10 FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS

10 FIGURAS Y CUERPOS
GEOMÉTRICOS
AUTOEVALUACIÓN
10.A1. ¿Qué condiciones debe cumplir un poliedro para ser regular?
Todas sus caras deben ser polígonos regulares iguales, y en cada vértice debe concurrir el mismo
número de aristas.
10.A2. Nombra y describe los poliedros regulares que existen.
Tetraedro: formado por 4 triángulos equiláteros. Tiene 4 vértices y 6 aristas.
Hexaedro: formado por 6 cuadrados. Tiene 8 vértices y 12 aristas.
Octaedro: formado por 8 triángulos equiláteros. Tiene 6 vértices y 12 aristas.
Dodecaedro: formado por 12 pentágonos regulares. Tiene 20 vértices y 30 aristas.
Icosaedro: formado por 20 triángulos equiláteros. Tiene 12 vértices y 30 aristas.
10.A3. Calcula la longitud de la diagonal de un prisma cuadrangular recto de aristas 4, 4 y 9
centímetros.
d=
92 + 42 + 42 = 10,63 cm
10.A4. Se quiere pintar el techo y las paredes de una habitación de 4 metros de largo por 3,5 de
ancho y 3 de alto.
Sabiendo que la pintura cuesta 3 euros por cada metro cuadrado de pared, ¿cuánto costará
pintar la habitación?
A = 15 ⋅ 3 + 4 ⋅ 3,5 = 59 m2
Precio = 59 · 3 = 177 euros
10.A5. Halla el volumen y el área total del prisma que corresponde a
este desarrollo plano.
Como la base es un hexágono regular, el radio coincide con el 2,5 cm
lado, por lo que la apotema de la base mide:
2
2
2
2,5 = a + 1,25
A =2 ·
V=
a = 2,17 cm
2,5 · 6 · 2,17
2
+ 6 · 2,5 · 8 = 152,55 cm
2
8 cm
2,5 · 6 · 2,17
3
· 8 = 130,2 cm
2
10.A6. Averigua las áreas lateral y total de estos cuerpos geométricos.
b)
a)
13 cm
15 cm
14 cm
12 cm
2
a) Al = 3,14 ⋅ 14 ⋅ 15 = 659,4 cm ; At = 659,4 + 2 ⋅ 3,14 ⋅ 7 2 = 967,12 cm
2
2
b) r = 132 − 122 = 5
Al = 3,14 ⋅ 5 ⋅ 13 = 204,1 cm ; At = 204,1 + 3,14 ⋅ 52 = 282,6 cm
2
10.A7. Halla el área y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.
a)
3 cm
3 cm
b)
6 cm
6 cm
6 cm
6 cm
5 cm
5 cm
10 cm
10 cm
a) A = 2π · 5 · 3 + 2π · 52 = 80π = 251,2 cm2
V = π52 · 3 = 75π = 235,5 cm3
b) Calculamos la apotema de la cara aplicando el teorema de Pitágoras: a = 10 2 + 3 2 = 10,44 cm
A = 4⋅
6 ⋅ 10,44
+ 62 = 161,28 cm2
2
V =
1 2
⋅ 6 ⋅ 10 = 120 cm3
3
10.A8. Determina el área total y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.
3 cm
a)
b)
3 cm
6 cm
6 cm
6 cm
8 cm
8 cm
6 cm
10 cm
10 cm
5 cm
5 cm
El área lateral es Al =
a)
6⋅5 + 6⋅3
⋅ 6 = 144 cm2 .
2
Para calcular el área de las bases hay que calcular las apotemas de cada base.
6⋅5
⋅ 4,33 = 64,95 cm2
2
6⋅3
a ' = 32 − 1,52 = 2,6 cm
Abase menor =
⋅ 2,6 = 23,4 cm2
2
Atotal = 144 + 64,95 + 23,4 = 232,35 cm2
a=
52 − 2,52 = 4,33 cm
Abase mayor =
Para calcular el volumen hay que hallar, en primer lugar, la altura del tronco de pirámide, y luego,
la altura de la pirámide grande.
h=
5,745 + x
x
=
x = 8,63 cm
4,33
2,6
1
1
⋅ 64,95 ( 8,63 + 5,745 ) − ⋅ 23,4 ⋅ 8,63 = 243,90 cm3
grande − V pirámide pequeña =
3
3
62 − 1,732 = 5,745 cm
Vtronco de pirámide = V pirámide
b) Se calcula la generatriz del tronco de cono: g =
8 2 + 4 2 = 8,94 cm
Al = π (10 + 6 ) ⋅ 8,94 = 449,37 cm2
At = 449,37 + π ⋅ 102 + π ⋅ 62 = 876,63 cm2
Para calcular el volumen hay que hallar la altura del cono grande:
8+x x
=
10
6
x = 12 cm
Vtronco = Vcono mayor − Vcono menor =
1
1
π ⋅ 102 ⋅ 20 − π ⋅ 62 ⋅ 12 = 1642 cm3
3
3
10.A9. Calcula el volumen del depósito.
1,5 m
3,5 m
V =
4 ⋅ 3,14 ⋅ 0,753
+ 3,14 ⋅ 0,752 ⋅ 2 = 5,29875 m3
3
10.A10. Las coordenadas geográficas de dos ciudades son A (10° E, 45° N) y B (10° O, 45° N). Calcula
la distancia entre ambas, teniendo en cuenta que el radio de la Tierra es de 6371 kilómetros.
Como tiene la misma latitud y es 45º N
Distancia =
r 2 + r 2 = 63712
r = 4505 km
2 ⋅ 3,14 ⋅ 4505 ⋅ 20
= 1571,74 km
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