Capítulo A

.1
Parte I
Electrostática
Índice
I
Electrostática
1
1. Fuerza electrostática
1.1. Carga eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
2
2. Energı́a electrostática
2.1. Potencial eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Potencial de N cargas y lı́mite contı́nuo. . . . . .
2.3. Lı́neas de campo y superficies equipotenciales . .
2.4. Potencial del dipolo eléctrico . . . . . . . . . . .
2.5. Teorema de unicidad . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Energı́a electrostática asociada a la materia sólida
.
.
.
.
.
.
3
3
5
5
5
6
7
3. Dieléctricos
3.1. Polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Desplazamiento eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Condiciones de borde en electrostática . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
11
12
1.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.2
Fuerza electrostática
1.1.
Carga eléctrica
En el sistema MKS de unidades (i.e. el Sistema Internacional, S.I.),
F~21 =
1 q1 q2
rˆ12 ,
2
4π◦ r12
con q1 y q2 en Coulombs (C), y ◦ = 8,8541878 10−12 C N m−2 . Para un conjunto
de N cargas, la fuerza resultante sobre la partı́cula j es:
X
X 1 qi qj
F~j =
F~ij =
r̂ij ,
2
4π
◦ rij
i6=j
i6=j
en que ~rij = ~rj − ~ri .
.3
1.2.
Campo eléctrico
~ r) = F~ /q,
E(~
~ tiene unidades de V m−1 (Volt /
en que q es una carga de prueba ubicada en ~r. E
metros), o N C−1 (o sea V = J / C). Para N cargas,
X qi
~ r) =
E(~
(~r − ~ri )/k~r − ~ri k3 .
4π
◦
i
~ es la suma de los campos de cada carga por separado. Esto es el teorema
Notar que E
de superposición.
.4
Densidad de cargas
En el lı́mite contı́nuo, la carga Q encerrada en un volumen V es
Z
Q=
ρd3 x,
V
en que ρ(~r) es la densidad de carga eléctrica.
.5
Campo eléctrico
En el contı́nuo,
~ r) = 1
E(~
4π◦
ZZZ
todo el espacio
(~r − ~r 0 )
ρ(~r 0 )d3 x0
k~r − ~r 0 )k3
Conductores
En un conductor existen electrones de conducción, libres de moverse en presen~ = 0.
~ En una situación estática, F~ = 0 ⇒ E
cia de E.
Densidad de carga superficial
En conductores los electrones libres tenderán a acumularse en las bordes (i.e. las
superficies), y es conveniente introducir la densidad superficial de cargas σ:
ZZ
1
(~r − ~r 0 )
~
E(~r) =
σ(~r 0 )d2 x0
0 )k3
4π◦
k~
r
−
~
r
superficie
1.3.
.6
.7
.8
Ley de Gauss
Flujo de un campo vectorial
~ a través de una superficie S es
El flujo de un campo E
Z
~ · dS.
~
F=
E
S
.9
2
Angulo sólido
Consideremos una carga puntual q encerrada por una superficie S. En un sistema
de coordenadas esféricas centrado en q,
~ · r̂ = r2 sin(θ)dθdφ ≡ r2 dΩ,
dS
en que Ω es un ángulo sólido.
.10
Flujo del campo eléctrico por una superficie cerrada
El flujo del campo de la carga es
Z
Z
Z
q
~
~
F = dF =
dΩ,
E · dS =
S
4π 4π◦
o sea F = q/◦ . Si q está al exterior de S, cualquier rayo vector desde q cruzara S
un número par de veces, tal que
~ · dS
~ = ± q dΩ,
E
4π◦
en que los signos se alternan y se cancelan.
.11
Ley de Gauss
~
~ =P E
Usando el principio de superposición, E
i i , concluimos que
Z
X
~ · dS
~= 1
E
qi ,
◦ i
S
en que la suma se extiende a todas las cargas encerradas en S, o equivalentemente,
Z
Z
1
~
~
E · dS =
ρ(~r)dV,
(1)
◦ V
S
donde V es el volumen encerrado por S. La Ec. 1 es la forma integral de la ley de
Gauss.
.12
Forma diferencial de la ley de Gauss
Para un volumen pequeño δV,
Z
~ · dS
~ = ρ(~r) δV.
E
◦
Definimos el operador div:
~ = lı́m
div(E)
δV→0
R
~ · dS
~
E
.
δV
~ =∇
~ · E,
~ y tenemos
En coordendas cartesianas, div(E)
~ ·E
~ = ρ/◦ .
∇
(2)
.13
3
2.
Energı́a electrostática
2.1.
Potencial eléctrico
El trabajo ejercido por la fuerza eléctrica al desplazar una carga de prueba qp
bajo la influencia de otra carga q es:
Z B
Z B
~
~
W =
qp E · ds =
qp Eds cos(θ),
A
A
Z rB
dr
qp q
1
1
qqp
−
.
=
=
4π◦ rA r2
4π◦ rA rB
H
~ = 0.
~ · ds
Vemos que W es independiente del camino realizado. En particular, E
⇒ La fuerza electrostátca es conservativa.
.14
Definimos la energı́a potencial electrostática U = qφ(~r) tal que
Z B
~ = qφB − qφA .
~ · ds
−
qE
| {z }
A
{z
} perdida de energia
|
trabajo
Si φ(∞) = 0,
q 1
4π◦ r
es el trabajo por unidad de carga necesario para acercar qp desde infinito a ~r. φ tiene
unidades de J C−1 ≡Volt.
φ(~r) =
.15
Electron-Volt
El Joule es una unidad conveniente para expresar energı́as en sistemas macroscópicos. Pero a nivel (sub)atómico, es más conveniente usar el eV. 1 eV es la energı́a
cinética que adquiere un electron al ser acelerado en una diferencia de potencial de
1 V:
K = ∆U = q∆φ = 1e 1V ≈ 1,6 10−19 J.
.16
Forma diferencial
Consideremos un camino infinitesimal de ~r a ~r + δ~r:
Z ~r+d~r
~ = −E
~ · ds
~ · δ~r,
E
δφ = φ(~r + δ~r) − φ(~r) = −
~
r
~ sea constante. En el lı́mite
en que suponemos δ~r suficientemente pequeño para que E
diferencial δ → d, y en coordenadas cartesianas, δ~r(δx, δy, δz), tenemos entonces
−dφ = Ex dx + Ey dy + Ez dz.
4
⇒ Ex = −∂φ/∂x, Ey = −∂φ/∂y, Ez = −∂φ/∂z, o sea
~ = −∇φ.
~
E
~ dado φ =
Tarea: Calcular E
q
.
4π◦ r
.17
Ecuación de Poisson
~ = −∇φ
~ y junto con la Ley de Gauss, ∇ · E
~ =
Con E
de Poisson,
q
∇2 φ = − .
◦
ρ
,
◦
obtenemos la ecuación
.18
2.2.
Potencial de N cargas y lı́mite contı́nuo.
Por el principio de superposición notamos que φ debe ser aditivo. Por ejemplo
para dos cargas,
~1 + E
~ 2 = −∇φ
~ 1 − ∇φ
~ 2 = −∇(φ
~ 1 + φ2 ).
E
El potencial eléctrico generado por N cargas es entonces
φ(~r) =
N
1 X
qi
.
4π◦ i=1 k~r − ~ri k
En el lı́mite de un contı́nuo de cargas,
1
φ(~r) =
4π◦
Z
ρ(~r 0 )d3~r 0
.
k~r − ~r 0 k
.19
2.3.
Lı́neas de campo y superficies equipotenciales
~ = −∇φ,
~ se
Una superficie equipotencial se define con φ(~r) =Cte.. Como E
~ r) sobre un plano tangente a una superficie equipotencial
anula la proyección de E(~
que contiene ~r.
~ es perpendicular a las equipotenciales. Las lı́neas de campo son lı́neas
⇒E
contı́nuas que son en todo punto perpendiculares a superficies equipotenciales.
2.4.
Potencial del dipolo eléctrico
Dipolo eléctrico
5
.20
Calculemos el potencial producido por dos
cargas idénticas y opuestas separadas por
una distanca a. El potencial total en el punto
P ubicado en ~r es:
00000000
11111111
r+
P
11111111
00000000
00000000
11111111
1
+q 0
00000000
11111111
0
1
00000000
11111111
0
1
r
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
θ
r−
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
00000000
11111111
0
00000000
11111111
−q1
0
1
00000000
11111111
0
1
q
φ=
4π◦
1
1
−
r+ r−
1
r±
Si r a, expandimos
φ=
en que r± = r2 +
a2
∓ ar cos(θ).
4
en potencias de r/a, y
qa cos(θ)
, a primer orden en a/r.
4π◦ r2
Los términos de orden superior en a/r se llaman ‘multipolos’.
.21
Momento dipolar
P
Introducimos el momento dipolar eléctrico p~ = i qi~ri , o sea en este caso p~ =
qaẑ.
p~ · ~r
, a 1er orden.
4π◦ r3
Esta expresión serı́a exacta si a → 0 y q → ∞.
~ = −∇φ
~ usando coordenadas cartesianas con y = 0 para simTarea: Cacular E
p
p
plificar. Solución: Ex = 4π◦ (3 cos(θ) sin(θ)/r3 ) , Ez = 4π
(3 cos2 (θ) − 1) /r3 .
◦
⇒ φ(~r) =
.22
Dipolo de una distribución de cargas
El potencial de una distribución de cargas ρ es
Z
1
ρ(~r 0 )
dV 0 .
φ(~r) =
4π◦
k~r − ~r 0 k
Podemos repetir la aproximación anterior tomando r r0 :
1
k~r − r~0 k
=
1 ~r · ~r 0
+ 3 + ...
r
r
Z
1
1 ~r · ~r 0
0
⇒ φ(~r) =
ρ(~r )
+ 3 + ..... dV 0
4π◦
r
r
1 p~ · ~r
1 Q
=
+
+ ....
4π◦ r
4π◦ r3
R
R
Donde Q = ρ(~r 0 ) dV 0 , carga total, y p~ = ~r 0 ρ(~r 0 )dV 0 , momento dipolar total. Si
Q = 0, entonces el término dominante es el dipolar eléctrico.
6
.23
2.5.
Teorema de unicidad
Vimos que φ satisface la ecuación de Poisson,
q
(3)
∇2 φ = − .
◦
Dados un conjunto de condiciones de bordes que definen un sistema, la solución de
la Ec. 3 es única.
.24
Ejemplo
Consideremos una esféra conductora inmersa en un campo eléctrico uniforme.
Cerca de la esfera la presencia de cargas libres dentro de la esfera genera campos
~ = E◦ ẑ. Calcule el potencial eléctrico en en todo el
locales, pero lejos de la esfera E
espacio.
.25
Solución usando teorema de unicidad
En el interior φ = φi = Cte. Probemos con el potencial del dipolo, phie =
p
~·r̂
− E◦ ẑ. El lı́mite asintótico en ∞ es el correcto. Continuidad en r = a da
4π◦
p~ = E◦ a3 4π◦ .
E◦ a3 cos(θ)
⇒ φe (~r) =
− E◦ z.
r2
~ k r̂ en r = a.
Podemos confirmar que E
.26
2.6.
Energı́a electrostática asociada a la materia sólida
Consideremos la energı́a potencial almacenada en un sólido:
2
Los núcleos atómicos. Z cargas + en un radio r, con U ∼ (Ze)
, en que r es
4π◦
235
−11
235
el radio del núcleo. Para U, U ∼ 3 10
J. O sea 1 mol de U tiene una
13
energı́a potencial total de 2 10 J. Si se libera en 1 h, la potencia es ∼ 104 MW.
.27
El sólido, compuesto por e- y núcleos positivos. La energı́a de la carga i es
qi φ(~ri ), en que φ(~ri ) es el potenciale en P
~ri debido a todas las otras cargas.
Pero la energı́a total en el sólido es sólo 12 qi φi , porque sólo hay que contar
interacciones de a pares:
X
qi qj
qi φi =
,
4π◦ k~
ri − r~j k
j6=i
y hay que contar cada interacción una sola vez. Otra manera de verlo es ‘armar’ el sólido desde infinito:
X X qj
1 X X qj
1
U=
qi
=
qi
.
4π◦ i
r
2
×
4π
r
ji
◦
ji
j<i
i
j6=i
Para átomos U ∼eV.
.28
7
Condensadores
Un dispositivo para almacenar energı́a electromagnética es el condensador. Un
condensador ideal consiste en dos placas conductoras, paralelas entre si, cuyo largo
~ = − σ ẑ =
es mucho mayor a su separación. Si se cumplen estas condiciones, E
◦
~ V = Ed, en que d y es la separación entre placas y V = ∆φ es la diferencia
−∇φ,
de potencial entre placas.
⇒V =
d
Q, o sea Q = CV, con C = ◦ A/d.
◦ A
C es la capacidad del condensador, con unidades de Farad: 1 F = 1 C V−1 .
Esta proporcionalidad entre Q y V es válida para cualquier condensador, no
mnecesariamente plano.
.29
Energı́a en condensadores
La energı́a almacenada por las cargas libres en un conductor:
Z
Z
1
1
ρφdV =
σφdS,
U=
2 V
2 S
ya que no hay cargas libres en el interior. Consideremos ahora un condensador, compuesto por dos placas paralelas con cargas iguales y opuestas.
Z
Z
1
1
1
1
U = φ+ σ+ dS + φ− σ− dS = Q∆φ = QV,
2
2
2
2
en que V es la differencia de potencial ( i.e. el ‘voltaje’).
.30
Energı́a en condensadores
Con Q = CV y U = 21 QV , vemos que U = 12 CV 2 . Además,
1
1
U = d2 CE 2 = ◦ E 2 |{z}
Ad ,
2
2
volumen
y como E es constante, introducimos la densidad de energı́a electrostática u:
Z
1
U = udV, con u = ◦ E 2 .
2
Veremos que esta es la expresión general de la energı́a almacenada en un campo
electrostático.
3.
.31
Dieléctricos
~ = 0.
Conductores: existen cargas libres, no ligadas a átomos. E
Dieléctricos: material no conductor, i.e. aislante. No existen cargas libres. Al
~ el desplazamiento de las cargas que constituyen los átomos es muaplicar E,
cho menos que en un conductor, y tiende a reducir un poco el campo aplicado.
8
.32
3.1.
Polarización
Consideremos un átomo inicialmente esféricamente simétrico que es sometido a
~ Existe un desplazamiento de cargas ~a = R
~N − R
~ el , en que R
~N y R
~ el
un campo E.
son los baricentros de cargas nucleares y electrónicas, i.e.
Z
Z
~
Rel =
ρel~rdV/ ρel dV,
Z
Z
~
RN =
ρN ~rdV/ ρN dV
⇒ aparece un dipolo eléctrico p~ = Ze~a. Si p~ 6= 0 decimos que el átomo esta
polarizado. En general,
Z
p~ = ~r(ρel + ρN )dV
.
.33
Cargas superficiales de polarización
Consideremos un dieléctrico compuesto por 1 sólo elemento con Z e-. Al aplicar
~
~ el dieléctrico es isotrópico (existen cristales
E sus átomos se polarizan. Si p~ k E
anisotrópicos).
Consideremos ahora la parte del diélectrico contenido en una caja rectangular
~ Sin contar el resto del
macroscópica de volumen V y sección S, alineada con E.
~ aparecen cargas superficiales en δV = a S, tal que la carga
diélecrico, al aplicar E
~ es δQ = −δVnZe, donde n es la
electrónica desplazada en dirección opuesta a E
densidad de número de átomos.
La densidad superficial inducida es σP = −naZe = −np. En general la carga
inducida es
σP = P~ · δ Ŝ , con P~ = n~p vector polarización.
.34
Permitividad relativa
Vimos que la capacidad de un condensador plano paralelo en el vacı́o es
C◦ = Q/V =
Aσ
◦ A
=
,
E◦ d
d
~ ◦ es el campo eléctrico en el vacı́o y A es el área de cada placa. Si colocamos
en que E
un dieléctrico entre las placas del condensador aparecen cargas superficiales ±P A.
Aplicando la ley de Gauss obtenemos el campo en el interior del diélectrico:
EA =
1
(σ − P )A.
◦
(4)
Definimos la permitividad relativa : C = C◦ = (◦ A/d), con C capacidad del
condensador si un diélectrico llena el espacio entre las placas. Usando Ec. 4 podemos
evaluar :
◦ Aσ
Aσ
C = Q/V =
=
.
Ed
d(σ − P )
9
Re-usando Ec. 4, σ = ◦ E + P ,
A◦ ◦ E + P
A◦
P
A◦
C=
=
1+
=
.
d
◦ E
d
◦ E
d
.35
Suceptibilidad eléctrica
Tenemos entonces que la permitividad relativa
P
= 1+
.
◦ E
Introducimos la suceptibilidad eléctrica χE con
~ = ◦ χE E.
~
P~ = ( − 1)◦ E
~
~ en que α
El dipolo inducido a nivel atómico/molecular es p~ = χE ◦ E/n
= α◦ E,
es la “polarizabilidad molecular”.
Valores tı́picos para en diélectricos:
Aire
Nylon
1.00059
3.5
Porcelana
6
Mica
7
.36
Moléculas polares.
Existen medios compuestos por moleculas ‘polares’, con dipolo eléctrico permanente, que tiene 1, por ejemplo para agua ≈ 80.
Consideremos el enlace iónico de Na+ +Cl− → NaCl con un dipolo permanente
p~. También H2 O tiene un dipolo permanente.
En fase lı́quida, estos dipolos estan desordenados y su suma vectorial se cancela.
~ los dipolos se ordenan. Para comprender este fenómeno calcuPero si aplicamos E
~ externo.
lamos la energı́a potencial electrostática de un dipolo en E
10
.37
Energı́a de un dipolo en un campo externo
La energı́a potencial de dos cargas iguales y opuestas sometidas a un campo
externo es U = qφ+ − qφ− = ∆V . Si el campo es ≈ cte a lo largo del dipolo,
R+
~ · d~s = −aE cos(θ), o sea U = −~p · E
~ . ⇒ para minimizar energı́a,
∆V = −
E
−
~
p~ se alinea con E.
Este resultado tbien se puede ver desde el continuo: dado φ(~r) en la vecindad de
una molécula polar,
~ ~r◦ + ... = φ◦ − δ~r · E
~ ◦,
φ(~r) = φ(~r◦ ) + δ~r · ∇φ|
en que ~r◦ es el baricentro
de las cargas moleculares, y δ~r = ~r − ~r◦ . La energı́a
R
potencial es U = ρφdV, sin factor 1/2 porque φ es externo. Colocando ~r◦ = 0,
Z
~ = −~p · E.
~
U = φ◦ ρdV − {~rρdV} · E
.38
3.2.
Desplazamiento eléctrico
Densidad de cargas de polarización
Ahora consideraremos el caso de materiales con suceptibilidad variables, o cam~ no uniformes. Veremos que se induce una densidad de cargas de polarización.
pos E
~
Consideremos E(x)
k x̂, variable según x. Las cargas en el diélectrico se separan. Para un pedazo de dieléctrico rectángular V, de x a x + δx, y con sección
δS = δyδz. Vemos que las cargas negativas salen de V en x, con densidad superficial σ = −Px (x), mientras que entran cargas negativas en x + δx, con densidad
superficial σ = −Px (x + δx). El balance de cargas en V es
δQ = σ(x + dx)δyδz − σ(x)δyδz
= − {Px (x + δx) − Px (x)} δyδz
∂Px
= −
δxδyδz
∂x
⇒ aparece una densidad de cargas
δQ
∂Px
ρP =
=−
.
δV
∂x
~ · P~ .
En general, para cualquier orientación ρP = ∇
.39
Desplazamiento eléctrico
En un dieléctrico tenemos entonces cargas libres y cargas de polarización, ρ =
ρl + ρP . ⇒
~ ·E
~ = ρ/◦ = (ρl + ρP )/◦ = (ρl − ∇
~ · P~ )/◦ ⇔
∇
~ ·E
~ +∇
~ · P~ = ρl ⇔ ◦ ∇
~ ·D
~ = ρl ,
◦ ∇
~ = ◦ E
~ + P~ vector desplazamiento eléctrico. Como P~ = χE ◦ E,
~ D
~ =
con D
~ y D
~ = ◦ E
~ . Si es uniforme, ∇
~ ·D
~ = ρl ⇒ ∇
~ ·E
~ = ρl /(◦ ),
(1 + χE )◦ E,
~ en un factor , sin
y vemos que si es uniforme el dieléctrico solamente reduce E
cambiar las lı́neas de campos.
11
.40
Energı́a electrostática en dieléctricos
Consideremos un condensador, potencialmente con dieléctrico entre sus placas,
y inicialmente sin cargas. Una carga dQ es transferida de la placa − a +, por ejemplo
con una baterı́a, y la energı́a almacenada en las placas es:
dU = φ+ dQ − φ− dQ = V dQ, con V = φ+ − φ− ,
de manera que la energı́a total al transferir una carga Q es
Z Q
Z V
1
1
U=
V dQ =
CV 0 dV 0 = CV 2 = QV.
2
2
0
0
Con dieléctrico, C = A/d, y el volumen es Ad, de manera que la densidad de
energı́a es
2
1
V
1
1
u = U/V = ◦
= ◦ E 2 = DE.
2
d
2
2
El caso general es
1
U=
2
Z
~ · E.
~
dV D
.41
3.3.
Condiciones de borde en electrostática
Consideremos una discontinuidad en . Aplicamos la ley de Gauss para un volumen rectángular con caras paralelas a la discontinuidad.
Z
~
~
~ · δS = 0 ⇒ D
~ ⊥ es contı́nuo.
∇ · D = ρl = 0 ⇒
D
~ como la fuerza electrostática es conservativa la circulación de E
~ sobre un
Para E,
camino cerrado es nula. Para un rectángulo,
Z
~ · d~s = 0 ⇒ E
~ k es contı́nuo.
E
.42
12