Representación gráfica sin corbata - FCEIA

Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura
Universidad Nacional de Rosario
DEPARTAMENTO DE SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN
Cálculo Gráfico
Aplicaciones de la Representación Gráfica a la resolución de
problemas geométricos con Herramientas CAD
Cuadernillo de problemas
Abril 2015
Temas
GEOMETRÍA PLANA
Trazado de curvas. Construcciones geométricas. Tangentes y normales. Derivación e integración
gráfica
GEOMETRÍA DEL ESPACIO
Representación axonométrica ortogonal. Coeficientes de reducción.
Proyección y dibujo axonométrico. Representación isométrica, dimétrica y trimétrica.
Representación axonométrica oblicua. Proyecciones oblicuas caballera y militar.
Posición relativa de dos rectas: concurrentes, paralelas, alabeadas.
Ángulo que forma una recta con un plano.
Rumbo y pendiente de recta.
Puntos y rectas pertenecientes a planos.
Perpendicularidad.
Verdadera magnitud de rectas, figuras y ángulos diedros
Distancia entre rectas alabeadas
Poliedros regulares y semi-regulares.
Prismas y pirámides. Superficies de transición.
Secciones planas.
Operaciones de Intersección, Unión y diferencia.
Desarrollos.
Mediciones: distancias, ángulos, superficies, volúmenes.
Curvas. Cónicas. Otras curvas.
Superficies curvas
Cilindro, cono, esfera, toro, superficies de transición.
Superficies complejas (toroide, conoide, cilindroide, paraboloides, hiperboloides).
Secciones planas.
Operaciones de Intersección, Unión y diferencia. Desarrollos
Mediciones: distancias, ángulos, superficies, volúmenes.
2
GEOMETRÍA PLANA
Trazado de curvas con CAD
Longitudes de curvas
Problema 1:
Stewart, pag 307
Sección 4.5 – RESUMEN TRAZO DE CURVAS
Secc. 4.7 – PROBLEMAS DE OPTIMIZACION
Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry
3
Construcciones geométricas. Tangentes y normales.
Derivación e integración gráfica
Problema 2: Trazado de tangente a la curva
En los problemas que siguen, tomados de CÁLCULO - James Stewart, se pide encontrar
gráficamente la curva que representa la pendiente de la recta tangente a la curva. Comparar
con la curva trazada por medios analíticos.
4
Stewart, pag.207 – Derivación implícita
5
Stewart, pag 213-214
Ilustre dibujando la curva y la recta tangente.
Stewart, pag 214
Problema 3: Tangente común a dos curvas
Problema 4: Tangentes con pendiente predeterminada
Determine los puntos P y Q sobre la parábola = 1 − de modo que el triángulo ABC formado
por el eje x y las rectas tangentes en P y Q sea un triángulo equilátero.
Ref.[1]-pag 269
Problema 5: Longitud de la escalera
¿Cuál es la longitud máxima que puede tener una escalera que podemos guardar en el galpón?
Las figuras muestran un croquis (a mejorar) con las dimensiones y la situación de la entrada al
galpón.
6
7
Stewart, pag. 265
Stewart, pag 267. Notable de facil con desfase
8
Cálculo de áreas
CARACOLES ( Limacon )
En un rayo arbitrario OA desde el punto A cruzándola con un círculo en ambos lados de los
segmentos se establecen Caracol Pascal - un conjunto de puntos M me .
(Tomado de algún libro ruso)
Integración gráfica
9
Geometría del Espacio
2.1 La recta
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
2.1.6
2.1.7
2.1.8
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.4.1
2.4.2
2.4.3
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Rumbo y pendiente de recta.
Puntos y rectas pertenecientes a planos.
Distancia entre dos puntos dados en el espacio
Division de un segmento en el espacio en una razon dada
Cosenos directores de una recta en el espacio
Numeros directores de una recta en el espacio
Angulo formado por dos rectas dirigidas en el espacio
Numeros directores de una recta perpendicular a dos dadas
Ecuación del plano
Posicion relativas de dos planos
Familias de planos
Ecuaciones de la recta
Planos proyectantes de una recta
Posiciones de una recta y un plano
Ángulo que forma una recta con un plano.
Perpendicularidad.
distancia entre rectas alabeadas
Verdadera magnitud de rectas, figuras y ángulos diedros;
POLIEDROS
Poliedros regulares y semi-regulares.
Prismas y pirámides. Superficies de transición.
Secciones planas.
Operaciones de Intersección, Unión y diferencia.
Desarrollos.
Mediciones: distancias, ángulos, superficies, volúmenes.
SUPERFICIES CURVAS
Discusion de la ecuacion de una superficie
Construccion de una superficie
Ecuación de la superficie esférica
Ecuacion de una superficie cilindrica
Ecuacion de una superficie cónica
Problema 6:
Encontrar la ecuación de la superficie formada por las rectas que contienen al punto −2,0,2
y son tangentes a la superficie esférica de ecuación + − 3 + = 1
Ref: [2], problema 2.1
4.6
4.7
4.8
5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Superficies de revolución
Superficies regladas
Cuádricas
CURVAS EN EL ESPAClO
Curvas planas en el espacio
Curva de interseccion de las superficies de dos c~~indros rectos
Cilindros proyectantcs de una curva del espacio
ConstrucciCn de las curvas del espacio
Ecuaciones paramétricas de una curva del espacio
10
5.6
Construcción de volúmenes
Problema 7:
Encontrar el volumen del cono circular recto más grande que se pueda inscribir en una esfera de
radio 3.
Ref: Thomas, Secc 4.5, probl. 12
Problema 8: Diseño de caja con tapa
Una pieza de cartulina mide 250 x 375 mm. Como se muestra en la figura, se quitan dos
cuadrados y dos rectángulos de manera que las cejas puedan doblarse para formar una caja
rectangular con tapa.
Utilizar un método gráfico para encontrar el volumen máximo y el valor ‘x’ que lo consigue.
Ref: Thomas, Secc 4.5, probl. 16
Problema 9:
Ref Thomas, 2.1.1.2. Seccion 6.2, ejemplo 1
11
Superficies complejas (toroide, conoide, cilindroide, paraboloides, hiperboloides).
Secciones planas.
Operaciones de Intersección, Unión y diferencia. Desarrollos
Mediciones: distancias, ángulos, superficies,
Cálculo de volúmenes
Problema 10:
Centro de masa de una placa no uniforme
Determinar el centro de masa de una placa no uniforme (densidad variable).
La placa ocupa la región rectangular del plano XY con x entre 0 y 2 e y entre -1 y 1. La
densidad en cada punto de la placa está dada por f(x,y)=x*y^2.
Pautas de resolución
No existe, hasta donde yo conozco, un método para determinar el centro de masa de una placa
no uniforme.
Sin embargo contamos con los elementos para simular la situación.
Ya que la placa tiene dos dimensiones, aprovechamos la tercera dimensión para representar el
efecto de la densidad variable.
Dividimos la placa en partes tan pequeñas como se quiera e igual superficie. La masa de cada
pequeña región estaría representada por un prisma de altura igual a f(x,y). Tendríamos entonces
un poliedro cuya masa se aproximaría a la de la placa. Si hacemos que los sectores en que se
divide la placa sean cada vez más pequeños, en el límite alcanzaríamos un volumen de tipo
prismático limitado por una superficie que responde a la ecuación f(x,y).
Cada punto de la superficie representa la densidad de la placa. El volumen encerrado es igual a
la masa de la placa.
El centro de masa del volumen nos permite, desechando la tercer coordenada, conocer el centro
de masa de la placa.
Consultando las propiedades físicas del volumen modelado encontramos el siguiente resultado:
Centro de masa: (1.333, 0.000)
Masa: 1.333
Solución en d:\Dropbox\Investigacion\Matematica\centro-de-masa\
12
Problema 11:
Área proyección
Calcular el área de la proyección ortogonal del triángulo de vértices A3,0,0, B0,6,0 y
C(0,0,0) sobre el plano de ecuación ∶ x + y + z = 12
Ref.: Geometría Analítica con Software, Katz R., Sabatinelli P. / capitulo 2
Perpendicularidad entre rectas
x = 3 + 2 × t
y = 2 × t La recta ∶ z = t
Problema 12:
interseca al plano ( ∶ x + 3 × y − z = 4 en un punto P. Encontrar, si existen, las ecuaciones
de la recta 's' que contiene a P, está contenido en π y es perpendicular a 'r'
Problema 13:
Representación de planos
Tres de los vértices de un tetraedro son A(1,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0). El cuarto vértice, D,
pertenece al plano de ecuación x + y + z = 0. Determinar el lugar geométrico de los puntos
descriptos por el vértice D cuando el volumen del tetraedro es igual a 2.
Problema 14:
Superficie cilindrica
Dados los puntos O(0,0,0) y A(1,2,1), hallar el lugar geométrico del tercer vértice para que el
triángulo OAB tenga área igual a 4.
Problema 15:
Representación de superficies
Verifique que para t ≠ 0 las rectas rt de la forma
−2 −
=
= −2
Están contenidas en la superficie de ecuación
4 − + 2 − 2 = 0
Representar gráficamente la superficie
Problema 16:
Ángulo plano
Los puntos A(3,-1,-1), B(1,2,-7) y C(-5,14,3) son los vértices de un triángulo. Halle la ecuación
del ángulo interior con vértice en B.
Problema 17:
Intersección recta-plano
Hallar las coordenadas de un punto P, del plano de ecuación 2 − 3 + 3 − 17 = 0 , tal que la
suma de las distancias a los puntos A(3,-4,7) y B(-5,-14,17) sea mínima.
Ref.: Geometría Analítica con Software, Katz R., Sabatinelli P. / capitulo 2 / 8
Katz 9
Katz 10
13
Problema 18:
Superficie esférica
Encuentre el punto de la esfera de ecuación
+ + + 14 − 16 − 24 + 241 = 0
Más próximo al punto 9, −4, −3. ¿A qué distancia de P se encuentra?
Ref.: Geometría Analítica con Software, Katz R., Sabatinelli P. / capitulo 2 / 11
Problema 19:
Plano y Superficie esférica
Determine analíticamente y gráficamente como está situado el plano de ecuación z=3 respecto
a la esfera de ecuación + + − 6 + 2 − 10 + 22 = 0
Ref.: Geometría Analítica con Software, Katz R., Sabatinelli P. / capitulo 2 / 12
Katz 13
Katz 14
Katz 15
Problema 20:
Distancia de superficie esférica a un plano
Halle en la esfera ecuación (x - 1)*2 + (y + 2)*2 + (z - 3)*2= 1, el punto M más próximo al
plano de ecuación 3x-4z= 0. Calcule dicha distancia y encuentre el punto del plano que realiza
dicha distancia y hallar el volumen de dicha esfera.
Ref.: Geometría Analítica con Software, Katz R., Sabatinelli P. / capitulo 2 / 16
Problema 21:
Katz 18
Katz 19
Katz 17
14
Problema 22:
Problema 23:
Katz 20
Katz 21
Problema 24:
Sección plana de elipsoide
Halle los planos de la forma z=kx, con # ∈ ℝ que cortan el elipsoide ℰ de ecuación
+ 2 + 6 = 6
Ref.: Geometría Analítica con Software, Katz R., Sabatinelli P. / capitulo 2 / 22
Problema 25:
Katz 24
15
Problema 26:
Tetraedro entre rectas alabeadas
Dos rectas alabeadas y perpendiculares sostienen aristas opuestas de un tetraedro regular.
Se pide representar el mencionado poliedro.
Problema 27:
Recta en el espacio
Representar gráficamente y calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto '2,2,2, es
coplanaria con la recta
+1
: − 1 = =
2
4
y es paralela al plano : − + 2 + = 0 .
Problema 28:
Llenado de un cono recto circular
Un cono recto circular se llena con agua a un ritmo de 15
cm3/min. Se pide:
1. Representar gráficamente (y describir analíticamente)
la velocidad de subida del nivel de líquido y
2. Determinar a que velocidad sube el nivel de líquido
cuando la altura alcanzada es h = 20 cm
Pautas
Representar la ecuación de volumen en función de la altura h en el rango que va de 0 a 30 cm
Utilizar eje X para las alturas del cono y el eje Y para los volúmenes. La velocidad de subida del
nivel de líquido será:
)ℎ )ℎ )+
=
×
) )+ )
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Problema 29:
Representación de superficie
Representar gráficamente la superficie de ecuación:
2 + 2 + − 8 − + 8 = 0
Modelado Tridimensional
Problema 30:
Maximizar diámetro
Determinar el diámetro de la esfera más grande que tiene lugar en el poliedro de la figura.
Problema 31:
En la Escalera Caracol
En una torre circular, cuyo diámetro interior es de 2 m hay una escalera de caracol de 6 m de
altura. La altura de cada escalón es de 0,15 m.
En una proyección horizontal los escalones forman sectores circulares contiguos de 18°. Los
extremos más estrechos de los escalones se fijan en una columna circular con un diámetro de
0,64 m, cuyo eje coincide con el eje de la torre. Encuentra la mayor longitud de una barra
rectilínea que podía ser transportado por las escaleras desde el pie de la torre a su parte
superior. Se asume que el espesor de la barra es despreciable.
17
Contenido
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN GRÁFICA............................................................................................................................... 3
GEOMETRÍA DEL ESPACIO .............................................................................................................................................10
MODELADO TRIDIMENSIONAL ........................................................................................................................................17
Referencias ........................................................................................................................................................18
Referencias
[1] STEWART J. “Cálculo de una variable”, Séptima edición, 2012.
[2] KATZ R., SABATINELLI P. "Geometría Analítica con Software". UNR Editora. 2012.
[3] SELZER S. “Elementos de Análisis Matemático”. Editorial Alsina. 1956
[4] VERGER G. “Representación gráfica sin corbata”. COAD Editora, 2014
18
Apéndice 1
Apoyo teórico para la resolución de los problemas de derivación e integración gráfica.
Extraido de SELZER S. “Elementos de Análisis Matemático”. Editorial Alsina. Capítulo V.
19
20
Contenido
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN GRÁFICA............................................................................................................................... 3
Stewart, pag 213-214.......................................................................................................................................... 6
Stewart, pag 214 ................................................................................................................................................ 6
Stewart, pag.207 – Derivación implícita .............................................................................................................. 5
Stewart, pag. 265................................................................................................................................................ 8
GEOMETRÍA DEL ESPACIO .............................................................................................................................................10
MODELADO TRIDIMENSIONAL ........................................................................................................................................17
Referencias ........................................................................................................................................................18
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