2º Bachillerato Modalidad de Ciencias de la

2º Bachillerato
Modalidad de Ciencias de la Naturaleza y Salud
Modalidad de Tecnología
Miguel Angel Díaz Armentia
I.E.S. Alquibla (La Alberca-Murcia)
Física 2o de Bachillerato LOGSE
Miguel Angel Díaz Armentia
17 de octubre de 2007
1 Catedrático
de Física y Química del I.E.S Alquibla
1
2
Índice general
1. Interacción gravitatoria
1.1. Momento angular. Ecuación del momento angular. Fuerzas centrales . . .
1.2. Ley de Gravitación Universal. Masa inerte y masa pesante . . . . . . . .
1.3. Leyes de Kepler. Deducción de la Ley de Gravitación Universal . . . . . .
1.3.1. Deducción de la Ley de Gravitación Universal . . . . . . . . . . .
1.4. Trabajo de una fuerza. Energía cinética. Energía Potencial. Fuerzas conservativas. Teorema de conservación de la energía mecánica. . . . . . . .
1.4.1. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Energía Potencial. Fuerzas conservativas . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. Ejemplos de fuerzas conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Energía potencial gravitatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Energía potencial gravitatoria terrestre . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Interacción a distancia: el concepto de campo . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. El campo gravitatorio: intensidad y potencial. Líneas de campo. Superficies equipotenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8. Potencial gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1. Relación trabajo-potencial gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2. Líneas de campo. Superficies equipotenciales . . . . . . . . . . . .
1.9. La gravedad terrestre: variación con la altura . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10. Movimiento de satélites y planetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.1. Sobre el movimiento de partículas en campos centrales conservativos atractivos. Aplicación al movimiento de satélites en torno a
planetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Vibraciones y Ondas
2.1. Dinámica del movimiento armónico simple . . . . . . . . .
2.1.1. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. Ecuación diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4. Ejemplos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Energía del movimiento armónico simple . . . . . . . . . .
2.3. Ondas. Clasificación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Magnitudes características de las ondas. Ondas armónicas
2.5. Energía e Intensidad de una onda . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Interferencia de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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ÍNDICE GENERAL
2.6.1. Principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2. Intensidad en los fenómenos de interferencias . . . . . . . .
2.7. Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Principio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1. Reflexión de ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2. Refracción de ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9. Difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1. Difracción de Fraunhoffer por una rendija . . . . . . . . .
2.9.2. Difracción de Fraunhoffer para una abertura circular . . .
2.9.3. Óptica geométrica y óptica ondulatoria (de interés respecto
2.10. El sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1. Nivel de Intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.2. Otros aspectos del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11. Absorción de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12. Polarización de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13. Influencia del movimiento del medio en las ondas sonoras . . . . .
2.14. Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14.1. Ondas de choque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Óptica
3.1. Controversia sobre la naturaleza de la luz . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Teorías antiguas hasta Newton . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Modelo corpuscular de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3. Modelo ondulatorio de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Ondas electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Formulación de una onda electromagnética armónica plana .
3.3. Velocidad de la luz. Índice de refracción. Concepto de rayo luminoso
3.3.1. Concepto de rayo luminoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Leyes de la reflexión y refracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1. Leyes de la reflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2. Leyes de la refracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3. Ángulo límite y reflexión total . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4. Dispersión de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Óptica geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1. Hipótesis de la Óptica geométrica . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2. Imágenes reales y virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3. El dioptrio esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4. Distancias focales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.5. Aumento lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.6. Ecuación de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Espejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1. Espejos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2. Espejos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3. Distancias focales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.4. Aumento lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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ÍNDICE GENERAL
3.6.5. Construcción de imágenes de espejos .
3.7. Lentes. Clasificación. Ecuaciones importantes .
3.7.1. Distancias focales . . . . . . . . . . . .
3.7.2. Aumento lateral . . . . . . . . . . . . .
3.7.3. Ecuación de Newton . . . . . . . . . .
3.7.4. Potencia de una lente . . . . . . . . . .
3.7.5. Construcciones gráficas . . . . . . . . .
3.7.6. Aberraciones . . . . . . . . . . . . . .
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4. Interacción electromagnética
4.1. Carga eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Cuantización de la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2. Principio de Conservación de la carga . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Líneas de campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Teorema de Gauss para el campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1. Flujo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2. Enunciado del Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Potencial eléctrico. Energía potencial eléctrica. . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1. Potencial eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2. Relación trabajo - Potencial electrostático . . . . . . . . . . . .
4.5.3. Relación Intensidad de campo - Potencial electrostático . . . . .
4.5.4. Superficies equipotenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.5. Energía electrostática de un sistema de cargas . . . . . . . . . .
4.6. Corriente eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7. Introducción al magnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8. Fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9. Producción de campos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9.1. Campo magnético creado por una carga en movimiento . . . . .
4.9.2. Campo magnético producido por un elemento de corriente . . .
4.9.3. Campo magnético producido por una corriente rectilínea infinita
4.9.4. Campo magnético creado por una espira circular en su centro .
4.9.5. Campo magnético creado por un solenoide en su interior . . . .
4.10. Magnetismo natural y electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11. Fuerzas magnéticas sobre una corriente eléctrica . . . . . . . . . . . . .
4.12. Fuerzas entre corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13. Inducción electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13.1. Flujo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13.2. Ley de Henry-Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13.3. Autoinducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13.4. Inducción mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.14. Generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5. Introducción a la Física Moderna
5.1. Relatividad en Mecánica Clásica . . . . . . . . . . . .
5.1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2. Transformación de Galileo . . . . . . . . . . .
5.1.3. Consecuencias de la Transformación de Galileo
5.2. Relatividad Especial . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Contradicciones de la relatividad clásica . . .
5.2.2. Postulados de Einstein . . . . . . . . . . . . .
5.2.3. Consecuencias de los postulados . . . . . . . .
5.3. Relación masa-energía . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1. Masa relativista . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2. Energía cinética y energía en reposo . . . . . .
5.3.3. Energía de enlace nuclear . . . . . . . . . . .
5.3.4. Momento y energía . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Efecto fotoeléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Concepto de fotón. Dualidad onda-corpúsculo . . . .
5.5.1. Dualidad onda-corpúsculo . . . . . . . . . . .
5.6. Principio de indeterminación . . . . . . . . . . . . . .
5.7. Tipos de radiaciones nucleares . . . . . . . . . . . . .
5.7.1. Leyes de Soddy-Fajans . . . . . . . . . . . . .
5.8. Desintegración nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9. Partículas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10. Interacciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . .
ÍNDICE GENERAL
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. 139
A. Problemas de Gravitación
141
B. Problemas de Vibraciones y Ondas
147
C. Problemas de Óptica
151
D. Problemas de Electromagnetismo
153
E. Problemas de Física Moderna
163
Capítulo 1
Interacción gravitatoria
1.1.
Momento angular. Ecuación del momento angular. Fuerzas centrales
Consideremos una partícula cuyo momento lineal observado desde un referencial
inercial es p~ = m~v , se define momento angular momento cinético de la partícula
respecto del punto O, como el momento del momento lineal, esto es
L~O = ~r × p~ = ~r × m~v
(1.1)
Figura 1.1
En general, la partícula no tiene por qué ser libre y además su posición variará con
~ y p~ = p(t),
~ y en consecuencia, L~O será variable con el tiempo.
el tiempo, es decir, ~r = r(t)
Para evaluar esta variación procederemos así:
dL~O
d
d~r
d~p
= (~r × p~) =
× p~ + ~r ×
= ~r × F~
dt
dt
dt
dt
7
(1.2)
8
CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
pues
d~r
× p~ = 0
dt
ya que |~v × ~v | = v · v · sin 0 = 0. En consecuencia,
dL~O
= ~r × F~ = M~O
dt
(1.3)
(1.4)
donde M~O es el momento de la fuerza F~ respecto del punto O (torque).
Esta ecuación extendida para un sistema de partículas será fundamental, como ya
veremos, en el estudio de la dinámica de rotación.
Si M~O = 0, entonces L~O = cte, este resultado se conoce como Teorema de Conservación del Momento Angular ; es decir, si el momento de la fuerzas es cero, el
momento angular de la partícula permanece invariante a lo largo del tiempo.
Una posibilidad para que M~O = 0 es que F~ sea paralela a ~r, en otras palabras,
cuando la dirección de F~ pasa por el punto O. Una fuerza cuya dirección pasa siempre
por un punto fijo se denomina fuerza central .
Figura 1.2
Al punto O se le llama Centro de Fuerzas. Una forma de expresar estas fuerzas
~
es F = F · u~r .
En la Naturaleza existen muchas fuerzas centrales. Por ejemplo, la Tierra gira alrededor del Sol bajo la influencia de una fuerza central cuya dirección está siempre dirigida
al Sol. Por ello, el momento angular de la Tierra respecto del Sol es siempre constante.
1.1. MOMENTO ANGULAR. ECUACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR. FUERZAS CENTRALES9
Otro ejemplo es el del movimiento del electrón alrededor del protón del átomo de
hidrógeno.
Una característica del movimiento de partículas influidas por fuerzas centrales es que
la trayectoria es plana. En efecto, como L~O = cte, entonces el plano definido por ~r y
~v es siempre el mismo (al ser la dirección del momento angular perpendicular al plano
definido por estos dos vectores según definición del producto vectorial) y es por ello que
el movimiento es plano.
Por otro lado, también de la conservación del momento angular para este tipo
de interacciones (fuerzas centrales), se deduce la llamada 2a ley de Kepler relativa al
movimiento planetario: “Las áreas barridas por el radio vector que va desde el Sol hasta
los planetas son directamente proporcionales a los tiempos invertidos en barrerlas”.
En efecto, como cualquier vector, el radio vector o vector de posición puede expresarse
como el producto de su módulo por el correspondiente vector unitario: ~r = r · u~r , de
forma que el vector velocidad puede expresarse,
d~r
dr
du~r
=
· u~r + r ·
(1.5)
~v =
dt
dt
dt
por lo que el momento angular vendrá dado por
dr
du~r
L~O = ~r × p~ = m~r × ~v = m~r · ( · u~r + r ·
(1.6)
dt
dt
ya que al aplicar la propiedad distributiva el primer producto vectorial es nulo al ser
dos vectores paralelos los factores. El módulo del momento angular resulta ser LO =
mr · rω = mr2 ω donde ω es el módulo de la velocidad angular instantánea1 . Y por ello,
se verifica,
L0
(1.7)
r2 ω =
m
Por otra parte, y de acuerdo con la figura, suponiendo que en un intervalo de tiempo
∆t tan pequeño como se quiera, el radio vector barre un área ∆A, tan pequeña como
se quiera, asociada a un ángulo ∆θ también tan pequeño como se quiera, la velocidad
areolar será vA = dA/dt, es decir, vA = 4A/4t, cuando 4t → 0.
Por consideraciones geométricas, (aproximando el recinto barrido a un triángulo), el
área será
1
1
1
(1.8)
4A = r · h = r · r · 4θ = r2 · 4θ
2
2
2
por lo que la velocidad areolar será
1
4θ
1
LO
vA = r2 ·
= r2 · ω =
= cte
(1.9)
2
4t
2
2m
ya que LO = |L~O | = cte, que es lo que queríamos demostrar.
1
Se puede demostrar que la derivada de un vector unitario es un vector cuyo módulo es el módulo
de la velocidad angular cuya dirección es perpendicular al vector unitario y cuyo sentido coincide con
el avance del giro del antes citado vector unitario.
10
CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
Figura 1.3
1.2.
Ley de Gravitación Universal. Masa inerte y masa
pesante
Sean dos partículas o puntos materiales, asociaremos a cada una de ellas un parámetro
llamado masa gravitatoria, o masa pesante. En términos del citado parámetro, la
ley de Gravitación universal puede ser expresada así:
Figura 1.4
Gmg1 mg2
Gmg1 mg2
F~ = −
u
~
=
−
~r
r
r2
r3
(1.10)
donde G es la constante de Gravitación universal cuyo valor es 6,67.10 −11 en
unidades del SI.
Las fuerzas gravitatorias son de largo alcance, al contrario de las nucleares que son
de corto alcance.
Debe destacarse que el parámetro masa gravitatoria es de naturaleza diferente al de
masa inerte. En realidad, ambos parámetros poseen significados físicos muy diferentes.
Sin embargo, pueden ser relacionados a través del siguiente experimento: consideremos
una partícula a pequeña altura de la superficie terrestre.
F =
GMg mg ∼ Mg
= G 2 mg = g · mg
r2
R
(1.11)
1.3. LEYES DE KEPLER. DEDUCCIÓN DE LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL11
Figura 1.5
Si estudiamos la dinámica de la partícula (mediante la 2a Ley de Newton, F~ = mi ·~a)
tenemos g · mg = mi · a, por lo que a = g · (mg /mi ).
Experimentalmente, se ha visto que todos los cuerpos en las proximidades de la
superficie de la Tierra caen con la misma aceleración2 (aproximadamente a 9,8 m/s 2 ),
y como g es una constante, la relación mg /mi = K es una constante igual para todos
los cuerpos, es decir, es una constante universal. Por ello, las unidades se eligen tal que
K = 1, y por ello, mg = mi = m, lo cual quiere decir que las dos masas vienen dadas
por el mismo número para la misma partícula. En adelante, no especificaremos a qué
tipo de masa nos referimos.
1.3.
Leyes de Kepler. Deducción de la Ley de Gravitación Universal
Desde un punto de vista histórico, podemos considerar a Kepler (1571-1650) como el
iniciador de la moderna teoría gravitatoria, el cual estableció en base a sus observaciones,
las de Copérnico y otros sobre el movimiento planetario lo que más tarde se conocería
como Leyes de Kepler; a saber:
1. Los planetas describen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos está el Sol.
2. Las áreas barridas por el radio vector que va desde el Sol hasta los planetas son
directamente proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas (es decir, la
velocidad areolar es constante).
3. Los cuadrados de los periodos son directamente proporcionales a los cubos de los
semiejes mayores:
r03
r003
r3
=
=
= · · · = cte = f (M )
T2
T 02
T 002
2
Esto fue comprobado por Galileo desde la Torre Inclinada de Pisa
(1.12)
12
CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
Como quiera que la constante de proporcionalidad es la misma independientemente
del planeta en cuestión, sólo dependerá de lo que tienen en común los distintos planetas
que es que giran alrededor del Sol, es decir, dependerá de la masa del Sol (M).
Hay que hacer notar que la leyes de Kepler son sólo cinemáticas y por tanto no
dinámicas, es decir, sólo describen el movimiento pero no lo conectan con las causas que
lo produce.
1.3.1.
Deducción de la Ley de Gravitación Universal
Newton, basándose en la leyes de Kepler, dedujo la ley de Gravitación Universal.
Vamos a deducirla nosotros siguiendo un razonamiento similar al utilizado por Newton
y, por tanto, basado también en las leyes de Kepler. Para ello supondremos que las
órbitas de los planetas alrededor del Sol son circulares, lo cual no es muy exagerado ya
que las órbitas son en realidad muy poco excéntricas.
Figura 1.6
Según la ley de las áreas, se deduce que el movimiento planetario es circular uniforme. En efecto, según la ley de las áreas si A1 = A2 , entonces se debe cumplir t1 = t2 .
Como por otra parte, si A1 = A2 , entonces los correspondientes arcos deben ser iguales,
esto es, l1 = l2 . Si consideramos que estas áreas son tan pequeñas como se quiera, la
igualdad entre los arcos se puede expresar v1 t1 = v2 t2 , por lo que teniendo en cuenta, la
anterior relación t1 = t2 , se deduce que necesariamente v1 = v2 , es<decir el movimiento
es circular uniforme.
Por otro lado, al ser el movimiento circular uniforme la ecuación dinámica aplicable
es la siguiente, F~ = ma~n , por lo que en términos de módulos tenemos F = mω 2 r =
m(2π/T )2 r ya que ω = 2π/T . Utilizando la 3a ley de Kepler:
r3
= f (M )
T2
(1.13)
se tiene,
F =
m4π 2 f (M )
r2
(1.14)
1.4. TRABAJO DE UNA FUERZA. ENERGÍA CINÉTICA. ENERGÍA POTENCIAL. FUERZAS CONSE
Figura 1.7
siendo F la fuerza que hace el Sol sobre el planeta. Por la ley de acción y reacción (3a
ley de Newton), el planeta hará sobre el Sol una fuerza igual en módulo, dirección y
sentido contrario:
M 4π 2 f (m)
F0 =
=F
(1.15)
r2
por lo que
4π 2 mf (M ) = 4π 2 M f (m)
(1.16)
o bien,
4π 2 f (m)
4π 2 f (m0 )
4π 2 f (m00 )
4π 2 f (M )
=
=
=
= · · · = cte = G
M
m
m0
m00
(1.17)
siendo G la llamada constante de gravitación universal ya que no depende ni de M, ni
de m, ni de m’, ni de m”, etc. En consecuencia, sustituyendo, se tiene:
F =
m4π 2 f (M )
Mm
=G 2
2
r
r
(1.18)
que es lo queríamos demostrar3 .
1.4.
Trabajo de una fuerza. Energía cinética. Energía
Potencial. Fuerzas conservativas. Teorema de conservación de la energía mecánica.
Supongamos una partícula que se mueve sometida a una fuerza F~ = F~ (x, y, z) desde
A hasta B, a través del camino C.
Podemos realizar una partición P1 de la trayectoria entre A y B, de esta forma
obtenemos la suma
X X
S1 =
F~i · 4~
ri =
ri | · cos θi
(1.19)
F~i · |4~
i
3
i
Debe destacarse que la ley de Gravitación universal se refiere a puntos materiales mientras que la
deducción de Newton tiene que ver con esferas de materia. En realidad, puede demostrarse que para
puntos exteriores una esfera de materia se comporta igual que un punto material de igual masa situado
en su centro.
14
CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
Figura 1.8
Si realizamos una nueva partición P2 de segmentos más pequeños que antes, obtenemos
X
X ~
ri | · cos θi
(1.20)
S2 =
Fi · 4~
ri =
F~i · |4~
i
i
Este proceso puede continuar indefinidamente obteniéndose la sucesión convergente,
S1 , S2 , · · ·
Se define Trabajo desde A hasta B asociado a la fuerza F~ a lo largo de la curva C
de la siguiente manera,
N
X
W = lı́m
F~i · 4~
ri
(1.21)
N →∞
i=1
Si el vector F~ es constante respecto a la posición , es decir, no depende de las variables
x, y, z, (fuerza uniforme) entonces:
W = F~ · 4r~AB = F~ · (r~B − r~A )
(1.22)
donde 4rAB
~ es el vector desplazamiento desde A hasta B.
La unidad de trabajo en el S.I. es el julio (J).
1.4.1.
Energía cinética
Supongamos una partícula que va desde A hasta B influida por una fuerza F~ , el
trabajo será
N
N
X
X
W = lı́m
F~i · 4~
ri = lı́m
m~
ai · 4~
ri
(1.23)
4~
ri →0,∀i
i=1
4~
ri →0,∀i
i=1
Asumiendo que en cada uno de los segmentos el movimiento es en la práctica uniformemente acelerado, es decir,
1
2
)
a~i · 4~
ri = (vi2 − vi−1
2
(1.24)
1.4. TRABAJO DE UNA FUERZA. ENERGÍA CINÉTICA. ENERGÍA POTENCIAL. FUERZAS CONSE
Figura 1.9
tenemos, sustituyendo,
1
1
W = mvB2 − mvA2
(1.25)
2
2
Denominamos energía cinética en un punto cualquiera M a la magnitud definida
por
1 2
ECM = mvM
2
Según esto, la ecuación anterior puede escribirse como
W = ECB − ECA
(1.26)
(1.27)
Este resultado se conoce como el teorema de la energía cinética, (también
conocido como teorema de las fuerzas vivas).4
El teorema de las fuerzas vivas permite relacionar el trabajo asociado a una
interacción con su efecto dinámico en relación a la variación del módulo de la velocidad
o rapidez.
De hecho, si W > 0, la energía cinética aumenta, lo cual quiere decir que la fuerza
favorece el aumento de la rapidez; si W < 0, la energía cinética disminuye lo cual quiere
decir que la fuerza origina una disminución de la rapidez, y finalmente, si W = 0, entonces
la rapidez es constante. En particular, si la fuerza es perpendicular a la velocidad, el
trabajo W = 0, por lo que E c = cte, y por ello, la rapidez es constante, lo cual significa
que, si la trayectotia es plana, estamos ante un movimiento de rotación uniforme5 .
1.4.2.
Energía Potencial. Fuerzas conservativas
Consideremos una partícula que va desde A hasta B influida por una fuerza F~ . Llamaremos W1 al trabajo si el recorrido se realiza por el camino (1). Si el recorrido se
4
La denominación de teorema de las fuerzas vivas tiene que ver con el hecho de que cada término de
energía cinética antes era llamado fuerza viva. Nótese que el concepto de ser vivo estaba hace tiempo
ligado al movimiento.
5
En particular, esto es de aplicación para el movimiento de una partícula con carga eléctrica en el
seno de un campo magnético, y ello, porque, como se verá, la fuerza magnética es perpendicular al
vector velocidad.
16
CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
Figura 1.10
realiza por el camino (2), el trabajo será W2 .
En general, se verifica que W 1 6= W 2. Para las llamadas fuerzas conservativas, este
trabajo es independiente de la trayectoria, es decir se verifica W1 = W2 = W3 = · · · = W .
Por ello, en estos casos, puede demostrarse matemáticamente que el trabajo puede
expresarse como diferencia entre dos valores que toma una función potencial en los
2 puntos extremos A y B:
W = ϕ(B) − ϕ(A)
(1.28)
siendo ϕ(x, y, z) la función potencial antes referida que depende de las coordenadas del
punto donde se evalúe.
Definimos energía potencial asociada a la interacción conservativa F~ de la siguiente forma:
W = Ep (A) − Ep (B)
(1.29)
por lo que,
Ep (x, y, z) = −ϕ(x, y, z)
(1.30)
Naturalmente, la interacción F~ debe ser conservativa pues de lo contrario no tiene
sentido hablar de energía potencial ya que el razonamiento antes expuesto no puede ser
aplicado.
Finalmente, veremos cómo a partir de lo anterior, podemos deducir el teorema de
conservación de la energía mecánica.
Supongamos que la fuerza que actúa sobre una partícula es conservativa, entonces:
WA→B = Ep (A) − Ep (B)
(1.31)
1.4. TRABAJO DE UNA FUERZA. ENERGÍA CINÉTICA. ENERGÍA POTENCIAL. FUERZAS CONSE
Por otro lado, por el teorema de las fuerzas vivas:
WA→B = ECB − ECA
(1.32)
ECA + Ep (A) = ECB + Ep (B)
(1.33)
Igualando se obtiene
Se define energía mecánica de la partícula en un punto cualquiera R:
EM R = ECR + Ep (R)
(1.34)
EM A = EM B
(1.35)
de donde
es decir si F~ es una interacción conservativa, la energía mecánica se conserva.
Observaciones
1. La naturaleza de la ecuación asociada al teorema de las fuerzas vivas es completamente diferente a la de la ecuación que define la energía potencial.
2. La primera ecuación relaciona el trabajo con el efecto dinámico de la interacción en
lo que se refiere a la variación de rapidez que experimenta la partícula6 , mientras
que la segunda relaciona el trabajo con la naturaleza específica de la interacción
expresada a través de la energía potencial. Además, esta última sólo tiene sentido
cuando la interacción es conservativa.
3. Aquí se ve que el sentido de introducir la magnitud “energía” es, en principio, sólo
operativo ya que para determinadas interacciones (las conservativas), la energía
mecánica es una constante de movimiento.
1.4.3.
Ejemplos de fuerzas conservativas
1. El Peso
La fuerza del peso a pequeñas distancias de la superficie terrestre se puede expresar:
F~p = −mg~k.
Calculemos el trabajo para ir desde A hasta B, como la fuerza peso es constante:
W = F~ · 4~r = −mg~k · 4~r = −mg4z = mgzA − mgzB
6
(1.36)
El hecho de que el trabajo dé una medida del efecto dinámico de una fuerza en relación a la variación
de rapidez (módulo del vector velocidad) que experimenta la partícula sugiere una clasificación de las
fuerzas en tres tipos: a) las que sólo modifican el módulo de la velocidad y no su orientación, b) las
que sólo modifican la orientación de la velocidad y no su módulo, y, c) las que modifican módulo y
orientación de la velocidad. En particular, las fuerzas que corresponden al caso (b) podríamos decir
que son en cierta medida unas fuerzas pasivas ya que son responsables del movimiento de rotación
uniforme de las partículas (fuerzas centrípetas). Su papel consiste en impedir que la partícula se mueva
de acuerdo al principio de inercia obligando por tanto a cambiar de forma permanente la orientación
del vector velocidad de la misma.
18
CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
Figura 1.11
Se observa que no necesitamos especificar la trayectoria para evaluar el trabajo,
por lo que el peso es una fuerza conservativa.
Como
W = mgzA − mgzB = Ep (A) − Ep (B)
(1.37)
Ep = mgz + C
(1.38)
entonces
es decir, la energía potencial está determinada salvo una constante7 . Se suele considerar como convenio que si z = 0 entonces E p (0) = 0, es decir, la energía potencial debida al peso es cero en el nivel cero del sistema de referencia, por ello:
Ep = mgz.
2. La fuerza elástica
Figura 1.12
La partícula unida al muelle elástico constituye un oscilador elástico. Supondremos que el movimiento es unidimensional. La fuerza que actúa sobre la partícula
viene dada por la Ley de Hooke:
F~ = −Kx~i
7
(1.39)
Esto es general para cualquier interacción conservativa, es decir, la función energía potencial está
perfectamente determinada salvo una constante.
1.5. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
19
donde K es la llamada constante de recuperación, también llamada constante de elasticidad o constante de Hooke. Puede demostrarse que el
trabajo asociado a la fuerza elástica para ir desde un punto A hasta otro B viene
dado por:
1
1
(1.40)
W = Kx2A − Kx2B
2
2
de donde se tiene, por un razonamiento similar al ejemplo anterior que
1
Ep (x) = Kx2 + C
2
(1.41)
Como criterio físico, supondremos que la energía potencial es nula en la posición
de equilibrio, es decir, C = 0, por lo que
1
Ep (x) = Kx2
2
1.5.
(1.42)
Energía potencial gravitatoria
Consideremos 2 partículas de masas m 1 y m 2 , entonces, entre ellas se ejercen una
fuerza gravitatoria que viene dada por
Figura 1.13
Gm1 m2
F~ = −
u~r
(1.43)
r2
Si suponemos que la partícula (1) está fija y que la (2) se mueve desde una posición
A hasta una posición B y queremos calcular el trabajo asociado a la fuerza gravitatoria,
nos encontraríamos con que dicho trabajo resulta ser independiente de la trayectoria
elegida para ir desde A hasta B, por lo que la fuerza gravitatoria es conservativa. En
concreto, se puede demostrar que el resultado del cálculo de dicho trabajo es:
WA→B = −G
m1 m2
m1 m2
− (−G
)
rA
rB
(1.44)
Al ser conservativa, la fuerza gravitatoria, existirá una función energía potencial que
teniendo en cuenta el resultado anterior debería tener la forma:
m1 m2
Ep (r) = −G
+C
(1.45)
r
20
CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
donde C es la constante aditiva. Hay que hacer notar que la función energía potencial
depende funcionalmente de r, es decir, de la distancia de las dos partículas y no del
vector que las une.
El criterio que se utiliza para determinar la constante C es considerar que la energía
potencial es nula cuando las dos partículas está infinitamente alejadas, esto es,
m1 m2
+C =0⇒C =0
(1.46)
Ep (∞) = 0 ⇒ −G
∞
por lo que
m1 m2
Ep (r) = −G
(1.47)
r
Este criterio es consistente pues se trata de considerar que si las partículas no interaccionan su energía potencial asociada es cero8 .
El significado físico de la energía potencial gravitatoria aparece claro desde el análisis
siguiente: si calculamos el trabajo para alejarse indefinidamente la partícula (2) de la
(1) desde una distancia r A , tenemos:
WA→∞ = Ep (rA ) − 0 = Ep (rA )
(1.48)
es decir, la energía potencial gravitatoria de dos partículas situadas a una distancia r
una de la otra representa el trabajo necesario asociado a la interacción gravitatoria para
alejarlas desde esa distancia r indefinidamente.
1.5.1.
Energía potencial gravitatoria terrestre
Figura 1.14
Consideremos una partícula de masa m a una altura h de la superficie terrestre. La
energía potencial gravitatoria del sistema Tierra + partícula viene dada por
Mm
Ep = −G
(1.49)
R+h
8
Debe notarse que el significado físico de que la distancia entre dos partículas sea infinita no debe
confundirse con el punto de vista matemático. De hecho, el hecho de que consideremos una distancia
infinita entre dos partículas en relación a la interacción gravitatoria significa físicamente que las citadas
dos partículas están a una distancia suficiente la una de la otra, de forma que la interacción gravitatoria
entre las mismas no es apreciable. Esto dependerá del alcance de la interacción en cuestión, que en el
caso de la interacción gravitatoria es extraordinariamente grande.
1.5. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
21
Naturalmente, para escribir esta ecuación estamos suponiendo como lo hicimos anteriormente que una esfera de materia (como la Tierra) se comporta igual para puntos
exteriores a la misma que una partícula de su misma masa situada en su centro.
Si queremos calcular el trabajo para ir desde esa altura hasta la superficie de la
Tierra tenemos:
W =−
GM m
1
1
GM m
− (−
) = GM m( −
)
R+h
R
R R+h
(1.50)
Por otra parte teniendo en cuenta la siguiente identidad:
1
1
h
−
=
R R+h
(R + h)R
(1.51)
sustituyendo se obtiene,
W = GM m
h
(R + h)R
(1.52)
Ahora bien, como por otra parte, g = GM/R2 , sustituyendo se tiene
W = mgh
1
R2
= mgh
(R + h)R
1 + h/R
(1.53)
De la anterior expresión se pueden considerar la siguientes posibilidades:
1. Si la altura en cuestión es mucho más pequeña que el radio de la Tierra (h<<R), la
fracción h/R es despreciable frente a la unidad, y entonces se obtiene W = mgh,
que podría expresarse, como W = mgh − mg · 0, en conformidad con lo obtenido
en el ejemplo (1) de la sección (3). En efecto, si la expresión clásica del peso de
un cuerpo expresado como una constante, Peso = mg, puede ser obtenida de la
fuerza gravitatoria para puntos próximos a la superficie terrestre, el cálculo del
trabajo asociado al peso que se puede expresar en términos de una función energía
potencial (mgh), tiene que poder ser deducido también del trabajo asociado a la
fuerza gravitatoria (expresable también en términos de otra función energía potencial), y suponiendo en ese cálculo que las variaciones de altura son despreciables
comparadas con el radio de la Tierra (puntos próximos a la superficie terrestre).
Esto es efectivamente lo que hemos demostrado con el desarrollo aquí expuesto.
2. Si la altura en cuestión no es en absoluto despreciable frente al radio de la superficie
terrestre, la aproximación llevada a cabo anteriormente no es válida por lo que
deberemos utilizar la expresión general, es decir:
W =−
GM m
GM m
− (−
)
R+h
R
(1.54)
o bien, expresada de otra forma:
W = mgh
1
1 + h/R
(1.55)
22
CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
1.6.
Interacción a distancia: el concepto de campo
Desde un punto de vista macroscópico, podemos, en principio, distinguir dos tipos
de interacciones: interacciones de contacto e interacciones de acción a distancia. En realidad, si bien el concepto de fuerza, introducido matemáticamente a través de F~ = d~p/dt
es adecuado para describir el cambio del momento lineal de una partícula en el tiempo
debido a sus interacciones con otras partículas (interacción a distancia), la idea que en
la vida diaria tenemos de fuerza responde más a esa experiencia de que “sentimos” la
fuerza (interacción de contacto) cuando, por ejemplo, un boxeador golpea la cara de su
oponente, un martillo golpea un clavo, etc.. De hecho parece difícil reconciliar estos dos
tipos de interacciones, o mejor dicho, estas dos visiones de la interacciones (por ejemplo,
interacción Sol - Tierra versus interacción martillo que golpea al clavo). La diferencia
puede estar en que se piensa que el martillo “toca” al clavo mientras que el Sol “no toca”
a la Tierra. Y es aquí donde debemos centrar la atención, ya que en el fondo las cosas
no son tan diferentes, puesto que desde un punto de vista microscópico, tampoco “se
tocan” el martillo y el clavo, si bien las moléculas de ambos cuerpos se acercan mucho,
y a distancias tan pequeñas que no las vemos (pero que no son nulas, aunque al ser tan
pequeñas no las veamos y pensemos que se “tocan” realmente). Por ello, y como conclusión, debe prevalecer la idea de interacción a distancia. Otra cuestión sería discutir
cuál es el mecanismo de transmisión de la interacción. Para ello, se introduce el concepto
de campo. Por campo, entenderemos una región del espacio alterada en relación a una
propiedad física que se describe por una función de posición y del tiempo. Para cada
interacción suponemos que una partícula produce su campo en la región del espacio
que la rodea. Este campo a su vez actúa sobre una segunda partícula para producir la
interacción. De un modo simétrico, la segunda partícula produce su campo que actúa
sobre la primera partícula dando lugar a una interacción mutua.
El concepto de campo es más general que el ligado exclusivamente a las interacciones.
De hecho, se habla del campo de velocidades de un fluido, del campo de temperaturas
y del campo de presión en meteorología, del campo de densidades de un sólido, etc. En
concreto, si la propiedad física considerada es escalar se habla de un campo escalar y si
la propiedad física es vectorial se hablará de campos vectoriales. No obstante, nosotros
utilizaremos el concepto de campo ligado a las interacciones.
Finalmente, haremos un comentario sobre la propagación de las interacciones. Como
quiera que las partículas involucradas en una interacción a distancia están separadas
precisamente una cierta distancia, esto implica que tengamos en cuenta que se tardará
un cierto tiempo desde que colocamos una partícula en una cierta posición hasta que
llega su campo a la segunda partícula. Como se verá, estas interacciones (y sus campos
asociados), se propagan a una velocidad igual a la de la luz por lo que en la práctica,
si las partículas se desplazan a velocidades muy pequeñas, supondremos que la propagación de la interacción es instantánea. Si ello no es así habrá que tener en cuenta el
carácter finito de la velocidad de la propagación de la interacción.
Por otra parte, si bien lo que se propaga en el fondo en un campo es cantidad de
1.7. EL CAMPO GRAVITATORIO: INTENSIDAD Y POTENCIAL. LÍNEAS DE CAMPO. SUPERFICIE
movimiento y energía, surge la duda de cómo se transporta dicha cantidad de movimiento
y energía a través del espacio de una partícula a otra. La Física clásica no tiene respuesta para ello, pero la Teoría Cuántica de los campos supone que las interacciones tienen
asociadas unas pseudo-partículas o cuantos de la interacción ( en la interacción electromagnética se llaman fotones, en la gravitatoria gravitones, etc.), que serían los que
transportarían precisamente la cantidad de movimiento y energía que se intercambian
las partículas interaccionantes.
1.7.
El campo gravitatorio: intensidad y potencial. Líneas
de campo. Superficies equipotenciales
Se ha visto que si se tienen dos partículas la Ley de Gravitación universal nos dice
0
0
Gmm
Gmm
F~ = − 2 u~r = − 3 ~r
r
r
(1.56)
Figura 1.15
Fijémonos en lo que le ocurre a la masa m’, podemos decir que la masa m produce
en el espacio que la rodea un alteración que llamaremos campo gravitatorio, de
manera que, al colocar la masa m’ el citado campo gravitatoriointeraccionará con
la masa m’. El concepto de campo reside en que se modifica el espacio que rodea a m
en el sentido anteriormente citado.
Por ello, la intensidad del campo gravitatorio9 , ~g , en el punto P se define como la
fuerza gravitatoria ejercida sobre la unidad de masa colocada en P,
F~
(1.57)
m0
y en el caso de que el campo gravitatorio esté producido por la masa m, el vector
intensidad de campo vendrá dado por
m
m
(1.58)
~g = −G 2 u~r = −G 3 ~r
r
r
~g =
9
De ordinario se suele utilizar indistintamente la denominación intensidad de campo gravitatorio y
campo gravitatorio para referirse precisamente al vector intensidad de campo. Aunque en principio esto
puede producir confusión está normalmente aceptado el uso indistinto antes referido.
24
CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
Figura 1.16
Las unidades del vector intensidad de campo son N / Kg, es decir m/s 2 .
Si tenemos un sistema de varias partículas m 1 , m 2 , m 3 , ..., el vector intensidad de
campo en el punto P creado por el sistema se calcula, teniendo en cuenta el principio de
superposición, según el cual, “cuando una partícula se ve influida simultáneamente por
distintas interacciones, la acción de cada una de ellas es independiente de las demás”, lo
cual quiere decir que la fuerza resultante será la suma vectorial de las fuerzas generadas
por las distintas partículas del sistema,
Figura 1.17
0
0
0
m1 m
m2 m
m3 m
F~ = F~1 + F~2 + F~3 + · · · = −G 3 r~1 − G 3 r~2 − G 3 r~3 − · · ·
r1
r2
r3
(1.59)
Por ello,
~g =
1.8.
F~
m1
m2
m3
g~1 + g~2 + g~3 + · · · = −G 3 r~1 − G 3 r~2 − G 3 r~3 − · · ·
0
m
r1
r2
r3
(1.60)
Potencial gravitatorio
Se define potencial gravitatorio en un punto, P, en que existe un campo gravitatorio
a la energía potencial gravitatoria por unidad de masa,
Vg =
Ep
m0
(1.61)
1.8. POTENCIAL GRAVITATORIO
25
Por ello, el potencial gravitatorio creado por una masa en un punto P a una distancia
r de m será
m
(1.62)
Vg = −G
r
Las unidades de potencial gravitatorio son J / Kg.
Si tenemos un sistema de varias partículas m 1 , m 2 , m 3 , ..., el potencial gravitatorio
en el punto P creado por el sistema se calcula también teniendo en cuenta el principio de
superposición. Para realizaremos el siguiente análisis: supongamos una partícula viajera
m’ que se mueve desde un punto A hasta otro B influida por las interacciones debidas
a las partículas del sistema. Debido al principio de superposición el trabajo será
Figura 1.18
W = W1 + W2 + W3 + · · ·
(1.63)
W2 = Ep2 (A) − Ep2 (B)
(1.64)
siendo, por ejemplo,
y
Ep2 (B) = −G
m2 m0
r2B
(1.65)
y así sucesivamente el resto de los sumandos, por lo que el trabajo total sería
W = Ep1 (A) − Ep1 (B) + Ep2 (A) − Ep2 (B) + Ep3 (A) − Ep3 (B) + · · ·
(1.66)
o bien
= Ep1 (A) + Ep2 (A) + Ep3 (A) − Ep1 (B) − Ep2 (B) − Ep3 (B) + · · · = Ep (A) − Ep (B) (1.67)
siendo
Ep = Ep1 + Ep2 + Ep3 + · · ·
(1.68)
Por ello, el potencial gravitatorio asociado al sistema será
Vg =
Ep1 Ep2 Ep3
Ep
= 0 + 0 + 0 + · · · = Vg1 + Vg2 + Vg3 + · · ·
0
m
m
m
m
(1.69)
26
1.8.1.
CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
Relación trabajo-potencial gravitatorio
Consideremos una partícula viajera m’ que se mueve desde un punto A hasta otro B
influida por el campo gravitatorio debido a la partícula de masa m, y supongamos que
queremos calcular el trabajo asociado a dicha interacción gravitatoria,
W = Ep (A) − Ep (B) = m0 [Vg (A) − Vg (B)]
(1.70)
es decir, el trabajo es igual a la masa m’ por la diferencia de potencial gravitatorio. Esta
expresión es especialmente interesante cuando en vez de una masa m es un sistema de
partículas el que produce el campo gravitatorio, sólo que en este caso el potencial que
se calcule tanto en A como en B será el debido al sistema de partículas.
1.8.2.
Líneas de campo. Superficies equipotenciales
Figura 1.19
LÍNEA DE CAMPO (de fuerza o de corriente) es el lugar geométrico de los puntos
en los que el vector intensidad de campo es tangente. En la figura se observan las líneas
del campo creado por una masa puntual.
Superficies equipotenciales son aquellas superficies en las que el potencial es
constante. En el gráfico siguiente ( a la izquierda) se ve un corte (curvas de nivel)
a las superficies equipotenciales asociadas al campo gravitatorio creado por una masa
puntual. Tales superficies equipotenciales serían superficies esféricas y el corte con plano
diametral daría lugar al gráfico adjunto. La situación es algo más compleja cuando
tenemos dos o más partículas próximas como se muestra en el gráfico a la derecha.
Entre las líneas de campo y las superficies equipotenciales se verifica la siguiente
propiedad: “las líneas de campo son perpendiculares a las superficies equipotenciales en
los puntos de intersección”. En efecto, si se considera el trabajo asociado a la interacción
en relación al desplazamiento entre dos puntos cualesquiera suficientemente próximos y
pertenecientes a la misma superficie equipotencial tendremos que dicho trabajo es cero
1.9. LA GRAVEDAD TERRESTRE: VARIACIÓN CON LA ALTURA
27
Figura 1.20
al ser nula la diferencia de potencial gravitatorio. Eso significa que el vector fuerza (y
por tanto, el vector intensidad de campo) deberá ser perpendicular al vector desplazamiento (contenido en la superficie equipotencial), por lo que la propiedad anteriormente
expuesta es cierta.
1.9.
La gravedad terrestre: variación con la altura
Hemos visto que para una partícula cualquiera de masa m, el módulo del vector
intensidad de campo en un punto situado a una distancia r viene dado por
|~g | =
Gm
r2
(1.71)
Si consideramos el campo gravitatorio terrestre10 , el módulo de la intensidad de
campo en la superficie de la Tierra vendrá dado por
|~g | =
GM
R2
(1.72)
siendo M la masa de la Tierra y R su radio. Esta cantidad, como es bien sabido, es lo
que se conoce como gravedad y es la que se utiliza cuando expresamos el módulo del
peso como mg (el valor es aproximadamente 9,8 m/s 2 ). Es decir, la gravedad no es sino
la intensidad del campo gravitatorio terrestre en la superficie de la Tierra.
Sin embargo, para puntos distanciados de la superficie terrestre, en principio, no se
puede asegurar que el valor de la gravedad se mantenga igual que en la superficie de la
10
Aquí conviene recordar de nuevo que para puntos exteriores una esfera de materia se comporta
igual que una partícula situada en su centro con la misma masa.
28
CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
Tierra.
Figura 1.21
En efecto, el valor de la gravedad será en un punto a una altura h de la superficie
terrestre
GM
(1.73)
g(h) =
(R + h)2
Como quiera que se verifica GM = gR2 , la expresión anterior puede expresarse de
la siguiente manera
1
gR2
=
g(
)2
(1.74)
g(h) =
(R + h)2
1 + h/R
Esta sería la expresión de la variación de g con la altura en función del valor de g
en la superficie terrestre. Para puntos muy próximos a la superficie terrestre (h<<R),
la expresión anterior se puede simplificar considerablemente. Para ello, haremos uso del
siguiente desarrollo
1
= 1 + a + a2 + a3 + · · ·
(1.75)
1−a
(válido11 cuando |a| < 1), haciendo a = −h/R,
1
h
h
= 1 − + ( )2 − · · ·
1 − h/R
R
R
(1.76)
Sustituyendo este desarrollo en la expresión general, y eliminando términos que contengan potencias de 2 ó más de la relación h/R (por ser esta relación muy pequeña),
tenemos:
g(h) ∼
= g(1 −
h
h
h
2h
2gh
+ ( )2 − · · · )2 ∼
= g(1 − )2 ∼
= g(1 − ) ∼
=g−
R
R
R
R
R
(1.77)
Naturalmente esta expresión sólo es válida para pequeñas alturas. Por ejemplo, si con2·1000
sideramos un punto a 1 Km de altura el valor de g sería g(1000m) = 9, 8 − 9, 8 6370·1000
=
−2
9, 8 − 0, 003 = 9, 797ms , es decir, que incluso para 1 Km de altura el error que se
comete al considerar g = 9, 8ms−2 , es de 3 milésimas, error despreciable para la mayoría
11
Este desarrollo puede justificarse considerándolo como la suma de infinitos términos de una progresión geométrica ilimitada y decreciente.
1.9. LA GRAVEDAD TERRESTRE: VARIACIÓN CON LA ALTURA
29
de los cálculos. Sin embargo, para grandes alturas (del tipo de las que tienen los satélites
artificiales que giran alrededor de la Tierra o más), la variación de g con la altura es ya
apreciable por lo que procede utilizar la expresión general
g(h) =
1
gR2
)2
= g(
2
(R + h)
1 + h/R
(1.78)
Por supuesto, también podríamos estar interesados en la variación de la gravedad
para puntos interiores a la Tierra. En este caso, debemos considerar que para tales puntos interiores sólo influye la esfera de materia que queda dentro de la superficie esférica
imaginaria que puede trazarse con radio igual a la distancia del centro de la Tierra al
punto considerado, r.
Figura 1.22
Por ello, g(r) = GMint /r2 . Suponiendo que la Tierra es una esfera homogénea de
materia tenemos que
Mint
M (4/3)πr3
M r3
M Vint
=
=
=
V
(4/3)πR3
R3
(1.79)
Por lo que sustituyendo,
GM r3
gR2 r3
r
=
=g
(1.80)
2
3
2
3
r R
r R
R
es decir, que la gravedad disminuye hasta llegar al centro de la Tierra donde sería nula.
g(r) =
Figura 1.23
Por ello, si hacemos una representación gráfica de cómo varia la gravedad con la
distancia se obtiene algo como lo que aparece en la figura.
30
CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
1.10.
Movimiento de satélites y planetas
El movimiento de satélites y planetas hay que contextualizarlo en relación al movimiento de partículas influidas por campos centrales conservativos, ya que, de hecho, la interacción gravitatoria es central y conservativa. En ese sentido, conviene recordar que por
el hecho de ser central la interacción que nos ocupa se conserva el momento angular por
lo que el movimiento es plano y se verifica la 2a Ley de Kepler. Por otro lado, el hecho
de que la antes citada interacción sea conservativa nos permite hacer uso del teorema
de conservación de la energía mecánica; en ese sentido, consideremos una partícula de
masa m’<<m, siendo m la masa de una segunda partícula que supondremos en reposo,
y sobre ella ligado un sistema de referencia inercial12 . Para dos puntos cualesquiera de
la trayectoria de m’, A y B se verificará:
EM A = EM B ⇒ ECA + Ep (A) = ECB + Ep (B)
(1.81)
por lo que, en este caso:
mm0
1
mm0
1 0 2
m vA − G
= m0 vB2 − G
2
rA
2
rB
(1.82)
Con la 2a Ley de Newton, se puede demostrar que las órbitas son:
1. Elípticas con EM < 0,
2. Hiperbólicas con EM > 0,
3. Parabólicas con EM = 0
En lo casos (2) y (3) las órbitas son abiertas (el movimiento no está confinado),
mientras que en el caso (1) las órbitas son cerradas (el movimiento está confinado). (Ver
siguiente apartado).
En el caso de las órbitas elípticas, el hecho de que la energía mecánica sea negativa
es lo que justamente implica que el movimiento sea confinado, es decir, que la partícula
no pueda escapar al infinito. En efecto, si fuera posible que la partícula fuera al infinito,
se debería cumplir:
EM = EC∞ + Ep (∞) = EC∞ < 0
(1.83)
lo cual es imposible, pues una energía cinética no puede ser negativa.
Un caso particular de (1) es cuando la trayectoria es una circunferencia, en este caso,
como la fuerza es central, el trabajo asociado es cero, por lo que, la energía cinética es
constante, y el movimiento tiene que ser circular uniforme.
12
En realidad, el hecho de que supongamos que m’<<m, implica que un sistema de referencia ligado a
m es mucho más inercial que el ligado a m’. Por ello, supondremos que el citado referencial es inercial.
1.10. MOVIMIENTO DE SATÉLITES Y PLANETAS
31
Figura 1.24
Por ello, se verifica:
0
2
v
mm
F~ = ma~N ⇒ F = maN ⇒ G 2 = m0
r
r
de donde se tiene
(1.84)
r
Gm
r
que es la VELOCIDAD DE SATELIZACIÓN.
v=
(1.85)
Por otra parte, la energía mecánica es, en este caso,
1
Gmm0
1 Gm Gmm0
1 Gmm0
EM = m0 v 2 −
= m0
−
=−
2
r
2
r
r
2 r
(1.86)
que es negativa como cabía esperar.
Si la EM > 0 m’ puede llegar al infinito y todavía le sobra energía cinética: EC∞ =
EM − Ep (∞) = EM > 0, a velocidad que tendrá m’ en el infinito será:
r
1 0 2
2EM
m v∞ = EM ⇒ v∞ =
(1.87)
2
m0
Finalmente, en el caso límite EM = 0, v∞ = 0, es decir, la órbita es abierta, la
partícula llega hasta el infinito, pero cuando llega se queda en reposo. La trayectoria es
una parábola. En este caso, se verifica en cualquier posición que esté la partícula móvil:
r
2Gm
1 0 2
mm0
mv =G
⇒v=
(1.88)
2
r
r
que se conoce como VELOCIDAD PARABÓLICA. Se observa cuando mayor es la distancia, menor es la velocidad, y viceversa, cuando menor es la distancia, mayor es la
velocidad.
Concretemos estas ideas para los movimientos planetarios alrededor del Sol, en este
caso, las órbitas son elípticas (en la mayor parte de los casos, las órbitas son casi circulares). La fuerza se puede descomponer en dos componentes: F~ = ma~T + ma~N , una
32
CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
Figura 1.25
tangencial y otra normal. Una componente acelera o decelera el módulo de la velocidad,
mientras que la otra curva la trayectoria.
Hay dos puntos, B y D, en los que no hay componente tangencial. El punto B
(Perihelio) es el punto de máximo acercamiento, y en el él la velocidad es máxima,
mientras que el punto D (Afelio) es el punto de máximo alejamiento, y en él la velocidad
es mínima. En efecto, como
mm0
1
= cte,
EM = m0 v 2 − G
2
r
si r es mínimo v es máximo, y si r es máximo v es mínimo.
(1.89)
Finalmente, y en otro orden de cosas, indicaremos que la velocidad parabólica que
debe tener un satélite artificial en la superficie terrestre (velocidad de escape de dicho
satélite artificial), se calcula mediante
r
p
Mm
GM
1 0 2
= 0 ⇒ vesc = 2
= 2gR ∼
(1.90)
EM = m vesc − G
= 11, 3km/s
2
R
R
Si la velocidad de lanzamiento es menor que 11,3 km/s, el satélite no escapa, y el
satélite tendrá una órbita elíptica o circular.
1.10.1.
Sobre el movimiento de partículas en campos centrales
conservativos atractivos. Aplicación al movimiento de
satélites en torno a planetas
La ecuación de la energía mecánica es:
1
Mm
EM = EC + Ep = mv 2 − G
2
r
La velocidad de m se puede descomponer así:
~v =
d~r
dr
du~r
; ~r = r · u~r ; ~v = u~r + r
=
dt
dt
dt
(1.91)
(1.92)
1.10. MOVIMIENTO DE SATÉLITES Y PLANETAS
33
que es igual a
=
dθ
dr
dθ
dr
u~r + r u~θ ⇒ v 2 = ( )2 + r2 ( )2
dt
dt
dt
dt
(1.93)
Figura 1.26
Sustituyendo la energía mecánica queda
1 dr
1
dθ
Mm
EM = m( )2 + mr2 ( )2 − G
2 dt
2
dt
r
(1.94)
Por otra parte, el momento angular (que es constante por tratarse de una fuerza
central)
dθ
dθ
dr
L~O = m~r × ~v = m~r × ( u~r + r u~θ ) = mr ~r × u~θ
dt
dt
dt
El módulo del momento angular será
LO = mr2
dθ
dθ
LO
dθ 2
L2O
⇒
=
⇒
(
)
=
dt
dt
mr2
dt
m2 r4
(1.95)
(1.96)
por lo que sustituyendo en la expresión de la energía mecánica:
1 dr
1
L2
Mm
EM = m( )2 + mr2 2O 4 − G
2 dt
2
mr
r
(1.97)
1 dr
1 L2O
Mm
= m( )2 +
−G
= EC,R + Epef ec (r)
2
2 dt
2 mr
r
(1.98)
igual a
34
CAPÍTULO 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
siendo
Epef ec (r) = Epcentr (r) − Ep (r)
(1.99)
Su representación gráfica sería:
Figura 1.27
De esta gráfica se ve que si EM < 0, a distancia entre las dos partículas oscila entre
dos valores mientras que si EM > 0, ó EM = 0, a distancia entre las dos partículas
presenta un valor mínimo pero no tiene un valor máximo, es decir puede ser infinita.
Capítulo 2
Vibraciones y Ondas
2.1.
Dinámica del movimiento armónico simple
Se denomina movimiento armónico simple a un movimiento cuya variable tiene la
forma
x = A sin(ωt + ϕ)
(2.1)
Habitualmente se usan las siguientes denominaciones, ω es la pulsación o frecuencia
angular, ϕ la fase inicial, ωt + ϕ la fase, A la amplitud y x la elongación.
Figura 2.1
Gráficamente se puede considerar el movimiento armónico simple como el de la
proyección de un móvil sobre un eje (el vertical por ejemplo) que se mueve con movimiento circular uniforme con radio A, con arco inicial ϕ y a velocidad angular ω, como fácilmente se puede comprobar con la Trigonometría.
35
36
CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
Se verifica que el periodo T = 2 π/ω, ya que la función que define el movimiento
armónico simple es periódica de periodo 2 π/ω, en efecto:
x = A sen ( ωt + ϕ) = A sen ( ωt + ϕ + 2π) = A sen [ ω( t + 2 π/ω)+ ϕ]== A sen
[ ω( t + T)+ ϕ], de donde T = 2 π/ω.
Físicamente el periodo representa el tiempo que se invierte en una oscilación completa.
La frecuencia es f = 1/T es f = ω/2π. Físicamente, la frecuencia representa el
número de oscilaciones en la unidad de tiempo, esto, es el número de oscilaciones completas por segundo.
2.1.1.
Velocidad
La velocidad viene dada por
~v = vx~i =
dx~ ~
i = iωA cos(ωt + ϕ)
dt
(2.2)
Normalmente, en lo que se refiere al m.a.s se suele utilizar el símbolo v para vx 1 .
Teniendo en cuenta lo anterior se tiene
v = ωA cos(ωt + ϕ)
(2.3)
Si se considera la identidad trigonométrica sin2 α + cos2 α = 1, se puede expresar la
velocidad como
q
√
v = ±ω A2 − A2 sin2 (ωt + ϕ) = ±ω A2 − x2
(2.4)
Lógicamente, el signo ± de la raíz dependerá del sentido del movimiento en el instante
considerado.
2.1.2.
Aceleración
Llamando a a la componente x de la aceleración2 , tenemos
a=
1
d2 x
= −ω 2 A sin(ωt + ϕ) = −ω 2 x
dt2
(2.5)
Esto en sentido estricto no es correcto ya que v es en realidad el módulo de la velocidad pero suele
ser costumbre esta denominación en el m.a.s.
2
Nuevamente debemos insistir lo mismo que antes, en sentido estricto, no es correcto ya que a es en
realidad el módulo de la velocidad pero suele ser costumbre esta denominación en el m.a.s.
2.1. DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
2.1.3.
37
Ecuación diferencial
De la ecuación de la aceleración se tiene,
d2 x
+ ω2x = 0
dt2
(2.6)
que es la llamada ecuación diferencial del m.a.s.
El interés de esta ecuación diferencial tiene que ver con el hecho de cualquier fenómeno físico descrito por una variable cuya ecuación diferencial tenga la forma de la
ecuación 2.6 evolucionará con el tiempo de manera oscilatoria o sinusoidal.
2.1.4.
Ejemplos:
El oscilador elástico
Figura 2.2
Dicho oscilador se caracteriza por estar sometido a la fuerza elástica (Ley de Hooke),
~
F = −Kx~i, siendo K la constante de recuperación elástica.
Aplicando la 2a ley de Newton, F~ = m~a, tenemos:
d2 x~
m 2 i = −Kx~i
dt
(2.7)
o bien,
d2 x
+ Kx = 0
(2.8)
dt2
de donde comparando con la ecuación diferencial del movimiento armónico simple se observa que es formalmente similar, y que el movimiento de dicho oscilador es un movimiento armónico simple siendo ω 2 = K/m por lo que el periodo del oscilador elástico es
r
2π
m
T =
= 2π
(2.9)
ω
K
m
38
CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
El péndulo simple o matemático
Consta de una partícula puntual suspendida de un hilo inextensible y sin masa que se
encuentra sujeto en un extremo y lleva a cabo oscilaciones sobre un mismo plano. Como
se puede comprender se trata de un sistema ideal de ahí su denominación como péndulo
simple o matemático, a diferencia del llamado péndulo físico o compuesto que consiste
en un sólido rígido que oscila respecto de un punto. Si uno desea estudiar este sistema
Figura 2.3
aplicará la segunda Ley de Newton que en sus componentes tangente a la trayectoria y
normal a la misma se concreta en:
−Px = mat ⇒ −mg sin α = mat
(2.10)
T − Py = man
(2.11)
y
siendo esta última ecuación no relevante en el caso que nos ocupa (pequeñas oscilaciones).
Para pequeñas oscilaciones la longitud del arco s ∼
= x por lo que at ∼
= ax , y entonces
tenemos:
d2 x
x
(2.12)
mg + m 2 = 0
l
dt
o bien
d2 x g
+ x=0
(2.13)
dt2
l
por lo que comparando con la ecuación diferencial del m.a.s. se tiene que ω 2 = g/l, es
decir, el periodo del péndulo simple viene dado por
s
l
T = 2π
(2.14)
g
ecuación que permite medir el valor de g en distintos puntos de la Tierra.
2.2. ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
2.2.
39
Energía del movimiento armónico simple
Consideremos de nuevo el oscilador elástico. Como el movimiento es armónico simple,
la velocidad máxima es vmáx = Aω. La energía cinética en la posición x será
1
1
Ec = mv 2 = mA2 ω 2 cos2 (ωt + ϕ)
2
2
(2.15)
La energía potencial será:
1
1
Ep = Kx2 = A2 sin2 (ωt + ϕ)
2
2
(2.16)
Como ω 2 = K/m, entonces
1
EM = Ec + Ep = mA2 ω 2 [cos2 (ωt + ϕ) + sin2 (ωt + ϕ)]
2
(2.17)
es decir,
Por ello, EM = Ec,máx
energía Mecánica.
2.3.
1 2
1
(2.18)
EM = KA2 = mvmáx
2
2
= Ep,máx , de acuerdo con el Teorema de conservación de la
Ondas. Clasificación.
Sea una cuerda sometida a una tensión, entonces existe una perturbación, Y, que se
propaga a lo largo de la cuerda.
Si tenemos un émbolo y un gas, al dar una embolada, en las zonas próximas aumenta
la presión P y la densidad ρ, y este aumento se propaga produciéndose una variación de
presión P - P 0 y una variación de densidad ρ - ρ0 que se transmite. Supongamos, asimis-
Figura 2.4
mo, una barra, si aplicamos una fuerza se producirá un desplazamiento de la sección,
entonces, tanto la fuerza como el desplazamiento se transmitirán por la barra; esto sería
una onda elástica en una barra. De un modo más general, supongamos una propiedad
física descrita por un cierto campo, éste puede ser un campo electromagnético, la presión
40
CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
Figura 2.5
en un gas, la deformación de un sólido, el desplazamiento transversal de una cuerda, etc.;
supongamos que en un lugar el campo varía con el tiempo, esta variación o perturbación
se transmite o propaga a través del espacio; esto origina cambios físicos en otros lugares,
entonces decimos que hay una onda asociada al campo particular considerado.
Se denomina pulso de ondas si la perturbación se realiza de forma instantánea, si
se realiza de forma continua se obtiene un tren de ondas: Hay ondas que necesitan
Figura 2.6
soporte material para propagarse como las ondas de presión de un gas, las ondas de una
cuerda, etc. Se les llama ondas mecánicas.
Figura 2.7
Otras pueden propagarse en el vacío, son las ondas electromagnéticas.3
3
Mediante las ecuaciones de Maxwell se puede obtener una ecuación de ondas. En realidad, se trata
2.3. ONDAS. CLASIFICACIÓN.
41
Si la dirección de propagación es perpendicular al desplazamiento o perturbación, se
tienen ondas transversales.
Si tales direcciones coinciden, se tienen ondas longitudinales; por ejemplo las ondas elásticas de una barra.
Figura 2.8
Para medios materiales en los que la velocidad de propagación es igual en todas las
direcciones se habla de medios isótropos. Si la velocidad de propagación depende de
la dirección se habla de medio anisótropo.
Si el campo que se propaga es escalar, la onda es escalar , y si el campo es vectorial
la onda es vectorial . Así, las ondas electromagnéticas son transversales y vectoriales.
Figura 2.9
~ y magnéticos B
~ que varían con el tiempo (producidos por cargas eléctricas
de campos eléctricos E
aceleradas) y esta variación se propaga en el vacío.
42
CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
2.4.
Magnitudes características de las ondas. Ondas
armónicas
~
Representemos por Y la magnitud física o campo que se propaga. Y puede ser E,
~ P , ρ, Y (desplazamiento), etc.
B,
Puede demostrarse que la ecuación de ondas unidimensional puede escribirse como:
Y (x, t) = f1 (x − vt) + f2 (x + vt)
(2.19)
donde v es la velocidad de propagación.
El significado físico de esta ecuación es que f 1 representa una onda que viaja a la
derecha y f 2 una onda que viaja a la izquierda. En efecto, analicemos una función f(x):
Figura 2.10
Se observa que f(x-a) tiene una representación gráfica de f(x) desplazada una distancia a la derecha. Si a = vt, entonces f(x-a) = f(x-vt) tendrá una gráfica desplazada a la
derecha una distancia vt, es decir, se moverá a la derecha con una velocidad v.
Análogamente, se obtendría que una función f(x+vt) tendrá una gráfica que se mueve
hacia la izquierda con una velocidad v.
Una solución particular muy interesante es la onda armónica:
Y(x,t) = A sen k(x-vt) -> onda armónica que viaja hacia la derecha.
Y(x,t) = A sen k(x+vt) -> onda armónica que viaja hacia la izquierda.
2.4. MAGNITUDES CARACTERÍSTICAS DE LAS ONDAS. ONDAS ARMÓNICAS43
De acuerdo con una terminología similar a la del movimiento armónico simple, A=
amplitud, k(x-vt) = fase, y v = velocidad de fase.
Si t = 0, la onda armónica que viaja a la derecha adopta la forma Y(x,0) = Asenkx,
y su representación gráfica es: A la distancia λ tal que Y(x) = Y(x + λ) para un instante
Figura 2.11
determinado, se le llama longitud de onda o periodo espacial .
Si hacemos x = 0, entonces Y(0,t) = A sen (-kvt) = - A sen kvt. Su representación
gráfica será: Se observa que se trata de un movimiento armónico simple del que está
Figura 2.12
afectada la partícula con x = 0.
Esto nos permite incidir en la diferencia entre movimiento oscilatorio y movimiento
ondulatorio. El movimiento ondulatorio consiste en la propagación de una perturbación
que implicará en general, la propagación de una condición dinámica. En el caso de una
44
CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
onda armónica, la propiedad que se propaga afecta a cada punto de forma oscilatoria;
podríamos decir, por tanto, que una onda armónica es la propagación de un movimiento armónico simple de la primera partícula perturbada a la partícula siguiente, y así,
sucesivamente.
Al tiempo T tal que Y(x,t) = Y(x, t +T) para una posición determinada se le llama
periodo temporal o simplemente periodo. Veamos algunas relaciones entre los periodos:
Como Y(x + λ, t) = Y(x, t), entonces A sen k(x+ λ - vt) = A sen k (x - vt), de
donde, k(x + λ - vt) - k(x - vt) = 2 π; k λ = 2 π; k = 2 π/ λ y,
[ λ = 2 π/k ]
A k se le llama número de onda.
Por otra parte: Y(x, t) = A sen k(x - vt) = A sen (kx - kvt). Llamamos pulsación
a ω = kv, así Y(x, t) = A sen (kx - ωt).
Además, Y(x, t + T) = Y(x, t), por lo que A sen {k[x - v(t + T)]} = A sen k(x vt), de donde {k[x - v(t + T)]} - k(x - vt) = -2 π, y así [T = 2 π/kv]. Por otra parte, ω
= kv = (2 π/λ) v, y como T = 2 π /ω, sustituyendo:
2π
2π
=
v
T
λ
(2.20)
λ = vT
(2.21)
de donde
lo cual muestra que hay una dependencia entre el periodo espacial y el periodo temporal
a través de la velocidad de fase.
Utilizando los parámetros λ, y T, tenemos:
2π
2π
x
t
Y (x, t) = A sin
x−
t = A sin 2π
−
λ
T
λ T
(2.22)
que es una onda armónica que viaja a la derecha.
Una onda armónica que viaja a la izquierda expresada en función de λ y T es:
x
t
Y (x, t) = A sin 2π
+
(2.23)
λ T
El interés de estudiar ondas armónicas proviene del Teorema de Fourier según
el cual “si Y(x, t) es una función periódica puede escribirse:”
Y (x, t) = a0 +a1 cos(kx−ωt)+a2 cos 2(kx−ωt)+· · ·+b1 sin(kx−ωt)+b2 sin 2(kx−ωt)+· · ·
(2.24)
2.5. ENERGÍA E INTENSIDAD DE UNA ONDA
es decir,
Y (x, t) = a0 +
∞
X
[an cos n(kx − ωt) + bn sin n(kx − ωt)]
45
(2.25)
n=1
Con ciertas matizaciones, esto es también válido si la función Y(x,t) no es periódica.
2.5.
Energía e Intensidad de una onda
Consideremos una onda transversal en una cuerda:
Figura 2.13
Como consecuencia de estas fuerzas o tensiones una parte de la cuerda suministra
energía a otra. Si suponemos que la onda es armónica, puede demostrarse que la potencia
viene dada por:
1 2 2
µA ω v
(2.26)
P =
2
cuyo significado físico corresponde a la energía media que fluye a lo largo de la cuerda en
la unidad de tiempo como consecuencia del movimiento ondulatorio. En la anterior expresión µ es la densidad lineal de masa (µ = dm/dl ) y v la velocidad de propagación que
puede demostrarse que viene dada por v = (T/ µ) 1 /2 donde T es la tensión de la cuerda.
El resultado anterior puede justificarse de la siguiente manera: la energía de un
oscilador viene dada, como ya se ha visto, por E = (1/2)KA2 , donde K = mω 2 , es decir,
sustituyendo E = (1/2)mω 2 A2 . Al ser nuestro sistema una cuerda, podemos considerar
un elemento de la misma como un oscilador, su energía sería dE = (1/2)dmω 2 A2 =
(1/2)µdlω 2 A2 siendo µ la densidad lineal de masa de la cuerda y dl la longitud del
elemento de cuerda considerado. La energía por unidad de tiempo que fluye por la
cuerda será
dE
1 2 2
=
µω A v
(2.27)
dt
2
siendo v la velocidad de propagación.
46
CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
.
La energía por unidad de volumen, , es = P m /(v S) donde S es la superficie
normal a la propagación (superficie de la cuerda).
Sustituyendo se tiene
1µ 2 2 1 2 2
A ω = ρA ω
2S
2
donde ρ es la densidad volúmica de la cuerda.
=
(2.28)
Se define Intensidad media de la onda de la siguiente manera:
1 2 2
Pm
(2.29)
=
ρA ω v = v
Im =
S
2
La expresión anterior asociada a la Intensidad, o energía por unidad de tiempo y
metro cuadrado, nos dice que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud
de la onda, es decir, Im ∝ A2 .
Todo esto nos permite redefinir claramente el concepto de onda: ¿qué se propaga
realmente en el movimiento ondulatorio? Antes hemos dicho que se propaga una perturbación, un campo físico, en realidad, vemos que lo que se propaga es energía. No
se propaga la materia sino su estado de movimiento; es una condición dinámica que
se transmite de una región a otra. Estas condiciones dinámicas se pueden describir en
términos de energía y momento lineal, por ello, en el movimiento ondulatorio lo que
realmente se propaga es energía y momento lineal.
Así, cuando la perturbación pasa de una sección transversal a otra, es la potencia
la que se transmite. Si la onda se propaga de izquierda a derecha, debe suministrarse
energía al extremo izquierdo de la cuerda.
Para las ondas esféricas, ondas en tres dimensiones cuya formulación es del tipo
(a partir de una cierta distancia del foco emisor):
1
Y (r, t) = f (r − vt)
r
la amplitud disminuye con r, así, para una onda armónica esférica:
a
Y (r, t) = sin(kr − ωt)
r
siendo A = a/r.
(2.30)
(2.31)
En estos casos, I = I0 /r2 siendo I0 ∝ a2 , es decir, como Im ∝ A2 , entonces Im ∝ r−2 .
Este resultado es lógico de acuerdo con la conservación de la energía, ya que al disminuir
la intensidad como 1/r 2 y aumentar la superficie como r 2 , el flujo energético por unidad
de tiempo que atraviese una superficie deberá ser constante. El hecho de que la intensidad de una onda esférica disminuya con la distancia al foco emisor según 1/r 2 se conoce
como atenuación de dicha onda esférica.
2.6. INTERFERENCIA DE ONDAS
47
Figura 2.14
2.6.
2.6.1.
Interferencia de ondas
Principio de superposición
“Si en un medio se propagan dos o más ondas, éstas superpondrán sus efectos en los
puntos que coincidan y continuarán después independientemente la una de la otra como
si no se hubieran superpuesto”.
Se denomina interferencia al fenómeno que tiene lugar cuando dos o más movimientos ondulatorios coinciden en el espacio y en el tiempo.
Diremos que dos fuentes de ondas son coherentes si oscilan con la misma frecuencia
angular. Si ello no es así no se observará diagrama de interferencia estacionario y se dice
que son incoherentes.
Figura 2.15
Consideremos dos fuentes puntuales S 1 y S 2 coherentes con una diferencia de fase
constante cuyo valor en puntos equidistantes es β:
Y (r, t) = A1 sin(kr1 − ωt)
(2.32)
Y (r, t) = A2 sin(kr2 − ωt + β)
(2.33)
48
CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
Supongamos que Y es un campo escalar por sencillez, entonces:
Y (= Y1 + Y2 = A1 sin(kr1 − ωt) + A2 sin(kr2 − ωt + β)
(2.34)
Resolveremos el problema de sumar las dos ondas gráficamente, mediante vectores
rotatorios:
Figura 2.16
Como los dos fasores se mueven a la misma velocidad angular, la resultante se moverá
también a la misma velocidad angular, es decir, Y = A sen ( α - ωt), siendo A2 =
A21 + A22 + 2A1 A2 cos δ y siendo δ la diferencia de fases, esto es,
δ = kr2 − kr1 + β = k(r2 − r1 ) + β =
2π
(r2 − r1 ) + β
λ
(2.35)
Se observa que: |A1 − A2 | ≤ A ≤ A1 − A2 .
Si cos δ = 1, entonces A = A1 + A2 ; δ = 2 πn: hay interferencia constructiva.
Si cos δ = -1, entonces A = A1 - A2 ; δ = (2n+1)π: hay interferencia destructiva.
Como δ =
2π
(r2
λ
− r1 ) + β, entonces:
1. Interferencia constructiva:
2π
βλ
(r2 − r1 ) + β = 2πn; r2 − r1 = nλ −
, n∈Z
λ
2π
(2.36)
2. Interferencia destructiva:
2π
λ βλ
(r2 − r1 ) + β = 2πn + π; r2 − r1 = nλ + −
, n∈Z
λ
2
2π
Si las dos ondas tienes la misma amplitud y β = 0:
(2.37)
2.7. ONDAS ESTACIONARIAS
49
1. Interferencia constructiva: r1 − r2 = nλ, A = 2A1 .
2. Interferencia destructiva: r1 − r2 = nλ + λ/2, A = 0.
La ecuación r1 − r2 = cte, define una hipérbola de focos S1 y S2, y como estamos en
el espacio, esta ecuación define superficies hiperbólicas de revolución. A las superficies
hiperbólicas en las que hay interferencia constructiva y los movimientos ondulatorios se
refuerzan, se les llama superficies ventrales o antinodales. A las que hay interferencia destructiva se les llama superficies nodales.
2.6.2.
Intensidad en los fenómenos de interferencias
(1)
(2)
Sean dos fuentes coherentes, entonces Im = KA21 y Im = KA22 . La onda interferencia tendrá una intensidad Im = KA2 donde A2 = A21 + A22 + 2A1 A2 cos δ, y sustituyendo
se tiene:
Im = K(A21 + A22 + 2A1 A2 cos δ) = KA21 + KA22 + 2K 1/2 A1 K 1/2 A2 cos δ
(2.38)
de donde se logra:
Im =
(1)
Im
+
(2)
Im
q
+2
(1) (2)
Im Im cos δ
(2.39)
de forma que las condiciones de máximos y mínimos de intensidad son las mismas que
las requeridas para los máximos y mínimos de amplitud. Por ello, las interferencias constructiva y destructiva pueden definirse asimismo en términos de intensidades en vez de
en términos de amplitudes.
2.7.
Ondas estacionarias
Una onda estacionaria es aquélla que resulta al superponerse dos movimientos ondulatorios que avanzan en sentidos contrarios. Estas ondas resultantes dan la sensación
de no moverse, por cuyo motivo se denominan estacionarias.
Consideremos una cuerda con un extremo fijo:
Una onda incidente hacia la derecha tiene de ecuación
Y I = A sen (kx - ωt)
y se refleja en O originando una onda de ecuación
Y R = A’ sen (kx + ωt)
El desplazamiento en cualquier punto es el resultado de la interferencia o superposición de estas dos ondas:
50
CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
Figura 2.17
Y = A sen (kx - ωt) + A’ sen (kx + ωt)
Para x = 0, Y(x=0) = A sen (- ωt) + A’ sen ωt = (A’- A) sen ωt.
Como O es fijo, entonces Y(x= 0) = 0, de donde A’ = A, es decir, la onda experimenta un cambio de fase π cuando se refleja en el extremo fijo, en consecuencia:
Y = A sen (kx - ωt) + A sen (kx + ωt) = 2A sen kx cos ωt.
Ya no aparecen las expresiones kx ± ωt, y esta ecuación no representa una onda
viajera sino un movimiento armónico simple cuya amplitud varía de un punto a otro:
amplitud = 2A sen kx.
En concreto, hay puntos que no oscilan nunca (nodos), y otros cuya amplitud es
máxima (vientres).
En los nodos x = (1/2) nλ, pues kx = nπ, n ∈ Z y los nodos están separados una
distancia (1/2)λ.
En los vientres kx = nπ + π/2, n ∈ Z de donde X = (1/2)nλ + λ/4, n ∈ Z
Por otra parte, si el otro extremo (x = -L) también esta fijo, entonces Y (x = -L)
= 0, lo que implica que para cualquier instante 2Asen k(-L) = 0. Como el seno es una
función impar sen kL = 0, de donde kL = πn, y por tanto L = nλ/2 o bien λ = 2L/n.
En definitiva, en estas condiciones la longitud de onda está cuantizada y por ello no
puede tomar cualquier valor sino que debe cumplir la condición λ = 2L/n, donde n es
2.8. PRINCIPIO DE HUYGENS
51
un número natural. En esto hecho se basa lo que ocurre en los instrumentos musicales
(por ejemplo, en la flauta donde sólo son posibles ciertas frecuencias o longitudes de
onda).
2.8.
Principio de Huygens
Denominamos frente de onda al lugar geométrico de los puntos del espacio que
en un momento dado están en el mismo estado de vibración (es decir, si un punto está
en un máximo de amplitud todos los que seguidamente de él estén en un máximo de
amplitud formarán un frente de onda,...)
Así, por ejemplo, si tenemos una onda Y(x,t) = A sen k(x - vt), la ecuación
k(x - vt) = cte definiría un frente de onda.
Esta ecuación se puede escribir
Y (~r, t) = A sin(~k · ~r − ωt)
(2.40)
de forma que el frente de onda vendrá dado por
~k · ~r − ωt = cte
(2.41)
dicho frente de onda avanza en la dirección de ~k.
Existen ondas que no son planas, sino por ejemplo, esféricas, en las que la ecuación se
expresa Y(r,t) = (1/r) f(r - vt). En particular, la ecuación de una onda esférica armónica
(si se trata de una onda de presión) sería,
P − P0 =
A
sin(kr − ωt)
r
(2.42)
y en este contexto, la ecuación kr - ωt = cte define una superficie esférica que avanza.
El principio de Huygens permite saber la evolución de un frente de onda: “Todos
los puntos de un frente de onda se pueden considerar como centros emisores de ondas
esféricas secundarias. Después de un cierto tiempo, la nueva posición del frente de onda
será la superficie tangencial a esas ondas superficiales”.
Figura 2.18
52
CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
El principio de Huygens fue completado por Fresnel diciendo que “las ondas secundarias hacia atrás no son activas”. Este principio es la base de la óptica geométrica, y
con el se pueden explicar fenómenos como la reflexión, refracción, y difracción.
2.8.1.
Reflexión de ondas planas
Reflexión es el retorno del movimiento ondulatorio por el mismo medio por donde se
propagaba al chocar con la superficie de un medio distinto.
Figura 2.19
Se cumple = ’. En efecto, los triángulos A’A”B”=A’B’B” ya que tienen 2 lados
iguales y 1 ángulo igual: A’B” = hipotenusa común, ambos tienen un ángulo recto, y
B’B” = A’A” por construcción (Principio de Huygens).
Si los dos triángulos son iguales, A”A’B”=B’B”A’, es decir, complementario (’) =
complementario (”) = complementario (), por lo que = ’.
2.8.2.
Refracción de ondas planas
Es el cambio de la velocidad de propagación de un movimiento ondulatorio al pasar
de un medio material a otro.
Se verifica la ley de Snell:
v1
sin =
= cte
0
sin v2
(2.43)
ˆ = B 0 Â0 B 00 ↔ B 0 B 00 = v1 t
(2.44)
ˆ0 = A0 Bˆ00 A00 ↔ A0 A00 = v2 t
(2.45)
En efecto:
2.9. DIFRACCIÓN
53
Figura 2.20
por lo que,
A0 B 00 sin v1 t
B 0 B 00
=
=
A0 A00
A0 B 00 sin 0
v2 t
(2.46)
v1
sin =
v2
sin 0
(2.47)
lo que implica que
En la refracción tiene el siguiente balance de energía: “energía incidente = energía
reflejada + energía refractada o transmitida”.
2.9.
Difracción
La difracción es un fenómeno que se produce cuando un haz de luz pasa por una
abertura, de forma que a continuación, el haz se abre siendo esta abertura tanto mayor
cuanto más pequeño sea el orificio.
Experimentalmente, se observa que esto suele ocurrir cuando las dimensiones del
orificio son comparables a la longitud de onda.
Principalmente, existen dos tipos de difracción:
1. Difracción de Fraunhoffer: En ella, la onda incidente es plana y observamos el
patrón de difracción a una distancia suficientemente grande como para que sólo
recibamos ondas planas.
54
CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
Figura 2.21
2. Difracción de Fresnel: Las ondas incidentes se originan en una fuente puntual, o
bien se observan los rayos difractados en un punto determinado del espacio, o bien
ambas cosas.
2.9.1.
Difracción de Fraunhoffer por una rendija
Sea una rendija rectangular muy estrecha y larga de modo que podamos ignorar los
efectos de los extremos.
Figura 2.22
Supongamos que las ondas incidentes son normales al plano de la rendija. De acuerdo
con el principio de Huygens, cuando la onda incide sobre la rendija, todos los puntos
de su plano se convierten en fuentes secundarias de ondas, emitiendo nuevas ondas que
llamaremos difractadas. Observando estas ondas a diferentes ángulos θ respecto a la dirección de incidencia, encontramos en ciertas direcciones una intensidad nula que puede
demostrarse que corresponden con la ecuación b sin θ = nλ, (n 6= 0, n ∈ Z), siendo λ la
longitud de onda incidente. Excluimos n = 0 porque corresponde a la observación según
la dirección de incidencia, lo cual implica un máximo de iluminación.
2.9. DIFRACCIÓN
55
La gráfica de intensidad es:
Figura 2.23
Figura 2.24
El ángulo subtendido por el pico central es:
Figura 2.25
2.9.2.
Difracción de Fraunhoffer para una abertura circular
Aparecen discos: un disco central brillante y coronas circulares oscuras y claras alternadamente:
56
CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
Figura 2.26
2.9.3.
Óptica geométrica y óptica ondulatoria (de interés respecto a la luz
En óptica geométrica se hace uso del concepto de rayo. Un RAYO es una construcción geométrica que hace representar un haz de ondas por una línea que es la línea de
propagación.
Un rayo es imposible aislarlo físicamente. En efecto, si se pretendiese aislar un rayo
deberíamos utilizar una rendija muy estrecha, pero como el ángulo de difracción viene
dado por θ ∝ λ / b, si b -> 0, entonces θ se hace muy grande y por ello el aislamiento
se hace imposible.
Figura 2.27
En conclusión, si b >> λ, la luz parece avanzar en líneas rectas que pueden representarse mediante rayos (óptica geométrica). Ello permite estudiar la reflexión, la refracción,
etc.
2.10. EL SONIDO
57
Al requisito b >> λ, se le llama condición de la óptica geométrica. Si no se cumple,
no se pueden hacer descripciones mediante rayos, y debemos considerar los efectos puramente ondulatorios (difracción). Entonces, hablamos de ÓPTICA ONDULATORIA.
La óptica geométrica es un caso límite de la óptica ondulatoria. De todas formas, en
cada caso hay que analizar la validez o no del uso del rayo y sus limitaciones.
2.10.
El sonido
El sonido son vibraciones que se propagan en diferentes medios materiales. Son por
tanto ondas mecánicas.
Si se propagan en un medio gaseoso (aire, etc.) se trata dep
ondas de presión, de
densidad, etc. La velocidad de propagación viene dada por v = γRT /M donde γ es
el coeficiente adiabático del gas (en el aire vale 1,4), T es la temperatura absoluta y M
la masa molar.
p En sólidos son ondas elásticas y la velocidad de propagación viene dada por v =
J/ρ siendo J el llamado módulo de Young (mide la elasticidad del sólido) y ρ la densidad.
Para líquidos también se trata de
pondas de presión, de densidad, etc. La velocidad
de propagación viene dada por v = β/ρ siendo β el módulo volumétrico del líquido.
La velocidad del sonido en sólidos es mucho mayor que en líquidos y la velocidad en
líquidos es a su vez mucho mayor que en gases.
2.10.1.
Nivel de Intensidad
El oído humano es capaz de oír sonidos con frecuencias que van desde 20 hasta
20.000 Hz. Sin embargo, el intervalo de más sensibilidad va desde 1000 a 5000 Hz.
Se define umbral de audición como la intensidad más baja para oír a una frecuencia
W
dada. A 1000 Hz el umbral suele corresponder a una intensidad I0 = 10−12 m
2 , siendo la
W
intensidad de 1 m2 la que corresponde a una sensación de dolor.
Se establece la escala de nivel de intensidad de la siguiente manera:
β = 10 log
I
I0
W
siendo I0 = 10−12 m
2 . Se mide en decibelios (db).
(2.48)
58
CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
Así el mínimo o umbral de audición corresponde a β = 0db, mientras que el máximo
1
= 120db. por ello, puede decirse que si β > 120db existirá
corresponde a β = 10 log 10−12
sensación de dolor auditivo.
2.10.2.
Otros aspectos del sonido
Existen además de la intensidad, otros aspectos que deben ser considerados en el
sonido, como el tono y el timbre.
El tono de un sonido está relacionado con la frecuencia del mismo. Si el sonido está
integrado por una sola onda armónica, la frecuencia está perfectamente determinada,
pero en general, tendremos (mediante la descomposición de Fourier) un tono fundamental y distintos armónicos o sobretonos que matizarán el tono fundamental, siendo a este
matiz o ligera alteración a lo que se conoce como timbre.
2.11.
Absorción de ondas
Al incidir una onda4 sobre un medio material, en general, existirá una parte reflejada,
otra transmitida (refractada), y finalmente otra absorbida. Los dos aspectos anteriores
ya han sido objeto de estudio (la reflexión y la refracción). Centraremos ahora nuestra
atención sobre el tercer aspecto. Lo anteriormente expuesto significa que la energía de
la onda incidente se va a repartir en energía de la onda reflejada, energía de la onda
transmitida y energía absorbida.
Se entiende por absorción la disminución de intensidad I que experimenta una onda al atravesar un medio.
Consideremos un medio material absorbente de radiación con un ancho l :
Figura 2.28
4
Cuando hablamos de una onda estamos pensando en la luz aunque el presente análisis es válido
para cualquier onda electromagnética, e incluso para cualquier onda mecánica.
2.12. POLARIZACIÓN DE LAS ONDAS
59
Consideremos una onda plana incidente, entonces la experiencia nos muestra que la
onda experimenta una disminución de intensidad, - dI, dada por la relación:
−dI = α · I · dx
(2.49)
en función del espesor del medio atravesado dx, siendo α el llamado coeficiente de absorción del medio material antes aludido, el cual representa físicamente la disminución
relativa de intensidad de la onda por unidad de longitud que recorre en el medio que
atraviesa. Su unidad SI es el m −1 .
La ecuación antes escrita es una ecuación diferencial cuya solución es:
I(x) = I0 · e−αx
(2.50)
que representa la intensidad de la onda que atraviesa el medio material a una distancia
x de la primera superficie de separación entre los dos medios materiales.
Naturalmente la intensidad de la onda una vez atravesado el medio material será:
I = I(l) = I0 · e−αl
(2.51)
Esta expresión se conoce como ley de Lambert-Beer, y nos muestra cómo la intensidad de la onda disminuye con la distancia. Esta disminución afectará por tanto también
a la amplitud de la onda pero no a su frecuencia.
Una de las aplicaciones del fenómeno de absorción de radiación tiene que ver con
el reconocimiento de grupos atómicos y enlaces, porque cada uno de ellos suele tener
un máximo de absorción para una frecuencia determinada. Por ejemplo, los fenoles
presentan un máximo de absorción para 3000 cm −1 de número de onda.
2.12.
Polarización de las ondas
Como es bien sabido en una onda transversal la dirección de propagación es perpendicular a la perturbación o vibración, lo cual significa que la vibración puede tener lugar
en todos los planos normales a la dirección de propagación. Pues bien, si la vibración
tiene lugar solamente en un de los planos de vibración se dice que la onda está polarizada
linealmente.
Si la vibración tiene lugar en forma circular se dice que la polarización de la onda
es circular .
Si la vibración tiene lugar en forma elíptica se dice que la onda está polarizada
elípticamente .
En general, las ondas transversales (como la luz) no están polarizadas; sin embargo, mediante técnicas adecuadas se pueden polarizar. En particular, mediante dos polaroides (láminas con sustancias cristalinas que dejan pasar la componente de la onda
60
CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
luminosa cuyo vector eléctrico vibre paralelamente a la dirección de los cristales), el polarizador y el analizador, se puede dejar pasar la luz, de forma que si los ejes de los
cristales son perpendiculares no pasará luz y si son paralelos pasará la luz linealmente
polarizada.
2.13.
Influencia del movimiento del medio en las ondas
sonoras
Todo lo visto hasta ahora implicaba que el medio en que se propagan las ondas está
en reposo respecto de la fuente emisora así como del observador que recibe las ondas.
Hay ocasiones en que esto no ocurre así como cuando hablamos de la propagación del
sonido y hace viento.
Consideremos una fuente emisora de ondas sonoras fijas respecto de un sistema de
referencia ligado a un observador. Supongamos que el medio (homogéneo e isótropo)
se mueve respecto del sistema de referencia del observador con una velocidad v~m cuyo
módulo es muy pequeño comparado con la velocidad de propagación del sonido v. Si
un frente de onda tarda un tiempo t en llegar desde el foco al observador, su velocidad
aparente respeto del sistema de referencia será:
d
⇒ F P = v0t
(2.52)
t
Por otro lado el el centro del frente de onda que parte de F es arrastrado por el
medio y se desplaza a la velocidad v~m y al cabo de un tiempo t se encontrará en el
punto F’ de forma que:
v0 =
F F 0 = v~m t
(2.53)
Ahora como la distancia F 0 P es el radio del frente de onda al cabo del tiempo t y
por tanto la distancia recorrida por la onda si el medio estuviera en reposo entonces:
F 0 P = vt
(2.54)
Por lo que de acuerdo con la figura se tiene:
d = F P = F H + HP = F F 0 cos α + F 0 P cos β
(2.55)
v 0 = vm cos α + v cos β
(2.56)
por lo que:
2.14. EFECTO DOPPLER
61
Figura 2.29
Como hemos supuesto que vm << v, el ángulo β es también muy pequeño por lo
que el coseno es prácticamente la unidad por lo que finalmente:
v 0 = v + vm cos α
(2.57)
Por tanto, que la velocidad del sonido aumenta en el sentido del viento y disminuye
en sentido contrario.
La corrección anterior a la velocidad del sonido es muy importante si, por ejemplo,
queremos medir la velocidad del sonido para el aire ya que un poco de viento aunque
sea con poca velocidad supone un importante error en la medida, y por ello debemos
hacer la media de dos medidas una a favor del viento y otra en contra.
2.14.
Efecto Doppler
Ahora a diferencia del caso anterior analizaremos la situación en la que el medio
está en reposo respecto del observador mientras que la fuente se mueve respecto del
observador. Lo que ocurre es que varía la longitud de onda (y la frecuencia) que recibe
el observador respecto de la que emite la fuente. Este fenómeno se conoce como Efecto
Doppler5 .
Para simplificar el estudio supondremos que la fuente se mueve en la misma recta
que la une con el observador de forma que el vector velocidad de la fuente v~f tenga la
misma dirección que la citada recta. Asimismo también supondremos que vf < v siendo
v la velocidad de propagación en el medio considerado. Consideremos una fuente que
emite ondas de periodo T . Si en el instante t = 0 la fuente se encuentra en el punto F0
y al cabo de un periodo se encuentra en el punto F1 , tendremos de acuerdo con la figura:
5
En honor al físico austríaco que lo descubrió Christian Johann Doppler (1803-1853)
62
CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
Figura 2.30
F0~F1 = v~f T
(2.58)
Supongamos ahora que el frente de onda emitido por la fuente en el instante t = 0
alcanza al observador P en el instante tP de manera que:
F0 P = vtP
(2.59)
El siguiente frente de onda correspondiente al mismo estado de vibración se emite
cuando la fuente está en F1 , es decir, cuando ha transcurrido un periodo desde que se
emitió el primero. En consecuencia este segundo frente habrá alcanzado en el instante
tP un punto Q definido por:
F1 Q = v(tP − T )
(2.60)
La longitud de onda λP observada por P será igual a la distancia entre los dos frentes
de onda en el instante tP con lo cual según la figura se tiene:
λP = vtP − v(tp − T ) ∓ vf T = (v ∓ vf )T
(2.61)
donde el signo − se refiere al caso en que la fuente se acerca al observador y el signo
+ al caso en que se aleja. Ahora bien como la longitud de onda que corresponde a la
fuente en reposo está dada por:
λF = vT ⇒ T =
λF
v
(2.62)
resulta finalmente:
v ∓ vf
(2.63)
v
Esta fórmula indica que cuando la fuente se acerca al observador la longitud de onda
percibida por éste disminuye (la frecuencia aumenta), y cuando se aleja la longitud
de onda percibida aumenta (la frecuencia disminuye). La ecuación anterior escrita en
términos de frecuencia resulta:
λP = λF
fP = fF
v
v ∓ vf
(2.64)
2.14. EFECTO DOPPLER
2.14.1.
63
Ondas de choque
En nuestra deducción sobre el efecto Doppler hemos supuesto que la velocidad de
la fuente es menor que la velocidad de la onda (en nuestro ejemplo que la velocidad
del sonido). Si la fuente se aleja del observador con más velocidad que la velocidad de
la onda éstas nunca alcanzarán al observador. Pero si la fuente se acerca al observador
dado que no habrá ondas delante de la misma estas se apilarán unas encima de otras
formando una onda de choque que se oye como un estampido sónico cuando llegan al
receptor.
Figura 2.31
La figura muestra una fuente originalmente situada en el punto P1 que se mueve hacia la derecha con velocidad u. Después de un tiempo t la onda emitida desde el punto
P1 habrá recorrido la distancia vt. La fuente habrá recorrido a su vez una distancia ut y
estará en el punto P2 . La recta tangente desde esta nueva posición de la fuente al frente
de onda emitido cuando estaba en P1 forma un ángulo θ con el trayecto de la fuente
dado por:
v
vt
=
(2.65)
ut
u
Así, la onda de choque está confinada en un cono que se estrecha cuando cuando
u crece. La relación entre la velocidad de la fuente u y la velocidad de la onda v se
denomina número de Mach:
sin θ =
u
(2.66)
v
La situación descrita como onda de choque también se da no sólo con el sonido, sino
en otros casos como la estela de un barco, que se mueve a velocidad superior a la de las
N úmero de M ach =
64
CAPÍTULO 2. VIBRACIONES Y ONDAS
ondas superficiales en el agua, e incluso con la luz en lo que se conoce como Radiación
de Cerenkov, cuando la fuente emisora de luz se mueve en un medio, como por ejemplo,
el agua con una velocidad superior a la velocidad de la luz en ese medio
Capítulo 3
Óptica
3.1.
3.1.1.
Controversia sobre la naturaleza de la luz
Teorías antiguas hasta Newton
Los primeros intentos para interpretar el fenómeno de la visión se inician en los siglos
V-IV a.c.. “Si los objetos lejanos pueden ser vistos, algo debe servir de conexión entre el
objeto y el perceptor”.
Aparecen dos grupos de opiniones:
1. Escuela atomística: “Los objetos emiten imágenes que son como halos oscuros que
cubren a los cuerpos y que se desprenden llegando a nuestro interior a través de
los ojos”.
2. Escuela Pitagórica: “Suponen que son los ojos los focos emisores y que por analogía
al tacto el ojo palpa los objetos mediante una llama invisible y así recibe las
sensaciones de colores y dimensiones”. Dentro de esta escuela, Euclides introduce
el concepto de rayo emitido por el ojo sustituyendo al de llama luminosa. Euclides
dedujo la ley de la reflexión.
3.1.2.
Modelo corpuscular de la luz
Fue establecido por Newton en 1671 para explicar las leyes de la reflexión y refracción
de la luz. Supuso que la luz consistía en un desplazamiento de partículas materiales a
los que llamó corpúsculos luminosos, lanzados por el foco con una cierta velocidad característica del medio hacia todas direcciones y que continuaban en línea recta mientras
no hubiera ninguna superficie de discontinuidad. A cada color le correspondía una masa
determinada de los corpúsculos. La visión era debida al choque corpúsculo-retina.
Para explicar la reflexión decía que los corpúsculos que encontraban una superficie
pulimentada rebotaban elásticamente.
65
66
CAPÍTULO 3. ÓPTICA
Figura 3.1
Para explicar la refracción necesitaba una hipótesis suplementaria: “suponer que la
superficie de separación modifica sólo las componentes normales de la velocidad de los
corpúsculos”.
Como v1x = v2x entonces v1 sin = v2 sin 0 , por lo que
v2
sin =
0
sin v1
(3.1)
Figura 3.2
Según esto, la luz se propaga más rápidamente cuanto más denso es el medio, ya que
experimentalmente se observa que al pasar de un medio a otro más denso se acerca la
luz a la normal, es decir < ’ implica v 2 > v 1.
3.1.3.
Modelo ondulatorio de la luz
Huygens, contemporáneo de Newton, basándose en la analogía existente entre fenómenos luminosos y sonoros propuso una nueva teoría de la luz (1678), considerándola
3.2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
67
como una onda mecánica.
Para ello, hizo unas hipótesis:
1. Todo foco luminoso es un centro de perturbaciones que se propagan en el espacio
en todas direcciones con una velocidad característica del medio.
2. Como la luz se propaga en el espacio interestelar en el que no hay materia y las
ondas mecánicas requieren un medio material en que propagarse, supuso que todo
el espacio estaba ocupado por un medio continuo llamado éter que había de ser
un fluido perfecto pues en él los cuerpos se movían sin rozamiento apreciable.
3. Las ondas luminosas avanzan de acuerdo con el principio de Huygens, según el
cual, como ya hemos visto, se pueden obtener las leyes de la reflexión y de la
refracción. En particular, para la refracción hemos obtenido la ley de Snell:
v1
sin =
= cte
0
sin v2
(3.2)
Esta relación es inversa a la obtenida por Newton.
Para salir de este dilema, sería preciso medir las velocidades de la luz en distintos
medios materiales, lo cual entonces no podía hacerse.
Más tarde, se realizaron dichas medidas, y así, en 1862, Foucault puso de manifiesto
que lo correcto era la ley de refracción deducida por Huygens, lo cual confirmaba la
teoría ondulatoria frente a la corpuscular.
Ahora bien, determinados estudios demostraron que la luz es una onda transversal,
y ondas de este tipo no pueden propagarse en un fluido perfecto como el “éter”. Por ello,
se añadió que el éter debería ser incomprensible, lo cual se opone a considerar al “éter”
como fluido perfecto. Por tanto, si bien la teoría ondulatoria explica bien los fenómenos
de reflexión y refracción, era necesario hacer suposiciones contradictorias para sostener
que la luz era una onda mecánica.
3.2.
Ondas electromagnéticas
En 1865, Maxwell llegó teóricamente a la conclusión de que los campos electromagnéticos de variación rápida se propagan en el vacío como ondas y las llamó ondas electromagnéticas. Esto fue llevado a cabo partiendo de las 4 ecuaciones de Maxwell:
1. Ley de Gauss para el campo eléctrico.
2. Ley de Gauss para el campo magnético.
3. Ley de Henry-Faraday.
68
CAPÍTULO 3. ÓPTICA
4. Ley de Ampère-Maxwell
√
Al calcular la velocidad de estas ondas (v = 1/ 0 µ0 ), vio que coincidía con la velocidad de la luz en el vacío. Esto le hizo intuir que la luz era una o.e.m., y elaboró
una teoría (1873), que dio unicidad al modelo ondulatorio, ya que hacía innecesario la
hipótesis de la existencia del “éter”, ya que las o.e.m., a diferencia de las ondas mecánicas, no necesitan un medio material para propagarse, es decir, las o.e.m. se propagan en
el vacío por que el campo eléctrico y magnético existen en el vacío1 .
Figura 3.3
Posteriormente, Hertz consiguió mediante cierto dispositivo experimental producir
ondas eléctricas, comprobando que éstas experimentaban los fenómenos de reflexión, refracción, difracción, polarización, etc., confirmando de nuevo la teoría electromagnética
de la luz. El trabajo de Hertz dio realce a la estructura teórica de Maxwell, y desde
entonces, la óptica, la electricidad y el magnetismo pueden estudiarse conjuntamente.
Sin embargo, la teoría ondulatoria de Maxwell no explicó todos los fenómenos relacionados con la luz. Analizaremos esto con detalle en la última unidad temática.
3.2.1.
Formulación de una onda electromagnética armónica plana
Como antes se ha indicado desde las Ecuaciones de Maxwell se pueden obtener
ecuaciones análogas a las ecuaciones de ondas mecánicas. De hecho, si consideramos la
solución armónica plana una posibilidad (como la que se muestra en la figura) es:
Ey = E0 sin(kx − ωt)
1
(3.3)
Recuérdese que el concepto de onda de campo está asociado a la propagación de la interacción (ver
discusión sobre el concepto de campo en la unidad temática primera).
3.2. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
69
Figura 3.4
es decir el campo eléctrico oscila en la dirección del eje Y y
Bz = B0 sin(kx − ωt)
(3.4)
y el campo magnético oscila en la dirección del eje Z.
Asimismo puede demostrarse que:
Ey = cBz
(3.5)
por lo que la velocidad, la longitud de onda, la frecuencia y la fase de los campos magnético y eléctricos son iguales y las amplitudes directamente proporcionales siendo c la
constante de proporcionalidad. En definitiva, los campos ondulatorios eléctrico y magnético no son entidades independientes y la existencia de uno requiere la existencia de
otro. Por ello, tiene sentido hablar de onda electromagnética.
La figura representa esquemáticamente una onda electromagnética plano polarizada
en un instante dado.
Se puede demostrar también (y así se observa en la figura) que el vector campo eléctrico es perpendicular al vector campo magnético. De hecho la relación que se obtendría
para este caso es:
~
~ = 1 (~i × B)
(3.6)
B
c
siendo en este caso ~i el vector unitario del eje de propagación (eje X).
Si la onda se propaga en una dirección cualquiera dada por el vector unitario ~u se
tendrá:
~ = 1 (~u × B)
~
B
c
(3.7)
70
CAPÍTULO 3. ÓPTICA
3.3.
Velocidad de la luz. Índice de refracción. Concepto de rayo luminoso
Distintas técnicas experimentales han permitido medir con precisión la velocidad de
la luz en el vacío resultando ser c = 2, 99792 · 108 m/s, aunque lo habitual suele ser usar
el valor aproximado de c = 3 · 108 m/s. En el aire el valor es prácticamente igual, por lo
que usaremos el anterior valor aproximado de c ≈= 3 · 108 m/s. Naturalmente, en otros
medios materiales la velocidad de la luz tiene un valor diferente.
Se define índice de refracción en un medio de la siguiente forma n = c/v donde
v es la velocidad de la luz en dicho medio material. Como v < c, entonces el índice de
refracción será siempre n > 1, salvo para el vacío o el aire en que n = 1.
Si un medio tiene mayor índice de refracción que otro, se dice que es más refringente que el otro.
La luz está compuesta de diferentes frecuencias (que corresponden en el espectro
visible a los distintos colores). Por otra parte, la longitud de onda es λ = c/f , entonces
para distintas frecuencias existirán distintas longitudes de onda. Como cuando la luz
pasa de un medio material a otro medio material diferente la frecuencia es constante, la
longitud de onda cambiará al cambiar la velocidad de la luz. En concreto, si la longitud
de onda en el vacío es λ0 , la nueva longitud de onda al pasar la luz desde el vacío a otro
medio material será:
λ0
λ0
v
(3.8)
λ= =v =
f
c
n
de donde se tiene también que
n=
λ0
λ
(3.9)
es decir, el índice de refracción es asimismo el cociente de las longitudes de onda en el
vacío y el medio material considerado2 .
Entre 2 medios distintos con índices de refracción n1 y n2 se define el índice de
refracción relativo (del medio 2 respecto del medio 1) de la siguiente manera:
n2,1 =
n2
c/v2
v1
=
=
n1
c/v1
v2
(3.10)
Así si el medio 2 es más refringente que el 1, la velocidad de la luz en el medio 2
será menor que en el medio 1, y viceversa, si el medio 1 es más refringente que el 2, la
velocidad de la luz en el medio 1 será menor que en el medio 2.
2
La idea de analizar las modificaciones de los parámetros de una onda al cambiar el medio de
propagación también se puede considerar en otro tipo de ondas. En tales circunstancias, también se
verifica que la frecuencia es constante, modificándose por tanto otros parámetros de las mismas.
3.4. LEYES DE LA REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN
3.3.1.
71
Concepto de rayo luminoso
En la unidad temática anterior, introducíamos el concepto de rayo luminoso como
una construcción geométrica consistente en una línea perpendicular a los frentes de onda
con la dirección de la propagación. Naturalmente, otra cuestión es si existe físicamente
el rayo luminoso, si bien, ya discutimos las condiciones para intentar aislar un rayo luminoso. Tales condiciones son las que definen la óptica geométrica (suficientemente
pequeñas longitudes de onda para evitar fenómenos clásicamente ondulatorios como interferencias, difracción, etc.). En esta unidad temática, trabajaremos en el marco de la
óptica geométrica, suponiendo que se dan las condiciones para que ello sea posible, y en
este sentido, lo que haremos será sustituir la propagación de la luz por rayos luminosos.
3.4.
Leyes de la reflexión y refracción
En la unidad temática anterior se vio la reflexión y refracción de ondas planas, deduciéndose a partir del principio de Huygens las correspondientes leyes.
Vamos a volver sobre esta cuestión, para ello, enunciaremos de nuevo las leyes anteriormente citadas pero utilizando ahora el concepto de rayo luminoso.
3.4.1.
Leyes de la reflexión
1. El rayo incidente, la normal y rayo reflejado se encuentran en el mismo plano.
2. El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión (esto ya se demostró en la
unidad temática anterior): î = r̂.
3.4.2.
Leyes de la refracción
1. El rayo incidente, la normal y rayo refractado se encuentran en el mismo plano.
2. La relación entre el ángulo de incidencia y el de refracción es la siguiente (Ley de
Snell, ya demostrada en la unidad temática anterior):
v1
sin î
=
= n2,1
sin r̂
v2
(3.11)
n1 sin î = n2 sin r̂
(3.12)
o bien
3.4.3.
Ángulo límite y reflexión total
Si un rayo va de un medio a otro menos refringente, el rayo refractado se aleja de la
normal. En efecto, como n1 sin î = n2 sin r̂, si n1 > n2 , entonces, r̂ > î. Puede llegar un
momento en que r̂ = 90o y el rayo no se refracte.
72
CAPÍTULO 3. ÓPTICA
Figura 3.5
ˆ o , por ello,
En ese se caso, se cumplirá n1 sin ˆl = n2 sin 90
sin ˆl =
n2
<1
n1
(3.13)
siendo ˆl el llamado ángulo límite. Si el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo
límite, no habrá refracción y toda la luz se reflejará, conociéndose esta situación como
reflexión total.
Figura 3.6
Así, por ejemplo, en el vidrio el ángulo límite es de 42◦ por lo que se puede utilizar
prismas de vidrio que reflejan mejor que los espejos.
En el caso del diamante con índice de refracción 2,41 y ángulo límite de 24,5◦ , la luz
una vez que entra dentro del diamante, se refleja en todas las caras, por lo que da la
impresión de que la luz se origina en el propio diamante y que se dispersa en todas las
direcciones. Este es el secreto de los brillantes aunque la clave está en tallarlos bien con
objeto de obtener los ángulos antes citados.
3.5. ÓPTICA GEOMÉTRICA
3.4.4.
73
Dispersión de la luz
Figura 3.7
Es la descomposición de la luz en las longitudes de onda que la componen. La explicación de este fenómeno se basa en el siguiente hecho: las distintas frecuencias de la luz
se propagan en el vacío (y en el aire) a igual velocidad, pero en otros medios (llamados
por eso medios dispersivos), la velocidad depende de la frecuencia, por lo que los
distintos colores se propagarán a distintas velocidades.
En concreto, la luz roja es la que va a más velocidad, por lo que según la ley de Snell
será la que menos se desviará, ocurriendo lo contrario que con la luz azul que será la que
más se desvié como se muestra en la figura. En conclusión, en un medio dispersivo como
el representado en la figura (prisma óptico), los distintos colores se dispersan. Lo
mismo ocurre con el arco iris, siendo en este caso, las gotas de agua el medio dispersivo.
3.5.
Óptica geométrica
Se define punto luminoso como un objeto puntual que emite luz.
Se define haz luminoso como un conjunto de rayos que salen de un punto luminoso.
3.5.1.
Hipótesis de la Óptica geométrica
1. En un medio homogéneo (idéntica composición) e isótropo (propiedades iguales
en todas las direcciones), los rayos de luz se propagan en línea recta.
2. La propagación de cada uno de los rayos de luz se realiza con independencia de
cómo se propaguen los demás.
3. Si un rayo de luz va de un punto a otro siguiendo una trayectoria determinada,
puede ir del segundo al primero recorriendo el mismo camino en sentido inverso.
74
CAPÍTULO 3. ÓPTICA
3.5.2.
Imágenes reales y virtuales
Si los rayos componentes de un haz después de sufrir variaciones diversas en su
propagación rectilínea concurren en un punto, se forma una imagen real (la cual se
puede hacer visible con una pantalla en su lugar de formación).
Si los rayos emergentes no concurren, pero lo hacen sus prolongaciones en sentido
contrario al de su propagación, el ojo recogiendo el haz que sale del sistema ve una
imagen en la intersección de las prolongaciones (imagen virtual).
Un sistema es estigmático cuando se verifica que todo rayo que parte del punto
objeto y es captado por el sistema pasa por el mismo punto imagen.
3.5.3.
El dioptrio esférico
El conjunto de dos medios transparentes con índices de refracción diferentes separados por una superficie se denomina dioptrio. Si la superficie de separación es plana
se habla de dioptrio plano, y si la superficie de separación es esférica se habla de
dioptrio esférico. Centraremos aquí nuestro estudio en el dioptrio esférico.
Figura 3.8
Antes de proceder a deducir las ecuaciones que describen la formación de imágenes
en el dioptrio esférico, introduciremos algunas denominaciones así como el llamado convenio de signos.
Se define centro óptico como el polo del casquete, sería el punto O.
3.5. ÓPTICA GEOMÉTRICA
75
Se define centro de curvatura al centro de la superficie esférica, sería el punto C.
Eje óptico será la recta horizontal que une el centro óptico y el de curvatura.
Y en cuanto al convenio de signos tenemos lo siguiente:
1. Todas las distancias a la izquierda del centro óptico se consideran negativas, y
todas las distancias a la derecha del centro óptico se consideran positivas.
2. Todas las distancias por encima del eje óptico se consideran positivas, y todas las
distancias por debajo del eje óptico se consideran negativas.
3. Respecto a los ángulos tenemos lo siguiente: cuando uno de los lados es un rayo
y el giro necesario para ir por el camino más corto desde ese rayo hasta el otro
lado del ángulo es contrario al movimiento de las agujas del reloj, el ángulo será
positivo, en caso, contrario negativo.
Procedamos ahora a deducir las ecuaciones que describen la formación de imágenes
en el dioptrio esférico. En ese sentido, consideraremos la llamada zona paraxial o de
Gauss, en la que se supone que los rayos que intervienen en la formación de la imagen
son muy próximos al eje óptico. Suponemos asimismo que el índice de refracción del
medio a la izquierda de la superficie de separación es n, y el del medio a la derecha es
n’, y además, que A es el punto objeto y A’ el punto imagen. Desde A sale un rayo que
llega a P, se refracta, y se dirige hasta A’. De acuerdo con la ley de Snell, n sin ˆ = n0 sin ˆ0 .
Como trabajamos en la zona paraxial, los ángulos serán muy pequeños, por lo que
podemos sustituir el seno por el arco. Por ello, la ecuación anterior se puede escribir
como n · ˆ = n0 · ˆ0 .
Ahora bien, fijándonos en la figura se puede ver que |ˆ| = |α̂|+|ϕ̂|, y como de acuerdo
con el convenio de signos, ˆ < 0, α̂ < 0 y ϕ̂ > 0, tenemos −ˆ = −α̂ + ϕ̂, por lo que
ˆ = α̂ − ϕ̂.
De la misma manera se obtiene que |ϕ̂| = |α̂0 |+|ˆ0 | y como de acuerdo con el convenio
de signos, ˆ0 < 0, α̂0 > 0 y ϕ̂ > 0, tenemos ϕ̂ = α̂0 − ˆ0 , por lo que ˆ0 = α̂0 − ϕ̂.
Sustituyendo en n · ˆ = n0 · ˆ0 los resultados anteriores tenemos n(α̂ − ϕ̂) = n0 (α̂0 − ϕ̂).
Por otra parte, y suponiendo que trabajamos en zona paraxial se tiene
α≈
h
h
h 0
, α ≈ 0 y ϕ≈
s
s
R
(3.14)
por lo que
n
de donde
h
h
−
s R
=n
0
h
h
−
0
s
R
n
n
n0 n0
− = 0 −
s R
s
R
(3.15)
(3.16)
76
CAPÍTULO 3. ÓPTICA
por lo que finalmente,
n0 − n
n0 n
=
−
s0
s
R
que es la ecuación fundamental del dioptrio esférico.
3.5.4.
(3.17)
Distancias focales
Figura 3.9
Foco imagen es el punto imagen de un objeto que está a una distancia infinita del
dioptrio.
Mediante la ecuación fundamental del dioptrio esférico se llega a:
n
n0 − n
n0
−
=
f 0 −∞
R
de donde
f0 = R
n0
n0 − n
(3.18)
(3.19)
siendo f 0 la distancia focal imagen.
Análogamente, se define foco objeto es el punto objeto cuya imagen se encuentra
a una distancia infinita del dioptrio.
Mediante la ecuación fundamental del dioptrio esférico se llega a:
n0
n
n0 − n
− =
∞ f
R
(3.20)
de donde
n
(3.21)
−n
siendo la f la distancia focal objeto. Dividiendo las dos distancias focales tenemos:
f 0 = −R
n0
f
n
=− 0
0
f
n
(3.22)
3.5. ÓPTICA GEOMÉTRICA
77
Figura 3.10
Por otra parte, sumando las dos distancias focales, se tiene,
f + f 0 = −R
n
n0
+
R
=R
n0 − n
n0 − n
(3.23)
Y finalmente, si en la ecuación fundamental dividimos por (n0 − n)/R,
n0
− ns
s0
n0 −n
R
o bien
=1
n R
n0 R
−
=1
s 0 n0 − n s n0 − n
(3.24)
(3.25)
o lo que es lo mismo,
f0 f
+ =1
s0
s
que es la ecuación de Gauss del dioptrio esférico.
3.5.5.
(3.26)
Aumento lateral
Se define aumento lateral de la siguiente manera:
ML =
y0
y
(3.27)
Considerando triángulos semejantes dos a dos se deducen la siguientes relaciones de
proporcionalidad:
−y 0
−f
=
(3.28)
y
−s + f
o bien
−y 0
s0 − f 0
=
(3.29)
y
f0
Utilizaremos la segunda relación
y0
s0 − f 0
ML =
=
y
f0
(3.30)
78
CAPÍTULO 3. ÓPTICA
Por otro lado,
0
0
s −f =s
y como según la ecuación de Gauss
f0
s0
+
f
s
0
f0
1− 0
s
(3.31)
= 1, se deduce que
f0
f
1− 0 =
s
s
(3.32)
sustituyendo, s0 − f 0 = s0 (f /s), por lo que el aumento lateral queda
Figura 3.11
ML =
s0 − f 0
s0 f
s0 f
y0
=−
=
−
=
y
f0
f0 s
s f0
(3.33)
s0 n
s n0
(3.34)
o bien,
ML =
3.5.6.
Ecuación de Newton
Consideremos las distancia x del punto objeto al foco objeto, y x’ del foco imagen
al punto imagen. Utilizando la ecuación de Gauss podemos escribir:
f
f0
+
=1
f 0 + x0 f + s
(3.35)
f 0 (f + x) + f (f 0 + x0 ) = (f + x)(f 0 + x0 )
(3.36)
xx0 = f f 0
(3.37)
Haciendo operaciones se tiene
y finalmente se llega a
que es la ecuación de Newton.
3.6. ESPEJOS
79
Figura 3.12
3.6.
Espejos
Son superficies pulimentadas capaces de reflejar la luz. Pueden ser planos y esféricos.
3.6.1.
Espejos planos
Las imágenes de los objetos son virtuales, del mismo tamaño y simétricas del objeto
con relación al plano del espejo.
Figura 3.13
80
CAPÍTULO 3. ÓPTICA
3.6.2.
Espejos esféricos
Son casquetes esféricos pulimentados por el interior (cóncavos) o por el exterior
(convexos). Para abordar el estudio de espejos esféricos, supondremos que un espejo de
estas características es un dioptrio en el que n0 = −n. De esta forma, utilizando la Ley
de Snell ˆ = −ˆ0 , lo cual es coherente con la ley de la reflexión y con el convenio de signos.
Las distintas ecuaciones del espejo esférico se obtendrán considerando, como antes
hemos advertido, que n0 = −n.
Así tenemos,
n0 n
n0 − n
− =
s0
s
R
(3.38)
y sustituyendo,
Figura 3.14
−n − n
−n n
− =
0
s
s
R
(3.39)
1
1
2
+ =
0
s
s
R
(3.40)
es decir,
3.6.3.
Distancias focales
Se define foco imagen como el punto imagen de un objeto que ésta a una distancia
infinita del espejo.
Análogamente, se define foco objeto es el punto objeto cuya imagen se encuentra
a una distancia infinita del espejo.
f =−
Rn
Rn
R
=−
=
−n
2n
2
n0
(3.41)
3.7. LENTES. CLASIFICACIÓN. ECUACIONES IMPORTANTES
81
Figura 3.15
La ecuación del espejo queda
1
1
1
=
+
s0 s
f
3.6.4.
Aumento lateral
ML =
3.6.5.
(3.42)
y0
s0 n
s0 n
s0
=
=
=
−
y
s n0
s(−n)
s
(3.43)
Construcción de imágenes de espejos
Figura 3.16
3.7.
Lentes. Clasificación. Ecuaciones importantes
Un sistema óptico centrado es un conjunto de dioptrios cuyos centros están alineados.
82
CAPÍTULO 3. ÓPTICA
Una lente es un sistema óptico centrado, esto es, un objeto transparente limitado
generalmente por 2 superficies esféricas. Más rigurosamente, una lente es un sistema
óptico centrado formado por 2 dioptrios de los que uno al menos es esférico.
Una lente es delgada si el grosor de la misma es pequeño comparado con otras
magnitudes (por ejemplo, comparado con los radios de curvatura de la lente).
Las lentes pueden ser convergentes y divergentes. En el primer caso, son más gruesas
en el centro que en los bordes, y en el segundo caso, por el contrario, son más gruesas
en los bordes que en el centro.
Las lentes convergentes pueden ser:
Figura 3.17
Las lentes divergentes pueden ser:
Figura 3.18
3.7. LENTES. CLASIFICACIÓN. ECUACIONES IMPORTANTES
83
Supongamos una lente biconvexa con radios R 1 y R 2 :
Figura 3.19
Esta lente se puede interpretar como la sucesión de 2 dioptrios esféricos, el primero
de radio R 1 y el segundo de radio R 2 . Para obtener las ecuaciones de esta lente deberemos obtener la imagen respecto al primer dioptrio y esta imagen será el objeto respecto
al segundo dioptrio cuya imagen será la imagen de la lente. Por ello, aplicaremos las
ecuaciones del dioptrio dos veces.
Respecto al primer dioptrio tenemos que en la ecuación del dioptrio deberemos poner
n = 1, n’ = n, ya que el primer medio es el aire. Por ello la ecuación será:
n−1
n 1
− =
0
s
s
R1
(3.44)
siendo s la distancia objeto y s’ la distancia imagen respecto al primer dioptrio y
distancia objeto respecto al segundo dioptrio. Por ello, para el segundo dioptrio hacemos
n = n, y n’ = 1, y así,
n
1−n
1
(3.45)
− 0 =
00
s
s
R2
Despejando n / s’ y sustituyendo en la ecuación del primer dioptrio tenemos,
1
1 n−1
1−n
−
+
=
(3.46)
00
s
s
R1
R2
de donde poniendo s’ en lugar de s” (al escribir la ecuación de la lente ignoramos
los pasos intermedios que han sido necesarios para obtenerla), se tiene finalmente la
ecuación fundamental de la lente delgada:
1
1
1
1
− = (n − 1)
−
(3.47)
s0 s
R1 R2
A la hora de obtener esta ecuación se ha supuesto que las distancias objeto e imagen
estaban realmente medidas no desde de las superficies esféricas de separación sino desde
84
CAPÍTULO 3. ÓPTICA
la línea vertical que atraviesa a la lente. Esta aproximación es consistente con la idea de
lente delgada en la que el grosor es despreciable.
3.7.1.
Distancias focales
Figura 3.20
Se define foco imagen como el punto imagen de un objeto que ésta a una distancia
infinita de la lente.
Análogamente, se define foco objeto es el punto objeto cuya imagen se encuentra
a una distancia infinita de la lente.
Si en la ecuación fundamental de la lente delgada hacemos s0 = ∞, tenemos
1
1
1
1
− = (n − 1)
−
(3.48)
∞ f
R1 R2
donde f es la distancia focal objeto. Asimismo, si hacemos s = −∞, tenemos
1
1
1
1
1
−
= 0 = (n − 1)
−
f 0 −∞
f
R1 R2
(3.49)
donde f 0 es la distancia focal imagen. Es decir, f 0 = −f . Por ello, la ecuación fundamental de la lente delgada puede ahora escribirse:
1
1
1
1
− = 0 =−
0
s
s
f
f
3.7.2.
(3.50)
Aumento lateral
El aumento lateral, como siempre, viene dado por ML = y 0 /y. Analizando la figura
anterior se puede establecer las siguientes relaciones basadas en la proporcionalidad de
triángulos semejantes:
y0
−f
s0 − f 0
− −
=
(3.51)
y
−s + f
f0
3.7. LENTES. CLASIFICACIÓN. ECUACIONES IMPORTANTES
85
Utilizaremos la segunda relación; de esta forma, el aumento lateral vendrá dado por:
f0 1
y0
0
= −s 1 − 0
ML =
(3.52)
y
s f0
Como, por otra parte, según la ecuación de la lente se tiene
1
1
1
= + 0
0
s
s f
(3.53)
1
1
1
f0
1
s0
0
0
+ 0
1
−
−
1
ML = −s 1 − f
=
−s
=
s f
f0
s
f0
s
(3.54)
sustituyendo
0
es decir,
ML =
3.7.3.
y0
s0
=
y
s
(3.55)
Ecuación de Newton
Para las lentes delgadas, la ecuación de Newton queda xx0 = f f 0 = −f 2 .
3.7.4.
Potencia de una lente
Se define Potencia de una lente como el inverso de la distancia focal imagen, P ot =
1/f 0 . Sus unidades son m −1 utilizándose la denominación de dioptría.
Si la lente es convergente f 0 > 0 y la potencia es positiva.
Si la lente es divergente f 0 < 0 y la potencia es negativa.
3.7.5.
Construcciones gráficas
Figura 3.21
86
CAPÍTULO 3. ÓPTICA
Figura 3.22
3.7.6.
Aberraciones
El estudio realizado vale, como hemos indicado, para lentes delgadas, rayos paraxiales y luz monocromática. En el caso de que no se den estas circunstancias se producirán
aberraciones. Los dos tipos más comunes de aberraciones son los siguientes:
1. Aberración esférica: en este caso los distintos rayos que surgen del punto objeto
no convergen en un único punto imagen; así, el sistema no es estigmático (sería
astigmático). Esto se puede resolver con un diafragma que deja pasar sólo rayos
próximos al eje óptico.
2. Aberración cromática: aparece cuando el índice de refracción depende de la frecuencia (medios dispersivos). En este caso, los rayos siguen distintas direcciones
según su longitud de onda. Se puede resolver combinando una lente convergente
con una divergente, ya que se compensará una dispersión con otra de sentido
opuesto.
Figura 3.23
Capítulo 4
Interacción electromagnética
4.1.
Carga eléctrica
Las partículas, además de la masa inerte y la masa pesante (o masa gravitatoria),
tienen asociado otro parámetro que llamamos CARGA ELÉCTRICA.
Este parámetro medirá el grado de participación de la partícula en un nuevo tipo de
interacción que llamaremos interacción eléctrica.
Tanto las masas como la carga son parámetros aditivos, lo cual quiere decir, en lo
que se refiere al parámetro de carga, que la carga total de un sistema de partículas
es igual a la suma de las cargas de las partículas que lo constituyen. El parámetro de
carga puede ser positivo, negativo o cero. En general, la materia tiene carga neta nula1
pero por procedimientos convenientes puede lograrse un exceso de carga en algún sentido (procedimientos de electrización por frotamiento, influencia, etc.) diciéndose que el
cuerpo está cargado eléctricamente 2 .
Experimentalmente se comprueba que partículas con carga del mismo signo se repelen
y con diferente signo se atraen 3 .
4.1.1.
Cuantización de la carga
La carga eléctrica no se puede dividir indefinidamente sino que existe una mínima
cantidad de carga o cuanto de carga, es decir, la carga está cuantizada. La mínima
1
Que esto es así resulta evidente ya que en caso contrario estaríamos sometidos a interacciones muy
intensas (eléctricas, por supuesto) que no constan en el movimiento de los cuerpos en el Universo (ya
que entonces el movimiento y la evolución de los mismos sería muy diferente).
2
Del griego elektron que significa ámbar
3
Debe observarse que en este aspecto hay una diferencia sustancial con la interacción gravitatoria ya
que en esta última no existe algo análogo a masas gravitatorias negativas, siendo además la interacción
sólo atractiva y no repulsiva.
87
88
CAPÍTULO 4. INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
cantidad de carga se llama electrón 4 , siendo su valor e = 1, 6021 · 10−19 C , donde C es
la unidad de carga eléctrica en el Sistema Internacional, que como luego veremos, recibe
el nombre de culombio.
4.1.2.
Principio de Conservación de la carga
Figura 4.1
Supongamos un sistema de partículas cargadas aislado, la carga total permanece
constante con el tiempo.
Tal hecho es experimental y por ello se acepta como principio5 .
Es decir:
qa + qb + qc + · · · = cte
4.2.
(4.1)
Ley de Coulomb
Sean dos partículas o puntos materiales en reposo respecto aun sistema de referencia inercial (o moviéndose a una velocidad muy pequeña respecto de él), asociaremos,
como ya hemos indicado anteriormente, a cada una de ellas un parámetro llamado carga eléctrica. En términos del citado parámetro, la ley de Coulomb de la interacción
electrostática viene dada por
q1 q 2
q 1 q2 −
ur = Ke 3 ~r
(4.2)
F~ = Ke 2 →
r
r
4
No confundir con la partícula elemental del mismo nombre, electrón, que tiene esta cantidad de
carga eléctrica pero que es negativa.
5
Es necesario constatar que a diferencia de lo que ocurre con la carga eléctrica, la masa inerte sí
puede variar con el tiempo. De hecho, como se verá en la última unidad temática, desde un punto de
vista relativista, la masa de una partícula depende de su velocidad con respecto al observador, si bien,
desde un punto de vista no relativista, la masa inerte es una constante igual que la carga eléctrica, esto
es, se conserva. La diferencia entre el parámetro de carga y el de masa inerte está en que incluso desde
un punto de vista relativista la carga eléctrica es constante.
4.3. CAMPO ELÉCTRICO
89
Figura 4.2
es decir, las dos partículas se influyen mutuamente mediante una interacción central dada por la expresión anterior. En el Sistema Internacional, Ke≈ = 9 · 109 N C −2 m2 siendo
la unidad de carga el culombio (C )6 .
A veces la constante Ke se suele expresar de la siguiente manera Ke = 1/4πε0
siendo ε0 la llamada permitividad eléctrica en el vacío7 , cuyo valor sería en el S.I.
ε0 ≈ 8, 85 · 10−12 C 2 N m−2 . Según esto, la Ley de Coulomb se podría escribir:
F~ =
1 q1 q 2
1 q 1 q2 →
−
ur =
~r
2
4πε0 r
4πε0 r3
(4.3)
La Ley de Coulomb es de bastante largo alcance (por supuesto, en absoluto del orden
del alcance gravitatorio). Su intervalo de acción va desde distancias nucleares hasta
distancias de kilómetros. Además las fuerzas eléctricas son mucho más intensas que las
gravitatorias, por lo que estas últimas se suelen despreciar cuando las primeras están
presentes, si bien, en cada caso habría que analizar esta posibilidad. Finalmente, se debe
indicar que la interacción eléctrica es responsable de la estructura atómico-molecular.
4.3.
Campo eléctrico
Decimos que en una región del espacio está definido un campo eléctrico si al
situar una carga eléctrica en dicha región, existe una fuerza de tipo eléctrico (notaremos
6
El culombio tal como aparece en la expresión precedente podría definirse como la carga eléctrica
que tendrían 2 partículas que situadas entre sí a una distancia de 1 metro se ejercieran una fuerza
eléctrica de 9.109 N. Como ya veremos en esta unidad temática, esta definición de Culombio ha sido
válida hasta la Undécima Conferencia del Instituto de Pesas y Medidas quien ha propuesto una nueva
definición ligada al magnetismo estableciendo como magnitud fundamental la intensidad de corriente y
no la carga eléctrica.
7
A diferencia de la permitividad eléctrica en un medio materia cualquiera ε. De hecho, se puede
demostrar que en un medio material determinado la Ley de Coulomb adopta una forma similar a la
anteriormente vista sustituyendo ε0 por ε. A veces incluso se suele escribir ε = 0 · εr , donde εr es la
llamada constante dieléctrica del medio.
90
CAPÍTULO 4. INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
que es de naturaleza eléctrica si es mucho más intensa que la gravitatoria).
Figura 4.3
La intensidad del campo eléctrico vendrá dada por la fuerza por unidad de carga,
~ = F~ /q 0 , siendo la dirección y sentido del vector intensidad de campo de la
esto es, E
fuerza sobre la unidad de carga positiva.
Supondremos que la carga q’ es pequeña para que no se modifique la situación del
campo y que está quieta (o se mueve con velocidad muy pequeña) ya que si estuviera
en movimiento habría que tener en cuenta consideraciones relativistas8 .
El campo eléctrico es creado por las cargas eléctricas. Si las cargas eléctricas están
en movimiento el cálculo del campo eléctrico creado por ellas es complejo (nuevamente
hay que tener en cuenta efectos relativistas), por lo que consideraremos el campo eléctrico creado por cargas en reposo (o con movimiento despreciable), esto es el campo
electrostático.
Se ha visto que si se tienen dos partículas la Ley de Coulomb nos dice
qq 0 −
qq 0
F~ = Ke 2 →
ur = Ke 3 ~r
r
r
Figura 4.4
8
Así evitaremos también posibles efectos magnéticos.
(4.4)
4.3. CAMPO ELÉCTRICO
91
Fijémonos en lo que le ocurre a la carga q’, podemos decir que la carga q produce
en el espacio que la rodea un alteración que llamaremos campo eléctrico, de manera
que, al colocar la carga q’ el citado campo electrostático interaccionará con la carga q’.
El concepto de campo reside en que se modifica el espacio que rodea a q en el sentido
~ en el punto P se
anteriormente citado. Por ello, la intensidad del campo eléctrico9 , E,
Figura 4.5
define como la fuerza eléctrica ejercida sobre la unidad de carga colocada en el citado
~ = F~ /q 0 , y en el caso de que el campo eléctrico esté producido por la carga
punto P, E
q, el vector intensidad de campo vendrá dado por
q
−
~ = Ke q →
E
(4.5)
ur = Ke 3 ~r
2
r
r
Las unidades del vector intensidad de campo son NC −1 .
Si tenemos un sistema de varias partículas cargadas (distribución discreta de cargas),
q 1 , q 2 , q 3 , ..., el vector intensidad de campo en el punto P creado por el sistema se
calcula, teniendo en cuenta el principio de superposición, según el cual, “cuando una
partícula se ve influida simultáneamente por distintas interacciones, la acción de cada
una de ellas es independiente de las demás”, lo cual quiere decir que la fuerza resultante
será la suma vectorial de las fuerzas generadas por las distintas partículas del sistema,
−
→ −
→ −
→
q2 q 0 −
q3 q 0 −
q1 q 0 −
r1 + Ke 3 →
r2 + K e 3 →
r3 + · · ·
F~ = F1 + F2 + F3 + · · · = Ke 3 →
r1
r2
r3
(4.6)
Por ello,
~
→ −
→ −
→
q1 →
q2 →
q3 →
−
−
−
~ = F =−
E
E
+
E
+
E
+
·
·
·
=
K
r
+
K
r
+
K
r3 + · · ·
1
2
3
e
1
e
2
e
3
3
q0
r1
r2
r33
(4.7)
donde cada carga deberá incluir su signo. Escrito de otra manera, tenemos:
X
~
qi →
−
~ =F =
E
K
r
e
3 i
q0
r
i
i
9
(4.8)
De ordinario se suele utilizar indistintamente la denominación intensidad de campo eléctrico y
campo eléctrico para referirse precisamente al vector intensidad de campo. Aunque en principio esto
puede producir confusión está normalmente aceptado el uso indistinto antes referido.
92
CAPÍTULO 4. INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
Figura 4.6
Esta última expresión se puede extender a sistemas materiales (distribuciones continuas de materia). En este caso, se requieren técnicas matemáticas más elaboradas
para el cálculo, en concreto, se requiere conocer el campo de densidades del sistema,
esto es, la función ρ(x, y, z) y llevar a cabo una integración de volumen. A veces, sin
embargo, y en situaciones de distribuciones con cierta simetría se puede simplificar el
cálculo. Para ello, en ocasiones puede ser útil el uso del Teorema de Gauss (que veremos a continuación) y que constituye una de las leyes más importantes de la electricidad.
4.3.1.
Líneas de campo.
Figura 4.7
Línea de campo (de fuerza o de corriente) es el lugar geométrico de los puntos en
los que el vector intensidad de campo es tangente. En la figura anterior a la izquierda
se observan las líneas del campo creado por una carga puntual positiva. Sin embargo,
en la figura a la derecha se observan las líneas de campo creadas por una carga puntual
negativa. Como se ve las líneas de corriente nacen en las cargas positivas y mueren en las
cargas negativas. Por ello, a las cargas positivas se les llama manantiales de campo
4.4. TEOREMA DE GAUSS PARA EL CAMPO ELÉCTRICO
93
eléctrico mientras que a las cargas negativas sumideros de campo eléctrico.
4.4.
4.4.1.
Teorema de Gauss para el campo eléctrico
Flujo eléctrico
Supongamos una región del espacio en la que existe un campo eléctrico uniforme.
Consideremos asimismo una superficie plana en dicha región del espacio, entonces, se
~ asociado precisamente a dicha superficie, como un vector cuyo
define vector superficie S
módulo es el área de la superficie en cuestión, su dirección es perpendicular a la superficie, y el sentido el que esté más próximo al vector inducción magnética. Se define
Figura 4.8
~ a través de la superficie S, de la siguflujo eléctrico, es decir, flujo del vector E
~ ·S
~ = E · S · cos θ. Físicamente, representa el número de líneas de
iente manera, Φ = E
campo del campo eléctrico que atraviesan la superficie considerada. De la definición se
ve claro que si el campo eléctrico es es paralelo a la superficie el flujo es nulo, lo cual se
puede entender gráficamente ya que en este caso ninguna línea de campo atravesaría la
superficie. La unidad de flujo eléctrico en el S.I. es el (N/C) · m2 .
Si el campo eléctrico no es uniforme se deberá hacer una partición en la superficie
~ es uniforme de
en cuadrados muy pequeños. En cada cuadrado se puede suponer que E
manera que el flujo total será
N
X
~ i · ∆S~i
E
(4.9)
que se representa simbólicamente de la siguiente forma
Z
~ · dS
~
Φ=
E
(4.10)
Φ = lı́m
N →∞
i=1
S
94
CAPÍTULO 4. INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
4.4.2.
Enunciado del Teorema de Gauss
Sea una superficie cerrada (que suele denominarse superficie de Gauss) relativa a
una región del espacio en la que existe un campo eléctrico, entonces el flujo eléctrico a
través de dicha superficie cerrada viene dado por
I
Φ=
S
~ · dS
~ = (1/0 )
E
N
X
i=1
qi = 4πKe
N
X
qi
(4.11)
i=1
PN
donde i=1 qi es la suma de las cargas en el interior de la superficie. Omitiremos la
demostración ya que corresponde a un nivel universitario.
4.4.3.
Aplicaciones
Campo en el interior y en el exterior de un conductor
Una sustancia conductora será considerada como un sistema (distribución continua
de materia) en la que al estar cargada las cargas eléctricas pueden moverse. Lo primero
que debemos de tener en cuenta es que la carga eléctrica en el interior de un conductor
cargado es nula. En efecto, si no fuera así, esto es, si la carga estuviera en el interior
se producirían repulsiones que obligaría a ésta a distribuirse por la superficie de forma
que las repulsiones sean mínimas. Por ello, deberemos convenir que la carga eléctrica
de un conductor cargado se distribuye en la superficie del mismo. Ello conformará una
situación de distribución superficial de carga estacionaria.
Por ello también, deberemos admitir que el campo eléctrico en el interior del conductor será nulo, ya que, en caso contrario, dicho campo eléctrico obligaría a las cargas
eléctricas a moverse, en contra de la situación estacionaria de que hablábamos. En efecto, el hecho de que no exista carga en el interior de un conductor quiere decir que en su
interior la materia está neutra, es decir, que las cargas positivas compensan las negativas. Si el campo en el interior de un conductor no fuese cero, polarizaría las cargas en el
interior generándose un movimiento interno de cargas en contradicción con la situación
estacionaria que supuestamente se habrá alcanzado.
El hecho de que el campo eléctrico en el interior de un conductor sea cero también
se puede ver desde el Teorema de Gauss ya que si consideramos una superficie de Gauss
en el interior del conductor y dado que la carga en el interior es cero el flujo eléctrico
deberá ser cero con independencia de cómo sea la superficie de Gauss lo cual sólo puede
ser compatible con el hecho de que el campo sea nulo.
Por otra parte, en el exterior del conductor (cerca de la superficie), el campo es
normal a la misma superficie, ya que en caso contrario, las cargas se moverían por la
superficie lo cual estaría asimismo en contradicción de una situación estacionaria. Por
tanto, si se aplica el Teorema de Gauss a una superficie pequeña que tenga parte en el
interior y parte en el exterior del conductor.
4.4. TEOREMA DE GAUSS PARA EL CAMPO ELÉCTRICO
95
Figura 4.9
Como el campo eléctrico en el exterior es perpendicular a la superficie podemos
tomar como superficie gaussiana un pequeño cilindro con caras paralelas a la superficie
del conductor como se muestra en la figura. El cilindro será suficientemente pequeño
como para considerar constante el módulo del campo eléctrico y que la curvatura de la
superficie del conductor sea despreciable. El flujo sólo será no nulo hacia la dirección
perpendicular a la superficie y hacia el exterior ya que el producto escalar en la otras
direcciones será cero (en el interior porque el campo es cero y en los laterales porque el
producto escalar entre el campo y el vector superficie sería cero). Por tanto,
Φ = E∆S =
σ∆S
q
=
0
0
(4.12)
σ
0
(4.13)
por lo que
E=
Campo en el interior y en el exterior de una esfera conductora cargada
Figura 4.10
96
CAPÍTULO 4. INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
Para analizar cómo es la distribución de campo distinguiremos puntos interiores y
puntos exteriores a la esfera. En puntos interiores dado que la esfera es conductora el
campo será cero por los mismo motivos vistos en el apartado anterior.
Para puntos exteriores consideraremos la superficie gaussiana de radio r de la parte
(b) de la figura. El campo eléctrico será radial por simetría ya que una esfera implica
que no hay ninguna dirección privilegiada. Por otra parte si suponemos que la carga es
positiva el campo será hacia afuera. Finalmente, el campo también debido a la simetría
esférica sólo dependerá de la distancia r al centro de la esfera. Por tanto,
Φ = E4πr2 =
Q
0
(4.14)
por lo que
1 Q
(4.15)
4π0 r2
La figura representa la variación del módulo del campo eléctrico en función de la
distancia r al centro de la esfera.
E=
Figura 4.11
Hay que fijarse que a los efectos del campo eléctrico es lo mismo una esfera conductora
cargada que una esfera no conductora hueca (corteza esférica).
Campo en el interior y en el exterior de una esfera no conductora maciza
cargada
En este caso la situación es igual al caso anterior para puntos exteriores. Para puntos
interiores, sin embargo, la situación es radicalmente diferente ya que la carga no sólo
no va a ser nula sino que estará distribuida por toda la esfera. Supondremos que esta
distribución es uniforme. Por ello, si consideramos un punto interior a una distancia r
del centro de la esfera menor que el radio de la misma y que esa distancia será el radio
de la superficie esférica gaussiana a la que aplicaremos el Teorema de Gauss tenemos,
Φ = E4πr2 =
Qint
0
(4.16)
4.5. POTENCIAL ELÉCTRICO. ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA.
97
siendo Qint la carga en el interior de la superficie de Gauss que al ser la distribución de
carga homogénea será,
Q 4 3 Qr3
4
πr = 3
Qint = ρ πr3 =
3
4/3πr03 3
r0
(4.17)
por lo que
E=
1 Qr
4π0 r03
(4.18)
Campo en el interior y en el exterior de un cilindro infinito cargado conductor
y no conductor
Se propone al alumno(a) este caso para que lo haga como ejercicio.
4.5.
Potencial eléctrico. Energía potencial eléctrica.
Consideremos 2 partículas de cargas q 1 y q 2 , en reposo respecto a un sistema de
referencia inercial (o moviéndose a una velocidad muy pequeña respecto de él), entonces,
entre ellas se ejercen una fuerza electrostática que viene dada por
qq 0 −
qq 0
F~ = Ke 2 →
ur = Ke 3 ~r
r
r
(4.19)
Figura 4.12
Si suponemos que la partícula de carga q está fija y que la de carga q’ se mueve
(muy lentamente) desde una posición A hasta una posición B y queremos calcular el
trabajo asociado a la fuerza eléctrica, nos encontraríamos con que dicho trabajo resulta
ser independiente de la trayectoria elegida para ir desde A hasta B, por lo que la fuerza
eléctrica estática (electrostática) es conservativa. En concreto, se puede demostrar que
el resultado del cálculo de dicho trabajo es:
WA→B = Ke
qq 0
qq 0
− Ke
rA
rB
(4.20)
98
CAPÍTULO 4. INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
Al ser conservativa la fuerza electrostática, existirá una función energía potencial que
teniendo en cuenta el resultado anterior debería tener la forma: Ep (r) = Ke (qq 0 /r) + C,
donde C es una constante aditiva. Hay que hacer notar que la función energía potencial
depende funcionalmente de r, es decir, de la distancia de las dos partículas y no del
vector que las une.
El criterio que se utiliza para determinar la constante C es considerar que la energía
potencial es nula cuando las dos partículas está infinitamente alejadas, esto es, esto es,
Ep (∞) = 0 ⇒ Ke
qq 0
+C =0⇒C =0
∞
(4.21)
por lo que
qq 0
(4.22)
r
Este criterio es consistente pues se trata de considerar que si las partículas no interaccionan su energía potencial asociada es cero10 .
Ep (r) = Ke
El significado físico de la energía potencial electrostática aparece claro desde el análisis siguiente: si calculamos el trabajo para alejarse indefinidamente la partícula de carga
q’ de la de carga q desde una distancia r A , tenemos: El significado físico de la energía
potencial electrostática aparece claro desde el análisis siguiente: si calculamos el trabajo para alejarse indefinidamente la partícula de carga q’ de la de carga q desde una
distancia r A , tenemos:
Wa→∞ = Ep (rA ) − 0 = Ep (rA )
(4.23)
es decir, la energía potencial electrostática de dos partículas situadas a una distancia
r una de la otra representa el trabajo necesario asociado a la interacción electrostática
para alejarlas lentamente desde esa distancia r indefinidamente, o el trabajo que tenemos que hacer para acercarlas desde el infinito hasta la distancia r.
4.5.1.
Potencial eléctrico
Se define potencial eléctrico (electrostático) en un punto, P, en que existe un campo
eléctrico a la energía potencial eléctrica por unidad de carga,
V =
10
Ep
q0
(4.24)
Debe notarse que el significado físico de que la distancia entre dos partículas sea infinita no debe
confundirse con el punto de vista matemático. De hecho, el hecho de que consideremos una distancia
infinita entre dos partículas en relación a la interacción eléctrica significa físicamente que las citadas
dos partículas están a una distancia suficiente la una de la otra, de forma que la interacción eléctrica
entre las mismas no es apreciable. Esto dependerá del alcance de la interacción en cuestión, que en el
caso de la interacción eléctrica es también bastante grande, aunque no tanto como en la interacción
gravitatoria, como ya se ha puesto de manifiesto.
4.5. POTENCIAL ELÉCTRICO. ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA.
99
Por ello, el potencial electrostático creado por una carga en un punto P a una
distancia r de q será
1 q
q
(4.25)
V = Ke =
r
4π0 r
La unidad de potencial eléctrico es el voltio (V ), y por ello, a veces se utiliza como
unidad de intensidad de campo eléctrico el Vm −1 .
Si tenemos un sistema de varias cargas q 1 , q 2 , q 3 , ..., el potencial eléctrico en el
punto P creado por el sistema se calcula también teniendo en cuenta el principio de
superposición. Para ello, realizaremos el siguiente análisis: supongamos una partícula
viajera q’ que se mueve desde un punto A hasta otro B influida por las interacciones
debidas a las partículas del sistema.
Figura 4.13
Debido al principio de superposición el trabajo será
W = W1 + W2 + W3 + · · ·
(4.26)
W2 = Ep2 (A) − Ep2 (B)
(4.27)
siendo, por ejemplo,
y
q2 q 0
r2B
y así sucesivamente el resto de los sumandos, por lo que el trabajo total sería
Ep2 (B) = Ke
W = Ep1 (A) − Ep1 (B) + Ep2 (A) − Ep2 (B) + Ep3 (A) − Ep3 (B) + · · · =
(4.28)
(4.29)
es decir,
= Ep1 (A) + Ep2 (A) + Ep3 (A) + · · · − Ep1 (B) − Ep2 (B) − Ep3 (B) − · · · = Ep (A) − Ep (B)
(4.30)
siendo
Ep = Ep1 + Ep2 + Ep3 + · · ·
(4.31)
Por ello, el potencial eléctrico asociado al sistema será
V =
Ep
Ep1 Ep2 Ep3
= 0 + 0 + 0 + · · · = V1 + V2 + V3 + · · ·
0
q
q
q
q
(4.32)
100
CAPÍTULO 4. INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
4.5.2.
Relación trabajo - Potencial electrostático
Consideremos una carga viajera q’ que se mueve desde un punto A hasta otro B
influida por el campo eléctrico estático, es decir, electrostático, lo cual significa que el
~ = E(x,
~
vector intensidad de campo E
y, z) pero no depende del tiempo, esto es, es
estacionario. Podemos imaginar que el citado campo está creado por una segunda carga
(o sistema de cargas) en reposo. Supongamos que queremos calcular el trabajo asociado
a dicha interacción eléctrica,
W = Ep (A) − Ep (B) = q 0 [V (A) − V (B)]
(4.33)
es decir, el trabajo es igual a la carga q’ por la diferencia de potencial eléctrico.
4.5.3.
Relación Intensidad de campo - Potencial electrostático
Consideremos ahora una campo eléctrico uniforme, esto es, un campo eléctrico cuyo
vector intensidad de campo no depende la posición. Supongamos también como antes
que en dicho campo se mueve una carga q’, entonces el trabajo para ir desde un punto
A hasta un punto B asociado a la fuerza eléctrica (al no depender ésta de la posición)
será:
→
−−→
0~
W = F~ · 4−
r−
(4.34)
AB = q E · 4rAB
Como por otra parte hemos visto que W = q 0 [V (A) − V (B)], tenemos igualando que
→
~ · 4−
V (A) − V (B) = E
r−
AB
(4.35)
→
~ · 4−
Si desarrollamos el producto escalar anterior tenemos V (A) − V (B) = E
r−
AB =
Ed cos θ siendo d la distancia entre los puntos A y B, y θ el ángulo entre el vector
intensidad de campo y el vector desplazamiento entre los puntos A y B. Así conocida
la diferencia de potencial entre A y B se puede obtener el módulo de la intensidad de
campo de la siguiente forma:
4VAB
E cos θ =
(4.36)
d
siendo E cos θ la componente del vector intensidad de campo eléctrico en la dirección
del vector desplazamiento y siendo la diferencia de potencial
4VAB = VA − VB ≡ V (A) − V (B)
(4.37)
Estas ecuaciones sólo son válidas para campos uniformes pero similares aunque en
forma diferencial son válidas en general; en concreto, la relación intensidad de campo
~ · d~r, que en el fondo puede ser considerada de las
- potencial eléctrico sería dV = −E
ecuaciones anteriores para desplazamientos diferenciales (desplazamientos tan pequeños
en los que se puede considerar que el campo eléctrico es prácticamente uniforme. Es
necesario señalar que esta última expresión sólo es válida para campos electrostáticos,
esto es, campos eléctricos estáticos, que no varían con el tiempo (como los producidos
por cargas o sistemas de cargas que están en reposo).
4.5. POTENCIAL ELÉCTRICO. ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA.
4.5.4.
101
Superficies equipotenciales
Superficies equipotenciales son aquellas superficies en las que el potencial es
constante. En el gráfico siguiente (a la izquierda) se ve un corte (curvas de nivel) a las
superficies equipotenciales asociadas al campo eléctrico creado por una carga puntual.
Tales superficies equipotenciales serían superficies esféricas y el corte con plano diametral
daría lugar al gráfico adjunto. La situación es algo más compleja cuando tenemos dos o
más cargas del mismo signo próximas como se muestra en el gráfico a la derecha.
Figura 4.14
Entre las líneas de campo y las superficies equipotenciales se verifica la siguiente
propiedad: “las líneas de campo son perpendiculares a las superficies equipotenciales en
los puntos de intersección”. En efecto, si se considera el trabajo asociado a la interacción
en relación al desplazamiento entre dos puntos cualesquiera suficientemente próximos y
pertenecientes a la misma superficie equipotencial tendremos que dicho trabajo es cero
al ser nula la diferencia de potencial eléctrica.
Eso significa que el vector fuerza (y por tanto, el vector intensidad de campo) deberá
ser perpendicular al vector desplazamiento (contenido en la superficie equipotencial),
por lo que la propiedad anteriormente expuesta es cierta.
4.5.5.
Energía electrostática de un sistema de cargas
Se trata del trabajo asociado a la interacción electrostática que se ejercen entre las
cargas del sistema para que se alejen indefinidamente respecto a su distribución espacial
inicial. También podría considerarse esta energía potencial como el trabajo que hay que
hacer para acercar hasta una distribución espacial determinada un conjunto de cargas
infinitamente alejadas entre sí.
102
CAPÍTULO 4. INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
Para un sistema de dos cargas sería:
q1 q2
r12
(4.38)
q1 q2 q1 q 3 q2 q 3
+
+
)
r12
r13
r23
(4.39)
Ep = Ke
Para un sistema de tres cargas sería:
Ep = Ke (
En general, para un sistema de N cargas, será:
Ep = Ke
N
X
q i qj
i<j
4.6.
rij
N
N
1 X qi q j
1X
= Ke
=
qi Vi
2
rij
2 i=1
i6=j
(4.40)
Corriente eléctrica
Se denomina corriente eléctrica al movimiento de las cargas eléctricas. Existen muchas
clases de corrientes eléctricas dependiendo del tipo de portadores de carga eléctrica.
Nosotros aquí centraremos nuestro estudio en conductores metálicos, que consideraremos
como un conjunto de restos positivos en red inmerso en un gas de electrones, los cuales
pueden moverse deslocalizadamente por la red.
Figura 4.15
~ y un sistema de partículas cargadas. Va a haber
Supongamos un campo eléctrico E
entonces una corriente originada por el movimiento de cargas positivas y negativas; pero
el hecho de pasar cargas positivas a la derecha es equivalente a que pasen las negativas
a la izquierda. Se elige como sentido convencional de la corriente el correspondiente al
movimiento de las cargas positivas aunque éstas no existan o bien no se muevan (por
ejemplo, como ocurre con los metales, en los que sólo haya cargas negativas en movimiento). En todo caso, el sentido de la corriente será opuesto al sentido del movimiento de
4.6. CORRIENTE ELÉCTRICA
103
las cargas negativas.
Se define intensidad media de corriente como la cantidad de carga que atraviesa una
sección (como AA’) en un determinado intervalo de tiempo Im = Q/4t.
Como en general la cantidad de carga que atraviesa la sección en la unidad de tiempo
no es constante, conviene definir Intensidad instantánea o simplemente intensidad
de corriente de la siguiente manera:
dq
Q
=
4t→0 4t
dt
I = lı́m
(4.41)
En el Sistema Internacional, la unidad de intensidad es el amperio (A), que se podría
definir según 1A = 1Cs−1 , si bien más tarde definiremos el Amperio como lo ha hecho
la XIa Conferencia de Pesas y Medidas.
Si la intensidad es constante, se dice que la corriente es continua, en caso contrario se habla de corriente variable con el tiempo. Un caso particular de ésta es
la corriente alterna que se define por ser una corriente cuya variación es sinusoidal
(como en el movimiento armónico simple), es decir, I = I0 sin(ωt − ϕ).
Concentraremos ahora nuestra atención sobre conductores metálicos, recorridos por
corriente continua. En principio, aunque hemos dicho que las cargas eléctricas se pueden
mover libremente, esto no es así, sino que realmente existe una cierta oposición al
movimiento de las cargas eléctricas, por lo que, salvo causa exterior, la carga, como ya
hemos visto, estará distribuida en la superficie de manera estacionaria, siendo el campo
eléctrico en el interior del conductor nulo. Sin embargo, por ciertos procedimientos (co-
Figura 4.16
mo mediante el uso de un generador), podemos conseguir que exista un campo eléctrico
en el interior capaz de generar una diferencia de potencial entre los extremos de un con→
~ · 4−
ductor A y B, que según hemos visto puede calcularse utilizando VA − VB = E
r−
AB
(suponiendo que el campo eléctrico sea uniforme lo cual no tiene por qué ser cierto, en
cuyo caso, se utilizaría una expresión más general).
104
CAPÍTULO 4. INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
Puede demostrarse que la diferencia de potencial antes escrita puede expresarse de
la siguiente manera, VA − VB = I · RAB , donde RAB es una magnitud conocida como
resistencia eléctrica siendo característica del conductor, cuyas unidades en S.I. son
el ohmio (Ω),y que viene dada por R = ηL/S, donde L es la longitud del conductor, S
su sección y η el llamado coeficiente de resistividad característico de la naturaleza
del conductor (siendo sus unidades en el S.I. Ω · m). La expresión VA − VB = I · RAB es
conocida como Ley de Ohm11 .
Finalmente indicaremos, que como ya hemos advertido, es necesario para que exista
corriente, que se cree un campo eléctrico en el interior del conductor. Dicho campo eléctrico aparece al conectar el conductor a un generador. El generador está caracterizado
por una magnitud conocida como fuerza electromotriz (f.e.m.) que se define como la
energía por unidad de carga que aporta al circuito para que exista corriente (para que
exista campo eléctrico que origine fuerzas eléctricas que permitan a las cargas vencer
la resistencia). Si representamos por a la f.e.m., tenemos que la ley de Ohm para el
circuito integrado por el generador y el conductor se escribirá de la siguiente manera
= I · R siendo R la resistencia del conductor más la resistencia interna que pueda tener
el propio generador.
Todas estas ecuaciones que se han escrito para corriente continua se pueden generalizar sin dificultad para corrientes variables con el tiempo pero hay que añadir otros
aspectos como efectos inductivos, etc., propios de las corrientes no continuas.
4.7.
Introducción al magnetismo
Hemos visto hasta ahora la interacción eléctrica y la interacción gravitatoria. Pues
bien, la interacción magnética es otro tipo de interacción que se observa en la Naturaleza.
Varios siglos antes de Cristo, la Humanidad observó que ciertos minerales de hierro, como
la magnetita (llamada así de la ciudad Magnesia de Asia), tenían la propiedad de atraer
pequeños trozos de hierro. A esta propiedad se le llamó magnetismo. Las regiones de un
cuerpo donde aparece concentrado el magnetismo se denominan polos magnéticos.
Un cuerpo magnetizado se llama imán.
Hay dos clases de polos: norte y sur. La interacción entre polos iguales es repulsiva
mientras que la interacción entre polos opuestos es atractiva. Hasta aquí parece que existe
cierta similitud entre la interacción magnética y la eléctrica. Sin embargo, no ha sido
posible aislar un polo magnético al igual que una carga eléctrica. Es decir, no hay algo
asimilable a un parámetro de masa magnética (o carga magnética). Veremos que en el
fondo la interacción magnética no es una interacción aparte, sino que está íntimamente
relacionada con la interacción eléctrica, siendo ambas interacciones dos aspectos de una
propiedad de la materia: la carga eléctrica. Veremos también que el magnetismo es un
efecto que aparece cuando existe movimiento relativo entre cargas eléctricas. Por ello,
11
De acuerdo con la Ley de Ohm, la unidad de resistencia es igual a 1 Ω = 1V / 1A.
4.8. FUERZA DE LORENTZ
105
Figura 4.17
al final deberemos hablar de interacción electromagnética constituyendo la interacción
eléctrica y la magnética algo así como las dos caras de una misma moneda.
4.8.
Fuerza de Lorentz
Diremos que un carga eléctrica se mueve en una región del espacio con campo magnético si la fuerza total que se ejerce sobre dicha carga está compuesta, además de la
fuerza eléctrica, de una fuerza adicional que llamaremos magnética.
Figura 4.18
Asociaremos al campo magnético un vector que llamaremos inducción magnéti~ que será el que contendrá la información sobre el campo magnético12 . Este vector
ca, B,
también como el vector intensidad de campo eléctrico, define unas líneas de campo (o
líneas de corriente) que son el lugar geométrico de los puntos en los que el citado vector
~ es tangente13 .
B
12
De nuevo aquí se debe indicar que de ordinario se suele utilizar indistintamente la denominación
inducción magnética y campo magnético para referirse precisamente al vector inducción magnética.
Aunque en principio esto puede producir confusión, está también en este caso aceptado el uso indistinto
antes referido.
13
Se puede demostrar (aunque no lo haremos aquí) que las líneas de corriente del campo magnético
son cerradas, a diferencia, de lo que ocurre con las líneas de corriente del campo eléctrico que nacen en
las cargas positivas y mueren en las cargas negativas.
106
CAPÍTULO 4. INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
Experimentalmente, se ha visto que las fuerzas magnéticas sólo aparecen si la carga
q’ está en movimiento, que son perpendiculares al vector velocidad, y que su módulo
es proporcional precisamente al módulo del vector velocidad, por lo que procede expre~ lo cual puede asociarse
sar la fuerza magnética de la siguiente forma F~m = q 0~v × B
gráficamente con la figura anterior, es decir, de esta forma la fuerza magnética es perpendicular a la velocidad de la carga móvil y al vector inducción magnética. El módulo
de la fuerza magnética será Fm = |q 0 | vB |sin α|. La unidad de inducción magnética es el
Figura 4.19
Tesla: 1T = N C −1 m−1 s = W bm−2 .
Como se ve el Tesla se puede expresar también en función del Wb (Weber ) que, como
veremos, es la unidad de flujo magnético. Existe otra unidad de inducción magnética
muy usada el Gauss, 1T = 104 G.
En general, la fuerza total sobre una carga móvil que se mueve en una región del
espacio con campo eléctrico y campo magnético será la suma de la fuerza eléctrica y la
fuerza magnética:
~ + q 0~v × B
~ = q 0 (E
~ + ~v × B)
~
F~ = F~e + F~m = q 0 E
(4.42)
Esta expresión se conoce como Fuerza de Lorentz.
Finalmente analizaremos las consecuencias dinámicas del movimiento de una partícula cargada en un campo magnético (en ausencia de campo eléctrico). Como la fuerza
magnética es perpendicular a la velocidad, el trabajo asociado a la misma será nulo, lo
cual significa, de acuerdo con el teorema de la energía cinética, que la fuerza magnética
no provoca cambios en el módulo de la velocidad. Así, las cosas habrá que aceptar que
la partícula cargada tendrá un movimiento en el que el vector velocidad cambia de orientación pero no en módulo. Los posibles movimientos compatibles con las condiciones
anteriores son:
1. Movimiento rectilíneo uniforme: en este caso lo que habrá ocurrido es que la velocidad y el campo magnético son paralelos. Estamos ante la situación trivial.
4.9. PRODUCCIÓN DE CAMPOS MAGNÉTICOS
107
2. Movimiento circular uniforme: en este caso la velocidad era perpendicular al campo
magnético y por lo tanto tendrá lugar un movimiento circular uniforme.
3. Movimiento helicoidal (en tres dimensiones): en este caso la velocidad no era
perpendicular al campo magnético por lo que podremos descomponer el vector
velocidad en una componente paralela al campo magnético (la fuerza magnética
será cero) y una componente perpendicular al campo magnético (la fuerza magnética será perpendicular a esa componente del vector velocidad generando un
movimiento circular uniforme). El movimiento resultante será la composición de
dos movimientos un movimiento rectilíneo uniforme y un movimiento circular uniforme ambos perpendiculares entre sí por lo que la trayectoria resultante será
helicoidal (como un muelle).
Para finalizar debe mencionarse que ejemplos de aplicación de lo que acabamos de
comentar son el betatrón, el espectrógrafo de masas, etc. En los problemas y ejercicios
de aplicación se abordan estos ejemplos.
4.9.
4.9.1.
Producción de campos magnéticos
Campo magnético creado por una carga en movimiento
Los campos magnéticos son producidos por cargas eléctricas en movimiento. Es decir,
de la misma manera que la interacción eléctrica, que tiene lugar por 2 cargas eléctricas
(en movimiento o no), se puede describir mediante el concepto de campo eléctrico, esto
es, una carga produce un campo en la región del espacio que la rodea, y dicho campo
interacciona con la segunda carga provocando en ella una fuerza eléctrica; algo similar
ocurre con la interacción magnética, esto es, una carga en movimiento produce un campo
magnético, el cual interacciona con una segunda carga en movimiento provocándole una
fuerza magnética14 .
La expresión del campo magnético creado por una carga en movimiento en un punto
P es la siguiente:
~ = µ0 q~v × u~r = µ0 q~v × ~r
(4.43)
B
4π r2
4π r3
siendo µ0 la permeabilidad magnética en el vacío cuyo valor es µ0 = 4π · 10−7 mkgC −2 =
4π · 10−7 T mA−1 . Esta expresión es sólo aproximada y funciona bien para velocidades de
carga mucho menores que las de la luz (v << c) y aceleraciones pequeñas.
14
Esta explicación es quizás algo simple. En el fondo cuando hablamos de movimientos de cargas tenemos que considerar sistemas de referencia para indicar respecto a qué tienen lugar dichos movimientos.
Por ello, es necesario introducir la relatividad en esta cuestión. No insistiremos en esto pero deberíamos
decir que lo fundamental para que exista interacción magnética es que exista movimiento relativo entre
las dos cargas, y que la interacción eléctrica y la magnética van a estar relacionadas de forma que lo que
para algunos sistemas de referencia puede ser fuerza eléctrica para otros puede ser fuerza magnética.
En el fondo, esto nos lleva a hablar de interacción electromagnética.
108
CAPÍTULO 4. INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
Figura 4.20
4.9.2.
Campo magnético producido por un elemento de corriente
Una corriente eléctrica no es sino cargas eléctricas en movimiento. Por ello, si las
cargas eléctricas en movimiento producen campos magnéticos una corriente también lo
hará.
Figura 4.21
El campo magnético creado por todo el circuito cerrado viene dado por la siguiente
expresión (Ley de Ampère-Laplace):
I ~
µ0
I dl × u~r
~
B=
(4.44)
4π C
r2
donde C es la trayectoria del circuito.
El vector d~l representa un elemento de la corriente y su sentido es de la intensidad
de corriente. La ecuación anterior puede suponerse deducida de:
~ =
dB
~ × u~r
µ0 I dl
4π
r2
(4.45)
(campo creado por un elemento de corriente) si bien esta última ecuación sólo debe
considerarse de forma instrumental en relación a la anterior y no como un enunciado
4.9. PRODUCCIÓN DE CAMPOS MAGNÉTICOS
109
independiente. De la Ley de Ampère-Laplace, (aunque no lo demostraremos) se pueden
deducir, como casos particulares, los siguientes:
4.9.3.
Campo magnético producido por una corriente rectilínea
infinita
En algunos textos, aparece como Ley de Biot y Savart. El campo es perpendicular
al plano determinado por el conductor rectilíneo y el punto considerado y su sentido es
Figura 4.22
el del giro de un sacacorchos cuyo avance coincida con el sentido de la intensidad de
corriente. El módulo del vector intensidad de campo viene dado por:
µ0 I
(4.46)
B=
2π r
donde r es la distancia al punto donde se quiere calcular el campo. Obsérvese que las
líneas de corriente del campo magnético son circulares y con la orientación coherente
con el sentido del campo antes indicado.
Hay que hacer nota que la idea de conductor infinito hay que entenderla físicamente
en el sentido de considerar que la longitud del conductor es mucho mayor que las distancias a los puntos en los que deseamos conoce el vector inducción magnética.
4.9.4.
Campo magnético creado por una espira circular en su
centro
En este caso se puede demostrar que el módulo del campo viene dado por
µ0 I
(4.47)
B=
2 R
siendo R el radio de la espira e I la intensidad de la corriente cuyo sentido viene indicado
en la espira: el punto indica que la corriente sale y el aspa que la corriente entra. Como
se ve la orientación del campo responde al avance del sacacorchos que gira como lo hace
la corriente.
110
CAPÍTULO 4. INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
Figura 4.23
4.9.5.
Campo magnético creado por un solenoide en su interior
Un solenoide no es sino un arrollamiento, es decir, en el fondo un conjunto de muchas
espiras superpuestas. Consideraremos el campo magnético en su interior y supondremos
que la longitud L del solenoide es mucho mayor que el radio de las espiras. Como se ve
Figura 4.24
en la figura el campo magnético tiene la misma orientación que en el caso del referido a
una espira en su centro, y en cuanto al módulo, éste viene dado por
B = µ0
NI
L
(4.48)
siendo N el número de espiras.
Si n = N/L es el número de vueltas por unidad de longitud del solenoide entonces
B = µ0 nI. Como se ve, un solenoide puede producir campos magnéticos intensos si
dispone de muchas espiras por unidad de longitud. En la práctica, se suele introducir
en el interior del solenoide un material ferromagnético, fundamentalmente hierro, en ese
caso, la expresión del campo magnético cambia ligeramente, B = µnI, es decir, en lugar
de la permeabilidad magnética en el vacío aparece la permeabilidad magnética en el
medio, que en el caso de los materiales ferromagnéticos, y en particular en el hierro, es
4.10. MAGNETISMO NATURAL Y ELECTROMAGNETISMO
111
muy elevada lo cual multiplica extraordinariamente la intensidad del campo magnético
que el solenoide genera.
4.10.
Magnetismo natural y electromagnetismo
Hemos iniciado lo que tiene que ver con la interacción magnética haciendo una breve
descripción histórica de cómo aparece por primera vez esta interacción en la Naturaleza.
Conviene ahora reconciliar esta visión histórica del magnetismo, basada en la existencia
de unos materiales (como la magnetita) con propiedades magnéticas con nuestra nueva
idea de la interacción magnética, una interacción que aparece entre cargas en movimiento. En realidad, los materiales ferromagnéticos, de acuerdo con la llamada Teoría de
los Dominios), se pueden considerar interiormente organizados en dominios, cada uno
de ellos conteniendo corrientes circulares microscópicas, y cada una de ellas, por tanto,
produciendo su correspondiente campo magnético. En el caso, de los imanes naturales,
los distintos dominios están ordenados, y por ello, se superponen los distintos campos
magnéticos produciendo tal superposición un campo magnéticos netos efectivo. En el
caso, de los materiales ferromagnéticos en general, los dominios están desordenados por
lo que no existe campo magnético efectivo, pero en medio de un campo magnético (producido por otro imán o por un solenoide, etc.) se puede conseguir ordenar los dominios
comportándose el material temporalmente como un imán. Al cesar el campo magnético externo en breve tiempo cesarán las propiedades magnéticas ya que los dominios
volverán otra vez a desordenarse. Algo similar ocurre cuando frotamos una aguja con un
imán, temporalmente adquiere propiedades magnéticas pero al cabo de un cierto tiempo
éstas desaparecen.
4.11.
Fuerzas magnéticas sobre una corriente eléctrica
Supongamos un conductor por el que circula una corriente de intensidad I en una
~ Consideremos un elemento de
región del espacio donde existe un campo magnético, B.
~
conductor representado por este vector dl en la dirección de la corriente.
Figura 4.25
~ No es
Sobre ese elemento existirá una fuerza magnética dada por dF~ = Id~l × B.
112
CAPÍTULO 4. INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
difícil justificar esta ecuación asimilando el elemento de corriente a una carga puntual,
y utilizando la expresión de la fuerza magnética sobre una carga móvil.
La fuerza magnética sobre todo el conductor será la suma de las distintas fuerzas
magnéticas sobre los elementos de corriente en los que se pueda descomponer el conductor.
Veamos ahora unos casos particulares:
1. Si el campo magnético es uniforme y el conductor rectilíneo, entonces la suma de
~ donde ~l es un
contribuciones de la forma antes expuesta da lugar a F̄ = I~l × B
vector cuyo módulo es la longitud del conductor y su orientación coincide con la
de la corriente.
Figura 4.26
2. Si además el campo magnético es perpendicular al conductor, el módulo de la
fuerza magnética será F = IlB.
4.12.
Fuerzas entre corrientes
Supongamos que tenemos dos circuitos cerrados cualesquiera que están próximos uno
respecto del otro.
Uno de los circuitos creará un campo magnético en la región del espacio que le rodea,
y al estar el otro circuito próximo al primero, el antes citado campo magnético producirá
una fuerza magnética sobre el segundo circuito. Asimismo, habrá una influencia del segundo circuito sobre el primero y por tanto una fuerza magnética provocada por el
segundo circuito sobre el primero.
Aplicaremos estas ideas para estudiar las fuerzas que se ejercen dos conductores rectilíneos suficientemente largos, paralelos, y que se encuentran próximos uno cerca del
otro, en concreto, a una distancia d mucho más pequeña que la longitud l de dichos
conductores.
4.12. FUERZAS ENTRE CORRIENTES
113
Figura 4.27
El campo magnético de (1) en un punto cualquiera del conductor (2) será como se
µ0 I1
indica en la figura en cuanto a la orientación y en cuanto a su módulo se tiene B1 = 2π
.
d
El campo B~1 ejerce la siguiente fuerza en (2) F~2 = I2 l~2 × B~1 cuya orientación aparece
en el gráfico y cuyo módulo es
F2 = I2 lB1 = I2 l
µ0 I1
2π d
(4.49)
La fuerza por unidad de longitud será:
µ0 I1 I2
F2
=
l
2π d
(4.50)
De la misma forma, la fuerza que hace el circuito (2) sobre el (1) será atractiva y su
módulo será:
F1
F2
F
µ0 I1 I2
=
=
=
(4.51)
l
l
l
2π d
Como conclusión tenemos que 2 corrientes paralelas con el mismo sentido se atraen,
mientras que dos corrientes paralelas con sentidos contrarios (se puede demostrar fácilmente de la misma forma) se repelen.
Finalizaremos, esta cuestión aprovechando el resultado obtenido para definir el Amperio absoluto ya que la medida F/l puede hacerse con mucha precisión: “Se define
Amperio absoluto a la intensidad que debe circular por 2 conductores infinitamente
largos y separados un metro para que entre sí ejerzan una fuerza por unidad de longitud
de 2.10 −7 N/m”.
114
CAPÍTULO 4. INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
En efecto, como µ0 = 4π · 10−7 en unidades del S.I., entonces:
4π · 10−7 1 · 1
N
F
=
= 2 · 10−7
l
2π
1
m
(4.52)
A partir de aquí, se considera que el Amperio (y no el culombio) es unidad fundamental del S.I. llamado en electricidad M.K.S.A., todo ello de acuerdo con la XIa
Conferencia General de Pesas y Medidas de 1960. El culombio se definirá ahora como
la cantidad de carga que atraviesa la sección de un conductor en un segundo, por el que
pasa una corriente de un amperio.
4.13.
Inducción electromagnética
4.13.1.
Flujo magnético
Supongamos una región del espacio en la que existe un campo magnético uniforme.
Consideremos asimismo una superficie plana en dicha región del espacio, entonces, se
~ asociado precisamente a dicha superficie, como un vector cuyo
define vector superficie S
módulo es el área de la superficie en cuestión, su dirección es perpendicular a la superficie,
y el sentido el que esté más próximo al vector inducción magnética. Se define flujo
Figura 4.28
~ a través de la superficie S, de la siguiente
magnético15 , es decir, flujo del vector B
~
~
manera, Φ = B · S = B · S · cos θ. Físicamente, representa el número de líneas de campo
del campo magnético que atraviesan la superficie considerada. De la definición se ve
claro que si el campo magnético es paralelo a la superficie el flujo es nulo, lo cual se
puede entender gráficamente ya que en este caso ninguna línea de campo atravesaría la
superficie. La unidad de flujo magnético en S.I., tal como ya habíamos advertido, es el
Weber (Wb).
15
La definición de flujo que aquí se expone sólo es válida en las circunstancias concretas que se
indican. En general, es decir, campos magnéticos no uniformes y superficies no planas, se debería hacer
una partición de la superficie en pequeños cuadrados en los que el campo sea aproximadamente uniforme
y luego sumar los flujos de cada uno de los cuadrados en que se haya dividido la superficie.
4.13. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
4.13.2.
115
Ley de Henry-Faraday
Sea un circuito alabeado16 cerrado en el que hemos colocado un galvanómetro (aparato que detecta si existe o no paso de corriente). Si se encuentra en la proximidades de un
circuito por el que circula una corriente variable con el tiempo, el galvanómetro acusará
paso de corriente.
Faraday y Henry comprobaron independientemente el uno del otro que también existía corriente si al primer circuito se alejaba o acercaba un imán llegando a la conclusión
de que aparecía una fuerza electromotriz (f.e.m.) que era proporcional a la variación de
flujo magnético en la unidad de tiempo.
Figura 4.29
Matemáticamente, las conclusiones de Faraday y Henry se pueden expresar así:
ε∝
dΦ
dt
(4.53)
siendo Φ el flujo magnético.
Ambas experiencias, las del imán y las de la corriente variable con el tiempo, están
relacionadas, ya que una intensidad variable con el tiempo genera un campo magnético
variable con el tiempo, y el movimiento del imán también da lugar a un campo magnético variable con el tiempo. En ambos casos, se tiene un flujo magnético variable con
el tiempo. Posteriormente, Lenz descubrió que el sentido de la f.e.m. inducida era tal
que tendería a oponerse al cambio que la producía, es decir, oponerse a la variación de
flujo magnético.
De estos resultados experimentales, se concluye la siguiente expresión para la f.e.m.
inducida:
dΦ
ε=−
(4.54)
dt
16
Consideramos la situación más general, es decir, un circuito no contenido en un plano. Por supuesto,
lo que aquí se expone también es válido para un circuito plano.
116
CAPÍTULO 4. INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
Figura 4.30
4.13.3.
Autoinducción
Supongamos ahora un circuito cerrado por el que circula una corriente con una intensidad variable con el tiempo. Esta corriente generara una campo magnético también
variable con el tiempo el cual, a su vez, definirá un flujo a través de la superficie delimitada por el circuito que será nuevamente variable con el tiempo.
Figura 4.31
En consecuencia, se inducirá una f.e.m. dada por la expresión
ε=−
dΦ
dt
(4.55)
Lógicamente, cuanto mayor sea la Intensidad mayor será el módulo de la inducción magnética, y por ello, mayor será el flujo magnético, por lo que parece razonable17
escribir Φ = L · I donde L es una constante que se conoce como coeficiente de autoinducción o inductancia del circuito, y que depende de la forma geométrica del
mismo. La unidad de inductancia en el S.I. es el henrio (H ).
Por todo lo anterior, la ley de Ohm para un circuito como el previamente considerado
adoptará la forma siguiente: εext + εind = IR, donde εext es la f.e.m. producida por el
17
En realidad, el razonamiento correcto estriba en darse cuenta que la inducción magnética es proporcional a la intensidad de la corriente que produce el correspondiente campo magnético. Por ello, y
teniendo en cuenta la definición de flujo magnético surge la proporcionalidad entre el flujo magnético
y la intensidad de corriente.
4.13. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
117
generador G, y R es la resistencia total del circuito (incluyendo la resistencia interna
del generador). Sustituyendo εind por sus expresión se tiene,
εext − L
dI
= IR
dt
(4.56)
que es una ecuación diferencial cuya solución nos dará la intensidad de la corriente en
Figura 4.32
función del tiempo. Naturalmente, tal solución dependerá de la f.e.m. del generador y
de las condiciones iniciales.
La representación gráfica de un circuito como el considerado (en el que existe alguna
parte con una inductancia apreciable) suele hacerse de la forma representada en la figura.
4.13.4.
Inducción mutua
Consideremos ahora dos circuitos (a) y (b) cercanos entre sí y con corrientes con
intensidades variables con el tiempo: Ia = Ia (t) e Ib = Ib (t).
Figura 4.33
En cualquier punto del espacio que rodea a ambos circuitos existe un campo magnético que será la superposición del producido por el circuito (a) y del producido por
~ = B~a + B
~ b . Este campo define flujos magnéticos sobre las superficies
el circuito (b): B
delimitadas por los dos circuitos. En concreto, llamaremos Φa al flujo magnético que
118
CAPÍTULO 4. INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
atraviesa el circuito (a) y Φb al flujo magnético que atraviesa el circuito (b). Como el
~ es la superposición de dos campos magnéticos, el flujo magnético Φa se puede
campo B
expresar como la suma de dos flujos, el flujo magnético asociado el campo magnético
creado por el circuito (a) a través del circuito (a) y el flujo magnético asociado el campo
magnético creado por el circuito (b) a través del circuito (a), es decir, Φa = Φaa + Φab .
Asimismo, el flujo magnético Φb se puede expresar como la suma de dos flujos, el flujo
magnético asociado el campo magnético creado por el circuito (b) a través del circuito
(b) y el flujo magnético asociado el campo magnético creado por el circuito (a) a través
del circuito (b), es decir,Φb = Φbb + Φba .
Con un razonamiento similar al utilizado en el apartado anterior, se ve que Φaa =
La Ia y Φbb = Lb Ib , al mismo tiempo que Φab = Mab Ib y Φba = Mba Ia , donde La y Lb
son los coeficientes de autoinducción de los circuitos (a) y (b), mientras que Mab y Mba
son los correspondientes coeficientes de inducción mutua (sus unidades son las
mismas que las de los coeficientes de autoinducción). Se puede demostrar que ambos
coeficientes de inducción mutua son iguales18 por lo que a partir de ahora escribiremos M.
Las ecuaciones de corriente para los dos circuitos son ahora:
εa − L a
dIb
dIa
−M
= Ia Ra
dt
dt
(4.57)
y
dIa
dIb
−M
= Ib Rb
(4.58)
dt
dt
que son dos ecuaciones diferenciales que hay que resolver como sistema si M 6= 0. En
estas condiciones, si M 6= 0, se dice que los circuitos (a) y (b) están acoplados.
Naturalmente, si alejamos un circuito del otro se dice que los circuitos (a) y (b) están
acoplados. Naturalmente, si alejamos un circuito del otro M → 0, y los circuitos se
desacoplan.
εb − Lb
Los transformadores se basan en el acoplamiento de circuitos.
4.14.
Generadores
Un generador es un dispositivo que transforma energía de cualquier tipo en energía
eléctrica. Existen distintos tipos de generadores. Para corriente continua los más habituales son las pilas, quienes transforma energía química en energía eléctrica (mediante
procesos electroquímicos).
Sin embargo, centraremos aquí nuestra atención sobre el generador de corriente alterna, el cual transforma energía de cualquier tipo (generalmente, energía mecánica) en
energía eléctrica, de forma que la f.e.m. que se genera es del tipo ε = ε0 sin ωt, siendo ω
la frecuencia angular o pulsación característica del generador, y ωt la fase.
18
Esto puede ser llevado a cabo mediante la Fórmula de Newman que no expondremos aquí.
4.14. GENERADORES
119
Figura 4.34
Un tipo de generador de corriente alterna sencillo es el formado por una espira que
gira en un campo magnético uniforme.
~ ·S
~ = BS cos θ, donde θ es el
Si se hace girar a dicha espira, el flujo será Φ = B
ángulo que forma el vector inducción magnética con el vector superficie, que al girar
variará con el tiempo, es decir, θ = θ(t).
Por ello, se inducirá, de acuerdo con la Ley de la inducción, una f.e.m. según:
ε=−
dθ
dΦ
= BS(sin θ)
dt
dt
(4.59)
Si el movimiento de rotación de la espira es uniforme, entonces θ = ωt y dϑ/dt = ω,
por lo que, ε = BSω sin ωt = ε0 sin ωt, siendo ε0 la f.e.m. máxima que vendrá dada
por ε0 = BSω. Si el sistema tiene N espiras, las ecuaciones son similares salvo que
ε0 = N BSω, ya que habría que sumar cada una de las f.e.m. inducidas en cada de una
de las espiras que giran a la vez.
En consecuencia, si la espira o conjunto de espiras se mueve con velocidad angular
constante se genera una f.e.m. alterna, por ello, el dispositivo anterior será un generador de corriente alterna o alternador. En caso contrario, se producirá una
corriente variable con el tiempo pero no será alterna.
120
CAPÍTULO 4. INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
Capítulo 5
Introducción a la Física Moderna
5.1.
5.1.1.
Relatividad en Mecánica Clásica
Introducción
Se define sistema de referencia inercial como aquél según el cual se cumple el principio de inercia. Esta definición es básica en Mecánica e introduce una clasificación de los
sistemas de referencia.
Los postulados de la relatividad en Mecánica Clásica son lo siguientes:
1. La trayectoria y la velocidad son relativas, es decir, dependen del observador.
2. El tiempo es absoluto para todos los observadores: es un invariante para los
distintos sistemas de referencia.
Principio de relatividad de Galileo: “Es imposible distinguir si un sistema de
referencia está en reposo o si se mueve con movimiento rectilíneo uniforme”, o bien “Las
leyes físicas1 son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales”
5.1.2.
Transformación de Galileo
Se define suceso como un elemento del conjunto de cuaternas integradas por las tres
coordenadas del espacio (x, y, z) y la variable temporal t, esto es, (x, y, z, t). Consideremos un suceso visto por dos sistemas de referencia R y R0 , uno de los cuales, por
ejemplo R0 se mueve con velocidad va respecto del otro R. Consideremos también que
un determinado suceso es descrito por (x, y, z, t) por R y por (x0 , y 0 , z 0 , t0 ) por R0 .
Entonces, entre las dos descripciones se verifica:
1
Aunque se habla de las leyes físicas, en sentido estricto, debería hablarse de las leyes de la mecánica,
por cuanto, como luego se verá, ésta es la principal dificultad que presenta la transformación de Galileo,
que no es válida para las Leyes de la Electrodinámica, y aunque sí para las de la mecánica Clásica.
121
122
CAPÍTULO 5. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA
Figura 5.1




t = t0
z = z0
y = y0



x = x0 + va t0
(5.1)
o bien




t0 = t
z0 = z
y0 = y


 0
x = x − va t
(5.2)
Estas ecuaciones que relacionan las medidas hechas por O y O0 son conocidas como
Transformación de Galileo2
5.1.3.
Consecuencias de la Transformación de Galileo
La longitud es un invariante
En efecto, consideremos la siguiente situación representada en la figura. Supondremos como antes que O y O’ ajustan los cronómetros cuando coinciden. En ella,
la línea con trazo grueso representa una barra cuya longitud es medida desde los dos
sistemas de referencia. Según R, la longitud es: l = x2 − x1 , y según R0 la longitud será
l0 = x02 − x01 = (x2 − va t − (x1 − va t = x2 − x1 = l, de acuerdo con el enunciado3 .
2
La demostración de estas ecuaciones puede hacerse de forma muy sencilla mediante vectores,
suponiendo que a tiempo t = 0, los dos sistemas de referencia coinciden.
3
Para llegar a esta conclusión se ha hecho uso de la transformación de Galileo, es decir, x02 = x2−va t,
0
y x1 = x1 − va t.
5.2. RELATIVIDAD ESPECIAL
123
Figura 5.2
La velocidad depende del observador
En efecto, para ver esto no hay más que considerar el siguiente gráfico,
Figura 5.3
La aceleración es un invariante
En efecto, volviendo a derivar se tiene ~a = a~0 + dv~a /dt, es decir, ~a = a~0 , ya que
(dv~a /dt) = 0, pues v~a = cte. La 2a ley de Newton es válida en todos los sistemas de
referencia inerciales.
5.2.
5.2.1.
Relatividad Especial
Contradicciones de la relatividad clásica
Aparecen una serie de hechos que se oponen al Principio de relatividad clásica, y que
resumidamente son los siguientes:
124
CAPÍTULO 5. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA
1. Las ecuaciones de Maxwell de la electrodinámica clásica no son invariantes a la
Transformación de Galileo.
2. Se pensaba que las ecuaciones de Maxwell eran válidas sólo en el sistema en reposo
del éter. Se produce la sorpresa de que experimentalmente se ve que la velocidad de
la luz es un invariante, es decir, se mide igual para cualquier sistema de referencia4 .
3. Otro hecho que se opone a la Relatividad Clásica es la contracción de Lorentz
(contracción de una longitud vinculada a un sistema de referencia que se mueve a
velocidad constante respecto al sistema del éter).
5.2.2.
Postulados de Einstein
A la vista de las contradicciones que aparecen en la Relatividad Clásica, Albert
Einstein concluye que no existe el éter, y que las ecuaciones de Maxwell se cumplen para
todos los sistemas de referencia inerciales. Se rechaza, por tanto, la Transformación de
Galileo, ya que se acepta que la velocidad de la luz es la misma en todos los sistemas de
referencia inerciales. Así aparecen los postulados de la Relatividad Especial5 .
1. La Leyes de la Física son iguales (tienen la misma forma)6 en todos los sistemas
de referencia inerciales7 .
2. La velocidad de la luz (en el vacío), c, es igual para todos los sistemas de referencia
inerciales.
De estos postulados puede fácilmente deducirse (no lo reproduciremos) la Transformación de Lorentz, que sustituirá a la Transformación de Galileo:
 0
x = γ(x − va t)



y0 = y
(5.3)
z0 = z


 0
t = γ t − vca2x
siendo γ una constante que viene dada por:
1
γ=q
1−
4
va2
c2
(5.4)
Esto es lo que se desprende del experimento de Michelson-Morley.
El Término relatividad especial o restringida se refiere a la relatividad entre sistemas de referencia
inerciales, por contraposición a la relatividad general que incluye ya sistemas de referencia no inerciales.
6
Para concretar este postulado se ha introducido una formulación cuadrivectorial especial, en la que
las ecuaciones adoptan una forma característica denominada forma covariante. Por ello, este postulado
exigirá que a partir de ahora todas la leyes de la física acepten una formulación covariante. De esta
forma serán compatibles con estos postulados de Einstein.
7
No sólo las leyes de la Mecánica como en relatividad clásica, si no también las leyes de la electrodinámica (las ecuaciones de Maxwell y lo que de ellas se deduce), y en general cualquier ley de la
Física.
5
5.2. RELATIVIDAD ESPECIAL
125
cuyo valor es γ > 1. La Transformación de Lorentz fue deducida inicialmente por Lorentz
en relación a la contracción que sufren las longitudes de los cuerpos al moverse respecto
al éter, pero fue Einstein quien la insertó en el nuevo marco de la llamada relatividad
especial como alternativa a la Transformación de Galileo. De hecho, si en la Transformación de Lorentz se hace el límite c → ∞, entonces γ → 1, y se recuperan las expresiones
de la Transformación de Galileo.
De la Transformación de Lorentz también se puede obtener la Transformación de
velocidades, en concreto la forma que tiene es la siguiente para la componente x de las
velocidades:
vx − va
(5.5)
vx0 =
1 − vxc2va
de la que pueden deducirse dos consecuencias:
1. Si tomamos el límite c → ∞, entonces, fácilmente se ve que se recupera la composición de velocidades de la Transformación de Galileo, esto es„ vx0 = vx − va .
2. Si hacemos vx = c, entonces tenemos: tiene es la siguiente para la componente x
de las velocidades:
c − va
c − va
· c2 = c
(5.6)
vx0 =
cva = 2
1 − c2
c − cva
lo cual confirma que la transformación de Lorentz es coherente con el segundo
postulado es decir, la velocidad de la luz es un invariante.
5.2.3.
Consecuencias de los postulados
Contracción de la longitud
Si hacemos el mismo cálculo que antes con la relatividad clásica para la longitud de
una barra de acuerdo con la figura correspondiente, pero utilizando la Transformación
de Lorentz, tenemos:
x02 − x01 = γ(x2 − va t2 ) − γ(x1 − va t1 )
(5.7)
Si t1 = t2 , entonces x02 − x01 = γ(x2 − (x1 ) por lo que
x2 − x 1 =
1 0
(x2 − x01 )
γ
(5.8)
es decir,
l=
l0
γ
(5.9)
de donde se ve claro que l < l0 , lo cual quiere decir que la longitud de la barra que viaja
con O0 para O se contrae según la expresión anteriormente calculada.
126
CAPÍTULO 5. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA
Dilatación del tiempo
Como t0 = γ(t − va x/c2 ), entonces lógicamente por simetría t = γ(t0 + va x0 /c2 ), de
donde
t2 − t1 = γ(t02 − t01 ) para x01 = x02
(5.10)
Se define intervalo de tiempo como la diferencia de tiempo entre dos sucesos, siendo
un suceso o evento caracterizado por una cuaterna (x, y, z, t).
La situación que se deduce del análisis anterior se pude concretar de la siguiente
forma: hemos considerado dos eventos no simultáneos que ocurren en el mismo lugar
para O0 . Pues bien, el intervalo de tiempo entre tales eventos no es el mismo para O8 .
Un proceso (lo que ocurre entre dos eventos) lleva más tiempo visto desde O que
desde O0 , es decir, el proceso toma más tiempo en un cuerpo en movimiento relativo al
observador9 . Ejemplo: el reloj de luz.
5.3.
5.3.1.
Relación masa-energía
Masa relativista
Para una partícula que se mueve con una velocidad respecto de O, se define su masa
relativista de la siguiente manera:
−1/2
v2
m = γm0 = m0 1 − 2
c
(5.11)
siendo m0 la llamada masa en reposo de la partícula, es decir la masa respecto a O
si la partícula estuviera en reposo relativo respecto a O. Según esto la masa aumenta
al aumentar la velocidad de la partícula respecto al observador. En el límite clásico
(c → ∞), m ∼
= m0 , por lo que el término masa relativista carece de sentido.
5.3.2.
Energía cinética y energía en reposo
Se puede demostrar que la energía cinética de una partícula que se mueve con una
velocidad ~v respecto de O viene dada por
2
Ec = (m − m0 )c = m0 c
8
2
v2
1− 2
c
−1/2
− m 0 c2
(5.12)
Quien además considera que ocurren en distinto lugar (esto se puede demostrar fácilmente calculando x1 − x2 y viendo que el resultado no es nulo).
9
La clave de esta segunda consecuencia reside en el hecho de que el conocimiento que un observador
tiene de un suceso es através de señales ópticas (de luz) emitidas desde el mismo suceso.
5.3. RELACIÓN MASA-ENERGÍA
127
En el límite clásico (c → ∞), Ec ∼
= (1/2)m0 c2 coincidiendo con el resultado que
proporciona la mecánica clásica. En efecto, si se tiene en cuenta el siguiente desarrollo
en serie,
−1/2
1 v2
v2
= m0 1 + 2 + · · ·
(5.13)
m = m0 1 − 2
c
2c
de donde
1 v2
m − m0 ∼
m0
=
2 c2
(5.14)
por lo que
1
1 v2
2
m0 v 2
(5.15)
m
c
=
0
2 c2
2
La expresión Ec = (m − m0 )c2 nos permite definir la energía en reposo de una
partícula de la siguiente manera Ec = m0 c2 .
Ec = (m − m0 )c2 =
De esta forma, la energía de una partícula sería la suma de su energía en reposo y su
energía cinética Ec = m0 c2 + (m − m0 )c2 = mc2 . Esta energía sería la energía total de
la partícula en ausencia de energía potencial. Todo esto indica que la energía cinética
representa en realidad una ganancia de masa, algo evidente desde la expresión de la
masa relativista.
5.3.3.
Energía de enlace nuclear
Consideremos por ejemplo un núcleo de helio. Como es bien sabido está formado por
2 neutrones y 2 protones. Un sistema constituido por estas 4 partículas (2 neutrones y
2 protones) en reposo y alejadas entre sí tiene una energía dada por:
E = (2mp + 2mn )c2
(5.16)
siendo mp y mn as masas en reposo del protón y neutrón, respectivamente.
Si las 4 partículas están los suficientemente cerca para conformar un núcleo de helio
la energía del sistema (núcleo de helio) sería:
E 0 = (2mp + 2mn )c2 + Ec + Ep = mHe c2
(5.17)
donde Ec es la energía cinética del sistema y Ep la energía potencial, y mHe la masa en
reposo efectiva del núcleo de helio. Como el núcleo de helio es un sistema ligado la suma
de su energía cinética y su energía potencial debe ser negativa por lo que debe cumplirse
que E 0 < E. Por ello, la resta E − E 0 = Eb debe ser la energía necesaria para que el
sistema ligado (el núcleo de helio) se pase a ser un sistema libre con sus partículas componentes en reposo e infinitamente alejadas, esto es, la energía de enlace del núcleo de helio.
A partir de aquí se ve claramente la relación entre la antes citada energía de enlace
y las masas en reposo del núcleo de helio y del neutrón y protón:
Eb = (2mp + 2mn − mHe )c2
(5.18)
128
CAPÍTULO 5. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA
Vemos de todo esto que el proceso de fusión de protones y neutrones para dar núcleos
de helio lleva aparejado un desprendimiento de energía (correspondiente a la energía de
enlace) y también asociado un defecto másico (es decir, en este caso una disminución de
la masa del sistema al fusionarse). Por ello, puede decirse que en las reacciones nucleares
no sólo no se conserva la masa sino que es precisamente esa variación de masa o defecto
másico la que tiene que ver con la variación energética asociada al proceso nuclear10 .
5.3.4.
Momento y energía
El momento lineal (o cantidad de movimiento) relativista de una partícula que se
mueve con una velocidad ~v respecto de O vendrá dado por
−1/2
v2
= γm0~v
p~ = m~v = m0~v 1 − 2
c
(5.19)
de donde el módulo p = γm0~v = mv, y por ello,
mc2
c2
E
=
=
p
mv
v
(5.20)
Conviene destacar la importante relación siguiente:
q
E = c m20 c2 + p2
(5.21)
Se puede demostrar partiendo de la propia definición de momento p = γm0 v. En
efecto, si sustituimos p en la ecuación que pretendemos demostrar tenemos:
s
q
2 −1
v
2 2 2
2 2
(5.22)
E = c m0 c + m0 v γ = cm0 c2 + v 2 1 − 2
c
es decir,
r
E = cm0
v 2 c2
c2 + 2
= cm0
c − v2
r
c4 − c2 v 2 + c2 v 2
c2 − v 2
(5.23)
y en definitiva
s
E = cm0 c
1
2−
v 2
c
= m0 c2 γ = mc2
(5.24)
y llegamos a la expresión ya conocida de la energía de una partícula.
Como caso particular de aplicación de estas expresiones, consideremos una partícula
con masa en reposo nula11 . En este caso la expresión de la energía antes demostrada se
10
De hecho, también en las reacciones químicas no se conserva estrictamente la masa (es decir, en
rigor, no es correcta la Ley de Lavoisier) aunque las variaciones energéticas de las reacciones químicas
son muy inferiores a las de las reacciones nucleares lo que hace que el defecto másico asociado a las
reacciones químicas sea despreciable.
11
Ya veremos más tarde que nos estamos refiriendo a un fotón.
5.4. EFECTO FOTOELÉCTRICO
129
reduce a E = cp. Como, por otra parte, hemos visto también que
cp
p
E
p
=
c2
,
v
sustituyendo
c2
v
tenemos = por lo que hay que aceptar que v = c. Es decir, sólo las partículas con
masa en reposo nula pueden viajar a la velocidad de la luz, no pudiendo estar nunca en
reposo respecto de un sistema de referencia inercial.
Podemos
aprovechar ahora para analizar el sentido de la expresión antes deducida
p
2 2
E = c m0 c + p2 . De dicha expresión se puede pensar que la energía de una partícula
proviene de dos componentes, la masa en reposo y el momento. En el caso, de que
el momento sea cero sólo existe energía en reposo, mientras que si la masa en reposo
es cero la energía sólo se debe al momento. En general, la energía provendrá de las dos
circunstancias antes mencionadas (de la existencia de masa en reposo y momento lineal).
5.4.
Efecto fotoeléctrico
Supongamos una válvula en la que hemos hecho el vacío y en la que introducimos
dos placas, si se establece una diferencia de potencial y si iluminamos la placa negativa,
Figura 5.4
entonces el amperímetro marca una cierta intensidad, es decir, parece que la radiación
luminosa libera los electrones del metal de la placa y se produce un paso de corriente
por existir el vacío. Esto es el efecto fotoeléctrico.
Este efecto es fácilmente observable y posee aplicaciones en lo que se denomina
células fotoeléctricas. Para dar una idea de lo que realmente ocurre, diremos que, por
ejemplo, una placa de cobre expuesta a la luz del Sol da una intensidad de unos pocos
microamperios. Los átomos de esa placa poseen electrones rodeándolos, y para que se
liberen es necesario darles una cierta energía, energía que es comunicada por la radiación
electromagnética.
De acuerdo con la Teoría ondulatoria clásica de la radiación (que implica un intercambio continuo de energía) puede predecirse lo siguiente: Un frente de onda llegaría a
130
CAPÍTULO 5. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA
la placa y si ese frente de onda posee suficiente energía para liberar a los electrones éstos
podrán escapar pero si no existe suficiente energía por el momento no habrá emisión.
Para una frecuencia f dada ocurrirá lo siguiente:
1. Si iluminamos con mucha intensidad se obtendría una emisión instantánea.
2. Con una radiación poco energética pasaría un cierto tiempo hasta que la energía
fuera suficiente como para liberar electrones: en tal tiempo se acumularía energía,
y el tiempo antes referido sería menor al aumentar la intensidad.
3. Si la intensidad aumenta la energía cinética del electrón debería aumentar.
Precisamente, estas conclusiones no están de acuerdo con los resultados experimentales: si en la válvula anterior se realizan ciertas observaciones se concluye que:
1. La emisión es siempre casi instantánea, se ha llegado a constatar que el intervalo
entre la radiación luminosa y la emisión es de 10 −9 segundos, independientemente
de la intensidad de la radiación.
2. La energía cinética del electrón no depende de la intensidad del haz luminoso.
3. Para un mismo material la intensidad de corriente depende solamente de la frecuencia de la radiación f.
4. Existe para cada metal una frecuencia umbral f 0 de tal forma que si f = f 0 , no
hay emisión fotoeléctrica. Si hacemos una representación de la intensidad I de
corriente en función de la frecuencia f, se tiene:
Figura 5.5
La frecuencia umbral depende de los materiales; casi todos los metales emiten electrones con luz azul y ultravioleta, hay pocos que emiten con la roja. El platino emite con
luz no visible. Existen combinaciones de metales que emiten con una frecuencia umbral
muy pequeña (en el infrarrojo).
5.4. EFECTO FOTOELÉCTRICO
131
Explicación de lo resultados experimentales
Fue propuesta por Einstein en 1905. En principio, se sabe que los electrones se
encuentran ligados a la red metálica y hará falta una energía para liberarlos. Llamemos
Φ a la energía de ligadura, potencial de arranque o función trabajo, y sea E la energía
comunicada al electrón, entonces:
1. Si E > Φ, el electrón sale libre con una energía cinética E c = E - Φ. Einstein
supuso que los electrones pueden absorber energía de forma discontinua siempre
una cantidad hf.
2. Si la frecuencia es tal que hf > Φ se tiene que E c = hf - Φ.
3. Si hf < Φ, entonces E c < 0 lo cual quiere decir que no se emite fotoelectrón.
Todos los electrones no se encuentran en la misma posición, de manera que el potencial de arranque es diferente para distintos electrones de un mismo metal. Llamaremos
Φ0 al potencial de arranque mínimo12 , así, los electrones que adquieran energía
cinética máxima serán los que se encuentren menos ligados siendo tal energía igual a
E c,mx = hf - Φ0 . De esta forma, existirá para cada metal una frecuencia mínima para liberar electrones que será la que corresponda a E c,mx = 0, lo que significa que se cumplirá
para cada material, hf 0 - Φ0 = 0, de donde, f 0 = Φ0 / h es la frecuencia umbral.
Todo esto deducido teóricamente pudo comprobarse más tarde.
Figura 5.6
Con este aparato se liberan unos electrones que serán absorbidos por la placa positiva
y se crearía una corriente. Ahora, variemos el signo del potencial
Iluminemos la placa positiva con una radiación de frecuencia f, entonces si ∆V = 0
(siendo ∆V la diferencia de potencial del generador), los electrones llegaría a la placa y
se produciría corriente. Si ∆V es pequeña el campo eléctrico no sería capaz frenar los
12
También se le conoce como función trabajo o trabajo de extracción.
132
CAPÍTULO 5. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA
Figura 5.7
electrones, pero si ponemos una ∆V tal que los electrones sean repelidos por la carga
negativa ya que la energía cinética que poseen no sea mayor que la de repulsión, entonces
la intensidad de corriente es cero y se verifica E pe = E c,mx . Como E pe = e ∆V, entonces
e∆V = hf - Φ0 , de donde:
Φ0
h
(5.25)
∆V = f −
e
e
Si hacemos una representación gráfica de ∆V en función de f, se tiene:
Figura 5.8
Usaremos como unidades de energía el electrón-voltio o energía que adquiere un electrón al ser acelerado por una diferencia de potencial de 1 voltio (1 eV = 1,6.10 −19 J ).
Conclusión
1. Lo que caracteriza a la radiación electromagnética es que se puede considerar
integrada por cuantos de energía, hf, llamados fotones.
5.5. CONCEPTO DE FOTÓN. DUALIDAD ONDA-CORPÚSCULO
133
2. La luz visible corresponde a un intervalo de longitudes de onda (10 −6 - 10 −7 m),
y sus fotones poseen una energía de unos 2 eV en el rojo y unos 3 eV en el violeta.
3. No todos los fotones chocan con los electrones sino que existe una probabilidad para
que choquen; el retraso desde que chocan hasta que se liberan se debe precisamente
a esto último, estadísticamente, existe un intervalo de tiempo medio para que
choquen y es ése precisamente el tiempo de retraso.
4. Si iluminamos con una luz de intensidad conocida y la dividimos entre hf se
obtiene el número de fotones, y si medimos la intensidad de corriente podemos
conocer el número de electrones emitidos por segundo, pudiéndose observar que
dicho número es un cierto tanto por ciento del número de fotones.
5. En definitiva, la luz presenta un aspecto corpuscular estando compuesta de una
serie de partículas o fotones que son contables, que viajan a la velocidad c, y
que tienen masa en reposo nula (según la relatividad especial no existe cuerpo
material que pueda viajar a la velocidad c).
5.5.
Concepto de fotón. Dualidad onda-corpúsculo
A partir de las experiencias anteriores podemos concluir:
1. La dispersión de la radiación electromagnética por un electrón libre se puede considerar como un choque elástico entre el electrón y una partícula de masa en reposo
nula.
2. La radiación electromagnética hace las veces de una partícula de masa en reposo
nula que llamaremos fotón.
3. La energía y el momento lineal del fotón están relacionados de la forma E = hf y
p = h / λ.
El efecto Compton corrobora la hipótesis de que la radiación electromagnética está
compuesta por partículas con las anteriores características. Este hecho introduce una
nueva forma de pensar: la radiación electromagnética posee un carácter ondulatorio caracterizado por fenómenos de difracción, interferencias, etc., y un carácter corpuscular
confirmado por el efecto fotoeléctrico, el efecto Compton, etc., que confirma que la radiación está formada por fotones.
En definitiva, la radiación electromagnética posee una doble naturaleza onda-corpúsculo,
siendo tales aspectos no sólo no contradictorios sino en el fondo complementarios.
5.5.1.
Dualidad onda-corpúsculo
El proceso seguido hasta ahora ha consistido en asociar a un campo electromagnético, es decir, a una radiación electromagnética, una partícula especial llamada fotón que
134
CAPÍTULO 5. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA
se caracteriza por una energía E = hf y por un momento p = h / λ.
En 1924, el físico De Broglie propuso el proceso inverso, es decir, que a toda partícula definida por una energía E y un momento p se le asocie un campo ondulatorio que
llamaremos campo de materia caracterizado por una longitud de onda λ= h / p y
una frecuencia f = E / h.
Introduciendo el número de onda k = (2 π) / λ y la frecuencia angular ω = 2πf,
pueden escribirse las relaciones anteriores de la siguiente forma:
p=
h
h
k ⇒ p = ~k y E =
ω ⇒ E = ~ω
2π
2π
(5.26)
siendo ~ = h/(2π) = 1, 0544 · 10−34 J · s.
Se suele definir el vector ~k como un vector cuyo módulo es k = (2 π) / λ y cuya
dirección y sentido es el del momento lineal por lo que una de las anteriores expresiones
adquiere ahora la forma p~ = ~~k.
Si estas suposiciones son correctas es lógico esperar en el campo asociado al movimiento de una partícula características ondulatorias como la interferencia y la difracción.
Efectivamente, esta previsión es confirmada con el fenómeno de difracción de electrones
a través de un cristal.
5.6.
Principio de indeterminación
De acuerdo con la hipótesis de De Broglie un cuerpo en movimiento debe tenerse
en cuenta como un paquete de ondas. En ese sentido, y suponiendo que su movimiento
tenga lugar a lo largo del eje X, el principio de indeterminación o incertidumbre 13
establece lo siguiente:
“Es imposible conocer simultáneamente y con exactitud la posición y el momento
lineal de una partícula”.
En forma matemática se escribe:
∆x · ∆p ≥ h
(5.27)
Para ilustrar este principio, consideremos la siguiente situación experimental. Supongamos que queremos determinar la coordenada x de una partícula observando si la misma
pasa o no por un agujero de ancho b en un pantalla. La precisión con que conoceremos
la posición de la partícula estará limitada por el tamaño del agujero: ∆x ≈ b. Pero
el agujero perturba la onda asociada ya que tiene lugar un fenómeno de difracción. La
13
Fue establecido por Heisenberg.
5.7. TIPOS DE RADIACIONES NUCLEARES
135
Figura 5.9
indeterminación en el momento lineal de la partícula está determinada por el ángulo correspondiente al máximo central de difracción. De acuerdo con la teoría de la difración,
este ángulo viene dado por sin θ = λ/b, por lo que según la Hipótesis de De Broglie
p = h/λ, entonces:
∆p ≈ p · sin θ = (h/λ)(λ/b) = h/b
(5.28)
es la indeterminación en el momento lineal paralelo al eje X. Por tanto,
∆x · ∆p ≈ h
(5.29)
que está de acuerdo con la relación de indeterminación antes aludida. por otra parte,
para reducir la indeterminación en el momento se requiere una rendija más ancha, pero
entonces aumentará la indeterminación en la coordenada x de la partícula.
El principio de indeterminación nos obligará a prescindir del concepto clásico de
trayectoria, en particular, en el estudio de la estructura atómica deberemos abandonar
la idea de órbita electrónica, debiendo ésta ser sustituida por la de orbital, que supondrá
la región del espacio donde es máxima la probabilidad de encontrar al electrón.
5.7.
Tipos de radiaciones nucleares
En 1896 Becherel descubrió que la pechblenda (mineral de uranio) impresionaba placas fotográficas en ausencia de luz solar. Los esposos Curie descubrieron posteriormente
otros elementos a los que llamaron polonio y radio que radiaban más intensamente que
la pechblenda.
En 1899, Rutherford identificó tres tipos de radiaciones:
136
CAPÍTULO 5. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA
Los rayos α que eran simples partículas con carga eléctrica positiva que resultaron
ser núcleos de Helio.
Las rayos β que fueron identificados por Becherel como rayos catódicos resultando
ser electrones.
En 1900, se descubrió otro tipo de radiación, la radiación γ, que resultó ser radiación electromagnética de más energía que los rayos X.
Con ayuda de la radioactividad natural (rayos α, rayos β y rayos γ), se llevaron
a cabo experimentos para conseguir penetrar en la estructura del átomo llegando a la
conclusión Rutherford (y sus ayudantes Soddy y Geiger) que el átomo consistía en un
núcleo muy pequeño en que se encuentra casi toda la masa concentrada y que contiene
un número Z de protones (llamado número atómico) y electrones con cargas negativas girando alrededor del núcleo. Posteriormente se descubrió que en el núcleo existía
también otra partícula llamada neutrón (Chadwick en 1932), pudiendo existir elementos
con igual número de protones y distinto número de neutrones a los que se llamó isótopos.
La conclusión de todo esto es que la radiactividad es una propiedad intrínseca de
los núcleos atómicos. Proviene de la desintegración de los núcleos en su búsqueda de
situaciones más estables.
5.7.1.
Leyes de Soddy-Fajans
1. Cuando un núcleo X emite una partícula α, se convierte en otro núcleo Y cuyo
número másico es 4 unidades menor y cuyo número atómico es dos unidades menor:
A
ZX
→A−4
Z−2 Y + α
(5.30)
2. Cuando un núcleo X emite una partícula β se convierte en otro núcleo Y cuyo
número másico es el mismo pero cuyo número atómico es una unidad mayor:
A
ZX
→A
Z+1 Y + β
(5.31)
Dado que las partículas β no están en el núcleo, surge la duda de su procedencia.
En 1930, Pauli propuso la explicación de que lo que realmente ocurre es que un
neutrón nuclear se descompone en un protón y un electrón, emitiéndose además
una partícula sin carga y con pequeña masa a la que llamó antineutrino (la introducción de esta partícula era necesaria para que no se violasen las leyes de
conservación):
1
1
0
(5.32)
0 n →1 p +−1 e + ν̄
La existencia de esta última partícula ha sido experimentalmente confirmada después.
5.8. DESINTEGRACIÓN NUCLEAR
137
3. Cuando un núcleo emite radiación γ altera su contenido energético pero no cambia
el número de sus nucleones. Los núcleos al igual que los átomos también tienen
niveles nucleares de energía y se producen tránsitos por absorción o emisión de
fotones de alta energía. Cuando se producen absorción los núcleos puede pasar a
un estado excitado que al pasar al estado fundamental reemite el fotón de alta
energía (radiación γ).
5.8.
Desintegración nuclear
Una muestra de material radiactivo compuesta inicialmente de N0 núcleos evolucionará en el sentido de disminuir el citado número de núcleos radiactivos. Experimentalmente, se sabe que la velocidad de desaparición de los núcleos radiactivos es
proporcional al número de núcleos radiactivos que quedan si desintegrar:
−
dN
= λN
dt
(5.33)
siendo la constante de proporcionalidad λ (llamada constante de desintegración) una
característica del núcleo radiactivo que tiene que ver con la probabilidad por unidad de
tiempo de que un núcleo se desintegre.
Si queremos saber la cantidad de núcleos que permanecen sin desintegrar en cualquier
instante procederemos a integrar la anterior ecuación diferencial:
Z N
Z t
dN
dt
(5.34)
= −λ
N0 N
0
de donde se obtiene
N
= −λ · t
N0
ecuación que en forma exponencial queda
ln
(5.35)
N = N0 · e−λ·t
(5.36)
En definitiva el número de núcleos disminuye de forma exponencial con el tiempo.
Se define periodo de semidesintegración o semivida (t1/2 ) como el tiempo en
que una muestra radiactiva pasa a tener la mitad de sus núcleos radiactivos respecto a
los que tenía inicialmente. Para obtener su expresión sustituimos en ln NN0 = −λ · t, N
por N/2 y t por t1/2 , obteniéndose
ln
N0 /2
= λ · t1/2
N0
(5.37)
por lo que
t1/2 =
ln 2
λ
(5.38)
138
CAPÍTULO 5. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA
Se define vida media (τ ) como el tiempo promedio de vida de los núcleos radiactivos
presentes. Se puede demostrar que su valor es
τ=
1
λ
(5.39)
La actividad de una muestra radiactiva que contiene N núcleos radiactivos es definida como la velocidad de desaparición de núcleos en valor absoluto:
dN −λ·t
(5.40)
dt = λ · N = λ · N0 · e
La unidad de actividad es el Becquerel (Bq) que se define como la actividad de una
sustancia en la que se desintegra un núcleo por segundo. Muy utilizada es también el
curie(Ci) que se define como la actividad de una sustancia en la cual se desintegran
3,7.10 10 núcleos por segundo14 .
5.9.
Partículas elementales
En principio, la idea de partícula elemental parece estar referida a los constituyentes
últimos de la materia. Sobre esto, las cosas han ido cambiando así como las ideas y
puntos de vista sobre cómo abordar todo esto.
Según las ideas actuales se pueden establecer tres tipos de partículas elementales:
1. Leptones (partículas ligeras), sometidas a la interacción débil. Son el e− , µ− , τ − ,νe ,
νµ y ντ , es decir, el electrón, muon y taón con sus correspondientes neutrinos
asociados por procesos como el de la desintegración β: n → e− + p+ + ν¯e .
2. Hadrones sometidas a la interacción nuclear. Pueden ser bariones (partículas pesadas) como el protón, neutrón, etc., o mesones (partículas de masa intermedia).
Los hadrones parecen estar constituidos por partículas más pequeñas llamadas
quarks.
3. Partículas que transportan la interacción:
a) Fotones: Asociados a la interacción electromagnética.
b) Gravitones: Asociados a la interacción gravitatoria.
c) Gluones: Asociados a la interacción cromodinámica (interacción entre los
quarks).
d ) Partículas W (Bosones débiles): Asociados a la interacción débil.
14
Esta tasa de desintegración equivale a la actividad de un gramo de Radio.
5.10. INTERACCIONES FUNDAMENTALES
139
Los quarks son los constituyentes de los hadrones, y están sujetos a la interacción
cromodinámica o interacción fuerte. Existen quarks de distintos tipos, y se pueden clasificar respecto a su sabor: up, down, strange, charmed, bottom, y top; así como respecto
a su color rojo, verde y azul15 .
Así un protón está constituido por 2d y 1u: ddu. Como d tiene una carga 2e/3 y u
-1e/3 la carga del protón es e.
Por otra parte un neutrón es uud, por lo que su carga es 2e/3 + 2(-1e/3) = 0.
La interacción nuclear (la que mantiene unidos a protones y neutrones dentro de
un núcleo) debe entenderse de forma similar a la interacción de Van der Waals entre
moléculas (consecuencia de interacciones electromagnéticas entre dipolos transitorios
y/o permanentes), pero referida en este caso a la interacción cromodinámica entre los
quarks que constituyen los citados nucleones. Por esta razón es también de corto alcance.
5.10.
Interacciones fundamentales
En la actualidad, las interacciones entre las partículas se reduce a cuatro interacciones fundamentales: la interacción gravitatoria, la interacción electromagnética, la interacción débil y la interacción fuerte.
La interacción gravitatoria se da entre todas las partículas y está descrita por la
ley de la gravitación universal de Newton. Con ella explicamos la caída de los cuerpos
a la superficie terrestre o el movimiento de los astros. Es la interacción menos intensa aunque su alcance es incluso a muy grandes distancias. El parámetro de partícula
asociado a esta interacción es la masa gravitatoria también llamada masa pesante.
Desde el puntos de vista cuántico la partícula que transporta la interacción gravitatoria
es el gravitón.
La interacción electromagnética se da entre las partículas cargadas eléctricamente. Su alcance es muy grande aunque menor que el alcance de la interacción gravitatoria. Viene descrita por las ecuaciones de Maxwell, que unifican la electricidad, el
magnetismo y la óptica. Además es responsable de la estructura atómica y molecular.
Las fuerzas intermoleculares son interacciones electromagnéticas residuales (de corto
alcance). El parámetro de partícula es la carga eléctrica. Desde el puntos de vista
cuántico la partícula que transporta la interacción electromagnética es el fotón.
La interacción fuerte (conocida también como interacción cromodinámica)
es la interacción entre los quarks (constituyentes de los hadrones, es decir, mesones y
bariones). Es la más intensa de las 4 interacciones. La interacción entre los hadrones
15
Por supuesto sabor y color no deben ser entendidos desde el punto de vista habitual, sino como
denominaciones de parámetros similares a lo que representan masa gravitatoria, carga eléctrica, etc. De
hecho la interacción cromodinámica (de ahí su palabra) es una interacción entre colores.
140
CAPÍTULO 5. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA
(interacción nuclear ) es la interacción cromodinámica residual (al igual que las fuerzas
intermoleculares). Por ello, la interacción nuclear es de muy corto alcance (se anula para
distancias superiores a 10−15 m), pero explica la estabilidad de los núcleos atómicos,
cuyos constituyentes no pueden estar unidos por fuerzas electromagnéticas. El parámetro
de partícula (quark) es el color . Desde el puntos de vista cuántico la partículas que
transportan la interacción cromodinámica son los gluones.
La interacción débil es la que explica procesos como la desintegración β, en la
que un neutrón se transforma en un protón, y en las transformaciones entre leptones,
como la desintegración de taón. Analizada más en detalle la desintegración β en la que
el neutrón cuya composición en quark es udd emite un electrón y un antineutrino y se
convierte en un protón cuya composición es uud, el proceso empieza cuando un quark d
emite un bosón virtual W − virtual y se convierte en un quark u y a continuación el W −
se desintegra en un electrón y un antineutrino. Existen otros procesos en los que están
implicados los bosones W + , W − , y Z o que son las partículas transportadoras de la
interacción débil. La interacción débil es más intensa que la gravitatoria pero menos que
la electromagnética.
Uno de los aspectos que en el desarrollo teórico de la física ha sido un objetivo permanente es todo lo que tiene que ver con las teorías de unificación. De hecho, ese
camino ha sido llevado a cabo en diferentes fases. Por un lado, la teoría de gravitación
de Newton vino a establecer que la interacción por la que la Tierra atrae a los cuerpos es
de la misma naturaleza que las interacciones entre los astros del Universo. Por otro lado,
Maxwell unificó la electricidad, el magnetismo y la óptica. En 1979, Glashow, Salam y
Weinberg recibieron el premio nobel por su teoría de la unificación electrodébil .
La teoría de la gran unificación unifica la fuerza electrodébil con la interacción fuerte
en un única interacción llamada fuerte-electrodébil . No está suficientemente contrastada desde el punto de vista experimental pero parece ser (hay indicios) que a altas energías
se puede dar esta integración.
Se especula con la idea de supergravedad que unificaría todas las interacciones en
un única fuerza. Así, con una única fuerza podríamos explicar todos los fenómenos del
universo.
Apéndice A
Problemas de Gravitación
1. Una partícula de masa 1 kg se la hace girar mediante un hilo con un periodo de 10
s. Determinar el radio de la circunferencia descrita por la masa cuando la tensión
del hilo es de 10 N. Suponer que no actúa la gravedad.
2. El momento angular de una partícula es constante. ¿Qué podemos decir de las
fuerzas que actúan sobre ella?
3. Una piedra de 1 kg de masa está atada en el extremo de una cuerda de 1 m
de longitud. La tensión de ruptura de la cuerda es de 500 N. La piedra gira
describiendo una circunferencia sobre un tablero horizontal sin rozamiento. El
otro extremo de la cuerda se mantiene fijo. Hallar la máxima velocidad que puede
alcanzar la piedra sin que se rompa la cuerda.
Figura A.1
4. Un satélite artificial describe una órbita elíptica alrededor de la Tierra. La distancia
de mayor separación es 4 veces la de menor separación, es decir, AT = 4CT.
Supóngase que la velocidad en C es de 1600 km/hr. ¿Cuál es la velocidad en A?
5. La distancia media Tierra-Sol es 1,5.10 8 km. Calcular la masa del Sol. Datos: G
= 6,67.10 −11 en unidades SI.
6. El periodo orbital de la Luna es de 28 días terrestres y el radio de su órbita, supuesta circular, vale 384000 km. Calcular la masa terrestre. Datos: G = 6,67.10 −11 en
unidades SI.
141
142
APÉNDICE A. PROBLEMAS DE GRAVITACIÓN
7. Un cuerpo tiene una masa m. Si se traslada a la superficie de un planeta con una
masa 10 veces inferior a la de la Tierra pero de igual radio, ¿Cuál será la fuerza
con que es atraído?
8. Júpiter tiene una densidad de media de 1340 kg/m 3 y un radio medio de 71800
km. ¿Cuál es la aceleración debida a la gravedad en la superficie de Júpiter? Datos:
G = 6,67.10 −11 en unidades SI.
9. Un péndulo simple está constituido por una esfera de 10 kg de masa y un hilo de
1 m de longitud. Calcúlese:
a) El trabajo necesario para trasladar el péndulo de la posición vertical a la
horizontal.
b) La velocidad de la esfera en el instante en que la esfera pasa por la posición
más baja si se le abandona cuando el hilo está dispuesto horizontalmente.
c) El periodo si se le deja oscilar con pequeñas oscilaciones.
10. Tenemos cuatro partículas iguales de 2 kg de masa en los vértices de un cuadrado
de 1 m de lado. (Dato: G = 6,67.10 −11 en unidades SI). Determine:
a) El campo gravitatorio en el centro del cuadrado.
b) El módulo de la fuerza gravitatoria que experimenta cada partícula debido a
la presencia de las otras tres.
c) La energía potencial gravitatoria de una partícula debida a las otras tres.
11. Tres partículas de masa 2 kg, 2 kg y 6 kg se hallan en los puntos (0,0), (30,0)
y (0,20), respectivamente. Halla la intensidad del campo gravitatorio en el punto
(20,20). Halla asimismo la energía potencial gravitatoria del sistema. Supóngase
que las coordenadas están expresadas en el S.I. Dato: G = 6,67.10 −11 en unidades
SI).
12. La Luna se encuentra a 3,84.10 8 m de la Tierra. La masa de la Luna es de
7,35.10 22 kg y la de la Tierra de 5,98.10 24 kg. (Dato: G = 6,67.10 −11 en unidades
SI.). Calcula:
a) la energía potencial gravitatoria de la Luna debida a la presencia de la Tierra,
b) a qué distancia de la Tierra se cancelan las fuerzas gravitatorias de la Luna
y la Tierra sobre un objeto allí situado, y
c) el periodo de giro de la Luna alrededor de la Tierra.
13. Calcular el trabajo necesario para elevar un cuerpo de 10 kg de masa, desde la
superficie terrestre hasta una altura de 20.000 Km de su centro. Masa terrestre =
5,98.10 24 Kg. Radio terrestre = 6370 Km.
143
14. Un satélite de masa 100 kg está situado en una órbita geoestacionaria (es decir, en
la que el satélite permanece siempre fijo sobre la vertical de un punto del ecuador).
Calcular el radio de la órbita y la energía total del satélite. Masa terrestre =
5,98.10 24 kg. Datos: G = 6,67.10 −11 en unidades SI.
15. Un satélite gira alrededor de la Tierra en una órbita circular. Tras perder cierta
energía continúa girando en otra órbita circular cuyo radio es la mitad que el
original. ¿Cuál es su nueva energía cinética (relativa a la energía cinética inicial)?
16. Un satélite de 2000 kg de masa gira alrededor de la Tierra en una órbita circular
de 7000 km de radio. (Suponga el radio de la Tierra igual a 6370 km, su masa
5,98.10 24 kg). Calcule los siguientes parámetros del satélite:
a) el módulo de su aceleración,
b) el periodo de giro, y
c) su energía cinética y potencial.
17. Calcular el periodo de revolución y la energía total de un satélite artificial de 100
kg situado en una órbita circular terrestre a 300 km de altura sobre la superficie.
Masa terrestre = 5,98.10 24 Kg. Radio terrestre = 6370 Km.
18. ¿Qué relación hay entre la velocidad de escape desde una distancia r del centro de
la Tierra y la velocidad de un satélite que realiza un movimiento circular de radio
r alrededor de la Tierra?
19. Un satélite de masa m se desplaza en torno de un planeta de masa M en una órbita
circular de radio R. Calcula la velocidad del satélite. Comprueba que la energía
mecánica es numéricamente igual a la mitad de su energía potencial.
20. Un satélite de 1000 kg de masa gira en una órbita geoestacionaria, o sea, de forma
que su vertical pasa por el mismo punto de la superficie terrestre. (Datos: G =
6,67.10 −11 en unidades SI, y Masa terrestre = 5,98.10 24 Kg.). Calcule:
a) Su velocidad angular.
b) Su energía.
c) Si, por los motivos que fuera, perdiera el 10 % de su energía, ¿cuál sería su
nuevo radio de giro?
21. ¿Cuál es la aceleración de la gravedad a una distancia de la superficie terrestre
igual al doble del radio de la Tierra, sabiendo que en la superficie vale 9,8 m/s2 ?
22. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con
una velocidad de 4000 m/s. Calcular la altura máxima que alcanzará. Radio de la
Tierra = 6400 km.
23. Se dispara un cohete verticalmente desde la superficie terrestre alcanzando una
altura máxima igual a 4 veces el radio de la Tierra. ¿Con qué velocidad se disparó?
Radio de la Tierra = 6400 km.
144
APÉNDICE A. PROBLEMAS DE GRAVITACIÓN
24. La masa de la Tierra es 81 veces la de la Luna. Encuentra dos puntos en la línea
que une a la Tierra con la Luna, en donde la atracción de la Tierra sobre un objeto
cualquiera es igual a la de la Luna. Radio terrestre = 6370 Km.
25. En la superficie de un planeta de 1000 km de radio la aceleración de la gravedad
es de 2 m/s 2 , Calcule:
a) la energía potencial gravitatoria de un objeto de 50 kg de masa situado en la
superficie del planeta,
b) la velocidad de escape desde la superficie del planeta, y
c) la masa del planeta, sabiendo que G = 6,67.10 −11 en unidades SI.
26. La Luna posee una masa de 7,35.10 22 kg y un radio de 1,74.10 6 m. Un satélite
de 5000 kg gira a su alrededor a lo largo de una circunferencia con un radio igual
a 5 veces el radio de la Luna. (Datos: G = 6,67.10 −11 en unidades SI.). Calcula:
a) el período de giro del satélite,
b) la energía total del satélite, y
c) la velocidad de escape de la Luna.
27. Un satélite se lanza en una dirección paralela a la superficie de la Tierra con
una velocidad de 36000 km/hr desde una altura de 500 km. Determina la altura
máxima alcanzada por el satélite. (Dato: Radio de la Tierra = 6370 km).
28. Sabiendo que la masa aproximada de la Luna es 6, 7 · 1022 kg y su radio 16 ·
105 metros. Calcular:
a) La distancia que recorrerá en un segundo un cuerpo que se deja caer con una
velocidad inicial nula en un punto próximo a la superficie de la Luna.
b) El período de oscilación, en la superficie lunar, de un péndulo cuyo período
en la Tierra es de 1s.
(Dato: G =6,67.10 −11 en unidades SI.).
29. ¿Donde tendrá más masa una pelota de tenis, en la Tierra o en la Luna? ¿Donde
pesará más?
30. Suponiendo que la Luna gira alrededor de la Tierra con un período de 27 días, a
una distancia de 3, 8 · 1028 m, calcular:
a) la masa de la Tierra;
b) ¿Cuánta energía se necesita para separar, una distancia infinita, la Luna de
la Tierra, si la masa de la Luna es M L = 7, 34 · 1022 kg?
Dato: Radio Tierra = 6.400 km.
145
31. Un satélite de 2000 kg de masa gira alrededor de la Tierra con una órbita circular
de radio 6, 6 · 106 m. El radio medio de la Tierra es 6, 4 · 106 m.
a) Determinar el período del satélite.
b) ¿Cuál es la energía total mínima que debe aplicarse al satélite para llevarlo
a una distancia "infinita" de la Tierra?
32. Cuando se envía un satélite a la Luna se le sitúa en una órbita que corta la recta
que une los centros de la Tierra y Luna por el punto en que las dos fuerzas que
sufre el satélite por la atracción de ambos astros son iguales. Cuando el satélite se
encuentra en este punto, calcular:
a) La distancia a la que está del centro de Tierra y
b) la relación entre las energías potenciales del satélite, debidas a la Tierra y a
la Luna.
Datos: La masa de la Tierra es 81 veces la de la Luna y la distancia del centro de
la Tierra al de la Luna es de 384 · 106 m.
33. La Luna tiene una masa aproximada de 6, 7 · 1022 kg y su radio es de 16 · 105 m.
Hallar:
a) La distancia que recorrerá en 5 segundos un cuerpo que cae libremente en la
proximidad de su superficie.
b) El período de oscilación en la superficie lunar de un péndulo cuyo período en
la Tierra es de 2 segundos.
(Dato: G =6,67.10 −11 en unidades SI.).
34. Un satélite de telecomunicaciones de 1000 kg describe órbitas circulares alrededor
de la Tierra con un periodo de 90 min. Calcular
a) la altura a que se encuentra sobre la tierra
b) su energía total
Dato: Radio Tierra = 6.400 km.
35. Los NOAA son una familia de satélites meteorológicos norteamericanos que orbitan
la tierra pasando por los polos, con un periodo aproximado de 5 horas. Calcular :
a) la altura a la que orbitan sobre la superficie de la Tierra
b) la velocidad con que lo hacen.
Dato: Radio Tierra = 6.400 km.
36. Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura
de 3.815 km. Calcular:
146
APÉNDICE A. PROBLEMAS DE GRAVITACIÓN
a) la velocidad de traslación del satélite,
b) su periodo de revolución.
Dato: Radio Tierra = 6.400 km.
37. La nave espacial Cassini-Huygens se encuentra orbitando alrededor de Saturno en
una misión para estudiar este planeta y su entorno. La misión llegó a Saturno en
el verano de 2004 y concluirá en 2008 después de que la nave complete un total
de 74 órbitas de formas diferentes. La masa de Saturno es de 5684, 6 · 1023 kg y la
masa de la nave es de 6000 kg. (Dato: G =6,67.10 −11 en unidades SI.)
a) Si la nave se encuentra en una órbita elíptica cuyo periastro (punto de la
órbita más cercano al astro) está a 498970 km de Saturno y cuyo apoastro
(punto más alejado) está a 9081700 km, calcule la velocidad orbital de la
nave cuando pasa por el apoastro. (Utilice el principio de conservación de la
energía y la 2a ley de Kepler.)
b) Calcule la energía que hay que proporcionar a la nave para que salte de una
órbita circular de 4,5 millones de km de radio a otra órbita circular de 5
millones de km de radio.
c) Cuando la nave pasa a 1270 km de la superficie de Titán (la luna más grande
de Saturno, con un radio de 2575 km y 1345 · 1020 kg de masa), se libera de
ella la sonda Huygens. Calcule la aceleración a que se ve sometida la sonda
en el punto en que se desprende de la nave y empieza a caer hacia Titán.
(Considere sólo la influencia gravitatoria de Titán.)
Apéndice B
Problemas de Vibraciones y Ondas
1. Una partícula de 2 kg de masa está sujeta al extremo de un muelle y se mueve de
acuerdo con la ecuación x(t) = 2 cos(10t) expresada en unidades S.I. Calcula las
siguientes magnitudes:
a) El período del movimiento,
b) la constante de fuerza (cociente entre la fuerza y el desplazamiento) de la
fuerza que actúa sobre la partícula, y
c) la energía total de la partícula.
2. Un cuerpo de 1 g de masa oscila con un periodo de π s y amplitud 4 cm. La
fase inicial es de π / 4 rad. Determinar las energías cinética y potencial cuando la
elongación sea 1 cm.
3. Si la aceleración en un movimiento es ax = −(1/4)x, cuánto vale su periodo.
4. La ecuación de un oscilador armónico es x = 6 sin πt expresado en unidades S.I.
Calcular el periodo, la frecuencia y la amplitud. ¿Qué velocidad llevará el oscilador
en el instante t = 0,25 s. Si su masa es 0,25 kg, ¿cuál será entonces su energía
cinética? ¿En qué instante alcanzará la separación máxima por primera vez?
5. Un partícula material de 10 g de masa describe un m.a.s. de amplitud 5 cm y en
cada segundo realiza media vibración. Escribe la ecuación del movimiento. Calcula
los valores de la elongación para los cuales la velocidad es máxima. Calcula los
valores de la elongación para los cuales la aceleración es nula. Escribe la expresión
de la fuerza.
6. En un lugar de la Tierra, un péndulo de 1 m de longitud tiene un periodo de 2 s,
¿cuánto vale la gravedad en dicho lugar?
7. La energía de un oscilador de 20 g es de 0,6 J y su velocidad es de 2 m/s cuando su
elongación es de 1 m. ¿Cuáles son la amplitud y la frecuencia de su movimiento?
8. Una onda se propaga por una cuerda de acuerdo con la ecuación y(x, t) = 0, 2 sin(100t−
4x) en unidades S.I. Determina:
147
148
APÉNDICE B. PROBLEMAS DE VIBRACIONES Y ONDAS
a) El periodo y la longitud de onda
b) La velocidad de propagación de la onda en la cuerda.
c) La velocidad del punto x = 2 m en el instante t = 10 s.
9. Indica cuáles de los siguientes tipos de ondas son transversales y cuáles son longitudinales: ondas en una cuerda, sonido, luz, rayos X.
10. ¿Cuáles de las siguientes ondas pueden propagarse en el vacío: luz, rayos X, ultrasonidos, microondas?
11. ¿Con qué longitud de onda emite una emisora que utiliza una frecuencia de 92
MHz?
12. La función de onda correspondiente a una onda armónica en una cuerda es y(x, t) =
0, 001 sin(314t + 62, 8x), escrita en el S.I. de unidades. ¿En qué sentido se mueve la
onda? ¿Cuál es su velocidad? ¿Cuál es su longitud de onda, frecuencia y periodo?
¿Cuál es el desplazamiento máximo de un segmento cualquiera de la cuerda?
13. Un punto está sometido a un movimiento de vibración y = 5 sen 2π (2t - 10−3 x).
El tiempo se mide en segundos y la longitud de onda en metros. Determina:
a) Amplitud.
b) Frecuencia.
c) Longitud de onda.
d ) Velocidad de propagación.
14. En una cuerda se propaga una onda periódica transversal cuya ecuación en unidades
en S.I. es y = 0,4 sen 2π(50t - 0,2x).
a) ¿Cuánto valen el periodo de la vibración que se propaga, la longitud de onda
y la velocidad de propagación?
b) ¿Cuál será la elongación del punto x = 2,5 m en el instante en que la elongación del foco toma su valor máximo positivo?
15. Se forman ondas estacionarias en una cuerda de 3 m de longitud. Ambos extremos
de la cuerda están fijos. ¿Cuáles son las tres longitudes de onda más largas? Localice los nodos de cada una de las ondas del apartado anterior.
16. Una onda en una cuerda viene dada por la ecuación y(x, t) = 0, 2 sin(πx) cos(100πt)m
en donde x está comprendido entre 0 y 6 m. Calcula:
a) La longitud de onda y la frecuencia angular de la onda.
b) El número total de nodos (incluidos los extremos).
c) La velocidad de propagación de las ondas en la cuerda.
149
17. Una onda de 30 Hz se desplaza por una cuerda situada a lo largo del eje X. La
onda oscila en la dirección Z con una amplitud de 20 cm. La velocidad de las ondas
en la cuerda es de 120 m/s, y la densidad lineal de ésta es de 60 g/m. Encuentra:
a) La longitud de onda.
b) La ecuación de la onda (es decir, el valor del desplazamiento en función de la
posición y del tiempo).
c) La energía por unidad de longitud.
18. Una fuente sonora de 100 W de potencia emite ondas esféricas.
a) ¿Qué energía habrá emitido en una hora?
b) ¿Cuál es la intensidad sonora a 2 m de la fuente?
c) ¿Cuál es el nivel de intensidad (en decibelios) a 2 m de la fuente?
19. Una fuente sonora emite a 200 Hz en el aire. El sonido se transmite luego a un
líquido con una velocidad de propagación de 1500 m/s. Calcula:
a) la longitud de onda del sonido en el aire.
b) El periodo del sonido en el aire.
c) La longitud de onda del sonido en el líquido.
20. Una onda reduce su intensidad a la mitad después de recorrer 4 m en el medio,
¿cuál es el coeficiente de absorción del medio? ¿Cuánto se reduciría la intensidad
después de recorrer 10 m?
21. El valor de la intensidad de una onda sonora es 3.10 −8 W.m −2 . Después de atravesar una pared de 20 cm de espesor, la intensidad se reduce a 2.10 −9 W.m −2 .
a) ¿Cuál es el coeficiente de absorción de la pared para ese sonido?
b) ¿Qué espesor de pared se necesitaría para reducir el valor de la intensidad de
la onda sonora a la mitad?
150
APÉNDICE B. PROBLEMAS DE VIBRACIONES Y ONDAS
Apéndice C
Problemas de Óptica
1. El índice de refración absoluto del diamante es 2,5 y el de un vidrio 1,5. Calcula:
el índice de refracción del diamante respecto del vidrio, así como el ángulo límite
entre el diamante y el vidrio.
2. Cuando el ángulo de incidencia de un rayo sobre un material es de 30◦ , el ángulo que
forman los rayos reflejados y refractado es de 135◦ . Calcular el índice de refracción
de dicho medio.
3. Ante un espejo cóncavo de 40 cm de radio y a un metro de distancia se coloca un
objeto de 8 cm de altura. Calcular la situación y tamaño de la imagen.
4. El radio de curvatura de un espejo esférico cóncavo es 1,2 m. Se sitúa un objeto
de 1,2 m de altura por delante de él y a 90 cm de distancia. ¿Dónde se forma la
imagen? ¿Cuál es su tamaño?
5. Resuelve el problema anterior suponiendo que el espejo es convexo.
6. Se tiene una lente bicóncava con radios de curvatura de 20 y 40 cm. Su índice de
refracción es de 1,8. Un objeto de 3 mm se coloca a 50 cm de la lente. Calcula:
a) La potencia óptica de la lente.
b) Dónde se forma la imagen.
c) El tamaño de la imagen.
7. Tenemos una lente biconvexa cuyas caras poseen unos radios de curvatura de 20
cm. El índice de refracción de la lente es de 1,7. Determina:
a) La potencia óptica de la lente.
b) Sus distancias focales.
c) Dónde se produciría la imagen de un objeto situado a 10 cm de la lente.
8. Una lente biconvexa de 4 dioptrías está hecha de un plástico con un índice de
refracción de 1,7. Calcula:
151
152
APÉNDICE C. PROBLEMAS DE ÓPTICA
a) Los radios de curvatura de la lente sabiendo que es simétrica.
b) Distancia a la que focaliza un objeto de 2 mm de tamaño situado a un metro
de la lente.
c) Tamaño de la imagen producida por el objeto anterior.
9. Un objeto se coloca a una distancia de 1 m de una lente convergente cuyas distancias focales son de 0,5 m.
a) Calcula la potencia óptica de la lente.
b) Dibuja el diagrama de rayos.
c) Determine si la imagen es virtual o real, y derecha o invertida.
10. ¿Cuándo produce una lente convergente una imagen real y cuándo la produce
virtual?
11. Se tiene una lente convergente de 4 dioptrías. ¿A qué distancia de ella hay que
colocar un objeto para obtener una imagen virtual de él de tamaño doble?
Apéndice D
Problemas de Electromagnetismo
1. Dos esferas iguales cuelgan de dos hilos de 0,1 m de longitud sujetas al mismo
punto del techo. Su masa es de 0,5 g y reciben cargas iguales. Hallar el valor de
las cargas si el ángulo de separación de los hilos es 60◦ . (Dato: 1/(4π0 ) = 9 · 109
en unidades S.I.)
2. Calcular las componentes cartesianas de la fuerza que actúa sobre una carga de
1 µC colocada en el punto (0,4), debida a la siguiente distribución de cargas puntuales: en (0,0) hay una carga de -3 µC, en (4,0) una carga de 4 µC y en (1,1)
una carga de 2 µC. Las distancias se miden en metros. (Dato: 1/(4π0 ) = 9 · 109
en unidades S.I.)
3. Un electrón de masa m y carga e se proyecta con velocidad horizontal v en el
interior de un campo eléctrico dirigido hacia abajo de intensidad E. Hallar las
componentes vertical y horizontal de su aceleración.
4. Dos cargas de 5 µC y 3 µC están separadas 45 cm. Determínese la ecuación del
lugar geométrico de los puntos del plano que las contiene, en los que el valor de la
intensidad del campo eléctrico es nulo.
Figura D.1
153
154
APÉNDICE D. PROBLEMAS DE ELECTROMAGNETISMO
5. Hallar el campo y el potencial eléctricos en el vértice M del triángulo equilátero
determinado por las dos cargas eléctricas de la figura adjunta, así como el trabajo
que se efectúa al trasladar una carga de -10pC desde M hasta N (punto medio
del lado donde se hallan las dos cargas indicadas). (Dato: 1/(4π0 ) = 9 · 109 en
unidades S.I.)
6. El potencial eléctrico creado por una carga puntual q en un punto P, situado a
una distancia L vale 1800 V. En ese mismo punto, el valor de la intensidad de
campo E vale 1000 N/C. calcular el valor de q y L. (Dato: 1/(4π0 ) = 9 · 109 en
unidades S.I.)
7. En tres vértices de un cuadrado de 1 m de lado existen cargas de 10 µC cada una.
(Dato: 1/(4π0 ) = 9 · 109 en unidades S.I.). Calcular:
a) la intensidad del campo eléctrico en el cuarto vértice.
b) el trabajo necesario para llevar una carga negativa de 5 µC desde el cuarto
vértice al centro del cuadrado.
8. Una carga de 2.10 −5 C se encuentra en el origen y otra de - 4.10 −5 C en el punto
0,2 î m. (Dato: 1/(4π0 ) = 9 · 109 en unidades S.I.). Calcula:
a) el módulo de la fuerza eléctrica entre ambas cargas,
b) el campo eléctrico en el punto medio entre ambas, y
c) el potencial eléctrico en el punto medio entre ambas.
9. Se tienen dos iones con carga 2 |e| y − |e| y separados una distancia de 3 Å. (Datos:
1/(4π0 ) = 9 · 109 en unidades S.I., y |e| = 1, 6 · 10−19 C. Calcula:
a) Distancia del ion positivo a la que se anula el campo eléctrico total,
b) Distancia del ion positivo a la que se anula el potencial eléctrico total a lo
largo del tramo recto comprendido entre los dos iones, y
c) Energía potencial eléctrica de los dos iones.
10. Tres cargas iguales de - 10 −6 C cada una se encuentran situadas en los vértices
de un triángulo equilátero de 0,5 m de lado. (Dato: 1/(4π0 ) = 9 · 109 en unidades
S.I.). Calcula:
a) el campo eléctrico en el centro del triángulo,
b) el potencial eléctrico en dicho centro, y,
c) la energía potencial eléctrica de una carga debida a las otras dos cargas.
11. Tenemos dos placas metálicas cargadas y separadas 10 cm. El campo eléctrico en
la zona comprendida entre ambas placas es uniforme y de módulo igual a 200 N/C.
Una partícula de 0,01 kg de masa y 10−4 C de carga se suelta, con velocidad inicial
nula, en la placa positiva. Determina:
155
a) el módulo de la aceleración que experimenta la partícula,
b) la diferencia de potencial eléctrico entre las placas, y
c) la energía cinética de la partícula cuando llega a la placa negativa.
12. ¿Puede existir diferencia de potencial entre los puntos de una región en que es
nula la intensidad del campo eléctrico? Razónalo.
13. Analiza la validez o no de la siguiente afirmación: “si el potencial es cero en un
punto, el campo eléctrico debe también ser cero en el mismo punto”.
14. En cierta región del espacio la intensidad del campo eléctrico es constante y vale
10 4 V/m. Calcula la diferencia de potencial entre los puntos A y B. Calcula
también la velocidad con que pasa por B un cuerpo de 10 −4 kg que tiene una
carga negativa 1 µC, que al pasar por A lleva una velocidad de 10 m/s y se dirige
hacia B.
Figura D.2
15. Dos cargas eléctricas +q y -q se encuentran situadas en los puntos A y B, separadas
una distancia a. Calcular y dibujar el campo eléctrico creado por dichas cargas en
los puntos P y Q. Datos: |q|= 3 µC ; a = 0,6 m, 1/(4π0 ) = 9 · 109 en unidades SI.
16. El péndulo ideal de la figura tiene masa m y está cargado negativamente (-q).
La lámina L produce un campo eléctrico uniforme, constante y horizontal E =
200 V/m que atrae hacia ella la masa del péndulo. Se conoce que la posición de
equilibrio es la de la figura. Calcule la relación entre la carga y la masa de la lenteja
del péndulo.
17. Dos cargas positivas e iguales de 2.10 −6 C están situadas en reposo, a 4 cm de
distancia. Desde una distancia muy grande (desde el infinito del campo creado
por esas cargas), y a lo largo de la recta OP, se lanza una tercera carga igual de
2 gramos, con una velocidad suficiente para que quede en reposo en el punto P
situado en medio de las otras dos. ¿Cuánto vale esa velocidad? (Dato: 1/(4π0 ) =
9 · 109 en unidades S.I.)
156
APÉNDICE D. PROBLEMAS DE ELECTROMAGNETISMO
Figura D.3
Figura D.4
18. Una esfera conductora de 0,2 m de radio posee una carga total de 0,01 C (Dato:
1/(4π0 ) = 9 · 109 en unidades S.I.) Obtén:
a) el campo eléctrico en un punto de la superficie,
b) el campo eléctrico en un punto del interior y,
c) el potencial eléctrico en el interior de la esfera.
19. Una esfera conductora de radio R = 20 cm. tiene una carga Q = +10 6 C. Un
electrón se encuentra en reposo a una distancia del centro de la esfera, r = 1 m.
Calcular su velocidad al chocar contra la superficie de la esfera. Carga del electrón
= 1,6.10 −19 C. Masa del electrón = 9,1.10 −31 kg. (Dato: 1/(4π0 ) = 9 · 109 en
unidades S.I.).
20. Una esfera conductora de 10 cm de radio está conectada a dos hilos conductores.
Por el primero la esfera recibe una corriente de 1,0000020 A y por el segundo sale
157
Figura D.5
una corriente de 1,0000000 A. ¿Cuánto tiempo tardará la esfera en adquirir un
potencial de 1000 V ? ¿Cuál es el signo de la carga adquirida por la esfera? (Dato:
1/(4π0 ) = 9 · 109 en unidades S.I.)
21. Una gota de agua salada de 2 mm de radio tiene un potencial de 300 V. (Dato:
1/(4π0 ) = 9 · 109 en unidades S.I.)
a) ¿Cuál es la carga de la gota?
b) Si se unen dos de esa gotas para formar una sola, ¿cuál es el potencial de la
gota resultante?
22. ¿Qué distancia debe recorrer un electrón, partiendo del reposo, en un campo eléctrico uniforme cuya intensidad E vale 280 V/cm, para adquirir una energía cinética
de 3,2.10 −18 J ? Carga del electrón = 1,6.10 −19 C.
23. ¿Pueden cortarse dos líneas de fuerza en un campo eléctrico?
24. ¿Pueden cortarse dos superficies equipotenciales?
25. ¿Cuántos electrones deben eliminarse de un conductor esférico inicialmente descargado, de radio 0,2 m para producir un potencial de 200 V en la superficie? En
estas condiciones, ¿cuánto vale la intensidad del campo eléctrico en la superficie?
Carga del electrón = 1,6.10 −19 C. (Dato: 1/(4π0 ) = 9 · 109 en unidades S.I.)
26. Tenemos dos cargas q 1 = 10 −8 C y q 2 = 4.10 −8 C separadas 3 m. (Dato:
1/(4π0 ) = 9 · 109 en unidades S.I.) Calcular:
a) El punto donde el campo eléctrico es nulo.
b) El potencial en ese punto.
c) El trabajo para llevar una carga de 1 µC desde la posición anterior hasta la
mitad de la línea entre las dos cargas.
27. Tenemos dos cargas eléctricas de igual magnitud y de signo opuesto, Q y -Q,
situadas en los puntos aî y -aî, respectivamente. Determine en función de Q y de
a las siguientes magnitudes:
158
APÉNDICE D. PROBLEMAS DE ELECTROMAGNETISMO
a) el campo eléctrico en el origen,
b) el potencial eléctrico en el punto a~j, y
c) la energía mínima necesaria para separar las cargas.
28. Sean dos anillos conductores independientes y próximos. Se observa que cuando
por el primero circula una corriente variable cuya intensidad es I = 3t + 1 (donde
I se mide en amperios y t en segundos), en el segundo se induce una corriente de
0,25 amperios. Si la resistencia de este anillo vale 3 ohmios, calcular el coeficiente
de inducción mútua de ambos circuitos.
29. En una región del espacio coexisten un campo eléctrico y un campo magnético
perpendiculares entre sí y de intensidades E y B, respectivamente. A pesar de
ello, una partícula cargada con carga q, se mueve en línea recta con velocidad
constante v. Calcula su módulo, dirección y sentido.
30. Un chorro de iones de dos isótopos de masa m 1 y m 2 y con carga igual q, entran
con velocidad V en el seno de un campo magnético uniforme, de intensidad B,
perpendicular a V. Calcular la relación de los radios de las órbitas que describen
y la relación entre los respectivos periodos.
31. Dos hilos conductores rectos, infinitos y paralelos, separados una distancia 30 cm,
transportan corrientes opuestas de 1 A y 2 A, respectivamente. Calcular el valor
de la inducción magnética B a mitad de distancia entre ambos. ¿En qué punto del
plano que contiene a ambos hilos es nulo el valor B ? µ0 = 4 π 10 −7 N/A2 .
.
Figura D.6
32. ¿Puede una partícula cargada moverse en línea recta en el interior de un campo
magnético constante? (Suponga que sobre la partícula sólo existe campo magnético).
33. Se tiene dos corrientes eléctricas paralelas y de sentidos contrarios. ¿Se repelen o
se atraen? ¿Por qué?
34. El flujo magnético que atraviesa el circuito de la figura varía según el tiempo según
la ley Φ = 3t2 + 2t donde Φ se mide en mWb (1Wb = 1T.m 2 ) y t en segundos.
Las líneas de campo son perpendiculares al papel y dirigidas hacia dentro. Si la
159
resistencia vale 7 Ω, calcular la intensidad de la corriente en el circuito cuando t
= 2 s, explicando por qué.
Figura D.7
35. Un haz de electrones es acelerado a través de una diferencia de potencial de 30000
V, antes de entrar en un campo magnético perpendicular a la velocidad. Si el valor
de la intensidad de campo es B = 10 −2 T, determinar el radio de la órbita descrita
por los electrones. Carga del electrón: 1,6 ·10 −19 C. Masa del electrón: 9,1 ·10 −31
kg.
36. Una espira conductora rectangular, de dimensiones a = 10 cm y b = 20 cm y
de resistencia R = 5 Ω, se coloca perpendicularmente a un campo magnético
de intensidad B = 5 T, según indica la figura. La magnitud de B disminuye
uniformemente, haciéndose nula en 2 segundos. Calcular la intensidad y el sentido
de la corriente inducida en el circuito durante el proceso.
Figura D.8
37. Un hilo conductor recto e infinito transporta una corriente de intensidad I. A una
distancia d, una carga eléctrica q lleva una velocidad v paralela a la corriente.
Calcular, justificando los pasos utilizados, la magnitud, dirección y sentido de la
fuerza magnética que experimenta la carga.
160
APÉNDICE D. PROBLEMAS DE ELECTROMAGNETISMO
38. Dos hilos conductores rectos, paralelos e indefinidos, separados por una distancia 8
cm, transportan corrientes eléctricas en la misma dirección y sentido. La intensidad
de la corriente en uno de ellos vale 80 A. Si la intensidad del campo magnético
creado en un punto situado a igual distancia de ambos hilos y en su mismo plano
vale B = 300 µT (1 µT =10 −6 T), calcular la intensidad de la corriente que circula
por el otro hilo. µ0 = 4 π 10 −7 N/A2 (Sistema Internacional de unidades).
.
39. Una espira cuadrada de lado 10 cm y resistencia óhmica R = 0,1 Ω se sitúa perpendicularmente a un campo magnético uniforme, como se indica en la figura. Si
la inducción magnética varía con el tiempo según la ley B = t 2 - 2t (donde t se
mide en segundos y B en T ), calcular la intensidad y el sentido de la corriente
inducida cuando t=0 y cuando t=2s.
Figura D.9
40. Dos circuitos eléctricos próximos tienen un coeficiente de inducción mútua M =
4 mH. Por uno de ellos circula una corriente variable, cuya intensidad viene dada
por I = 5 sen 100 π t, donde I se mide en amperios y t en segundos. Calcular la
fuerza electromotriz inducida en el segundo circuito. Cuando la intensidad en el
primer circuito es nula, ¿cuánto vale la f.e.m. inducida en el segundo?
41. Por un conductor de 0,5 m de longitud situado en el eje de las Y pasa una corriente
de 1 A en el sentido positivo del eje. Si el conductor está dentro de un campo
~ = (0, 010~i+0, 030~k)T , calcular la fuerza que actúa sobre el conductor.
magnético B
42. Una espira rectangular de 10 cm por 8 cm y resistencia 12 Ω se coloca perpendicular a un campo magnético. ¿Cómo debe cambiar B para producir una corriente
inducida de intensidad 5 mA?
43. Un protón con una velocidad de 5 · 104 m/s entra en una región con un campo
magnético uniforme de 0,05 T perpendicular a la velocidad del protón. (Datos:
m p = 1,67.10 −27 kg y e = 1,6.10 −19 C ). Determina:
a) el módulo de la fuerza magnética que experimenta el protón,
161
b) el radio de curvatura de la trayectoria, y
c) el campo eléctrico que habría que aplicar para que el protón no cambiara su
velocidad.
162
APÉNDICE D. PROBLEMAS DE ELECTROMAGNETISMO
Apéndice E
Problemas de Física Moderna
1. Una onda luminosa posee una longitud de onda de 600 nm. (Datos: h = 6, 63 ·
10−34 J · s, |e| = 1, 6 · 10−19 C). Calcula
a) La frecuencia de la onda.
b) ¿Se produce una corriente fotoeléctrica cuando dicha onda incide sobre un
metal con una función de trabajo de 2,3 eV ?
c) El momento lineal de un fotón de dicha onda.
2. Una muestra radiactiva contenía hace 40 días 10 9 núcleos y en la actualidad posee
10 8 . Calcula:
a) La constante de desintegración.
b) La vida media.
c) La actividad de la muestra dentro de una semana.
3. Una muestra contiene un total de 10 20 núcleos radiactivos con un período de
semidesintegración de 27 días. Determina:
a) La constante de desintegración.
b) El número de núcleos radiactivos dentro de un año.
c) La actividad de la muestra dentro de un año.
4. El período de semidesintegración de un núcleo radiactivo es de 100 s. Una muestra
que inicialmente contenía 10 9 núcleos posee en la actualidad 10 7 núcleos. Calcula:
a) La antigüedad de la muestra.
b) La vida media.
c) La actividad de la muestra dentro de 1000 s.
5. Luz de 600 nm de longitud de onda incide sobre un metal con un trabajo de
extracción de 1,8 eV. (Datos: h = 6, 63 · 10−34 J · s, |e| = 1, 6 · 10−19 C). Encuentra:
163
164
APÉNDICE E. PROBLEMAS DE FÍSICA MODERNA
a) La frecuencia de la luz utilizada.
b) La energía de cada fotón.
c) La energía máxima de los electrones arrancados del metal por el efecto fotoeléctrico.
6. Calcular la energía de enlace nuclear y la energía por nucléon del berilio 94 Be,
sabiendo que su masa atómica es 9,01219 u. Datos: masa del protón = 1,00728 u;
masa del neutrón = 1,00867 u.
7. Calcula en MeV la energía de enlace nuclear del uranio 238
92 U , sabiendo que la masa
de dicho isótopo es 238,0508 u. Datos: masa del protón = 1,00728 u; masa del
neutrón = 1,00867 u, |e| = 1, 6 · 10−19 C).
8. El neutrino es una partícula cuya masa en reposo es nula. ¿Cuál sería su rapidez
medida por un observador? ¿Depende dicha medida de la rapidez del observador?
9. Una emisora de radio emite con una frecuencia de 1,2 MHz y una potencia de 2
kW. Calcula el número de cuantos de energía que emite en un segundo. (Dato:
h = 6, 63 · 10−34 J · s)
10. Calcula la energía máxima y mínima de los fotones de luz visible, que abarca desde
380 nm hasta 780 nm de longitud de onda. h = 6,63.10 −34 J.s.
11. La superficie de un metal que se encuentra a alta temperatura emite radiación cuyo
máximo corresponde a una frecuencia de 5.1014 Hz. Calcula su longitud de onda e
indica si dicho máximo corresponde o no a radiación visible. Si la potencia emitida
por una determinada superficie del metal es 0,05 W, ¿cuántos fotones emite en un
minuto? (Datos: h = 6, 63 · 10−34 J · s así como los del problema anterior.)
12. La máxima longitud de onda con la que se produce el efecto fotoeléctrico en un
material fotosensible es 710 nm. (Datos: h = 6, 63 · 10−34 J · s, |e| = 1, 6 · 10−19 C).
Calcula:
a) El trabajo de extracción.
b) La energía cinética máxima de los electrones emitidos si se disminuye la longitud de onda a 500 nm.
c) El potencial de frenado necesario para detener los electrones extraídos en el
apartado (b).
13. Para anular la corriente producida al iluminar una lámina de magnesio con luz
de 1,2.1015 Hz, es necesario aplicar una tensión de 1,32 V. ¿Cuál es la frecuencia
umbral del metal? (Datos: h = 6, 63 · 10−34 J · s, |e| = 1, 6 · 10−19 C).
14. Halla la longitud de onda asociada a un electrón que se mueve con 1/25 veces la
velocidad de la luz. Datos: Masa del electrón: 9,1 ·10 −31 kg.(Si te hacen falta más
datos cógelos de problemas anteriores).
165
7
15. Sabiendo que el defecto de masa del 238
92 U es 1,936395 u y el del 3 Li es 0,042241 u,
indica razonadamente cuál de ellos es más estable.
16. Cuando un núcleo de radio emite una partícula alfa se convierte en un núcleo
de radón. Escribe la reacción nuclear corespondiente. Calcula la energía cinética
de la partícula alfa. Comprueba que no pueden emitirse cuatro nucleones en su
lugar. Datos: masa del 226
88 Ra = 226,0254 u, masa del radón = 222,0175 u, masa
de la partícula alfa = 4,0026 u. (Si te hacen falta más datos cógelos de problemas
anteriores).
17. Sabiendo que las masas atómicas de los átomos 31 H y 32 He son 3,01697 u y 3,01798
u, indica cuál de los dos es más estable, justificando la respuesta. Datos: masa del
protón = 1,00728 u; masa del neutrón = 1,00867 u.
18. Determina el defecto de masa nuclear del 16
8 O cuya masa nuclear es 15,99492 u.
Calcula también la energía de enlace, la energía de enlace por nucleón., expresada
en J y en MeV. Datos: masa del protón = 1,00728 u; masa del neutrón = 1,00867
u, |e| = 1, 6 · 10−19 C.
19. Justifique que según la ley de desintegración radiactiva el siguiente enunciado no
puede ser correcto: “Una muestra contenía hace un día el doble de núcleos que en
el instante actual y hace 2 días el triple que en el instante actual.”
20. Al iluminar un cierto metal cuya función de trabajo es 4,5 eV con una fuente de
10 W de potencia que emite luz de 1015 Hz, no se produce el efecto fotoeléctrico.
Conteste y razone si se producirá el efecto si se duplica la potencia de la fuente.
(Dato: |e| = 1, 6 · 10−19 C).
21. Razona si aumentará o no la energía cinética de los electrones arrancados por
efecto fotoeléctrico si aumentamos la intensidad de la radiación sobre el metal.
22. Calcula la energía cinética de los electrones emitidos cuando un metal cuya función
de trabajo es 2.3 eV se ilumina con luz de 450 nm. (Datos: h = 6, 63 · 10−34 J ·
s, |e| = 1, 6 · 10−19 C.)
23. Una antena de telefonía móvil emite radiación de 900 MHz con una potencia de
1500 W. (Dato: h = 6, 63 · 10−34 J · s). Calcula:
a) La longitud de onda de la radiación emitida.
b) La intensidad de la radiación a una distancia de 50 m de la antena.
c) El número de fotones emitidos por la antena durante un segundo.