ω y 0 ω y 0 1 > → > + n E E E - Universidad Complutense de Madrid

Sobre el origen de la dispersión normal
--------------------------------------------En estas notas se propone una explicación los más intuitiva posible de la dispersión normal (índice
de refracción mayor para mayor frecuencia) en términos de interferencia constructiva (antes de la
resonancia) y destructiva (después de la resonancia).
--------------------------------------------El campo eléctrico de una onda luminosa que se propaga en la materia es proporcional al resultado
de sumar el campo eléctrico de la onda incidente Ei más el campo E d emitido por las cargas
eléctricas en el medio, es decir por electrones y núcleos atómicos. El campo E d es proporcional al
movimiento acelerado de electrones y núcleos causado por el mismo campo incidente Ei de forma
que E d es proporcional a Ei . Las siguientes relaciones están escritas con cierta liberalidad para
simplificar los razonamientos [1]
E ∝ Ei + E d
E d = χE i
E ∝ Ei + E d ∝ n 2 Ei
El factor de proporcionalidad χ dice cuánto de efectivo es Ei en poner en moviendo los electrones
y núcleos y cuánto de efectivos son estos emitiendo luz. n es el índice de refracción, que a nuestros
efectos viene a decir lo mismo que χ .
En una primera aproximación suficiente para nuestros propósitos la dinámica de electrones y
núcleos equivale a un oscilador armónico (es decir un muelle) de cierta frecuencia natural ω 0 (o
frecuencia de resonancia), que es la frecuencia a la que oscila de forma natural [2].
Si la frecuencia de oscilación de la luz es ω , la dinámica de la materia equivale un oscilador
armónico forzado a vibrar a la frecuencia ω . La amplitud de oscilación depende de la relación entre
ω y ω 0 . La amplitud es mayor cuanto más cerca están ω y ω 0 . Esta es la idea usual de
resonancia. En primera aproximación diríamos que χ y n son mayores cuanto más se parezca ω a
ω 0 . Pero esta no es toda la historia puesto que además de la amplitud la fase juega un papel.
Recordemos que ω 0 viene a ser inversamente proporcional a la inercia del oscilador (es decir su
masa). Frecuencias ω 0 altas significan poca inercia, es decir poca masa.
Cuando ω < ω 0 forzamos el oscilador a una frecuencia menor que la natural. Estamos en el caso de
poca inercia. Por ello el oscilador puede seguir cómodamente la oscilación impuesta de forma que
el oscilador material está en fase con el campo Ei . Por tanto χ es positiva, E d tiene el mismo
signo que Ei y la suma E = Ei + E d es una interferencia constructiva [3]
E i + E d > Ei → n > 1
Cuanto más cerca está ω de ω 0 más grande es Ed , mayor es E = Ei + E d y mayor es el índice de
refracción. Es decir que el índice crece cuando la frecuencia ω crece acercándose a ω 0 .
Por el contrario, cuando ω > ω 0 forzamos el oscilador a una frecuencia mayor que la natural. Es el
caso de un oscilador con mucha inercia. El oscilador no puede seguir la oscilación impuesta por Ei
y va retrasado con respecto a la oscilación luminosa. El oscilador material está en oposición de fase
con el campo Ei , χ es negativa, E d tiene el signo opuesto al de Ei y la suma E = Ei + E d es una
interferencia destructiva
E i + E d < Ei → n < 1
Cuanto más lejos está ω de ω 0 más pequeño es Ed , mayor es E = Ei + E d y mayor es el índice
de refracción [4]. Es decir que para ω > ω 0 el índice también crece con la frecuencia a medida que
ω se aleja de ω 0 .
La dependencia del índice de refracción con la frecuencia es la ilustrada en la figura. En el entorno
de ω 0 la cosa se complica puesto que χ se hace compleja y no vale el razonamiento simple
anterior. Tampoco nos importa mucho, puesto que se trata de una zona de absorción donde la
dispersión se hace anómala. Es esta zona el índice de refracción decrece con la frecuencia
precisamente para empalmar los dos comportamientos antes y después de ω 0 que hemos descrito
anteriormente. Ese salto hacia abajo del índice refleja el paso de interferencia constructiva a
destructiva que hemos razonado en términos de la inercia del oscilador material.
Un cálculo más completo da lugar a la siguiente gráfica para la fase entre la onda
E d ∝ cos(ω t − δ ) y la onda Ei ∝ cos(ω t ) [5]
que muestra la transición entre la oscilación en fase δ = 0 para ω < ω 0 y en oposición de fase
δ = π para ω > ω 0 . En resonancia ω = ω 0 el retraso del oscilador material con respecto al campo
es de π / 2 con lo que la potencia P que el campo transmite al oscilador es máxima (máxima
absorción). La potencia transmitida por el campo Ei = cos(ω t ) a una carga en movimiento es
proporcional a la fuerza que ejerce multiplicada por la velocidad de la carga,
velocidad ∝ − sin(ω t − δ ) , es decir fuerza multiplicada por desplazamiento dividido por tiempo.
Este producto es máximo cuando δ = π / 2 , es decir cuando el máximo valor de la fuerza coincide
con el máximo valor de la velocidad [6].
Notas inspiradas en comentarios de Héctor Canabal y corregidas por Luis Miguel Sánchez y
Mª Cruz Navarrete.
Alfredo Luis Aina
Departamento de Óptica
Universidad Complutense
Notas:
[1] No hay problemas con la conservación de la energía. La luz reemitida por la materia lleva
energía que ha sido previamente extraída de la onda incidente. Por ello se ha optado por hablar
simplemente de proporcionalidad. En un análisis más completo se tiene en cuenta que el campo
eléctrico que siente cada átomo no es sólo el incidente sino la suma del incidente y de los reemitidos
por todas las cargas del medio.
[2] La fuerza que opone un sistema a ser sacado de una configuración de equilibrio siempre es en
primera aproximación lineal con la perturbación. Los campos eléctricos luminosos Ei suelen ser
muy pequeños comparados con los atómicos y vale la aproximación lineal (óptica lineal).
[3] Ei y Ed son coherentes y pueden interferir ya que E d ∝ Ei .
[4] El índice está por debajo de 1 cuando pasamos la resonancia ω 0 porque estamos suponiendo
que no hay más resonancias a la derecha de ω .
[5] En representación compleja
Ed ∝
1
exp(− iω t )
 ω 
ω
 − iγ
1 − 
ω 02
 ω0 
donde γ es un factor que tiene en cuenta la absorción de luz incidente por parte del átomo.
2
[6] Lo que quiere decir que lo óptimo es empujar un columpio cuando está más bajo, no cuando está
más alto, auque sea un poco más incómodo y peligroso.