a
bg g  =
(abg )g.
g∈G
g∈G
Con la suma y el producto por escalares se tiene que el anillo AG es A-módulo
izquierdo. Y es un A-módulo libre, pues G es base.
Si en lugar de un anillo tenemos un cuerpo, que es lo que utilizamos en este
trabajo, el anillo KG tiene estructura de K-álgebra.
1.2.
El problema del isomorfismo y un contraejemplo
El problema del isomorfismo plantea que si tenemos dos grupos y un anillo y
los anillos de grupo que se forman son isomorfos como anillos, ¿necesariamente
los grupos son isomorfos?.
1.2. EL PROBLEMA DEL ISOMORFISMO Y UN CONTRAEJEMPLO
3
Dicho de otro modo, el problema del isomorfismo plantea si un grupo queda
completamente caracterizado por sus anillos de grupo.
La respuesta que damos en este trabajo es el siguiente teorema, que supone
una respuesta negativa al mismo:
Teorema 1.3. Si G y H son grupos abelianos finitos, tales que |G| = |H| = n,
y K es un cuerpo algebraicamente cerrado de caracterı́stica 0 ó p, donde p - n,
entonces
KG ≈ KH,
como K-álgebras.
La demostración del teorema es el objetivo de la tesis. El teorema es un
contraejemplo al problema, ya que en este caso los grupos no necesariamente
son isomorfos.
Por otro lado, imponiendo restricciones al anillo y los grupos existen respuestas positivas:
A. Whitcomb (1968), asumiendo que G es un grupo finito metabeliano (un
grupo metabeliano es un grupo cuyo subgrupo conmutador es abeliano).
Si ZG ≈ ZH entonces G ≈ H. En este caso tenemos que la respuesta a
este problema restringido del isomorfismo es afirmativa.
S.K. Sehgal (1983), suponiendo que G y H son dos grupos nilpotentes,
finitamente generados. Entonces ZG ≈ ZH implica G ≈ H. Otro caso
restringido en el que la respuesta es afirmativa.
El teorema 1.3, en el caso de K = C, es un ejemplo conocido de la teorı́a
de representaciones de grupos, lo que justifica el tı́tulo de este trabajo como
contraejemplo clásico.
Antes de probar el teorema con toda generalidad veamos explı́citamente un
caso particular.
Ejemplo 1.4. C(C4 ) ≈ C(C2 × C2 ).
Puesto que C es un cuerpo, C(C4 ) y C(C2 × C2 ) son C-espacios vectoriales,
y ambos de dimensión 4. Por tanto son isomorfos como espacios vectoriales.
Para ver que lo son como álgebras damos el siguiente isomorfismo.
Sean C4 = {1, g, g 2 , g 3 } y C2 = {1, h} donde g 4 = 1 y h2 = 1, entonces
definimos φ dando su actuación en la base C4 y, el resto, por linealidad.
φ : C(C4 ) →
1
7→
g
7→
g2
7→
3
7→
g
C(C2 × C2 )
(1, 1)
√
1/ 2[(1, h) + i(h, 1)]
i(h, h)
√
−1/ 2[(1, h) − i(h, 1)].
4
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
La función φ, es un isomorfismo de espacios vectoriales, pues la imagen de
la base es también una base, ya que es linealmente independiente, y además
verifica
φ(g 2 ) = φ(g)2
con lo cual es isomorfismo de álgebras. Por lo que C(C4 ) ≈ C(C2 × C2 ) como
anillos.
Sin embargo, como es sabido, C4 no es isomorfo a C2 × C2 como grupos.
Tenemos pues un contraejemplo para el problema del isomorfismo.
Con este ejemplo, queda claro el objetivo de la tesis, dar las herramientas y
la demostración del teorema 1.3.
La teorı́a de representaciones de grupos resulta una herramienta apropiada
para abordar este problema. Ası́, en el siguiente capı́tulo se exponen algunas
nociones de ella para, inmediatamente, dar una primer prueba del teorema. Sin
embargo hace falta recurrir a algunos resultados de la teorı́a de módulos, lo que
lleva a pensar en una prueba que se dasarolle completamente dentro de esta
teorı́a: esta demostración se da en el capı́tulo 3.
Pero este trabajo no se detiene en este punto pues las herramientas presentadas, con poco esfuerzo más, permiten construir explı́citamente el isomorfismo
entre las álgebras KG y KH del teorema 1.3. Este es el contenido del capı́tulo
4.
Finalmente en el capı́tulo 5 se reúnen las conclusiones del trabajo.
Capı́tulo 2
Prueba en la teorı́a de
representaciones de grupos
finitos
La primera herramienta que necesitamos es la teorı́a de las representaciones
de grupos finitos. En ella estudiamos diversos tipos de representaciones y el
teorema de Maschke, que dice que en ciertos casos, todas las representaciones
de un grupo se pueden expresar a partir de un conjunto pequeño: las irreducibles.
Después, explicamos la estrecha relación que existe entre las representaciones
de grupos y los KG-módulos.
Finalmente llegamos a la prueba del teorema 1.3 en la teorı́a de las representaciones de grupos finitos, lo cual es el nombre y objetivo del capı́tulo.
2.1.
Representaciones de grupos finitos
Representar un grupo G es identificarlo con un subgrupo de algún otro grupo
H. El grupo H debe ser bien conocido y más fácil de manejar, ya que no tiene
sentido complicar más las cosas.
Existen dos familias de grupos que se usan habitualmente para este proposito: los grupos de permutaciones y los grupos de automorfismos de espacios
vectoriales.
De las dos familias, para el grupo de permutaciones el teorema de Cayley
asegura que todo grupo finito es isomorfo a un subgrupo de algún grupo de
permutaciones. Es decir, todo grupo finito admite una representación de este
tipo.
Sin embargo nuestro interés es el otro caso las representaciones en el grupo de
automorfismos de un K-espacio vectorial V : Aut(V ). Este conjunto está formado
por los elementos invertibles del anillo de endomorfismos de V End(V ). Se
trata, por tanto, de un grupo con la operación de composición; el grupo de
5
6
CAPÍTULO 2. REPRESENTACIONES DE GRUPOS
unidades de dicho anillo. Tenemos libertad para elegir el cuerpo K y la dimensión
de V , ası́ que hay una gran variedad de grupos. Además introduciendo una
base al espacio vectorial V , podemos pasar a la representación matricial de los
automorfismos, conjunto denominado GL(n, K).
Definición 2.1. Una representación de un grupo G sobre el cuerpo K es un
homomorfismo de grupos ρ : G → Aut(V ), donde V es un K- espacio vectorial.
La dimensión de V es el grado de la representación.
Eligiendo, como se dijo, una base de V , llevamos la representación al conjunto
de matrices invertibles n × n con coeficientes en K.
Definición 2.2. Si ρ es una representación de grado n del grupo G en el Kespacio vectorial V y, dada una base, M : End(V ) → Mn (K) es la función
que a cada endomorfismo asigna su matriz asociada en dicha base, entonces la
función R = M ◦ ρ es la representación matricial de ρ respecto a dicha base.
Ejemplo 2.3. Si G es un grupo y ρ una representación, entonces 1, el neutro
de G, debe ir al neutro del grupo Aut(V ), es decir, la transformación identidad:
ρ(1) = idV . Entonces, para cualquier grupo G y cualquier espacio vectorial V
existe el homomorfismo trivial ρ : G → Aut(V ), que lleva todo elemento de G a
la tranformación identidad. Esta representación se llama trivial.
Con el ejemplo 2.3, ya tenemos que todo grupo admite una representación.
Pero, siendo realistas, la representación trivial no es interesante pues pierde
toda la estructura del grupo en la imagen de ρ. Por eso le damos nombre a una
representación que cumple ser homomorfismo inyectivo.
Definición 2.4. Una representación es fiel si es monomorfismo.
Con una representación fiel, la estructura de grupo se conserva. Pero un
grupo admite muchas representaciones ası́ que es necesario saber cuando dos de
ellas son equivalentes.
Definición 2.5. Dos representaciones ρ1 y ρ2 del grupo G en los K-espacios
vectoriales V1 y V2 respectivamente son equivalentes si existe un isomorfismo
σ : V1 → V2 tal que, para todo g ∈ G se cumple ρ2 (g) = σ ◦ ρ1 (g) ◦ σ −1 .
La equivalencia entre las dos representaciones se da con la existencia de
un isomorfismo entre los espacios vectoriales, pues la condición ρ2 (g) = σ ◦
ρ1 (g) ◦ σ −1 , en su representación matricial no es otra cosa que el cambio de base
para matrices, por lo que interpretamos las representaciones matriciales como
la misma representación sólo que escrita en distinta base.
2.1.1.
Representación regular
Para no perder la estructura de grupo, es necesario que la representación sea
fiel. Y serı́a bueno saber si todos los grupos tienen por lo menos una representación fiel. La respuesta es sı́, la representación regular, ya que se puede definir
para cualquier grupo y siempre es fiel.
2.1. REPRESENTACIONES DE GRUPOS FINITOS
7
Recordando que KG es un álgebra asociativa sobre el cuerpo K, en particular
es un K-espacio vectorial, y una base de este espacio vectorial es, claramente, el
propio G, su dimensión es |G|. La representación regular de un grupo G sobre
el cuerpo K utiliza como espacio vectorial precisamente KG.
Definición 2.6. La representación regular izquierda de un grupo G sobre el
cuerpo K es la función ρ : G → Aut(KG) definida del siguiente modo: el
automorfismo asociado al elemento h ∈ G actúa en KG transformando cada
vector g ∈ G de la base en ρ(h)(g) = hg.
La representación regular derecha se define análogamente, operando h por la
derecha sobre g.
Proposición 2.7. La representación regular (izquierda o derecha) es una representación fiel del grupo G sobre el cuerpo K de grado |G|.
Demostración. Razonemos para la representación izquierda; para la derecha es
análogo. Primero veamos que, efectivamente, es una representación. Por ser G
grupo, dado h ∈ G fijo, hg recorre todo el grupo G cuando g lo recorre, por lo
cual ρ(h) transforma una base en una base, luego es automorfismo de KG (de
hecho sólo cambia el orden de la base). Además, el único automorfismo ρ(h) que
resulta de la identidad es el correspondiente a h = e, el neutro de G, luego ρ es
fiel.
Ejemplo 2.8.
Sea G = C2 × C2 = {(1, 1), (1, h), (h, 1), (h, h)} donde h2 = 1 entonces la representación regular de C2 × C2 está dada por las siguientes matrices:




1 0 0 0
0 1 0 0
 1 0 0 0 
 0 1 0 0 



ρ(1, 1) = 
 0 0 1 0  , ρ(1, h) =  0 0 0 1  ,
0 0 0 1
0 0 1 0




0 0 1 0
0 0 0 1
 0 0 0 1 
 0 0 1 0 



ρ(h, 1) = 
 1 0 0 0  , ρ(h, h) =  0 1 0 0  .
0 1 0 0
1 0 0 0
Hay que mencionar que, las matrices ρ(g), g ∈ G son matrices permutación.
En particular, si tomamos cualquier elemento g 6= 1 en G, para cualquier otro
elemento h ∈ G tenemos que gh 6= h. Esto implica que, para cualquier elemento
h de la base ρg (h) 6= h de donde se observa que todos los elementos en la
diagonal de ρg (h) son 0.
La representación regular es siempre una representación fiel, pero tiene un
problema, el grado es muy grande (dependiendo del grupo a representar) por lo
que la representación regular es poco manejable.
2.1.2.
Representaciones lineales
El menor grado que podemos tener en una representación no trivial de grupo
es uno. El único K-espacio vectorial de dimensión uno (salvo isomorfismos) es
8
CAPÍTULO 2. REPRESENTACIONES DE GRUPOS
el propio cuerpo K, y el grupo de automorfismos no es otra cosa que su grupo
multiplicativo K ∗ . Entonces, una representación de grado uno, o lineal, del grupo G es un homomorfismo ρ : G → K ∗ . Esto nos dice que las representaciones
lineales no pueden representar fielmente grupos no abelianos, ya que K ∗ es abeliano. Pero como nosotros estamos interesados en grupos abelianos, seguiremos
adelante.
Si el grupo G es finito, de orden n, todos sus elementos g verifican g n = 1.
Llevando esto a la representación nos dice que la imagen de g verifica ρ(g)n = 1,
es decir, es una raı́z n-ésima de la unidad. Por ello conviene que el cuerpo
elegido contenga estas raı́ces. Utilizar un cuerpo algebraicamente cerrado facilita
la existencia de representaciones lineales.
A la representación lineal trivial, se le llama unitaria, y es la que asigna a
todo elemento g del grupo la identidad del cuerpo: ρ(g) = 1.
De los grupos abelianos finitos, los más sencillos, son los grupos cı́clicos. La
siguiente proposición da las condiciones para que un grupo cı́clico de n elementos
admita una representación lineal fiel.
Proposición 2.9. El grupo cı́clico de n elementos, Cn , admite una representación lineal fiel sobre el cuerpo K si, y sólo si, éste contiene una raı́z n-ésima
primitiva de la unidad.
Demostración. Si g es un generador de Cn , una representación ρ queda definida
por la imagen ρ(g) = ω. Obviamente, ω debe ser una raı́z n-ésima de la unidad
del cuerpo K. Puesto que ρ(g r ) = ω r , la representación es fiel sólo si ω es una
raı́z primitiva.
Veamos ahora que ningún otro grupo finito, abeliano o no, admite representaciones lineales fieles.
Proposición 2.10. Si G es un grupo finito, no cı́clico, y ρ es una representación
lineal, entonces ρ no es una representación fiel.
Demostración. La imagen ρ(G) es un subgrupo de K ∗ que, por ser finito, es
cı́clico. Por el teorema del isomorfismo de grupos, G/Kerρ ≈ ρ(G) de donde,
ya que G no es cı́clico, Kerρ debe ser no trivial. Entonces ρ no es inyectivo y la
representación no es fiel.
Proposición 2.11. Si G es un grupo finito abeliano de orden n y K un cuerpo algebraicamente cerrado, existen exactamente n representaciones lineales no
equivalentes de G sobre K.
Demostración. Por el teorema de estructura de los grupos abelianos finitos
G ≈ Cn1 × . . . Cnr para ciertos naturales ni que cumplen ni |ni+1 y cierto
natural r. Llamando a a un generador y 1 el neutro de cada grupo cı́clico,
una representación de G queda determinada por los valores de los elementos
(a, 1, . . . , 1), (1, a, . . . , 1), . . . , (1, 1, . . . , a), de forma que cada uno debe ser una
raı́z apropiada de la unidad:
2.1. REPRESENTACIONES DE GRUPOS FINITOS
9
ρ(a, 1, . . . , 1) = ω1 , raı́z n1 -énesima de la unidad,
ρ(1, a, . . . , 1) = ω2 , raı́z n2 -énesima de la unidad,
......
ρ(1, 1, . . . , a) = ωr , raı́z nr -énesima de la unidad.
Puesto que hay n1 raı́ces n1 -ésimas,n2 raı́ces n2 -ésimas, etc., la anterior receta
nos da n1 · n2 · · · · · n3 = n funciones ρ diferentes. Ya que en el caso de representaciones lineales, dos representaciones son equivalentes si son iguales, las n
representaciones diferentes son n representaciones no equivalentes.
Existe una proposición que nos dice que todo grupo G finito admite |G/[G, G]|
representaciones no equivalentes. Pero, para nuestro caso sólo ocuparemos grupos abelianos, entonces son |G| las representaciones, pero sólo en el caso de que
G sea cı́clico algunas de ellas son fieles.
La representación regular siempre existe y es fiel, pero es muy grande. Y
la representación lineal es tan chica que apenas alcanza para representar grupos abelianos. Por ello hay que estudiar cómo se puede reducir el grado de la
representación regular.
2.1.3.
Representaciones reducibles e irreducibles
Recordemos que hasta ahora no hemos obtenido un equilibrio entre tamaño
y fidelidad. Por ello el estudio de las representaciones que logran hacer esto, las
representaciones irreducibles y completamente reducibles.
El concepto de represetnación irreducible se basa en el de subespacio invariante.
Definición 2.12. Dada una representación ρ del grupo G en el K-espacio vectorial V , un subespacio W ⊂ V es invariante bajo la representación si lo es bajo el
automorfismo ρ(g) para cada elemento g del grupo G, es decir, si ρ(g)(W ) ⊂ W
para cada g ∈ G.
Con un subespacio invariante se gana un poco más, ya que la representación
define una representación en el espacio W ; basta con restringir cada automorfismo ρ(g) al subespacio W . Y, como la dimensión de W es menor (o igual) a
la de V , la nueva representación tiene grado menor (o igual).
Definición 2.13. Dada una representación ρ en el espacio vectorial V y un
subespacio W invariante, la representación ρW , llamada subrepresentación de
ρ en W , está definida por ρW (g) = ρ(g) ◦ i, donde i : W ,→ V es la función
inclusión.
Por lo tanto, si existe un subespacio invariante la representación se puede
reducir a otra de grado menor o igual. Por lo que se da la siguiente definición.
Definición 2.14. Una representación de un grupo en el espacio vectorial V es
irreducible si {0} y V son sus únicos subespacios invariantes. Una representación es reducible si no es irreducible.
10
CAPÍTULO 2. REPRESENTACIONES DE GRUPOS
Ejemplo 2.15. Es claro que toda representación lineal es irreducible ya que si
el espacio vectorial V es de dimensión 1, los únicos subespacios son {0} y V .
Pero cómo saber si un grupo tiene una representación fiel e irreducible. La
siguiente proposición nos da la pauta para saber cuándo un grupo no se puede
representar de forma fiel e irreducible a la vez.
Proposición 2.16. Sea ρ una representación irreducible del grupo G sobre el
K-espacio vectorial V y sea g ∈ Z(G), con Z(G) el centro del grupo. Si el
automorfismo ρ(g) tiene un valor propio λ ∈ K, entonces ρ(g)(v) = λv para
todo v ∈ V .
Demostración. Definimos el subconjunto de V dado por W = {w ∈ V |ρ(g)(w) =
λw} que es un subespacio vectorial. W no puede ser el subespacio trivial, ya
que al menos contiene un vector propio de ρ(g).
Ahora veamos que W es invariante. Sean w ∈ W y h ∈ G. Entonces
ρ(g)(ρ(h)(w)) = ρ(gh)(w) pero, como g está en el centro del grupo, conmuta con h y tenemos ρ(gh)(w) = ρ(hg)(w) = ρ(h)(λw) = λρ(h)(w), de donde
ρ(h)(w) ∈ W y W es invariante.
Como la representación es irreducible y W 6= 0, necesariamente W = V .
Con la proposición anterior podemos localizar las representaciones irreducibles de un grupo abeliano finito sobre un cuerpo algebraicamente cerrado.
Proposición 2.17. Las únicas representaciones irreducibles de un grupo abeliano finito sobre un cuerpo algebraicamente cerrado son las de grado uno.
Demostración. Si la representación ρ del grupo abeliano finito G es irreducible
y de grado n > 1 entonces, por la proposición 2.16, todos los automorfismos
ρ(g), con g ∈ G deben ser escalares, ya que Z(G) = G y, por ser un cuerpo
algebraicamente cerrado, tiene un valor propio en él. Pero, de ser ası́, todo subespacio no trivial, de dimensión menor que n debe ser invariante, contradiciendo
la hipótesis de que la representación es irreducible. Por lo que el grado no puede
ser mayor que 1.
Gracias al siguiente concepto se va a poder relacionar, en ciertos casos, una
represetnación no irreducible con las irreducibles.
Definición 2.18. Una representación ρ en el espacio vectorial V es completamente reducible si existen subespacios invariantes W1 , ..., Wr , ninguno de ellos
trivial, tales que V = W1 ⊕ · · · ⊕ Wr y la restricción ψ a cada uno de ellos es
irreducible.
Por otro lado, podemos definir a la suma directa de representaciones como
sigue.
Definición 2.19. Sean φ : G → Aut(V ) y ϕ : G → Aut(W ) representaciones
de G sobre un cuerpo K. Definimos una nueva representación de G sobre K
con V ⊕ W el espacio de la representación, que llamaremos suma directa de las
representaciones y denotaremos como φ ⊕ ϕ, mediante
(φ ⊕ ϕ)(g) = φ(g) ⊕ ϕ(g), ∀g ∈ G.
2.1. REPRESENTACIONES DE GRUPOS FINITOS
11
Si elegimos las bases {v1 , . . . , vr } y {w1 , . . . , ws } de V y W respectivamente
y denotamos por g 7→ A(g) y g 7→ B(g) las matrices correspondientes a las bases
dadas, entonces la matriz asociada a la representación φ ⊕ ϕ con respecto a la
base {(v1 , 0), . . . (vr , 0), (0, w1 ), . . . , (0, ws )} de V ⊕ W , está dada por
A(g)
0
g 7→
.
0
B(g)
Observemos que si las representaciones con las que se hace la suma directa
son todas irreducibles, lo que genera una representación completamente reducible. O bien, si partimos de una representación ρ completamente reducible se
puede escribir como suma directa de representaciones irreducibles de la siguiente
manera
ψ = ψ1 ⊕ · · · ⊕ ψr ,
con cada ρi = ρ|Wi irreducible.
Hay que resaltar que toda representación irreducible es completamente reducible de forma trivial. Pero no toda reducible es completamente reducible. El
teorema de Maschke (2.21) da las condiciones suficientes y necesarias para que
una representación sea completamente reducible. Además el teorema 2.21 dice
que, sobre un cuerpo adecuado, todas las representaciones están construidas a
partir de las irreducibles.
El obstáculo que se presenta para que una representación reducible sea completamente reducible es el siguiente. Si W < V es un subespacio invariante
siempre va a existir otro subespacio de V , U tal que V = W ⊕ U . Lo que no se
puede asegurar es que U sea invariante.
El siguiente lema se ocupa de solucionar este problema y por ello es la clave
del teorema de Maschke.
Lema 2.20. Si G es un grupo finito de orden n y K es un cuerpo de caracterı́stica 0 ó p, donde p no divide a n, y W es un subespacio invariante del espacio de
la representación, V , existe un subespacio U invariante tal que V = W ⊕ U.
Demostración. Sea U 0 un subespacio complementario de W , es decir, tal que
V = W ⊕ U 0 . Este subespacio U 0 no necesariamente es invariante, pero con
él construimos el subespacio U . Llamemos π 0 al proyector correspondiente a
esta descomposición: la transformación lineal π 0 : V → V tal que Kerπ 0 = U 0
y π 0 (ω) = ω para ω ∈ W (y, por tanto, Imπ 0 = W ). Definimos la función
π : V → V mediante la fórmula
1 X
π=
ρ(g) ◦ π 0 ◦ ρ(g −1 ),
n
g∈G
que es una especie de promedio sobre los n elementos del grupo G. Veamos
que π es un proyector que define otro subespacio complementario de W pero,
además, invariante.
Primero, puesto que π 0 proyecta sobre W y éste es invariante bajo ρ(g),
tenemos que Imπ ⊂ W . Por otro lado, si ω ∈ W tenemos que ρ(g −1 ) deja ω de
12
CAPÍTULO 2. REPRESENTACIONES DE GRUPOS
nuevo dentro de W , donde π 0 es la identidad. Entonces ρ(g) ◦ π 0 ◦ ρ(g −1 )(ω) = ω
y, sumando los n elementos del grupo resulta nω. Con el escalar n1 tenemos
finalmente π(ω) = ω, luego se cumple π 2 = π y la función pi define un proyector
sobre W . El núcleo de este proyector es un complementario de W , llamémoslo
U = Kerπ.
Ahora veamos que U es un subespacio invariante de la representación ρ. Para
ello observemos que π conmuta con todos los automorfismos ρ(h), h ∈ G, pues
ρ(h) ◦ π ◦ ρ(h−1 ) =
1 X
ρ(h)ρ(g) ◦ π 0 ◦ ρ(g −1 )ρ(h−1 )
n
g∈G
=
1 X
ρ(hg) ◦ π 0 ◦ ρ(g −1 h−1 )
n
g∈G
=
1 X
ρ(hg) ◦ π 0 ◦ ρ((hg)−1 ) = π,
n
g∈G
de donde ρ(h) ◦ π = π ◦ ρ(h). Sean pues u ∈ U y h ∈ G. Queremos probar
que ρ(h)(u) ∈ U o, lo que es lo mismo, que aplicando π a ρ(h)(u) obtenemos el
vector nulo. Pero, operando directamente y usando el resultado anterior
π(ρ(h)(u)) = ρ(h)(π(u)) = 0,
ya que u ∈ Kerπ.
El teorema de Maschke es aplicar el resultado anterior reiteradamente hasta
lograr una descomposición en irreducibles.
Teorema 2.21 (Maschke). Si G es un grupo finito de orden n y K es un cuerpo
de caracterı́stica cero ó p, donde p no divide a n, entonces toda representación
de G sobre K es completamente reducible.
Demostración. Se usa un argumento de inducción sobre n. Sea ρ una representación del grupo G en el espacio V . Si el grado de ρ es n = 1, entonces es
irreducible y el teorema se cumple trivialmente. Sea ahora n arbitrario y supongamos que el teorema es válido para todo grado menor que n. Por el lema 2.20,
existe un subespacio U , de dimensión también menor que n e invariante. Por
hipótesis de inducción, las subrrepresentaciones de W y U son completamente
reducibles, luego la representación ρ también lo es.
Con lo que el teorema de Maschke asegura que, si se cumplen las hipótesis,
toda representación de G sobre K es completamente reducible y se puede escribir
como suma directa de representaciones irreducibles.
2.2. REPRESENTACIONES Y KG-MÓDULOS
2.2.
13
Representaciones y KG-módulos
Existe una estrecha relación entre las representaciones de un grupo finito G
sobre el cuerpo K y las unidades izquierdas sobre el anillo KG. De hecho vamos
a ver que se pueden considerar sinónimos pues hay una biyección entre ellos: a
cada representación se asocia un KG-módulo y viceversa.
Esta sección está dividida en cuatro subsecciones, las dos primeras dedicadas
a dar la equivalencia entre representaciones y KG-módulos. Otra sección para
destacar algunos KG-módulos, provenientes de representaciones de grupos finitos destacadas, ya que ambos conceptos resultan ser sinónimos. Y por último,
una sección dedicada a enunciar el teorema de Maschke para KG-módulos.
2.2.1.
Cada representación define un KG-módulo
Si tenemos una representación de un grupo finito G, con la siguiente proposición se puede observar que le podemos asociar un KG-módulo.
Proposición 2.22. Sea ρ una representación del grupo G sobre un cuerpo K y
V el K-espacio vectorial. Definiendo el producto por escalares que están en KG
de la siguiente manera:
P
Para g∈G ag g ∈ KG y v ∈ V ,


X

ag g  v =
g∈G
X
ag ρ(g)v,
g∈G
y la suma en V la misma que tiene como K-espacio vectorial, se tiene que V es
un KG-módulo.
Demostración.
1. (V, +) es grupo abeliano, ya que V es espacio vectorial.
2. Producto por escalares de KG.
Asociatividad.
14
CAPÍTULO 2. REPRESENTACIONES DE GRUPOS
Sean α, β ∈ KG y sea v ∈ V

(αβ)v
= 

X
!
X
ag g 
g∈G
h∈G

producto en KG
bh h  v

X
= 
(ag bh ) gh v
g,h∈G
producto por escalares
X
=
ag bh ρ(gh)v
g,h∈G
X
por ser ρ un homomorf ismo =
ag bh (ρ(g) ◦ ρ(h)v)
g,h∈G
por linealidad de ρ(g) y bn ∈ K
=
X
ag ρ(g)(
g∈G
X
bh ρ(h)v)
h∈G
= α(βv).
Identidad.
Como ρ(1) = idV , queda probado que 1 · v = v.
Distributividad.
Sean α, β ∈ KG y v, u ∈ V .
• α(u + v)
α(u + v)
=
(
X
ag g)(u + v)
g∈G
producto por escalares
=
X
ag (ρ(g)(u + v))
g∈G
por linealidad de ρ(g)
=
X
ag (ρ(g)u + ρ(g)v)
g∈G
por distributividad en V
=
X
ag ρ(g)u +
g∈G
= αu + αv
X
g∈G
ag ρ(g)v
2.2. REPRESENTACIONES Y KG-MÓDULOS
15
(α + β)v.

(α + β)v
= 

X
ag g +
g∈G
X
g∈G

= 
bg g  v

X
(ag + bg )g  v
g∈G
=
X
(ag + bg )ρ(g)(v)
g∈G
por distributividad en V
=
X
(ag ρ(g)(v) + bg ρ(g)(v))
g∈G
= αv + βv
Entonces resulta que V tiene estructura de KG-módulo, o bien, la representación ρ define un KG-módulo.
2.2.2.
Cada KG-módulo define una representación
Ahora al revés: dado un KG-módulo M la proposición que sigue define una
representación del grupo G sobre K. Observese que, puesto que K ⊂ KG,
entonces M también es K-módulo, o bien, con K- espacio vectorial. Éste es el
que se toma como espacio de la representación.
Proposición 2.23. Sea M un KG-módulo y sea
ρ:G
→
AutK (M ).
g
7→
ρ(g) : M → M.
m 7→ gm
La función ρ define una representación del grupo G sobre M como K-espacio
vectorial.
Demostración.
1. Para ver que la función está bien definida, hay que ver que
ρ(g) es lineal y biyectiva.
Sean a ∈ K y m, n ∈ M .
ρ(g)(am)
ρ(g)(am) = g(am)
por asociatividad en M = (ga)m
por a ∈ K
por asociatividad en M
=
(ag)m
= a(gm)
= a(ρ(g)m)
16
CAPÍTULO 2. REPRESENTACIONES DE GRUPOS
ρ(g)(m + n)
ρ(g)(m + n)
por distributividad en M
= g(m + n)
= gm + gn
= ρ(g)m + ρ(g)n.
ρ(g) es biyectiva. Se puede observar que ρ(g −1 ) es la función inversa
de ρ(g), por lo que ρ(g) es biyectiva.
2. ρ es homomorfismo.
ρ(gh)m
por asociatividad en M
= (gh)m
= g(hm)
=
(ρ(g) ◦ ρ(h))m
,
y como lo anterior es válido para todo m ∈ M , ρ(gh) = ρ(g) ◦ ρ(h).
Sólo hay que ver si la función ρ está bien definida y cumple ser homomorfismo.
En otras palabras, el concepto de representación de un grupo G por automorfismos coincide con el de módulo sobre el álgebra de grupo KG. Son sinónimos.
Pues resulta que si una representación ρ define un KG-módulo, V , ese KGmódulo, V , define la misma representación ρ.
Lo anterior se ilustra de la siguiente manera: Si tenemos una representación
ρ de G en V , con V un K-espacio vectorial. ρ(g) es pues un automorfismo de
V.
Considerando ahora a V como KG-módulo por proposición 2.23 genera la
siguiente representación:
σ:G
→
Aut(V )
g
7→
σ(g) : V → V
v 7→ gv.
Pero el producto gv quedó definido, según la proposición 2.22, como gv =
ρ(g)(v). Por tanto σ(g) = ρ(g) y σ es la misma representación de la que partimos.
2.2.3.
KG-módulos asociados a ciertas representaciones
Ya que sabemos que a cada representación le corresponde un KG-módulo, resulta interesante ver qué tipos de KG-módulo les correponden a algunas
representaciones particulares.
Si ρ es una representación irreducible, sus únicos subespacios invariantes
son V y {0}. Con la definición del producto por escalares en KG, V es un
2.3. DEMOSTRACIÓN DE TEOREMA
17
KG-módulo cuyos únicos submódulos son V y {0}, por tanto se tiene que el
KG-módulo es simple.
Y ¿qué pasa si ρ es completamente reducible?.
Por ser completamente reducible, existen subespacios invariantes W1 , . . . , Wr ,
ninguno de ellos trivial, tales que V = W1 ⊕ . . . ⊕ Wr y la restricción de la representación a cada uno de ellos es irreducible. Y por ser cada subespacio irreducible, genera un KG-módulo simple que es a su vez submódulo del KG-módulo
V . Entonces se tiene que V es un KG-módulo semisimple.
Por último para la representación regular, ya que se toma a KG como el Kespacio vectorial, por la proposición 2.22, se tiene que el KG-módulo asociado
es el propio KG.
Notemos que si un KG-módulo M tiene una descomposición como una suma
directa de submódulos M = ⊕ti=1 Mi y si ρ y ρi denotan las representaciones
correspondientes a los módulos, 1 ≤ i ≤ t, entonces ρ = ⊕ti=1 ρi
2.3.
Demostración de teorema
Finalmente abordamos, la demostración del teorema 1.3, que es un corolario
del siguiete resultado.
Teorema 2.24. Si G es un grupo abeliano, finito, |G| = n y K es un cuerpo
algebraicamente cerrado, de caracterı́stica 0 ó p, con p - n,
KG ≈ K × . . . × K
{z
}
|
n
como K-álgebras.
Demostración. Tomamos la representación regular ρ de KG.
ρ : G → Aut(KG).
Por Maschke, sabemos que nuestra representación ρ es completamente reducible, con lo que tenemos que, como K-espacio vectorial, KG se descompone de
la forma
KG = W1 ⊕ · · · ⊕ Wr ,
donde los Wi son invariantes bajo ρ y en ellos la representación es irreducible.
Como G es un grupo abeliano y K algebraicamente cerrado, por la proposición 2.17, Wi es de dimensión uno, y se tiene que Wi ≈ K como K-espacios
vectoriales. Para cada i ∈ {1, . . . , n} sea wi un vector no nulo de Wi . Claramente B = {w1 , . . . wn } es base de KG. Veamos cómo se comporta respecto al
producto.
Viendo el producto como en la definición 2.22, al estudiarlo tenemos lo siguiente.
Sean α ∈ Wi y β ∈ Wj con i 6= j
18
CAPÍTULO 2. REPRESENTACIONES DE GRUPOS
Escribamos α =
P
g∈G
ag g y β =
P
g∈G bg g.

αβ
= 
Entonces

X
ag g  (β)
g∈G
=
X
ag ρ(g)(β),
g∈G
pero Wj es subespacio invariante bajo ρ(g), luego ρ(g)β ∈ Wj y αβ ∈ Wj .
De una manera similar, observamos que para βα el resultado se queda en
Wi . Y por ser KG abeliano αβ = βα y ambos cero, pues Wi ∩ Wj = {0}.
Consideremos ahora

α2 = 

X
ag g  α =
g∈G
X
ag ρ(g)α.
g∈G
Pero como Wi es invariante bajo ρ tenemos α2 ∈ Wi .
Siendo Wi de dimensión uno podemos escribir α2 = λα para algún escalar
λ ∈ K. Si α 6= 0, entonces λ 6= 0 ya que de lo contrario ρ|Wi = 0, y no
serı́a una representación. Entonce podemos definir wi = λ1 α de modo que
wi2 =
1
1 2
α = α = wi .
λ2
λ
Igualmente el resto.
A partir de la base B construimos la siguiente función
φ : KG
→
Kn
w1 7→
w2 7→
..
. ···
(1, 0, ..., 0)
(0, 1, ..., 0)
..
.
7→
(0, 0, ..., 1),
wn
donde el resto de los elementos se construyen por linealidad. Por la construcción
de B es claro que φ es un isomorfismo de K-álgebras.
Resulta entonces que el objetivo de la tesis no es más que un corolario del
teorema 2.24.
Corolario 2.25 (Teorema 1.3). Sean G y H grupos abelianos finitos y K un
cuerpo algebraicamente cerrado. Si |G| = |H| = n y K tiene caracterı́stica 0
ó p, p - n, entonces KG ≈ KH.
2.3. DEMOSTRACIÓN DE TEOREMA
19
Demostración. Tanto G como H cumplen las hipótesis del teorema 2.24 por
tanto
KG ≈ K × . . . × K ≈ KH.
|
{z
}
n
20
CAPÍTULO 2. REPRESENTACIONES DE GRUPOS
Capı́tulo 3
Prueba en la teorı́a de
módulos
Observando la prueba del teorema 1.3 en la teorı́a de representaciones, nos
percatamos que en un momento de la prueba es necesario usar la relación que
existe entre las representaciones de grupo y los KG-módulos. Esto nos lleva a
preguntarnos si es posible realizar la prueba del teorema sólo con la teorı́a de
módulos.
La respuesta es afirmativa y para llevarla a cabo se enuncia el teorema de
Maschke en su versión para módulos. Después enunciamos unas proposiciones
para finalmente pasar a la prueba del teorema en su versión para módulos.
Teorema 3.1 (Teorema de Maschke (versión módulos)). Si G es un grupo finito
de orden n y K es un cuerpo de caracterı́stica cero ó p, donde p no divide a n,
entonces todo KG-módulo M es semisimple.
El siguiente corolario es la versión más usada del teorama de Maschke para
módulos.
Corolario 3.2. Sea G un grupo finito de orden n, y K un cuerpo de caracterı́stica cero ó p, tal que p - n, entonces KG es semisimple.
La siguiente proposición es de mucha ayuda para nuestra demostración.
Proposición 3.3. Si
A = A1 ⊕ · · · ⊕ An
es una descomposición del anillo A en suma directa de ideales izquierdos y
1 = e1 + · · · + en ,
donde ei ∈ Ai ,entonces
e2i = ei
21
22
CAPÍTULO 3. PRUEBA EN LA TEORÍA DE MÓDULOS
ei ej = 0 (i 6= j)
Ai = Aei .
Demostración. Primero veremos que ei ej = 0, por ser más fácil, después que
e2i = ei y por último Ai = Aei .
e1 e2 = 0.
En efecto
e1 (e2 + · · · + en )
=
= e1 (1 − e1 ),
∈ A1 ∩ (A2 + · · · + An ) = 0.
Observe que e1 (e2 + · · · + en ) ∈ A2 + · · · + An por ser Ai ideales izquierdos,
mientras que e1 (1 − e1 ), con el mismo argumento, es un elemento de A1 ,
por lo tanto es un elemento que cumple estar en la intersección.
Y con un argumento similar al anterior obtenemos
e1 e2 = −e1 (e3 + · · · + en ) ∈ A2 ∩ (A3 + · · · + An ) = 0.
Y resulta ser análogo para el caso i 6= j.
e2i = ei
Para la demostración recordemos que ei − e2i = 0 de donde obtenemos
ei = e2i .
Ai = Aei
Si a ∈ Ai ,
a = a1 = a(e1 + · · · + ei + · · · + en ) = (ae1 + · · · + aei + · · · + aen ).
Pero cada término de esta suma está en el ideal correspondiente, a ej ∈ Aj ,
por tanto debe cumplirse a = aei de donde a ∈ Aei , o bien Ai ⊂ Aei .
Por otro lado tenemos que ei ∈ Ai y como Ai es ideal izquierdo, Aei ⊂ Ai .
Proposición 3.4. Un anillo A se descompone en una suma directa de la forma
A = A1 ⊕ · · · ⊕ Ak donde los Ai son anillos con identidad, si y sólo si existen
ei ∈ A idempotentes, no triviales, centrales y ortogonales tales que
1 = e1 + · · · + ek
23
Demostración. Supongamos primero que el anillo A se descompone como A =
A1 ⊕ · · · ⊕ Ak ≈ A1 × · · · × Ak y sea ei la identidad de Ai . Entonces los elementos
(e1 , 0, . . . , 0), (0, e2 , . . . , 0), . . . , (0, . . . , ek ) ∈ A1 × · · · × Ak
verifican ser:
Idempotentes.
(0, . . . , ej , . . . , 0)(0, . . . , ej , . . . , 0) = (0, . . . , ej , . . . , 0)
Centrales.
Sea (a1 , . . . , ak ) ∈ A1 × · · · × Ak
(0, . . . , ej , . . . , 0)(a1 , . . . , ak ) = (0, . . . , aj , . . . , 0) = (a1 , . . . , ak )(0, . . . , ej , . . . , 0)
Ortogonales.
Si i 6= j, tenemos
(0, . . . , ei , . . . , 0)(0, . . . , ej , . . . , 0) = 0
Supongamos ahora que existen idempotentes, no triviales, centrales y ortogonales en el anillo A tales que
1 = e1 + · · · + ek .
Consideremos el ideal Ai = Aei . Dado que ei ∈ Z(A) el ideal es bilateral.
Probaremos que Ai ∩ Aj = {0}, con i 6= j. Tomando b ∈ Ai ∩ Aj , tenemos que
b ∈ Ai y b ∈ Aj lo que implica
b = cei , c ∈ A y b = dej , d ∈ A.
Entonces cei = dej pero, multiplicando por ei , cei ei = dej ei d y por idempotencia en un lado y ortogonalidad en otro tenemos cei = 0.
Por tanto b = 0, por lo que Ai ∩ Aj = {0}.
Sólo falta probar que todo elemento a de el anillo se escribe como suma de
elementos de los Ai .
Sea a ∈ A. Tomando en cuenta que 1 = e1 + · · · + ek , multiplicando a por 1,
tenemos
a = a(e1 + · · · + ek ) = ae1 + · · · + aek ,
con aei ∈ Ai . Por lo tanto a = a1 + · · · + ak , con ai ∈ Ai . Lo anterior implica
que A = A1 ⊕ · · · ⊕ Ak .
Con esto es suficiente para poder pasar a la prueba del teorema 1.3 desde
una perspectiva sólo de módulos.
Para seguir el esquema de la demostración del teorema 1.3 pasada, antes de
hacer la demostración del teorema 1.3, demostramos el siguiente teorema.
24
CAPÍTULO 3. PRUEBA EN LA TEORÍA DE MÓDULOS
Teorema 3.5. Si G es un grupo abeliano, finito, |G| = n y K es un cuerpo
algebraicamete cerrado, de caracterı́stica cero ó p, con p - n, entonces
KG ≈ K × . . . × K
|
{z
}
n
como K-álgebras.
Demostración. Con las hipótesis podemos aplicar el teorema de Maschke, con
lo que tenemos que KG es un anillo semisimple. Por tanto KG ≈ A1 ⊕ · · · ⊕ An ,
con los Ai anillos simples.
KG es abeliano, por ser K y G abelianos. Los anillos Ai , por tanto, son también abelianos, entonces tenemos anillos con identidad, simples y conmutativos,
por lo tanto los Ai son cuerpos.
La identidad de KG por 3.3 y proposición 3.4, puede descomponerse como
1 = e1 + · · · + en ,
con ei identidad de cada Ai .
Definamos la siguiente función
φ:K
→
Ai
α
7→
αei ,
Y veamos que φ es un homomorfismo de cuerpos.
1.
φ(α + β)
=
αei + βei
= φ(α) + φ(β)
(α + β)ei =
2.
φ(αβ)
= (αβ)ei = (αβ)e2i
= αei βei = φ(α)φ(β)
Entonces K ≤ Ai . Y por tanto Ai es una extensión de K. Pero KG, visto
como espacio vectorial, es de dimención finita, entonces Ai es de dimención
finita.
Pero si la extensión es finita, es algebraica. Y K es algebraicamente cerrado,
por lo que
Ai ≈ K,
como cuerpos, y por lo tanto
KG ≈ K × . . . × K
|
{z
}
n
El teorema 1.3 sigue como corolario tal y como se describe en la página.
Capı́tulo 4
Prueba constructiva
En este capı́tulo completaremos las demostraciones del teorema 1.3 que se
han dado con la construcción explı́cita del isomorfismo entre KG y K n .
La construcción se hace gracias a la noción de carácter, noción de gran
importacia en la teorı́a de las representaciones y en su aplicación en la teorı́a de
grupos. Damos la definición y propiedades necesarias para la prueba.
Definición 4.1. Sea G un grupo y sea V un K-espacio vectorial de dimensión
finita sobre un cuerpo K y sea ρ : G → Aut(V ) una representación de un gupo
G en V . El carácter χ de la representación ρ es la función
χ = tr ◦ ρ,
donde tr es la función la traza.
Si la representación es irreducible entonces χ se llama carácter irreducible y
el carácter de la representación regular se llama carácter regular.
Pero si se tiene que la representación bajo la que se esta trabajando es la
regular, se tiene una propiedad más, recordando el comentario sobre las matrices
de la representación regular el carácter cumple
χ(1) = |G|
χ(g) = 0,
(4.1a)
g 6= 1,
(4.1b)
ya que para cada elemento g ∈ G tenemos que ρ(g)(h) 6= h y se puede observar
que los elementos de la diagonal de ρ(g) son iguales a cero salvo el caso g = 1.
Dada una representación ρ : G → Aut(V ) podemos definir una extensión de
esta función (que llamaremos igualmente ρ) de la forma
ρ : KG → End(V )
P
P
dada por ρ( g∈G ag g) = g∈G ag ρ(g).
25
26
CAPÍTULO 4. PRUEBA CONSTRUCTIVA
Proposición 4.2. La función ρ definida anteriormente es homomorfismo de
K-álgebras.
Demostración. Para ver que ρ es homomorfismo demostramos lo siguiente
ρ(α + β) = ρ(α) + ρ(β), para todo α, β ∈ KG.
La suma en KG y la forma de actuar de ρ nos dice
X
X
ρ(α + β) = ρ(
(ag + bg )g) =
(ag + bg )ρ(g).
g∈G
g∈G
Mientras que
ρ(α) + ρ(β) =
X
ag ρ(g) +
g∈G
X
bg ρ(g) =
g∈G
X
(ag + bg )ρ(g).
g∈G
ρ(αβ) = ρ(α)ρ(β), para todo α, β ∈ KG.


X
X
(ag bh )(gh) =
(ag bh )ρ(gh).
ρ(αβ) = ρ 
g,h∈G
g,h∈G
Mientras que

ρ(α)ρ(β) = 

X
ag ρ(g)
g∈G
!
X
bh ρ(h)
h∈G
=
X
(ag bh )ρ(g)ρ(h).
g,h∈G
Pero por ser ρ un homomorfismo tenemos
X
X
(ag bh )ρ(g)ρ(h) =
(ag bh )ρ(gh).
g,h∈G
g,h∈G
ρ(bα) = bρ(α), con b ∈ K y α ∈ KG.
X
X
bag ρ(g) = b
ag ρ(g) = bρ(α).
ρ(bα) =
g∈G
g∈G
Del mismo modo podemos extender la definición del carácter asociado a ρ
como χ : KG → K, dada por
χ = tr ◦ ρ.
Conviene señalar que χ no es homomorfismo de K-álgebras en general, pero
sı́ lo es en caso de que ρ sea de grado 1, pues entonces χ ≡ ρ.
Recordemos que el objetivo de este capı́tulo es, teniendo que KG ≈ W1 ⊕
· · · ⊕ Wn , con Wi de dimensión uno e invariantes bajo ρ, contruir una base
27
B = {w1 , . . . wn } con las propiedades siguientes wi ∈ Wi , wi2 = wi para cada
i ∈ {1, dots, n} y wi wj = 0 si i 6= j.
Expresando la representación regular como
ρ = ρ 1 ⊕ · · · ⊕ ρn ,
con ρi , i ∈ {1, . . . , n} las n representaciones irreducibles diferentes de G sobre
K, tenemos el carácter regular se expresa como χ = χ1 ⊕ · · · ⊕ χn .
A cada wi lo podemos escribir en la forma
X
wi =
aig g, 1 ≤ i ≤ n,
g∈G
pero hay que saber cómo son los aig .
Aplicandolo al elemento x−1 wi encontramos
X
χ(x−1 wi ) =
aig χ(x−1 g).
g∈G
Haciendo el cambio k = x−1 g, con x−1 fijo y g variando en G, se recorren
todos los valores de G, por lo que reescribimos
X
χ(x−1 ei ) =
ai(xk) χ(k)
k∈G
= aix |G|.
Pero por otro lado
χ(x−1 wi ) =
n
X
χj (x−1 wi ).
j=1
Como el grupo es abeliano, las representaciones irreducibles son de dimensión
uno y por tanto sı́ son isomorfismos, luego
χj (x−1 wi ) = χj (x−1 )χj (wi ).
Exigimos ahora que wi ∈ Wi , el cual es invariante, por tanto χj (wi ) = 0 si
i 6= j. Aún tenemos libertad para pedir a wi que cumpla χi (wi ) = 1, (si a ∈ Wi
y χi (a) = λ basta definir wi = λ1 a).
Lo anterior lo podemos resumir en la expresión
χj (wi ) = δji ,
con δji la delta de Kronecker.
Reuniendo estas expresiones tenemos finalmente
aix =
1
χi (x−1 ).
n
28
CAPÍTULO 4. PRUEBA CONSTRUCTIVA
Esto nos dice exactamente cómo son los elementos de la base que buscábamos.
El siguiente teorema es la ampliación del teorema 2.24. Para incluir la construcción explı́cita del isomorfismo. Y lo anterior es la primera parte de su demostración.
Teorema 4.3. Si G es un grupo abeliano, finito de orden n y χi , i ∈ {1, . . . , n}
son los caracteres irreducibles de G sobre K, con K cuerpo algebraicamente
cerrado, entonces B = {w1 , . . . , wn }, dado por
X 1
χi (g −1 )g
wi =
n
g∈G
es una base de KG y la función
→ Kn
(1, . . . , 0)
..
.
ψ : KG
w1 7→
..
.
wn
7→
(0, . . . , 1),
donde el resto de los elementos se da por linealidad, es isomorfismo de Kálgebras.
Demostración. Sólo falta probar que ψ es isomorfismo de K-álgebras. Para ello
hay que ver cómo se comportan los elementos de la base con el producto.
Si i 6= j el mismo razonamiento de la demostración del teorema 2.24es
aplicable aquı́, probando wi wj = 0.
Por otro lado
wi wi
=
X
aig aih gh
g,h∈G
=
1 X
χi (g −1 )χi (h−1 )gh.
n2
g,h∈G
Pero como los χi son carácteres asociados a una representación lineal sı́ son
homomorfismo y por ser G abeliano podemos decir
=
1 X
χi (g −1 h−1 )gh
n2
g,h∈G
=
=
1 X 1
χi (k −1 )k
n
n
k∈G
1 X
wi = wi .
n
g∈G
29
Esto prueba que ψ(wi wj ) = ψ(wi )ψ(wj ). Con lo que demostramos que ψ es
isomorfismo de K-álgebras.
Por último aplicamos toda la teorı́a a un ejemplo en particular.
El ejemplo más pequeño al que le podemos aplicar el teorema 1.3 es con
C4 = {e, g, g 2 , g 3 } y C2 × C2 = {(e, e), (e, a), (a, e), (a, a)} (para simplificar la
notación (e, e) = e, (e, a) = a, (a, e) = b, (a, a) = c),como nuestros grupos G y
H, y C como nuestro cuerpo algebraicamente cerrado. Es el ejemplo 1.4 que
trabajamos en la introducción del trabajo. Pero más interesante que dar un
isomorfismo entre ellos, serı́a encontrar una base de CC4 y otra de C(C2 × C2 ),
para poder dar el isomorfismo a C×C×· · ·×C. Para esto se hace la construcción
de las tablas de carácteres correspondientes a los grupos C4 y C2 × C2 .
Para C4 tenemos,
1 g
g2 g3
χ1 1 1
1
1
χ2 1 i −1 −i
χ3 1 −i −1 i
χ3 1 −1 1 −1
mientras que para C2 × C2 tenemos,
χ1
χ2
χ3
χ3
e
1
1
1
1
a
1
−1
1
−1
b
1
1
−1
−1
c
1
−1
−1
1
Por lo tanto, las bases que obtenemos son.
Para CC4 encontramos
1
(e + g + g 2 + g 3 )
4
1
w1 = (e − ig − g 2 + ig 3 )
4
1
w2 = (e + ig − g 2 − ig 3 )
4
1
w3 = (e − g + g 2 − g 3 )
4
w0 =
Y para C(C2 × C2 )
1
(e + a + b + c)
4
1
v1 = (e − a + b − c)
4
1
v2 = (e + a − b − c)
4
1
v3 = (e − a − b + c)
4
v0 =
30
CAPÍTULO 4. PRUEBA CONSTRUCTIVA
Capı́tulo 5
Conclusiones
Si G un grupo finito y abeliano y K un cuerpo algebraicamente cerrado de
caracterı́stica cero ó p, con p - n, demostramos que un anillo de grupo de la forma
KG es isomorfo a K n como álgebras. Este resultado muestra un contraejemplo
al problema del isomorfismo planteado en la teorı́a de anillos de grupo.
Observamos que la demostración en la teorı́a de representaciones de grupos
finitos es la misma que la que hacemos para la teorı́a de módulos, gracias a la
relación existente entre representaciones y los KG-módulos.
Para completar el trabajo, utilizamos la teorı́a de carácteres, herramienta de
las representaciones de grupos finitos. Con los carácteres se construye explı́citamente una base para poder hacer el isomorfismo de álgebras entre KG y K n . Y
por último aplicamos dicha demostración para la construcción explı́cita de una
base en un ejemplo particular.
31
32
CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES
Bibliografı́a
[1] H. Cárdenas y E. Lluis, Módulos semisimples y representación de grupos
finitos, Trillas, 1970.
[2] D. J. S. Robinson, A course in the theory of groups, Springer, 1996.
[3] C. Polcino Milles y S. K. Sehgal An introduction to group rings, Kluwer
academic publishers, 2002.
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