UNIDAD 1 Ficheiro - Campus Virtual

“FUNDAMENTOS
ELECTROMAGNETICOS DE
LA ÓPTICA”
CURSO ELECTIVO: ÓPTICA
UNIDAD 1
Departamento de Física
Universidad del Valle
2 SEM 2013
Bibliografía
•
•
•
•
Hecht, E. “Óptica”
Peatross, et al. “Physics of Light and Optics”
Fowles, G.R “Introduction to Modern Optics”
Guenther, R. "Modern Optics"
Ecuaciones de Maxwell
En medios homogéneos, no conductores y libres de carga:

E  0


B
 E  
t

B  0

 D
 H 
t
Ecuaciones de Constitución:

 

B  H D   E
Ecuación Clásica de Ondas
 y :
Constantes y Uniform es

D
t


B H


DE
 
 t 
 

2 
 E
B
 2   
t
t

 H


Ecuación Clásica de Ondas B
   E
t

2 
 E
B
 2   
t
t


1  E
     E 
2
2
c t
2
1

2
c
Ecuación Clásica de Ondas
        
2

 E  0


1  E







E
2
2
c t
2

1  E
2 


E

0
2
2
c t
2
Solución de la Ecuación de Onda

E  E x xˆ  E y yˆ  Ez zˆ

1  E
2 
 E  0
2
2
c t
2
1  2 Ex
2
  Ex  0
2
2
c t
1 
2




0
2
2
c t
2
La Ecuación de Helmholtz
Onda Monocromática
1 
2
2
c t

2
2
1

2
c
k   
2
2

 i t
(r , t )  (r )e


2
 (r )    (r )  0
2


2
 (r )  k (r )  0
2
Estructura del Campo Óptico


2
2
 (r )  k (r )  0
Solución General

 i S( r ) 
 (r )  F(r )e
A : no estructura

F(r )  
E(r ) : estructura

 i S( r ) 
 (r )  E(r )e
Superficies de Fase

 i S( r ) 
 (r )  E(r )e

 i t
(r , t )  (r )e

 i  t S( r ) 
 (; r , t )  E(r )e


 (; r , t )   t  S(r )  

Velocidad de Fase


 (r , t )   t  S(r )  


(r , t )  1

(r , t )   2

(r , t )  3



(r , t )  (r  r , t  t )



t  S(r )    t  t  S(r  r )  



t  S(r  r )  S(r )  0
Velocidad de Fase



t  S(r  r )  S(r )  0




S(r  r )  S(r ) 
t 
 r  0

r


 dt  S(r )  d r  0
Velocidad de Fase

r (t )

r (t  d t )
ds



dt S(r )  nˆ


 dt  S(r )  d r  0

dr

d r  nˆ ds

 dt  S(r )  nˆ d s  0
ds



dt S(r )  nˆ

S(r )
nˆ 

S(r )
Velocidad de Fase
El valor mínimo de
de la derivada se
tiene cuando:

nˆ  (r , t )
ds


 c
dt S(r )
Ondas Planas


 (r , t )  t  S(r )     


 (r , t )  S(r )  t   
n̂

r
s

r  nˆ  s


S(r )  k (nˆ  r )
Ondas Planas: Función de fase


S(r )  k (nˆ  r )

k  k nˆ
  
S( r )  k  r
Función de Fase
 

 (r , t )   t  k  r  

 
 (r , t )  E(r )e

i  t  k r
Estructura del campo óptico

Onda Armónica
Onda Armónica
Longitud de Onda: l
Frecuencia:n
c  ln
1 
n 
T 2
c 2
l  cT  
n k
Onda Armónica
Y
AMPLITUD
A(n )
z
Longitud de Onda
l
c  ln
Ondas Planas Monocromáticas

 

i  t  k x r 
E  E x xˆ  E y yˆ  Ez zˆ
 (r , t )  Ex e
 
 i  t kr 
E (r , t )  E0e

 
E  i E
t
 

  E  ik  E
 

  E  ik  E
 
 i  t kr 
B(r , t )  B0e

 
B  i B
t
 

  B  ik  B
 

  B  ik  B


Relación entre Campos B
   E
Ecuaciones de Maxwell:
t

 E  0
 

  E  ik  E



 


B

k

E
  E  ik  E
 k ˆ 
B  k E

 
 1 ˆ 
B  k E
k E  0
Ortogonalidad
Transversalidad
c
1

2
c


B H

H


ˆ 
k E
Polarización Lineal
 
 i  t kr 
E (r , t )  E0e
Campo Eléctrico
Periodo:
Tiempo de una oscilación completa

E
Periodo:
Tiempo de una oscilación completa


i  t  k z 
E ( z, t )  E0 x x  E0 y yˆ e


T
1
n
Polarización
Circular

Periodo:
Tiempo de una oscilación completa
Campo Eléctrico

i ( kz t )
i ( kz t  )
E  E0 e
xˆ  e
yˆ

Estados de Polarización Lineal

xˆ, yˆ  eˆ1, eˆ2 

i  t  k z 



E ( z, t )  E0 x x  E0 y yˆ e

En un punto fijo
 ik z0 
 ik z0
i t
E ( z0 , t )  E0 x e
x  E0 y e
yˆ e
1


2
2 2
i t
ˆ
E  Ex  E y
E ( z0 , t )  E x x  E y y e



Ey
Ex
eˆ 
xˆ 
yˆ ¡Fija en el espacio!
E
E

i 
E ( z, t )  E0 x e x  E0 y ei yˆ ei  t k z 




E ( z, t )  A1ψ1  A 2 ψ 2




E  Eeˆ
  i t k z 
ψ1  xe

i  t  k z 
ψ2  yˆe
Campos con Polarización Circular



i y
i x
i ( k z  t )
E  E0 e xˆ  e yˆ e


   x   y  

2

 i 2
 2
i ( k z  t ) i x
E  E0 xˆ  e yˆ e
e
e i


  xˆ  i yˆ 
i ( k z  t )
E  E0 xˆ  i yˆ e

  xˆ  i yˆ 

i ( k z  t )
E  E0 xˆ  i yˆ e

  i ( k z  t )

 e






E ( z, t )  A    A  

  i ( k z  t )
   e
Estados de Polarización Circular

i ( k z  t )
E  E0 xˆ  i yˆ e
 
 
En un punto fijo
k z0  φ 0

 E  E0 xˆ cos(k z0   t )  yˆ sin( k z0   t )

 E  E   E0 xˆ cos( t )  yˆ sin(  t )

i ( k z  t )
E  E0 xˆ  i yˆ e
 
 

 E  E0 xˆ cos(k z0   t )  yˆ sin( k z0   t )


 E  E  E0 xˆ cos( t )  yˆ sin(  t )
Y
Polarización y Helicidad
 

 E  E   E0 xˆ cos( t )  yˆ sin(  t )
Y
ŷ
x̂
X
E0
ŷ
x̂
Mano derecha
E0
X
Contra Reloj
Tornillo derecho
Helicidad Positiva
 

 E  E   E0 xˆ cos( t )  yˆ sin(  t )
Bases de los Estados Polarizados
xˆ, yˆ  eˆ1, eˆ2 


 
 ,   ˆ1 , ˆ2 


   
 ,     2
1
xˆ  iyˆ 
ˆ1 
2
1
xˆ  iyˆ 
ˆ2 
2
Polarización Lineal
xˆ  eˆ1, yˆ  eˆ2 
Polarización Circular

  xˆ  i yˆ 

  xˆ  i yˆ 
eˆ1  ieˆ2
eˆ1  ieˆ2 

, ˆ2 
ˆ1 

2
2 

Onda Electromagnética
Campos Eléctricos y Magnéticos
Que VIAJAN con una velocidad
c = 2.9979  108 m/s
c  ln
Espacio vectorial de las Funciones de Onda
Dada la ecuación de onda (EO):
Y, sea:
1  Y
2


Y0
2
2
c t
2


F : Y(r , t ) / Y(r , t ) Soluciona
si, F 
Y: Función de Onda
EO
1  2
2
   0
2
2
c t
F: Conjunto de las funciones de Onda
F,;
Es un Espacio Vectorial Lineal
sobre los números Complejos:
EVL sobre C
Suma de Funciones
 : FF  F
( ,  )   
F,
es GA
 ,   F  (   )  F
Clausura:
Asociatividad:
 ,  ,   F  (   )      (   )
Módulo:
!  F /   F  (  )  (  )  
Inverso:
  F,   F /(  )  (  )  
Conmutatividad:
 ,   F  (   )  (  )
Producto por Escalar
Sea F, el conjunto de Funciones de Onda y C, el conjunto de
los números Complejos
  C,   F
:
C F  F
( , )     
  C;   F       F
Asociatividad:
C. Módulo:
 ,   C;   F : ( )     ( )
Dado :    C;   F         
Distribución:
 ,   C;   F : (   )       
  C;  ,   F :   (   )     a  
Operadores y Funciones Propias
EO genera un espacio vectorial, F, sobre C.
Una aplicación,
Â
F
F
Que lleve elementos de F en F, se dice un Operador.
D
 : F  F
D A  {}  F;
Â
R
D A  {  F /   D A ; Â[ ]  Â  A    F}
R A     F;

R A    F /  :   D A ;   Â

Operadores Lineales
Un Operador, Q̂ se dice lineal si:
 ,   DQ ;  ,   C
Q̂           Q̂[ ]    Q̂[ ]



D̂ r    xˆ  yˆ  zˆ
x
y
z
Son Operadores lineales sobre F
Y    ; Y  F
Y      
1 
D̂t 
c t
1  2Y
2
 Y  0
2
2
c t
2

1
 Y
  2   [  Y ]  0
2
c t 
Vectores y Valores Propios
Un Operador, Q̂ se dice que tiene valores y vectores propios si:
 q  F; lq  C
 
 
Q̂  q  lq I  q
Q̂ - l I  0
Q
 
q
 
Q̂  q  lq   q  lq  q
Q̂ - l I   0
q
Ecuación Secular
Vectores propios de Q
l 
q
q
Valores propios de Q
Expansión en Vectores Propios
 
q
l 
q
Se dice no degenerado si :
lq {lq } : !  q { q }
lq  l 'q   q   'q
Un conjunto de vectores propios no degenerado es LI
Un Conjunto de vectores propios de un Operador
Lineal sobre F, es una Base de F
Si
Y  F  Y   q  q
q
Funciones Propias
Onda Plana, monocromática, con estructura

 i  t kr 
 (r , t )  E(r )e


 (r , t )  E
( r )e



 ik  r

i t
e
Temporal
Espacial

 i t
 (r , t )   (r )e
Helmholtz
1 
2
   0
2
2
c t
2


2
 (r )  k (r )  0
2

 i t
 (r , t )   (r )e
Funciones Propias
1 
2


 0
2
2
c t
2
 i t
1 

2



(
r
)
e


k

2
2
2
c t
c
2
2
1 
2
 k 
2
2
c t
2
   k 
2


2
  ( r )  k  ( r )
2
2
Principio de Superposición


i  t  k r 

  , k (r , t )  e
Son funciones propias de la EO
Así, cualquier función de onda podrá escribirse como:

 ik r
3
i t
 
 
Y(r ; t )   A(k ) e
Con:
   (k )
  ck

k

d ke


 
A(k )  A1 (k )ˆ1  A2 (k )ˆ2
Dos estados de polarización
Y( z ,t )   A  ( z ,t )
n
v
v
Ondas Planas: Componente monocromática
Cada componente del campo tiene la forma:



i  t  k r 
E j (r , t )  E0 j (r ;  )e
;
j  1, 2, 3 o, x, y, z
Así, cada componente de frecuencia ω contribuye al campo con:

 
 
i  t  k r 
E (r , t;  )  E0 (r ;  )e
En el rango de frecuencias entre ω y ω + d ω.
Ondas Planas: Composición Espectral
El campo de radiación, en un punto fijo del espacio, r0, será
una suma que tiene la forma:

 
 
i  t  k r0 
E (r0 , t )   E0 (r0 ;  )e
d

Así, para un campo sin estructura se obtiene:
 


i  t  0 
E (r0 , t )   E0 ( )e
d

Ondas Planas: Amplitud Espectral
La amplitud del campo de radiación, en un punto fijo del
espacio, r0, tiene entonces la forma:

 

i 0 
E0 (r0 ,  )e  A( )
Así, para un campo sin estructura, en un punto fijo, r0, se
obtiene finalmente:

 

i  t 
E (r0 , t )   A( )e d   E (t )

Composición de Fourier
El campo sin estructura, en un punto fijo, r0, es una composición
de la forma:


i  t 
E (t )   A( )e d 

La amplitud monocromática del campo de radiación, en un
punto fijo del espacio, r0, se obtiene entonces como:

1
A( )  2



 i  t 
E (t )e d t
Composición Espectral: Espacial
 
 
Y (r ; t )   A(k ) e

 ik r

k
 
A(k ; t ) 
1
2  
3
 
Y
(
r
)
e


3
i t
d ke

ik r

r
Son transformadas de Fourier mutuas
 i t
d re
3