FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (II) Lımites y

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (II)
Lı́mites y continuidad
Ejercicio 1. Calcula los lı́mites siguientes utilizando propiedades básicas. Indica en cada
caso el dominio
sen(x2 + y 2 )
x4 − y 4
ii)
lim
i)
lim
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0) x2 − y 2
x2 + y 2
x − (1 − y)
1
√
iii)
lim √
iv)
lim y sen
(x,y)→(0,1)
(x,y)→(0,0)
x
x− 1−y
1
1
2
v)
lim (x + y) sen
vi)
lim (x − y 2 ) cos
(x,y)→(1,−1)
(x,y)→(1,1)
x+y
x−y
Ejercicio 2. Calcula los lı́mites iterados correspondientes a los lı́mites dobles siguientes
e indica si con el resultado obtenido se puede afirmar que existe o que no existe el lı́mite
doble.
2x4 − y 3
1
i)
lim
ii)
lim
y
sin
(x,y)→(0,0) 3x4 + 2y 3
(x,y)→(0,0)
x
xy
xy
iii)
lim p
iv)
lim
2
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0) x + y 2
x2 + y 2
Ejercicio 3. Calcula los lı́mites por rectas correspondientes a los lı́mites dobles siguientes
e indica si con el resultado obtenido se puede afirmar que existe o que no existe el lı́mite
doble.
xy
xy
ii)
lim
i)
lim p
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
iii)
y 2
(x + y 2 )
(x,y)→(0,0) x
lim
iv)
lim
(x,y)→(0,1)
√
x+y−1
√
x− 1−y
Ejercicio 4. Calcula los lı́mites siguientes por polares e indica si con el resultado obtenido
se puede afirmar que existe o que no existe el lı́mite doble.
xy
xy
i)
lim p
ii)
lim
2
2
2
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0) x + y 2
x +y
iii)
lim
xy
(x,y)→(0,0)
v)
lim
x2 − y 2
x2 + y 2
(x − 1)
(x,y)→(1,1)
x2 + y 2 − 2
(x − 1)2 + (y − 1)2
y 2
(x + y 2 )
(x,y)→(0,0) x
x2 − y 2 − 1
vi)
lim y 2
(x,y)→(1,0)
(x − 1)2 + y 2
iv)
lim
xn
, según los valores de n ∈ N.
Ejercicio 5. Determinar lim
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
xp y q
, se pide determix2 + y 2 − xy
nar que relación deben verificar p, q ∈ N, para que exista lim f (x, y).
Ejercicio 6. Dada f : R2 \{(0, 0)} −→ R como f (x, y) =
(x,y)→(0,0)
Ejercicio 7. Estudiar la continuidad de las funciones de los ejercicios 1 y 4, considerando
que toman el valor cero fuera del dominio.