Juan Pablo Cárdenas

Juan Pablo Cárdenas
“Bondades” de la Complejidad
Los pocos de mucho y los muchos de poco
La Regla del 80/20!
La distribución de ingresos sigue una ley de potencia … unos pocos
se llevan casi la totalidad de los ingresos y el resto (nosotros)
tocamos sólo un poco. (80% del dinero es ganado sólo por un 20%
de la población).
Vilfredo Pareto!
(1848-1923)!
Gustav von Schmoller
“Bondades” de la Complejidad
80% de las arvejas eran producidas por el 20% de las plantas.
80% del territorio Italiano pertenecía al 20% de la población.
80% de los links en la web llegan a 15% de webpages.
80% de las citas son para el 38% de los científicos.
80% de los links en Hollywood llegan a 30% de los actores.
“Bondades” de la Complejidad
“Bondades” de la Complejidad
El origen del orden!
?
El origen del orden
Charles Darwin
Stuart Kauffman
¿Es la selección natural la única fuente de orden en los sistemas?!
Un artículo fundamental
“Metabolic stability and epigenesis in randomly
constructed genetic nets” !
Kauffman S.A. J. Theor. Biol. 1969 Mar. 22(3): 437-67.
Random Boolean Networks
0 = inactivo
K genes
input
2 posibles valores:
gen
(autómata)
Donde f es una función booleana
de K argumentos booleanos.
Ej. de RBN con K=3 y N=10
1 = activo
PARÁMETROS:
N = nº autómatas ~ genes
K = conectividad
• Autónomo
• Síncrono
• Quenched
RBN
0/1
Función
Función
Booleana
Booleana
On (1)
Off (0)
0/1
0/1
0/1
0/1
Posibles Estados = 2N = 24 = 16
Espacio de Estados = Posibles Estados = Espacio de Fases
2N, Universo matemático en el cual el sistema es libre de explorar
Atractores
Atractor es un conjunto al que
tienden las trayectorias!
Punto fijo
Cuando todas las trayectorias vecinas a un punto
fijo convergen hacia él, se dice que el punto fijo
es un atractor del sistema.!
Logística!
Ciclo límite
En este caso las trayectorias del
sistema convergen en una curva
cerrada y aislada que es el
atractor.!
Logística!
Oscilador de Van der Pol!
Atractor extraño (fractal)
Corresponde al caso de un atractor que exhibe una
dependencia extrema a las condiciones iniciales. Es
decir, que trayectorias que empiecen en uno de estos
atractores se separan de forma exponencial y por tanto
presentan comportamiento caótico. A este tipo de
atractores originalmente se les denominó extraños
porque a menudo presentaban una estructura fractal.
Aparecen en sistemas caóticos cuando, por un lado,
existe un atractor por el cual el sistema se ve atraído,
pero a la vez, hay “fuerzas” que lo alejan de éste. De esa
manera, el sistema permanece confinado en una zona
de su espacio de estados, pero sin tender a un atractor
fijo.!
Lorenz!
Toro invariante
Una trayectoria periódica de un sistema
puede ser gobernada por más de una
frecuencia. Si dos de estas frecuencias
forman una fracción irracional (es decir, si
son inconmensurables), la trayectoria no
se cerrará y el ciclo límite se convertirá en
un toro. !
Cuencas de atracción
Fractales!
Atractores
Dinámica de redes
Cuenca de atracción en RBN
Transición orden-caos
Orden (K=1)
Kc=2
Desorden (K=3)
Transición orden-caos
k<kc
k=kc
Orden
Transición
Caos
Sin posibilidad de cambio
(Cristalizado)
Autoorganización
+
Posibilidad de Cambio
Sin Autoorganización
k>kc
Gran posibilidad de cambio
(no robusto)
Order for free
Order for free
M. Aldana, “Boolean Dynamics of Networks with scale-free topology”. Physica D, 185 (2003): 45-66.
Sobre las reglas
Sesgo en las funciones boleanas!
- p-bias determina la proporción de funciones booleanas que activan o
inactivan a los nodos. !
- Canalizing functions!
- Boolean function is canalizing if, whenever one variable, the canalizing
variable, takes a given value, the canalizing value, the function always
yields the same output.!
Sobre las reglas
Sobre las reglas
Order for free
“Spontaneous order emerging from
N ~ N
deep underlying structure.” !
T
g
Topología de las RBN
Random Boolean Network
Scale-free Boolean Network
M. Aldana, “Boolean Dynamics of Networks with scale-free topology”. Physica D, 185 (2003): 45-66.
!
¿Cómo evaluar la dinámica de una red?!
Teoría de la Información
C. Shannon!
(1916-2001)
"A Mathematical Theory of Communication". 1948
R. Hamming!
(1915-1998)
"Error detecting and error correcting codes". 1950
Hammimg Distance (H)
T n!
T n+i!
0
1
1
1
1
1
1
1
0
Tiempo!
H= 4/9 =0.44!
1
1
1
0
1
1
0
0
0
Distancia de Hamming
Propagación de un “daño”
Derrida plot
The Derrida plot, and Derrida coefficient, analogous to the Liapunov
exponent in continuous dynamical systems, which measures how pairs of
network trajectories diverge/converge in terms of their Hamming distance.!
Derrida plot
!
Derrida plot!
Hi!
Naturaleza al borde del Caos
H0!
Balleza E. et al. Critical dynamics in genetic regulatory networks: examples from four kingdoms. PLoS ONE. 2008; 3(6): e2456
?
El camino
El camino
Un posible mecanismo
Adyacente posible
El adyacente posible
S. A. Kauffman. Investigaciones: complejidad, autoorganización y nuevas leyes para una biología general. Tusquets Editores. . 2003.
Una contradicción?
!"#$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%
Arthur Eddington
Stuart Kauffman
Flecha del tiempo
“Dibujemos una flecha del tiempo arbitrariamente. Si al seguir su curso
encontramos más y más elementos aleatorios en el estado del universo, en tal
caso la flecha está apuntando al futuro; si, por el contrario, el elemento aleatorio
disminuye, la flecha apuntará al pasado. He aquí la única distinción admitida por
la física. Esto se sigue necesariamente de nuestra argumentación principal: la
introducción de aleatoriedad es la única cosa que no puede ser deshecha.
Emplearé la expresión flecha del tiempo para describir esta propiedad
unidireccional del tiempo que no tiene su par en el espacio.”!
Eddington, A. The Nature of the Physical World. 1928.
Flecha del tiempo
Es vívidamente reconocida por la conciencia.!
Es igualmente exigida por la razón, que nos informa de
que una flecha reversible sería un absurdo. !
La flecha del tiempo indica la dirección del incremento
progresivo del elemento aleatorio.!
La flecha del tiempo es una propiedad exclusiva de la
entropía.!
Termodinámica
Primera ley de la termodinámica!
También conocida como principio de conservación de la energía, establece que si se realiza trabajo sobre un sistema
o bien éste intercambia calor con otro, la energía interna del sistema cambiará. Visto de otra forma, esta ley
permite definir el calor como la energía necesaria que debe intercambiar el sistema para compensar las
diferencias entre trabajo y energía interna. !
Eentra " Esale = !Esistema!
Carnot, N. Reflexiones sobre la potencia motriz del fuego y sobre las máquinas adecuadas para desarrollar esta potencia .1824.
Segunda ley de la termodinámica!
Esta ley regula la dirección en la que deben llevarse a cabo los procesos termodinámicos y, por lo tanto, la
imposibilidad de que ocurran en el sentido contrario. Esta ley apoya todo su contenido aceptando la existencia
de una magnitud física llamada entropía que es una medida del grado de desorden de un sistema.!
Entropía
.
.
.
.
Microestado (ni)!
Macroestado!
…
.
.
.
.
.
. .
V macroestado = log N microestados
Entropía!
.
.
.
.
Todo macroestado tiene una probabilidad de ser
ocupado por el sistema (partículas).!
…
.
.
.
.
.
. .
Si se multiplica el número de microestados que
componen un macroestado por dicha
probabilidad y se suma el resultado para todos
los microestados del sistema se obtiene la
entropía total de éste.!
S=!k
"
Pi log Pi
i
“Si un sistema parte de una configuración improbable, su entropía inicial será baja,
pues la mayoría de los microestados están sin ocupar. Sin embargo, conforme
transcurre el tiempo, el sistema tenderá a desplegar todas sus posibilidades y la suma de
las probabilidades de ocupación multiplicadas por el volumen de los microestados
crecerá hacia el valor de equilibrio.” Kauffman, 2003.
Implicacncias de la segunda ley
En un sistema aislado, la entropía sólo puede incrementarse con el tiempo, y nunca
disminuir.!
El tiempo es asimétrico con respecto a la cantidad de orden en un sistema aislado: a
medida que el tiempo pasa, todo sistema se vuelve más desordenado.!
Esta asimetría puede servir empíricamente para distinguir entre pasado y futuro.!
Ejemplos
Pelota!
Tinta!
Ejemplos
Trabajo: La necesidad
de estar fuera del
equilibrio!
Equilibrio
Fuera del equilibrio
• La suma de pequeños incrementos consistentes en una fuerza actuando
sobre una masa y acelerándola durante un cierto recorrido.!
• Lineración restringida de energía.!
(P.W. Atkins. The 2nd law. Energy, Chaos and Form. W. H. Freeman. 1994.)
Cómo obtener trabajo de un sistema en
equilibro? (el demonio de Maxwell)
Leo Szilard (1898-1964)
Es la vida una violación a la segunda ley de la
termodiámica?
Organización (C estructural)!
CO2 CO2
CO2 CO2
Trabajo!
Tiempo!
De dónde sale este orden?
Transición de Fase
Emerge el orden desde el desorden
Order for free (Stuart Kauffman)
Gas Transición Orden-Caos
Sólido
Líquido
(desorden)
(orden)
0ºC
“En la vecindad del punto crítico debemos
dejar de mirar a las moléculas por separado,
debemos pensar en comunidades actuando
al unísono”.
Leo Kadanoff
Order for free
Transiciones de fase
“Cerca del punto crítico las leyes de la física
operan a todas las escalas, desde átomos a
conjuntos de todos los tamaños de estos.”
Idea de la invarianza de escala.
Kennet Wilson
1971: Teoría de la Renormalización.
Un posible mecanismo
En Física, la Criticalidad Autoorganizada es una propiedad
(clases de) los sistemas dinámicos los cuales tienen un punto
crítico como atractor. Su comportamiento macroscópico
manifiesta invarianza de escala temporal y/o espacial, una
característica de los puntos críticos de las transiciones de
fase, perpo sin la necesidad de tunear un parámetro a un
valor preciso (ej. Temperatura)!!!
Per Bak (1948-2002)
Físco Danés
Bak, P. How Nature Works: The Science of Self-Organized Criticality. New York: Copernicus, 1996.
SOC!
Implicancias de la power-law
SOC es típicamente observado en sistemas fuera del equilibrio con muchos
grados de libertad y alto nivel de no linealidad. Muchos ejemplos han sido
identificados desde el paper de BTW's (Bak + Tang + Wiesenfeld), sin
embargo hasta el día de hoy no se conoce un conjunto de características
generales que garantice este comportamiento.!
Simulación 1
Simulación 2