Práctica 3. Media, mediana y moda.

Práctica 3. Media, mediana y moda.
La presente práctica, te permitirá estudiar las medidas de tendencia central mencionadas, a partir de los
siguientes datos que corresponden a la estatura de estudiantes, iniciaremos la práctica.
Recopilación de datos: consiste en escribir
los datos de la muestra que nos interesa
conocer sin importar el orden.
1. Recopilación de datos
Datos no ordenados
1.70 1.56 1.70 1.66 1.90
1.69 1.80 1.69 1.70 1.80
1.66 1.80 1.55 1.78 1.59
1.68 1.64 1.70 1.75 1.67
1.60 1.74 1.75 1.65 1.70
1.65 1.64 1.64 1.60 1.48
1.52 1.75 1.60 1.58 1.70
1.75 1.56 1.60 1.64 1.70
1.64 1.65 1.55 1.63 1.60
1.63 1.58 1.57 1.68 1.56
Ordenamiento de datos: consiste en ordenar los datos en
forma ascendente o descendente, para facilitar el conteo de
los datos que corresponden a cada uno de los intervalos.
1.74
2. Ordenar datos
Datos ordenados
1.48 1.59 1.64 1.68
1.52 1.60 1.64 1.69
1.55 1.60 1.64 1.69
1.55 1.60 1.65 1.70
1.56 1.60 1.65 1.70
1.56 1.60 1.65 1.70
1.56 1.63 1.66 1.70
1.57 1.63 1.66 1.70
1.58 1.64 1.67 1.70
1.58 1.64 1.68 1.70
1.74
1.74
1.75
1.75
1.75
1.75
1.78
1.80
1.80
1.80
1.90
3. Determinar el número de clases
Determinación del número de clases. El número
de clases (NC) en que se agrupa el número de
datos, se determina con la raíz cuadrada del
número total de datos cuando este sea hasta de
200. Para muestras con más de 200 datos, se
obtiene con la raíz cúbica del número de datos.
Nota: el NC siempre se redondea a enteros.
Considerando los datos de cualquiera de las tablas que
se muestran en la parte superior, encontramos que el
total de datos es 51, a continuación se calcula la NC:
N = 51
NC = N
NC = 51 = 7.14
NC = 7
NC
1
2
3
4
5
6
7
4. Calcular el tamaño de clase
Cálculo del tamaño de clase. Para determinar el
tamaño de clase (C) s necesario conocer el rango
(R) de la muestra, que se obtiene con la diferencia
entre el dato mayor y el menor.
Determinando el Rango de la muestra
Dato mayor = 1.90
Dato menor = 1.48
R = dato mayor – dato menor
R = 1.90 − 1.48
R = 0.42 m
Determinando el tamaño de la clase
R
NC
0.42
C=
7
C=
C = 0.06 m
CLASE
A
B
C
D
E
F
G
5. Elaborar los intervalos
Elaboración de los intervalos. El tamaño de clase
indica el número de datos que conforman a cada
intervalo, considerando los valores extremos
llamados límites. En cada intervalo aparece un
límite inferior y uno superior.
Si en la elaboración de los intervalos se observa
que algunos de los datos quedan fuera del número
de clases, entonces se debe agregar una clase al
final, esto no alterara el resultado.
NC = 7 (datos de la clase: A, B…G)
C = 0.06
CLASE
INTERVALO
A
B
C
D
E
F
G
H
1.48 – 1.53
1.54 – 1.59
1.60 – 1.65
1.66 – 1.71
1.72 – 1.77
1.78 – 1.83
1.84 – 1.89
1.90 – 1.95
¿Cómo se obtiene
el intervalo?
1.48 + 0.06 = 1.53
1.53 + 0.06 = 1.59
1.59 + 0.06 = 1.65
1.65 + 0.06 = 1.71
1.71 + 0.06 = 1.77
1.77 + 0.06 = 1.83
1.83 + 0.06 = 1.89
1.89 + 0.06 = 1.95
El número de clase (NC) era 7,
desde la A hasta la G, pero se tuvo
que agregar la clase H para que no
quedara fuera el dato 1.90 m.
6. Obtener frecuencias:
Obtención de frecuencias. La frecuencia de cada clase, se obtiene contando en la tabla de datos ordenados
los que correspondan al intervalo de dicha clase.
Nota: Para elaborar la distribución de frecuencias se deja un renglón vacío antes de la primera clase y otro
después de la última.
1.48
1.52
1.55
1.55
1.56
1.56
1.56
1.57
1.58
1.58
1.59
1.60
1.60
1.60
1.60
1.60
1.63
1.63
1.64
1.64
Datos ordenados
1.64
1.68
1.64
1.69
1.64
1.69
1.65
1.70
1.65
1.70
1.65
1.70
1.66
1.70
1.66
1.70
1.67
1.70
1.68
1.70
1.74
1.74
1.75
1.75
1.75
1.75
1.78
1.80
1.80
1.80
7. Obtener límite real inferior y límite real superior
Límite Real Inferior
L.R.I . =
L.S .C. A. + L.I .C.
2
L.R.I. = Límite Real Inferior
L.S.C.A. = Límite Superior de la Clase Anterior
L.I.C. = Límite Inferior de la Clase
CLASE
INTERVALO
FRECUENCIA
A
B
C
D
E
F
G
H
1.48 – 1.53
1.54 – 1.59
1.60 – 1.65
1.66 – 1.71
1.72 – 1.77
1.78 – 1.83
1.84 – 1.89
1.90 – 1.95
2
9
15
14
6
4
0
1
Total
51
1.90
Límite Real Superior
L.R.S . =
L.S .C. + L.I .C.S .
2
L.R.S. = Límite Real Superior
L.S.C. = Límite Superior de la Clase
L.I.C.S. = Límite Inferior de la Clase Siguiente
CLASE
INTERVALO
FRECUENCIA
1.42 – 1.47
1.48 – 1.53
1.54 – 1.59
1.60 – 1.65
1.66 – 1.71
1.72 – 1.77
1.78 – 1.83
1.84 – 1.89
1.90 – 1.95
1.96 – 2.01
Total
A
B
C
D
E
F
G
H
L.R.I . =
2
9
15
14
6
4
0
1
L.S .C. A. + L.I .C.
2
L.R.I
(1.47+1.48)/2
(1.53+1.54)/2
(1.59+1.60)/2
(1.65+1.66)/2
(1.71+1.72)/2
(1.77+1.78)/2
(1.83+1.84)/2
(1.89+1.90)/2
(1.95 + 1.96)/2
L.R.S . =
A
B
C
D
E
F
G
H
1.475
1.535
1.595
1.655
1.715
1.775
1.835
1.895
1.955
51
Marca de clase (X). Es el punto medio del intervalo de clase
INTERVALO
L.R.S.
(1.42+1.53)/2
(1.48+1.59)/2
(1.54+1.65)/2
(1.60+1.71)/2
(1.66+1.77)/2
(1.72+1.83)/2
(1.78+1.89)/2
(1.84+1.95)/2
(1.90+2.01)/2
1.475
1.535
1.595
1.655
1.715
1.775
1.835
1.895
1.955
8. Obtener la marca de clase
CLASE
L.S .C . + L.I .C.S .
2
FRECUENCIA
L.R.I
2
9
15
14
6
4
0
1
1.475
1.535
1.595
1.655
1.715
1.775
1.835
1.895
1.955
1.42 – 1.47
1.48 – 1.53
1.54 – 1.59
1.60 – 1.65
1.66 – 1.71
1.72 – 1.77
1.78 – 1.83
1.84 – 1.89
1.90 – 1.95
1.96 – 2.01
Total
X=
L.R.S.
X=
1.475
1.535
1.595
1.655
1.715
1.775
1.835
1.895
1.955
Límiteinf erior + Límitesup erior
2
Límiteinf erior + Límitesup erior
X
2
(0+1.475)
1.475+1.535
1.535+1.595
1.595+1.655
1.655+1.715
1.715+1.775
1.775+1.835
1.835+1.895
1.895+1.955
1.955+0
1.475
1.505
1.565
1.625
1.685
1.745
1.805
1.865
1.925
1.955
51
9. Obtener la media aritmética
Muestras pequeñas
Muestras grandes
Datos ordenados: 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 9
De a cuerdo a los datos ordenados de la tabla que estamos utilizando
como ejemplo, calculamos la x
x=
x=
X 1 + X 2 + X 3 + ... + X n
N
clase
5+5+6+6+7+8+8+8+9+9
10
x = 7.1
frecuencia
F
A
B
C
D
E
F
G
H
2
9
15
14
6
4
0
1
Total
51
marca
declase
X
1.475
1.505
1.565
1.625
1.685
1.745
1.805
1.865
1.925
1.955
FX
3.01
14.09
24.38
23.59
10.47
7.22
0
1.93
Total
84.69
x=
∑ (F • X )
x=
N
84.69
51
x = 1.66m
10. Obtener la mediana
Muestras pequeñas
Cuando los datos son pares,
se obtiene el promedio de los
elementos centrales:
Muestras grandes
Para obtener la mediana, requerimos de los siguiente datos:
Clase Mediana. El calculo de esta
nos permitirá obtener el limite real
inferior, la sumatoria de la
frecuencia 1 y la frecuencia de la
mediana ( Li , ∑ F y f med , se
Datos ordenados:
5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 9
CM =
CM = 26
1
X + X2
~
x= 1
2
7+8
~
x=
2
N 51
=
= 25.5
2
2
obtendrán de las tablas anteriores)
A partir de la CM obtenemos lo siguiente:
En la tabla del punto 8, se calculo el L.R.I., deberás sumar las frecuencias de esa
tabla hasta obtener 26 que es la clase mediana, como se muestra
~
x = 7 .5
CLASE
FRECUENCIA
L.R.I
A
B
C
D
E
F
G
H
2
9
15
14
6
4
0
1
1.475
1.535
1.595
1.655
1.715
1.775
1.835
1.895
1.955
2+ 9 = 11
Si los datos son impares, el
elemento central de los datos
es la mediana:
15
5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10
2+9+15 = 26
El L.R.I. es la
clase
que
contiene a la
mediana
(CM=26)
51
~
x =8
CM = 26
Li = 1.595 m
N = 51 estudiantes
∑F
1
= 11 estudiantes
f med = 15 estudiantes
C = 0.06 m (se calculo en el paso 5)
⎛N
⎞
⎜ − ∑ F1 ⎟
~
⎟C
x = Li + ⎜ 2
⎜
⎟
f med
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛ 51
⎞
⎜ − 11 ⎟
~
⎟0.06
x = 1.595 + ⎜ 2
⎜ 15 ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
~
x = 1.65m
11. Obtención de la Moda
Muestras pequeñas
Es el dato con mayor
frecuencia.
Datos ordenados:
5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 9
xˆ = 8
Muestras grandes
CLASE
FRECUENCIA
L.R.I
A
B
C
D
E
F
G
H
2
9
15
14
6
4
0
1
1.475
1.535
1.595
1.655
1.715
1.775
1.835
1.895
1.955
∆ 1 = F modal – F anterior = 15–9 = 6
∆ 2 = F modal – F siguiente = 15–14 = 1
51
Li = 1.595 m
∆1 = 6
∆2 = 1
C = 0.06 m
⎛ ∆1 ⎞
⎟⎟C
xˆ = Linf + ⎜⎜
⎝ ∆1 + ∆ 2 ⎠
⎛ 6 ⎞
xˆ = 1.595 + ⎜
⎟0.06
⎝ 6 + 1⎠
xˆ = 1.65m