Tomo II - PROFESOR JANO es Víctor M. Vitoria

Tomo II
2º Bachillerato
Valentín Laconcha Abecia
Marianistas – Compañía de María
Bachillerato – 2009 - 2010
Ciencias de la Naturaleza / Tecnología
UNIDAD IV: Interacciones
246
FÍSICA
2º Bachillerato
. Ciencias de la Naturaleza y de
la Salud
. Tecnología
UNIDAD IV :
Interacciones
TEMA 11.Interacción gravitatoria:
Campo gravitatorio
TEMA 12.Interacción electromagnética:
Campo eléctrico
TEMA 13.Interacción electromagnética:
Campo magnético
TEMA 14.Inducción magnética
TEMA 15.Ondas electromagnéticas
Marianistas – Compañía de María
Bachillerato
Valentín Laconcha Abecia, S.M.
Doctor en C. Físicas
2009 - 2010
U IV T 11: Campo Gravitatorio
247
T E M A 11.INTERACCIÓN GRAVITATORIA:
Campo Gravitatorio
SUMARIO:
11.1.- Interacciones y campos
11.2.- Ley de la gravitación universal
11.3.- Campo gravitatorio: Intensidad del campo y potencial
11.4.- Campo gravitatorio: Ley de Gauss
11.5.- Esfera gravitatoria: Campo y potencial
11.6.- Esfera terrestre: Puntos próximos a su superficie
11.7.- Movimiento en un campo gravitatorio: Leyes de Kepler
11. 8.- Movimiento en un campo gravitatorio: Planetas y satélites
Actividades desarrolladas
Actividades propuestas
U IV T 11: Campo Gravitatorio
248
1.- INTERACCIONES Y CAMPOS
Hasta el presente, se han estudiado las interacciones entre cuerpos materiales en contacto
o con nexos de unión entre ellos (cuerdas, medios materiales de unión, ...). Las fuerzas de contacto aplicadas a un cuerpo venían determinadas mediante el concepto de aceleración, por aplicación de la segunda ley de Newton.
¿Qué decir de las interacciones a distancia, sin contacto ni nexos de unión? Por ejemplo: la
atracción gravitatoria entre cuerpos materiales, la atracción o repulsión entre cargas eléctricas, las
acciones magnéticas de los imanes, ... En todos estos casos son interacciones a distancia y el
medio material en el que se encuentran los cuerpos en interacción es prescindible. Los problemas
derivados de las acciones a distancia se abordan introduciendo el concepto de campo de fuerzas,
como veremos enseguida.
Las acciones mutuas o interacciones que se ejercen entre sí los cuerpos materiales se
pueden agrupar básicamente en estos cuatro tipos:
1.- Interacción gravitatoria: La más conocida desde la antigüedad y la primera estudiada
cuidadosamente. Es responsable de numerosos fenómenos naturales: el movimiento planetario, el
movimiento de la materia en su conjunto. Su alcance es infinito. Por su intensidad, puede considerarse como la interacción más débil de la Naturaleza.
2.- Interacción electromagnética: La mejor estudiada y comprendida. Y la más importante
en nuestra vida diaria. Está presente en la mayoría de los fenómenos físicos, químicos y biológicos; está presente en las acciones entre átomos y moléculas. Su alcance es también infinito. Y es
mucho más intensa que la gravitatoria.
3.- Interacción fuerte o nuclear: Es una interacción muy estudiada pero aún insuficientemente comprendida. Es responsable de que los nucleones (protones y neutrones) se mantengan
dentro del núcleo fuertemente ligados, y de otros fenómenos relacionados (como la unión de los
quarks, partículas integrantes de los nucleones). Su alcance es sumamente pequeño; es del orden
del fermio (1 fermio = 1 femtómetro = 10-15 m). Es la interacción conocida de mayor intensidad.
4.- Interacción débil: De ella se tiene un conocimiento aún muy escaso. Es responsable de
ciertos procesos entre partículas elementales, tales como la desintegración beta. Su alcance es
todavía menor que el de la interacción fuerte (< 1 fermio) y es de menor intensidad que ella.
Las intensidades relativas de todas estas interacciones son, tomando la interacción fuerte
como unidad:
* fuerte
~ 100
* electromagnética
~ 10-3
* débil
~ 10-6
* gravitatoria
~ 10-40
Como se ha indicado anteriormente, para describir estas interacciones (acciones a distancia) se introduce el concepto de campo de fuerzas. Por campo entendemos una propiedad física
que se extiende sobre una región del espacio y se describe mediante una función de la posición y
del tiempo (Cf. Unidad I, tema 3, nº 3).
Según la Física Clásica, para cada interacción, suponemos que una partícula produce alrededor de ella (dentro de su alcance) el campo de fuerzas correspondiente. Este campo a su vez
actúa sobre una segunda partícula dando lugar a la fuerza requerida (acción). La segunda partícula, por su parte, crea su propio campo el cual actúa sobre la primera partícula produciendo la fuerza correspondiente (reacción): de este modo, resulta la interacción mutua entre ambas partículas.
U IV T 11: Campo Gravitatorio
249
Modernamente, la trasmisión de las fuerzas entre las distintas cargas de cada interacción
están descritas por la Teoría Cuántica de Campos que explica estas acciones a distancia como
realizadas bajo la acción de ciertas partículas elementales que hacen de intermediarias, transmisoras, o portadores de la interacción. Se denominan bosones de gauge virtuales.
+ En el caso de la interacción fuerte, estos bosones se denominan gluones; aglutinan los
quarks en el interior de los nucleones y mantienen cohesionado el núcleo de los átomos.
+ Los portadores de la interacción débil son los bosones W+, W- y Z0.
+ En el caso de la interacción electromagnética, los intermediarios son los fotones.
+ Se admite como partículas transmisoras de la interacción gravitatoria los gravitones, partículas aún no detectadas experimentalmente.
2.- LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
”... de cómo Newton, aparte del cuento de la manzana que cae conturbando la
placentera siesta del genio, ideó, gestó y dio a luz con extraordinaria intuición esta
magnífica ley...”
(Extractado de “FISICA”, vol. I: Mecánica, de M.Alonso y E.J.Finn, pgs 411-412)
“Uno de los problemas fundamentales que ha intrigado al hombre desde los albores de la civilización ha sido el movimiento de los cuerpos celestes o, como decimos hoy día, el movimiento
planetario. Quizá uno de los procesos más interesantes en la historia de la ciencia ha sido la evolución de nuestra comprensión del movimiento planetario.”
“Los griegos, que consideraban al hombre como el centro del Universo, supusieron que la
Tierra era su centro geométrico y que los cuerpos celestes se movían alrededor de la Tierra. Los
cuerpos conocidos en aquel tiempo fueron ordenados de acuerdo con la distancia promedio a la
Tierra: la Luna, Mercurio, Venus, el Sol, Marte, Júpiter y Saturno.”
“La primera hipótesis relacionada con el movimiento planetario consistió en suponer que los
planetas describían círculos concéntricos, teniendo a la Tierra en su centro. Esta suposición, sin
embargo, no explicaba el movimiento observado de estos cuerpos con respecto a la Tierra, y la
geometría del movimiento planetario se hizo más y más compleja. En el siglo segundo de la era
cristiana, el astrónomo Ptolomeo de Alejandría desarrolló la teoría de las epicicloides para explicar este movimiento. En forma sencilla, se suponía que el planeta describía, con movimiento uniforme, un círculo denominado epiciclo, cuyo centro a su vez se desplazaba en un círculo mayor,
concéntrico con la Tierra y llamado deferente. La trayectoria resultante del planeta es así una epicicloide. En algunos casos era necesaria una disposición más complicada para describir los movimientos planetarios. En nuestro lenguaje actual, lo que hicieron los griegos fue describir el movimiento planetario con respecto a un sistema de referencia situado en la Tierra.”
U IV T 11: Campo Gravitatorio
250
“Esta descripción fue aceptada como correcta hasta que, en el siglo dieciséis, el monje polaco Nicolás Copérnico (1473-1543), que buscaba una solución más simple, propuso describir el
movimiento de todos los planetas, incluyendo la Tierra, con respecto al Sol, el cual estaría en el
centro. La idea no era nueva; había sido propuesta por primera vez por el astrónomo griego Aristarco, alrededor del siglo tercero antes de Cristo. De acuerdo con Copérnico, el orden de las órbitas de los planetas con respecto al Sol era el siguiente: Mercurio, Venus, la Tierra, Marte, Júpiter y
Saturno, girando la Luna alrededor de la Tierra. Lo que Copérnico propuso esencialmente fue otro
sistema de referencia situado en el Sol, respecto al cual el movimiento de los planetas tenía una
descripción más sencilla.”
“El Sol, el cuerpo más grande de nuestro sistema planetario, coincide prácticamente con el
centro de masas del sistema solar, y se mueve más lentamente que los otros planetas (la masa
del sol es unas 1063 veces mayor que la suma de las masas del resto de cuerpos del sistema
solar). Esto justifica el haberlo escogido como centro de referencia, ya que es prácticamente un
sistema inercial. Lo propuesto por Copérnico ayudó al astrónomo Johannes Kepler (1571-1630) en
el descubrimiento de las leyes del movimiento planetario, como resultado del análisis cuidadoso
de las mediciones astronómicas de Tycho Brahe (1546-1601). Estas leyes, denominadas leyes de
Kepler, son una descripción cinemática del movimiento planetario, y se enuncian de la siguiente
manera:
I.- Los planetas describen órbitas elípticas, estando el Sol en uno de sus focos. (Ley de las
órbitas)
II.- El vector de posición de cualquier planeta con respecto al Sol barre en la elipse áreas
iguales en tiempos iguales. (Ley de las áreas).
III.- Los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas son proporcionales a los
cubos de las distancias promedio de ellos al Sol. (Ley de los periodos. Esta ley puede expresarse por la ecuación R3 = k T2, siendo k una constante de proporcionalidad).”
“La siguiente etapa en la historia de la astronomía fue una discusión de la dinámica del movimiento planetario y un esfuerzo por determinar la interacción responsable de tal movimiento. Es
aquí donde Sir Isaac Newton (1642 -1727) llevó a cabo su grandiosa contribución, la ley de gravitación universal. Esta ley, formulada por Newton en 1666, sólo fue publicada en 1687, cuando
apareció como un capítulo de su monumental trabajo Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.”
Aunque la órbita de los planetas es una elipse, su excentricidad (e = 0’017) es muy pequeña, por lo que simplificaremos la deducción que hizo Newton, suponiendo una órbita circular. Según él, la interacción entre los cuerpos celestes se produce como si las masas de los mismos estuviesen concentradas en su centro.
El Sol atrae al planeta con una fuerza centrípeta
Fps y éste describe una trayectoria circular de radio R,
con velocidad angular constante (M.C.U.) ωp. (En adelante, los subíndices p y s indican que la magnitud física correspondiente hace referencia al planeta o al Sol,
respectivamente). La ecuación fundamental de la dinámica se expresa así:
Fps = mp acp = mp (vp2 / R) = mp R ωp2 = mp R (2π/Tp)2
= 4π2R(mp/Tp2)
Fps = 4π2R(mp/Tp2)
(1)
donde Fps es la fuerza ejercida por el Sol sobre el planeta; m p, v p, ωp y Tp son la masa, velocidad
lineal, velocidad angular y periodo del planeta; y R la distancia planeta-Sol.
U IV T 11: Campo Gravitatorio
251
La 3ª ley de Kepler expresa la proporcionalidad siguiente para los diversos planetas del sistema solar:
R13/T12 = R23/T22 = R33/T32 = .... = ks
La constante ks depende del Sol; no depende de los planetas. Por ello, se puede sustituir en
(1) el valor de Tp2, Tp2 = R3/ks, con lo que resulta:
Fps = 4π2R(mp/R3) ks = 4π2ks(mp/R2)
Fps = 4π2ks(mp/R2)
(2)
La 3ª ley de Newton implica también que el planeta ejerce su acción sobre el Sol, Fsp, de
igual valor y sentido opuesto (módulos iguales, Fsp = Fps). Pero esta fuerza, Fsp, debe ser formalmente análoga a Fps, es decir:
Fsp = 4π2kp(ms/R2)
(3)
Igualando (2) y (3), y simplificando, resulta: kp ms = ksmp o bien:
mp/kp = ms/ks
(4)
La ecuación (4) separa en cada miembro los valores relativos al planeta y los relativos al
Sol. Llamando K al valor común de cada miembro, K ≡ mp/kp = ms/ks , esta nueva constante es
independiente de cada planeta e independiente del Sol. Y puesto que entonces ks = ms/K , sustituyendo este valor en (2) se llega a Fps = (4π2/K).(ms.mp/R2) . Llamando G ≡ 4π2/K , se tiene finalm smp
mente:
(5)
Fps = G
R2
Newton observó cómo la constante G no dependía de los cuerpos en interacción, el Sol y
cada planeta. En base a ello, y aquí está su gran genialidad, generalizó este comportamiento
aplicándolo a cualquier par de cuerpos en interacción:
Todo cuerpo atrae a cualquier otro con una fuerza que es directamente proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que
las separa.
F::m
F : : m’
F : : 1/r2
F=G
m.m'
r
(6)
2
Esta ley de Gravitación Universal fue comprobada por H. Cavendish, en 1798, mediante
un dispositivo denominado balanza de torsión de Cavendish.
Dicho dispositivo utilizado por Cavendish consta de una varilla de longitud L = 180 cm, con
dos esferas pequeñas de platino en sus extremos, de masa m = 730 g cada una.
La barra, de longitud L, está suspendida, por su punto medio, de un hilo muy fino de torsión
(de cuarzo) que lleva intercalado un pequeño espejo, sobre el que incide un rayo de luz que, después de reflejarse en él, se recoge sobre una escala graduada. (Estudiar la figura)
U IV T 11: Campo Gravitatorio
252
Colocando a uno y otro lado de la varilla, simétricamente, y en el mismo plano horizontal,
dos esferas de plomo iguales, de masa m’ = 158 kg cada una, se origina un par de fuerzas que
produce una torsión del hilo, observándose en la escala la desviación del rayo de luz reflejado en
el espejo. En la nueva posición de equilibrio, el par de torsión originado por la atracción gravitatom m'
ria M = G
. L es equilibrado por el par de torsión del hilo, M = K θ (siendo K la constante de
r2
Kr2 θ
m m'
torsión del hilo, característica del mismo). G 2 . L = K θ ⇒ G =
m m' L
r
Repitiendo el experimento a varias distancias r, y utilizando diversas masas m y m’ podemos
obtener un valor bastante preciso de G.
Resulta para esta constante un valor, en el Sistema Internacional, dado por:
G = (6’6720 ± 0’de0041)x10-11 N.m2.kg-2
Así pues, y de acuerdo con la generalización de Newton, los cuerpos materiales se atraen
mutuamente. A este fenómeno se le denomina interacción gravitatoria.
Todo cuerpo material presenta esta propiedad, la gravitación, que es la capacidad de atraer
a los demás cuerpos materiales. La magnitud física asociada a esta capacidad, y que sirve para
medirla, se llama masa (gravitatoria) del cuerpo material. La interacción gravitatoria entre dos
cuerpos materiales viene dada por (6). Y vectorialmente, se expresa así:
r
m.m'
F = − G 2 r̂
r
(7)
donde los cuerpos materiales tienen las masas m y m’, respectivamente, siendo r la distancia que
los separa. Se los considera puntuales, al ser sus dimensiones despreciables frente a la distancia
mutua.
El aspecto vectorial de la expresión (7) se entiende del modo siguiente:
r
F representa la acción del cuerpo de masa m sobre el de masa m’. Es una fuerza cuyo
módulo es F = G (m.m’)/r2 ; su dirección y sentido quedan determinados por el signo menos, y el
r
versor r̂ ≡ r /r. Este vector unitario r̂ expresa la dirección y sentido radiales, desde el cuerpo de
U IV T 11: Campo Gravitatorio
253
masa m hacia el de masa m’, y el signo menos manifiesta el carácter atractivo de la fuerza de interacción.
La interacción gravitatoria verifica el principio de superposición: “Cuando un cuerpo se ve
sometido simultáneamente a la acción de varias fuerzas, el efecto resultante es igual a la suma de
los efectos que experimentaría si estuviera sometido a cada una de las fuerzas por separado.”
n r
r
r
Fi donde F i es la fuerza ejercida por la masa mi.
O sea, F =
∑
i=1
Por tanto, si se tiene una distribución discreta de
masas m1, m2, m3, ... mi, ...mn, y la posición de la masa m’
r r r
r
respecto
a ellas es, respectivamente, r 1, r 2, r 3, ... r i, ...
r
r n la fuerza resultante ejercida por la distribución de masas sobre la m’ es
r
F=
n
⎛
r
∑ F = ∑ ⎜⎜ − G
i
i=1
⎝
m i .m' ⎞
r̂i ⎟⎟ = m'
ri2
⎠
⎛
mi
⎝
i
∑ ⎜⎜ − G r
2
⎞
r̂i ⎟⎟
⎠
3.- CAMPO GRAVITATORIO: INTENSIDAD DEL CAMPO Y POTENCIAL
Las fuerzas de interacción entre dos masas, m y m’, son fuerzas ejercidas a distancia. Vimos en otro tema (Cf. Unidad I, tema 3, nº 12) cómo cabe una nueva interpretación de la interacción, en términos de la teoría de campos elemental: la masa m crea un campo en el espacio (o en
una región de él); este campo actúa sobre la masa m’ situada en su seno: la acción del campo
sobre la masa m’ es la fuerza de interacción.
r
♣ Intensidad del campo gravitatorio, g (r), creado por un cuerpo puntual de masa m.
La intensidad del campo gravitatorio creado por m en un punto P situado a una distancia r
viene dada por el valor de la fuerza expresada
en (7) que actúa sobre la masa unidad, (m’ = 1)
r r
colocada en dicho punto; es decir, g = F / m’. Por tanto:
r
m
g(r ) = − G 2 r̂
r
(8)
r
Como se observa, g sólo depende de la masa m creadora del campo; y es función de la distancia r a ella.
r
r
El campo g(r ) , al igual que F , se nos presenta con dos
características importantes:
a) Es un campo central. En efecto, al ser generado por
una masa m, que suponemos puntual y situada en un
r
punto del espacio O, que llamamos “centro”, g(r) está
en todo punto dirigida hacia dicho centro O.
U IV T 11: Campo Gravitatorio
254
Todo cuerpor material, de masa m’, en el seno de dicho campo se ve pues sometido a
r
una fuerza F = m’ g dirigida también hacia O.
Si sobre él no actúa más que esa fuerza, su movimiento es plano, verificando la ley de
las áreas, pues se conserva el momento angular de dicho cuerpo. (Cf. Unidad I, tema 3,
nº 3)
b) Es un campo conservativo. (Cf. Unidad I, tema 3,
nº 7). En efecto, el trabajo realizado por el campo, al
llevar la unidad de masa a describir un ciclo cerrado
cualquiera, es nulo.
r
rA
r r
r̂.d r
⎛ dr ⎞
g.d r = −Gm
Gm
=
⎜− 2 ⎟ =
2
r
r ⎠
c
c
rA ⎝
∫
∫
∫
rA
⎛1⎞
=Gm ⎜ ⎟ =0
⎝ r ⎠ rA
habiendo tenido en cuenta (ver la figura) que
r
r̂.d r = 1.ds. cos α = dr
♣ Potencial gravitatorio, V(r), creado por el cuerpo de masa m.
r
Que el campo g sea conservativo implica que proviene de un potencial V originado en el
espacio por la masa m. A este potencial lo llamaremos potencial gravitatorio. Tal y como se vio
r
(Cf. Unidad I, tema 3, nº 13), la expresión que relaciona el campo g y el potencial V es la expresada en dicho tema por la ecuación (7), que adquiere en nuestro caso, según (8), la forma:
r r
dr
m ⎞ r
⎛
dV = − g.d r = − ⎜ − G 2 r̂ ⎟.d r = G m 2
r
r ⎠
⎝
Para obtener la función V(r), potencial gravitatorio en un punto cualquiera, aplicamos la expresión integral (7) del tema 3, nº 13:
V(r) =
r r
∫ dV + C = − ∫ g.d r + C
= Gm
dr
∫r
2
+ C = −G
m
+ C
r
La constante de integración C es arbitraria. Su valor depende del convenio que se adopte:
en qué punto del espacio consideramos nulo el valor de V. Se acostumbra aceptar que V = 0
cuando r → ∝ , o sea, V(∝) = 0. Por tanto, sustituyendo en la expresión inmediata anterior,
m
resulta: V(∝) = − G + C = 0
⇒
C=0
∞
Así que, en base a este convenio, podemos escribir el potencial gravitatorio en todo punto, así:
V(r ) = −G
m
r
(9)
Nótese que, para todo punto P del espacio,
es V(r) ≤ 0, pues r es esencialmente positivo (distancia
radial desde O, posición de la masa m, al punto P considerado). Este hecho se expresa en teoría de campos diciendo que la masa m crea a su alrededor un pozo de potencial.
U IV T 11: Campo Gravitatorio
255
En efecto, una masa m’ en el seno de dicho campo creado por m posee una energía potencial gravitatoria dada por Ep = m’V(r), según el tema 3, nº13, ecuación (5);
o sea:
Ep(r) = - G
m m'
r
(10)
Esta energía potencial de m’ es asimismo negativa, Ep (r) ≤ 0; se expresa este hecho diciendo que m’ está ligada al campo, se encuentra en el pozo de potencial creado por m.
Si suponemos m’ en reposo, para “sacarla” del pozo, es decir para liberarla de él, es preciso
darle al menos una energía igual a ⏐Ep(r)⏐. Se consigue comunicándole una energía cinética que
le impulse con una velocidad ve tal que
m.m'
2Gm
⇒
(11)
ve =
r
r
A esta velocidad se le denomina velocidad de escape, y es la mínima velocidad que hay que
comunicar a m’ para liberarla del campo gravitatorio creado por m. Veremos en otro lugar la aplicación de esta relación: ¿con qué velocidad se ha de lanzar un satélite, desde la superficie de la
Tierra, para que escape de su acción gravitatoria (T 11, 8A)?
½ m’.ve2 = G
♣ Significado físico del potencial gravitatorio.
La diferencia de potencial gravitatorio, VA – VB, entre dos puntos A y B en el seno del
campo viene dada por:
⎛1
⎛
m⎞ ⎛
m⎞
1⎞
VA – VB = V(rA) – V(rB) = ⎜⎜ − G ⎟⎟ − ⎜⎜ − G ⎟⎟ = Gm⎜⎜ − ⎟⎟
rA ⎠ ⎝
rB ⎠
⎝ rB rA ⎠
⎝
⎛1
1⎞
VA – VB = Gm⎜⎜ − ⎟⎟
⎝ rB rA ⎠
(12)
¿Cuál es su significado físico? Para una masa m’, en el seno del campo, se verifica que
WAB = - ∆Ep = - m’ ∆V = m’ (VA – VB )
⇒
⇒
VA – VB = WAB / m’
VA – VB representa el trabajo realizado por el campo gravitatorio para llevar la unidad de masa desde A hasta B.
¿Y cuál es el significado físico del potencial gravitatorio en un punto, V(r)? Si consideramos que A
es un punto cualquiera P, y B es el punto del infinito, r → ∝, en el que V(∝) = 0, entonces:
V(r) – V(∝) = WP∝ / m’
⇒
⇒
V(r) = WP∝ / m’
V(r) representa el trabajo que el campo gravitatorio realizaría para llevar la masa unidad desde la posición P hasta el infinito.
♣ Superposición de campos y de potenciales gravitatorios.
Hasta ahora hemos considerado tanto la intensidad como el potencial del campo gravitatorio
creado por una sola masa m. Para estudiar ambos, intensidad y potencial gravitatorios, debidos al
campo creado por una distribución de masas, basta aplicar el principio de superposición, tanto
r
para g(r ) como para V(r). En efecto, ambos son aditivos, el primero vectorialmente, el segundo
escalarmente, del mismo modo que lo son las fuerzas de interacción gravitatoria y las energías
U IV T 11: Campo Gravitatorio
256
potenciales asociadas a ellas. Así pues, dada una distribución de masas m1, m2, m3, ..., mi, ..., mn,
se verificará:
r
r
V(r) =
Vi (r i )
g(r ) =
gi (ri )
∑
∑
♣ Líneas de campo y superficies equipotenciales.
El campo gravitatorio se representa por sus líneas de campo y por sus superficies equipotenciales. Nada hay que añadir a lo expresado en la
Unidad I, tema 3, nº 6 y 13.
r
* La intensidad del campo g(r ) se representa por
las líneas de campo, tangentes en todo punto al
r
vector g en él.
* El potencial gravitatorio V(r) se representa por las
superficies equipotenciales. Todos los puntos de
una determinada superficie equipotencial poseen
el mismo potencial.
En todo punto de un campo gravitatorio, el vector
r
g(r ) es perpendicular a la superficie equipotencial en él
y está dirigido hacia potenciales decrecientes (ver la
demostración correspondiente en Unidad I, tema 3, nº
13).
Líneas de fuerza y superficies
equipotenciales del campo
gravitatorio de una masa puntual
En el caso del campo creado por una sola masa m, la figura anterior señala la forma de las
líneas de campo (radiales) y de las superficies equipotenciales (esféricas y concéntricas, con potenciales negativos crecientes, tendiendo a cero para r → ∝).
U IV T 11: Campo Gravitatorio
257
4.- CAMPO GRAVITATORIO: LEY DE GAUSS
Revisemos algunos conceptos expresados en la Unidad I, tema 3, nº 15.
r
♦ Llamamos vector dS (vector superficie elemental) al vector cuyo módulo es dS y cuya dirección es perpendicular a dicha superficie elemental. ¿Y el sentido de dicho vector?
r
+ Si la superficie elemental dS pertenece a una superficie S cerrada, el sentido de dS es
apuntando hacia afuera de S.
+ Si la superficie elemental dS pertenece a una superficie S abierta, ... se verá más adelanr
te dicho sentido de dS .
♦ Se define, matemáticamente, “Flujo eler
mental dΦ de un campo C a través de una superficie elemental dS” así:
r r
dΦ = C dS = C cosϕ dS
r
y “Flujo Φ de un campo C a través de una superficie S” así:
r r
Φ=
C dS
∫∫
S
♦ Teorema de Gauss, en general, para un
r
K
campo de la forma: C = 2 r̂ , radial y proporcional a
r
2
1/r .
Tal es el caso de los campos gravitatorio
r
r
m
q
g = − G 2 r̂ y eléctrico (como veremos) E = k 2 r̂ .
r
r
En este caso, el flujo Φ a través de la superficie cerrada S sería:
r
r r
cos ϕ
r̂.dS
Φ = ∫∫ C.dS = K ∫∫ 2 = K ∫∫ 2 dS
r
S
S r
S
r
ya que r̂.dS = 1 . dS . cos ϕ
Se puede demostrar que la integral
y por tanto
∫∫
cos ϕ
r
r̂.dS
r
2
=
cos ϕ
dS
r2
dS no depende de la forma de la superficie cerrada
r2
S. Sólo depende de la posición interior o exterior de la fuente creadora del campo (en el
caso del campo gravitatorio, de la posición de la masa m; en el caso del campo eléctrico,
de la posición de la carga q). Esta integral vale:
+ 0,
si la fuente del campo es exterior a S.
+ 4 π,
si la fuente del campo es interior a S.
Por lo tanto,
r
r r
( fuentes de campo exteriores a S)
el flujo de C a través de S es: Φ = ∫∫ C.dS = ⎧⎨ 0
4
π
K
(
fuentes de campo interiores a S)
⎩
S
S
A esta expresión se la denomina ”Ley de Gauss” .
Caso gravitatorio:
K = - Gm ⇒ Φ = - 4πGm
→
Φ = - 4πG
∑m
int
U IV T 11: Campo Gravitatorio
258
r
Teorema de Gauss : El flujo del campo gravitatorio g a través de una superficie ce-
Φ = - 4π G
rrada es
donde el sumatorio
∑m
i
∑ m afecta exclusivamente a las masas interiores a dicha superficie.
i
Este teorema puede explicarse, para una sola masa
m, de un modo sencillo, así:
• Sea la masa m interior a la superficie cerrada S.
Consideremos la superficie esférica S0, interior a S, de
radio r0 y centro en m. Todo el flujo creado por m atraviesa ambas superficies S y S0, siendo por tanto el mismo
(ver figura).
r
r r
r
Φ = ΦS = Φ S 0 = g.dS = g0 .dS 0
∫∫
∫∫
S
S
En todos los puntos de la superficie esférica S0, el
r
m
m
campo g 0 = - G 2 r̂ tiene como módulo G 2 constante,
r0
r0
y está dirigido radialmente hacia m.
Por tanto,
r
r
m
g0 .d S0 = g0 .dS0 cos(180º) = - g0 .dS0 = - G 2 dS0
r0
Y sustituyendo este valor en la integral:
Φ = ΦS = Φ S 0 = - G
m
{ dS 0 }.
r02 ∫∫
S0
La integral anterior es igual al área de la superficie esférica S0 , o sea S0 = 4 π r 02 .
Por lo tanto: Φ = ΦS = Φ S 0 = - G
m
4 π r 02 = - 4 π G m
2
r0
→ Así pues, si m es interior a S, Φ = - 4 π G m .
• Sea la masa m exterior a la superficie cerrada S (ver figura). El flujo a través de la superficie S2 (flujo negativo) es el mismo que el saliente (flujo positivo) a través de la superficie S1, y de
signo contrario; por tanto, el flujo neto a través de S = S1 + S2 es nulo.
→ Así pues, si m es exterior a S, Φ = 0 .
5.- ESFERA GRAVITATORIA: CAMPO Y POTENCIAL
Aplicamos la Ley de Gauss en la obtención del campo y el potencial gravitatorios creados
por una esfera másica, de centro en O (origen de referencia), radio R y masa M, radialmente
homogénea [quiere decir, la densidad en cada punto P de ella sólo depende de su distancia radial
r = OP; ρ = ρ(r)]. La Tierra es aproximadamente una esfera que cumple estas condiciones; por
tanto lo estudiado en esta parte puede aplicársele como primera aproximación.
Calculemos el campo y el potencial gravitatorios creados por esta esfera en puntos P del
espacio: i) exteriores a ella (r > R)
ii) sobre su superficie (r = R)
iii) interiores a ella (r < R).
U IV T 11: Campo Gravitatorio
259
i) Puntos exteriores a la esfera, r > R.
A causa de la simetría, la intensidad del campo gravitatorio en cualquier punto P del espacio
r
depende sólo de la distancia r de P al centro O de la esfera: g (r).
Podemos tomar una esfera gaussiana, concéntrica
con la dada, de radio r, y aplicar a ella la ley de Gauss:
r r
Φ=
g.dS = - 4 π G
mi
∑
∫∫
S gauss
- Por un lado, como g es constante en todos los puntos
de la esfera gaussiana,
r r
Φ=
g.dS =
g.dS. cos(180 º ) =
∫∫
∫∫
S gauss
=-g
S gauss
∫∫ dS = - g 4 π r
2
= - 4 π g r2
S gauss
- Por otro lado, Φ = - 4 π G
∑m =-4πGM
i
De ambos valores obtenemos - 4 π g r2 = - 4 π G M → g = G
r
M
g (r).= – G 2 r̂
r
y vectorialmente
M
r2
para r > R
En cuanto al potencial creado por la esfera material, en r > R, suponiendo que V(∝) = 0, es:
r
r r
M
dr
r̂.d r
V(r) = - g d r = G M
= – G M∫− 2 = – G
2
r
r
r
∫
∫
V(r) = – G
M
r
para r > R
Por lo tanto, “la esfera material homogénea, para puntos exteriores a ella, se
comporta a efectos de campo y potencial gravitatorios, como si toda su masa estuviera situada en su centro”.
ii) Puntos sobre la superficie esférica, r = R.
Para puntos sobre la superficie de la esfera, basta hacer, en las expresiones anteriores,
r = R. Entonces:
r
M
g (R).= - G 2 r̂
R
y
V(R) = - G
M
R
para r = R
iii) Puntos interiores a la esfera, r < R.
r
En el interior de la esfera, g (r) y V(r) dependen de la distribución de masas, que consideraremos radial, es decir, la función densidad es ρ = ρ(r).
U IV T 11: Campo Gravitatorio
260
r
Para calcular g en un punto P interior, a distancia radial r, apliquemos el teorema de Gauss a una
superficie gaussiana de radio r:
r r
Φ=
g.dS = - 4 π G
mi
∑
∫∫
S gauss
Por un lado, Φ =
∫∫
r r
g.dS = - 4 π g r2
S gauss
Por otro, Φ = - 4 π G mint
Por tanto: - 4 π g r2 = - 4 π G mint
⇒
⇒
g=G
mint
r2
r
m
g (r) = - G 2int r̂
r
En el caso de que la esfera sea homogénea (ρ = constante), como la masa total es
M = 4/3 π R3 ρ y mint = 4/3 π r3 ρ, resulta mint = M (r/R)3 , por lo que
r
M ⎛r⎞
g (r) = - G 2 ⎜ ⎟ r̂
R ⎝R⎠
para r < R
Por consiguiente, el campo gravitatorio en un punto del interior a la esfera homogénea es
proporcional a la distancia al centro.
El potencial en el punto P interior se calcula por integración, como de costumbre:
V(r) = -
r r
∫ g dr
+C=G
M
R3
∫ r dr
+C=½G
M 2
r + C
R3
Para que este valor de V(r) en puntos del interior conecte con los de la superficie, la constante C ha de ser tal que para r = R el potencial V(R) debe valer - GM/R. Por tanto
-G
M
M
= 1/2 G 3 R2 + C
R
R
⇒
⇒
C = - 3/2 G
V(r) = -
M
R
⇒
(
1
M
G 2 3 R2 − r 2
2R R
V(r) = 1/2 G
)
M 2
M
r - 3/2 G
3
R
R
para r < R
r
Observación: Las expresiones del campo y del potencial, g (r) y V(r), en los diferentes pun-
M
. En este caso,
R2
⎛R⎞
V(r) = - g0 ⎜ ⎟ R
⎝r⎠
tos del espacio suelen abreviarse a veces llamando g0 ≡ G
2
i) para r > R,
ii) para r = R
iii) para r < R
r
⎛R⎞
g (r) = - g0 ⎜ ⎟ r̂
⎝r⎠
r
g (R) = - g0 r̂
r
⎛r⎞
g (r) = - g0 ⎜ ⎟ r̂
⎝R⎠
V(R) = - g0 R
V(r) = -
g0
(3R2 − r 2 )
2R
(para esfera homogénea)
U IV T 11: Campo Gravitatorio
261
g
La gráfica expresa la variación de la
intensidad del campo gravitatorio creado
por la esfera homogénea, de radio a, en
función de la distancia al centro.
R
6.- ESFERA TERRESTRE: PUNTOS PRÓXIMOS A SU SUPERFICIE
Consideremos la Tierra como una gran esfera, con distribución radial de masa: densidad,
ρ = ρ(r). Sea M (≈ 5.98x1024 kg) su masa, y R (≈ 6.37x106 m) su radio. Consideremos sólo puntos
exteriores a la Tierra o sobre su superficie, r ≥ R. Llamaremos h a la altura de un punto sobre la
superficie de la Tierra; entonces, se verifica r = R + h.
Sobre la superficie de la tierra se tiene entonces, según hemos visto:
• Campo gravitatorio
• Potencial gravitatorio
• Energía potencial de un cuerpo de masa m
M
R2
M
V0 = - G
R
g0 = - G
Ep = - G
M .m
R
A una distancia r desde el centro de la Tierra (a una altura h, por encima de la superficie terrestre), se verifican las fórmulas generales del apartado anterior. Se adopta como nivel cero
de potencial y de energía potencial gravitatorios los correspondientes a los puntos del infinito, r → ∝. Las expresiones a aplicar son:
• Campo gravitatorio terrestre:
• Potencial gravitatorio terrestre:
2
r
M
g (r).= - G 2 r̂ = - g0 ⎛⎜ R ⎞⎟ .r̂
r
⎝r⎠
M
⎛R⎞
V(r) = - G
= - g0R ⎜ ⎟
r
⎝r⎠
Mm
⎛R⎞
= - mg0R ⎜ ⎟
($)
r
⎝r⎠
En la aplicación a problemas, lo más conveniente es manejar la variable r, y después, si ha
lugar, calcular la altura sobre la superficie de la Tierra h mediante la relación: h = r - R
• Energía potencial de un cuerpo de masa m:
Ep(r) = - G
Aproximación: para pequeñas alturas, es decir, para valores muy pequeños de h,
• el campo gravitatorio terrestre se puede considerar constante,
siendo
g0 = 9’81 m.s-2 = 9’81 N.kg-1
g(h) = g0
U IV T 11: Campo Gravitatorio
262
• el potencial gravitatorio terrestre se obtiene por integración:
r r
r
V(h) = V(r) = - g d r + C = g0 r̂.d r + C = g0 r + C = g0 ( R + h ) + C
∫
∫
Convenio: tomamos nivel cero de potencial en h = 0 o sea en puntos de la superficie te
rrestre; entonces, V(h = 0) = 0
0 = g0 ( R + 0 ) + C
⇒
C = - g0 R
V(h) = g0 ( R + h ) - g0 R
Sustituyendo en V(h):
⇒
V(h) = g0 h
• la energía potencial de un cuerpo de masa m es entonces:
Ep(h) = m g0 h
fórmula ésta muy conocida y utilizada en cursos anteriores: Ep = m g h. Esta fórmula es
pues una aproximación útil de la general.
Ejercicio: Justificación de la expresión
Epg = m g h
para la energía potencial
gravitatoria de una masa m a una altura h. ¿En qué condiciones es válida?
M: masa de la Tierra.
R: radio medio de la Tierra
r: distancia radial de un punto exterior respecto del centro de la Tierra.
⇒
r=R+h
h: altura respecto de la superficie terrestre.
¿Cómo debemos entender esta expresión Epg = m g h y qué relación tiene con la obtenida en ($)
Mm
Epg = – G
siendo r = R + h ?
r
Fácilmente se comprende: se trata de haber adoptado un convenio diferente en ambos casos a la
hora de precisar dónde tomamos nula la energía potencial gravitatoria (nivel cero de energía potencial):
→ convenio: Epg (h=0) = 0
a) En el caso Epg = m g h
Mm
→ convenio: Epg (r→∝) = 0
b) En el caso Epg = – G
r
En efecto. La energía potencial gravitatoria de una masa m situada a una distancia radial r del
centro de la Tierra, se obtiene en general así:
r r
r
Mm
Mm
dr
+C
Epg = – ∫ F d r + C = – ∫ − G 2 r̂ . d r + C = – GMm ∫ − 2 + C = – G
r
r
r
Mm
⇒
Epg = – G
+ C
r
a) Si se toma como convenio Epg (∝) = 0, entonces a partir de la relación anterior resulta:
Mm
Epg (∝) = – G
+ C=0 ⇒ C=0
∞
Mm
Por tanto:
Epg (r) = – G
r
b) Si se toma como convenio Epg (h = 0) ≡ Epg(r = R) ≡ Epg(R) = 0, entonces a partir
Mm
Mm
anterior resulta:
Epg (R) = – G
+ C=0 ⇒ C=G
R
R
Por tanto:
Mm
Mm
Mm r
Mm r − R
M ⎛R⎞
M
( − 1) = G
Epg (r) = – G
+G
=G
= m G 2 h⎜ ⎟ = m G 2
r
R
r R
r
R
R ⎝r⎠
R
de la relación
⎛ R ⎞
h⎜
⎟
⎝R +h⎠
U IV T 11: Campo Gravitatorio
⇒
263
Epg (h) = m g0 h
R
1
= m g0 h
R+h
1+ h/R
⇒ Epg = m g h con g = g0 = 9’83 m/s2 es sólo válida para alturas pequeñas comparadas con el
R
≅ 1 y entonces Epg = m g0 h.
radio terrestre R ≅ 6’37x106 metros, pues sólo en estos casos
R+h
7.- MOVIMIENTO EN UN CAMPO GRAVITATORIO: LEYES DE KEPLER
Las leyes de Kepler, que guiaron a Newton en la formulación del Principio de Gravitación
Universal, constituyen una descripción puramente cinemática del movimiento de los planetas en
torno al Sol: atienden al cómo del movimiento pero no abordan el por qué del mismo, es decir, su
aspecto dinámico.
Los Principios de la Dinámica de Newton (sus tres primeras leyes y el principio de gravitación universal) son los que responden a este aspecto, justificando el comportamiento de los planetas y el cumplimiento de las tres leyes de Kepler. Éstas vienen a ser ahora deducibles a partir de
dichos principios.
(excentricidad, e = c/a)
♦ La primera ley de Kepler, la ley de las órbitas, dice: “Los planetas describen
órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos”.
Esta ley es consecuencia de que la fuerza gravitatoria Sol-Planeta varía con el inverso del cuadrado de la distancia (F proporcional a1/r2). Puede demostrarse (no lo haremos)
que en estas condiciones la trayectoria debe ser una curva cónica (circunferencia, elipse, parábola o hipérbola), dependiendo de la energía mecánica total del planeta. Véase la
gráfica de arriba.
i) Si la energía mecánica es negativa, Em < 0, la trayectoria en una elipse. La fuerza central ejercida por el Sol sobre el Planeta está dirigida hacia el Sol que ocupa uno de los focos de la
elipse trayectoria. El Planeta se encuentra en un pozo de potencial, debido al Sol, y su trayectoria
en obviamente cerrada. En particular, cuando la trayectoria es circular la energía cinética es la
m m
mitad de la energía potencial, pero positiva: Ec = – ½ Ep = ½ G S P y la energía mecánica es la
r
m S mP
.
mitad de la energía potencial: Em = Ep + Ec = ½ Ep = – ½ G
r
U IV T 11: Campo Gravitatorio
264
Lo dicho para el sistema Sol-Planeta sirve igualmente para cualquier otro sistema, por
ejemplo Tierra-Satélite.
ii) Si la energía mecánica es cero, Em = 0, la trayectoria en una parábola. El satélite justamente se libera del pozo de potencial.
iii) Si la energía mecánica es positiva, Em > 0, la trayectoria en una hipérbola. El satélite
tiene suficiente energía cinética (suficiente velocidad) para escapar de la atracción gravitatoria.
♦ La segunda ley de Kepler, la ley de las áreas, dice: “El vector de posición de cualquier
planeta con respecto al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales”.
Esta ley queda justificada al considerar que la fuerza gravitatoria Sol-Planeta es una fuerza
central, lo cual implica que el movimiento es plano y verifica la ley de las áreas, según se vio
en el tema anterior, “Partícula Material” , nº 3, (Conservación del momento angular):La fuerza
central, verificando
ejercidar por el rSol sobre el Planeta es una fuerza
r
r
r
M = r x F = 0 pues en todo instante F y r son paralelos.
r
r
r
dL
dL
=0
implica
La ecuación fundamental de la rotación M =
⇒ L = cons tan te
dt
r dt
r r
r
r
El hecho de que el vector momento angular L ≡ r x p = r x mP v se mantenga constante, supone que es a la vez constante en módulo, dirección y sentido:
r
a) L constante en dirección y sentido
⇒ la trayectoria del planeta bajo la acción de la fuerza central de atracción del Sol, es una
r
r
trayectoria plana
determinado por los vectores r y v , pues en
r , precisamente enr el plano
r
todo instante L es perpendicular a r y a v .
r
b) L constante en módulo
⇒ el movimiento del planeta, de masa mP, verifica la ley de las áreas:
“En el movimiento de una partícula sometida sólo a fuerzas centrales, su vector de posición (radiovector) barre áreas iguales en
tiempos iguales”
Es decir, que si t2 – t1 = t3 – t4, entonces (figura 1ª):
Área OP1P2 = Área OP3P4
Demostrémoslo: En efecto, (figura 2ª):
r
r
r
(a)
L =⎮ L ⎮ =⎮ r x mP v ⎮= mP r v sen ϕ
r
r
donde ϕ es el ángulo formado por los vectores r y v .
Consideremos un movimiento elemental del planeta en
su trayectoria. Llamamos dS al área elemental barrida
r
por el radiovector r en un tiempo dt, al pasar el planeta
de P a P’, recorriendo el arco elemental ds = arc(PP’).
Esta área dS es el área del triángulo elemental OPP’.
Su valor es:
dS = ½ (base x altura) = ½ r.dh = ½ r.ds.sen ϕ
puesto que dh = ds . sen ϕ .
Dividiendo por dt ambos miembros de la igualdad, se tiene:
U IV T 11: Campo Gravitatorio
A ≡
265
dS
ds
= ½ . r. (
). sen ϕ = ½ . r . v . sen ϕ
dt
dt
(b)
dS
se le denomina velocidad areolar del móvil en su trayectoria, y expresa el
dt
área barrida por el móvil en la unidad de tiempo.
A A ≡
A ≡
De acuerdo con (a) y (b),
L
dS
=
dt
2 mP
constante
Concluyendo: “El planeta, bajo la acción de la fuerza de atracción solar, se mueve en trayectoria plana, de modo que su velocidad areolar se mantiene constante, e igual a
L/2mP”, siendo L el momento angular y mP la masa de la partícula.
♦ La tercera ley de Kepler, la ley de los periodos,
dice: “Los cuadrados de los periodos de revolución
de los planetas son proporcionales a los cubos de
sus distancias promedio al Sol”.
Podemos justificar esta ley fácilmente para trayectorias circulares (la trayectoria de la mayoría de los planetas del sistema solar es elíptica de excentricidad muy
pequeña, como puede verse en el cuadro inferior; por
tanto, son prácticamente orbitas circulares).
La fuerza ejercida por el Sol sobre el Planeta es
entonces la fuerza centrípeta que produce su movimiento.
Llamando mS y mP a las masas del Sol y del Planeta, respectivamente, la fuerza que actúa
r
m .m
F = - G S 2 P r̂
r
sobre el planeta es
r
r
Aplicando la ley fundamental de la dinámica al Planeta, F = mP an = - mP an r̂
Por tanto:
-G
mS .mP
r̂ = - mP an r̂
r2
⇒
G
mS
= an
r2
La aceleración normal puede escribirse así:
an = v2/r = r ω2 = r (2π/T)2 =4 π2 r / T2
Por tanto:
4 π2 .r
mS
G 2 =
r
T2
⇒
⎛ 4 π2 ⎞ 3
⎟⎟ r
T = ⎜⎜
G
m
S ⎠
⎝
2
donde r, radio de la circunferencia-órbita.
La velocidad orbital v0 se calcula así: F = mp an → G
mS
v o2
=
a
=
⇒ vo =
m
n
P
r
r2
Las energías, en esta trayectoria circular valen:
m m
+ Energía potencial: Ep = - G S P
r
G mS
m m
=½G S P
+ Energía cinética: Ec = ½ mp v o2 = ½ mP
r
r
m S mP
m S mP
m m
+½G
=-½G S P
+ Energía mecánica: Em = Ep + Ec = - G
r
r
r
G mS
r
→
Ec = - ½ Ep
→
Em = ½ Ep
U IV T 11: Campo Gravitatorio
266
En el caso de órbitas elípticas, r es el semieje mayor de la elipse. Es pues la expresión de
la tercera ley de Kepler.
8.- MOVIMIENTO EN UN CAMPO GRAVITATORIO: PLANETAS Y SATÉLITES
A.- Velocidad de escape (desde la superficie terrestre).-
Consideremos el campo gravitatorio terrestre. El hecho de que un cuerpo en movimiento,
sometido a la influencia gravitatoria de la Tierra, describa una órbita cerrada (elíptica o circular) o
una órbita abierta (hiperbólica o parabólica), depende del valor de su energía mecánica orbital
E0 = Ec + Ep , y por tanto del valor de su velocidad.
Situado sobre la superficie terrestre un satélite (y en general, un cuerpo cualquiera) puede
abandonar el campo gravitatorio terrestre y alejarse indefinidamente de nuestro planeta si se le
dota de velocidad inicial suficiente. La velocidad inicial necesaria para conseguirlo, como vimos,
se denomina velocidad de escape; respecto de la tierra, esta velocidad vale 11’3 km.s-1 ≈ 40000
km.h-1. Su cálculo puede efectuarse recurriendo a la conservación de la energía mecánica:
Sobre la superficie de la Tierra (r = R), el satélite dotado de la velocidad de escape necesaria, tiene una energía:
Em(R) = Ec(R) + Ep(R) =
1
Mm
m v 2e - G
2
R
Al alejarse indefinidamente (r→∞), el satélite ya libre de la acción gravitatoria terrestre queda
al menos con energía nula (o, de otra forma, se le dio la energía mínima para alcanzar el infinito con velocidad nula):
Em(∞) = Ec(∞) + Ep(∞) = 0 + 0 = 0
Puesto que la fuerza gravitatoria a la que está sometido el satélite en el proceso es conservativa, la energía mecánica no varía:
Em(R) = Em(∞)
Ec(R) + Ep(R) = Ec(∞) + Ep(∞)
ve =
2GM
=
R
2g0R
1
Mm
m v 2e - G
=0
2
R
U IV T 11: Campo Gravitatorio
267
B.- Satélites: Velocidad orbital, periodo, energía orbital.-
• Aceptando que el satélite describe una órbita cerrada circular, el cálculo de su velocidad
orbital v0, si es r0 su radio, se realiza así: la fuerza gravitatoria F es la responsable de la curvatura
de la trayectoria; es por lo tanto una fuerza centrípeta:
F=G
Mm
r02
∧ F = m an = m
v 02
r0
⇒
G
Mm
v 02
=
m
r02
r0
GM
g0
= R
r0
r0
v0 =
Así pues, la velocidad orbital de un satélite depende del radio de su órbita, siendo inversamente proporcional a su raíz cuadrada. Es independiente de la masa del satélite.
• El periodo T de revolución del satélite, o tiempo que invierte en el recorrido de su órbita, es
(supuesta circular): T = 2 π / ω ∧ v0 = r0 ω
⎛ 4 π2 ⎞
⎛ 4 π2 ⎞
⎟ r3
⎟⎟ r 30 = ⎜⎜
T2 = ⎜⎜
2 ⎟ 0
⎝ GM⎠
⎝ g0R ⎠
• Energía orbital. En su órbita, el satélite posee una energía mecánica que es la suma de su
energía potencial gravitatoria más su energía cinética:
Su energía potencial gravitatoria es:
Su energía cinética es:
Ep (r) = - G
Ec(r) =
Mm
r
Mm
1
1
GM 1
m v 02 =
m
=
G
2
2
r0
2
r
La energía mecánica, por tanto, que llamaremos energía orbital del satélite, es:
1
1
Mm
Mm
Mm
G
–G
=–
G
2
r
r
2
r
Mm
1
Em(r) = –
G
2
r
Em(r) = Ec(r) + Ep (r) =
Esta energía es negativa, como corresponde a un satélite ligado al centro gravitatorio. En su
trayectoria, corresponde a la mitad de su energía potencial; la energía cinética del satélite, esencialmente positiva, coincide en valor absoluto a dicha energía orbital.
• El trabajo W que hay que realizar para colocar en órbita un satélite puede ser calculado
evaluando las energías:
+ la que posee en reposo sobre la superficie de la Tierra, desde la que es lanzado:
Em(R) = Ep(R) = - G
Mm
R
+ la que ha de tener en su órbita circular, de radio r:
Em(r) = Ec(r) + Ep (r) = -
Mm
1
G
2
r
La diferencia Em(r) - Em(R) expresa el trabajo de puesta en órbita, W:
1
Mm
Mm
G
+G
2
r
R
⎛1 1⎞
⎛ R⎞
W = GMm ⎜ −
⎟ = m g0 R ⎜1 - ⎟
⎝ R 2r ⎠
⎝ 2r ⎠
W = Em(r) - Em(R) = -
U IV T 11: Campo Gravitatorio
268
• La velocidad inicial que habría que comunicar a un satélite, de una sola vez, para alcanzar
una órbita cerrada es superior a los 7500 m.s-1 (~ 27000 km.h-1), que es la velocidad que con los
combustibles actuales pueden suministrar los cohetes de una sola etapa. Por ello, la cesión de
energía al satélite se suele efectuar en un proceso multietapa, mediante un cohete formado por
varios cuerpos independientes; cada uno comunica al satélite una cierta energía cinética, separándose luego del resto. En cada etapa posterior el sistema se va aligerando de pesos muertos, lo
que hace más sencilla la propulsión del satélite
• El alumno debe resolver los siguientes problemas:
a) Hallar la velocidad de escape de un satélite en su órbita en torno a la Tierra.
b) Hallar el trabajo que se debe realizar para que un satélite pase de una órbita a otra.
U IV T 11: Campo Gravitatorio
269
ACTIVIDADES DESARROLLADAS
1.- Calcula la masa del sol a partir del periodo orbital de la tierra.
Datos: Periodo orbital, T = 365’26 días.- Constante de gravitación, G = 6’67x10-11N.m2.kg-2.Radio medio orbital de la tierra, RTS = 1.49x1011m.
La atracción ejercida por el Sol sobre la Tierra es una fuerza central. Por tanto, F = m an, donde:
F=G
MS MT
2
R TS
F = m an
⇒
⎛ 2π ⎞
an = R ω2 = RTS ⎜ ⎟
⎝ T ⎠
m = MT
G
2
MSM T
⎛ 2π ⎞
=
M
R
⎜
⎟
T
TS
2
R TS
⎝ T ⎠
Haciendo operaciones MS =
⇒
2
MS =
4π 2 3
R TS
G.T 2
4π 2
(1'49x1011 ) 3 = 1’97x1030 kg
6'67 x10 −11 (365'26x 24 x3600) 2
2.- Se considera el movimiento elíptico de la tierra en torno al sol. Cuando la tierra se encuentra en el afelio (posición más alejada del sol) su velocidad es de 2’92x104m/s. Halla:
a) el momento angular de la tierra respecto del sol.
b) su velocidad orbital en el perihelio (posición más cercana al sol).
Datos: Masa de la tierra, MT = 5’98x1024kg.- Distancias de la tierra al sol, en el perihelio y el
afelio, respectivamente, 1’47x1011m y 1’52x1011m.
r
r
r
r
r
a) Momento angular, L = r x m v = R x MT v . En este movimiento orbital el vector momento angular es constante. Su módulo es
L = MT R v senϕ = MT Rp vp = MT Ra va
pues en el perihelio y en el afelio ϕ = 90º
L = MT Ra va = 5’98x1024x1’52x1011x2’92x104 =
= 2’65x1040 kg.m2.s-1
R
1'52
b) Rp vp = Ra va ⇒ vp = a v a =
x2’92x104
1'47
Rp
= 3’02x104 m/s
3.- El vehículo espacial Apolo VIII estuvo en órbita circular alrededor de la luna 113 km por
encima de su superficie. Calcula:
a) El periodo del movimiento.
b) La velocidad de escape a la atracción lunar desde esa posición.
Datos: Constante de gravitación, 6’67x10-11 N.m2.kg-2; masa de la luna,7’36x1022kg; radio medio lunar, 1740 km.
ML = 7’34x1022 kg RL = 1’74x106m h = 113 km = 0’113x106 m
⇒ r = RL + h = 1’853x106m
a) Periodo.- F = m an
G
ML M s
r
2
donde F = G
2
⎛ 2π ⎞
= Ms r ⎜ ⎟ ⇒ T2 =
⎝ T ⎠
ML M s
r2
⎛ 4π 2
⎜
⎜ GM
L
⎝
2
m = Ms
⎞ 3
⎟.r ⇒
⎟
⎠
⎛ 2π ⎞
an = r ω2 = r ⎜ ⎟ . Por tanto:
⎝ T ⎠
T = 7153 s ≅2 horas
U IV T 11: Campo Gravitatorio
270
b) Velocidad de escape.- Hay que dar al satélite una energía W’A∞ para llevarlo desde un punto A
de su trayectoria orbital hasta el infinito, de modo que en él se encuentre sin energía.
MM
+ energía en A: potencial – G L s
r
MM
cinética
½ G L s
r
ML M s
mecánica – ½ G
r
+ energía en ∞: potencial
0
cinética
0
mecánica
0
La variación de energía mecánica debe ser igual al trabajo de las fuerzas no conservativas, las
que ponen en movimiento el satélite para enviarlo desde la órbita al infinito.
M M
M M
W’A∞ = ∆Em = Em(∞) – Em (A) = 0 – (– ½ G L s ) = ½ G L s
r
r
Estas fuerzas no conservativas son las que comunican al satélite la velocidad de escape, verificándose:
W’A∞ = ½ mv2 = ½ Ms v e2
Igualando y despejando ve:
ve =
GML
=
r
6'67 x10 −11 x7'34x10 22
= 1626 m/s
1'853x10 6
4.- Dadas dos masas m1 = 2 kg y m2 = 4 kg están situadas respectivamente en los puntos
O(0,0) y A(6,0) donde las coordenadas están expresadas en metros. Hallar:
a) El campo gravitatorio en los puntos P(3,4) y M(3,0).
b)El trabajo necesario para transportar otra masa m’ = 3 kg desde el punto P al M.
r
a) Campo gravitatorio en P, gP
r
r
r
gP = gP1 + gP 2
gP1 = G
gP2 = G
m1
2
rOP
m2
2
rAP
=
2
G
25
=
4
G
25
2 3
6
G =−
G
25 5
125
2 4
8
G =−
G
gP1y = - gP1 sen α = –
25 5
125
r
2
gP1 = gP1x î + gP1y ĵ = −
G(3 î + 4 ĵ )
125
4 3 12
G =
G
gP2x = gP2 cos α =
25 5 125
4 4
16
G
gP2y = - gP2 sen α = - G = −
25 5
125
r
4
gP 2 = gP2x î + gP2y ĵ =
G(3î − 4 ĵ )
125
gP1x = - gP1 cos α = –
U IV T 11: Campo Gravitatorio
⇒
271
r
2
4
6
gP = −
G(3 î + 4 ĵ ) +
G(3 î − 4 ĵ ) =
G( î − 4 ĵ ) = 3’20x10-12 î – 12’81x10-12 ĵ
125
125
125
⎧módulo
gP = 1'32 x10 −11 N / kg
⎪
O bien, ⎨
(β: ángulo con la vertical)
6
tgβ =
⇒ β = 14'0362º
⎪⎩ ángulo
24
(N/kg)
r
Campo gravitatorio en M, gM
r
r
r
gM = gM1 + gM2
r
r
m
m
2
4
gM1 = −G 2 1 î = − G î
gM2 = + 2 2 î = G î
9
9
rOM
rAM
r
2
4
2
gM = ( − G + G) î = G î = 1’48x10-11 î N/kg
9
9
9
b) Trabajo WPM
WPM = m’ (VP - VM)
m1
m
2
4
6
−G 2 = − G− G = − G
rOP
rAP
5
5
5
m
m
2
4
VM = VM1 + VM2 = − G 1 − G 2 = − G − G = −2G
3
3
rOM
rAM
6
12
WPM = m’ (VP - VM) = 3( − G + 2G) = G = 1'6 x10 −10 Julios > 0 ⇒ El campo gravitatorio es
5
5
quien lleva la masa m’ desde P hasta M.
VP = VP1 + VP2 = − G
5.- ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra ha de colocarse un satélite para que su órbita sea geoestacionaria sobre el ecuador terrestre?.Datos: g0 = 9,8 m/s2. Radio de la tierra, RT = 6370 km.
La órbita del satélite es estacionaria cuando éste permanece sobre un punto determinado
del ecuador; ello supone que el periodo del satélite ha de coincidir con el de rotación terrestre. Por
tanto, T = 1 día = 8’64x104 s.
F = m.an
Por lo tanto:
R T2
r2
MT m
F=G
donde
m.an = m.r.ω2 = m.r.
mg 0 = m.r.
r2
=G
M T R T2
R T2
.
m
=
mg 0 siendo r = RT + h
r2
R T2 r 2
donde
4π 2
T2
g 0 R T2 2
4π 2
3
⇒
r
=
T ⇒
T2
4π 2
1
⎛ g R2
⎞3
9'8x(6'37 x10 6 ) 2
r = ⎜ 0 2T T 2 ⎟ = 3
x(8'64 x10 4 ) 2 =
2
⎜ 4π
⎟
4
.
π
⎝
⎠
7
= 4’221x10 metros
h = r - R T = 4’221x107 – 6’37x106 = 3’584x107 metros
h ≈ 35800 km de altura
U IV T 11: Campo Gravitatorio
272
6.- Mediante el teorema de Gauss, calcular el campo gravitatorio a una profundidad h de la
superficie terrestre.
Tomamos R = r + h (figura). Sea ρ la densidad de la Tierra.
constante. Aplicamos el teorema de Gauss a la superficie S,
esférica y concéntrica con la superficie terrestre:
r r
Φ ≡ g.dS = - 4π G
mi
∑
∫∫
S
Por un lado,
r r
Φ≡ g.dS =
∫∫
S
∫∫ g.dS. cos 180º = −∫∫ g.dS = −g∫∫ dS = −g .4π r
2
S
S
Por otro, Φ = - 4π G
S
∑m = - 4 π G m
i
int
= - 4 π GρVint = - 4 π G ρ
4
πGρ r
3
r
4
4
Vectorialmente, g = – πGρ r. r̂ y llamando K ≡ πGρ resulta g = - K r que representa una
3
3
fuerza por unidad de masa de tipo elástico (si bien, en la realidad, K depende de la densidad, y
ésta de r).
Igualando,
- g. 4 π r2 = - 4 π G ρ
4 3
πr
3
4 3
πr
3
⇒
g=
7.- Un satélite, de 100 ton de masa, gira en torno a la Tierra con una velocidad de 5000 m/s.
Calcular la altura a la que orbita y el periodo del movimiento orbital. ¿Qué energía hay que
comunicarle para pasarlo a otra órbita a doble altura que la anterior; y cuál es entonces el
nuevo periodo? Datos.- g0 = 9’81 m/s2 ; radio de la tierra, R = 6370 km.
m = 100 ton = 105 kg
v0 = 5000 m/s
R = 6370 km = 6’37x106 m
2ª ley de Newton, aplicada al movimiento orbital circular del satélite, F = m.an
v2
M m
M R2
R2
Igualando y despejando r0, resulta
m.an = m 0
F = G T2 = G T2 2 m = 2 mg 0
r0
r0
R r0
r0
r0 =
R 2 g0
v 02
=
(6'37 x10 6 ) 2 x9'81
= 1’592x107 m
3 2
(5x10 )
h = r0 – R = 1’592x107 – 0’637x107 = 9’552x106 m
h ≈ 9550 km de altura
2.π.r0
2πx1'592 x10 7
T=
=
= 2'001x10 4 s = 5’56 horas
5000
v0
La energía que hay que comunicar al satélite para pasarlo a la órbita de radio r0 ' = R + 2 h =
6’37x106 + 2x9’552x106 = 2’547x107 m se consigue calcular aplicando el teorema de la energía
mecánica: El trabajo que han de realizar las fuerzas no conservativas para conseguir tal cambio
de órbita es igual a la variación de la energía mecánica existente entre ambas órbitas.
⎡1
M m⎤ ⎡1
M m⎤
1 M m
1 M m
W ‘ = ∆Em = Em(r0’) – Em(r0) = ⎢ mv '02 − G T ⎥ − ⎢ mv 02 − G T ⎥ = − G T + G T =
2
r0 '
2
r0
r0 ' ⎦ ⎣ 2
r0 ⎦
⎣2
=
⎛1
1
1⎞
1
GM T m⎜⎜ − ⎟⎟ = R 2 mg 0
r
r
'
2
2
0 ⎠
⎝ 0
T’ =
2πr0 '
donde v0’ =
v0'
⎛1
1⎞
⎜⎜ − ⎟⎟ = 0’5x(6’37x106)2x105x9’81x2’355x10-8 = 4’69x1011 julios
⎝ r0 r0 ' ⎠
9'81
g0
GM T
=R
= 6’37x106 2'547x107 = 3’953x103 m/s
r0 '
r0 '
T’ =
2πr0 '
2πx 2,547 x10 7
=
= 4'048x10 4 s = 11’25 horas
v0'
3953
U IV T 11: Campo Gravitatorio
273
ACTIVIDADES PROPUESTAS
1.- Calcular el periodo de revolución de Marte sabiendo que la distancia media de Marte al Sol es
de 228 millones de km, la distancia media de la Tierra al Sol es de 149’6 millones de km y el
periodo de revolución de la Tierra es de 365’26 días.
R.: 687’2 días.
2.- Calcular la masa de la Tierra a partir del peso de los cuerpos en su superficie. Datos: constante
G, radio de la Tierra R, aceleración de la gravedad g.
R.: 5’98x1024 kg
3.- Demostrar que la Tierra lleva mayor velocidad en el perihelio (punto de la órbita más cercano al
sol) que en el afelio (punto más alejado).
R.: Ayuda.- Conservación del momento angular
4.- La masa de Luna es 1/81 de la masa de la Tierra y su radio ¼ del de la Tierra. Calcula el peso
en la Luna de una persona cuyo peso en la superficie de la Tierra es de 70 kg. R.: 13’83 kg
5.- Calcula en función del radio de la Tierra a qué distancia de la superficie de ésta el peso del
kilogramo-patrón es de 1 newton.
R.: h = ( g 0 - 1)RT = 2’13 RT ≅ 13570 km
6.- Hallar la fuerza gravitatoria resultante ejercida por tres masas de 3, 4 y 5 kg, situadas respectivamente
en P1(-2,0), P2(0,3) y P3(-1,-4), sobre una masa de 2 kg situada en P(3,5).
r
R.: F = - G (0,639 iˆ + 0,520 ĵ ) N
F = 0’824 G N = 5’496x10-11 N
7.- Hallar la intensidad del campo resultante creado por tres masas de 3, 4 y 5 kg, situadas respectivamente en P1(-2,0), P2(0,3) y P3(-1,-4), en P(3,5). Asimismo, calcular en dicho punto el
potencial y la energía potencial de una masa de 2 kg situada en él.
r
r
r
R.: g = - G (0’319 i + 0’260 j ) N.kg-1
g = 0’412 G N.kg-1 = 2’748x10-11 N.kg-1
V(3,5) = - 2’041 G J.kg-1 = - 1’362x10-10 J.kg-1 Ep(3,5) = - 2’723x10-10 J
8.- Dos partículas de 4 y 5 kg, respectivamente, se encuentran en el vacío separadas por una distancia de 20 cm. Calcular:
a)
La energía potencial del sistema.
b)
El trabajo de la fuerza gravitatoria para aumentar la separación entre las partículas a 40 cm.
El trabajo de la fuerza gravitatoria para llevar una partícula hasta el infinito.
c)
d)
El trabajo de la fuerza gravitatoria para establecer la distribución inicial.
R.: - 6’67x10-9 J
- 3’335x10-9 J
- 6’67x10-9 J
6’67x10-9 J
9.- Hallar la velocidad de escape de la Tierra en función de g0 = 9,8 m.s-2 y de su radio R = 6370
km. Hallar asimismo la velocidad de escape de un satélite que orbita a 200 km sobre la superficie terrestre. R.: a) 11,2 km.s-1= 40250 km/h b) 7,78 km.s-1= 28000 km/h
10.- Calcula el campo gravitatorio y el potencial gravitatorio en el punto donde se cortan las alturas
de un triángulo equilátero de 10 cm de lado cuando en los tres vértices hay sendas masas
de 0’2 kg.
R.: g = 0 N.kg-1 V = - 6’93x10-10 J.kg-1
11.- ¿En qué punto de la línea que une la Tierra y la Luna el campo gravitatorio es cero?
Datos: ML = MT/81; dist. Tierra –Luna DTL = 384000 km
R.: A 345600 km de la Tierra
12.- La masa de la Luna es de 7’34x1022 kg y su radio es 1740 km. ¿Qué distancia recorrerá un
cuerpo en 5 s de caída libre si se abandona en un punto próximo a su superficie? R.: 20’2 m
13.- Calcula la energía de enlace de un satélite, cuya masa es de 10 ton, que describe una órbita
alrededor de la tierra a una distancia r = 3RT de su centro, siendo RT = 6370 km el radio medio de la tierra. R.: 1’044x1011 julios
U IV T 11: Campo Gravitatorio
274
14.- Consideremos la Tierra como un cuerpo esférico aislado, de 6380 km de radio. Se desea lanzar un satélite de 65 kg que describa una órbita ecuatorial cuyo radio sea r0 = 3RT, desde un
punto del ecuador en el que g0 = 9’8 m.s-2 y hacia el Este. Calcular la energía necesaria para
poner en órbita el satélite. Si una vez puesto en órbita, el satélite pierde energía por rozamiento, ¿qué ocurrirá?
R.: (5/6)mg0RT = 3’39x109 J
15.- La Luna en su movimiento uniforme alrededor de la tierra describe una trayectoria circular de
3’84x108 m de radio y 2’36x106 s de periodo. Calcular la velocidad y la aceleración, dibujando en un esquema ambos vectores. R.: vorb = 1022 m/s aorb = 2’72x10-3 m/s2
16.- Conocido el radio de la tierra, R = 6400 km, calcular la altura sobre la superficie terrestre a la
cual el valor de g se reduce a la mitad.
R.: 2640 km
17.- Dadas dos esferas de 2 y 4 kg, respectivamente, en los puntos A(0,0) y B(6,0) de un sistema
de coordenadas cartesianas representado en metros, calcular:
a) el campo gravitatorio en los puntos M(3,4) y N(3,0).
b) el trabajo necesario para transportar otra esfera de 3 kg desde M hasta N.
r
r
r
r
r
R.: g (M) = (3’2 i - 12’8 j )x10-12 N/kg
g (N) = 1’48x10-11 i N/kg WMN = 1’6x10-10 J
18.- En tiempos de Kepler se conocían las distancias a los planetas de forma relativa. La distancia
Tierra-Sol se consideraba igual a una unidad astronómica (UA), desconocida.
PLANETA
Mercurio
Venus
Tierra
Marte
Júpiter
Saturno
Distancia,
en UA
0’389
0’724
1’000
1’524
5’200
9’510
Periodo,
en días
87’77
224’70
365’25
686’98
4332’62
10759’20
a) ¿Justifican estos valores la tercera ley de Kepler?
b) La primera distancia conocida fue la de la Tierra-Marte, que resultó ser de 78 millones de
km. Calcula la distancia Tierra-Sol.
R.: a) Sí; en todos los casos, T2/r3 ≅ 1’33x105 días2/UA3 b) dTS = 1’49x1011 m
19.- En los tres vértices de un cuadrado de 1 m de lado hay tres masas iguales, de 2 kg. a) Calcula el campo en el otro vértice. b) Calcula el potencial en este cuarto vértice y en el centro del
cuadrado, c) así como el trabajo que ha de realizar el campo para llevar una masa de 0’5 kg
desde el centro al cuarto vértice.
r
R.: a) g = -1'81x10 -10 (iˆ + jˆ) N/kg o bien g = 2’55x10-10 N/kg α = 45º hacia el origen.
c) WC4 = -1’02x10-10J
b) V4 = - 3’61x10-10J/kg VC = -5’66x10-10J/kg
20.- Se tiene una masa de 10 kg en el origen de coordenadas y otra
el
r de 20 kg en (2,0). Calcula
r
-10
-9
campo y el potencial gravitatorio en (1,0). R.: g = 6'67x10 i N/kg V = 2’00x10 J/kg
21.- Si la distancia Tierra-Luna es de 384000 km y la Luna tarda 29’5 días en dar una vuelta en
torno a la Tierra, ¿a qué distancia deberá estar un satélite artificial para que su periodo de
revolución sea de un día?
R.: 40220 km
22.- Se tiene en el origen de coordenadas una masa de 5 kg. Calcula: a) El campo a 3 m de ella.b) La fuerza con que actúa sobre 2 kg situados en ese punto.- c) La energía potencial asociada al sistema.- d) La energía asociada al sistema cuando la masa de 2 kg está a 7 m.e) El trabajo para trasladar la masa del primer punto al segundo; ¿es espontáneo el proceso?
U IV T 11: Campo Gravitatorio
275
r
R.- a) g 3 = −3'71x10 −11 .iˆ N/kg b) F3 = −7'41x10 −11 .iˆ N c) Ep(3) = - 2’22x10-10J
d) Ep(7) = - 9’53x10-11 J e) W37 = - 1’48x10-10 J < 0 ⇒ no es espontáneo.
23.- El diámetro de Sol es 110 veces el de la Tierra y la aceleración de la gravedad en la superficie solar es 27 veces la de la superficie terrestre. ¿Cuántas veces es mayor la masa del Sol
que la de la Tierra? R.: MS = 326700 MT
24.- El periodo de rotación de Júpiter alrededor del Sol es 12 veces mayor que el de la Tierra.
¿Cuántas veces mayor es la distancia Júpiter-Sol que la distancia Tierra-Sol?
R.: dJS = 5’24 dTS
25.- La distancia de Marte al Sol es de 1’5237 veces más grande que la distancia del Sol a la Tierra. Calcula la duración del año en Marte, dándolo finalmente en días.
R.: TMS = 1’52373/2.TTS = 687 días
26.- ¿Cuántos kg pesaría un hombre, cuyo peso en la Tierra es de 735 N, en un planeta de masa
10 veces menor y de radio también 10 veces menor que los de la Tierra? R.: 7350 N
27.- Se lanza desde la Tierra un cuerpo con una velocidad de 8000 m/s. Si el radio de la Tierra es
de 6400 km, calcula la altura que alcanzará. R.: 6650 km
28.- Un satélite artificial gira en torno a la Tierra a una altura de 400 km sobre su superficie Calcular: velocidad, aceleración y periodo.
R.: v = 7668 m/s a = 8’68 m/s2 T = 5547 s = 1 h 32 min 27 s
29.- Se pretende situar un satélite artificial de 50 kg de masa en una órbita circular a 500 km de
altura sobre la superficie terrestre. Calcula:
a) La velocidad a la que debe ser impulsado el satélite para girar en esa órbita. 8200 m/s
b) La energía que fue preciso comunicarle desde la superficie terrestre para ponerlo en órbi1’68x109 J
ta.
c) El valor de la intensidad del campo gravitatorio terrestre en esa órbita.
8’45 m/s2
30.- Un satélite artificial de 500 kg de masa gira alrededor de la Tierra en una órbita circular de
8000 km de radio. Calcula:
a) El momento angular del satélite. ¿Es constante? ¿Por qué?
2’82x1013 kg m2/s
b) La energía necesaria para colocar el satélite en órbita desde la Tierra.
1’88x1010 J
31.- Sabiendo que el radio de la Tierra es de 6400 km; el valor de g0 en su superficie es de 9’8
m.s-2 ; que la masa de la Luna es 1/81 veces la de la Tierra y su radio ¼ del terrestre; calcular la velocidad de escape de un proyectil a) en la Tierra.- b) en la Luna.- c) A la vista de los
resultados obtenidos, ¿sabrías dar una posible explicación de la falta de atmósfera en la Luna? R.: ve(tierra) = 40300 km/h ve(luna) = 9000 km/h
32.- El satélite mayor de Saturno, Titán, describe una órbita de radio medio de 1’22x106 km en un
periodo de 15’94 días. Determinar: a) Su aceleración centrípeta.- b) La masa y densidad de
Saturno, supuesto homogéneo.- c) ¿Cuál es la causa de que Titán describa una órbita alrededor de Saturno? Dato: el radio de Saturno vale 5’82x107 m
R.: ac = 2’54x10-2 m/s2
MSaturno = 5’67x1026 kg ρ = 686’2 kg/m3
33.- ¿Qué trabajo se ha de realizar para cambiar la órbita terrestre de un satélite de 500 kg, que
se mueve a una distancia de la superficie de la Tierra igual a su radio, hasta otra a una distancia de cuatro veces el radio terrestre?
Una vez en esta órbita, que energía adicional habrá que suministrar a dicho satélite para
que escape a la gravedad terrestre? ¿Qué velocidad de escape supone?
Datos: Tomar como radio terrestre, 6370 km: g0 = 9’81 m/s2
R.: 4’687x109 J
3’124x109 J
3535 m/s
U IV T 11: Campo Gravitatorio
276
34.- En la superficie de un planeta, de 1000 km de radio, la aceleración de la gravedad es 2 m.s-2.
Calcular: a) la masa del planeta.- b) la energía potencial gravitatoria de un objeto de 50 kg
de masa, situado sobre la superficie del planeta.- c) su velocidad de escape, desde la superficie del planeta.- d) La velocidad orbital de dicho satélite, en una trayectoria a una distancia
de la superficie del planeta igual a dos veces el radio de éste.- e) la velocidad de escape del
satélite desde esta órbita. Dato: G = 6’67x10-11 N.m2.kg-2
R.: a) M = 3’00x1022 kg b) Epg = -108 J c) vesc = 2000 m/s d) vorb = 816 m/s
e) v' esc = 816 m/s
35.- ¿Qué periodo de rotación (en horas) tiene Saturno si un satélite “geoestacionario” del mismo
se halla a 52300 km de su ecuador?
Datos : Masa de Saturno, MS = 5’69x1026 kg
Radio de Saturno, RS = 6’00x107 m.
Constante de gravitación universal, G = 6’67x10-11 N.m2.kg-2
R.: T = 38382 s = 10’66 horas
U IV T 13: Campo Magnético
277
T E M A 12.INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA:
Campo Eléctrico
SUMARIO:
12.1.- Interacción eléctrica: Ley de Coulomb
12.2.- Campo eléctrico: Intensidad del campo y potencial
12.3.- Campo eléctrico: Ley de Gauss
12.4.- Conductor en equilibrio electrostático
12.5.- Teorema de Gauss: Otras aplicaciones
12.6.- Campo eléctrico uniforme
12.7.- Analogías y diferencias entre los campos gravitatorio y eléctrico
Actividades desarrolladas
Actividades propuestas
U IV T 13: Campo Magnético
278
1.- INTERACCIÓN ELÉCTRICA: LEY DE COULOMB
La experiencia, desde antiguo, muestra la existencia en la naturaleza de fuerzas de otro tipo
que las gravitatorias. Cuerpos materiales, como el vidrio o el ámbar, frotados con un paño seco,
son capaces de atraer pequeños trozos de papel, repelerse mutuamente, ... etc.
Como resultado de este frotamiento, estos materiales adquieren una nueva propiedad, que
llamamos electricidad. Los cuerpos electrizados son capaces de interaccionar entre sí con fuerzas mucho más intensas que las gravitatorias.
Las observaciones y experimentos realizados con cuerpos electrizados, y las mediciones
efectuadas de las fuerzas de interacción, condujeron a Coulomb, en 1785, a formular una serie de
conclusiones:
1) Existe en la materia una propiedad: su capacidad de electrización. Caracterizamos el estado de electrización de un cuerpo definiendo su carga eléctrica, que representaremos por q. Así
como la masa m caracteriza la inercia y la gravitación de un cuerpo, así ahora la carga q caracteriza su grado de electrización.
2) Los cuerpos presentan dos posibles estados de electrización; los llamaremos electrización positiva (como la del vidrio frotado), y electrización negativa (como la del ámbar). Les asignaremos carga q, positiva o negativa, según su estado. La carga neta de un cuerpo es la suma
algebraica de sus cargas positivas y negativas: Un cuerpo que tiene igual carga positiva que negativa se dice que es eléctricamente neutro.
3) Cuerpos con la misma clase de electrización (positiva o negativa) se repelen; pero si tienen diferente clase de electrización (uno positiva y otro negativa), se atraen.
4) En todos los procesos observados, la carga neta de un sistema aislado permanece constante.
5) La fuerza de interacción entre dos cuerpos cargados eléctricamente, considerados puntuales (es decir, de dimensiones mucho más pequeñas que las distancias entre ellos), es proporcional a sus cargas ( F : : q y F : : q’) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que
los separa( F : : 1/r2).
+q1
+q2
r
-q2
-q2
r
+q1
-q2
r
De acuerdo con estas conclusiones, podemos expresar la interacción entre dos cuerpos
cargados eléctricamente así:
r
qq'
F = k 2 r̂
r
donde:
(1)
* q y q’ representan las cargas eléctricas de ambos
cuerpos.
r
* F es la fuerza de interacción ejercida por q
sobre q’
U IV T 13: Campo Magnético
279
* r es la distancia entre los cuerpos cargados, r = OP
* k es una constante de proporcionalidad, cuyo valor depende:
+ del medio en el que se realiza la interacción.
+ del sistema de unidades elegido para medir cargas eléctricas.
* r̂ es el vector unitario o versor radial, que tiene su origen en la carga q.
En el S.I. se toma como unidad de carga eléctrica el culombio (C), que se define así:
Un culombio es la carga eléctrica que, situada en el vacío a un
metro de distancia de otra igual, experimenta una repulsión de
9x109 N.
Consecuentemente, el valor de k para el vacío, que llamaremos k0, debe ser, en este sistema de unidades,
k0 = 9x109 N.m2.C-2
(2)
En los demás medios distintos del vacío, k < k0 .
Por razones puramente prácticas (forma más sencilla y abreviada de las expresiones posteriores) se prefiere sustituir la constante k por otra ε denominada permitividad dieléctrica (o constante dieléctrica) del medio. La relación entre ambas constantes es:
k=
1
4πε
Para el vacío (y para el aire, aproximadamente), k0 =
⇒
(3)
1
= 9x109 N.m2.C-2
4 π ε0
ε0 = 8’85x10-12 C2.N-1.m-2
(4)
Para otros medios, ε es mayor que ε0. Se define entonces la constante dieléctrica relativa del
medio por εr = ε / ε0. Por ejemplo, para el agua destilada a 20ºC vale εr = 80, y por consiguiente:
ε = εr ε0 = 80x8’85x10-12 = 7’08x10-10 C2.N-1.m-2
De acuerdo con ello, y suponiendo en adelante (mientras no se indique explícitamente lo
contrario) que el medio dieléctrico en el que estudiaremos los fenómenos eléctricos es el vacío, la
expresión (1) se escribe así:
r
F=
1 q q'
r̂
4 π ε r2
r
Observamos de inmediato que si q y q' son de igual signo, la fuerza F aplicada en q' está dirigida
r según el sentido de r̂ (fuerza repulsiva); mientras que si q y q' son de signo opuesto, la fuerza F aplicada en q' está dirigida hacia q (fuerza atractiva).
U IV T 13: Campo Magnético
280
2.- CAMPO ELÉCTRICO: INTENSIDAD DEL CAMPO Y POTENCIAL
Las fuerzas de interacción entre dos cargas eléctricas, q y q’, son fuerzas ejercidas a distancia. Vimos anteriormente (Cf. Unidad I, tema 3, nº 12) cómo cabe una nueva interpretación de la
interacción, en términos de una elemental teoría de campos: la carga q crea un campo en el espacio (o en una región de él); este campo actúa sobre la carga q’ situada en su seno: la acción del
campo sobre la carga q’ es la fuerza de interacción.
r
♣ Intensidad del campo eléctrico, E (r), creado por una carga puntual q.
La intensidad del campo eléctrico creado por q en un punto P situado a una distancia r
viene dada por el valor de la fuerza de Coulomb expresada en (1) al actuar sobre la unidad positiva de carga ,(q’ = 1) colocada en dicho punto; es decir:
r
E =
r
F
q'
(5)
Por tanto:
r
q
E (r) = k 2 r̂
r
(6)
r
Como se observa, en un punto dado, E sólo depende de la carga q creadora del campo; y es función
de la distancia r desde ella hasta el punto.
r
r
El campo E (r), al igual que F, se nos presenta
con dos características importantes:
c) Es un campo central. En efecto, al ser generado por
una carga q, (que supondremos puntual y situada en
un puntor del espacio O, que llamamos “centro”), el
campo E (r) está en todo punto P dirigido según la
recta OP que une el punto con el centro. Toda carga
q’, en el senor de dicho
r campo se ve, pues, sometida a
una fuerza F = q’ E dirigida también según la recta
OP: es una fuerza central.
d) Es un campo conservativo. (Cf. Unidad I, tema 3,
nº7). En efecto, el trabajo realizado por el campo, al
llevar la unidad positiva de carga a recorrer un ciclo
cerrado cualquiera, es nulo.
∫
c
r
rA
r̂.d r
dr
=
k
q
∫c r 2
∫r (− r 2 ) = - k q
A
rA
⎛ 1⎞
⎜ ⎟ =0
⎝ r ⎠r A
r
teniendo en cuenta (ver la figura) que r̂. d r = dr
r r
E.d r = k q
U IV T 13: Campo Magnético
281
♣ Potencial eléctrico, V(r), creado por la carga q.
r
Que el campo E sea conservativo implica que proviene de un potencial V originado también
en el espacio por la carga q. Llamaremos a este potencial potencial
r eléctrico. Tal y como se vio
en la Unidad I, tema 3, nº 13, la expresión que relaciona el campo E y el potencial V es la formulada en dicho tema por la ecuación (7), que adquiere en nuestro caso, según (6), la forma:
r
r
dV = – E d r = – (k
r
q
dr
r̂ ) . d r = – k q 2
2
r
r
Para obtener la función V(r), potencial eléctrico en un punto cualquiera, aplicamos la expresión integral (7) de la Unidad I, tema 3, nº 13:
r r
dr
q
V(r) = dV + C = – E .d r + C = – k q 2 + C = k
+ C
r
r
La constante de integración C es arbitraria. Su valor depende del convenio que se adopte:
en qué punto del espacio consideramos nulo el valor de V. Se acostumbra aceptar que V = 0
cuando r → ∝ , o sea, V(∝) = 0. Por tanto, sustituyendo en la expresión inmediata anterior, resulta:
∫
∫
∫
V(∝) = k
q
+ C =0⇒
∞
C=0
Así que, en base a este convenio, podemos escribir el potencial eléctrico en todo punto, así:
V(r) = k
q
r
(7)
-5
E (x10 V/m)
Nótese que, en el caso del campo eléctrico, V(r)
es positivo o negativo según sea positiva o negativa la
carga q que lo crea. Véase en la figura la función V(r)
para una carga positiva.
La diferencia de potencial, VA – VB, entre dos
puntos A y B en el seno del campo eléctrico viene dada por:
q
q
1 1
-k
=kq(
)
rA
rB
rA rB
1 1
)
(8)
VA – VB = k q (
rA rB
VA – VB = V(rA) – V(rB) = k
r (cm)
♣ Energía potencial eléctrica .- Trabajo
La energía potencial eléctrica de una carga q’ situada en el campo creado por q es:
Ep(r) = q’ V(r)
(9)
Por tanto:
Ep(r) = k
qq'
r
(10)
Esta energía potencial de q’ es positiva o negativa según sean ambas cargas, de igual signo
o de signo contrario, respectivamente.
El trabajo realizado por el campo para llevar la carga q’ desde un punto A a otro B puede
escribirse en función de la diferencia de potencial entre ambos puntos, VA – VB, pues WAB = - ∆Ep
= Ep(A) – Ep(B) = q’ VA – q’ VB = q’ ( VA –VB )
WAB = q’ ( VA –VB )
(11)
U IV T 13: Campo Magnético
282
♣ Significado físico del potencial eléctrico .
¿Cuál es el significado físico de la diferencia de potencial entre dos puntos, VA – VB? De
acuerdo con (11):
VA – VB = WAB / q’
⇒
VA – VB representa el trabajo realizado por el campo eléctrico para llevar la unidad positiva
de carga desde A hasta B.
¿Y cuál es el significado físico del potencial eléctrico en un punto, V(r)? Si consideramos
que A es un punto cualquiera P, y B es el punto del infinito, r → ∝, entonces, ya que V(∞) = 0:
V(r) – V(∝) = WP∝ / q’
⇒
⇒
V(r) = WP∝ / q’
V(r) representa el trabajo que el campo eléctrico realizaría para llevar la unidad positiva de
carga desde la posición P hasta el infinito.
♣ Superposición de campos y de potenciales eléctricos.
Hasta ahora hemos considerado tanto la intensidad como el potencial del campo eléctrico
creado por una sola carga q. Para estudiar ambos, intensidad y potencial eléctricos, debidos al
campo creado por
r una distribución de cargas basta aplicar el principio de superposición, tanto
para el campo E(r) como para el potencial V(r). En efecto, ambos son aditivos, el primero vectorialmente, el segundo escalarmente, del mismo modo que lo son las fuerzas de interacción eléctrica y las energías potenciales asociadas a ellas. Así pues, dada una distribución de cargas q1, q2,
q3, ..., qi, ..., qn, se verificará:
r
E (r) =
r
E
∑ i (ri )
Vp(r) =
∑ V (r )
i
i
♣ Líneas de campo y superficies equipotenciales.
El campo eléctrico se representa por sus líneas de campo y por sus superficies equipotenciales.
r
* La intensidad rdel campo E(r) se representa por las líneas de campo, tangentes en todo
punto al vector E en él.
* El potencial eléctrico V(r) se representa por las superficies equipotenciales. Todos los puntos de una determinada superficie equipotencial poseen el mismo potencial.
Evidentemente, por cada punto de un campo eléctrico pasa una única línea de campo y una sola
superficie de potencial, pues el campo y el potencial en cada punto tienen un único valor.
Pues bien, las líneas de campo eléctrico y las superficies equipotenciales se sitúan de forma que,
en cada punto P(x, y, z) del espacio, el vector
intensidad de campo y la superficie equipotencial correspondiente:
i) son perpendiculares entre sí.
r
ii) el campo E está dirigido hacia potenciales
decrecientes.
U IV T 13: Campo Magnético
283
En efecto, consideremos la figura de al lado.
Sea P(x, y, z) un punto cuyo potencial es V0. Se han dibujado la superficie equipotencial correspondiente, Σ0, y también Σ1, de potencial V0 + dV, y Σ2, de potencial V0 – dV.
Los potenciales son, pues, crecientes en el sentido Σ2, Σ0, Σ1.
A partir del punto P, desplacémonos sobre la superficie
equipotencial Σ0 hasta el
r
r
punto Q. La diferencia de potencial entre P y Q es dV = -E . d r Pero puesto que ambos
puntos pertenecen a la misma
equipotencial,
de valor V0,
r superficie
r
r
r
entonces ⇒ dV = 0 ⇒ E . d r = 0 ⇒ E ⊥ d r
⇒
r
la intensidad de campo E es perpendicular a la superficie equipotencial V0.
A continuación, desde P, desplacémonos perpendicularmente a su superficie equipotencial V0, hasta
creciente).
r el rpunto R perteneciente a la superficie V0 + dV (potencial
r
Entonces, dV = – E . d r = – E. ds . cos θ > 0 ⇒ cos θ = –1 ⇒ θ = π ⇒ E es de sentido
r
contrario a d r
⇒
r
el campo E está dirigida hacia potenciales decrecientes.
En el caso del campo creado por una sola carga q, según sea ésta, la figuras anteriores señalan la forma de las líneas de campo (radiales) y de las superficies equipotenciales (esféricas y
concéntricas).
Véanse también las líneas de campo y superficies equipotenciales del campo eléctrico debido a dos cargas iguales:
U IV T 13: Campo Magnético
284
Ídem en el caso de dos cargas iguales y opuestas:
U IV T 13: Campo Magnético
285
3.- CAMPO ELÉCTRICO: LEY DE GAUSS
♦ En la Unidad I, tema 3, nº 15, estudiamos el teorema de Gauss, en general, para un cam-
r
K
po C = 2 r̂ . El campo eléctrico es un caso particular, en el que K = k q. Por lo tanto, su flujo a
r
través de una superficie cerrada que contiene en su interior la carga q es: Φ = 4 π k q. Y recordando (4), para el vacío, k0 = 1 / 4πε0, resulta: Φ = 4 π k0 q = q / ε0
Si el campo eléctrico está creado por una distribución de cargas puntuales q1, q2, q3, ..., qn,
unas interiores y otras exteriores a una superficie cerrada S, entonces el flujo a través de ella es:
Φ=
1
ε0
∑q
i
donde
∑q
i
es la carga total interior a la superficie S.
r
Teorema de Gauss : El flujo del campo eléctrico E a través de una superfi-
Φ =
cie cerrada es
donde el sumatorio
∑q
i
1
ε0
∑q
(12)
i
afecta exclusivamente a las cargas interiores a
dicha superficie.
Este teorema puede explicarse, para una sola carga q, de un modo sencillo, así:
• Sea la carga q interior a la superficie cerrada S. Consideremos la superficie esférica S0,
interior a S, de radio r0 y centro en q. Todo el flujo creado por q atraviesa ambas superficies S y
S0, siendo por tanto el mismo (ver figura).
r r
Φ = ΦS = Φ S 0 = E 0 d S 0
∫∫
S0
r
En todos los puntos de la superficie esférica S0, el campo E 0 tiene el mismo módulo, E0 = k
está dirigido radialmente.
r
r
Por tanto, E0dS0 = E0 dS0 = k
q
dS0.
r02
Sustituyendo este valor en la integral:
Φ = ΦS = Φ S 0 = k
q
r02
∫∫ dS
S0
0
=
1
q
q
. 2 .4π r 02 =
ε0
4πε0 r0
pues la integral anterior es igual al área de la superficie
esférica S0 , o sea 4 π r 02 .
→ Así pues, si q es interior a S, Φ =
q
.
ε0
• Sea la carga q exterior a la superficie cerrada S
(ver figura). Una cierta porción de flujo que procede de q
alcanza S. El flujo entrante a través de la superficie S1
(flujo negativo) es el mismo que el saliente (flujo positivo)
a través de la superficie S2, y de signo contrario; por tanto, el flujo neto a través de
S = S1 + S2 es nulo.
→ Así pues, si q es exterior a S, Φ = 0 .
q
;y
r02
U IV T 13: Campo Magnético
286
4. – CONDUCTOR EN EQUILIBRIO ELECTROSTÁTICO
•• Un conductor se caracteriza por disponer de cargas eléctricas que pueden moverse libremente por él. En la práctica, estas cargas móviles suelen ser electrones o iones, que confieren
al material su carácter conductor.
Un conductor se encuentra en equilibrio electrostático cuando las cargas móviles, en
promedio, están en reposo. Si no ocurre así, habrá desplazamiento neto de carga de unos puntos
a otros del conductor, dando lugar a una corriente eléctrica.
En un conductor en equilibrio electrostático, un exceso de electrones significa una carga neta negativa: el conductor está cargado negativamente. Un defecto de electrones supone una carga
neta positiva: el conductor está cargado positivamente.
•• En un conductor en equilibrio electrostático:
r
♦ el campo eléctrico E
+ en su interior es nulo.
+ en su superficie es perpendicular a ella, y vale E = σ / ε0 donde
σ = dq/dS es la densidad superficial de carga.
♦ el potencial eléctrico V es constante en todos sus puntos (el conductor es un volumen equipotencial).
♦ la carga eléctrica
+ en su interior es nula.
+ está localizada en su superficie.
Probaremos las anteriores afirmaciones:
r
# En el interior del conductor en equilibrio, E = 0,
r
pues si no fuera así, dicho campo E actuaría sobre las
cargas libres, desplazándolas, contra la hipótesis de equilibrio.
# En los puntos de la superficie del conductor en
r
equilibrio, E debe ser perpendicular a ella, pues si no
fuera así existiría una componente del campo tangente a
la superficie que desplazaría las cargas superficiales,
contra la hipótesis de equilibrio.
# En cuanto al potencial eléctrico V, rse deberá
r
cumplir para todo punto del conductor: dV = −E.d r .
r r
Para puntos interiores al conductor, dV = −E.d r = 0
r
porque en todos ellos E = 0.
r r
Para puntos de la superficie, dV = −E.d r = 0 por-
r
r
que para ellos E y d r son vectores perpendiculares.
superficie,
En ambos casos, pues, dV = 0, por lo que el potencial V es constante, y adquiere el mismo valor en todos los puntos del conductor.
U IV T 13: Campo Magnético
287
# Para demostrar que la carga neta se localiza en la superficie del conductor, construyamos
una superficie gaussiana SGauss, interior a S, tan próxima a ella como se quiera.
r
En todo punto de SGauss es E = 0; luego el flujo a través de SGauss es nulo: Φ =
r r
E
∫∫ .dS = 0
S Gauss
Pero por la ley de Gauss: Φ =
r r
∫∫ E.dS =
S Gauss
Por tanto:
1
ε0
∑q
i
∑ q = 0, representando el sumatorio la carga interior a S
Gauss.
i
Si la carga neta del conductor no se halla en el interior, debe distribuirse sobre su superficie.
dq
). Ésta
Sea σ la densidad superficial de carga eléctrica (carga por unidad de superficie, σ ≡
dS
r
debe ser tal que haga nulo el campo E en el interior y perpendicular a la superficie en cada punto
de la misma. Por ello, la función σ depende de la forma geométrica del conductor.
# Valor del campo eléctrico en los puntos de la superficie del conductor.
Consideremos un elemento de superficie dS en
el conductor en equilibrio (en la figura, la parte raya
da). Si es σ la densidad superficial de carga, la carga
de este elemento es dq = σ dS.
Construyamos una superficie gaussiana del modo siguiente: una superficie cilíndrica, imaginaria e
infinitesimal, con el contorno del elemento de superficie dS y generatrices perpendiculares a la superficie
del conductor; la base exterior está inmediatamente próxima a la del conductor, y la interior está
formada por puntos interiores.
El flujo total elemental a través de esta superficie gaussiana elemental vale:
• por un lado:
dΦ = dΦ(superficie lateral) + dΦ(sup. base interior) + dΦ(sup. base exterior) =
= 0 + 0 + E dS
⇒
dΦ = E dS
• por otro lado, aplicando la ley de Gauss: dΦ =
Igualando, resulta:
E dS =
dq
σ dS
=
ε0
ε0
σ
dS
ε0
Y por lo tanto:
E=
σ
ε0
(13)
•• Capacidad de un conductor:
A continuación, podemos preguntarnos: “¿Cuál es el potencial V de un conductor en equilibrio electrostático?”. La respuesta es: “Depende de la carga neta del mismo y de su forma geométrica”. En efecto, se puede probar que si se carga un conductor con cargas sucesivas q1, q2, q3, ...,
qi, ..., qn, los potenciales adquiridos por el mismo son, respectivamente, V1, V2, V3, ..., Vi, ..., Vn,
tales que:
q
q1 q 2
q
q
=
= 3 = ... = i = ... = n = cons tan te
V1 V2 V3
Vi
Vn
U IV T 13: Campo Magnético
288
Llamando C a la constante de proporcionalidad, resulta:
C≡
q
V
(14)
Esta constante se denomina capacidad del conductor, y depende fundamentalmente de su
forma geométrica. Se mide en faradios (F); un faradio es la capacidad de un conductor que adquiere un potencial de un voltio al cargarlo con un culombio. El faradio es una unidad de capacidad muy grande, poco útil por tanto; se prefiere usar los submúltiplos de dicha unidad: el microfaradio (µF), el nanofaradio (nF) y el picofaradio (pF).
•• Energía de un conductor cargado.
Un conductor en equilibrio que posee una cierta carga q0 y se encuentra a un potencial V0,
posee por ese mismo hecho una energía eléctrica: es el trabajo que ha habido que realizar en
contra del campo eléctrico para situar dicha carga en el conductor.
Para hallar el valor de dicha energía, supongamos que, en un determinado instante del proceso de carga, el conductor ya posee una carga q y un potencial V; se verifica, por tanto, V = q/C.
A continuación, y en contra de las fuerzas del campo, vamos a transportar una carga elemental dq
desde el infinito (V∝ = 0, sin energía) hasta el conductor.
El trabajo elemental dW’, en contra del campo, es: dW’ = - dWe = - dq (V∝ - V) = V dq donde
por dWe expresamos el trabajo elemental de las fuerzas del campo. Y ya que dWe = - dEp , resulta
finalmente:
dW’ = dEp = V dq
El trabajo total realizado en el proceso de carga, y por tanto la energía eléctrica acumulada
por el conductor cargado, será:
W’ = Ep =
∫
q0
0
V.dq =
∫
q0
0
q
1 q02
dq =
C
2 C
donde V = q/C, siendo C la capacidad del conductor.
Así pues,
Ep =
1 q2
1
1
= qV=
C V2
2 C
2
2
(15)
V∞ = 0 ∞
dq
V
q
U IV T 13: Campo Magnético
289
5. – TEOREMA DE GAUSS: OTRAS APLICACIONES
A) Esfera conductora, en equilibrio electrostático.Sea una esfera conductora, de radio R y carga
eléctrica q, en equilibrio electrostático. Vamos a calcular el campo y el potencial creado por ella en todos los
puntos del espacio.
a) Para r > R.Campo eléctrico creado por la esfera.
Aplicamos el teorema de Gauss a una superficie
gaussiana concéntrica de radio r (coordenada radial
del punto P, exterior)
Por un lado,
r r
Φ = E.dS =
∫∫
SG
∫∫ E.dS = E∫∫ dS = E.4πr
2
SG
SG
Teniendo en cuenta que
+ por razón de la simetría, E (módulo) tiene el
mismo valor en todos los puntos de la superficie gaussiana SG.
r
+ el vector campo eléctrico E , radial, es paraler
lo en todo punto de SG al vector dS .
Por otro lado,
q
1
qint =
Φ=
ε0
ε0
∑
q
ε0
Igualando: E 4πr2 =
→
E=
1 q
q
=k 2
2
4πε 0 r
r
r
q
E(r ) = k 2 r̂
r
Potencial eléctrico creado por la esfera.
r
r r
r̂.d r
q
V(r) = − E.d r + C = − kq 2 + C = k + C
r
r
→
∫
∫
El convenio V(∞) = 0 ⇒ C = 0
Por lo que:
V(r) = k
q
r
Se puede afirmar, pues, que “para puntos exteriores a la esfera, el campo y el potencial
son los mismo que corresponden a una carga puntual colocada el su centro”
b) Para r = R.-
Por continuidad,
r
q
E(R) = k 2 r̂
R
y
V(R) = k
q
R
c) Para r < R.-
r
Al ser la esfera un conductor en equilibrio electrostático, E(r ) = 0
y
V(r) = k
q
R
U IV T 13: Campo Magnético
290
B) Hilo conductor, en equilibrio electrostático.Sea un hilo conducto, recto e indefinido, con una densidad lineal de carga eléctrica uniforme λ ( λ culombios por metro de longitud), en equilibrio electrostático.
Por simetría de la distribución de cargas, el campo eléctrico en cualquier punto tiene la dirección radial, dependiendo únicamente de la distancia r del hilo al punto considerado.
Para calcular el campo eléctrico debido al hilo, conviene tomar como superficie gaussiana
un cilindro coaxial con el conductor, de longitud L y radio r.
Aplicando el teorema de Gauss, por un lado:
r r
E.dS =
Φ = E.dS = ΦBases+ ΦLateral = 0 +
∫∫
∫∫
SG
=E
Lateral
∫∫ dS = E.2πr.L
Lateral
Por otro lado, Φ =
1
ε0
∑q
int
=
q
λ.L
=
ε0
ε0
Igualando :
λ.L
1 λ
λ
→E=
= 2k
r
ε0
2πε 0 r
r
λ
E(r ) = 2 k û r
Y vectorialmente:
r
donde û r es el vector unitario radial (coordenadas cilíndricas)
E.2πr.L =
El potencial eléctrico se calcula en la forma acostumbrada:
r
r r
û r .d r
dr
+ C = − 2 kλ
+ C = − 2 k λ. ln r + C
V(r) = − E.d r + C = − 2kλ
r
r
Se acostumbra a tomar como convenio V(1) = 0, con lo que C = 0
∫
Entonces:
∫
∫
V(r) = - 2 k λ ln r
C) Placa plana conductora, en equilibrio electrostático.Sea una placa plana conductora, con densidad de carga eléctrica uniforme σ (σ es la carga
de la unidad de superficie en dicha placa).
Vamos a suponer la placa de muy grandes dimensiones (teóricamente indefinida). Entonces, por simetría, el campo eléctrico generado en cualquier punto debe tener dirección perpendicular a la placa, y su sentido alejándose de ella si σ >0, o hacia ella si σ < 0.
Para calcular el campo eléctrico debido a esta placa, conviene tomar como superficie gaussiana un cilindro con el eje perpendicular a la placa, de altura 2r (ver figura) y siendo S el área de
cada base.
Aplicamos el teorema de Gauss a este cilindro gaussiano.
r
r
Por un lado, y teniendo en cuenta las direcciones de los vectores E y dS en cada superficie de las que componen el cilindro:
U IV T 13: Campo Magnético
Φ=
291
r r
∫∫ E.dS = Φ
Bases+
SG
= 2 ΦBase + ΦLateral = 2
ΦLateral =
r r
∫∫ E.dS
+0= 2ES
Base
1
Por otro lado, Φ =
ε0
∑q
int
=
σS
q
=
ε0
ε0
σ
2 ε0
Se observa que este campo es constante, no dependiendo de la distancia de cada punto a la placa.
Igualando,
E=
D) Dos placas planas conductoras,
paralelas: campo eléctrico.Como conclusión, consideremos dos placas
planas, paralelas, teóricamente indefinidas, cargadas eléctricamente con igual carga pero de signo
contrario: densidades superficiales de carga +σ y σ. A este sistema se le suele denominar “condensador plano”.
Para puntos A del exterior al recinto limitado
por las placas, el campo eléctrico es nulo. En efecto, el campo creado por cada placa, σ/2ε0 , es independiente de la posición del punto → el campo
creado por la placa positiva se encuentra neutralizado por el que crea la placa negativa.
En cambio, en el interior limitado por las placas, ambos campos se superponen aditivamente (ver sus sentidos). Por ello, su valor es:
σ
E=
ε0
U IV T 13: Campo Magnético
292
6. – CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME
rSe dice que un campo eléctrico es uniforme, en una región del espacio, cuando su intensidad E presenta el mismo valor en todos sus puntos. Este valor puede variar de un instante a otro,
pudiendo ser función del tiempo (campo uniforme, no estacionario); o puede mantenerse constante a lo largo del tiempo (estacionario y uniforme ≡ campo constante)
r
Que E sea constante, significa poseer en todo punto el mismo módulo, dirección y sentido.
Por consiguiente:
+ Las líneas de campo son rectas paralelas, igualmente espaciadas.
+ Las superficies equipotenciales son planos perpendiculares a dichas rectas.
Tomando un sistema de coordenadas en el que
el eje OX coincida con la dirección del campo eléctrico,
podemos calcular la diferencia de potencial (ddp) entre
dos puntos A y B, siguiendo una línea de campo, como
señala la figura:
+ por un lado se tiene:
WAB = q' (VA - VB) = - q.∆V
+ por otro lado:
r r
r r
WAB = F . ∆x = q' E . ∆x =
= q'. E ∆x = q' E (xB - xA)
Por tanto,
VA - VB = E (xB - xA) = E . ∆x
(16)
∆V VA − VB
=
xB − x A
∆x
(17)
O bien,
E= −
r
Observemos cómo el signo negativo expresa que el campo E se orienta hacia potenciales
decrecientes.
Notemos, además, que si expresamos la ddp en voltios, el campo eléctrico puede expresarse en voltios por metro (V/m); en efecto:
E=
VA − VB
voltios
julios / culombio
newtons x metro
newtons
→ V/m =
=
=
=
= N/C
xB − x A
metro
metro
culombios x metro
culombio
Son pues dos formas diferentes de expresar la intensidad de campo eléctrico en el S.I.: en N/C o
en V/m. Esta segunda forma es la de uso más corriente.
Un caso concreto, de interés, en el
que se dispone de un campo uniforme es
el espacio interior entre dos láminas planas
paralelas conectadas a una batería, pila, o
generador de corriente continua (condensador plano); su ddp es la misma que la de
los bornes de dichas fuentes. En el interior
(figura) se sitúa un campo constante,
E = VAB/d, siendo d la separación de las
láminas.
U IV T 13: Campo Magnético
293
El trabajo realizado por el campo para llevar la carga q’ desde una posición A a otra B, quedó dicho, es WAB = q’ (VA – VB) = q’. VAB.
Pues bien, si la carga eléctrica es la carga elemental, q’ = e = 1’6x10-19 C y la diferencia de
potencial es un voltio, VAB = 1 voltio, el trabajo del campo es:
WAB = q’. VAB = 1’6x10-19 culombios x1 voltio = 1’6x10-19 julios
Este trabajo es igual a la variación de energía potencial experimentada por la carga elemental, (por ejemplo, un electrón) bajo la ddp de un voltio. Recibe el nombre de electronvoltio (eV).
1 eV = 1’6x10-19 J
El electronvoltio es una unidad de energía apropiada cuando se estudian los movimientos de
las partículas fundamentales (protones, electrones, partículas α, iones...).
Aunque hemos definido esta unidad a partir de la energía potencial eléctrica, se utiliza para
cualquier otro tipo de energía.
U IV T 13: Campo Magnético
294
7. – ANALOGÍAS Y DIFERENCIAS
ENTRE LOS CAMPOS GRAVITATORIO Y ELÉCTRICO
Analogías
1.- Son campos centrales y conservativos.
Por tanto llevan asociados una función escalar, llamada Potencial
2.- Los campos creados en un punto por una masa o una carga puntual disminuyen con el
cuadrado de las distancias a ese punto desde la masa o carga (proporcionalidad con 1/r2)
3.- Se representan gráficamente por sus líneas de campo y sus superficies equipotenciales.
Diferencias
CAMPO GRAVITATORIO
CAMPO ELÉCTRICO
1.- Es una perturbación del medio generada por 1.- Es una perturbación del medio generada
masas
por cargas eléctricas
2.- Su intensidad en un punto es la fuerza
que actúa sobre la unidad de masa situada
en él.
2.- Su intensidad en un punto es la fuerza
que actúa sobre la unidad de carga eléctrica positiva situada en él.
3.- Las fuerzas gravitatorias son siempre
atractivas
3.- Las fuerzas eléctricas pueden ser atractivas o repulsivas, dependiendo del signo
de las cargas que interaccionan
4.- Para masas puntuales, las líneas de
campo son radiales y dirigidas hacia ellas,
4.- Para cargas puntuales, las líneas de
campo son radiales y salen de las cargas
positivas y se dirigen hacia las negativas.
5.- La constante G es una constante universal. No depende del medio.
5.- La constante k depende del medio,
siendo su máximo valor en el vacío.
6.- El potencial gravitatorio en un punto es
siempre negativo.
6.- El signo del potencial eléctrico en un
punto es el de la carga eléctrica que lo origina.
7.- El campo gravitatorio no es uniforme
(sólo a veces se toma como tal, por
aproximación).
7.- El campo eléctrico puede ser uniforme
en regiones pequeñas del espacio: entre
dos láminas paralelas cargadas, en el interior de conductores en equilibrio electrostático.
U IV T 13: Campo Magnético
295
8.- El campo gravitatorio solo se anula en el 8.- Hay regiones en las que la intensidad
del campo es nula: en el interior de conducinfinito.
tores en equilibrio electrostático, y en el
infinito.
U IV T 13: Campo Magnético
296
ACTIVIDADES DESARROLLADAS
1.- Dadas las dos cargas de la figura, calcular la intensidad del campo eléctrico en A. Hallar el trabajo que realiza el campo para desplazar una carga q’ = - 3 nC. desde
A hasta B.
Campo eléctrico en A,
r
r
r
E A = E A1 + E A 2
−6
10
r
q
E A1 = k 21 ĵ = 9x109 9
rOA
ĵ = 1000 ĵ (N/C)
2x10
q
EA2 = k 22 = 9x109 25
rMA
r
EA2
−6
= 720 N/C
EA2x = EA2.cos α = 720x0,8 = 576 N/C
EA2y = EA2.sen α = 720x0,6 = 432 N/C
= EA2x î + EA2y ĵ = 576 î – 432 ĵ (N/C)
r
r
r
El campo en A es: E A = E A1 + E A 2 = 576 î + 568 ĵ (N/C)
o bien:
EA = 809 N/C
β = arc tg(
568
) = 44º 36’
576
Trabajo realizado por el campo :
WAB = q’ (VA – VB)
−6
−6
q1
q2
9 10
9 2 x10
+k
= 9x10
- 9x10
= 3000 – 3600 = - 600 voltios
VA = VA1 + VA2 = k
rOA
rMA
3
5
−6
−6
q1
q2
9 10
9 2 x10
VB = VB1 + VB2 = k
+k
= 9x10
- 9x10
= 1800 – 6000 = - 4200 voltios
rOB
rMB
5
3
WAB = q’ (VA – VB) = - 3x10-9 (-600 + 4200) = -1’08x10-5 julios < 0 ⇒ el trabajo ha de
realizarse en contra del campo eléctrico.
2.- Dos pequeñas bolas, de 12 g de masa cada una de
ellas, están sujetas por hilos de 1’3 m de longitud,
suspendidas de un punto común. Si ambas bolitas
tienen la misma carga eléctrica y los hilos forman un
ángulo de 15º, calcula el valor de la carga eléctrica.
¿Puedes determinar el tipo de carga?
r
r
r
Equilibrio de fuerzas: T + mg + F = 0
⎧T. cos α = mg
⇒ F = mg tgα
⎩ T.senα = F
⇒ ⎨
Por otro lado, F = k
q1q 2
=k
q2
r2
( 2.L.senα ) 2
Igualando y despejando q, resulta:
U IV T 13: Campo Magnético
q = ± 2.L.senα
297
mg.tgα
0'012 x9'81xtg(7,5º )
= ± 2x1’3xsen(7,5º)
k
9x10 9
q = ± 4’45x10-7 C = ± 445 nanoculombios
3.- Dos cargas positivas e iguales, de 2 µC. cada una, están situadas a 4 cm. de distancia en
reposo. Desde una distancia muy grande (teóricamente, desde el infinito), y a lo largo de la
recta OP, se lanza una tercera carga de 15 nC de carga eléctrica y de 0’2 g de masa, con
una velocidad suficiente para que quede en reposo en el punto P situado en medio de las
otras dos cargas. ¿Cuánto vale esa velocidad?
En el punto O (infinito):
Ep(O) = 0
Ec(O) = ½ m v 02 = 10-4 v 02
⇒ Em(O) = 10-4 v 02
En el punto P:
Ep(P) = 2.Ep1(P) = 2 k
2 x10 −6 x15x10 −9
qq'
qq'
qq'
=2k
=4k
= 4x9x109
= 0’027 julios
0'04
r
d/ 2
d
Ec(P) = 0
⇒ Em(P) = 0’027 julios
No hay más fuerzas que las eléctricas, conservativas. Por tanto, Em(O) = Em(P)
⇒
v0 = 16’43 m/s
⇒ 10-4 v 02 = 0’027
Otro método:
Por un lado, WOP = q’ (VO – VP)
q
q
q
2 x10 −6
=2k
=4k
= 4x9x109
= 1’8x106 voltios
r
d/ 2
d
0'04
por tanto, WOP = q’ (VO – VP) = 15x10-9 (0 – 1’8x106) = - 0’027 julios
donde VO = 0 y VP = 2 VP1 = 2 k
Por otro lado, WOP = ∆Ec = Ec(P) – Ec(O) = 0 – ½ m v 02 = – ½ m v 02 = - 10-4 v 02
Igualando las expresiones de WOP, resulta 10-4 v 02 = 0’027
⇒
v0 = 16’43 m/s
4.- Considerando que el átomo de hidrógeno está constituido por un protón y un electrón
que gira en una órbita en torno al protón y despreciando la contribución de la fuerza gravitatoria, calcular la relación entre el radio de la órbita del electrón y su velocidad.
La energía de ionización del átomo de hidrógeno es 13’6 eV. Hallar el valor del radio
de dicha órbita (radio de Bohr), el de la velocidad orbital así como el periodo y la frecuencia
del movimiento orbital. ¿Qué intensidad de corriente eléctrica constituye el electrón en su
movimiento en torno al núcleo?
Datos: carga elemental, e = 1’6x10-19 C.- Masa del electrón, m = 9’1x10-31kg.k = 9x109N.m2.C-2
De modo análogo al estudio del movimiento orbital de un satélite, en este caso aplicamos la
2ª ley de Newton al movimiento del electrón bajo la acción de la fuerza central de atracción cuv2
qq'
e2
lombiana: F = m.an donde F = k 2 = k 2 , y donde m.an = m. 0 , resultando las relaciones:
r0
r0
r0
U IV T 13: Campo Magnético
v0 =
ke 2 −1 / 2
r0
= 15’91 r0−1 / 2 (m/s) ⇔
m
298
r0 =
ke 2 −2
v 0 = 253’2 v 0−2 (m)
m
La energía de ionización es la que hay que comunicar al electrón para extraerlo del pozo de potencial en el que se encuentra (electrón ligado).
Eionización = - Eligadura = -(Ec(orbital) + Ep(orbital)) = - (½ m v 02 + k
ke 2
e2
e2
qq'
)=-(½m
−k ) = ½ k
mr0
r0
r0
r0
e2
k.e 2
9 x10 9 x(1'6 x10 −19 ) 2
=
= 5’29x10-11 m = 0’53 Å que
⇒
r0 =
−19
r0
2.E ion.
2 x13'6 x1'6 x10
coincide con el valor del radio de Bohr (véanse tablas de constantes), a0 = 5’2917x10-11 m.
Eion. = ½ k
La velocidad v0 puede calcularse también de la relación Eion. = ½ m v 02 .
2.E ion.
2x13'6x1'6x10 −19
= 2’187x106 m/s
=
−31
m
9'1x10
El periodo y la frecuencia del movimiento valen:
v0 =
2πr0
1
f = = 6’57x1015 Hz.
= 1’52x10-16 s
v0
T
Intensidad de corriente constituida por el electrón en su órbita: En el tiempo ∆t = T pasa por un
punto de la órbita una carga eléctrica ∆q = e. Por tanto:
∆q e
1'6 x10 −19
I=
=
=
amperios = 1'05 x10 −3 amperios = 1’05 miliamperios
∆t
T 1'52 x10 −16
T=
5.- Entre dos placas conductoras existe un campo eléctrico producido por una diferencia de
potencial de 50 voltios. Un electrón en reposo (qe= - 1’6x10-19 C; m = 9’1x10-31 kg) parte de
una de las placas.
a) Hallar la velocidad con la que llega a la otra placa.
b) Si la distancia entre las placas es de 2 cm y el campo es uniforme, determinar el tiempo
que tarda en dicho desplazamiento.
r
∆V
ĵ .
Sea el campo uniforme E = - E ĵ = d
Entonces la fuerza que actúa sobre el electrón es:
r
r
∆V
e.∆V
ĵ ) =
. ĵ
F = q e E = ( −e)( −
d
d
así que el electrón se mueve aceleradamente
según el eje Y, desde la placa A a la placa B.
El trabajo del campo es: WAB = F. d = e ∆V
Este trabajo es igual a la variación de la energía cinética: WAB = ∆Ec = ½ m v2
Por lo tanto: ½ m v2 = e ∆V
2.e.∆V
⇒ v=
= 4’19x106 m/s
m
Para calcular el tiempo que tarda el electrón en llegar a la placa B, apliquemos la relación:
m.v m.v
m.v
mvd
=
=
=
= 9’54x10-9 s = 9’54 ns
F.∆t = ∆(mv) → F.t = m.v → t =
F
e.E e.∆V / d e.∆V
U IV T 13: Campo Magnético
299
6.- La diferencia de potencial entre dos placas
planas, paralelas, separadas d = 10 cm, es VA-VB
= 10 V. Un electrón penetra paralelamente a las
placas con una velocidad vo = 107 m/s. Hallar la
desviación vertical experimentada por el electrón, y el ángulo de salida, si la longitud de las
placas es l = 20 cm. Dato: para el electrón, e/m
= 1’7588x1011 C/kg.
Sea el campo uniforme (figura):
r
∆V
10
ĵ = Ĵ = −100. ĵ
E = - E ĵ = d
0,1
La
electrón es:
r fuerza
r que actúa sobre el−19
F = q e E = ( −e)( −E. ĵ ) = 1'6x10 x100. ĵ = 1'6x10 −17 ĵ
El electrón, que penetra en la región del campo perpendicularmente a él, se mueve con un MRU
según el eje X y con un MRUA según el eje Y ⇒ trayectoria parabólica en el plano OXY.
Eje X: ax = 0
Eje Y: at =
vx = v0 = 107
F 1'6 x10 −17
=
= 1'758x1013
m 9'1x10 −31
x = v0 t = 107.t
vy = ayt = 1’758x1013. t
y = ½ ayt2 = 8’791x1012.t2
Ecuación de la trayectoria del electrón (despejando t en la ecuación de x y sustituirla en la de y);
resulta:
y = 8’791x10-2 x2
Desviación vertical del electrón: calculemos el valor de y para x = 0,2 m:
y = 3’52x10-3 m = 3’52 mm
Para calcular el ángulo α de salida (desviación angular), partimos de las componentes de la velocidad, para x = 20 cm.
x
0,2
vx = 107
vy = 1,758x1013. t =1,758x1013x2x10-8 = 3,516x105
t = 7 = 7 = 2 x10 −8
10
10
v y 3'516 x10 5
=
= 3'516 x10 − 2
⇒
α =2’01397º = 2º 0’ 50’’
tg α =
7
vx
10
U IV T 13: Campo Magnético
300
ACTIVIDADES PROPUESTAS
1.- Dadas las dos cargas de la figura, calcular la intensidad del campo eléctrico en A. Hallar el
trabajo que realiza el campo para desplazar una carga q’ = - 3 nC desde A hasta B.
A
q1 = 20 nC
0’6 m
r
r
R.: E A = 1062’5 i N/C
0’4 m
q2 = -10 nC
0’4 m
B
WAB = q’(VA - VB) = - 5’14x10-7 J
2.- Dos cargas puntuales de 2 µC y -6 µC están situadas respectivamente en los puntos (1, 0) y
(0, 2) de un sistema de ejes cartesianos cuya escala está establecida en cm. Calcula:
r
r
r
a) El campo eléctrico en el punto (2,1).
R.: E = (-3’29 i + 11’20 j )x107 N/C
b) El potencial eléctrico en el mismo punto.
R.: V = -1’14x105 V
3.- Dos cargas eléctricas de 20 nC y –30 nC están colocadas respectivamente en los puntos
P1(3, 0) y P2(0, 1). Calcula:
R.: - 40’25 V
a) El potencial eléctrico en P3(2, 2)
b) El trabajo necesario para trasladar la carga de prueba de +1C desde ese punto hasta el
R.: 169’75 J
punto O(0, 0). Las coordenadas están expresadas en metros.
4.- El potencial eléctrico creado por una carga puntual q en un punto P, situado a una distancia d,
vale 1800 V. En ese mismo punto, el valor de la intensidad del campo E es 1000 N/C. CalcuR.: q = 0’36 µC. d = 1’8 m.
lar el valor de q y de d.
5.- En los vértices A, B y C de un triángulo equilátero de 4 m de lado se sitúan tres cargas eléctricas: qA = qB = qC/2 = 2 µC. Calcular el campo eléctrico y el potencial en el centro O del triángulo y en el punto medio M del lado CB.
r ¿Qué trabajo realiza
r el campo para llevar la carga
ˆ
q’ = – 1’5 nC desde O hasta M? R.: E O = − 3375 j N/C E M = 3549 iˆ − 3147 jˆ N/C
VO = 31177 V VM = 32196 V WOM = 1’53x10-6 julios
6.- Determinar, en las configuraciones de las figuras siguientes, la carga que hay que colocar en el
punto B para que:
a) en A el campo eléctrico sea nulo. R.: q3 = -2 2 q1 = - 28’28 nC q3 = q1 = 10 nC
b) en A sea nulo el potencial.
R.: q3 = -2 2 q1 = - 28’28 nC
q3 = - 2 q1 = - 20 nC
7.- Dos pequeñas esferas metálicas de 0.2 gr. de masa y con igual carga q cuelgan de un punto
común mediante hilos de 25 cm. de longitud, formando un ángulo entre ellos de 60º. Calcular la carga de cada esfera. R.: q = 88’65 nC.
8.- Dos esferas iguales, muy pequeñas, de 9’8 gr. de masa, están suspendidas del mismo punto
por medio de hilos aislantes de 20 cm de longitud. Ambas esferas están cargadas negativamente con igual carga. Calcular: a) el valor de esta carga si el ángulo que forman los hilos
U IV T 13: Campo Magnético
301
es de 90º.- b) la tensión de los hilos.- c) el número de electrones en exceso en cada esfera.
Carga del electrón: 1’6x10-19 C.
R.: a) q = - 0’92µC. b) T = 0’136 N. c) N = 5’77x1012 electrones.
9.- Un péndulo eléctrico tiene una masa de 0’2 g y cuelga de un
hilo que forma un ángulo de 15º con la vertical debido a la
atracción que ejerce sobre él una lámina metálica cargada.
Calcula la fuerza eléctrica que está sometido el péndulo.
R.: 5’2x10-4 N
10.- Calcula la energía potencial eléctrica asociada a un pequeño
cuerpo de 0’05 g que porta una carga eléctrica de 1 µC situado en el vacío a 20 cm de una segunda carga puntual fija
de -4 µC. Si la primera carga se libera, ¿qué velocidad llevará cuando se encuentre a 10 cm de la carga fija?
R.: - 0’18 J
85 m/s
11.- En un sistema de ejes coordenados tenemos dos cargas puntuales fijas, una de ellas tiene un valor de 2 µC y está situada en el punto (0, 0) m, la segunda de las cargas cuyo valor
es -3 µC se encuentra en el punto (4, 0) m. Calcula el trabajo de la fuerza electrostática para trasladar una carga de
-1 µC del punto A(0, 2) al punto B(4, 2). R.: -1’.244x10-2 J
12.- En una experiencia similar a la de Rutherford, un protón se dirige directamente contra un núcleo de oro de una lámina con una velocidad de 106 m/s. ¿A qué distancia del núcleo se frenará? Datos: Para el oro, Z = 79.- Masa del protón, mp = 1’67x10-27 kg.- Carga elemental,
R.: A 22 pm del núcleo
e = 1’6x10-19 C.
13.- Tres cargas eléctricas puntuales de 1µC se encuentran situadas en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado. Calcular:
r r
a) El campo eléctrico en el vértice libre.
R.: 1'22x10 4 (i + j ) V/m
R.: 2’44x10-2 J
b) La energía potencial asociada al sistema.
14.- ¿Qué distancia debe recorrer un electrón, partiendo del reposo, en un campo eléctrico uniforme cuya intensidad E vale 280 volt/cm. para adquirir una energía cinética de 3’2x10-17 juR.: 7’14 mm.
lios? Carga del electrón: 1’6x10-19 culombios.
15.- Desde A y en la dirección B, se lanza un cuerpo
cuya masa es 0’2 g, su carga eléctrica es –1 µC
y su velocidad es de 40 m/s (figura). El cuerpo se
encuentra en el campo creado por las cargas
iguales y fijas, situadas simétricamente en M y N,
de valor 2 µC. Sabiendo que AP = 12 cm,
MN = 10 cm y MP = NP, hallar la posición de B
en la que se detiene el cuerpo. ¿Con qué velocidad pasó por P?
R.: PB = 30’4 cm vP = 77’65 m/s
M
A
P
B
N
16.- Una partícula α (núcleo de helio, 42 He2+ ) inicialmente en reposo, es acelerada por un campo
eléctrico uniforme cuya intensidad es E = 105 V/m, hasta que alcanza una velocidad de 1000
m/s. Calcular el espacio recorrido y la diferencia de potencial entre los puntos extremos del
recorrido. Datos: Carga elemental: e = 1’6x10-19 culombios. Masa del protón = masa del
neutrón = 1’67x10-27 Kg. R.: 104’4 nm. 10’44 m.voltios.
U IV T 13: Campo Magnético
302
17.- Una carga de 1µC está colocada en un campo eléctrico uniforme de 10000 N/C, dirigido verticalmente hacia arriba. ¿Qué trabajo realiza el campo eléctrico en los siguientes casos?
a) La carga se mueve 20 cm hacia la derecha.
b) La carga se mueve 30 cm hacia abajo.
c) La carga se mueve 50 cm formando un ángulo de 60º por encima de la horizontal.
R.: a) 0 J.- b) – 0’003 J.- c) – 0’0025 J.
18.- Dos placas metálicas planas y paralelas, distantes entre
+ + + + + +
sí 20 cm, se sitúan horizontalmente. Se conectan a un
20 cm
generador que mantiene entre ellas una ddp. de 10 kilovoltios. La placa superior es positiva y la inferior ne_ _ _ _ _ _
gativa, como señala la figura. Una gotita de aceite car−
+
gada negativamente, de 0’1 gramos de masa, se encuentra en el espacio entre las placas, en equilibrio
entre la fuerza eléctrica y la debida a su peso.
a) ¿Cuánto vale la fuerza eléctrica? ¿Y el campo eléctrico?
R.: F = 9’8x10--4 N
E = 5x104 N/C
b) ¿Cuál es la carga eléctrica de la gotita, en nanoculombios? ¿Y el número de electrones
en exceso que posee? (Carga elemental: e = 1’6x10-19 culombios)
R.: q = - 19’6 nC
1’225x1011 electrones
c) Estando la gotita en reposo y en el punto medio entre las placas, se le comunica una sobrecarga eléctrica de 106 electrones. ¿Cuánto tarda en alcanzar la placa superior? R.: 50 s
19.- Un punto de un campo eléctrico uniforme tiene un potencial de 20 V. Al trasladar una carga
eléctrica de 0’4 C desde este punto a otro situado 20 cm hacia su derecha, la fuerza eléctrica realiza un trabajo de -200 J. Calcula el potencial en el segundo punto y la componente
-2500 V/m
del campo en esta dirección. R.: 520 V
20.- En una región del espacio hay un campo uniforme de 500 N/C dirigido hacia la derecha. Calcula el trabajo que realiza el campo eléctrico al mover una carga puntual de 2 C desde el
punto A hasta el punto 8 situado a 3 m a la izquierda de A. ¿Cuál es la diferencia de potenR.: - 3000 J 1500 V
cial entre los puntos?
21.- Una esfera conductora, aislada, de 1 m de radio, crea en un punto situado a una distancia de
2 m del centro de la esfera un potencial de 50 V. Determinar: a) la intensidad del campo en
el punto dado.- b) el potencial y el campo eléctrico en los puntos situados a 0’5 m del centro.- c) el potencial y el campo en un punto cualquiera de la superficie esférica.- d) la energía
del conductor cargado.
R.: a) 25 V/m b) 100 V y 0 V/m c) 100 V y 100 V/m d) 5’56x10-7 julios.
22.- Una esfera conductora, aislada, está a un potencial de 300 V y la intensidad del campo en la
superficie es de 100 N/C. Determinar: a) la energía del conductor.- b) el campo y el potencial
en puntos situados a 1 m del centro.- c) idem, a 4 m del centro.
R.: a) 1’5x10-5 J b) 0 N/C y 300 V c) 56’25 N/C y 225 V
23.- Determinar el flujo que atraviesa la cara de un cubo, debido a una carga puntual de 10 nC.
R.: 188’5 V.m
situada en el centro del cubo.
24.- Dos esferas conductoras y aisladas, de 1 y 2 m de radio, respectivamente, tienen cargas
iguales de 10 nC cada una. a) Hallar la capacidad y el potencial de cada esfera.
b) Si se conectan mediante un hilo conductor, de capacidad despreciable, ambas esferas,
hallar la carga de cada una y el potencial común, tras la unión.
c) Hallar la variación de la energía almacenada por el sistema.
R.: a) 0’111 nF y 0’222 nF; 90 V y 45 V.- b) 6’67 nC y 13’3 nC; 60 V; c) ∆E = - 75 nJ
U IV T 13: Campo Magnético
303
25.- En el centro de un cubo de 1’2 m de lado hay una carga eléctrica de –2 nC, y en cada uno de
sus vértices cargas de 1 nC. Hallar el flujo del campo eléctrico a través de una esfera de
0’6 m de radio. Idem, a través de una esfera de 1’2 m de radio. R.: -226’2 V.m 678’6 V.m
26.- Determinar la energía de un sistema de tres cargas iguales, de valor q = 1 nC, situadas en los
tres vértices de un triángulo equilátero de 1 m de lado. R.: 2’7x10-8 julios.
27.- Una esfera conductora, de 10 cm de radio, está conectada a dos hilos de cobre. Por el primero la esfera recibe una corriente de 1’0000020 amperios y por el segundo sale una corriente
de 1’0000000 amperios. Hallar la capacidad de la esfera. ¿Cuánto tiempo tardará la esfera
en adquirir un potencial de 1000 voltios? ¿Cuál es el signo de la carga adquirida por la esfe5’56 ms carga positiva.
ra? R.: 11’1 pF
28.- ¿Cuántos electrones deben eliminarse de un conductor esférico inicialmente descargado, de
0’2 m de radio, para producir un potencial de 2000 voltios en su superficie? En estas condiciones, ¿cuánto vale la intensidad del campo eléctrico en la superficie? (Carga del electrón,
R.: nº = 2’78x1011 electrones; E = 10000 N/C.
e = 1’6x10-19 C)
29.- Una gota de agua de 2 mm de radio tiene un potencial de 300 voltios.- a) ¿Cuál es la carga
de la gota?.- b) Si se unen dos de estas gotas para formar una sola, ¿cuál es el potencial de
la gota resultante?
R.: q = 66’7 pC. V = 476’,22 voltios.
30.- En un punto del espacio x = 2 m el potencial eléctrico tiene el valor de V = 200 voltios, y en
x = 10 m el potencial vale V = 600 voltios.
a) Hallar el módulo, dirección y sentido del campo eléctrico, suponiéndolo uniforme.
b) Calcular la velocidad con que llegará al punto x = 2 m un electrón que se abandona en el
punto x = 10 m.
-19
-31
Datos:
r Carga del electrón, e = 1’6x10 C Masa del electrón, m = 9’10x10 kg
R.: E = −50.iˆ (N/C). El electrón no puede llegar a x = 2 m, pues parte del reposo y la
fuerza eléctrica actúa hacia la derecha, en sentido contrario al campo (carga negativa).
r
31.- La intensidad de un campo eléctrico varía según la expresión: E = ( x 3 − 3 x ).î en el S.I. Calcular la diferencia de potencial entre dos puntos A y B determinados por las coordenadas
xA = 0 y xB = 2 m. R.: VB – VA = 2 voltios
32.- Una gran placa metálica plana cargada uniformemente con una densidad superficial de carga
positiva de 100 pC.m-2 se encuentra situada horizontalmente en el suelo. Desde una altura
de 1 m, muy lejos de los bordes, se deja caer una carga puntual positiva de 1000 µC y 1 g
de masa. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo, y cuál es su velocidad entonces.
Todo el experimento se realiza en el vacío, donde k = 9x109 S.I.) R.: 0’69 s 2’88 m/s
U IV T 13: Campo Magnético
304
T E M A 13.INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA:
Campo Magnético
SUMARIO:
13.1.- Interacción magnética
13.2.- Campo magnético
13.3.- Acción del campo magnético sobre corrientes
13.4.- Campo magnético creado por corrientes
13.5.- Circulación de un campo magnético: Ley de Ampère
13.6.- Fuerzas entre corrientes: definición de amperio
13.7.- Magnetización de la materia
13.8.- Analogías y diferencias entre los campos gravitatorio, eléctrico y magnético
Actividades desarrolladas
Actividades propuestas
U IV T 13: Campo Magnético
305
1.- INTERACCIÓN MAGNÉTICA
La interacción magnética es otro tipo de interacción que se observa en la naturaleza.
Los antiguos griegos observaron que ciertos minerales de hierro, como la magnetita, tienen
la propiedad de atraer pequeños trozos de hierro. En estado natural, esta propiedad la muestran el
hierro, el cobalto, el manganeso y muchos compuestos de estos metales.
No está relacionada con la gravitación puesto que no la poseen todos los cuerpos, y parece
concentrarse en ciertos lugares del mineral. Aparentemente tampoco está relacionada con la interacción eléctrica, debido a que ni bolitas de corcho ni trozos de papel son atraídos por tales minerales. Por tanto, a esta propiedad física se le dio un nuevo nombre, magnetismo. El nombre se
deriva de la antigua ciudad del Asia Menor, Magnesia, en donde según la tradición, fue observado
por primera vez el fenómeno. Las regiones de un cuerpo donde parece concentrarse el magnetismo se conocen como polos magnéticos. Un cuerpo magnetizado se conoce como imán.
La Tierra misma es un gran imán. Por ejemplo, si suspendemos una varilla magnetizada en
cualquier punto de la superficie terrestre y permitimos que gire libremente alrededor de la vertical,
la varilla se orienta de modo que el mismo extremo apunta siempre hacia el polo norte geográfico.
Este resultado muestra que la tierra ejerce una fuerza adicional sobre la varilla magnetizada. Si la
varilla no está magnetizada no se ejerce ninguna fuerza.
Los experimentos realizados con cuerpos magnetizados sugieren la existencia de dos tipos
de polos magnéticos. Podemos representar ambos mediante los signos N y S, que corresponden
a los tipos de polos que se orientan hacia el norte y hacia el sur terrestres, respectivamente.
Interacción entre dos barras magnetizadas.- Polos de distinto signo se atraen (izquierda);
polos del mismo signo se repelen (derecha)
La experiencia muestra que una barra magnetizada tiene polos opuestos en sus extremos.
Dos barras magnetizadas, colocadas como se muestra en la figura, se repelerán o se atraerán,
dependiendo de si colocamos polos iguales o diferentes uno frente al otro. Así, concluimos que:
“La interacción entre polos magnéticos iguales es de repulsión y entre polos magnéticos diferentes es de atracción”.
Podríamos medir la intensidad de un polo magnético si definimos una masa o carga magnética e investigamos la dependencia de la interacción magnética con respecto a la distancia entre
los polos. Antes de que los físicos entendieran la naturaleza del magnetismo, éste fue el planteamiento adoptado (similar al aplicado a las cargas eléctricas o a las masas gravitatorias).
Sin embargo, aparece una dificultad fundamental cuando se intenta efectuar tales mediciones. Se han podido aislar experimentalmente cargas eléctricas positivas y negativas y asociar una
cantidad definida de carga eléctrica a las partículas fundamentales que constituyen la materia. Por
el contrario, no ha sido posible aislar un polo magnético o identificar una partícula que tenga sólo
un tipo de magnetismo, N o S.
U IV T 13: Campo Magnético
306
Además, los conceptos de polo magnético y masa magnética no son necesarios para la
descripción del magnetismo. Como veremos, las interacciones eléctrica y magnética están estrechamente relacionadas, y constituyen dos aspectos diferentes de una misma propiedad de la materia, su carga eléctrica. De hecho, la experiencia ha mostrado que el magnetismo es una manifestación de las cargas eléctricas en movimiento con respecto al observador. Por tal razón, las
interacciones eléctrica y magnética deben considerarse juntas bajo el nombre más general de
interacción electromagnética.
2.- CAMPO MAGNÉTICO
Un imán provoca una alteración en el espacio a su alrededor, pues atrae al hierro y cambia la dirección de una
aguja imantada, en tanto que, en ausencia del imán, el hierro y la aguja permanecen inmóviles. Estos hechos se interpretan diciendo que en el espacio alrededor del imán hay un
campo magnético, del mismo modo que en torno a una carga eléctrica se establece un campo eléctrico.
Pero no sólo los imanes son capaces de crear un
campo magnético. En 1820, H. Ch. Oersted realizó un experimento que puso de manifiesto cómo una corriente eléctrica
produce sobre una aguja imantada los mismos efectos que
un imán. Situó una brújula en las inmediaciones de un hilo
conductor rectilíneo, e hizo pasar por él una corriente eléctrica. Observó cómo la aguja imantada se orientaba perpendicularmente a la corriente; y al cesar ésta, la aguja volvía a
su posición anterior. Esta experiencia mostró la relación entre magnetismo y corriente eléctrica: hizo sospechar que las
causas del magnetismo estuviesen relacionadas con el movimiento de las cargas eléctricas.
¿Cómo se puede averiguar si en una región del espacio existe un campo magnético? ¿y
cómo determinar su valor en cada punto? Observando la fuerza de interacción ejercida sobre una
carga eléctrica q en movimiento. Se llega a las siguientes conclusiones:
+ Si la carga q está en reposo, no aparece fuerza magnética sobre ella.
+ La fuerza magnética es proporcional a la carga eléctrica q y a la velocidad v de la misma.
+ Existe una dirección particular para la cual la fuerza magnética es nula.
+ Para las demás direcciones, la fuerza
magnética es perpendicular simultár
neamente a la velocidad v de la carga
eléctrica y a esa dirección para la que
es nula dicha fuerza. Y su valor es proporcional al seno del ángulo formado
por la velocidad y dicha dirección.
r
B
U IV T 13: Campo Magnético
307
Enr estas condiciones, definimos en cada punto del espacio la intensidad del campo magnético B (que también suele llamarse “inducción magnética”) como el vector que verifica:
r
r
r
F =q( v x B)
(1)
r
Según esta expresión, B es un vector en la dirección para la que la fuerza magnética es nula, y su módulo vale (figura):
F
(2)
B=
q .v.senα
En el Sistema Internacional, la unidad de campo magnético se llama tesla (T), (o weber por
metro cuadrado, Wb/m2). De acuerdo con (2):
N
N
=1
1T = 1 Wb/m2 = 1
C.m / s
A.m
r
v
Cuando
una
carga
q
se
mueve
con
velocidad
en el seno conjunto de un campo eléctrico
r
r
r
E y otro magnético B , rla fuerza que sobre ella actúa es la resultante de la fuerza eléctrica, qE ,
r
más la magnética, q( vxB ), es decir:
r
r r r
(3)
F = q (E + v x B)
Esta fuerza recibe el nombre de fuerza de Lorentz.
La expresión (1), que define el campo magnético, muestra
la fuerza magnética es siemr que
r
pre perpendicular a la dirección del movimiento de la carga, ( F ⊥ v ) . Esto implica dos consecuencias:
+ El trabajo realizado por la fuerza magnética sobre una carga que se desplaza es nulo.
r
+ Si B es constante en un recinto, y la partícula penetra en él perpendicularmente a dicho
campo, su trayectoria es circular.
3.- ACCIÓN DEL CAMPO MAGNÉTICO SOBRE CORRIENTES
A.- FUERZA SOBRE UN ELEMENTO DE CORRIENTE
Sea un conductor por el que circula una corriente eléctrica de intensidad I, en el seno de un
r
campo magnético B . La corriente supone un movimiento de cargas eléctricas en el conductor. El
campo magnético ejercerá su acción sobre cada una de ellas, acción que viene dada por (1).
La fuerza magnética se manifestará sobre el conductor, soporte de la corriente, como una acción
trasversal. Para calcularla, supongamos
que las cargas
r
se desplazan con una velocidad v . En un tiempo dt, la
carga que ha atravesado la sección del conductor (por
ejemplo, por M) es dq = I dt, y se habrá desplazado en
él de modo que toda ella
encuentra dentro del
r se
r
elemento de conductor dL = v.dt . Por tanto, la fuerza
r
r
elemental dF sobre dicho elemento de conductor dL
es, según (1):
U IV T 13: Campo Magnético
308
r
r
r r
r r
r r
r
dF = dq( vxB) = I dt( vxB) = I ( v.dtxB) = I (dLxB)
⇒
r
r r
dF = I ( d L x B )
Primera ley de Laplace
(4)
r
r
(4) expresa la fuerza elemental dF con la que actúa el campo magnético B sobre un elemenr
to de conductor dL recorrido por una corriente eléctrica de intensidad I.
r
Para calcular la acción ejercida por un campo magnético B sobre un conductor cualquiera,
recorrido por una corriente de intensidad I, deberemos “sumar” todos los efectos del campo sobre
cada elemento de conductor ⇒ es decir, integraremos (1) a lo largo del conductor:
r
F=
∫
r
dF =
cond
∫
r r
I (dLxB)
cond
B.- FUERZA SOBRE UNA CORRIENTE RECTILÍNEA
Suponemosr el campo magnético uniforme:
quiere decir que B presenta el mismo valor en todos
los puntos. Sea una corriente eléctrica, de intensidad I, circulando por un conductor rectilíneo, de
longitud L, en el seno de dicho campo magnético.
Sea el sentido de dicha corriente
el dado por el verr
sor û . Tomemos I.L. û = I. L .
En este caso, todos los desplazamientos
r
dL tienen la misma dirección, por lo que:
r
r
r r
r r
F = dF = I (dLxB) = I ∫ ( dLxB) = I
∫
⇒
∫
r
r r
F = I (L x B)
[(∫ dLr )xBr ] = I (Lr x Br )
(5)
El módulo de esta fuerza es: F = I L B senθ
ductor y el campo magnético (figura).
La comprobación experimental de la fuerza
con que un campo magnético actúa sobre un conductor rectilíneo cuando por él circula una corriente
puede realizarse por medio de la llamada “balanza
de Cotton” (figura). Con ella, la medida de la fuerza,
así como su dirección y sentido, se reducen a la
simple realización de una pesada. Puede comprobarse en este experimento la proporcionalidad de la
fuerza con la intensidad de corriente y la longitud
del conductor. El experimento permite calcular el
valor del campo magnético.
Esfuércese el alumno en comprender la experiencia señalada en la figura... y deducir la expresión que permite calcular B.
donde θ es el ángulo formado por el con-
U IV T 13: Campo Magnético
309
C.- MOMENTO SOBRE UNA ESPIRA
Consideremos runa espira rectangular, de lados L y L’, y situada en el seno de un campo
magnético uniforme B . El área de la espira es S = L.L’ ; démosle carácter vectorial así:
r
S es un vector cuyo módulo S es igual al área de la espira, S = L.L’, está dirigido perpendicularmente a la superficie enmarcada por la espira, en el sentido de avance de un tornillo que gire
de acuerdo con la corriente de la espira.
r
r
Sea θ el ángulo que en un determinado instante forman B y S . De (5) resulta que:
+ las fuerzas magnéticas sobre los lados AD y BC son F’ = I.L’.B.senα = I.L’.B.cosθ
Si la espira es no deformable, estas fuerzas son neutralizadas por su reacción elástica.
+ las fuerzas magnéticas sobre los lados AB y CD son F = I.L.B.sen(π/2) = I.L.B
Estas fuerzas
r constituyen un par que tiende a hacer girar la espira, situándola perpendicularmente
al campo B . El momento de este par vale:
M = F. L’. senθ = (I.L.B)( L’.senθ) = I.S.B.senθ
r
r
Definimos Momento dipolar magnético de una espira así: m ≡ I . S . Entonces el momento
del par se escribe:
r r
r
M=m xB
(6)
Por tanto, la acción del campo magnético sobre la espira es un par de fuerzas que da lugar
a su rotación, tendiendo a alinear el momento dipolar magnético de la espira con el campo magnético. Cuando la espira se sitúa perpendicularmente al campo, el momento del par se anula, y cesa
su acción.
Si la espira es circular, lo anteriormente explicado sigue siendo válido. Asimismo, si se tiene
en el seno del campo magnético una bobina de N espiras, recorrida por una corriente de intensidad I:
r
r r r
r
M = m xB
donde
m ≡ N.I. S
(7)
U IV T 13: Campo Magnético
310
D.- APLICACIONES
♣ Trayectorias circulares de cargas eléctricas en un campo magnético uniforme.Si a una partícula de masar m, cargada eléctricamente con carga q y situada en el seno de
r
un campo magnético uniforme B , se le comunica una velocidad v en dirección perpendicular al
campo, sobre ella actúa una fuerza F = q v B que es normal a la trayectoria.
Por este motivo, esta fuerza es centrípeta, no
hace variar la rapidez v, pero obliga a describir una
trayectoria circular con movimiento uniforme. Si llamamos R al radio de la trayectoria circular, se verificará:
v2
mv
F = m an
qvB=m
⇒
R=
R
qB
El sentido del movimiento circular descrito por la partícula depende obviamente del sentido del campo y
del signo de la carga eléctrica de la partícula.
♣ Experimento de Thomson .- Medida de la relación carga-masa, q/m
Durante la última parte del siglo XIX se efectuaron numerosos experimentos sobre descargas eléctricas. Tales experimentos consisten en producir una descarga eléctrica a través de un
gas a baja presión, aplicando una diferencia de potencial de varios miles de voltios entre dos electrodos colocados dentro del gas. El electrodo negativo (C) es el cátodo y el positivo (A) el ánodo.
Dependiendo de la presión del gas que se halla en el tubo, se observan varios efectos luminosos.
Cuando la presión del gas en el tubo es menor que 100 Pa (0,75 mmHg), se detecta una mancha
luminosa en O sobre la pared del tubo, directamente opuesta al cátodo C (figura). Por tanto se
supuso que el cátodo emitía una radiación que se mueve en línea recta hacia O. En consecuencia, estas radiaciones se denominaron rayos catódicos.
Cuando se produce un campo eléctrico E = ∆V / b mediante la aplicación de una diferencia
de potencial ∆V a las placas paralelas P y P’, separadas una distancia b, se observa que la mancha luminosa se mueve de O a O'. Esto es, los "rayos" se desvían en la dirección correspondiente
a una carga eléctrica negativa. Esto sugirió que los rayos catódicos eran simplemente una corriente de partículas cargadas negativamente. Sea q la carga de cada partícula, m su masa y v su velocidad. Se puede calcular, midiendo la desviación d = OO' (conocidos los valores de L, de a y de
q
E = ∆V / b ), la relación entre las variables desconocidas,
, en función de las establecidas en
m.v 2
U IV T 13: Campo Magnético
311
el experimento (a, b, L y ∆V) y de la obtenida por medición, d. El alumno puede resolverlo como
problema, obteniéndose el siguiente resultado:
q
1 b
=
d
2
∆V La
m.v
La fuerza eléctrica ejercida sobre la partícula es Fe = q E = q ∆V/b y está dirigida hacia
arriba (figura). Supongamos que también aplicamos en la misma región un campo magnético dirigido perpendicularmente hacia el papel. La fuerza magnética, Fm, según la ecuación (1), es
Fm = q v B, y está dirigida hacia abajo porque q es una carga negativa. Ajustando adecuadamente
el valor de B, podemos hacer que la fuerza magnética sea igual a la eléctrica, Fe = Fm. Esto tiene
como resultado una fuerza neta cero, y la mancha luminosa regresa de O' a O; es decir, no hay
desviación de los rayos catódicos. Entonces se verifica:
E ∆V / b ∆V
qE=qvB ⇒ v=
=
=
B
B
B.b
Esta expresión proporciona una medida de la velocidad de la partícula cargada. Sustituyendo este valor de v en la expresión anterior, obtenemos el cociente q/m (carga específica) de las
partículas que constituyen los rayos catódicos:
q
d ∆V
=
m Lab B 2
Este procedimiento experimental fue uno de los primeros métodos para medir q/m con precisión. También fue una prueba indirecta de que los rayos catódicos están formados por partículas
con carga negativa que desde entonces se conocen como electrones.
Estos experimentos y otros parecidos fueron efectuados por Sir J. J. Thomson (1856-1940)
en 1897, quien realizó grandes esfuerzos e invirtió mucho tiempo intentando descubrir la naturaleza de los rayos catódicos.
♣ Espectrómetro de masas, de Dempster
Consideremos el dispositivo ilustrado en la figura siguiente, donde I es una fuente de iones
y S1 y S2 son dos rendijas estrechas por las que pasan dichos iones, que son acelerados por la
diferencia de potencial ∆V aplicada entre las rendijas.
La velocidad de salida de los iones
se calcula mediante la ecuación:
½ mv2 = q ∆V
q
resultando:
v2 = 2 ∆V
m
En la región debajo de las ranuras
existe un campo magnético uniforme (saliente, orientado hacia el lector). Cada ión,
entonces, describirá una órbita circular, en
una u otra dirección dependiendo del signo
de su carga q.
Después de describir un semicírculo, los iones llegan a una placa fotográfica P, dejando una
señal en ella.
El radio R de la órbita está dado por la ecuación vista anteriormente, R = m v / q B, de la
cual, despejando la velocidad, obtenemos
q
v = R.B
m
U IV T 13: Campo Magnético
312
Combinando esta ecuación con la anterior para eliminar v, se tiene:
∆V
q
=2 2 2
m
B R
que expresa la carga específica de los iones, q / m, en función de las variables utilizadas en el
aparato experimental: la ddp ∆V de aceleración de los iones aplicada a las rendijas S1 y S2, la intensidad del campo magnético B y el radio R de la trayectoria circular descrita por el ión que se
mide en el experimento.
Podemos aplicar esta técnica a electrones, protones o iones, y a cualquier otra partícula
cargada. Si por otro método se mide la carga q, la fórmula anterior permite calcular la masa m de
la partícula.
El dispositivo de la figura constituye un espectrómetro de masas, debido a que separa los
iones de la misma carga y diferente masa m, puesto que según la ecuación, el radio de la trayectoria de cada ion será diferente dependiendo de su valor de q / m. Existen varios tipos de espectrómetros de masas, todos basados en el mismo principio. Los científicos que usan esta técnica
descubrieron, en la década de los veinte del pasado siglo, que los átomos del mismo elemento
químico no tienen necesariamente la misma masa: las diferentes variedades de átomos de un
elemento que difieren en su masa se conocen como isótopos. Así por ejemplo, J. J. Thomson
descubrió que cuando se tenían partículas de neón a baja presión, en la placa fotográfica aparecía
no una única raya correspondiente a la masa atómica que se asignaba a dicho gas (20,1839 u)
sino dos, que correspondían a masas ligeramente diferentes: 20 u y 22 u. Esto llevó a la conclu20
22
sión de que debían de existir dos isótopos del neón, 10
Ne y 10
Ne , en la proporción de 9 a1.
♣ Acelerador de partículas. El Ciclotrón
El hecho de que la trayectoria de una partícula cargada en un campo magnético es circular
ha permitido el diseño de aceleradores de partículas que operan de manera cíclica.
En los aceleradores electrostáticos, la aceleración depende de la diferencia de potencial total ∆V. Para producir partículas de alta energía, ∆V debe ser muy grande. Sin embargo, en un acelerador cíclico una carga eléctrica puede recibir una serie de aceleraciones al pasar muchas veces
por una diferencia de potencial relativamente pequeña. El primer dispositivo que funcionó con este
principio fue el ciclotrón, diseñado por E. O. Lawrence (1901-1958).
El primer ciclotrón práctico empezó a funcionar en 1932. Desde entonces se han construido
muchos en todo el mundo, aunque ahora ya han
sido superados por dispositivos mucho más poderosos.
Esencialmente, un ciclotrón (Fig. 22.13) consiste en una cavidad cilíndrica dividida por la mitad
(cada una conocida como "de" por su semejanza
con la letra D) y colocada en un campo magnético
uniforme paralelo a su eje.
Las des están aisladas eléctricamente entre sí, y en el centro del espacio entre las des se sitúa una fuente de iones, S. El sistema debe mantenerse a un alto vacío para evitar colisiones entre las partículas aceleradas y cualquier molécula de gas. Entre las des se aplica una diferencia de
potencial alterna del orden de 10000 voltios. Si los iones son positivos, se acelerarán hacia la de
negativa. Cuando los iones penetran en una de, no experimentan fuerza eléctrica alguna, debido a
que el campo eléctrico es cero en su interior.
U IV T 13: Campo Magnético
313
Sin embargo, el campo magnético hace que el ion describa una trayectoria circular, con un
radio dado por la ecuación vista anteriormente, R = m v / q B, y con velocidad angular dada por
ω = v / R = q B / m. La diferencia de potencial alterna entre las des se regula con una frecuencia
igual precisamente a ω / 2 π. De esta forma la diferencia de potencial entre la des está en resonancia con el movimiento circular de los iones.
Mientras los iones describen media revolución, la polaridad de las des se invierte de modo
que cada vez que los iones cruzan el espacio que hay entre ellas, reciben una pequeña aceleración. Por tanto cada medio ciclo el ión describe un semicírculo con un radio mayor pero con la
misma velocidad angular. El proceso se repite varias veces, hasta que el radio adquiere un valor
máximo R, que es prácticamente igual al radio de la cavidad. Los polos del imán están diseñados
de modo que el campo magnético en el borde de las des disminuya drásticamente y los iones adquieran un movimiento tangencial, escapando por una abertura conveniente. La velocidad máxima
vmax está relacionada con el radio R mediante la ecuación:
mv max
q
→
v max = BR
R=
qB
m
La energía cinética de los iones que salen por A es entonces:
q 2B 2R 2
Ec = ½ mv2 =
2m
y está determinada por la carga y la masa de la partícula, la intensidad del campo magnético y el
radio del ciclotrón, pero es independiente del potencial de aceleración entre las des. Cuando la
diferencia de potencial es pequeña, los iones tienen que dar muchas vueltas antes de que adquieran su energía final. Pero cuando es grande, sólo se requieren unas cuantas vueltas para adquirir
la misma energía.
U IV T 13: Campo Magnético
314
4.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR CORRIENTES
A.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CARGA EN MOVIMIENTO
Hasta aquí hemos considerado campos magnéticos sin preguntarnos por la forma en que
éstos se producen. Más adelante veremos que el mejor método de producir un campo magnético
es mediante corrientes eléctricas. Sin embargo, una corriente eléctrica es un flujo de partículas
cargadas que se mueven en la misma dirección dentro
de un conductor.
Una carga eléctrica en movimiento, con respecto
al observador, produce un campo magnético además de
su
campo
eléctrico.
Se
ha
encontrado
experimentalmente que el campo magnético en un punto
P, a una distancia r de la carga que se mueve con
respecto al observador con una velocidad v (pequeña
comparada con la de la luz) es:
µ q.v.senθ
B= 0
(8)
4π
r2
donde µ0 es una constante conocida como permeabilidad del vacío y cuyo valor en el S.I. es:
µ0 = 4π.10-7 m.kg.C-2
(o bien, T.m.A-1)
y donde θ es el ángulo determinado por la dirección del movimiento de la carga (vector velocidad)
y el vector de posición del punto P respecto de la carga.
Nótese que, según esta fórmula, el valor del campo magnético:
* es cero en la dirección del movimiento
* tiene su valor máximo en el plano perpendicular a esa dirección del movimiento y que contiene a la carga.
Además:
r
r
* la dirección del campo magnético es perpendicular a los vectores r y v (véase la figura).
Combinando ambas propiedades del campo magnético, podemos expresarlo en forma vectorial así:
r µ 0 q ( vr x r̂ )
B=
(9)
4π
r2
r
donde r̂ es el vector unitario en la dirección de r . Las líneas magnéticas son entonces circunferencias concéntricas con su centro en la trayectoria de la carga.
r
Por otro lado, el campo eléctrico E producido por la carga q en P es:
r
1 q
q
r̂
E = k 2 r̂ =
4πε 0 r 2
r
Despejando r̂ en esta última expresión y sustituyendo su valor en (9), y simplificando, se
llega a la siguiente relación entre ambos campos debidos a la carga q en movimiento:
r
r r
B = ε 0 µ0 (v x E)
U IV T 13: Campo Magnético
315
Puesto que ε 0 µ 0 = 8’8544x10-12C2.N-1.m-2 x 4πx10-7m.kg.C-2 = 1’1127x10-17 s2.m-2
1
1
resulta que c ≡
=
= 2'998x10 8 ≅ 3x10 8 m/s, valor que coincide curiosamente
−
17
ε 0µ 0
1'1127 x10
con la velocidad de la luz en el vacío. De acuerdo con ello, la anterior expresión se transforma en
ésta, que relaciona los dos campos, eléctrico y magnético, asociados a la carga q en movimiento:
r
1 r r
B = 2 ( v xE)
(10)
c
Por tanto, aunque una carga en reposo produce únicamente un campo eléctrico, una carga
en movimiento con respecto al observador produce un campo eléctrico y uno magnético. Además,
los dos campos están relacionados por la ecuación (10). Así pues, los campos eléctrico y magnético son simplemente dos aspectos de una propiedad fundamental de la materia, y resulta más
apropiado utilizar el término campo electromagnético para describir la situación física que implica cargas en movimiento.
Otra propiedad interesante es que dos observadores en movimiento relativo miden velocidades diferentes de la carga eléctrica en movimiento y, por tanto, también miden diferentes campos
magnéticos. En otras palabras, los campos magnéticos dependen del movimiento relativo entre la
carga y el observador.
Vemos pues que, a medida que la partícula se mueve, lleva con ella sus campos eléctrico y
magnético. Así, un observador que ve la partícula en movimiento mide campos eléctrico y magnético que cambian con el tiempo a medida que la partícula se acerca y se aleja del observador,
mientras que un observador en reposo con respecto a la carga (o que se mueve con ella) sólo
mide un campo eléctrico constante.
B.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UN ELEMENTO DE CORRIENTE
En realidad, históricamente, las primeras observaciones de campos magnéticos creados por
cargas en movimiento tuvieron lugar observando corrientes eléctricas.
En 1820, H. C. Oersted, al observar la desviación de la aguja de una brújula colocada cerca
de un conductor por el que pasaba una corriente (experiencia de Oersted), concluyó que una corriente eléctrica produce un campo magnético cuya dirección es perpendicular a dicha corriente.
Como la corriente eléctrica es un flujo de cargas eléctricas que se mueven en una dirección,
la conclusión es que cada carga produce un campo magnético. Por tanto, el campo magnético
creado por la corriente es la suma de los campos magnéticos producidos por cada una de las partículas en movimiento.
A partir de la experiencia de Oersted y tras muchos
experimentos efectuados por varios físicos, A. M. Ampère y P. Laplace llegaron de manera empírica a la
r
expresión que proporciona el campo magnético B
creado por una corriente de intensidad I en un punto P.
Éste es el resultado de sumar las aportaciones de todos
y cada uno de los elementos de corriente en que
podemos dividir el conductor por el que se mueven las
cargas eléctricas.
r
La aportación elemental al campo magnético debida a un elemento de conductor dL por el que
r
r
dLxr̂
pasa una corriente I es:
dB = k’ I 2
r
U IV T 13: Campo Magnético
donde:
316
r
r
+ dB es el campo magnético elemental creado en P por el elemento dL de conductor
por el que circula una corriente I .
r
+ r es la distancia desde el elemento de conductor dL al punto P; y r̂ es el versor en
esa dirección y sentido.
+ k’ es una constante que depende del medio. k’ se expresa mejor como µ/4π , donde
µ se denomina permeabilidad magnética del medio. En particular, para el vacío
(y para el aire, prácticamente), y en el S.I. vale:
µ0 = 1’25664x10-6 T.m.A-1 = 4π.10-7 T.m.A-1 ⇔ k’0 = µ0/4π = 10-7 T.m.A-1
Así pues,
r
r µ 0 dLxr̂
dB =
I 2
4π
r
Segunda ley de Laplace
(11)
El campo magnético creado en P por un conductor cualquiera por el que pasa una corriente
I se calcula por integración de (11) extendida a dicho conductor, entendiendo ésta como suma de
las aportaciones de cada trozo elemental en que podemos
considerar dividido el conductor. O sea:
r
r µ0
dLxr̂
B=
I
(12)
∫
4π Conductor r 2
r µ q.vr xr̂
La segunda ley de Laplace puede ser deducida de la expresión (9), B = 0
, tomando ésta
4π r 2
como expresión resultante de los experimentos desarrollados a partir de Oersted.
La carga dq que atraviesa la sección del conductor en un tiempo dt es dq = I.dt. Esta carga, moviénr r
r
dose con velocidad v , se encuentra en ese tiempo en el elemento de conductor dL = v.dt .
r
Por tanto, el campo dB creado por dicha carga dq es, según (9):
r
r
r
r
r
r µ0
µ0
µ 0 v.dtx r
µ 0 dLxr̂
vxr̂
vxr̂
dB =
dq 2 =
I dt 2 =
I 2 =
I 2
4π
4π
4π
4π
r
r
r
r
C.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE RECTILÍNEA INDEFINIDA
A partir de la experiencia de Oersted, los científicos J. B. Biot y F. Savart consiguen medir el
campo magnético en las proximidades de un conductor rectilíneo, muy largo, por el que circula
una corriente eléctrica. Deducen la ley que lleva su nombre y que puede resumirse así:
El campo magnético creado por una corriente rectilínea en un punto es:
+ proporcional a la intensidad de la corriente.
+ inversamente proporcional a la distancia del punto a la
corriente.
+ depende del medio material en el que se encuentran
el conductor y el punto.
O sea,
B= K
I
R
U IV T 13: Campo Magnético
317
Además:
+ las líneas del campo magnético son curvas circulares situadas en planos perpendiculares
r
al conductor y centradas con él. Su sentido, y por tanto el de B , viene dado por la
Regla de la mano derecha: “Colocando la mano derecha semicerrada, y señalando con el dedo pulgar la dirección de la corriente I, los otros dedos señalan el
sentido de las líneas del campo.”
La Regla del tornillo es similar: “El sentido de las líneas del campo es el de giro
de un tornillo cuando avanza en la dirección de la corriente en el conductor.”
A partir de la segunda ley de Laplace, fórmulas (11) y (12), podemos deducir esta ley de Biot
y Savart.
Sea un conductor rectilíneo, muy largo (teóricamente indefinido), por el que fluye una corriente I. Vamos a calcular el campo magnético creado en un punto P, situado a una distancia R
del conductor. Elijamos según el conductor y el sentido de la corriente el eje de abscisas X, como
señala la figura:
r
r µ 0 d l xr̂
La expresión dB =
I
conduce a:
4π r 2
µ dl.senα µ 0 dx.senα' µ 0 dx. cos θ
dB = 0 I
=
I
=
I
4π
4π
4π
r2
r2
r2
R
R
Además, r =
y x = R.tgθ ⇒ dx =
dθ .
cos θ
cos 2 θ
Sustituyendo en dB los valores de dx y r, resulta:
µ I
dB = 0
cosθ. dθ
4π R
r
Ésta es la aportación del elemento de corriente d l al
campo magnético total. Como se observa, depende
del ángulo θ. Para calcular el campo B, integraremos
la expresión anterior desde θ = - π/2 (cuando x = - ∝)
hasta θ = + π/2 (cuando x = + ∝):
+π 2
µ0
µ
µ
B=
I cos θ.dθ = 0 I [senθ]+− ππ 22 = 0 ( I / R).
4πR − π 2
4πR
2π
∫
O sea,
B=
µ0 I
2π R
(13)
r
La dirección y el sentido de B ya fue comentada. Las líneas de campo magnético son circunferencias concéntricas con el conductor,
y situadas en planos perpendiculares a él, como se
r
deduce de la expresión vectorial de dB . Se observa que son líneas cerradas, a diferencia de las
líneas de campo eléctrico, que parten de las cargas positivas y mueren en las negativas, siendo
líneas abiertas. Esta propiedad de las líneas de campo magnético, de cerrarse sobre sí mismas,
es general, cualquiera que sea el conductor.
D.- CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE CIRCULAR en puntos
del eje (espira circular)
En muchos dispositivos que utilizan una corriente eléctrica para crear un campo magnético
(un electroimán, un transformador, ...) el hilo que soporta la corriente está arrollado en forma de
bobina (solenoide). De ahí el interés de estudiar el campo magnético creado por una sola espira
de hilo que transporta la corriente. La figura representa una espira circular, de radio R , por la que
U IV T 13: Campo Magnético
318
pasa una corriente I . Situemos los ejes coordenados en el centro O de la espira de modo que
ésta se sitúe en el plano YZ, coincidiendo el eje X con el de la espira. Sea P un punto del eje, de
abscisa x. Deseamos calcular el campo magnético en él.
r
r µ 0 dL x rˆ
dB =
I
4π
r2
⇒
dB =
µ 0 dL.sen( π 2) µ 0 dL
I
=
I
4π
4π r 2
r2
r
El vector dB se puede descomponer en las dos direcciones: componente dB|| según el eje
perpendicular
a dicho eje:
OX, y componente dB⊥ enr dirección
r
r
dB = dB || + dB ⊥ donde dB|| = dB senθ y dB⊥ = dB cosθ
Por razón de simetría (figura), las componentes dB⊥, sumadas para toda la espira, dan resultante nula. Sólo contribuyen al campo total las componentes dB||. Así pues:
µ senθ
µ senθ
dB || =
dB . senθ = 0 I 2 2πR = 0 I 2 R
B=
4π r
2
r
Espira
Espira
∫
∫
Teniendo en cuenta que r = (R2 + x2)1/2 y senθ = R/r resulta finalmente:
B=
µ0
R2
I 2
2 (R + x 2 ) 3 / 2
Y vectorialmente:
r
µ
R2
B= 0 I 2
î
2 (R + x 2 ) 3 / 2
(14)
En el centro O de la espira (x = 0) el campo magnético vale:
B0 =
µ0 I
2 R
Vectorialmente
r
µ I
B0 = 0
î
2 R
(15)
Si en lugar de una sola espira se dispone de una bobina de N espiras, cada una de éstas
contribuye en igual medida a la creación del campo. La anterior expresión resulta, para el centro
de la bobina:
r
µ NI
(16)
B0= 0
î
2 R
Líneas de campo magnético debidas a
una corriente circular
Líneas de campo magnético debidas a una corriente solenoidal
U IV T 13: Campo Magnético
319
5.- CIRCULACIÓN DE UN CAMPO MAGNÉTICO: LEY DE AMPÈRE
r
Dado un campo vectorial C y una curva cerrada c, la integral
∫
r r
C.d r se llama circulación
c
r
de C a lo largo de la curva c.
r
r
Hemos visto que para los campos gravitatorio g y eléctrico E se verifica:
r r
∫ g.d r = 0
r r
E
∫ .d r = 0
y
c
para todo c.
c
Por ello decíamos que ambos campos son conservativos, procediendo, en consecuencia, de un
potencial cada uno: potencial gravitatorio y potencial eléctrico, respectivamente.
r
Este caso no se da para el campo magnético B :
El campo magnético no es conservativo.
En efecto, volvamos a considerar el campo
creado por una corriente rectilínea indefinida. Tomemos como curva cerrada de integración precisamente una línea de campo (circunferencia), y calculemos
la anterior circulación:
r r
B
∫ .d r
c
En todo punto de la línea de campo c el módulo del
magnético tiene el mismo valor,
r campo
r
si bien su dirección es tangente a dicha línea. Por tanto B y d r son vectores paralelos, por lo que
r r
B.d r = B ds cos0º = B ds
r r
⎛ µ0I ⎞
∫ B.d r = ∫ B.ds = B∫ ds = ⎜⎝ 2πR ⎟⎠(2πR) = µ
c
c
0
I
Así pues:
r r
∫ B.d r = µ
0
I
c
c
⇒ La circulación del campo magnético no es nula, sino proporcional a la intensidad de corriente I;
además es independiente del radio de la línea de campo elegida como camino de integración.
Un análisis más riguroso, que omitimos, indica que cualquiera que sea el camino cerrado c
que encierra la corriente I, y cualquiera que sea la forma del conductor de corriente, se verifica la
anterior expresión. Más aún, si se dispone de varias corrientes I1, I2, ..., Ii, ..., In, enlazadas por la
línea cerrada c, se cumple la denominada Ley de Ampère:
“La circulación de un campo magnético a lo largo de una línea cerrada que enlaza las corrientes I1, I2, ..., Ii, ..., In es
r r
∫ B.dr = µ ∑ I
donde
∑I
0
i
c
i
representa la corriente total neta enlazada por la línea cerrada c.”
(17)
U IV T 13: Campo Magnético
320
La aplicación de la ley de Ampère exige
asignar un sentido de recorrido de la curva de
integración. En virtud de esta elección, tomamos
como positivas las corrientes que atraviesan la
superficie limitada por c en el sentido de avance
de un tornillo que gire de acuerdo con el de recorrido de la curva, y negativas las que lo hacen en
sentido de avance contrario.
En el caso de la figura:
r r
B
∫ .d r = µ0 (I1 – I2 + I 3)
c
Haciendo uso de la ley de Ampère, puede calcularse cómodamente el campo magnético
producido por distribuciones de corriente que gocen de cierta simetría geométrica: el campo magnético en el interior de un solenoide recto y largo, o el campo magnético en el interior de un solenoide toroidal, por ejemplo.
1.- Solenoide toroidal.- Campo magnético creado en su interior.
Una bobina toroidal, o solenoide toroidal, consiste en un alambre uniformemente arrollado
en un toroide o superficie anular de sección circular.
Supongamos que el radio a de la sección toroidal
es mucho menor que el radio R del toroide. Sea N el
número de vueltas o espiras del alambre conductor,
igualmente espaciadas, e I la intensidad de corriente
que circula por ellas. La simetría del problema sugiere
que las líneas de campo magnético son circunferencias concéntricas con el toroide.
Consideremos primeramente la línea de campo c, interior al toroide, de radio R, como camir r
no de integración en la aplicación del teorema de Ampère. Entonces, por un lado: B.d r = B.2πR
∫
c
r
r
pues B y d r son vectores paralelos y B tiene el mismo valor en todos los puntos de c (simetría).
Por otro lado,
Ii = N I pues el número de conductores de corriente que atraviesan la superficie
∑
enmarcada de radio R, en el mismo sentido, es el de espiras del toroide, o sea N.
r r
Ii se escribe para este caso: B.2πR = µ0 N I
Por tanto: B.d r = µ0
∫
c
∑
⇒
B=
µ 0 N.I
2π R
Y si llamamos n ≡ N/2πR al número de espiras del toroide por unidad de longitud,
B = µ0 n I.
Estas dos expresiones dan el valor del campo magnético creado por la corriente toroidal en
el interior del solenoide. Es constante.
En el exterior del solenoide, el campo magnético es nulo. En efecto, el propio teorema de
Ampère lo prueba, ya que, se tome la curva c’ o c’’ como caminos de integración, la corriente total
que atraviesa las superficies que determinan es nula:
+ en el caso del camino c’’, no hay corrientes.
+ en el caso de c’, la corriente en cada espira, atraviesa la superficie dos veces y en sentido
opuesto.
U IV T 13: Campo Magnético
321
2.- Solenoide recto, muy largo.- Campo magnético en su interior.
Calculemos el campo magnético en el interior del solenoide, de N espiras arrolladas en un
cilindro de longitud grande frente al diámetro del
mismo (al menos, unas cinco veces mayor). El
cálculo es válido alejados de los extremos del solenoide.
Apliquemos el teorema de Ampère,
r r
B
∫ .d r = µ0 ∑ Ii,
c
tomando como camino de integración la curva c. Esta curva es una línea de campo cerrada. Consideremos en ella las siguientes partes: interior, AB ≡ L; cercanas a los extremos, DA y BC; exterior, CD. El campo magnético sólo tiene valor en el interior del solenoide (valor que buscamos); en
el exterior es nulo especialmente en la parte alejada del solenoide; y en las proximidades de sus
polos decrece rápidamente, pudiéndose tomar como aproximadamente nulo.
∫
r r
Por tanto, por un lado: B.d r =
c
Por otro lado, µ0
∑ Ii = µ
0
∫
r r
r r
B.d r + B.d r +
AB
∫
CD
∫
r r
B.d r =
BC +DA
∫ B.dr
+ 0 + 0 = B.L
AB
N I.
N.I
L
Y si llamamos n ≡ N/L al número de espiras por unidad de longitud, del solenoide,
Así pues, igualando, resulta:
B = µ0
B = µ0 n I
Si dentro de los solenoides introducimos una barra cilíndrica de hierro o material ferromagnético (µ >> µ0), el campo magnético que se crea es mucho más intenso. Se tiene entonces un
electroimán.
6.- FUERZAS ENTRE CORRIENTES: DEFINICIÓN DE AMPERIO
Veamos, a continuación, la interacción entre
dos corrientes I1 e I2 que circulan por sendos conductores, 1 y 2. Considerémoslos ambos rectilíneos,
de longitud L, paralelos y separados una distancia d.
En cualquier punto del conductor 2 el campo
magnético B1 creado por I1 está dado por (ecuación
(13)):
µ I
B1 = 0 1
2π d
r
siendo la dirección de B1 la señalada en la figura.
La fuerza F2 ejercida por B1 sobre la corriente I2 es (ecuación (5)):
r
r r
µ I
F2 = I 2 (LxB1 ) ⇒ F2 = I2 L 0 1 ⇒
2π d
F2 =
µ 0 I1 I 2
.L
2π d
Análogamente, campo magnético creado por I2 en puntos del conductor 1 es:
B2 =
µ0 I2
2π d
U IV T 13: Campo Magnético
322
y la fuerza magnética F1 ejercida por B2 sobre la corriente 1 vale: F1 = I1 L B2 =
Como se ve, efectivamente las acciones son iguales y opuestas, F1 = F2 ≡ F
µ II
F = 0 1 2 .L
2π d
µ 0 I1 I 2
.L
2π d
(18)
Estas fuerzas de interacción son tales que “dos corrientes paralelas en el mismo sentido
se atraen;
r sir son de sentido contrario, se repelen”, como puede observarse estudiando el sentido de F1 y F2 . (Figura).
La fuerza ejercida entre corrientes eléctricas se utiliza para definir la unidad de intensidad
de corriente en el S.I.: el Amperio (A). Esta unidad sustituye al Culombio, unidad de carga eléctrica, como unidad fundamental, a causa de la facilidad de cálculo y experimentación utilizando
el estudio anterior. Escribiendo (17) así:
F µ 0 I1 I 2
=
L 2π d
y haciendo d = 1 metro y F/L = 2x10-7 N/m, se define el amperio de este modo:
“Dos conductores paralelos, situados a 1 metro de distancia, en el vacío, están recorridos por una intensidad de corriente de 1 amperio si se atraen con una fuerza de
2x10-7 newtons por metro de longitud de conductor.”
La balanza de la figura de la página siguiente, balanza de corrientes, es un dispositivo adecuado para realizar experimentalmente la medida de la fuerza ejercida entre dos conductores paralelos.
Balanza de corrientes, para medir una
corriente en función de la fuerza magnética entre dos conductores paralelos
2
La misma corriente pasa por los dos conductores, de modo que F/L = 2x10-7 I /d . Primero
se equilibra la balanza cuando no hay corrientes en el circuito. Cuando por éste circula la corriente, es necesario agregar pesas en el platillo izquierdo para equilibrar nuevamente la balanza.
Usando los valores conocidos de F, L y d, podemos encontrar el valor de I .
U IV T 13: Campo Magnético
323
7.- MAGNETIZACIÓN DE LA MATERIA
La manifestación más conocida del magnetismo es la fuerza de atracción o repulsión que
actúa entre los materiales magnéticos tales como el hierro: los imanes. Sin embargo, en toda la
materia se pueden observar efectos más sutiles del magnetismo. Cuando un campo magnético se
crea en el seno de un medio material, su intensidad se ve afectada por dicho medio. Decimos entonces que éste se ha magnetizado.
En el modelo de Bohr, los electrones que giran en torno al núcleo constituyen corrientes
eléctricas que son dipolos magnéticos, (de acuerdo con el estudio desarrollado en Tema 13,
nº 3C), de momento dipolar magnético |m| = I S = π e f r2. Además cada electrón presenta un momento dipolar magnético intrínseco asociado a su espín. En definitiva,
r cada átomo presenta un
momento dipolar total. En presencia de un campo magnético exterior B 0 se produce la interacción
r
de estos dipolos con dicho campo, lo que se traduce en una variación de B 0 .
Estas fuerzas mutuas entre estos momentos de dipolo magnético y su interacción con un
campo magnético externo son de importancia fundamental para entender el comportamiento de
materiales magnéticos. No entramos en detalles y sólo describiremos las tres categorías de materiales: paramagnéticos, diamagnéticos y ferromagnéticos, según la respuesta de los mismos a la
acción de un campo externo B0. Esta respuesta depende en parte de los momentos dipolares
magnéticos de los átomos del material y en parte de las interacciones entre los átomos.
El paramagnetismo ocurre en materiales cuyos átomos tienen momentos dipolares magnéticos permanentes; no hay diferencia si estos momentos dipolares son del tipo orbital o del tipo
de espín. El paramagnetismo nace del alineamiento parcial de los momentos magnéticos moleculares (mm) en presencia de un campo magnético externo.
Los
r mm están, en estado normal, orientados al azar. Y en presencia del campo magnético
externo B 0 los dipolos se alinean parcialmente en la dirección del campo, produciéndose un aumento del campo (Recuérdese “acción de un campo magnético sobre una espira”). A temperaturas ordinarias y con campos externos normales, sólo una fracción muy
se orienta con el
r pequeña
r
campo, por consiguiente el aumento del campo es muy pequeño: B = µ' B 0 donde µ’ es la perr
r
meabilidad relativa del medio paramagnético, de valor µ’ > 1 pero µ’ ≅ 1 ⇒ B > B 0 ≅ B
Son sustancias paramagnéticas el aire, el platino, el aluminio, el oxígeno, el FeCl3 ...
El ferromagnetismo, al igual que el paramagnetismo, se presenta en materiales en los
que los átomos tienen momentos dipolares magnéticos permanentes. Lo que distingue a los materiales ferromagnéticos de los materiales paramagnéticos es que, en los materiales ferromagnéticos, existe una fuerte interacción entre los momentos dipolares atómicos vecinos que los mantiene alineados incluso cuando se suprime el campo magnético externo.
El que esto ocurra o no depende de la intensidad de los dipolos atómicos y también, puesto que el campo del dipolo cambia con la distancia, de la separación entre los átomos del material.
Los materiales ferromagnéticos más comunes a la temperatura ambiente incluyen a los
elementos hierro, cobalto y níquel. Los elementos ferromagnéticos menos comunes, alguno de los
cuales muestran su ferromagnetismo sólo a temperaturas mucho menores que la temperatura
ambiente, son los elementos de las tierras raras, como el gadolinio y el disprosio. También pueden
ser ferromagnéticos los compuestos y las aleaciones, por ejemplo, el CrO2, el ingrediente básico
de las cintas magnéticas: es ferromagnético aunque, ninguno de los elementos, cromo u oxígeno,
es ferromagnético a temperatura ambiente.
Podemos disminuir la efectividad del acoplamiento entre átomos vecinos que causa el ferromagnetismo al aumentar la temperatura de una sustancia. A la temperatura a la cual un material ferromagnético se vuelve paramagnético se le denomina temperatura Curie.
U IV T 13: Campo Magnético
324
La temperatura Curie del hierro, por ejemplo, es de 770 ºC; por encima de esta temperatura, el hierro es paramagnético. La temperatura Curie del metal gadolinio es de 16 ºC; a la temperatura ambiente, el gadolinio es paramagnético, mientras que a temperaturas por debajo de los 16
ºC, el gadolinio se vuelve ferromagnético.
r
r
En el caso ferromagnético, B = µ' B 0 con µ' >>> 1 , a veces µ’ ≈ 4000, 5000, o más. Este
hecho justifica por qué en un electroimán, o bobina, u otros casos, se introduce un núcleo de hierro: el campo magnético queda así multiplicado por el factor µ’.
Diamagnetismo: En 1847, Michael Faraday descubrió que una muestra de bismuto era
repelida por un imán potente. A tales sustancias las llamó diamagnéticas. (Por el contrario, las
sustancias paramagnéticas son atraídas siempre por un imán). El diamagnetismo se presenta en
todos los materiales. Sin embargo, generalmente es un efecto mucho más débil que el paramagnetismo y, por lo tanto, puede observarse más fácilmente sólo en materiales que no sean paramagnéticos. Tales materiales podrían ser aquellos que tienen momentos dipolares magnéticos
atómicos de valor cero, originándose quizás en átomos que tienen varios electrones con sus momentos magnéticos orbital y de espín que al sumarse vectorialmente dan un valor cero.
(El diarnagnetismo es análogo al efecto de los campos eléctricos inducidos en la electrostática. Un
trozo de material no cargado, como el papel, es atraído hacia una barra cargada de cualquier polaridad. Las
moléculas del papel no tienen momentos dipolares eléctricos permanentes pero adquieren momentos dipolares inducidos por la acción del campo eléctrico, y estos momentos inducidos pueden entonces ser atraídos
por el campo).
En los materiales diamagnéticos, los átomos que no tienen momentos dipolares magnéticos permanentes adquieren momentos dipolares inducidos cuando están situados dentro de un
campo magnético externo. Consideremos que los electrones que giran en un átomo se comporten
como espiras de corriente. Cuando se aplica un campo externo B0, el flujo a través del anillo cambia. Según la ley de Lenz, el movimiento debe cambiar de manera tal que un campo inducido se
oponga a este aumento en el flujo. En
pues, en el medio diamagnético el campo magnér definitiva,
r
tico decrece, bien que muy poco. B = µ' B 0 donde µ’ < 1 es la permeabilidad relativa del medio
r
r
diamagnético, de valor µ’ < 1 pero µ’ ≅ 1
⇒
B < B0 ≅ B
Son sustancias claramente diamagnéticas el bismuto, el cobre, mercurio, plomo, agua,
hidrógeno, entre otras muchas.
(Si quisiéramos traer un solo átomo de un material como el bismuto cerca del polo norte de un imán,
el campo (que apunta alejándose del polo norte) tiende a aumentar el flujo a través de la espira de corriente
que representa al electrón circulando en torno al núcleo de bismuto. De acuerdo con la ley de inducción de
Lenz, en la espira debe aparecer una corriente que origine un campo inducido apuntando en la dirección
opuesta al campo de imán (o sea, dirigida hacia el polo N del imán). La espira es así un imán elemental
situado con su polo N más cercano al polo N del imán. Los dos imanes pues se repelen entre sí, y el átomo
de bismuto es rechazado por el imán inicial.
Este efecto ocurre sin importar cuál sea el sentido de la rotación de la órbita original, de modo que, en un
material diamagnético, la magnetización se opone al campo aplicado).
U IV T 13: Campo Magnético
325
8.- DIFERENCIAS ENTRE LOS CAMPOS ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO
CAMPO ELÉCTRICO
CAMPO MAGNÉTICO
1.- Es una perturbación del medio originada por 1.- Es una perturbación del medio originada por
cargas eléctricas, tanto en reposo como en cargas eléctricas en movimiento.
movimiento.
2.- Es inversamente proporcional al cuadrado 2.- Depende de la distancia y de la orientación.
de la distancia.
3.- Es un campo de fuerzas centrales.
3.- No es un campo de fuerzas centrales.
4.- Las fuerzas eléctricas tienen la misma di- 4.- Las fuerzas magnéticas son perpendiculares al campo.
rección que el campo.
5.- Una carga eléctrica siempre experimenta la 5.- Una carga eléctrica experimenta la acción
acción de un campo eléctrico.
de un campo magnético solamente cuando se
mueve en una dirección diferente a la del campo.
6.- Las líneas del campo eléctrico son abiertas.
6.- Las líneas del campo magnético son siempre cerradas.
7.- Pueden existir cargas eléctricas aisladas.
7.- No existen polos magnéticos aislados.
8.- El campo eléctrico es conservativo, por lo 8.- El campo magnético no es conservativo, por
lo cual no tiene sentido definir una función pocual se puede definir una función potencial.
tencial.
9.- La intensidad de la interacción eléctrica de- 9.- La intensidad de la interacción magnética
pende del medio, siendo mayor en el vacío que depende del medio pero, según el tipo de material, puede ser mayor o menos que en el vacío.
en los medios materiales.
U IV T 13: Campo Magnético
326
ANALOGÍAS Y DIFERENCIAS ENTRE LOS
CAMPOS GRAVITATORIO, ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO
CAMPO GRAVITATORIO
CAMPO ELÉCTRICO
1.- Es un campo de fuerzas 1.- Es un campo de fuerzas
que actúa sobre cuerpos ma- que actúa sobre cuerpos con
teriales por el hecho de tener cargas eléctricas.
masa.
CAMPO MAGNÉTICO
1.- Es un campo de fuerzas
que actúa sobre cuerpos con
cargas eléctricas en movimiento.
2.- La fuerza ejercida es pro- 2.- La fuerza ejercida es pro- 2.- La fuerza ejercida es proporcional a la masa sobre la porcional a la carga eléctrica porcional a la carga eléctrica
que actúa.
sobre la que actúa.
sobre la que actúa.
3.- La fuerza gravitatoria es 3.- La fuerza eléctrica puede 3.- En general, no se puede
siempre de atracción.
ser de atracción o de repul- afirmar que el sentido de la
sión.
fuerza magnética sea ni de
atracción ni de repulsión.
4.- El campo queda definido 4.- El campo queda definido 4.- El campo queda definido
r
en cada punto por rel vector
en cada punto por rel vector
en cada punto por el vector B
r F
r F
tal que r
E=
g=
r r
F = q ( v x B)
q
m
5.- La intensidad del campo
gravitatorio debido a una masa
puntual es inversamente proporcional al cuadrado de la
r
m
distancia: g = − G 2 rˆ
r
5.- La intensidad del campo
eléctrico debido a una carga
puntual es inversamente proporcional al cuadrado de la
r
q
distancia: E = k 2 rˆ
r
5.- El campo magnético debido
a un elemento conductor por el
que circula una corriente eléctrica I es inversamente proporcional al cuadrado de la disr
r µ 0 I dL x rˆ
tancia: dB =
4π r2
6.- La constante G es una 6.- La constante electrostática 6.- La permeabilidad magnéticonstante universal, no de- k tiene un valor diferente se- ca µ depende del medio.
pendiente de los medios.
gún el medio.
7.- Es un campo de fuerzas 7.- Es un campo de fuerzas 7.- Es un campo de fuerzas no
conservativo.
conservativo.
conservativo.
8.- Se puede definir un poten- 8.- Se puede definir un poten- 8.- No tiene sentido definir un
potencial magnético.
cial eléctrico.
cial gravitatorio.
U IV T 13: Campo Magnético
327
9.- El potencial gravitatorio V
en un punto es la energía potencial gravitatoria de la unidad de masa en ese punto:
Ep = m V
9.- El potencial eléctrico V en 9.- Sin sentido.
un punto es la energía potencial eléctrica de la unidad positiva de carga en ese punto:
Ep = q V
10.- El potencial gravitatorio V
en un punto debido a una masa puntual es inversamente
proporcional a la distancia:
m
V = –G
r
10.- El potencial eléctrico V en 10.- Sin sentido.
un punto debido a una carga
puntual es inversamente proporcional a la distancia:
q
V=k
r
11.- Las líneas de campo gravitatorio son abiertas: nacen
en el infinito y mueren el las
masas.
11.- Las líneas de campo eléc- 11.- Las líneas de campo
trico son abiertas: nacen en el magnético son cerradas.
infinito y en las cargas positivas y mueren en el infinito y en
las cargas negativas.
U IV T 13: Campo Magnético
328
ACTIVIDADES DESARROLLADAS
1.- Hallar el radio de la trayectoria circular que describe una partícula α en el seno de un
campo magnético de 0’5 mT, si su velocidad es de 2x105 m/s, perpendicular al campo. Se
supone, para la partícula α, que mp ≈ mn ≡ m = 1’67x10-27kg y e = 1’6x10-19 C.
Una partícula α es un núcleo de helio, 42 He 2+ , por lo que:
masa, m = 2mp + 2mn ≅ 4mp
carga, q = 2e
r
r r
La fuerza magnética sobre ella vale: F = q( vxB) → F = q v B
r r
Esta fuerza es siempre perpendicular a la trayectoria ( F ⊥ v ), por lo que producirá una aceleración
v2
, y la trayectoria deberá ser una circunferencia. Su radio lo obtenemos a partir
centrípeta an =
R
v2
m.v 4m p v 2m p v
de la 2ª ley de Newton: F = m. an → q v B = m
→ R=
=
=
R
2e..B
q.B
e.B
R=
2 x1'67 x10 −27 x 2 x10 5
= 8’35 metros de radio
1'6x10 −19 x0'5x10 −3
2.- En una región del espacio coexisten un campo eléctrico y otro magnético, perpendiculares entre sí, y de intensidades E y B respectivamente. A pesar de ello, una partícula con
carga q se mueve en línea recta con velocidad constante. Calcular cuál debe ser su módulo,
dirección y sentido.
a) Supongamos un caso sencillo en el que la partícula entra en la región de los campos perpendicularmente a ellos. Para que no se desvíe de su trayectoria
r
r recta es preciso que la fuerza
r eléctrica
r r
Fe = qE contrarreste a la magnética Fm = q( vxB) ,
siendo ambas iguales y de sentido contrario En la
figura
se
r
r dibuja el caso q > 0.
Fe = −Fm → Fe = Fm → q E = q v B
⇒
v=
E
B
b) En el caso más general, supongamos que la partícula penetra en la región de los campos con
r
r
r
una velocidad cualquiera, v = v x . $i + v y . $j + v z . k$ Sean los campos E = −E.k̂ y B = −B.î , eligiendo
r
r
un sistema de coordenadas habitual (como en la figura). Entonces la expresión Fe = −Fm se escribe:
⎧v x = arbitrario
î
ĵ
k̂
⎪⎪
E
vy =
- q.E k̂ = - q v x v y v z
⇒
E k̂ = - vz B ĵ + vy B k̂ ⇒
⎨
B
⎪
−B 0
0
vz = 0
⎩⎪
que significa que, para que no haya desviación de la partícula por los campos cruzados, es preciso que su velocidad sea perpendicular al campo eléctrico (vz = 0) y que su componente según la
dirección perpendicular al campo magnético sea precisamente vy = E / B . En cuanto a la componente en la dirección del campo magnético, vx, puede tomar cualquier valor.
U IV T 13: Campo Magnético
329
3.- Una varilla de 140 g de masa y 30 cm de longitud descansa en una superficie horizontal,
y circula por ella una corriente de 24 A. Se aplica un campo magnético vertical cuya intensidad va creciendo; cuando alcanza el valor de 60 militeslas, la varilla empieza a deslizarse
por la superficie. Determinar: a) el coeficiente estático de rozamiento varilla-superficie. - b)
el trabajo que realiza la fuerza debida al campo magnético para desplazar la varilla una distancia de 1’5 m. - c) el aumento de energía cinética en ese desplazamiento si el campo
magnético se hace tres veces más intenso.
a) Fuerzas:
r
r r
Fm = I( l xB)
→
Fm = I l B
r
r
Fg = mg
r r
r
N = Fg = mg
→
N = mg
r
Froz (rozamiento estático; en el
límite, lim Froz = µe N = µe mg)
En el momento en el que se rompe el equilibrio y
comienza el movimiento:
Fm = lim Froz → I l B = µe mg
IlB 24 x 0'3x 0'06
→ µe =
= 0’31
=
mg
0'14 x9'81
r
r
b) Trabajo de la fuerza magnética: W = Fm .∆x = I l B ∆x = 24x0'3x0’06x1’5 = 0’648 julios
c) Se supone que el coeficiente de rozamiento dinámico es igual a µe. Entonces Froz = µemg = I l B
Fm → F’m = 3 I l B . La resultante de las fuerzas es F = F’m – Froz = 3 I l B - I l B = 2 I l B. El trabajo
de esta resultante es igual a la variación de la energía cinética de la varilla,
∆Ec = Wneto = F . ∆x = 2 I l B ∆x = 1’296 julios
4.- El campo eléctrico entre las placas del selector de velocidades de un espectrógrafo de masas de Bainbridge es 1’2x105 V m-1 y ambos
campos magnéticos son de 0’60 T. Un haz de
iones de azufre con carga +e se desdobla en
dos trayectorias circulares, de 11’76 y 11’06 cm
de radio respectivamente, en el campo magnético. Determinar a qué isótopos corresponden.
E = 1’2x105 V.m-1 B = 0’6 T q = e = 1’6x10-19 C
El selector de velocidades consigue que sólo pasen
por el diafragma S3 los iones con una velocidad
dada:
E 1'2x10 5
v= =
= 2x10 5 m/s
B
0'6
En la 2ª región del campo magnético los iones S+ que pasaron experimentan desviaciones según
dos trayectorias circulares de radios R1 y R2, correspondiendo a diferentes masas de los iones S+,
m1 y m2 .
U IV T 13: Campo Magnético
330
Se verificará para cada caso:
F = m.an → q v B = m v2/R → m =
q.B.R e.B.R e.B 2 .R
=
=
v
EB
E
e.B 2 .R1 1'6 x10 −19 x 0'6 2 x11'76 x10 −2
= 5’665x10-26 kg =
=
5
E
1'2 x10
-23
-23
23
= 5’665x10 g = 5’665x10 g x 6’02x10 u/g = 33’9817 u
Corresponde al isótopo
34
16 S.
e.B 2 .R 2 1'6x10 −19 x 0'6 2 x11'06 x10 −2
=
= 5’3088x10-26 kg =
E
1'2x10 5
= 5’3088x10-23 g = 5’3088x10-23 g x 6’02x1023 u/g = 31’9590 u Corresponde al isótopo
32
16 S.
Para los iones de masa m1: m1 =
Para los iones de masa m2: m2 =
5.- Experimento de J.J.Thomson.- Un fino haz de electrones, procedente de una descarga
disruptiva, penetra horizontalmente en la región de dos campos, eléctrico y magnético, cruzados entre sí. La trayectoria del haz incidente es perpendicular a ambos campos.
El campo eléctrico está producido por un condensador plano (longitud de las armaduras, a = 1 cm; distancia entre ellas, b = 0’5 cm; diferencia de potencial, ∆V = 100 voltios. El
haz incide, tras la región de los campos, en una pantalla fluorescente situada a L = 80 cm
de ellos.
Cuando actúa únicamente el campo eléctrico, el haz se desvía d = 5,1 cm, medidos en
la pantalla. Se aplica a continuación el campo magnético progresivamente creciente, consiguiendo corregir la desviación anterior para un valor de dicho campo, B = 0,85 mT.
Hallar la relación carga-masa, e/m, o carga específica de los electrones.
Trayectoria del haz de electrones dentro del recinto de acción del campo eléctrico, suponiendo
que sólo actúa dicho campo.- y(x)
e ∆V 2
∧ x=vt
⇒ y=
y = ½ ay t2 ∧ ay = F/m = e E / m ∧ E = ∆V / b
.x
m.v 2 2.b
La desviación del haz, a la salida de este recinto, se obtiene calculando y para x = a, resultando:
e a2
y0 =
∆V
m.v 2 2.b
La desviación angular β del haz, debida al campo eléctrico, se obtiene a partir de las componentes
de la velocidad, a la salida:
v y a y .t (eE m)(a / v )
e
e a
aE =
=
=
=
∆V
tg β =
2
vx
v
v
m.v
m.v 2 b
U IV T 13: Campo Magnético
331
La desviación del haz d, medida en la pantalla (punto O’), viene dada por:
e La
∆V
d = L.tg β =
m.v 2 b
Aplicamos a continuación, el campo magnético. Veamos cuál debe ser su valor para que las partículas del haz no se desvíen: la acción del campo magnético ha de contrarrestar la del campo eléctrico, con lo que la señal del haz vuelve al punto O de la pantalla:
∆V
→
evB=eE
→
B=E/v ⇔ v=E/B=
Fm = Fe
b.B
Por tanto, sustituyendo este valor de la velocidad en la expresión de la desviación, se llega a:
e B2
d=
L.a.b
m ∆V
⇒
e
d ∆V
0'051
100
=
=
= 1’765x1011 C/kg
2
m L.a.b B
0'8x0'01x0'005 ( 0'85x10 −3 ) 2
6.- Por un alambre de cobre, situado en el ecuador terrestre y paralelamente a él, pasa una
corriente que lo mantiene flotando por la acción del magnetismo terrestre. Determínese
dicha intensidad. - Datos: Densidad lineal de masa del conductor, λ = 8 g/m; componente
horizontal del campo magnético, B = 5x10-5 T.
“... lo mantiene flotando...” significa que el conductor
se encuentra en equilibrio, bajo la acción de la fuerza gravitatoria (su peso) en sentido vertical hacia
abajo y la fuerza magnética que ha de ejercerse
verticalmente hacia arriba. Entonces:
m.g
l.B
y puesto que m = λ.l, resulta en definitiva:
Fm = Fg →
I=
IlB=mg → I =
λ.g 8x10 −3 x9'80
=
= 1568 amperios
B
5x10 −5
7.- Hallar la intensidad del campo magnético producido por dos corrientes
rectilíneas, paralelas, indefinidas y de
sentidos opuestos, de intensidades I1 =
2 A e I2 = 3 A, en los puntos M y N de la
figura, siendo a = 10 cm.
En M:
r
r
r
µ
µ0
B M = B M1 + B M2 = B M1 . ĵ + B M2 . ĵ = (B M1 + B M2 ). ĵ = = ( 0 I1 +
I2). ĵ =
2π.a
2π.a
µ
2 x10 −7
= 0 (I1 + I2). ĵ =
( 2 + 3) = 10 −5 ĵ teslas.
2π.a
0,1
U IV T 13: Campo Magnético
332
En
r N: r
r
B N = B N1 + B N2 = B N1 . ĵ + B N2 . ĵ = (B N1 − B N2 ). ĵ =
=(
µ0
µ
µ
1
I1 - 0 I2). ĵ = 0 ( I1 – I2). ĵ =
2π.3a
2π.a
2π.a 3
2 x10 −7 2
=
( − 3) = −4,67 x10 −6 ĵ teslas
0,1
3
8.- Hallar la intensidad del campo magnético en el centro de dos espiras circulares concéntricas situadas en planos perpendiculares, de 2 m y 3 m de radio, por las que pasan corrientes de 12 A y 15 A, respectivamente.
r
r
r
µ
µ0
B 0 = B1 + B 2 = B1 .k̂ − B 2 .î = 0 I1. k̂ I 2. î =
2.R1
2.R 2
12
15
= 2πx10-7x k̂ - 2πx10-7x î =
2
3
= 6’283x10-7(- 5 î +6 k̂ ) teslas
O bien:
B0 = 4’91x10-6 teslas
6
α= arc tg = 55’194º = 50º 11’ 40’’
5
U IV T 13: Campo Magnético
333
ACTIVIDADES PROPUESTAS
1.- Se lanza un protón en una región en la que actúan los campos cruzados eléctrico y magnético,
perpendiculares entre sí. El protón entra asimismo perpendicularmente a los campos cruzar
dos. ¿Cuánto debe valer la velocidad v para que la carga no se desvíe?- Se retira el campo
eléctrico; ¿qué trayectoria sigue entonces la carga? Hallar el radio de curvatura de la misma. Datos: e = 1’6x10-19 C.- mp = 1’67x10-27 kg.- E = 2000 V/m.- B = 20 mT.
R.: v = 100000 m/s R = 5’22 cm
r
2.- Demostrar que una partícula
de carga q y de masa m, con velocidad v perpendicular a un
r
campo magnético B uniforme, tiene un movimiento circular uniforme. Hallar su radio R y su
periodo T. Particularizar los resultados para un electrón con v = 104 m/s. en un campo magnético B = 1 µT. Dato: masa del electrón, me = 9’1x10-31 kg. R.: R ≅ 5’7x10-2 m T = 36 µs
r
3.- Obtener la expresión del campo magnético B que se requiere para que un electrón de energía
R.: B = (2mEc)1/2 /eR
cinética Ek se mantenga sobre una trayectoria circular de radio R.
4.- Un chorro de iónes de dos isótopos, de masas m1 y m2 y carga eléctrica q, tras ser acelerados
r
por una ddp ∆V, entran en el seno de un campo magnético uniforme, de intensidad B perpendicular a su trayectoria. Calcular la relación entre los radios de las órbitas que describen,
y la relación entre los respectivos periodos.
R.: R1/R2 = (m1/m2)1/2
T1/T2 = m1/m2
5.- Un electrón, con una velocidad de 106 m/s. penetra perpendicularmente a la dirección de un
campo magnético uniforme de 100 Wb/m2. Determinar la fuerza que actúa sobre el electrón
y el tipo de trayectoria que describe. Datos: Carga del electrón, e = 1’6x10-19 C; masa del
electrón, me = 9’1x10-31 kg.
R.: F = 1’6x10-11 N
R = 5’68x10-8 m
r
6.- Una varilla metálica de 2 m de longitud se desplaza, con velocidad v constante, perpendicularmente a su eje, sobre un plano horizontal. La componente vertical del campo magnético
terrestre es B = 4x10-5 T. Entre los extremos de la varilla aparece una diferencia de potencial de 2 milivoltios. Calcular la velocidad.
R.: v = 25 m/s
7.- Un electrón que se mueve a través de un tubo de rayos catódicos a 107 m/s, penetra perpendicularmente en un campo magnético uniforme de 10-3 Wb/m2 que actúa sobre una zona de
4 cm a lo largo del tubo. Calcular la desviación que sufre el electrón respecto de su trayectoria. Calcular también la diferencia de potencial que hay que establecer entre dos placas
conductoras, planas, paralelas y separadas 4 cm, para que el efecto del campo electrostático contrarreste el del campo magnético sobre el electrón. ¿Cómo deben situarse en este
caso las placas y cuál es la polaridad (signo) de cada una? Carga específica del electrón,
e/m = 1’7588x1011 C.kg-1
R.: α = 44º 34’
VA - VB = 400 V
8.- Sabiendo que la componente horizontal del campo magnético terrestre en un punto de la superficie de la tierra es de 6x10-5 T, hallar el radio y el periodo de la trayectoria que describe
un electrón con velocidad perpendicular al campo magnético terrestre y 1000 eV de energía
T = 5’96x10-7 s ≅ 0’6 µs
cinética. Masa del electrón, me = 9’1x10-31 kg. R.: r = 1’78 m
9.- Un electrón, cuya energía es de 0’01 MeV, se mueve horizontalmente y penetra en una región
del espacio en la que existe un campo eléctrico E = 100 V/cm, dirigido verticalmente hacia
abajo. ¿Cuál debe ser el módulo y la dirección de un campo magnético capaz de lograr que
el electrón mantenga su movimiento horizontal en presencia de ambos campos? Dato: masa
del electrón, me = 9’1x10-31 kg.
R.: B = 1’7x10-4 T.
U IV T 13: Campo Magnético
334
10.- Hallar la relación entre los radios de las circunferencias descritas por un protón y un electrón
con la misma energía cinética, y velocidades perpendiculares a un campo magnético uniforme.
R.: rp/re = (mp/me)1/2
11.- Una partícula tiene una carga eléctrica de 10-9 C.
r r
r
Cuando se mueve con una velocidad v 1 = (2 j + k ).104 m.s-1, un campo magnético uniforme
r
r
ejerce sobre ella una fuerza F1 = - Fx i N.
r
r
Si la partícula se mueve con velocidad v 2 = 104 i m.s-1, el campo magnético ejerce una
r
r
fuerza F2 = 5x10-5 j N.
r
r
¿Cuál es el valor del campo magnético B ? ¿Y el de F1 ?
r
r
r
r
R.: B = - 5 k T F1 = -10-4 i N
12.- Átomo de hidrógeno. Conocemos los siguientes datos: en el modelo de Rutherford, el electrón
gira en órbita circular en torno al protón.
Masa del electrón, me = 9’1091x10-31 kg
Carga del electrón, e- = - 1’6021x10x-19 C
Radio de Bohr (radio de la órbita del electrón en su estado fundamental), a0 = 5’2917x10-11 m
Constante de Coulomb, k = 8’9874x109 N.m2.C-2
Calcular:
a) la velocidad del electrón en su órbita.
b) la intensidad de corriente que constituye el electrón moviéndose en su órbita.
c) el momento dipolar magnético orbital (magnetón de Bohr).
R.: ve = 2’1876x106 m/s I = 1’054 mA µB = 9’2732x10-24 J.T-1
13.- Una partícula alfa (núcleo de He con dos protones y dos neutrones) y un protón entran dentro
r
de un campo magnético cuya intensidad vale B = 0’05 T, con una velocidad de 2 km/s. Si B
es perpendicular a la velocidad, calcular los radios de las órbitas descritas. Carga del protón,
1’6x10-19 C; masa del protón, 1’67x10-27 kg; masa de una partícula alfa, 6’68x10-27 kg.
R.: Rp = 0’4175 mm
RHe = 0’835 mm
14.- Una espira rectangular de lados 10 x 25 cm2 está
situada tal como
indica la figura. Existe un campo
r
magnético B de intensidad 10-2 T en sentido del eje
Y. Calcular la fuerza que actúa sobre cada lado de
la espira, y el momento sobre la misma, si está recorrida por una corriente eléctrica de 5 A.
r
R.: Sobre el lado OA, FOA = -5x10-3 iˆ N
r
Sobre el lado AB, FAB = 6.25x10-3 k̂ N
r
Sobre el lado BC, FBC = 5x10-3 iˆ N
r
Sobre el lado OC, FOC =-6.25x10-3 k̂ N
r
Momento sobre la espira, M = -1.08x10-3 k̂ N.m
15.- Un solenoide tiene 20 cm. de longitud, 27 cm2 de sección y 250 espiras. Calcular el momento
dipolar magnético cuando por él circula una corriente de 1 amperio. Hallar el par que es preciso aplicar para que se coloque perpendicularmente al meridiano terrestre, suponiendo que
puede girar en torno a un eje vertical. - Dato: Componente horizontal del campo magnético
terrestre, B = 0’25 gauss. 1 gauss = 10-4 teslas. R.: m = 0’675 A.m2 M = 1’69x10-5 N.m.
16.- Un alambre recto de 50 cm de longitud y 10 gr. de masa transporta una corriente cuya intensidad es I. El alambre se coloca horizontalmente dentro de un campo magnético uniforme de
U IV T 13: Campo Magnético
335
r
intensidad (o inducción) B = 0’2 Teslas. Si la dirección de B es horizontal y perpendicular al
alambre, calcular el valor y sentido de I para que el alambre quede suspendido en el aire, sin
R.: I = 980 mA.
caer por la acción de la gravedad.
17.- El electrón de un átomo de hidrógeno posee un movimiento circular uniforme alrededor del
protón con una velocidad de 105 m/s en una órbita de 0’5 angstroms de radio. a) Si se coloca el átomo de hidrógeno en un campo magnético cuya densidad de flujo es de 0’1 Wb/m2,
con el plano de su órbita perpendicular al campo, calcular la razón de la fuerza electrostática
entre el electrón y el protón y la fuerza magnética sobre el electrón en movimiento. b) ¿Qué
intensidad de corriente supone tal electrón moviéndose en su órbita? c) ¿Cómo afectará la
fuerza magnética al movimiento del electrón?
R.: Fe/Fm = 5’8x107
51 µA
18.- Hallar y dibujar la fuerza que sobre un conductor rectilíneo, de 2 m. de longitud, por el que
circula una corriente de 5 A, ejerce un campo magnético uniforme de 2x10-2 T que forma un
ángulo de 30º con la corriente.
R.: F = 0’1 N
19.- Hallar el campo magnético en A producido por las
corrientes rectilíneas, paralelas, indefinidas y de
sentidos opuestos, de intensidades I1 = 12A e
I2 = 24 A, situadas según la figura.
R.: BA = 14’4x10-7 T α = 86º 49' 13''
20.- Dos hilos conductores rectos, paralelos e indefinidos, separados por una distancia de 8 cm,
transportan corrientes eléctricas en la misma dirección y sentido. La intensidad de corriente
en uno de ellos vale 80 A. Si la intensidad del campo magnético creado en un punto situado
a igual distancia de ambos hilos y en su mismo plano vale B = 300 µT, calcular la intensidad
de corriente que circula por el otro hilo. Dato: µ0 = 1.26x10-6 henrios/metro
R.: Dos soluciones, I1 = 20 A. e I2 = 140 A.
21.- Calcular y dibujar la fuerza que se ejercen dos conductores paralelos, rectilíneos, indefinidos,
por los que circulan unas corrientes de 4 y 5 amperios, respectivamente, en sentidos mutuamente contrarios si están separados por una distancia de 2 m. R.: F/l = 2x10-6 N/m.
22.- Dos conductores rectilíneos, paralelos, indefinidos, separados 30 cm, tienen intensidades de
2 A y 7 A, de sentido opuesto. ¿En qué puntos del plano que forman los conductores es nulo
el campo magnético B?
R.: A 12 cm del primer conductor y 42 cm del segundo
23.- Considérese un solenoide de 300 espiras por el que circula una corriente de 1 amperio, arrollado sobre un núcleo de hierro toroidal. Sea R = 10 cm el radio interior y r' = 1 cm el radio de
su sección recta. Si la permeabilidad magnética relativa del material es µr = 500, calcular el
campo magnético en puntos exteriores al solenoide y en puntos del interior.
R.: 0’27 T
24.- Por un conductor recto e indefinido circula una corriente eléctrica de 5 A de intensidad (eje Z).
En un instante determinado, un electrón se está desplazando paralelamente a la corriente
en su mismo sentido, a una distancia de 0’2 m, con velocidad de 105 m.s-1. Determinar la
fuerza que ejerce el campo magnético sobre el electrón (módulo, dirección y sentido).
Datos: carga elemental, e = 1’6x10-19 C.; µ0/4π = 10-7 T.m/A.
R.: 8x10-20 N.
25.- Una carga de 10 µC se mueve circularmente alrededor de un punto O con una velocidad de
2x106 m.s-1. Calcular el módulo de la intensidad del campo magnético creado por dicha carga en el punto O. R.: 1’97x10-17 T
U IV T 13: Campo Magnético
336
26.- Un ión Fe3+ entra en el seno de un campo magnético de 5 mT, orientado según el eje Z, con
una velocidad v̂ = (3 ĵ + 4 k̂ ) 10 5 m / s . Hallar: a) la fuerza magnética que actúa sobre el ión.b) la trayectoria seguida por el ión.- c) ¿A qué altura se eleva sobre el plano XY, en 1 µs.
R.: a) 7'2x10-16 newtons.- b) Una hélice según el eje Z, cuya proyección sobre el plano
XY es una circunferencia de radio 11'58 metros.- c) 0'4 metros.
27.- Un campo magnético uniforme y horizontal vale 50 militeslas. Está limitado por la izquierda
pero es ilimitado por la derecha. Un ión nitrato penetra horizontalmente por la izquierda, perpendicularmente al campo, y vuelve a salir también por la izquierda a 80 cm por encima del
punto de entrada. ¿Cuál es la velocidad del ión? Dibujo esquemático explicado.
R.: 31100 m/s
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
337
T E M A 14.INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
SUMARIO:
14.1.- Flujo magnético
14.2.- Leyes de Faraday y de Lenz
14.3.- Autoinducción
14.4.- Circuitos acoplados: Inducción mutua
14.5.- Generación y transporte de corrientes alternas
14.6.- Fuentes de energía eléctrica
Actividades desarrolladas
Actividades propuestas
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
338
1.- FLUJO MAGNÉTICO
En el tema 3º se definió y se explicó el concepto de flujo de un campo vectorial a través de
una superficie (Unidad I, Tema 3, nº 15).
En este tema vamos a aplicar este concepto al campo magnético.
r Dada una superficie S,
abierta o cerrada, atravesada por las líneas de un campo magnético B , su flujo a través de ella
es:
r r
Φ = B.dS
(1)
∫∫
S
El flujo elemental dΦ a través de una superficie elemental dS, perteneciente a S, es:
r r
dΦ = B.dS = B. cosϕ. dS
(2)
r
¿Cuál es el sentido del vector dS ?
1.- Si la superficie S es cerrada.
r
El vector elemento de superficie dS está dirigido
hacia el exterior. En este caso, a partir de la 2ª ley de
Laplace, Tema 13, nº 4 B, ec.(12), se puede demostrar
(cosa que omitimos) que:
Φ=
∫∫
r r
B.dS = 0
(3)
S
Representa la Ley de Gauss para el campo magnético.
Intuitivamente es fácil admitir esta ley. En efecto, se
ha dicho anteriormente que las líneas del campo magnético son cerradas, en todos los casos. Por ello, toda línea
de campo magnético que “entra” en la región limitada por
la superficie cerrada S ha de “salir” de ella; por consiguiente, cualquier flujo “entrante” debe ser igual al “saliente”.
En el campo eléctrico, la ley de Gauss implicaba que el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada era cero sólo si en su interior no había carga neta, o sea fuentes de campo. Análogamente podemos decir ahora que, dado que no existen masas o polos magnéticos (o al menos
no han sido observados en forma aislada), el flujo magnético a través de cualquier superficie cerrada es siempre nulo.
2.- Si la superficie S es abierta.
r
En estos casos el vector superficie elemental dS se
establece así:
Se elige un sentido de circulación para el contorno c
que delimita la superficie S. Para cualquier elemento dS de
S, asignamos el mismo sentido de circulación a su corresr
pondiente contorno. El sentido de dS es el de avance de un
tornillo que gire según dicha circulación.
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
339
La unidad de flujo magnético, en el S.I., se denomina weber (Wb): 1 weber = 1 tesla x m2
(1 Wb = 1 T.m2). De esta expresión se deriva otra forma de nombrar la unidad de campo magnétir
co: 1 tesla = 1 weber/m2 ( 1 T = 1 Wb/m2). Y otra forma de denominar al campo magnético B :
“densidad de flujo”.
2.- LEYES DE FARADAY Y DE LENZ,
Oersted, en 1820, puso de manifiesto cómo las corrientes eléctricas son capaces de crear
campos magnéticos. Los científicos de la época se preguntaron si de modo análogo pueden los
campos magnéticos originar corrientes eléctricas.
Especialmente, el inglés M. Faraday, el norteamericano J. Henry y el ruso H. Lenz, en el
mismo tiempo pero independientemente, tras cuidadosos experimentos, llegaron a conclusiones
similares: al descubrimiento de los fenómenos de inducción electromagnética y de las corrientes
inducidas.
Sintéticamente, las conclusiones de las experiencias realizadas son:
+ Cuando se produce una variación del flujo magnético que atraviesa un circuito (espira, bobina, ...), aparece en éste una fuerza electromotriz inducida que da lugar a una corriente inducida
en él.
+ Esta fem inducida sólo aparece mientras el flujo está variando; cesa cuando el flujo deja
de variar.
+ La fem inducida y la corriente inducida son tanto más intensos cuanta mayor es la velocidad de variación del flujo magnético.
+ Ambas, fem inducida y corriente inducida, cambian de polaridad y de sentido según la variación de flujo suponga un aumento o una disminución de éste.
Ejemplos:
Sea un circuito sin generador, en el que colocamos un galvanómetro para detectar el posible
paso de corriente por él y el sentido de ésta.
+ Si se acerca o se aleja de dicho circuito un imán, se observa paso de corriente, en un sentido al acercarse y en sentido contrario al alejarse. Lo mismo ocurre si el imán está en reposo y se
acerca o aleja el circuito.
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
340
+ El mismo fenómeno puede observarse si se sustituye el imán por un solenoide en el que
circula una corriente de intensidad constante.
+ También puede originarse una corriente
inducida en el circuito sin movimiento relativo
solenoide-circuito. Basta que por el solenoide
circule una corriente de intensidad variable, lo
cual puede conseguirse de modo simple intercalando un reóstato (resistencia variable) entre el
generador y dicho solenoide. O bien activando o
desactivando la corriente en el solenoide mediante un interruptor.
¿Cuál es la causa de la aparición de la fem
inducida, en qué sentido se sitúa, y por tanto en
que sentido la corriente inducida recorre el circuito? Vamos a explicarlo en un caso sencillo.
1.- Valor de la fem inducida: Ley de Faraday
Supongamos un conductor metálico de longitud L = rAB, situado por ejemplo en el plano
horizontal y en el seno de un campo magnético constante B (éste en la figura, perpendicular al
papel,
r hacia abajo). El conductor es desplazado en el plano horizontal con una velocidad constante v , perpendicularmente a dicho conductor.
Como consecuencia de este desplazamiento, la fuerza magnética que actúa sobre una
carga
q libre
en el interior del conductor es:
r
r r
Fm = q ( v x B ) o sea Fm= q v B (En realidad,
actúa sobre electrones libres, en sentido contrario). Esta fuerza arrastra la carga q hacia el extremo B, el cual se carga positivamente; por lo
mismo, el extremo A aparece cargado negativamente. Estas dos polaridades en el conductor
originan un campo eléctrico, dirigido de B a A. El
proceso de separación de cargas continuará
hasta que el campo eléctrico creado compense
la fuerza magnética que actúa sobre las cargas.
Si los extremos del conductor AB descansan sobre un bastidor metálico BCEFDA en forma de ⊃ , mientras dure el desplazamiento del
conductor móvil AB, se originará una corriente
que tiende a disminuir el exceso de carga que
hay en los extremos del conductor AB, lo cual
permite suponer que éste equivale a un generador de fuerza electromotriz E.
En virtud del principio de conservación de
la energía, el trabajo mecánico empleado en el
desplazamiento del conductor AB habrá de ser
igual al trabajo desarrollado por la fuerza magnética Fm que obliga a las cargas eléctricas a dirigirse desde un extremo al otro del conductor.
El trabajo al actuar sobre una carga q es:
y el valor de la fem inducida E será:
W = Fm L = q v B L
E=
W
= vBL
q
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
341
Por otro lado, al desplazarse el conductor por el bastidor se produce una disminución en el
flujo del campo magnético a través de la superficie del circuito S. En un tiempo ∆t, el conductor se
desplaza hacia la derecha ∆x = v ∆t. La superficie S disminuye en:
∆S = S – S0 = {área de CDFE} – {área de BEFA} = - L ∆x = - L v ∆t
La variación del flujo por unidad de tiempo (velocidad de variación del flujo) es, en promedio:
∆Φ B.∆S B(S − S 0 )
=
=
= −B L v
∆t
∆t
∆t
De las expresiones anteriores se deduce que la fuerza electromotriz inducida E vale:
E = v.B.L = – ∆Φ
∆t
Generalización: En un tiempo elemental dt (o sea, cuando ∆t→0), la disminución de flujo dΦ
es también elemental. Entonces la anterior expresión se puede escribir así:
E = − dΦ
dt
Esta expresión es general y expresa la ley de Faraday:
“La fuerza electromotriz E inducida en un circuito es igual a la variación del flujo
magnético Φ que lo atraviesa, por unidad de tiempo:
E = − dΦ
dt
(4)
2.- Sentido de la corriente inducida: Ley de Lenz
El signo “– “ de (4) tiene un significado físico especialmente importante. En el ejemplo utilizado vemos que la corriente inducida circula en sentido horario cuando tiene lugar una disminución de flujo a través del circuito. Observamos cómo esta corriente inducida produce a su vez un
campo magnético inducido Bind del mismo sentido que el campo magnético original B; y por tanto
da lugar a un flujo inducido que se suma al original, en un intento a paliar su variación decreciente.
Ocurriría lo contrario si el flujo fuese creciente; entonces la corriente inducida da lugar a un
campo magnético inducido en sentido contrario al original, con el fin de oponerse al aumento de
flujo en el circuito.
Ésta es la denominada ley de Lenz:
”El sentido de las corrientes inducidas es tal que con sus acciones tienden a oponerse a las causas que las producen”.
Para conocer el sentido de la corriente inducida Iind, aplíquese la regla del tornillo: el sentido
de la corriente
inducida es el de giro del tornillo que avanza según el sentido del campo magnético
r
inducido Bind .
En las figuras siguientes se puede estudiar el sentido de las corrientes inducidas al acercar
o alejar el imán a la espira correspondiente: Acercamiento (alejamiento) del imán a la espira; crecimiento (disminución)
r del flujo del campo magnético a través de la espira; aparición de
r un campo
magnético inducido Bind de sentido contrario (del mismo sentido) al campo aplicado B ; aparición
r
en la espira de una corriente, originada por Bind , en sentido antihorario (horario).
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
342
Observaciones:
a) La fem inducida y la intensidad inducida están relacionadas entre sí por la ley de Ohm. Si
el circuito es sólo resistivo, siendo R su resistencia, entonces:
E = R Iind
⇒
Iind = –
1 dΦ
R dt
(5)
b) Cuando el circuito está formado por N espiras, y suponiendo que el flujo variase lo mismo
a través de todas ellas (por ejemplo, en el caso de una bobina o solenoide), entonces:
dΦ
dt
donde por Φ entendemos el flujo a través de una espira.
E=
−N
(6)
r r
c) Puesto que dΦ = B.dS = B cosϕ dS, el flujo Φ a través de un circuito puede variar por diferentes motivos:
r r
♣ Porque B = B( t ) . Un campo magnético dependiente del tiempo hace que el flujo a través
de un circuito cerrado varíe con el tiempo con una cierta velocidad dΦ/dt, generando por ello una
fem inducida E en el circuito.
♣ Por variación de la posición del circuito en el seno del campo magnético (por ejemplo,
variando el ángulo ϕ, por giro del circuito; o por desplazamiento del circuito de una regiones a
otras del campo no uniforme (figura)).
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
343
♣ Por deformación del circuito, con aumento o disminución del área S del mismo, lo que implica
una variación del flujo que lo atraviesa.
3.- AUTOINDUCCIÓN
Consideremos
un circuito por el que circula una corriente I. Esta corriente produce un campo
r
magnético B que en cada punto es proporcional a dicha corriente, B :: I. Podemos calcular el flujo
magnético Φ a través del circuito debido a su propio campo magnético, llamado flujo propio; este
flujo es proporcional a B, y por lo tanto proporcional a I; en definitiva, Φ :: I. Podemos escribir, en
consecuencia,
(7)
Φ=LI
El coeficiente L, que depende de la forma geométrica del circuito, se denomina autoinductancia o coeficiente de autoinducción del circuito. Se expresa, en el S.I., en henrios (H):
1 henrio = 1 weber / amperio = 1 tesla x m2 / amperio
1 H = 1 T.m2.A-1
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
344
Si la corriente I varía con el tiempo, Φ también variará con el tiempo y, de acuerdo con la ley
de la inducción magnética, las variaciones de Φ dan lugar a una fem inducida (autoinducida)
Eind
que da lugar a una corriente inducida (autoinducida) Iind que se superpone a la original I. De
acuerdo con (4) y (7), se tiene:
d(LI)
dI
dΦ
dI
(8)
= −L
⇒
ind = − dt = −
ind = – L dt
dt
dt
E
E
El signo menos indica que
dI/dt > 0, y
Eind
Eind
se opone a la variación de la corriente I. Si ésta aumenta,
se opone a tal aumento, originando una corriente inducida Iind en sentido opues-
to a la corriente principal I. Si por el contrario la corriente I disminuye, dI/dt < 0, y
Eind actúa de
modo que origina en el circuito una corriente inducida Iind del mismo sentido que la principal I. Por
tanto, la fem autoinducida en el circuito siempre actúa buscando compensar las variaciones de la
corriente.
Un ejemplo importante de este comportamiento se da cuando se cierra o abre un circuito.
Se originan en él unos cambios bruscos de intensidad (en el cierre se pasa de intensidad 0 a
intensidad I, y en la apertura, de I a 0), que conllevan la producción de corrientes autoinducidas
llamadas extracorrientes de cierre y de apertura.
La extracorriente de cierre es de sentido contrario al de la corriente principal, tendiendo a debilitarla. En cambio la extracorriente de apertura es
del mismo sentido que la principal, pues tiende a
reforzarla.
4.- CIRCUITOS ACOPLADOS: INDUCCIÓN MUTUA
Supongamos dos espiras próximas, (1) y (2), recorridas por intensidades de corriente I1 y I2,
respectivamente. Cada una de ellas originará sendos campos magnéticos de forma que el flujo
magnético que atraviesa cada espira será la suma de su flujo propio, Φ11 y Φ22 respectivamente,
más el flujo mutuo, Φ12 y Φ21, debido en cada espira a la otra. Así:
+ flujo en la espira (1):
+ flujo en la espira (2):
Φ1 = Φ11 + Φ12
Φ2 = Φ21 + Φ22
El flujo Φij depende exclusivamente de la corriente Ij y de las condiciones geométricas y posicionales de las espiras. Suponiendo estas condiciones fijas, podemos escribir:
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
345
Φ11 = L1 I1
Φ21 = M21 I1
Φ12 = M12 I2
Φ22 = L2 I2
donde L1 y L2 son las autoinductancias de (1) y de (2), respectivamente. Y llamamos M12 a la inductancia mutua de (2) sobre (1), y M21 a la inductancia mutua de (1) sobre (2); ambas son iguales, por lo que M12 = M21 ≡ M, y podemos escribir:
Φ12 = M I2
Φ11 = L1 I1
Φ21 = M I1
Φ11 = L2 I2
⎛ Φ 1 ⎞ ⎛ L1 M ⎞ ⎛ I1 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝Φ2 ⎠ ⎝ M L2 ⎠ ⎝ I2 ⎠
⇒
(9)
Si las corrientes I1 e I2 varían con el tiempo, sus variaciones harán variar asimismo los flujos,
y en consecuencia aparecerán fuerzas electromotrices inducidas en las espiras. Sus valores se
obtienen por aplicación de la ley de Faraday-Lenz:
E1 = − ddtΦ
1
=−
dΦ 11 dΦ 12
−
dt
dt
E2 = − ddtΦ
Ahora bien, de acuerdo con las relaciones (9) resulta:
dΦ 11
dI
dΦ 12
dI
dΦ 21
dI
dΦ 22
dI
= L1 1
=M 2
=M 1
= L2 2
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
2
=−
dΦ 21 dΦ 22
−
dt
dt
(10)
⎛ dΦ1/dt ⎞ ⎛ L 1 M ⎞ ⎛ dI1/dt ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
⎝ dΦ 2 /dt ⎠ ⎝ M L 2 ⎠ ⎝ dI 2 /dt ⎠
por lo que, sustituyendo estos valores en las ecuaciones de arriba, se tiene:
E1 = − L
1
dI 1
dI
−M 2
dt
dt
E2 = − M ddtI
1
− L2
dI 2
dt
⇔
⇒
⎛ E1 ⎞
⎛ L M ⎞ ⎛ dI1 / dt ⎞
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟ = − ⎜⎜ 1
M
L
dI
/
dt
E
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝ 2⎠
Cada uno de los cuatro términos representa una fem inducida concreta:
E1 =
♦
E
1L
E1L
+
E1M
E2
= E2L + E2M
= − L1
dI 1
dt
es la fem autoinducida en (1) debida a las variaciones de su pro-
= −M
dI 2
dt
es la fem de inducción en (1) debida a las variaciones de la
pia corriente I1.
♦
E
1M
corriente I2 en (2).
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
♦
E2L = − L
2
346
dI 2
es la fem autoinducida en (2) debida a las variaciones de su prodt
pia corriente I2.
♦
E2M
= −M
dI 1
es la fem de inducción en (2) debida a las variaciones de la
dt
corriente I1 en (1).
Lo dicho para dos espiras es aplicable a dos circuitos cualesquiera. El coeficiente de
inducción mutua M, que depende de las formas geométricas de los circuitos y de su orientación relativa, se mide también en henrios, como el coeficiente de autoinducción L.
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
347
5.- GENERACIÓN Y TRANSPORTE DE CORRIENTES ALTERNAS
Actualmente en casi todas las aplicaciones domésticas e industriales de la energía eléctrica se emplea corriente alterna y no corriente continua como se hacía en los primeros tiempos de
utilización de dicha energía.
El que inicialmente se emplease corriente continua tiene su explicación, puesto que los
centros de consumo de la corriente estaban muy próximos a las centrales eléctricas y, en consecuencia, las pérdidas de energía eran pequeñas. Pero en la actualidad resulta indispensable
transportar la energía eléctrica a grandes distancias, lo que obliga a reducir lo más posible las
pérdidas energéticas (fundamentalmente en forma de calor, debidas al efecto Joule) experimentadas a lo largo de la conducción.
Por esta razón es necesario recurrir a la corriente alterna, pues con ella es posible, mediante el uso de transformadores, transportarla a alto potencial (alta tensión) y muy baja intensidad, lo que disminuye enormemente las pérdidas de energía.
A) Generación de la corriente alterna: La obtención de esta corriente eléctrica alterna se
consigue como aplicación inmediata de los fenómenos de inducción electromagnética. En efecto,
se consigue transformar la energía mecánica, obtenida de diversos modos, en energía eléctrica.
Veamos su fundamento.
r
Supongamos una espira, de área S en el seno de un campo magnético uniforme B . (Figuras
sucesivas en el cuadro inferior)
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
348
Si partimos de la posición (a) en la que el flujo magnético que atraviesa la superficie de la
espira es máximo, ϕ = 0º, y dicha espira gira mecánicamente con velocidad angular constante ω,
en un instante posterior t el ángulo girado será ϕ = ωt. El flujo, que comenzó siendo máximo para
ϕ = 0º, habrá disminuido hasta hacerse nulo para ϕ = 90º, posición (b).
Al seguir aumentando ϕ, desde 90º a 180º, intervalo [(b) → (c)], el flujo va creciendo hasta
alcanzar su máximo valor de nuevo; pero obsérvese que en este intervalo el flujo penetra por la
cara opuesta de la espira, respecto del primer intervalo [(a) → (b)]. Por tanto este crecimiento en
valor absoluto se ha de interpretar como una disminución tomando valores negativos para el flujo,
hasta un valor mínimo negativo del mismo en (c), ϕ = 180º.
De 180º a 360º, intervalo [(d) → (e) → (f)], se repite la situación, como tuvo lugar de 0º a
180º, intervalo [(a) → (b) → (c)]. Pero en este 2º semiperiodo el flujo es siempre creciente.
Matemáticamente escribiremos:
rr
Φ(t) = BS = B S cosϕ = B S . cos ωt
Según la ley de Faraday-Lenz, las variaciones del flujo Φ(t) dan lugar a una fem inducida, y
por la espira circulará una corriente.
Puesto que durante la primera parte del ciclo el flujo disminuye y durante la segunda aumenta, el sentido de la corriente se invertirá cada medio ciclo. La corriente inducida en la espira
es pues una corriente que alterna periódicamente su sentido, por lo que se le denomina corriente alterna.
La fem inducida es:
dΦ
E(t) = −
= B S ω . sen ωt
dt
Si en lugar de una sola espira, gira en el
campo magnético una bobina de N espiras, el flujo
total y la fem inducida serán:
Φ(t) = N B S . cos ωt
E(t) = N B S ω . sen ωt
Tanto Φ(t) como E(t) son funciones armónicas. Las amplitudes de ambas son, respectivamente, Φ0 ≡ N B S y E0 ≡ N B S ω, la frecuencia angular es ω y su periodo es T = 2π/ω. Así pues,
Φ(t) = Φ0 . cos ωt
E(t) = E0 . sen ωt
(11)
representan el flujo y la fem inducida en la bobina
en rotación. Nótese que el flujo está desfasado en
π/2 respecto de E(t) (en cuadratura), como se ve
en las gráficas adjuntas.
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
349
Si el circuito, entre cuyos extremos se
aplica la fem inducida, tiene una resistencia
óhmica R, la intensidad de corriente que circula por él estará dada por la ley de Ohm:
I = (E/R) senωt
y llamando para abreviar I0 ≡ E0/R
resulta:
I(t) = I0 . sen ωt
(12)
B) Transporte de la energía eléctrica: Transformadores: La importancia industrial de las
corriente alternas reside en la facilidad y economía con que permiten transportar energía eléctrica;
en efecto, entre el generador y el punto de consumo hay una pérdida de energía debida al efecto
Joule (calor) que ineludiblemente tiene lugar en las líneas de conducción.
Si es PG la potencia del generador, Pu la potencia útil aprovechada, R la resistencia de
las líneas de conducción y E e I la fem y la intensidad de la corriente de salida:
2
PG = E I = Pu + R I
2
Con objeto de reducir al mínimo el término de pérdidas R I conviene conseguir un valor de
la inténsidad lo más pequeño posible (con ello, la potencia útil Pu será mayor, y mayor el rendimiento) Ello se consigue con la corriente alterna ya que esta se produce a baja tensión y se
transporta hasta el lugar de utilización mediante líneas de alta tensión, hasta unos 250000 voltios.
En el lugar de consumo se reduce de nuevo la tensión a 220 o 380 voltios. Todo este proceso
(elevación y reducción de la tensión) se consigue fácilmente mediante los transformadores.
Un transformador de corriente alterna consta de un marco rectangular de hierro dulce que
lleva dos bobinas, denominadas primario y secundario del transformador.
Al aplicar una fem alterna E1 al primario, se genera un campo magnético variable; la variación del flujo magnético debido a este campo induce en el secundario una fuerza electromotriz
E2. Si el número de vueltas de las bobinas del primario y del secundario son, respectivamente,
n1 y n2, aplicando la ley de Faraday se tiene:
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
350
+ El flujo total Φ en el primario es n1 veces el
flujo que atraviesa cada vuelta (espira) Φesp, por lo que
la tensión en el primario será:
dΦ
dΦ
E1= − 1 = − n1 esp
dt
dt
+ Análogamente, la tensión total en el secundario es:
dΦ
dΦ
E2 = − 2 = − n 2 esp
dt
dt
+ Debido al núcleo de hierro, no hay pérdidas de
dΦ esp
es el
flujo magnético, por lo que el valor de
dt
mismo.
Combinando las dos ecuaciones anteriores resulta la expresión:
n2
E1
n1
De donde se deduce que, según sea la relación n2 / n1 entre las espiras del transformador, puede
obtenerse una fuerza electromotriz E2 determinada al aplicar la tensión alterna E1
E1 / n1 = E2 / n2
↔
E2 =
En funcionamiento de un transformador ideal no se disipa energía, por lo que puede considerarse que la potencia en el primario y la potencia en el secundario son iguales. Por tanto:
n
PG = E1 I1 = E2 I2 ↔ I2 = (E1/ E2) I1 ↔ I2 = 1 I1
n2
Un transformador tal que n2 > n1 se denomina elevador: la tensión de salida es mayor que
la de entrada. En el caso n2 < n1 el transformador se llama reductor.
Aunque en la práctica siempre hay disipación calorífica, esta expresión resulta una buena
aproximación, teniendo en cuenta que un transformador diseñado adecuadamente puede alcanzar
una eficiencia del 95%
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
351
6.- FUENTES DE ENERGÍA ELÉCTRICA
Se ha seguido, en el desarrollo de este artículo, el Libro “Física 2” Bachillerato.- Ed. SM.
La energía eléctrica se produce a gran escala en las centrales eléctricas. En ellas, la energía obtenida de una fuente de energía primaria se convierte en energía eléctrica.
El elemento básico de una central eléctrica es el alternador, a cuyo eje se acopla una turbina para hacerle girar. La turbina es una máquina cuyo eje gira al transformarse en energía de rotación la energía cinética de un fluido que incide sobre sus álabes. Este eje acoplado al del alternador, da lugar a la producción de una corriente alterna por inducción electromagnética. El conjunto turbina-alternador suele denominarse grupo turbo-generador de la central. Existen turbinas de
diferentes tipos: de agua, de vapor, de gas, eólicas, etc.
A) Energía eléctrica de fuentes no renovables
Las centrales termoeléctricas clásicas producen energía eléctrica a partir de la energía desprendida en la reacción química de combustión que tiene lugar al quemar un combustible
fósil (carbón, gasóleo, gas).
El combustible se quema en los quemadores. La energía desprendida se utiliza para convertir agua líquida en vapor en la caldera. El vapor de agua obtenido mueve la turbina y posteriormente es condensado para volver en estado líquido a la caldera.
Estas centrales producen la mayor parte de la energía eléctrica consumida en el mundo, pero tienen un gran impacto ambiental.
Centrales termoeléctricas clásicas
Inconvenientes
Ventajas
1.- Funcionan de modo continuo, inde1.- Emiten grandes cantidades de dióxido
pendientemente de las condiciones meteoro- de carbono a la atmósfera, el principal gas de
lógicas.
efecto invernadero.
2.- Se basan en una tecnología muy
2.- Excepto las que utilizan gas, produdesarrollada.
cen óxidos de nitrógeno y de azufre, que contaminan la atmósfera y contribuyen a lluvia
acida.
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
352
3.- Disponen de una red de distribución
3.-Las centrales de carbón generan
de combustibles fósiles muy extensa que ase- grandes cantidades de residuos sólidos.
gura, en condiciones normales, la disponibilidad de materias primas.
4.- Producen cada unidad de energía a
4.- Dan lugar a una dependencia excesimenor precio que otros tipos de centrales.
va de los combustibles fósiles, como el petróleo.
Las centrales termoeléctricas nucleares aprovechan la energía desprendida en la fisión de núcleos atómicos, principalmente Uranio-235, para convertir un líquido, generalmente
agua en vapor a alta temperatura que incide sobre los álabes de las turbinas.
Centrales termonucleares
Ventajas
Inconvenientes
1.- Funcionan de modo continuo, inde1.- Hay riesgo de accidentes nucleares.
pendientemente de las condiciones meteoro- La radiación liberada en sucesos de este tipo
lógicas.
afecta gravemente a todos los seres vivos durante períodos dilatados de tiempo, incluso en
zonas muy alejadas.
2.- Son poco contaminantes. No emiten
2.- Aún no se ha conseguido una soluóxidos de nitrógeno ni de azufre, ni dióxido de ción definitiva al problema del almacenamiento
carbono. Por tanto, no contribuyen al efecto de los residuos radiactivos.
invernadero ni a la contaminación atmosférica
(lluvia ácida).
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
353
3.- Permiten disminuir la dependencia del
3.- La tecnología nuclear puede utilizarse
petróleo.
para el desarrollo de armas de destrucción
masiva.
4.- En una central dotada de las adecuadas medidas de seguridad la probabilidad de
que ocurra un accidente es muy baja.
B) Energía eléctrica de fuentes renovables
Las centrales termoeléctricas solares. La energía solar se aprovecha en las centrales
termoeléctricas solares para producir energía eléctrica.
En ellas, la radiación solar se concentra mediante espejos sobre un depósito para calentar
un fluido a alta temperatura.
Otro modo de convertir la energía solar en energía eléctrica es el uso de células fotovoltaicas. En ellas se aprovecha el efecto fotoeléctrico: un material semiconductor emite un flujo de
electrones cuando la luz Incide sobre él.
Las centrales termoeléctricas de biomasa utilizan directamente como combustible los residuos agrícolas, ganaderos y forestales. Contaminan.
La energía del viento es aprovechada en los parques eólicos para mover las palas de los
aerogeneradores y producir energía eléctrica.
Las centrales hidroeléctricas aprovechan la caída del agua sobre los álabes de la turbina.
La energía potencial gravitatoria del agua se transforma en energía eléctrica.
Las centrales mareomotrices aprovechan la energía que adquiere el agua del mar al subir
su nivel por efecto de las mareas. El agua embalsada en un dique durante la marea alta se deja
caer con la marea baja para mover las turbinas y producir electricidad. Actualmente se investiga la
producción de energía eléctrica a partir de la energía de las olas.
Las pilas de combustible generan corriente eléctrica a partir del hidrógeno. Se investiga la
utilización de estas pilas como motor de los automóviles.
Las plantas geotérmicas obtienen energía por extracción del calor interno de la Tierra. El
agua caliente o el vapor pueden fluir naturalmente o mediante bombeo. El tipo de utilidad de estas
centrales depende de la temperatura del agua del yacimiento.
Centrales eléctricas mediante fuentes renovables
Ventajas
Inconvenientes
1.- Se consideran inagotables porque se generan a un ritmo mayor del que se consumen.
1.- La unidad de energía producida a partir
de ellas es más cara que la generada por centrales
térmicas clásicas y por centrales nucleares.
2.- Tienen un impacto ambiental menor que
las fuentes no renovables. Contaminan poco y
apenas producen gases de efecto invernadero, por
lo que contribuyen a paliar el cambio climático.
2.- No garantizan un suministro estable porque la producción de energía depende de las condiciones meteorológicas.
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
354
3.- Se producen cerca de los lugares de consumo, por lo que disminuyen la dependencia energética respecto del exterior.
3.- Tienen, aunque reducido, un impacto ambiental negativo. Por ejemplo, los parques eólicos
deterioran el paisaje y causan la muerte de muchas
aves, las centrales térmicas solares necesitan
enormes extensiones de terreno, etc.
4.- Las investigaciones sobre energías renovables contribuyen al desarrollo científico y tecnológico del país.
4.- Su contribución a la producción total de
energía eléctrica es aún muy pequeña.
Para el año 2020, la Unión Europea se ha fijado el objetivo de cubrir el 20% de la demanda
energética total mediante fuentes renovables de energía.
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
355
ACTIVIDADES DESARROLLADAS
1.- Una espira cuadrada, de 10 cm de lado, se encuentra situada perpendicularmente a un
campo magnético uniforme de 10-2 T. En un tiempo de 20 ms da ¼ de vuelta, quedando su
plano paralelo al campo. Hallar la fem media inducida.
∆Φ = Φfinal - Φinicial = 0 – B.S = - B.S
∆Φ
B.S
=−
∆t
∆t
E= −
∆Φ
B.S 10 −2 X0,12
= 0’005V
=−
=
∆t
∆t
20 x10 −3
E = 5 milivoltios
El sentido de la corriente que origina esta fem inducida
es tal que trate de evitar la disminución de flujo a través de la espira. Es decir, que dé lugar a un campo
magnético inducido en el sentido del externo; por lo
tanto la corriente debe ser en sentido antihorario.
2.- Una espira rectangular de 10x8 cm2 de área y 12 Ω de resistencia es perpendicular a un
campo magnético uniforme. Hallar la ley de variación de su intensidad para producir una
corriente inducida de 5 mA.
dΦ
dB
dB
I.R
=−S
⇒ I.R = − S
⇒ dB = −
dt
dt
dt
dt
S
I.R
I.R
dt + C →
t +C.
B(t) = −
Integrando, resulta: B(t) = −
S
S
Para t = 0, B(0) = C, que llamaremos B0 (valor del campo magnético en el instante inicial). Por otro
lado, I.R/S = 7,5 teslas/segundo. Por tanto
E = I.R ∧ E = −
∫
B(t) = B0 – 7’5 t
3.- Una varilla conductora de L = 20 cm de longitud se desliza paralelamente a sí misma con una
velocidad de v = 0’4 m/s sobre un conductor en
forma de U, con una resistencia de R = 8 Ω. El
conjunto está situado en el seno de un campo
magnético uniforme de B = 0’5 T y perpendicular
al circuito formado por los conductores. Hallar:
a) la fem inducida, y el valor y sentido de la intensidad inducida.- b) La energía disipada por la
resistencia en 3 s y la potencia que suministra la
varilla, como generador de corriente.
dΦ
donde Φ = B.S = B.L.x siendo x la dimensión variable del rectángulo de la esdt
pira formada por el conductor en U y la varilla.
dΦ
dx
d(L.x )
dS
d(B.S )
= −B.
= −B.
= −B.L
= −B.L.v = - 0’5x0’2x0’4 = - 0’04 V
E= −
=−
dt
dt
dt
dt
dt
a)
E= −
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
E = - 40 milivoltios
356
I = E / R = - 40 mV / 8Ω = - 5 miliamperios
La fem inducida es de 40 milivoltios y la corriente inducida en el circuito que se forma es de 5 miliamperios.
El signo menos señala que la corriente circula por el circuito en sentido horario, oponiéndose así
al aumento de flujo que supone el desplazamiento de la varillar hacia la derecha; en efecto, circulando así, la corriente inducida produce un campo inducido B ind que se opone al campo aplicar
do B .
b) Energía disipada en 3 s y potencia inducida:
P = E I = 0’04x0’005 = 2x10-4 vatios
W = P t = 2x10-4x3 = 6x10-4julios
4.- Una espira circular flexible, de 10 cm de diámetro, se
encuentra en un campo magnético dirigido como indica
la figura (hacia el lector). La densidad de flujo (o campo
magnético B) vale 1’2 Wb/m2 (o teslas).
Se tira de la espira en los puntos indicados por las flechas, formando un bucle de área nula, en 0’2 s.
a) ¿Qué fuerza electromotriz se induce en el circuito?
b) ¿Cuál es el sentido de la corriente en la espira?
c) Si R = 2 Ω, ¿cuánto vale la intensidad de la corriente
eléctrica?
R = 0’05 m
B = 1’2 T
Φinicial = Φ0 = B.S0 = B π R2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∆t = 0’2 s
Φfinal = 0
∆Φ = - Φ0 = - π B R2
πx1'2x 0'05 2
π.B.R 2
dΦ
∆Φ
= 0'047 V = 47 mV
≈–
=
=
dt
∆t
0'2
∆t
0'047
I=E/R=
= 0'0236 A = 23’6 mA
2
La corriente inducida circula por la espira, mientras ésta reduce su área, en sentido antihorario. En
efecto, el flujo decrece al reducirse el área de la espira; ello lleva a que la corriente inducida que
se produzca en la espira origine un campo magnético inducido del mismo sentido que el campo
exterior.
E= −
5.- Un solenoide de 7000 espiras tiene unas sección de 50 cm2 y una longitud de 40 cm. Determinar el coeficiente de autoinducción y el valor de la fuerza electromotriz autoinducida
cuando una corriente de 5 A que circula por él se interrumpe en 0’01 s.
r
r
En el interior del solenoide, los vectores B y S son paralelos y el campo interior del solenoide es :
B = µ0 N I / l. El flujo que atraviesa las N espiras del solenoide es:
7000 2 x50 x10 −4
Φ = L.I
⎧⎪
N2 S
-7
= 0'77 henrios
r r
= 4πx10
⎨Φ = B.S = µ N.I N.S ⇒ L = µ0
0'4
l
0
⎪⎩
l
La fem autoinducida al cortar la corriente se calcula así:
∆I
0−5
dI
≈ −L
= −0,77
= 385voltios
E = −L
0'01
dt
∆t
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
357
6.- Dos bobinas de 300 y 600 espiras, respectivamente, se colocan una al lado de la otra.
Por la primera bobina se hace circular una corriente 3 A, originando un flujo magnético en
ella de 3x10-4 Wb, y en la segunda de 2x10-4 Wb. Determinar: a) el coeficiente de autoinducción de la primera bobina. b) la inductancia mutua de las dos bobinas.
Cuando se interrumpe la corriente de la primera bobina en 0’4s, c) ¿qué fem se induce en
dicha bobina? d) ¿cuánto vale la fem inducida en la segunda bobina?
a) El flujo magnético total propio en la primera bobina es: Φ11 = 3x10-4 Wb cuando pasa una coΦ
3x10 −4
rriente de 3 A. Por tanto, Φ11 = L1 I1 → L1 = 11 =
= 10 − 4 H = 0’1 mH
I1
3
b) El flujo magnético total mutuo de la bobina primera sobre la segunda es: Φ21= 2x10-4 Wb, y por
Φ
2x10 −4
otro lado se verifica que Φ21= M.I1 . Por tanto, M = 21 =
= 6'67 x10 −5 H = 0’067 mH
I1
3
c) Fem autoinducida en la primera bobina debida a las variaciones de intensidad de corriente en
ella misma:
dI
∆I
0−3
E11 = − L 1 1 ≈ − L 1 1 = − 10 − 4
= 7'5x10 − 4 V = 0'75 mV
dt
∆t
0'4
d) Fem inducida en la segunda bobina debido a las variaciones de intensidad de corriente en la
primera:
∆I
dI
0−3
E21 = – M 1 ≈ − M 1 = − 6'67 x10 −5
= 5x10 − 4 V = 0'5 mV
dt
∆t
0'4
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
358
ACTIVIDADES PROPUESTAS
1.- Una espira circular de 0’2 m de radio es perpendicular a un campo magnético uniforme, variable con el tiempo según la ley B(t) = 2 e- t . Hallar y dibujar, en el instante t = 1 s la corriente
que circula por la espira si su resistencia es de 0’5 Ω. R.: I(t) = 0’5 e - t ; I(1) = 0’185 A.
r
2.- Calcular el flujo del campo magnético B = (6.î + 2. ĵ + 3.k̂ ) T a través de una superficie cuadrada
R.: Flujo magnético, 0’24 Wb
de 20 cm de lado, situada paralelamente al plano YZ.
3.- El flujo magnético que atraviesa el circuito de la figura
varía con el tiempo según la ley Φ (t) = 3t2 + 2t donde
Φ se mide en mWb y t en segundos. Las líneas de
campo son perpendiculares al papel y dirigidas hacia
dentro. Si la resistencia vale 7 Ω, calcular la intensidad
de la corriente en el circuito y su dirección cuando
t = 2 s, explicando por qué. R.: Iind = 2 mA en sentido antihorario, oponiéndose al flujo creciente.
4.- Una espira cuadrada, de 10 cm de lado y resistencia óhmica R = 0’1 Ω, se sitúa perpendicularmente a un
campo magnético uniforme, como se señala en la figura. Si la inducción magnética varía con el tiempo según la ley B(t) = t2 - 2t (donde t se mide en segundos y
B en teslas), calcular la intensidad y el sentido de la
corriente inducida cuando t = 0 y cuando t = 2 seg.
R.: I(0) = 200 mA. en sentido horario;
I(2) = - 200 mA. en sentido antihorario.
r
5.- Un campo magnético uniforme B , tal que B = 0’5 mT,
está dirigido según señala la figura: perpendicularmente al plano del papel, hacia el interior; está limitado por
la izquierda, siendo ilimitado por la derecha. Una bobina de 10 espiras, de sección rectangular (dimensiones: a = 0’2 m y b = 0’5 m), y 2 Ω de resistencia, es introducida por la izquierda en el seno del campo magnético con una velocidad de 5 m/s. Hallar:
a) durante cuánto tiempo recorre la bobina una corriente inducida.- b) qué fuerza electromotriz se induce
en ella.- c) qué intensidad la recorre.- d) en qué sentido (justifica esta respuesta).
R.: 0’1 s.- 5 mV.- 2’5 mA.- Sentido antihorario.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
( sentido de B en t < 0 y en t > 2 s.)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
6.- Una bobina de 50 espiras, de 40 cm2 cada una, está conectada a un galvanómetro balístico
que mide la carga eléctrica que pasa por él. En el instante inicial la bobina se encuentra en
el interior de un campo homogéneo, B = 0’5 T, perpendicular a las espiras de la bobina; al
cabo de un cierto tiempo, el campo magnético se anula. ¿Cuál es la cantidad de carga eléctrica que atravesó el galvanómetro en ese tiempo? La resistencia de todo el circuito por el
R.: Carga eléctrica, 10 miliculombios.
que circula la corriente es R = 10 Ω.
7.- Una espira circular está situada en el interior de un campo magnético uniforme de 0’8 T que es
normal al plano de la espira. Esta se contrae desde un diámetro de 20 cm hasta 10 cm en
50 ms, con una velocidad que genera una fem constante. Determinar su valor. R.: 0.377 V.
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
359
8.- Un circuito situado en el plano XY consta de un conductor recto de 10 cm de longitud que se desliza a lo largo
x
x
x
de dos raíles conductores paralelos y fijos (fig.). La resistencia de los conductores es de 0’5 Ω/m.
x
x
x
r El circuito
está sometido a un campo magnético B = −0'6.k̂ T.
x
x
x
Aplicamos al conductor móvil una fuerza exterior que
r
lo desplaza hacia la derecha con velocidad v = 2 î m/s.
x
x
x
En el instante inicial el conductor móvil se halla 1 m a
x
x
x
la derecha de su paralelo. Hallar la fem inducida y la
intensidad de la corriente inducida, al cabo de 3 segundos. ¿Cuál es el sentido de la corriente?
R.: Fem ind., 120 mV.- Intensidad ind., 16’9 mA en sentido antihorario.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
9.- La corriente de una bobina, cuyo coeficiente de autoinducción es L = 10 H y su resistencia
R = 5 Ω, varía en el tiempo según la expresión I = 2t2 - 3t. Hallar la fem autoinducida en
t = 1 s, en t = 3 s y el instante en que es nula. Hallar en esos instantes la intensidad de corriente total por la bobina.
R.: Eind (t) = 30 - 40t Eind (1) = -10 V Eind (3) = -90 V Eind = 0 en el instante t0 = 0’75 s
I(1) = -3 A
I(3) = -9 A I(t0) = -1’125 A
Iind(t) = 6 – 8t
10.- Cuando la corriente de una espira varía a razón de 1’2 A/s en otra próxima se induce una
fem de 96 mV. Hallar el coeficiente de inducción mutua.
R.: M = 80 mH.
11.- Se tienen dos anillos conductores, independientes, paralelos y próximos. Cuando en el primero circula una corriente de intensidad I1 = 3t + 1, en el segundo que presenta una resistencia
de 3 Ω. se induce una corriente de 0’25 A. Hallar la inductancia mutua M. Explicar en un diR.: M = 0’25 H.
bujo los sentidos de I1 y de Iind.
12.- Dos circuitos tienen un coeficiente de inducción mutua M = 4 mH. Por uno circula una corriente de intensidad I(t) = 5 sen(100πt). Hallar la fem inducida en el otro. Cuando en el primero
la intensidad es nula, ¿cuánto vale la fem en el segundo?
R.: Eind (t) = - 2π cos(100πt) ; cuando I = 0, Eind = ± 2π sucesivamente.
13.- Por una bobina de 500 espiras circula una corriente continua de 2 A de intensidad, que produce un flujo magnético de 2x10-4 Wb/espira. Determinar: a) el valor de la fem inducida si la
corriente se interrumpe en 0’4 s. b) el coeficiente de autoinducción de la bobina.
R.: Fem inducida, 0’25 V.; autoinductancia, 50 mH.
14.- Dos bobinas muy próximas tienen un coeficiente de inducción mutua M = 30 mH. Hallar la
fem inducida en la primera bobina cuando la corriente en la segunda viene dada por la expresión I2(t) = 6 sen (100πt).
R.: Fem inducida en la primera bobina, Eind(t) = –56’55 cos (100πt) voltios.
15.- Un carrete plano, de espesor despreciable, tiene 50 espiras de 100 cm2 de área por espira.
Está situado inicialmente de forma que su plano es perpendicular a un campo magnético
uniforme y estático de 100 militeslas. Se le hace girar después a una velocidad de 600 rpm
alrededor de un eje contenido en su plano y perpendicular al campo magnético. Hallar la fem
inducida en función del tiempo, Eind(t). R.: Eind(t) = 3’14 sen(20πt)
16.- Una bobina, de 50 espiras circulares de 20 cm de diámetro, presenta una resistencia de
0’5 Ω. Se sitúa paralelamente a un campo magnético variable B(t) = (2t2- t)x10-3 teslas.
Hallar:
a) La fem y la intensidad inducidas en la bobina, en función del tiempo.
b) La fem y la intensidad inducidas en la bobina en los instantes t = 0 s y t = 0’7 s.
U IV.- T 14: Inducción Electromagnética
360
c) ¿En qué instante se anulan la fem y la intensidad inducidas?
d) En una figura adecuada, dibujar el sentido de la corriente inducida, en todo instante.
R.: a) Eind(t) = – 1’57 (4t – 1 ) mV I(t) = – 3’14 (4t – 1) mA
b) Eind(0) = +1’57 mV
I(0) = +3’14 mA
Eind(0’7) = –2’82 mV I(0’7) = –5’65 mA
17.- Sobre dos rieles rectilíneos paralelos, de resistencia despreciable, dispuestos horizontalmente a 2 m de distancia uno de otro, se colocan
dos varillas metálicas conductoras, que se
pueden mover paralelamente a sí mismas,
manteniéndose en todo momento perpendiculares a los rieles. Las dos varillas son idénticas,
de 3 Ω de resistencia y 2'5 kg de masa cada
una, y todo el sistema se encuentra en el interior de un campo magnético uniforme vertical
de 0'5 T de inducción. Una de las varillas se
aleja de la otra con una velocidad de 8 m/s.
Hallar la velocidad constante que adquiere la segunda varilla, sabiendo que el coeficiente de
rozamiento entre las varillas y los rieles es µ = 0'05.
R.: v = 0'65 m/s
U IV.- T 15: Ondas Electromagnéticas
361
T E M A 15.ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
SUMARIO:
15.1.- Síntesis electromagnética
15.2.- Ondas electromagnéticas
15.3.- Espectro electromagnético
Actividades desarrolladas
Actividades propuestas
U IV.- T 15: Ondas Electromagnéticas
362
1.- SÍNTESIS ELECTROMAGNÉTICA
La teoría electromagnética se sintetiza en estas cuatro leyes, en parte ya estudiadas. (Nos
referiremos siempre al vacío como medio):
♦ Ley de Gauss, del campo eléctrico:
ΦE ≡
r r
1
∫∫ E.dS = ε ∑ q
i
0
S
“El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al producto de
la carga interior neta por 1/ε0”
r
Se refiere pues al campo eléctrico E y sus fuentes qi, las cargas eléctricas. Maxwell establece a partir de esta ley de Gauss su primera ecuación.
♦ Ley de Gauss, del campo magnético:
ΦB ≡
r r
∫∫ B.dS = 0
“El flujo del campo magnético a través de una superficie cerrada es nulo”.
Señala cómo el campo magnético no procede de fuentes polares (no existen polos magnéticos independientes, creadores de campo magnético, a semejanza de las cargas eléctricas). A
partir de esta ley de Gauss, Maxwell expresa su cuarta ecuación.
♦ Ley d’Ampère - Maxwell. La expresión
r r
B
∫ .d r = µ 0 ∑ I i representa la Ley d'Ampère.
c
r
Se refiere a la circulación del campo magnético B a lo largo de un camino cerrado. Expresa
la relación entre el campo magnético y las corrientes eléctricas, sus fuentes. Esta ley no es general. Maxwell la amplía y generaliza, de modo que recogiera también la aparición de campos magnéticos debidos a variaciones temporales de flujo eléctrico, obteniendo su segunda ecuación que
puede expresarse así:
r r
d ⎛ r r⎞
B.d r = µ 0 I i + ε0µ0 ⎜ E . dS ⎟
⎟
dt ⎜⎝ S
c
⎠
Esta ecuación interrelaciona los campos
eléctrico y magnético, expresando
cómo las variar
r
ciones temporales del campo eléctrico E originan un campo magnético B .
∫
∑
∫∫
♦ Ley de inducción de Faraday:
Eind = −
dΦ B
d⎛
=− ⎜
dt
dt ⎜⎝
r r⎞
∫∫ B.dS ⎟⎟⎠
S
r
Esta ley relaciona
las variaciones temporales de B rcon una fem inducida, y por tanto con un
r
campo eléctrico E generado por dichas variaciones de B . A partir de esta ley se puede expresar
la tercera ecuación de Maxwell.
Estas cuatro ecuaciones de Maxwell constituyen, en lo esencial, los fundamentos del Electromagnetismo. Fueron sintetizadas por J. C. Maxwell en 1865.
U IV.- T 15: Ondas Electromagnéticas
363
2.- ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
Tomando como base estas ecuaciones, Maxwell dedujo teóricamente la existencia de las
r
ondas electromagnéticas (OEM). El hecho de que un campo eléctrico variable en el tiempo E( t )
r
origine un campo magnético, en general, también variable en el tiempo B( t ) , y que éste a su vez
r
r
dé lugar a un campo eléctrico, expresa la interconexión de ambos campos, E( t ) y B( t ) , en cada
punto del espacio.
Pero tales campos no se ven constreñidos a un
punto sino que son origen de campos electromagnéticos en los puntos próximos, propagándose a ellos en
forma ondulatoria.
Algunas características de las OEM:
a) En cadar punto
r alcanzado por la OEM aparecen los campos E y B , variables, por ejemplo armónicamente. En este caso, se pueden escribir así:
r r
E = E 0 sen(ωt − kx ) → onda eléctrica
r r
B = B 0 sen(ωt − kx )
→
onda magnética
b) Ambas ondas son trasversales y están interconectadas por las ecuaciones de Maxwell.
c) Los planos de vibración de ambas
r
rondas son perpendiculares entre sí y se propagan en
la misma dirección. Ambos campos, E y B , son perpendiculares entre sí y a la
r dirección de propagación. Así, si se toma como
dirección de propagación el eje X y el campo E se sitúa según el
r
eje Y, entonces el campo B se sitúa según el eje Z. Véase la figura.
d) Maxwell deduce que la velocidad de propagación de estas OEM, en el vacío, debe ser:
c=
1
ε 0µ 0
=
1
8.85x10
−12
2
−1
−2
−6
C N m x1.257 x10 TmA
−1
≅ 3x10 8 m / s
e) Ya con anterioridad (hacia 1857) había sido medida la velocidad de la luz por diversos
métodos, obteniéndose en todos los casos valores muy aproximados a 3x108 m/s. Ello sugirió a
Maxwell la idea de aceptar el carácter electromagnético de las ondas luminosas. La Teoría electromagnética de la luz parte de este principio: la luz son ondas electromagnéticas.
f) Faltaba la comprobación experimental. Tal comprobación se consigue veintitrés años después, cuando H. Hertz, en 1888, generó las OEM preconizadas por Maxwell, que se llamaron ondas hertzianas. Se vio cómo estas ondas, originadas mediante osciladores electromagnéticos,
presentaban las mismas características que la luz, experimentando los mismos fenómenos que
ella: reflexión y refracción, interferencias, difracción, polarización, ...
Así quedó plenamente comprobada la estrecha relación entre las ondas luminosas y las
OEM: aquéllas constituían una parte, por cierto muy pequeña, del espectro completo de las OEM.
A partir de estos resultados, se abrían, entre otros, los nuevos caminos hoy tan desarrollados de
las comunicaciones: telegrafía sin hilos → radio → televisión → etc...
U IV.- T 15: Ondas Electromagnéticas
364
Sin embargo, desde los comienzos se plantea un problema: todas las ondas conocidas, longitudinales o trasversales, se propagan en medios materiales; sin embargo, las OEM no precisan
de medio alguno para propagarse (se propagan también en ausencia de materia, en el vacío).
Para solucionar este escollo los físicos postulan la existencia del éter. Se trataría de suponer el
universo lleno de este hipotético medio; sus características debían de ser por un lado las de un
sólido rígido (las ondas trasversales así lo exigen) y por otro las de un gas sutil pues no había podido ser detectado por ningún instrumento contemporáneo. El éter serviría de soporte a las OEM
en su propagación. Fue una hipótesis; quedaba para posteriores indagaciones, y como problema
pendiente, si tal hipótesis podría ser confirmada experimentalmente.
3.- ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO
Las OEM son producidas por osciladores electromagnéticos. Algunos de estos osciladores
han sido creados por el hombre (emisoras de telecomunicación, radio, televisión, radar, ...). Pero
la mayoría son osciladores naturales (moléculas, átomos, núcleos atómicos, ...). Las longitudes de
onda emitidas van desde varios kilómetros (ondas de radio) hasta longitudes del orden del tamaño
nuclear ( ≈ 10-14m, rayos gamma). Aunque los límites que separan las distintas zonas del espectro
electromagnético no están fijadas de modo estricto, presentamos aquí la siguiente clasificación:
ν(Hz)
> 1020
1020 - 1019
1019 - 1016
1016 - 8x1014
8x1014 - 4x1014
4x1014 - 1012
1012 - 108
108 - 104
< 104
λ
< 0.03 Å
0.03 Å – 0.3 Å
0.3 Å – 300 Å
30 nm – 400 nm
400 nm – 750 nm
0.75 µm – 300 µm
300 µm – 3 m
3 m – 30 km
> 30 km
NOMBRE
Radiación cósmica
Rayos gamma (γ)
Rayos X
Ultravioleta (UV)
VISIBLE
Infrarrojo (IR)
Microondas (MW)
Radiofrecuencia (RF)
Líneas de potencia
REGIÓN
Región de RAYOS
Región ÓPTICA
Región de ONDAS
Recuérdese la relación entre la frecuencia ν, la longitud de onda λ y la velocidad de la luz en
el vacío c = 3x108 m/s:
c
ν=
λ
o sea
3x10 8 m ⋅ s −1
ν(Hz) =
λ(m)
La región de las ondas producidas artificialmente por el hombre, habitualmente llamadas
ondas de radio, comprende las ondas muy largas (UHW, longitud de onda mayor que 10 km),
ondas largas (HW, de 1 km a 10 km), ondas medias (MW, de 1 km a 100 m), ondas cortas (LW,
de 100 m a 10 m) y ondas ultracortas (FM, VHF, UHF, de 10 m a 1 m).
Estas ondas se emiten al espacio y, antes de ser recogidas por la antena receptora, son reflejadas por la ionosfera, capa atmosférica fuertemente ionizada por las radiaciones solares (sobre
todo, UV). Cuanto menor es la longitud de onda mejor es la reflexión; por ello las ondas cortas
pueden llegar más lejos que las largas y son más adecuadas para las trasmisiones radiofónicas a
largas distancias. Por el contrario, las ondas muy largas se trasmiten directamente, sin necesidad
de reflexión en la ionosfera; requieren, no obstante, instalaciones enormemente grandes y son
muy lentas; por ello, su utilización se ha limitado al terreno militar. Las ondas ultracortas se utilizan
en las trasmisiones de radio en FM y en las de televisión, si bien éstas últimas emplean también la
parte superior de la zona de microondas. Concretamente, las emisiones de la banda UHF emplean ondas desde 1 m hasta 10 cm.
U IV.- T 15: Ondas Electromagnéticas
365
Las microondas están producidas por dispositivos especiales (Klystron) y se utilizan para
radar y en radioastronomía; conocida es asimismo su aplicación en aparatos domésticos.
La radiación infrarroja (IR) es emitida por osciladores naturales: es debida a cambios energéticos rotacionales y de vibración en las moléculas (por ejemplo, en materiales incandescentes).
Es una radiación muy calorífica, con aplicaciones médicas e industriales. Son interesantes sus
aplicaciones en fotografía industrial y científica.
La luz visible se extiende, en una franja muy estrecha, entre 750 nm y 400 nm aproximadamente. El ojo humano es sensible a estas radiaciones, obteniendo la sensación cromática. La
división cromática del espectro luminoso visible es aproximadamente:
Rojo
Naranja
Amarillo
Verde
Azul
Violeta
750 – 650 nm
650 – 585 nm
585 – 575 nm
575 – 500 nm
500 – 420 nm
420 – 400 nm
La luz visible es emitida por átomos excitados, por ejemplo, en la incandescencia de sólidos
y líquidos. Se produce en los saltos electrónicos de las capas más exteriores. Sabemos todos la
importancia de la luz en la vida de los seres (reacciones químicas, por ejemplo fotosíntesis) y en la
naturaleza. Sus aplicaciones son casi infinitas.
La radiación ultravioleta (UV) procede fundamentalmente de cambios energéticos en el
átomo, en sus electrones intermedios. Está presente en la radiación que nos llega del sol. Se
acostumbra a dividir su espectro en UV próximo y UV lejano. Presentan alta fluorescencia y manifiestan diversas acciones sobre los cuerpos vivos, debido a su elevado poder de penetración: acción esterilizante (impidiendo la división celular), acción eritemal (quemaduras), acción pigmentaria (sobre la piel).
Los rayos X proceden de cambios energético que se operan en el átomo, en sus electrones
más interiores; asimismo aparecen en el frenado brusco de electrones de alta velocidad. Son muy
energéticos y penetrantes, y dañinos para los organismos vivos; aunque, como es sabido, se utilizan de forma controlada en diagnósticos médicos, así como en la investigación científica (ionización de gases, fluorescencia, …)
Los rayos γ, de longitud de onda aún inferior (pero no bien definida su separación respecto
de la zona de los rayos X), son emitidos por los núcleos radiactivos, obedeciendo, por tanto, a
cambios energéticos en el núcleo atómico. Son de muy elevado poder de penetración, por lo tanto
U IV.- T 15: Ondas Electromagnéticas
366
altamente peligrosos para el organismo humano. Se encuentran en grandes cantidades en los
reactores nucleares.
Jaizkibel
U IV.- T 15: Ondas Electromagnéticas
367
ACTIVIDADES DEASARROLLADAS
1.- Calcular las longitudes de onda con las que emiten las siguientes emisoras en San Sebastián:
COPE: 88,5 MHz.- RNE-5: 558 KHz.- 40 Pples: 97,2.T Rentería: 107,0 MHz.- C. SER: 1044 KHz
c=λν
⇒
λ=
c
ν
→
COPE:
RNE-5
3x10 8
300
=
= 3’39 metros
6
88'5
88'5x10
300
=538 metros
λ=
0'558
λ=
etc ....
2.- Calcula el índice de refracción de un medio por el que se propaga una OEM cuyo campo
eléctrico está dado por E(x,t) = 10-3 cos(5 . 1010 t - 200 x) V/m.
n=
c
vp
vp = λ ν =
5x1010
2π ω
ω
=
=
= 2'5x10 8 m/s
200
k 2π
k
n=
c 3x10 8
= 1’2
v p 2'5x10 8
3.- Una onda de radio de 25 MHz se propaga en un medio cuyo índice de refracción es 1’5.
Si la amplitud de la onda es 2x10-4 V/m y se propaga a lo largo del eje X, escribir la ecuación
que representa dicha onda.
Por ser una onda de radio es una OEM y por tanto se cumple que: E(x,t) = E0 sen (ωt – kx).
La amplitud de la onda es E0 = 2x10-4 V/m
La frecuencia es ν = 25 MHz = 25x106 Hz →
ω = 2πν = 2’5x107 . 2π
La velocidad de propagación se calcula teniendo presenta que
c 3x10 8
c
→ vp = =
n=
= 2x10 8 m/s
1'5
n
vp
La longitud de onda λ =
vp
ν
=
2 x10 8
= 8 metros
25x10 6
→
k=
2π 2π
=
= 0’125 . 2π
λ
8
Ecuación de la onda: E(x,t) = 2x10-4 sen 2π(2’5x107 t - 0’125 x) V/m
U IV.- T 15: Ondas Electromagnéticas
368
ACTIVIDADES PROPUESTAS
1.- Un foco emite OEM de frecuencia igual a 1’5 MHz y atraviesan un medio que tiene un índice de
refracción igual a 1’5. ¿Cuál es la longitud de onda de esta radiación en el aire y en dicho
medio? R.: En el aire, 200 metros, y en el medio 133’3 metros
2.- Una OEM plana, sinusoidal y polarizada linealmente, tiene una longitud de onda de 500 nm y
se propaga en el vacío en la dirección del eje X. Si el plano de polarización de la onda forma
un ángulo de 30º con el XY y el módulo de la amplitud del campo eléctrico es 10 V/m, determinar la ecuación de la onda en términos del campo eléctrico.
r
R. : E(x, t) = 2( 3 jˆ + kˆ).sen{4 π.10 6 (3.10 8 t - x)} V/m
3.- Escribe la ecuación de una OEM plana armónica, propagándose en el vacío en la dirección
positiva del eje Y, siendo su plano de polarización
de onda 200 nm y la
r el XY, su longitud
7
máxima amplitud del campo eléctrico 4 V/m. R.: E(y, t) = 4 sen{10 π(c t - y)} î V/m
4.- El campo de una OEM plana en el vacío se representa, utilizando unidades del S.I., por los
siguientes datos: E0x = 0, E0y = 0’5 sen [2π.108 (t - x/c)], E0z = 0. Calcular: a) La longitud de
onda.- b) El estado de polarización.- c) La dirección y sentido de propagación.- d) La frecuencia. R.: 3 m de longitud de onda.- La onda está polarizada según el plano de polarización OXY.- Se propaga en la dirección positiva del eje X.- Su frecuencia es 108 Hz
UNIDAD V: Introducción a la Física Moderna
369
FÍSICA
2º Bachillerato
UNIDAD V :
. Ciencias de la Naturaleza y de
la Salud
. Tecnología
Introducción a la Física Moderna
TEMA 16.Crisis de la Física Clásica
TEMA 17.Introducción a la Física del Núcleo
Marianistas – Compañía de María
Bachillerato
Valentín Laconcha Abecia, S.M.
Doctor en C. Físicas
2009 - 2010
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
370
T E M A 16.CRISIS DE LA FÍSICA CLÁSICA
SUMARIO:
16.1.- Crisis de la Física Clásica
16.2.- Espectros discontinuos y átomo de Bohr
16.3.- Efecto fotoeléctrico
16.4.- Relatividad (algunos resultados a aplicar)
16.5.- Efecto Compton
16.6.- Hipótesis de De Broglie: dualidad corpúsculo-onda
Actividades desarrolladas
Actividades propuestas
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
371
1.- CRISIS DE LA FÍSICA CLÁSICA
A finales del siglo XIX, las diversas ramas de la Física se integran dentro de un edificio teórico, general y coherente, cuyas grandes líneas son las siguientes:
Se distinguen dos categorías de objetos en el Universo: la materia y la radiación.
La materia es discontinua; está constituida por corpúsculos perfectamente localizables, sometidos a las leyes de la Mecánica de Newton. El estado de cada corpúsculo viene definido, en
cada instante, por su posición y su momento lineal.
La radiación electromagnética sigue las leyes del Electromagnetismo de Maxwell. Sus variables dinámicas son las componentes, en cada punto del espacio, de los campos eléctrico y
magnético. Presenta un comportamiento ondulatorio que se manifiesta particularmente, entre
otros, en los conocidos fenómenos de interferencia y difracción.
De este modo, toda la ciencia física parece estar asentada coherentemente en estos dos pilares: la Mecánica newtoniana y la Teoría electromagnética de Maxwell.
Era tal el grado de satisfacción de la comunidad científica que algunos físicos, entre ellos uno de los más
ilustres del siglo XIX, William Thompson (Lord Kelvin), llegó a afirmar:
Hoy día la Física forma, esencialmente, un conjunto perfectamente armonioso, ¡un conjunto prácticamente
acabado! ... Aun quedan “dos nubecillas” que oscurecen el esplendor de este conjunto. La primera es el
resultado negativo del experimento de Michelson-Morley. La segunda, las profundas discrepancias entre la
experiencia y la Ley de Rayleigh-Jeans.
La disipación de la primera de esas “dos nubecillas” condujo a la creación de la Teoría Especial de la Relatividad por Einstein (1905), es decir, al hundimiento de los conceptos absolutos de espacio y tiempo, propios
de la mecánica de Newton, y a la introducción del “relativismo” en la descripción física de la realidad. La segunda “nubecilla” descargó la tormenta de las primeras ideas cuánticas, debidas al físico alemán Max Planck
(1900): El origen de la Teoría Cuántica
Aparecen, en efecto, nuevos fenómenos y comportamientos que prueban la limitación de esta Física Clásica; son fenómenos y comportamientos que contradicen las mismas bases de la Física, y que no pueden ser explicados por ella. Es el nacimiento de la nueva Física Moderna.
A.- PRIMER ASPECTO CONFLICTIVO
Aparece como consecuencia de los resultados negativos del experimento de Michelson y
Morley, encaminado a comprobar la existencia del éter.
Cuando en los comienzos del siglo XIX se comprobó la naturaleza ondulatoria de la luz como propagación de ondas electromagnéticas, surgió una duda de aparentemente difícil solución:
¿cómo puede propagarse la luz en el vacío si, al menos las ondas conocidas hasta entonces, precisan de un medio material de propagación?
Para subsanar este inconveniente se postuló la existencia de un medio hipotético, llamado
éter, al que atribuyeron propiedades curiosamente paradójicas tales como densidad nula, gran
elasticidad y transparencia perfecta.
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
372
Además, dicho éter, de existir, ocuparía todo el Universo, los cuerpos celestes se moverían
en su seno, por lo que dicho éter podría ser considerado como un sistema absoluto de referencia.
La Tierra se movería respecto a él (la velocidad orbital de la Tierra es de unos 30 km/s) y,
evidentemente, este movimiento influiría en los resultados de medición de la velocidad de la luz,
según la orientación de los rayos luminosos respecto de la velocidad de movimiento del observador.
Así, para un observador situado sobre la Tierra, supuesto que ésta se mueva en el mismo
sentido que la luz con velocidad v, la velocidad de la luz sería c' = c - v mientras que si se mueve
en sentido opuesto, c" = c + v
Resultaba, pues, muy tentador comprobar la velocidad de la luz en distintos sistemas inerciales y determinar la influencia de tales sistemas en esa velocidad. Las experiencias realizadas
por Albert A. Michelson y Edward W. Morley, en 1887, demostraron que:
• La velocidad de la luz en el vacío es constante en todos los sistemas inerciales, independientemente de la velocidad de la fuente y del observador.
De acuerdo con este resultado, la existencia del éter no tiene sentido físico alguno y no
existe un sistema absoluto de referencia. Ahora bien, la experiencia de Michelson y Morley contradice las leyes básicas de la mecánica newtoniana. Es preciso pues analizarlas.
Se hace necesaria una revisión profunda de los fundamentos de la Física. Albert Einstein,
en 1905, formula su Teoría de la Relatividad Especial, realizando un análisis crítico de las nociones de espacio y tiempo; decide abandonar la noción de espacio y tiempo absolutos y establecer como fundamento la invariancia de la velocidad de la luz en el vacío para cualquier sistema de
referencia. Rompe así con los conceptos newtonianos clásicos de tiempo, espacio, masa, energía,
momento lineal... debiendo ser redefinidos en función de estos nuevos fundamentos:
• Las leyes físicas son idénticas en todos los sistemas de referencia inerciales, siendo
expresables mediante ecuaciones semejantes.
• La velocidad de la luz en el vacío es un invariante físico, y es además independiente
del movimiento de la fuente emisora y del observador.
La nueva Mecánica Relativista que nace es una ampliación de la clásica: ésta se presenta
como una aproximación válida en la medida en que las velocidades de los cuerpos materiales
sean mucho menores que la velocidad de la luz.
Ampliación:
RELATIVIDAD DE GALILEO
Dos sistemas de referencia O y O’ se denominan inerciales cuando están dotados de una velocidad relativa constante. O sea, por ejemplo O’ se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme respecto de O.
Entonces, si en uno de ellos se verifican las leyes de Newton, en el otro asimismo se verifican formalmente igual. Por consiguiente, no es posible distinguir dos SRI.
“No existe ningún referencial inercial especial, por lo que no sólo el movimiento sino todos los fenómenos físicos ocurren de la misma manera en todos ellos.”
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
373
Si los diferentes SRI no fuesen equivalentes, se intentaría buscar entre ellos uno en el que las leyes físicas se formulasen de manera especialmente simple. Se estaría inclinado a considerarlo, por las ventajas
que ofrece, en “reposo absoluto”, y a los demás “en movimiento”. La completa equivalencia de todos los SRI
priva de todo significado a los términos “reposo y movimiento absolutos”.
Consideremos, pues, dos SRI: OXYZ y O’X’Y’Z’.
Supongamos inicialmente ambos sistemas coincidentes
O = O’ y al segundo O’X’Y’Z’ dotado de una velocidad u
según el eje OX = O’X’. Entonces, la posición de P resr r r
pecto de ambos sistemas ha de verificar: r = r ' + u t
r
r
r
→ r' = r − u t
x = x' + ut'⎫
⎧x' = x − ut
⎪
⎪
y = y' ⎪
⎪ y' = y
⇔
⎨
⎬
z = z' ⎪
⎪ z' = z
⎪⎩ t' = t
t = t' ⎪⎭
(a)
Este conjunto de cuatro ecuaciones se denomina relaciones de TRANSFORMACIÓN DE GALILEO, y
permiten determinar la posición de P respecto del sistema O’ cuando se la conoce respecto de O. Nótese que
la ecuación t’ = t significa el carácter absoluto del tiempo: los dos observadores O y O’ miden los mismo intervalos de tiempo transcurridos entre dos sucesos.
Derivando la ecuación vectorial (a) se obtiene:
r
r
r
r
r r
dr
dr
=
− u → v' = v − u →
dt'
dt
⎧ v'x = v x − u
⎪
v'y = v y
⎨
⎪
v'z = v z
⎩
(b)
Estas ecuaciones (b) son las que proporcionan las velocidades del punto P en el SRI O’ en función de
los valores obtenidos en el SRI O. Vemos cómo la velocidad es relativa al sistema en la que se mide: los observadores O y O’ no obtienen el mismo resultado de tal medición.
r
Derivando la ecuación vectorial (b) se obtiene, teniendo presente que u es constante:
r
r
dv' dv
=
dt'
dt
→
r
r
a' = a
→
⎧a'x = a x
⎪
⎨a'y = a y
⎪a' = a
z
⎩ z
(c)
Este sistema señala que la aceleración de P medida por O o medida por O’ tiene el mismo valor ⇒ la
aceleración sí es un invariante en el cambio de referencial.
Si se admite que las masas de los cuerpos son invariantes, las fuerzas tendrán el mismo carácter absoluto que las aceleraciones. Es decir, todos los observadores galileanos coincidirán en los valores de las fuerzas (módulo, dirección y sentido). ⇒ La ecuación fundamental de la dinámica es válida para todos los SRI.
RESULTADO NEGATIVO DE LA EXPERIENCIA DE MICHELSON Y MORLEY
Supongamos el referencial O situado en el éter y O’ situado en la Tierra, que se mueve respecto del
éter con velocidad u en sentido positivo del eje X. Supongamos un rayo de luz que se acerca al observador
O’, según el sentido negativo del eje X. Llamando c a la velocidad de la luz medida por O (éter) la velocidad
que mide O’ (Tierra) debe ser, según (b): c’ = c + u. Si por el contrario el rayo luminoso y el sentido del movimiento de la Tierra coinciden, desde O’ (Tierra) se medirá una velocidad para dicho rayo: c’’ = c - u
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
374
Se trataría pues de encontrar experimentos que permitieran medir esa velocidad u.
Michelson y Morley esperaban determinar la velocidad de la Tierra con respecto al éter, utilizando el interferómetro que lleva su nombre, de muy elevada precisión, capaz de determinar dicho valor. Repitieron su
experimento (harto complejo para analizarlo aquí) muchas veces y en condiciones diferentes durante muchos
años, y encontraron que, dentro de la precisión de sus mediciones, la velocidad de la luz con respecto a la
Tierra era la misma en todas direcciones.
RELATIVIDAD ESPECIAL: Transformadas de Lorentz
Los resultados negativos del experimento de Michelson y Morley llevaron a Einstein a descartar el concepto de la existencia del éter. En su lugar propuso como ley universal de la naturaleza que:
La velocidad de la luz es un invariante físico, y tiene el mismo valor para todos los observadores
que estén en movimiento relativo uniforme.
Esta ley y esta otra:
• Las leyes físicas son idénticas en todos los sistemas de referencia inerciales, siendo expresa-
bles mediante ecuaciones semejantes.
constituyen las nuevas bases de la Relatividad Especial, desarrollada por Einstein. Una primera consecuencia
de ello es que el tiempo no es una magnitud absoluta: Dos observadores con movimiento relativo uniforme no
miden igual intervalo temporal entre dos eventos posibles.
Supongamos que los observadores O y O’ se mueven con velocidad relativa v y que los ejes X y X’ están en la dirección del movimiento relativo, y los ejes YZ e Y’Z’ son paralelos. Podemos suponer también que
ambos observadores ajustan sus relojes de modo que t = t’ = 0 cuando O y O’ coinciden.
En estas condiciones, se muestra a continuación la
nueva transformación, compatible con la invariancia de la
velocidad de la luz:
⎧
⎪x' =
⎪
⎪⎪
⎨
⎪
⎪
⎪ t' =
⎪⎩
x − vt
1− v2 /c2
y' = y
z' = z
t − vx / c 2
1− v2 /c2
x=
⇔
t=
x' + vt
1− v2 /c2
y = y'
z = z'
t' + vx' / c 2
1− v2 /c2
⎫
⎪
⎪
⎪⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪⎭
Este conjunto de relaciones fue obtenido por Einstein
en 1905, quien lo llamó TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ,
por haber sido propuesta anteriormente por H. Lorentz.
Este sistema de relaciones sustituye al de Galileo. Para valores de la velocidad v << c ambos sistemas
coinciden ⇒ sólo cuando la velocidad v es próxima a la de la luz se hace preciso tener en cuenta este aspecto
relativista. Pero esto es lo que ocurre justamente cuando se pretende estudiar el movimiento de partículas
(electrones, protones, neutrones, ...) producidas en los aceleradores de alta energía, o incluso los electrones de
un átomo: debemos utilizar la transformación relativista de Lorentz.
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
375
Algunas consecuencias
Contracción de las longitudes
Def.- La longitud propia de un objeto se define como la distancia entre sus extremos, medida en el
sistema referencial en el cual el objeto está en reposo.
Sea una varilla de longitud L’ = x’2 – x’1 que se mueve con velocidad v respecto de otro observador O.
Por tanto, ésta es la longitud propia para el observador O’ que se mueve con la varilla. El observador O ha de
medir la longitud L de la varilla en movimiento, tomando nota de la posición de sus extremos, simultáneamente (t1 = t2), obteniendo como resultado L = x2 – x1. Entonces:
L’ = x’2 – x’1 =
x 2 − vt
1− v2 /c2
−
x1 − vt
1− v2 /c2
=
x 2 − x1
1− v2 /c2
=
L
1− v2 /c2
→ L’ > L
⇒ El observador O que mide la longitud L de un objeto en movimiento obtiene una medida menor que
la correspondiente L’ medida por O’ en reposo respecto del objeto:
Lmovimiento < L’reposo (contracción de las longitudes).
lugar.
Dilatación del tiempo
Def.- Tiempo propio es el intervalo de tiempo transcurrido entre dos sucesos que ocurren en el mismo
Sean dos sucesos t’1 y t’2 que el observador O’ detecta en un mismo punto x’, medidos con su reloj.
Sean t1 y t2 las medidas de los instantes de estos sucesos, dadas por O. Y sea v la velocidad con que O’ se
mueve respecto de O. Entonces, llamando ∆t’ = t’2 – t’1 y ∆t = t2 – t1:
∆t = t2 – t1 =
t'2 + vx' / c 2
1− v2 /c2
–
t'1 + vx' / c 2
1− v2 /c2
=
t'2 − t'1
1− v2 /c2
=
∆t'
1− v2 /c2
→
∆t > ∆t’
⇒ El observador O detecta un tiempo entre dos sucesos más dilatado que O’ para el cual ambos sucesos tienen lugar en un mismo punto, en reposo respecto de él.
∆t movimiento > ∆t’reposo
(Dilatación del tiempo)
B.- SEGUNDO ASPECTO CONFLICTIVO :
Se presenta al tratar de justificar clásicamente los resultados experimentales relativos a la
emisión y absorción de energía radiante por los cuerpos materiales. Son de especial interés la
emisión de radiación de un cuerpo al elevar su temperatura, el efecto fotoeléctrico, el efecto
Compton, la producción de rayos X, los espectros atómicos, ...
Algunos conceptos previos: Se llama radiación térmica de un cuerpo la radiación electromagnética
que emite en función de la temperatura que posee.
Todo cuerpo emite energía en forma de OEM hacia el espacio, que son tanto más intensas cuanto más
elevada es la temperatura del cuerpo emisor.
Pero a la vez, todo cuerpo recibe energía radiante emitida por los cuerpos que le rodean, absorbiendo
de ella una cierta fracción (coeficiente de absorción).
Se denomina cuerpo negro a un cuerpo ideal que tiene la propiedad de absorber todas las radiaciones
que llegan a él, cualquiera que sea su longitud de onda (coeficiente de absorción, unidad).
Una realización del cuerpo negro puede ser una cavidad de paredes internas muy absorbentes con un
pequeño orificio, pues toda radiación que penetra por dicho orificio al interior queda absorbida tras varias
reflexiones en sus paredes; el área del orificio de entrada es la superficie del cuerpo negro.
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
376
Al calentar un cuerpo negro, emite energía que sale al exterior por el orificio. Pues bien,
+ se llama poder emisor E la energía radiada por unidad
de tiempo y de superficie emisora; se expresa en W/m2.
+ se llama exitancia espectral Mλ al poder emisor por
unidad de intervalo espectral. Es decir:
∞
dE = Mλ .dλ
o bien
∫
E = M λ .dλ
0
Del estudio de la radiación emitida por un cuerpo negro al calentarlo se obtienen dos leyes
experimentales:
Ley de Stefan-Boltzmann: El poder emisor de un cuerpo negro es directamente proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta:
E = σ T4
donde σ = 5’672x10-8 W.m-2.K-4 es la constante de Stefan-Boltzmann
Ley del desplazamiento de Wien: La longitud de onda de la radiación a la que corresponde
la máxima exitancia se desplaza hacia longitudes de onda más cortas de modo que:
λmaxT = C
donde C = 2’897x10-3 m K es la constante de Wien.
Este comportamiento en la emisión, contrastado experimentalmente, choca frontalmente con
el que se espera obtener a partir de la teoría clásica, basada en el electromagnetismo de Maxwell.
Y es que a partir de esta teoría se llega conclusiones absurdas; por ejemplo, que la exitancia o
poder emisivo espectral crece monótonamente con la frecuencia, de modo que se hace infinita
para cualquier temperatura cuando ν → ∞, es decir, cuando λ → 0. Esta contradicción entre la
experiencia concreta y la Teoría Clásica de la Radiación es lo que se denomina (“catástrofe del
ultravioleta”).
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
377
Max Planck, en el año 1900, aventura una arriesgada hipótesis, según la cual:
• La absorción y emisión de energía por la materia solamente puede realizarse mediante cantidades discretas de energía (cuantos de energía o fotones) cuyo valor viene dado por la expresión:
Eν = hν
donde h = 6.6256x10-34J.s es la constante de Planck
Así pues, al igual que la materia, la energía es de naturaleza discontinua, de modo que para
una determinada frecuencia ν, o longitud de onda λ, es siempre un múltiplo entero del cuanto o
fotón: E = n h ν = n
hc
.
λ
En base a esta hipótesis, la distribución de la radiación queda justificada (Fórmula de
Planck). Pero ello a expensas de sobrepasar los límites de la Física Clásica, introduciendo un
principio de cuantificación para la energía.
Ampliación:
Los físicos ingleses Lord Rayleigh y Sir James Jeans intentan dar una explicación de las curvas gráficas experimentales que describen la distribución de la energía radiada por un cuerpo negro, en función de las
longitudes de onda (o de las frecuencias) de la radiación emitida. Llegan a una expresión muy adecuada para
longitudes de onda largas (frecuencias pequeñas: Ley de Rayleigh-Jeans. Pero esta ley no puede ser aplicada a altas frecuencias, llegándose al absurdo de obtener valores inaceptablemente grandes para poderes
emisivos espectrales, valores que tienden a infinito.
Mν =
8πν 2
c3
⇔
kT
Mλ =
8π
λ4
kT
La hipótesis introducida por Max Planck (cuantización de la energía emitida (en fotones de energía hν))
conduce a la Fórmula de Planck. Ésta sí que está de acuerdo con los resultados experimentales:
Mν =
donde:
8 πh ν3
1
c3
hν
kT
e
−1
c es la velocidad de la luz en el vacío,
k es la constante de Boltzmann
h es la constante de Planck
⇔
Mλ =
8 πhc
1
λ5
hc
kT
e λ −1
c ≅ 3 x 108 m/s
k = 1’38 x 10-23 J/K
h = 6’63 x 10-34 J . s
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
378
Así como el resultado negativo del experimento de Michelson-Morley marcó el origen de la
Teoría de la Relatividad, la “catástrofe del ultravioleta” abrió el camino hacia la Mecánica Cuántica, origen de las actuales teorías sobre la composición de la materia a escala atómica y subatómica.
2.- ESPECTROS DISCONTINUOS Y ÁTOMO DE BOHR
(Algunas ideas a recordar del curso pasado. Sólo interesa aquí hacer notar la aplicación, nuevamente, de las ideas de cuantificación de Planck, esta vez también a los niveles energéticos de los
electrones en los átomos)
La descomposición de la luz blanca mediante un prisma origina un espectro que proporciona
de forma continua las distintas luces de colores que conforman la luz blanca: rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta. Pero si la fuente luminosa contiene una sustancia en forma atómica,
el espectro obtenido se llama atómico y tiene una serie de rayas (espectro discontinuo), que sirven
para identificar la muestra.
En 1885 el suizo J. Balmer estudió la zona del visible del espectro de hidrógeno, y encontró
una ley empírica que permitía calcular las longitudes de onda de la serie de rayas (serie de Bal⎛ 1
1
1 ⎞
⎟
mer). Era:
= R H ⎜⎜
−
⎟
λ
⎝ 22 n2 ⎠
donde λ es la longitud de onda de la raya, n = 3, 4, 5, ... toma todos los valores enteros a partir de
2, y RH = 1’097 x 107 m-1 es la constante de Rydberg (para el hidrógeno).
Posteriormente, mediante análisis fotográfico, fueron observadas otras series espectrales.
Recibieron el nombre de sus descubridores. Añadiendo la serie anterior, resultan:
Serie de Lyman (zona ultravioleta), serie de Balmer (zona visible), serie de Paschen (zona del
infrarrojo próximo), serie de Brackett (zona del infrarrojo), serie de Pfund (zona del infrarrojo lejano).
La fórmula de Balmer puede generalizarse con bastante aproximación, resultando:
⎞
⎛
1
1 ⎟
⎜ 1
= RH ⎜
−
λ
⎜ n 2 n 2 ⎟⎟
1 ⎠
⎝ 2
donde; Serie de Lyman
n2 = 1 n1 = 2, 3, 4, ....∞
Serie de Balmer
n2 = 2 n1 = 3, 4, 5, ....∞
Serie de Paschen
n2 = 3 n1 = 4, 5, 6, ....∞
Serie de Brackett
n2 = 4 n1 = 5, 6, 7, ....∞
Serie de Pfund
n2 = 5 n1 = 6, 7, 8, ....∞
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
379
Todos los físicos de la época son conscientes de que estos espectros de rayas son la manifestación externa del comportamiento interno de los átomos, ante la absorción o emisión de
energía radiante por ellos.
En 1911 el británico Ernest Rutherford postula que el átomo está formado por un núcleo en
el que se encuentra la casi totalidad de masa atómica y toda la carga eléctrica positiva. En torno al
núcleo giran en órbitas los electrones, de carga negativa. El número de electrones es igual al de
cargas eléctricas del núcleo, con el fin de mantener eléctricamente neutro al átomo.
Además indica que las órbitas son circulares, de forma que la estabilidad del conjunto se
debe a que la fuerza centrípeta que experimenta el electrón girando en torno al núcleo es igual a
la fuerza electrostática de atracción entre el núcleo y el electrón. (La interacción gravitatoria, por
ser mucho menor, se desprecia frente a la electrostática).
Este modelo presenta una gran dificultad para ser asumido: Los electrones en su movimiento orbital presentan una aceleración centrípeta. Pues bien, de acuerdo con la teoría electromagnética clásica, toda partícula cargada con aceleración irradia energía en forma de ondas electromagnéticas. Por tanto los electrones, en su movimiento orbital van perdiendo energía. Y si es así, no
pueden mantener su órbita circular, y describirán una órbita en espiral hasta colapsar con el núcleo. ⇒ El átomo de Rutherford no es estable.
En 1913, el danés Niels Bohr modifica el modelo de Rutherford al aplicar el concepto de
cuantización de la energía de Planck, y alcanzando un gran éxito al explicar los espectros atómicos y justificar teóricamente la fórmula empírica de Balmer del espectro del átomo de hidrógeno.
El modelo atómico de Bohr se sustenta en los siguientes postulados:
1º. Los electrones giran alrededor del núcleo en determinadas órbitas circulares, sin
emitir ni absorber energía radiante en las mismas (órbitas estacionarias).
2º. Estas órbitas son aquéllas para las que el momento angular del electrón (me v r) es
un nº entero de h/2π:
me rn vn = n h/2π
donde n = 1, 2, 3, ... se denomina nº cuántico principal; y h es la constante de Planck.
Esto significa que la energía de las órbitas y sus radios están cuantificados.
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
380
Vamos a calcular, en desarrollo semiclásico, los radios rn y las energías En de cada nivel, en el átomo
de hidrógeno (sistema protón-electrón):
Radios rn:
Hipótesis de Bohr:
m e2 v n2 = n 2
me vn rn = n h/2π →
h2
4π 2 rn2
→
m e v n2 = n 2
h2
4π 2 rn2 m e
Fuerza de Coulomb = masa x aceleración centrípeta_
v n2
e2
→
me
=k
rn
rn2
m e v n2 = k
e2
rn
Igualando ambas expresiones y despejando rn resulta: rn = n 2
h2
4π 2 ke 2 m e
⎧ h = 6'63x10 − 34 J . s
⎪
⎪k = 9x10 9 N . m 2 .C − 2
Operando, para n = 1, y siendo ⎨
⇒ r1 = 5’3 x 10-11 m = 53 picometros
−19 C
⎪ e = 1'6x10
⎪ m = 9'1x10 − 31 kg
⎩ e
Éste es el llamado “radio de Bohr” y corresponde con el de la órbita más interior: a0 = 5’2917x10-11 m
Los siguientes radios se obtienen haciendo n = 2, 3, 4, .... en la expresión abreviada:
rn = n2 a0
r2 = 2’11x10-10 m
r3 = 4’76x10-10 m
r4 = 8’47x10-10 m
r5 = 1’32x10-9 m
etc...
Niveles de energía En:
En analogía con el estudio del campo gravitatorio, y para órbitas circulares, la energía total del electrón en su
órbita es la mitad de su energía potencial eléctrica, e igual a la energía cinética, pero negativa:
Ep = − k
e2
r
1
ke 2
Ec = − Ep =
2
2r
E=
1
ke 2
Ep = −
2
2r
Por tanto, energía del nivel n-simo:
En = −
2π 2 k 2 e 4 m e ⎛ 1
k e2
1
ke 2
⎜
=−
=−
⎜ 2
2
2 rn
2 n 2 h 2 / 4π 2ke 2m
h
⎝n
e
13'6
electronvoltios
En = −
n2
⎞
2'169x10 −18
⎟=−
julios
⎟
n2
⎠
Así que el nivel fundamental es E1 = - 13’6 eV,
y los sucesivos niveles: E2 = - 3’40 eV E3 = - 1’51 eV E4 = - 0’85 eV .... según la fórmula anterior.
3º. Siempre que un átomo absorbe o emite energía lo hace mediante cuantos de energía completos (fotones), de valor hν, y es consecuencia de que los electrones experimentan
un tránsito entre niveles.
Cuando un electrón absorbe un fotón, salta a un nivel superior, quedando el átomo excitado.
Al desexcitarse emite la misma cantidad de energía en forma de fotones.
La interpretación teórica de los espectros atómicos se basa en que los electrones de los
átomos pueden situarse estacionariamente en ciertos estados, caracterizados por valores de
energía determinados, llamados niveles de energía.
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
381
La transición entre dos niveles o estados Ei (nivel inicial) y Ef (nivel final) da lugar a la emisión o absorción de radiación en forma de un fotón hν.
⎛
⎜ 1
⎞
1 ⎟
⎝ f
i ⎠
Sea ∆E = E f − E i = 13'6 ⎜ − ⎟ . Si pensamos, por ejemplo, en la tercera raya del espectro de
⎜ n2 n2 ⎟
Balmer, supone un salto del electrón desde el nivel 5 al nivel 2, emitiendo un fotón. ¿Cuál es su longitud de
onda?
∆E = h ν = h
c
λ
→
λ=
hc
∆E
⎛
⎞
⎜ 1
1 ⎟
−19 julios
∆E = 13'6 ⎜
−
⎟ = 2'856 eV = 4'57 x10
2
2
⎜2
5 ⎟
⎝
⎠
λ=
hc
6'62x10 −34 x3x108
=
= 4'353x10 − 7 m = 435'3 nanometros
19
−
∆E
4'57 x10
Aplicando la fórmula experimental de Balmer
⎛ 1
1
1 ⎞
⎟ hubiéramos obtenido 434’1 nm;
= R H ⎜⎜
−
⎟
λ
⎝ 22 n2 ⎠
¡¡¡Una buena comprobación!!!
La absorción de un cuanto de radiación de energía ∆E = h ν por parte de un electrón hace
que éste pase de un nivel a otro superior, llamado también estado excitado. La vuelta del electrón desde el estado excitado al inicial, bien directamente o a través de otros estados intermedios,
hace que se puedan emitir fotones de frecuencias distintas. Cada una de estas transiciones dará
origen a una línea en el espectro, lo que explica que en el espectro de un átomo aparezcan varias
rayas o líneas, de forma que cada una de ellas tiene una frecuencia o longitud de onda determinada.
Como en cualquier muestra de una sustancia existen billones de átomos, se puede estar seguro de que en cualquier momento estarán representadas todas las posibles formas de excitación
y emisión de energía y por consiguiente en el espectro no aparecerá una única raya, sino varias
líneas.
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
382
Aunque el éxito del modelo de Bohr fue extraordinario, pronto surgieron discrepancias, pues
con mejores espectroscopios se encontró que muchas de las rayas espectrales del átomo de
hidrógeno eran en realidad varias rayas muy próximas entre sí. En 1925, Werner Heisenberg sugiere que el modelo atómico mecánico del tipo de Bohr debe abandonarse, y aparece lo que ha
pasado a denominarse la Teoría Cuántica Moderna.
3.- EFECTO FOTOELÉCTRICO
En 1888, Hallwachs y sus colaboradores observaron que una lámina de cinc, cargada negativamente
y conectada a un electroscopio, perdía rápidamente su
carga al ser iluminada con luz ultravioleta. También
observaron que si se utilizaba un filtro que eliminase
las radiaciones de longitud de onda más corta, el fenómeno no se producía.
Este hecho experimental y otros similares permitieron suponer que, bajo la acción de ciertas radiaciones de pequeña longitud de onda, el cinc y otros metales emiten electrones (Lenard, 1889), denominándose
a este fenómeno efecto fotoeléctrico.
En general, al iluminar una superficie metálica con luz, hay electrones que son capaces de
absorber energía radiante y abandonar dicha superficie.
Para estudiar con detalle las posibles variables
que intervienen en el efecto fotoeléctrico (frecuencia
de la luz incidente, velocidad de los electrones emitidos, número de electrones emitidos...) se ideó un dispositivo (célula fotoeléctrica) como el esquematizado
en la figura.
El haz de luz incide sobre la superficie metálica fotosensible S (emisor) y los electrones emitidos por ella son captados por el colector C, mantenido por medio de un generador a un potencial
V positivo respecto al emisor (V ≡ VC – VS), figura a). Emisor y colector están contenidos en un
recinto transparente donde previamente se ha hecho el vacío.
La corriente eléctrica producida por los electrones emitidos se detecta mediante el galvanómetro (o intercalando en serie un microamperímetro). Variando el voltaje V aplicado, pueden estudiarse las velocidades de estos electrones y sus energías cinéticas, ½ mv2, cuando abandonan la
superficie.
Cuando V = 0, puede ocurrir que haya algún electrón con energía cinética suficiente para
llegar hasta el colector C, originando una corriente.
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
V>0
383
V<0
Pero si V < 0 (el potencial del emisor es ahora mayor que el del colector, figura b), el campo
eléctrico producirá una fuerza retardadora sobre los electrones, y la corriente I decrecerá (pues no
todos los electrones que abandonan el emisor S llegan al colector C). Ver la curva de la gráfica a).
El potencial retardador V0 que impide que incluso los electrones más energéticos lleguen a
C, anulando la corriente (I = 0), se conoce con el nombre de potencial crítico de frenado (o potencial retardador). En esta situación:
2
= e V0
½ m v max
Llamaremos iL a la intensidad de la luz irradiante (en watios/m2), y recordamos que
V ≡ VC – VS es el potencial de C respecto de S. El experimento conduce a los siguientes resultados:
1º.- Para cada metal emisor, en S, existe una frecuencia umbral ν0 por debajo de la cual el
efecto fotoeléctrico no se produce.
2º.- El efecto fotoeléctrico se produce “instantáneamente”, inmediatamente después de iluminar el metal emisor.
3º.- La intensidad de la corriente eléctrica I (y por tanto, el número de electrones extraídos
por unidad de tiempo) es proporcional a la intensidad de la radiación incidente iL (figura b)).
4º.- Para cada metal emisor, el potencial crítico retardador V0 (y por tanto, la energía cinética
máxima de los electrones extraídos) es independiente de la intensidad de la radiación iL (figura c),
dependiendo de la frecuencia ν de la radiación (figura d).
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
384
Según la Física Clásica, las gráficas a y b (resultado 3º) son explicables. Sin embargo los
resultados 1º,2º y 4º no lo son.
La gráfica de la figura a): La distribución en energía de
los electrones emergentes, que se manifiesta en la caída
gradual de la curva, se puede atribuir a diferencias en la
energía de enlace de los diversos electrones del metal. Los
electrones, en efecto, no escapan espontáneamente del metal, sino que están atraídos por los núcleos positivos. El resultado es razonable.
La gráfica de la figura b) y el resultado 3º:
Al aumentar la intensidad de radiación iL, aumenta la
energía absorbida por la superficie emisora, y entonces ello
debe dar lugar a un número proporcionalmente mayor de electrones emitidos, y por tanto una intensidad de
corriente I proporcional.
El resultado 2º: Clásicamente debería de haber un tiempo de retardo entre el comienzo de la iluminación y la aparición de la corriente: es el tiempo que tarda el metal en absorber la energía suficiente que es
proporcionada por la onda incidente. Por ejemplo, si iL = 10-10 W.m-2 y λ = 500 nm, la teoría predice que podían transcurrir unas 10 horas antes de que los electrones pudieran acumular suficiente energía para abandonar el metal. Pues bien, el efecto se produce ¡¡ instantáneamente !!
Los resultados 1º y 4º: A mayor intensidad iL de la onda incidente, mayor debería de ser la energía de
los electrones extraídos, pues la energía de la onda es proporcional a su intensidad. Además, cualquiera que
sea su frecuencia ν, la onda debe ser capaz de suministrar la energía suficiente a los electrones para ser
emitidos; es cuestión de aumentar su intensidad. Es por tanto inexplicable que la energía cinética máxima de
los electrones extraídos sea independiente de iL y dependa en cambio de la frecuencia ν, existiendo un valor
umbral ν0 inferior.
La hipótesis de los cuantos, debida a M. Planck, sirvió a A. Einstein (1905) para explicar
plenamente el efecto fotoeléctrico y establecer su ecuación.
El mecanismo de emisión y absorción de energía radiante por los cuerpos no se explica según el modelo ondulatorio, sino considerando que la energía sólo puede transferirse en forma de
cuantos discretos de valor hν. Con esta hipótesis cuántica, podemos pensar que el proceso de
extracción tiene lugar así:
La energía hν captada por el electrón ha de servir en primer lugar para liberarlo de la atracción del núcleo (energía o trabajo de extracción, W), quedando el resto de energía en forma de
energía cinética del electrón ya libre, ½ mv2. Así pues:
hν = W + ½ mv2
⇔
½ mv2 = hν - W
Los electrones menos ligados requerirán una energía W0 mínima; éstos quedarán libres con
una energía cinética máxima. Para ellos
2
hν = W0 + ½ m v max
⇔
2
½ m v max
= hν - W0
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
385
Expresemos la energía de extracción W0 así: W0 ≡ hν0. Para frecuencias ν < ν0 los electrones no pueden liberarse pues la energía de sus fotones es menor que la energía de extracción,
hν < W0 .
Por consiguiente es razonable la existencia de una frecuencia umbral ν0, la más baja capaz
de promover la emisión electrónica, ν = ν0. Para ella, el electrón quedaría justamente libre, y sin
energía cinética, o sea vmax = 0.
En cambio, si ν > ν0 , el electrón abandona el metal con una cierta energía cinética: la dada
2
= hν - W0, En función de esa frecuencia, la anterior ecuación se escribe:
por ½ m v max
2
½ m v max
= h (ν -νo)
que se denomina “ecuación fotoelétrica de Einstein”.
Admitido este mecanismo, se explican los resultados experimentales satisfactoriamente:
2º.- La emisión es instantánea, porque la absorción de la energía hν por el electrón se realiza no de forma gradual (onda) sino instantáneamente (absorción de un fotón).
3º.- La intensidad de corriente I es proporcional a la intensidad de la radiación iL. En efecto,
al crecer ésta es mayor el número de fotones que aporta por unidad de tiempo en la incidencia y
consecuentemente el número de electrones extraídos del metal, lo que da lugar, proporcionalmente, a una intensidad de corriente I mayor.
1º.- Pero se precisa que la radiación posea una frecuencia ν ≥ νo para que dicha emisión
sea posible, pues sólo así el electrón puede escapar a la ligadura del metal,
Finalmente, a mayor frecuencia ν mayor es la energía cinética máxima que adquieren los
electrones que escapan, y por tanto mayor es el potencial retardador V0, el cual no depende de la
intensidad de la radiación iL. La gráfica de la figura d) nos lo muestra. En ella se representa para
diferentes metales (cesio, berilio, ...) el valor de eV0 en función de la frecuencia ν:
eV0 = h ν - h ν0
Vemos cómo:
+ cada metal posee su propia frecuencia umbral ν0.
+ la pendiente de las rectas es justamente la constante de Planck h, la misma para cualquier metal
emisor.
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
386
Gráfica tomada de Millikan (R. A. Millikan, Physical Review 7, 355 (1916))
que representa la relación lineal entre el potencial crítico de frenado V0 y la frecuencia de
la luz para una superficie fotosensible de sodio. Como se ve, Millikan presentó su cálculo
de la constante de Planck basándose en la recta de la figura.
(Proporcionado por The Physical Review)
4.- RELATIVIDAD ( ALGUNOS RESULTADOS A APLICAR)
Con el fin de poder explicar convenientemente algunos otros fenómenos físicos, veamos
una serie de resultados obtenidos a partir de la teoría de la Relatividad especial. En efecto, hemos
de aplicarlos a situaciones físicas en las que las partículas llevan velocidades suficientemente
elevadas para que la Física Clásica no sea aplicable.
1.- La velocidad de la luz en el vacío es independiente del sistema de referencia (SR) desde
el que se mida, y es a su vez la velocidad máxima de trasmisión de los fenómenos físicos. Valor:
c = 2.9979x108 m.s-1 ≅ 3x108 m.s-1
2.- Toda partícula posee una energía total E = mc2 donde m es su masa.
3.- La masa de una partícula depende del SR en el que se mide. Llamando m0 a la masa de
la partícula en reposo respecto a dicho SR, y m a su masa cuando la partícula se encuentra en
movimiento, con velocidad v respecto a dicho SR, se verifica:
m=
m0
1− v2 /c2
4.- El momento lineal p de una partícula de masa m y velocidad v es p = m v. También puede escribirse así:
p=
m 2 − m 02 c
1
En efecto,
(
p = m −m
2
)
1
2 2
0
1
2
⎡ m 02
m0 v
1
⎡
⎤2
2⎤
c=⎢
−
−
m
c
=
m
1
c=
=mv
⎥
0
0
2
2
2
2
⎢
⎥
⎣1 − v / c
⎦
1− v2 /c2
⎣1 − v / c
⎦
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
387
5.- La energía cinética de una partícula se define como la diferencia entre su energía E a
velocidad v menos la que posee en reposo, E0.
Ec ≡ E – E0 = m c2 – m0 c2 ⇒ Ec = (m – m0) c2
Para velocidades v << c, se tiene:
⎡
1
⎤
−
⎡
⎤
− 1⎥c 2 = ⎢ 1 − v 2 / c 2 2 − 1⎥m 0 c 2
2
2
⎣
⎦
⎣ 1− v /c
⎦
n(n − 1) 2
n
Recordando que para x<<1 se verifica: (1 + x ) = 1 + nx +
x + ... ≅ 1 + nx , y que éste
2!
1
−
1 v2
2
2
es nuestro caso para v<<c, hacemos (1 − v / c ) 2 ≅ 1 +
2 c2
2 2
2
Ec ≅ (1 + ½ v /c – 1) m0c = ½ m0 v2 → Ec = ½ m v2
Ec = (m – m0) c2 = m 0 ⎢
1
(
)
expresión que en la Mecánica Clásica aceptamos como definición de la energía cinética. No es
sino una aproximación de la definición relativista para velocidades pequeñas, en cuyo caso, asimismo, m ≅ m0.
6.- La relación entre la energía de una partícula y su momento lineal es:
E=c
m 02 c 2 + p 2
⇒
Se justifica así: p2 = m2c2 – m 02 c 2
m2c2 = m 02 c 2 + p2
E2 = m2c4 = (m2c2) c2 = ( m 02 c 2 + p2) c2 ⇒ E = c
m 02 c 2 + p 2
7.- Fotón.- Si se postula un comportamiento del fotón como corpúsculo cuya masa en reposo es nula, mf0 = 0, y su energía es Ef = h ν , entonces
Ef = h ν = mfc2
⇒
mf = h ν / c2
mf sería la masa asociada al fotón con velocidad c. El momento lineal pf de fotón es entonces:
hν
h
pf = m 2f − m 02 c = mf c =
=
c
λ
De acuerdo con lo visto, pues:
Un fotón es un corpúsculo energético, sin masa en reposo, con velocidad c en el vacío, cuya energía es hν y su momento lineal es h/λ.
5.- EFECTO COMPTON
Como en fenómenos anteriormente vistos, el efecto Compton, detectado por A. H. Compton
en 1923, muestra la evidencia del comportamiento cuántico-corpuscular de la energía electromagnética.
Al incidir sobre una muestra, por ejemplo de grafito, con un haz de rayos X (longitud de onda, λ), y analizar a continuación la radiación dispersada bajo diversos ángulos, se observa que
además de la radiación incidente (de longitud de onda λ), aparece una componente de frecuencia
inferior a la incidente (λ’ > λ), frecuencia que depende del ángulo de observación.
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
388
Clásicamente, este hecho es inexplicable: la radiación dispersada debería
mantener su frecuencia, y efectivamente
una parte de ella lo hace, pero ¿ de dónde
procede la componente de frecuencia inferior y por qué su dependencia del ángulo
de dispersión?
Sólo se encuentra una explicación
coherente si, una vez más, se supone el
haz incidente como un chorro de fotones,
de energía hν y momento lineal h/λ, que
colisiona con los electrones de la muestra
irradiada.
Tomando como base esta hipótesis, el problema a resolver se reduce al de choque entre
dos partículas, el fotón y el electrón.
En el choque, que consideraremos elástico, se conserva el momento lineal del sistema fotón-electrón y su energía cinética. De acuerdo con la figura anterior:
⎧ hν h ν '
⎪ c = c cos θ + p. cos ϕ
hν hν ' r
=
+p
• Conservación del momento lineal:
⎨
hν '
c
c
⎪ 0=
senθ − p.senϕ
c
⎩
hν = hν'+(m − m 0 )c
• Conservación de la energía cinética:
Así pues, el sistema a resolver sería (teniendo en cuenta que la energía del electrón es E = mc2):
⎧cp. cos ϕ = hν − hν'. cos θ
⎪
⎨ cp.senϕ = hν'.senθ
⎪ E = h(ν − ν' ) + m c 2
0
⎩
Elevando al cuadrado las dos primeras ecuaciones y sumándolas, resulta:
c 2 p 2 = h 2 (ν 2 + ν' 2 ) − 2h 2 νν'. cos θ
(1)
La tercera ecuación del sistema puede escribirse, (teniendo en cuenta que E = m 02 c 4 + c 2 p 2 )
m 02 c 4 + c 2 p 2 = h(ν − ν' ) + m 0 c 2
Elevando al cuadrado, despejando c2p2 y simplificando se llega a:
c 2 p 2 = h 2 (ν − ν' ) 2 + 2h( ν − ν' )m 0 c 2
De (1) y (2) :
2
2
2
2
2
2
h (ν + ν' ) − 2h νν'. cos θ = h (ν − ν' ) + 2h( ν − ν' )m 0 c
(2)
2
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
389
Desarrollando y simplificando la anterior expresión, resulta: (ν − ν' )m 0 c 2 = hνν' (1 − cos θ)
⇒
ν − ν'
h
=
(1 − cos θ)
νν'
m0c 2
Sustituyendo las frecuencias por sus correspondiente longitudes de onda, ν =c/λ y ν’=c/λ’, resulta:
ν − ν' λ ' − λ
=
c
νν'
y por tanto:
h
λ'−λ =
(1 − cos θ)
Fórmula de Compton
m0c
−34
La cantidad λ C ≡
6.6256x10
h
=
metros = 2.43x10 −12 metros se conoce
−31
8
m 0 c 9.1091x10 x 2.9979 x10
con el nombre de longitud de onda de Compton, del electrón ( λ C = 0.0243 Å).
dan lugar a este tipo de dispersión.
La longitud de onda de la luz dispersada es, según la ecuación obtenida, mayor que la de la
luz incidente, pero la diferencia es muy pequeña por lo que sólo experimentando con rayos X duros (los de longitud de onda más pequeña) puede ser observado el efecto estudiado.
Hay que hacer notar que el fenómeno de dispersión de la radiación electromagnéticas por
un electrón no precisa de la mecánica moderna para ser explicado. Lo específico del efecto
Compton, sólo explicable mediante hipótesis cuánticas, se ciñe al hecho de que la frecuencia de la
radiación dispersada sea inferior a la incidente, dependiendo de la dirección de observación.
Al observar bajo un ángulo θ, la radiación dispersada presenta dos componentes: una de
igual frecuencia ν que la incidente, y otra de frecuencia ν ’ menor que ν , que responde a la fórmula de Compton.
La primera está perfectamente justificada, clásicamente. Las ondas electromagnéticas incidentes (rayos X) fuerzan a los electrones ligados en los átomos a oscilar de acuerdo con la frecuencia excitadora ν . Estos electrones, en oscilación forzada, emitirán entonces radiación electromagnética de la misma frecuencia, en todas direcciones, al desexcitarse. En este proceso, el
estado de átomo se perturba tan sólo temporalmente, y los electrones no son expulsados. Cabe
esperar que son precisamente los electrones más fuertemente ligados los que dan lugar a este
tipo de dispersión.
Pero hay otros electrones, vinculados al átomo mucho más débilmente, por lo que pueden
ser expulsados en el proceso de dispersión. Se puede esperar, por tanto, que estos electrones, de
modo similar a los otros, sean excitados por el haz de radiación; pero en este proceso la energía
captada sólo es devuelta parcialmente, pues el electrón sale liberado, con una cierta energía cinética, en una cierta dirección; y al hacerlo, emite la energía restante en forma de fotón, evidentemente de energía menor. Y este es justamente el efecto observado y estudiado por Compton.
Véase en la figura de la página siguiente las gráficas de dispersión obtenidas en un proceso
de irradiación de una lámina de grafito mediante rayos X, obtenidos en un tubo cuyo ánodo es de
molibdeno. La longitud de onda empleada es λ = 0.710 Å, que corresponde a la radiación Kα del
molibdeno.
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
390
0.717 Å
0.710 Å
0.734 Å
0.751 Å
Gráfico tomado del artículo de Compton (Phys. Rev. 22, 409 (1923)) que muestra el
espectro de la radiación dispersada para tres
ángulos de dispersión diferentes. El gráfico A
presenta la raya de la radiación incidente, 0.71
Å. Las abscisas son proporcionales a la longitud
de onda, y las ordenadas constituyen una medida de la intensidad. En los otros tres gráficos,
los picos de la izquierda muestran qué parte de
la radiación dispersada tiene la misma longitud
de onda que la incidente. Los picos de la derecha corresponden a la radiación dispersada de
Compton, con una frecuencia desplazada. El
desplazamiento de la frecuencia aumenta con el
ángulo de dispersión, de acuerdo con la fórmula de Compton. (Cortesía de The Physical
Review.)
6.- HIPÓTESIS DE DE BROGLIE: dualidad onda-corpúsculo
En 1924, Louis De Broglie estableció una analogía entre fotones y partículas materiales.
Propuso que las partículas, y no sólo los fotones, deberían tener también naturaleza ondulatoria;
es decir, toda partícula debe llevar asociada una onda. Formuló así la hipótesis de la dualidad
onda-corpúsculo.
Una serie de fenómenos ha permitido intuir el carácter corpuscular de la energía radiante, a
la que la Física Clásica únicamente asignaba naturaleza de onda electromagnética. Y así, la nueva Física asocia a una onda electromagnética de frecuencia ν y longitud de onda λ = c/ν un fotón
de energía Ef = hν y momento lineal pf = h/λ (Hipótesis de Planck).
¿Por qué no asociar asimismo a toda partícula material de masa m y velocidad v, cuya
energía total, en términos relativistas, es E = mc2 y cuyo momento lineal es p = mv, una onda electromagnética? En cuyo caso, ¿cuál sería la longitud de onda λ y la frecuencia ν asociadas?
Admitiendo las propuestas de Planck y de Einstein, aplicadas al fotón, se tiene:
h
c
h
h
∧
Ef = mc2
⇒
= mc ≡ p f
λ=
=
Ef = hν = h
λ
λ
mc p f
Esta ecuación, válida en principio para el caso de las ondas electromagnéticas, De Broglie la generaliza a toda partícula en movimiento, estableciendo el siguiente postulado o hipótesis:
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
391
“Todo corpúsculo en movimiento lleva asociada una onda cuya longitud de onda
es:
λ=
h
h
=
p mv
donde m, v y p son respectivamente la masa, la velocidad y el momento lineal del corpúsculo.
Esta hipótesis de De Broglie recibió su plena confirmación hacia 1927-1928, como resultado
de experimentos independientemente realizados por C. J. Davisson y L. Germer, en Estados Unidos, y por G. P. Thomson, en Gran Bretaña. En ambos casos se consiguió producir la difracción
de electrones con resultados análogos a la difracción de una onda.
Por ejemplo, G. P. Thomson estudió el paso de electrones a través de un fina lámina de material cristalino. Tras atravesar los electrones la lámina, incidían sobre una placa fotográfica. Si los
electrones se hubieran comportado como partículas, en el sentido macroscópico, se hubiera observado en la placa fotográfica una imagen borrosa porque cada electrón habría experimentado
una dispersión diferente por los átomos de la red cristalina. Sin embargo, el resultado obtenido es
idéntico al correspondiente a una difracción de rayos X por sustancias policristalinas. Esta figura
de difracción sólo puede atribuirse al comportamiento ondulatorio de los electrones, tal y como
preveía la hipótesis de De Broglie.
Así pues, del mismo modo que se asocia un corpúsculo (fotón) a una OEM, habrá que asociar una función de onda a cada partícula. En base a esta hipótesis nace la Mecánica Cuántica
Ondulatoria.
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
392
ACTIVIDADES DESARROLLADAS
1.- Calcular la temperatura superficial del Sol, así como la potencia irradiada por cm2 de su
superficie, sabiendo que la longitud de onda a la cual el espectro solar tiene un valor
máximo de la energía emitida es λm = 510 nm.
Admitiendo que la superficie solar se comporta como un cuerpo negro, la ley de Wien expresa:
λmaxT = C → T =
C
λ max
=
2'897 x10 −3
= 5680 K
510 x10 −9
La ley de Stefan-Boltzmann, por su parte, señala:
E = σ T4 = 5’672x10-8 x 56804 = 5’90x107 W /m2 = 5900 W/cm2
2.- Sobre un metal inciden fotones de 500 nm de longitud de onda. Si la longitud de onda
umbral de dicho metal es de 612 nm, calcular: a) Si se arrancan o no electrones.- b) En
caso afirmativo, la energía cinética de los mismos.- c) La energía de extracción, en eV.
3x10 8
c
=
= 6,0x1014 Hz
λ 500 x10 −9
c
3x10 8
=
= 4'9 x1014 Hz
Umbral,
λ0 = 612 nm → ν0 =
λ 0 612 x10 −9
Como ν > ν0 , la emisión fotoeléctrica sí es posible, pudiendo ser arrancados los electrones.
a) Fotones, λ = 500 nm
→ ν=
b) La energía cinética de los electrones es Ec = ½ me v2 = h (ν - ν0) = 6’626x10-34(6’0 – 4’9)x1014 =
7'288x10 −20 J
= 0'46 eV
= 7’288x10-20 julios =
1'6x10 −19 J / eV
c) La energía de extracción es W0 = h ν0 = 6’626x10-34x4’9x1014 = 3’247x10-19 J = 2’03 eV
3.- La energía de extracción del litio es de 2’31 eV. Al iluminar el litio con luz de 6’3x1014 Hz
se emiten electrones, con lo que la placa de metal se carga con un potencial cada vez mayor. Calcular: a) La λ umbral. b) El potencial que debe adquirir la placa para que cese la fotoemisión de electrones
a) Frecuencia y longitud de onda umbrales:
W
2'31x1'6x10 −19
= 5'58x1014 Hz
W0 = h ν0 → ν0 = 0 =
−34
h
6,626 x10
λ0 =
c
3x10 8
=
= 5'378x10 −7 m = 537’8 nm
ν 0 5'58x1014
b) Potencial de extracción, V0:
e V0 = ½ m v2 = h (ν - ν0) = 6’626x10-34(6’3 – 5’58)x1014 = 4’77x10-20 J
V0 =
4'77 x10 −20
= 0'299 V ≅ 0’3 voltios
1'6 x10 −19
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
393
4.- Calcular con qué velocidad saldrán emitidos los electrones de una superficie metálica
sabiendo que la longitud de onda umbral es 6000 Å y que se ilumina con luz de 4000 Å de
longitud de onda.
c
3 x10 8
Longitudes de onda: λ 0 = 6000 Å = 6x10-7 m Frecuencias: ν0 =
=
= 5 x10 14 Hz
λ 0 6 x10 −7
λ = 4000 Å = 4x10-7 m
ν =
Según la ecuación de Einstein, ½ mev2 = h(ν - ν0), v =
c
λ
=
3 x10 8
= 7’5x1014 Hz
4 x10 −7
2x 6'626 x10 −34 x 2'5x1014
= 6'03x10 5 m/s
−31
9'1x10
5.- En una experiencia de laboratorio en la que se analiza la dispersión de un haz de rayos X
de 0’8 Å de longitud de onda por un bloque de carbón, se observa la radiación dispersada a
90º del haz incidente. Hallar la longitud de onda del haz de rayos X dispersado y la velocidad de retroceso de los electrones, bajo dicho ángulo de dispersión.
Según la ecuación de Compton:
h
6'626 x10 −34
λ'−λ =
(1 − cos θ) =
(1 − 0) = 2'43x10 −12 m = 0’0243 Å ⇒ λ’ = 0’8243 Å
8
− 31
m0c
9'1x10 x3x10
hc
Energía del fotón incidente:
E = hν =
= 2’486x10-15 J
λ
hc
Energía del fotón dispersado:
E’ = hν’ =
= 2’413x10-15 J
λ'
Energía cinética del electrón dispersado:
∆E = E – E’ = 7’3x10-17 J
⇒
v = 2.∆E / m 0 = 1’27x107 m/s
Esta energía verifica: ∆E = ½ m0 v2
6.- Calcular la longitud de onda asociada a:
a) una pelota de 140g que se mueve con una velocidad de 250 m/s
b) un electrón que se mueve a 5000 km/s
d) un electrón acelerado en un campo eléctrico por una ddp. de 54 voltios
h
Según la hipótesis de De Broglie, λ =
m.v
−34
6'626x10
h
=
= 1'9 x10 −35 metros = 1’9x10-25 Å
a) λ =
0'14 x 250
m.v
Esta posible onda, de longitud de onda inapreciable, no puede ser detectada con los métodos actuales de observación.
h
6'626 x10 −34
b) λ =
=
= 1'456 x10 −10 metros = 1’46 Å
m.v 9'1x10 −31 x5x10 6
Esta onda puede ser detectada experimentalmente, pues pertenece a la zona del espectro de los
rayos X.
c) Velocidad del electrón: ½ me v2 = e.∆V
−34
→
v=
2.e.∆V
=
me
2x1'6x10 −19 x54
9'1x10
− 31
= 4'36x10 6 m/s
6'626 x10
h
= 1'67 x10 −10 metros = 1’67 Å
=
m.v 9'1x10 −31 x 4'36 x10 6
Como en el caso anterior, la onda asociada al electrón pertenece a la zona de los rayos X.
λ=
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
394
ACTIVIDADES PROPUESTAS
1.- Un cuerpo negro tiene una temperatura de 2000 K. ¿Cuál es la energía en eV de los fotones
correspondientes a la componente espectral más intensa? R.: 0’858 eV
2.- Una bombilla incandescente posee una temperatura de 2800 K. Calcular la potencia que irradia
por unidad de superficie y la longitud de onda máxima de su espectro.
R.: E = 3’484x106 W/m2 λm = 1035 nm
3.- Una cavidad, que se comporta como un cuerpo negro, posee un orificio de salida de 1 cm2 de
superficie. Si sus paredes están a 300 K, ¿cuánta energía se emite por el orificio en un minuto y cuál es la frecuencia de la radiación emitida con intensidad máxima?
R.: E = 2’756 J
λm = 9657 nm
4.- El ojo humano puede percibir luz amarilla (λ = 600 nm) que transfiere a la retina una potencia
de 1’7x10-8 W. ¿Cuántos fotones por segundo recibe la retina? R.: 5’131x1010 fotones/s
5.- En el estudio del efecto fotoeléctrico se realiza la experiencia con dos tipos de fuente luminosa:
una fuente A de intensidad I y frecuencia 2ν, y otra B de intensidad I/2 y frecuencia ν. Suponiendo que ν es superior a la frecuencia umbral, razona la respuesta a la pregunta siguiente: ¿Con qué tipo de fuente luminosa se emiten los electrones con mayor velocidad?
R.: La fuente A emite más electrones y más veloces que la B
6.- Una radiación de 546 nm de longitud de onda penetra en una célula fotoeléctrica de cátodo de
cesio. Si la energía de extracción en el cesio es de 2 eV, calcula: a) la longitud de onda umbral del cesio. b) la energía cinética, la velocidad de los electrones emitidos y el potencial de
frenado. c) la velocidad con que llegan los electrones al ánodo si se aplica una diferencia de
potencial igual a 100 V. Dato: masa del electrón, me = 9'1x10-31 kg.
R.: λ0 = 622 nm Ec = 0'277 eV v = 3’12x105 m/s V0 = 0’28 V v' = 5’94x106 m/s
7.- La energía cinética máxima de los electrones emitidos en el efecto fotoeléctrico depende de:
a) La diferencia de potencial aplicado. b) La intensidad de la luz incidente. c) La frecuencia
de la luz incidente. d) La intensidad de la corriente eléctrica producida. Señala la respuesta
correcta y razona por qué. R.: Respuesta c; recordar la ecuación de Einstein.
8.- Para extraer electrones del zinc se necesita una energía de 4’5 eV. Se hace incidir una radiación electromagnética sobre el zinc. ¿Qué condición debe cumplir la frecuencia y la longitud
de onda de la radiación incidente para que salten electrones del zinc? Razona la respuesta.
R.: ν > ν0 = 1’087x1015 Hz λ < λ0 = 276 nm
9.- La energía de extracción de un electrón de una superficie metálica es de 3’5 eV:
a) ¿Cuál es la frecuencia umbral por debajo de la cual no es posible lograr el efecto fotoeléctrico? b) ¿Cuál es la λ de esa radiación? c) Haz un esquema de cómo se produce el efecto
fotoeléctrico. R.: ν0 = 8’452x1014 Hz λ0 = 355 nm
10.- La longitud de onda umbral del efecto fotoeléctrico de cesio es λ 0 = 650 nm. Si se hace incidir
sobre ese metal una radiación de λ = 400 nm, Calcular: a) La velocidad de salida de los
electrones del cátodo de una célula fotoeléctrica de cesio por efecto de la radiación. b) El
potencial de detención que se debe aplicar para evitar que los electrones lleguen al ánodo.
c) Para aumentar la velocidad de salida de los electrones, ¿hay que modificar la longitud de
onda de la radiación? R.: 6’48x105 m/s 1’19 voltios
Sí (¿por qué?)
U V.- T 16: Crisis la Física Clásica
395
11.- Cuando un haz de luz monocromática de longitud de onda λ = 430 nm incide sobre una superficie brillante de sodio metálico arranca electrones con una energía cinética de 2 eV. Calcular: a) La energía de extracción de los electrones. b) La longitud de onda umbral del sodio. c) La relación entre las energías del fotón incidente y del fotón umbral. d) La velocidad
con que llegan los electrones al ánodo cuando son acelerados mediante una diferencia de
potencial de 50 V. e) La diferencia de potencial entre los electrodos de la placa para que no
llegue ningún electrón al ánodo.
R.: W0 = 0’889 eV λ0 = 1397 nm Einc/Eumb = 3’25 v = 4’276x106 m/s V0 = 2 voltios
12.- Cuando se ilumina cierta superficie metálica con la luz de diferentes longitudes de onda, se
miden los potenciales de detención que se muestran en la tabla adjunta.
V0 (volt)
λ (x10-7m)
1’48
3’66
1’15
4’05
0’93
4’36
0’62
4’92
0’36
5’46
0’24
5’79
Representar gráficamente el potencial de detención en función de la frecuencia de la luz y
calcular a partir de la gráfica: a) La frecuencia umbral. b) La energía de extracción del metal.
c) El cociente h/e. R.: ν0 = 4’61x1014 Hz W0 = 1’91 eV h/e = 4’11x10-15 V.s
13.- Calcula la longitud de onda de un electrón que se ha puesto en movimiento mediante la aplicación de un campo eléctrico de 1 000 V. R.: λ = 0’389 Å
14.- Se tiene un fotón y un electrón, ambos con energía cinética de 1 eV, ¿cuál de ellos tiene mayor longitud de onda? R.: λf = 12430 Å λe = 12’3 Å
15.- Calcular la longitud de las ondas materiales correspondientes a:
a) un electrón de 100 eV de energía cinética. b) Un balón de futbol que se mueve a 25 m/s,
si su masa es de 450 g. R.: λe = 1’2 Å λb = 5’9x10-25 Å
16.- Al observar el efecto Compton para una longitud de onda incidente de 1Å, se obtiene una
nueva longitud de onda de 1’0121Å. Determinar bajo qué ángulo se hizo la observación, y
qué energía cinética posee el electrón en retroceso.
R.: θ = 60º Ec = 2’38x10-17 J = 148’6 eV
17.- Observamos el efecto Compton para una longitud de onda incidente de 10 pm bajo un ángulo
de 90º. Determinar: a) la longitud de onda observada en el efecto Compton. b) la energía
cínéfica del electrón. c) el momento lineal y la dirección de salida del electrón.
R.: a) 0’1243 Å b) Ec = 3’89x10-15 J = 24’3 keV c) p = 8’51x10-23 kg.m/s ϕ = 39º
18.- Por término medio, la longitud de onda de la luz visible es de 550 nm. Determinar la energía
transportada por cada fotón. Si una lámpara eléctrica de 50 W emite el 2 % de su energía en
la región visible del espectro electromagnético, ¿cuántos fotones se emiten por segundo?
¿Qué ocurre con el resto de la energía disipada por la lámpara?
Constante de Planck, h = 6’63x10-34 J.s
R.: 3’616x10-19 J = 2’26 eV 2’765x1018 fotones/seg
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
396
T E M A 17.INTRODUCCIÓN A LA
FÍSICA DEL NÚCLEO
SUMARIO:
17.1.- Interacciones Fundamentales
17.2.- Física del núcleo: definiciones
17.3.- Energías de enlace y fuerzas nucleares
17.4.- Radiactividad natural:
Partículas radiactivas
Modos de desintegración
Series radiactivas
Ley de desintegración radiactiva
17.5.- Radiactividad artificial:
Fisión nuclear
Fusión nuclear
17.6.- Energía nuclear: ventajas e inconvenientes
17.7.- Modelo Estándar de las partículas elementales
17.8.- Unificación de la interacciones fundamentales
17.9.- Teoría del Big Bang
Actividades desarrolladas
Actividades propuestas
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
397
1.- INTERACCIONES FUNDAMENTALES
Antes de iniciar un estudio elemental del núcleo de los átomos, es oportuno recordar el
esquema de las interacciones fundamentales en nuestro Universo, dos de las cuales se presentan fundamentalmente en él.
Las acciones mutuas o interacciones que se ejercen entre sí los cuerpos materiales se
pueden agrupar básicamente en estos cuatro tipos:
1.- INTERACCIÓN GRAVITATORIA:
La más conocida desde la antigüedad y la primera estudiada cuidadosamente.
Galileo describe los efectos de la gravedad en la Tierra: caída de los cuerpos.
Kepler describe el movimiento planetario.
Newton describe ambos fenómenos, que en principio parecen no tener relación entre sí, unificándolos, al establecer la fuerza gravitatoria atractiva que se ejercen los cuerpos materiales: interacción gravitatoria entre cuerpos materiales.
Esta interacción es:
+ siempre atractiva, sobre cuerpos materiales.
+ de largo alcance (teóricamente, hasta el infinito)
+ proporcional a 1/r2
+ a distancias atómicas y comparativamente, la más débil de las cuatro interacciones.
Es responsable de numerosos fenómenos naturales: movimiento planetario; movimiento de los
sistemas materiales, en su conjunto.
2.- INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA:
La mejor estudiada y comprendida. Y la más importante en nuestra vida diaria.
Coulomb y Volta estudian en su totalidad el fenómeno eléctrico: cargas y corrientes eléctricas.
Oersted descubre perturbaciones magnéticas producidas por corrientes eléctricas.
Maxwell unifica los fenómenos eléctricos y magnéticos, aparentemente independientes, mediante
su Teoría Electromagnética (leyes de Maxwell), que estudia la interacción electromagnética
entre cuerpos cargados eléctricamente. Descubre la existencia de las ondas electromagnéticas
(OEM) y su ecuación y deduce la velocidad de propagación de estas ondas en el vacío, igual a la
velocidad de la luz. Al establecer como principio que la luz está constituida por OEM asimila los
fenómenos ópticos a los electromagnéticos, unificando la Óptica y el Electromagnetismo.
Esta interacción electromagnética:
+ se da entre cuerpos cargados eléctricamente (cargas eléctrica).
+ es repulsiva entre cargas del mismo signo (+ o -) y atractiva entre cargas de signo contrario.
+ es de largo alcance (teóricamente, hasta el infinito)
+ es proporcional a 1/r2
+ es una interacción muy fuerte, la más fuerte a distancias superiores a los radios nucleares.
Está presente en la mayoría de los fenómenos físicos, químicos y biológicos; está presente en las
acciones entre átomos y moléculas (enlaces, reacciones químicas), y en las acciones entre los
electrones y los núcleos de los átomos.
3.- INTERACCIÓN NUCLEAR FUERTE:
Es una interacción muy estudiada pero aún insuficientemente comprendida.
+ es responsable de que los protones y neutrones (nucleones) se mantengan dentro del núcleo, fuertemente ligados. Como veremos, los protones y neutrones (nucleones) no son partículas
elementales sino que están constituidos por quarks.
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
398
+ es responsable de la unión estable de los quarks dentro de cada nucleón.
+ es la más fuerte de las interacciones.
+ pero actúa sólo a distancias cortas (radio de los núcleos atómicos, <10-14 m = 10 fm)
4.- INTERACCIÓN NUCLEAR DÉBIL:
De ella se tiene un conocimiento aún relativamente escaso.
Afecta al núcleo de los átomos, y:
+ es responsable de la mayoría de los procesos radiactivos y procesos entre partículas elementales, tales como las desintegraciones beta.
+ es de menor intensidad que la interacción nuclear fuerte y la interacción electromagnética.
+ su alcance es aún menor que el de la interacción fuerte (∼10-18m = 1 am) y
Las intensidades relativas de todas estas interacciones son, tomando la interacción fuerte
como unidad:
* fuerte
~ 100
* electromagnética
~ 5x10-3
* débil
~ 2x10-6
* gravitatoria
~ 4x10-40
CLÁSICAMENTE, para describir estas interacciones (acciones a distancia) se introduce el
concepto de campo de fuerzas. Por campo entendemos una propiedad física que se extiende
sobre una región del espacio y se describe mediante una función de la posición y del tiempo (Cf.
Unidad I, tema 3, nº 3).
Según la Física Clásica para cada interacción, suponemos que una partícula produce alrededor de ella (dentro de su alcance) el campo de fuerzas correspondiente. Este campo a su vez
actúa sobre una segunda partícula dando lugar a la fuerza requerida (acción). La segunda partícula, por su parte, crea su propio campo el cual actúa sobre la primera partícula produciendo la fuerza correspondiente (reacción): de este modo, resulta la interacción mutua entre ambas partículas.
SEGÚN LA FÍSICA MODERNA, los científicos explican estas acciones a distancia como
realizadas bajo la acción de ciertas partículas elementales que hacen de intermediarias, transmisoras, o portadoras de la interacción.
Se explica la interacción entre dos partículas por el intercambio de una tercera, que recibe el
nombre de partícula de campo o bosón de gauge. Es esta partícula la que transfiere momento
lineal, originando la fuerza de interacción entre las dos partículas materiales. Esta idea de transmisión de la fuerza mediante una partícula intermedia se debe a Hideki Yukawa, que en 1934 propuso la existencia de una partícula, el mesón π o pión, para describir la interacción entre los nucleones. Según esta hipótesis, cada nucleón está emitiendo y reabsorbiendo continuamente piones virtuales, los cuales lo rodean como un enjambre. Cuando están cerca, dos nucleones intercambian un pión. La transferencia de momento lineal produce un efecto de fuerza: F. ∆t = ∆p.
1.- Interacción gravitatoria
La interacción gravitatoria, hace que cualquier tipo de materia provista de energía interaccione entre sí. Para formas de materia ordinaria, tiene un carácter atractivo. La teoría de la
Relatividad General estudia el comportamiento de esta interacción a escala planetaria y supraplanetaria describiéndola como una curvatura del espacio-tiempo. En otras palabras, la interacción gravitatoria es una manifestación de la deformación que sufre el espacio-tiempo por la presencia de grandes masas.
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
399
Observa el dibujo: en él la superficie cuadriculada azul representa el espacio-tiempo (x, y, z,
t). Si no existen masas, se representaría por una superficie plana. La presencia de masas (en este
caso, el Sol y la Tierra) curvan el espacio-tiempo a su alrededor, deformando ese espacio.
Según la teoría del Modelo Estándar de la física
de partículas, la interacción gravitatoria, gravitación o
fuerza de la gravedad, es transmitida por el gravitón G,
partícula hipotética, aún no observada. Los gravitones se
mueven por el espacio a la velocidad de la luz y al mismo
tiempo determinan la forma de ese espacio.
La gravedad es muy débil, de modo que hacen
falta masas gigantescas para detectar esta partícula de
interacción. El gravitón transporta una energía muchísimo
más pequeña que otras partículas portadoras de fuerza y,
por ello, es muchísimo más difícil de detectarlo. Para poder observar uno haría falta producir un gravitón de mucha
energía — por ejemplo, en un acelerador de partículas
como el LHC en construcción. Así pues aún no ha sido
posible encontrar su presencia y es por ahora una partícula hipotética.
Más aún, no parece que el Modelo Estándar pueda explicar plenamente esta interacción.
Presenta limitaciones importantes. Haría falta una teoría que combinase la cuántica con la relatividad general para poder tener una teoría cuántica del campo gravitatorio, y eso es muy difícil. Pero
algunas de las teorías propuestas en esa línea utilizan los gravitones como cuantización del campo gravitatorio.
2.- Interacción electromagnética
En física moderna, el fotón es la partícula elemental responsable de las manifestaciones
cuánticas del fenómeno electromagnético. Es la partícula portadora de todas las formas de radiación electromagnética, incluyendo a los rayos gamma, los rayos X, la luz ultravioleta, la luz visible,
la luz infrarroja, las microondas, y las ondas de radio.
El fotón tiene masa cero, y viaja en el vacío con una velocidad constante c. Como todos los
cuantos, el fotón presenta tanto propiedades corpusculares como ondulatorias ("dualidad ondacorpúsculo"). Se comporta como una onda en fenómenos como la refracción, reflexión interferencias, ...
Sin embargo, se comporta como una partícula cuando interacciona con la materia para transferir una cantidad fija de
energía, que viene dada por la expresión:
E=
hc
= hν donλ
de h es la constante de Planck, c es la velocidad de la luz, λ es
la longitud de onda y ν la frecuencia.
De acuerdo con el Modelo Estándar de Física de Partículas, el fotón es el responsable de producir todos los campos
eléctricos y magnéticos. El fotón es el bosón de gauge correspondiente a la interacción electromagnética.
3.- Interacción nuclear fuerte:
Los nucleones (protón y neutrón) no son partículas elementales: están constituidos por tres
quarks.
La interacción fuerte se opera:
+ entre los quarks constitutivos de los nucleones (confinamiento de los quarks).
+ entre los protones y neutrones, “empaquetados” en el núcleo (interacción nuclear fuerte
residual).
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
400
Unas palabras previas acerca de las partículas elementales fundamentales en la constitución de la materia. Adelantamos el cuadro general de estas partículas:
Existen seis quarks diferentes, a los que se han dado nombres arbitrarios: up (arriba), down
(abajo), strange (extraño), charm (encanto), top (cima) y bottom (fondo), y por supuesto, sus
seis antipartículas (una por cada quark, antiup, antidown…).
Tres de ellos (up, charm y top) tienen carga +2/3e, y los otros tres (down, strange y bottom)
tienen carga -1/3e, donde e es la carga elemental, e = 1’6x10-19 culombios.
Todos los quarks tienen espín 1/2, es decir, son fermiones (de spin semientero). No pueden
existir libres; siempre están asociados, formando otras partículas. Tal es el caso de los protones y
de los neutrones:
Protón: consta de dos quarks up y de un quark dowm.
Carga del protón: (2/3 + 2/3 – 1/3)e = +e
Neutrón: consta de un quark up y dos quaks down.
Carga del neutrón: (2/3 –1/3 –1/3)e = 0
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
401
Los quarks se mantienen fuertemente unidos en el interior del protón o del neutrón debido a
la interacción fuerte quark-quark. La partícula portadora de esta interacción es el bosón de gauge
llamado gluón. El gluón es una partícula elemental, de masa nula y estable. Viene representada
en las figuras por las ligaduras entre quarks.
Por otra parte, ¿quién mantiene unidos a los protones y a los neutrones en el propio núcleo?
Debe ser una fuerza muy grande, mucho mayor que la electromagnética repulsiva entre los protones, por ejemplo, ya que sabemos que el núcleo es estable.
Existe una manifestación de la fuerza nuclear fuerte que explica que dentro del núcleo atómico los protones y neutrones se encuentren compactamente unidos. Es como un resultado colateral de la interacción entre quarks. Dada la carga positiva de los protones, para que éstos se encuentren estables en el núcleo debía existir una fuerza más fuerte que la electromagnética para
retenerlos. Ahora sabemos que la verdadera causa de que los protones y neutrones no se desestabilicen es la llamada interacción fuerte residual. Esta interacción entre nucleones (protones y
neutrones) se produce a través de parejas de quark-antiquark en forma de piones.
Los piones (que son tres, π+ π- π0) no son partículas elementales sino que constan de dos
quarks (up-antidown → π+ ,
down-antiup → πy
up-antiup o down-antidown → π0) . Se
mantienen unidos mediante gluones, como en el caso de los nucleones.
La mayoría de núcleos atómicos por debajo de una cierta masa atómica y que además
presentan un equilibrio entre el número de neutrones y el número de protones (número atómico)
son estables. Sin embargo, sabemos que los neutrones aislados y los núcleos con demasiados
neutrones (o demasiados protones) son inestables.
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
402
La explicación de esta estabilidad de los núcleos reside en los la presencia de los piones.
+ Aisladamente los neutrones pueden sufrir vía interacción débil la siguiente desintegración:
(1)
+ Sin embargo, dentro del núcleo atómico la cercanía entre neutrones y protones hace que sean
mucho más rápidas, vía interacción fuerte las reacciones:
(2)
Esto hace que continuamente neutrones del núcleo se transformen en protones, y algunos protones en neutrones (2). Esto hace que la reacción (1) apenas tenga tiempo de acontecer, lo que
explica que los neutrones de los núcleos atómicos sean mucho más estables que los neutrones
aislados. Si el número de protones y neutrones es desequilibrado, se abre la posibilidad de que en
cada momento haya más neutrones y sea más fácil la ocurrencia de la reacción (1): Desintegración β-.
4.- Interacción nuclear débil:
Los portadores de la interacción nuclear débil son los tres bosones W + , W - y Z 0
Estos bosones (spin entero, 1) son los responsables de las desintegraciones radiactivas.
La carga eléctrica del bosón W+ es +e y la del W− es –e. El bosón Z0 es neutro.
Ambos, W+ y W−, son respectivamente antipartículas uno del otro. El bosón Z0 es su propia
antipartícula.
Los tres tipos de bosones son muy masivos para ser partículas elementales: Los bosones
W± tienen una masa de 80’4 GeV/c2, y el bosón Z0 de 91’2 GeV/c2. Son más masivos que los núcleos de hierro.
Su vida media muy corta del orden de 10-25 segundos.
Cuando un leptón o un quark parece convertirse en uno más ligero (se desintegra o decae),
se dice que cambian de sabor. Todos los procesos de cambio de sabor se deben a la interacción
débil, y en todas ellas interviene uno de los tres tipos de bosones intermedios.
Uno de los procesos más importantes en los que intervienen los bosones W± es la
desintegración beta.
Hay dos desintegraciones beta: β- y β+. O desintegración beta negativa y desintegración beta
positiva:
En la desintegración beta negativa el núcleo radiactivo emite electrones e-, a los que generalmente llamamos “partículas beta” y antineutrinos electrónicos. La desintegración nuclear se
opera por conversión de un neutrón en protón, emitiéndose un electrón y un antineutrino electrónico:
n0 → p + + e − + νe
Ahora bien, el neutrón no es una partícula elemental, está formado por 1 quark up y
2 quarks down (además de gluones), y se convierte en protón porque uno de los quarks down
cambia su sabor a quark up:
d −1 / 3 → u +2 / 3 + e − + ν e
Pero el quark down no es el que emite el electrón y el neutrino. De hecho, el quark down
sólo se convierte en el quark up y en un bosón W– (para conservar la carga eléctrica del sistema).
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
403
d −1 / 3 → u +2 / 3 + W −
Es el bosón W– el que casi instantáneamente después decae en los dos leptones, e- y ν e .
W– →
Así pues:
n0 → p + + e − + νe
a través de dos pasos
e − + νe
es decir
d −1 / 3 → u +2 / 3 + e − + ν e
⎧ d −1 / 3 → u +2 / 3 + W −
⎨
−
e − + νe
⎩ W →
En el caso de la desintegración beta positiva se emiten positrones e+ y neutrinos electrónicos. El bosón de interacción implicado es el W+. Se trata de la conversión de un protón en neutrón + positrón + neutrino electrónico.
p + → n0 + e + + ν e
a través de dos pasos
es decir
u +2 / 3 → d −1 / 3 + e + + ν e
⎧ u +2 / 3 → d −1 / 3 + W +
⎨
+
e+ + νe
⎩ W →
Los esquemas siguientes, debidos a Feynman, ilustran con claridad ambas desintegraciones:
Siguiendo con el ejemplo anterior, vemos que el quark down se convierte en un quark up y
en un bosón W+. Esto viola claramente la ley de conservación de la masa-energía, ya que parece
imposible que haya tanta energía en el sistema como para que un ligerísimo quark genere de
pronto un bosón W que tiene más de 20000 veces su masa original. Pero el bosón W existe sólo
durante unos 10-25 segundos; debido al principio de indeterminación de Heisenberg, existe durante
un tiempo tan breve, que no se podrá nunca medir su cantidad de movimiento (función de la masa) y posición con total exactitud. Sólo hay que tener en cuenta que la masa-energía al final y al
principio son equivalentes, y que en medio hubo una asimetría de masa-energía tan breve que es
como si la realidad ni se diera cuenta de ella. Las partículas que hacen ése tipo de cosas se llaman partículas virtuales, y se dan también en las otras fuerzas fundamentales.
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
404
Tabla comparativa de las Interacciones fundamentales:
Interacción
Teoría descriptiva
Mediadores
Fuerza
relativa
Fuerte
Cromodinámica
cuántica (QCD)
gluones
1038
Electromagnética
Electrodinámica
cuántica (QED)
fotones
1036
Débil
Teoría electrodébil
bosones W y Z
1025
Gravitatoria
Relatividad general
gravitones
(hipotéticos)
1
Conducta con
la distancia (r)
Alcance
(m)
10-15
10-18
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
405
2.- FÍSICA del NÚCLEO: DEFINICIONES
• Un núcleo está formado por protones y neutrones ligados.
Queda representado por
A
Z
X
donde
X: es el símbolo del elemento.
Z: se denomina número atómico. Es igual al número de protones e igual
a la carga eléctrica del núcleo, en unidades elementales de carga.
A: se llama número másico. Es igual al número total de nucleones, es
decir, de protones más neutrones.
Por lo tanto, si nombramos por N el nº de neutrones, se tiene: N = A – Z.
• Núcleos con igual Z pero distinta A se denominan isótopos. Ejemplo:
82
36
Núcleos con igual A pero distinta Z se denominan isóbaros. Ejemplo:
82
36
Kr y
84
36
Kr
Kr y
82
34
Se
• Una unidad básica de masa es la unidad atómica de masa (u):
1 unidad atómica de masa es 1/12 de masa del núcleo
12
6
C:
−3
1u=
1
12 x10
kg = 1'660x10-27 kg
12 6'0225 x10 23
Teniendo en cuenta la ecuación de Einstein, la energía que corresponde a la masa de 1 u
es:
E = mc2 = 1’66x10-27(3x108)2 J =
1'49 x10 −10
=1’49x10-10J =
eV = 9’3147x108 eV = 931’47 MeV
1'6021x10 −19
La expresión E = mc2 establece una equivalencia entre masa y energía, representando
conceptos análogos. Por ello, en Física Moderna no es extraño expresar la masa de una partícula,
núcleo o partícula elemental en MeV. Para pasar a expresarla en kg, del S.I., basta realizar las
operaciones correspondientes.
Ejemplo: La masa del bosón W+ es de 80’401 GeV → 80’401 GeV = 80104 MeV
m =E/c2 =
80104 10 6 eV 1'6021x10 −19 J s 2
1 kg
= 1’426x10-25 kg
8 2
2
2
2
1 eV
(3x10 ) 1 MeV
m 1 J. s / m
⇒ la masa del bosón W+ es de 1’426x10-25 kg (= 85’9 u ∼ núceo del rubidio)
3.- ENERGÍAS DE ENLACE Y FUERZAS NUCLEARES
Los protones y neutrones permanecen ligados en el núcleo a causa de la existencia de las
fuerzas nucleares derivadas de la denominada interacción fuerte. Estas fuerzas hacen que la
energía potencial de los nucleones en el núcleo sea negativa (se encuentran en un pozo de potencial), lo que será posible si en la formación del núcleo se liberó cierta cantidad de energía a
partir de la que poseen los nucleones en estado libre. Eso significa que la masa del núcleo formado es inferior a la masa de los nucleones en estado libre.
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
406
Dicha variación de masa (defecto másico), expresada en energía, da la medida de la energía de enlace del núcleo producida por las fuerzas nucleares. Sin embargo, la estabilidad del núcleo no depende de la energía de enlace total sino de su promedio por nucleón, energía de enlace por nucleón, En. Su valor se obtiene así:
[
]
Z m p + ( A − Z) m n − m ncl c 2
∆m c 2
∆E
=
=
A
A
A
La energía de enlace por nucleón se interpreta como la contribución de cada nucleón a la
estabilidad nuclear: cuanto mayor es En más fuertemente unidos están los nucleones, y por tanto
32
S ) ≅ 8’23
más estable es el núcleo. Por ejemplo, En( 94 Be ) ≅ 6’23 MeV/nucl mientras que En( 16
En =
MeV/nucl, lo cual sugiere que los núcleos de 94 Be son menos estables que los de
32
16 S .
Si representamos gráficamente la energía de enlace por nucleón en función del nº másico A,
obtenemos la gráfica de la figura. La máxima estabilidad corresponde a valores de A del orden de
60, siendo En de casi unos 9 MeV/nucleón.
Esta gráfica nos permite explicar los procesos de fisión y de fusión nucleares:
+ Dos núcleos ligeros se unen dando lugar a otro más pesado y por tanto más estable: este
proceso de fusión nuclear tiene lugar liberando energía:
2
1
H +13 H → 42 He +10 n + energía
+ Un núcleo pesado puede romperse en dos más ligeros de forma que estas fracciones
sean más estables que el núcleo de partida; este proceso de fisión nuclear se realiza también
con desprendimiento de energía:
235
92
89
1
U +10 n →144
56 Ba + 36 Kr + 3 0 n + energía
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
407
Para la estabilidad nuclear, el nº de protones y de neutrones tiene que guardar una cierta relación.
Representando gráficamente los núcleos estables, encontramos que se distribuyen según
una banda, tal como muestra la figura.
Un núcleo fuera de esta banda es inestable, y por tanto se desintegra. Se observa que, al
aumentar el nº de protones Z en el núcleo, el de neutrones N aumenta más rápidamente.
4.- RADIACTIVIDAD NATURAL
Se entiende por radiactividad el fenómeno por el cual algunas sustancias son capaces de
emitir radiaciones que impresionan placas fotográficas, ionizan gases, producen fluorescencia,
atraviesan cuerpos opacos a la luz ordinaria, etc. A los elementos químicos que presentan estas
propiedades se los denomina radiactivos (por ejemplo, el uranio, el radio o el polonio).
Los esposos Curie demostraron que tales fenómenos están directamente vinculados con el
núcleo atómico: un núcleo inestable se desintegra, emitiendo determinados materiales radiactivos,
que estudiaremos. Tales procesos son independientes de las condiciones externas (presión, temperatura, etc.); son espontáneos y sus emisiones no controlables desde el exterior.
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
408
A.- PARTÍCULAS RADIACTIVAS:
Las partículas emitidas se denominan:
+ radiación alfa, α
+ radiación beta, β
+ radiación gamma, γ
iones de helio, doblemente positivos
electrones de gran velocidad
radiación electromagnética de muy alta frecuencia
Véanse en los siguientes dibujos el comportamiento de las partículas emitidas frente a campos eléctricos o magnéticos.
Y asimismo, las características de esas radiaciones:
su naturaleza, carga eléctrica, su velocidad de salida y
energía (aproximadamente), su poder de ionización y de
penetración relativos.
Naturaleza
α
β
γ
Núcleos de
helio
Electrones
Fotones
de energía
hν
He 2+
0
−1 e
Carga eléct.
(e)
+2e
-e
0
Velocidad (c)
0'05 c
0'9 c
c
Energía
(MeV)
7
1
0'2
Poder ionizante
104
102
100
Poder de
penetración
100
102
104
4
2
B.-MODOS DE DESINTEGRACIÓN:
Las formas básicas en que se desintegra un núcleo radiactivo son:
A
A −4
4
1.- Desintegración alfa:
Z X → Z − 2Y + 2 He
Este tipo de desintegración se produce en núcleos pesados, Z > 80
2.- Desintegración beta:
A
Z
X →
Y+
A
Z +1
0
−1
e + νe
ν e representa un antineutrino electrónico, partícula sin carga eléctrica y con masa despreciable (< 2x10-4 MeV).
En esta desintegración, debido a fuerzas de interacción débil, un neutrón del núcleo radiactivo se transforma en un protón, expulsando un electrón (β) según la reacción nu1
1
0
clear:
0 n → 1 p + −1 e + ν e
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
409
3.- Desintegración gamma: AZ X * → AZ X + γ
El núcleo que emite radiación gamma se encuentra en un estado excitado (con exceso
de energía). Mediante la emisión de radiación gamma se desexcita, volviendo a su estado fundamental. Por tanto, la emisión de radiación gamma no altera el nº atómico ni el
másico del núcleo que emite.
De acuerdo con lo anterior, vemos que se verifican las siguientes leyes (Leyes de Soddy):
+ Cuando un átomo emite una partícula α se transforma en otro situado dos lugares antes
en la tabla periódica (Z - 2), con cuatro nucleones menos (A – 4).
238
234
4
Ejemplo:
92 U →
90Th + 2 He
+ Cuando un átomo emite una partícula β se transforma en otro situado un lugar siguiente
en la tabla periódica (Z + 1), sin variar el número total de nucleones A; el núcleo “hijo” es
234
0
isóbaro. Ejemplo: 234
90 Th →
91 Pa + −1 e
+ La emisión γ no altera ni el nº atómico ni el másico del elemento que emite.
C.- SERIES RADIACTIVAS (Lectura: Física 2, Ed.Bruño)
En la actualidad se conocen unas mil ochocientas especies nucleares (núclidos), que corresponden a unos ciento diez elementos. De todos los núclidos, menos de cuatrocientos se encuentran en la naturaleza y, por tanto, unos mil cuatrocientos son artificiales, es decir, han sido
obtenidos por los científicos en los laboratorios. De los cuatrocientos núclidos naturales, unos setenta son radiactivos, pero la mayoría provienen de la desintegración de tres núclidos distintos:
238
235
torio-232 ( 232
90 Th ), uranio-238 ( 92 U ) y uranio-235 ( 92 U ).
Cada uno de estos tres núclidos, al desintegrarse, da lugar a un nuevo núclido radiactivo, y éste, a otro distinto, formando así lo que se llama una
serie o familia radiactiva que termina en un núclido
estable que, como se observa en la página 18, es un
núcleo de plomo. Los tiempos que se indican corresponden al periodo de semidesintegración deI núclido;
recuérdese que, cuanto mayor sea su periodo de
semidesintegración, mayor es su estabilidad.
Las tres familias radiactivas naturales se conocen con el nombre de su primer núcleo, excepto la
del uranio-235, que se conoce como la serie del actinio; por tanto, son las series del torio, del uranio y
del actinio. Al analizar estas series se observa que
los núclidos que las forman tienen un número másico
que sigue la relación:
+ Familia del torio:
A = 4n
(52 ≤ n ≤ 58)
+ Familia del uranio: A = 4n + 2 (51 ≤ n ≤ 59)
+ Familia del actinio: A = 4n + 3 (51 ≤ n ≤ 58)
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
410
En la naturaleza no se encuentran los elementos que podrían formar la familia radiactiva
con núclidos de número másico A = 4n + 1, pero esta serie se ha obtenido artificialmente: es la
serie del neptunio, cuyo primer núcleo es el plutonio-241 ( 241
94 Pu ) y termina con el bismuto-209.
El elemento con vida más larga de esta serie radiactiva artificial es el neptunio ( 237
93 Np ), que tiene
una vida media de 2’2 millones de años. Teniendo en cuenta que la edad de la Tierra es de unos
4’6x109 años, el tiempo transcurrido hace imposible que se puedan detectar elementos radiactivos naturales de la familia del neptunio.
D.- Ley de desintegración radiactiva.- Constantes radiactivas
Los átomos de un elemento radiactivo son inestables e irremediablemente terminan por
transmutarse en otros elementos. Ahora bien, no es posible predecir cuándo un determinado átomo se desintegrará; de ahí que estos fenómenos se deban estudiar bajo el punto de vista estadístico.
Experimentalmente se ha visto que el nº de núcleos que se desintegran por unidad de tiempo (velocidad de desintegración) es proporcional al nº de núcleos que contiene una muestra. Por
tanto, llamemos N al nº de núcleos radiactivos, sin desintegrar, que hay en la muestra en un instante t. Sea dN el nº de los que se desintegran en un tiempo elemental dt.
dN
= −λN
⇔
dN = −λN.dt
dt
(el signo menos expresa que, al irse desintegrando, el nº de núcleos que queda por desintegrar
disminuye en la muestra). La constante λ se denomina constante radiactiva, depende de la sustancia radiactiva en cuestión y se mide en s-1 .
Si en t = 0 es N0 el nº de núcleos de la muestra, por integración podemos calcular el nº N que hay
en el instante t:
N
t
dN
N
dN
= −λN
= −λ dt
ln
= −λ.t
dt
N0
N
0
N
∫
∫
0
⇒
N = N0 e − λt
Esta es la ecuación de desintegración radiactiva. Constata que el nº de núcleos radiactivos en una muestra desciende exponencialmente con el tiempo.
Se denomina actividad radiactiva A de la muestra a su velocidad de desintegración:
dN
A≡
= λN
dt
Es una magnitud medible experimentalmente mediante detectores de emisión: contadores Geiger,
por ejemplo. Se mide en becquerel (Bq):
1 Bq =1desintegración/segundo
Hay un múltiplo de esta unidad, más práctico, llamado curio (Ci). Corresponde aproximadamente a
226
la actividad radiactiva de 1 gramo de 88
Ra . La equivalencia es:
1 Ci = 3’7x1010 Bq
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
411
Como se ve, la actividad radiactiva es proporcional al nº de núcleos radiactivos, por lo que
haciendo A = λ.N y llamando A0 = λ.N0 actividad inicial de la muestra, también se verificará:
A = A0 e − λ.t
Se llama periodo de semidesintegración, T 1 / 2 al tiempo transcurrido para que una muestra radiactiva se reduzca a la mitad. O sea, en ese periodo se desintegra la mitad de los núcleos
radiactivos que había al principio. Se calcula haciendo N = N0/2 en la ecuación de desintegración:
N0
1
− λ .T
− λ .T
= N0 e 1 2 →
= e 1 2 → λ.T1 2 = ln 2 →
2
2
⇒
T1 2 =
ln 2 0'693
= 0’693 τ
=
λ
λ
La constante τ = 1/λ se denomina vida media, se expresa lógicamente en segundos, y representa el tiempo promedio necesario para que se produzca una desintegración.
El periodo de semidesintegración T1 2 y la vida media son característicos de cada sustancia
radiactiva. Así, para el radio-226 la vida media es de unos 1620 años, para el protactinio-231 es
unos 32000 años, para el radón-222 es 3’82 días, ...
La gráfica adjunta muestra la desintegración, por ejemplo del radio-226: en ordenadas se
representan cantidades de radio N(t) y en abscisas
la variable tiempo. En dicho eje se han señalado
sucesivos periodos de semidesintegración, T1 2 .
Obsérvese en ella la función exponencial que representa la desintegración radiactiva.
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
412
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
413
5.- RADIACTIVIDAD ARTIFICIAL
A.- FISIÓN NUCLEAR
El neutrón, debido a su nula carga eléctrica, es una de las partículas más apropiadas para
ser empleada como proyectil en reacciones nucleares pues, al no tener que vencer ninguna «barrera de potencial», llega fácilmente al núcleo atómico.
En 1939 Otto Hann y colaboradores observaron que un núcleo de uranio, bombardeado con
neutrones lentos, se hacía inestable y se desdoblaba en dos núcleos ligeros de números másicos
comprendidos entre 72 y 162 y con números atómicos que oscilaban entre 30 y 63. Se producía, a
la vez, una enorme liberación de energía y desprendimiento de nuevos neutrones capaces de continuar el proceso, al que se denominó fisión nuclear.
Se comprobó, asimismo, que entre los posibles isótopos de uranio era el U-235 el más sus235
ceptible de fisión. Un núcleo de 92
U , bombardeado con neutrones lentos era capaz de absorber
236
un neutrón 10 n , generando un núcleo muy inestable de 92
U que inmediatamente se divide en dos
fragmentos, liberándose una gran cantidad de energía y nuevos neutrones.
Un simple balance de masa-energía nos permite efectuar el cálculo de la energía liberada
por núcleo.
Sea un átomo de uranio-235 que en su fisión genera un núcleo de bario-141 y otro de kriptón-92, con emisión de 3 neutrones:
235
92
U + 10 n →
236
92
U →
Masa de los núcleos iniciales:
141
56
Ba +
92
36
235
92 U
1
0n
Kr + 3 10 n
235’0439 u
1’0086 u
236’0515 u
Masa de los núcleos finales:
141
56
Ba
140’9144 u
92
36
Kr
91’9262 u
1
0n
3’0258 u
3
235’8664 u
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
414
Se observa una pérdida o defecto de masa igual a 0’1851 u que, expresado en términos de energía, equivale a:
E = 0’1851 u x 931’47 MeV/u = 172’ 42 MeV
• REACTORES NUCLEARES
Una vez establecida y comprobada la realidad de la fisión nuclear y las posibilidades energéticas que ofrece, se pensó en la aplicación técnica de las reacciones de fisión como fuentes de
energía.
Hasta 1939 la posibilidad de aprovechamiento de la energía liberada en las reacciones de fisión era muy teórica. A partir de esta fecha se encontró la posibilidad práctica de aprovechamiento
de la energía nuclear, puesto que:
+ Por un lado se disponía de neutrones capaces de iniciar una reacción de fisión, en la cual
se desprenden nuevos neutrones que permiten continuarla (reacción en cadena). Esta reacción
debía ser explosiva y era necesario controlarla.
+ Por otro lado, se encontraron sustancias capaces por un lado de frenar los neutrones emitidos, pues los protones hábiles para la reacción han de ser lentos (moderadores, como el agua
natural o pesada, el berilio o el grafito); y por otro, sustancias capaces de capturar neutrones, para
regular la reacción, evitando su desarrollo en cadena (sustancias de control, como el boro o el
cadmio). Estas sustancias permiten un control efectivo de la reacción.
El primer reactor nuclear se construyó en Chicago (2 de diciembre de 1942) bajo la dirección de E. Fermi. Consistió en un bloque de grafito en el que se dispuso el uranio en forma de
barras y donde se intercalaba el moderador.
Las centrales nucleares disponen en su mayoría de reactores con una potencia aproximada
de 1 GW.
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
415
El núcleo del reactor está formado por una serie de varillas de combustible nuclear, compuestas por unos pequeños cilindros de UO2, ligeramente enriquecido con uranio-235. El núcleo
del reactor está encerrado en un recipiente blindado de acero. Y éste, a su vez, está colocado en
el interior de un bunker de hormigón, para evitar la salida de radiaciones. Por último, un edificio de
hormigón armado cubre todo el dispositivo del reactor para impedir fugas radiactivas, en caso de
accidente.
El uranio natural, extraído especialmente de la pechblenda, contiene solamente un 0’7% de uranio-235. El 99’3% restante es uranio238, estable. La fabricación de bombas atómicas exige concentrar el
uranio-235 hasta el 99%, lo cual requiere instalaciones muy sofisticadas
y costosas. El uranio que se usa en los reactores nucleares es uranio
enriquecido que contiene del 3 al 5 % de uranio-235. Por eso en un reactor no pueden producirse explosiones similares a una bomba atómica.
La reacción en cadena se regula mediante barras de control, fabricadas con materiales que absorben neutrones. Se utilizan boro y
cadmio, que capturan neutrones con facilidad y regulan, por tanto, el
número de neutrones que pueden producir la fisión y la reacción en cadena. Las barras de control se insertan entre las varillas que contienen
el material fisionable. Cuando se insertan por completo detienen la reacción en cadena y «paran» el reactor.
Como se ha indicado, la reacción de fisión del uranio-235 se produce con neutrones «lentos». Sin embargo, los producidos en la fisión
son neutrones «rápidos» (tienen más energía de la necesaria y no son
atrapados por el núcleo). Por ello, es necesario utilizar un moderador
que disminuya su velocidad.
Se han construido diferentes tipos de reactores (caracterizados
por el combustible, moderador y refrigerante empleados) para la producción de energía eléctrica.
Por ejemplo, en Estados Unidos, con pocas excepciones, los
reactores para la producción de energía emplean como combustible
nuclear óxido de uranio UO2 isotópicamente enriquecido, con un 3% de
U-235. Como moderador y refrigerante se emplea agua normal muy
purificada. Un reactor de este tipo se denomina reactor de agua ligera
(RAL).
En el reactor de agua a presión (RAP), una versión del sistema RAL, el refrigerante es
agua a una presión de unas 150 atmósferas. El agua se bombea a través del núcleo del reactor,
donde se calienta hasta unos 325 °C.
El agua sobrecalentada se bombea a su vez hasta un generador de vapor, donde a través
de intercambiadores de calor calienta un circuito secundario de agua, que se convierte en vapor.
Este vapor propulsa uno o más generadores de turbinas que producen energía eléctrica,
se condensa, y es bombeado de nuevo al generador de vapor. El circuito secundario está aislado
del agua del núcleo del reactor, por lo que no es radiactivo.
Para condensar el vapor se emplea un tercer circuito de agua, procedente de un lago, un
río o una torre de refrigeración.
La vasija presurizada de un reactor típico tiene unos 15 m de altura y 5 m de diámetro, con
paredes de 25 cm de espesor. El núcleo alberga unas 80 toneladas de óxido de uranio, contenidas en tubos delgados resistentes a la corrosión y agrupados en un haz de combustible.
El material fisionable empleado en los reactores nucleares contiene porcentajes muy pequeños de uranio-235. Es rico en uranio-238, y este isótopo del uranio es capaz de capturar neutrones rápidos y, mediante las siguientes reacciones, convertirse en plutonio-239, que es fisionable
como el uranio-235:
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
238
92
U + 10 n →
239
92
U
239
92
U →
416
239
93
Np +
0
−1
e
239
93
Np
→
239
94
Pu +
0
−1
e
Esta propiedad del uranio-238 ha hecho posible la construcción de reactores reproductores o regeneradores, diseñados para producir más plutonio-239 que el uranio-235 que consumen.
Como las reservas de uranio-235 no son muy grandes, estos reactores reproductores permitirían garantizar la existencia de materiales fisionables durante muchos siglos. La contrapartida
es que el plutonio-239 también puede utilizarse en la fabricación de armas nucleares y su producción en las centrales nucleares es más difícil de controlar.
La aplicación actual de la energía nuclear obtenida en reacciones de fisión controladas tiene
una importancia enorme. La obtención de energía eléctrica en las centrales nucleares, la propulsión de barcos, submarinos y portaviones, etc., son una prueba de ello.
.Ampliación – Lectura
Seguridades
El nivel de potencia de un reactor en funcionamiento se mide constantemente con una serie de instrumentos térmicos, nucleares y de flujo. La producción de energía se controla insertando o retirando del núcleo
un grupo de barras de control que absorben neutrones. La posición de estas barras determina el nivel de potencia en el que la reacción en cadena se limita a automantenerse.
Durante el funcionamiento, e incluso después de su desconexión, un reactor grande de 1 GW contiene una radiactividad de miles de millones de curios. La radiación emitida por el reactor durante su funcionamiento y por los productos de la fisión después de la desconexión se absorbe mediante blindajes de hormigón
de gran espesor situados alrededor del reactor y del sistema primario de refrigeración. Otros sistemas de
seguridad son los sistemas de emergencia para refrigeración de este último, que impiden el sobrecalentamiento del núcleo en caso de que no funcionen los sistemas de refrigeración principales. En la mayoría de los
países también existe un gran edificio de contención de acero y hormigón para impedir la salida al exterior de
elementos radiactivos que pudieran escapar en caso de una fuga.
Reactores nucleares
Aunque al principio de la década de 1980 había 100 centrales nucleares en funcionamiento o en
construcción en Estados Unidos, tras el accidente de Three Mile Island, la preocupación por la seguridad y los
factores económicos se combinaron para bloquear el crecimiento de la energía nuclear. Desde 1979, no se
han encargado nuevas centrales nucleares en Estados Unidos y no se ha permitido el funcionamiento de
algunas centrales ya terminadas. En 1990, alrededor del 20% de la energía eléctrica generada en Estados
Unidos procedía de centrales nucleares, mientras que este porcentaje es casi del 75% en Francia.
En el periodo inicial del desarrollo de la energía nuclear, en los primeros años de la década de 1950,
sólo disponían de uranio enriquecido Estados Unidos y la Unión de Repúblicas Socialistas Soviéticas (URSS).
Por ello, los programas de energía nuclear de Canadá, Francia y Gran Bretaña se centraron en reactores de
uranio natural, donde no puede emplearse como moderador agua normal porque absorbe demasiados neutrones. Esta limitación llevó a los ingenieros canadienses a desarrollar un reactor enfriado y moderado por
óxido de deuterio (D2O), también llamado agua pesada.
El sistema de reactores canadienses de deuterio-uranio (CANDU), empleado en 20 reactores, ha
funcionado satisfactoriamente, y se han construido centrales similares en la India, Argentina y otros países.
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
417
En Gran Bretaña y Francia, los primeros reactores de generación de energía a gran escala utilizaban
como combustible barras de metal de uranio natural, moderadas por grafito y refrigeradas por dióxido de carbono (CO2) gaseoso a presión. En Gran Bretaña, este diseño inicial fue sustituido por un sistema que emplea
como combustible uranio enriquecido. Más tarde se introdujo un diseño mejorado de reactor, el llamado reactor avanzado refrigerado por gas (RAG). En la actualidad, la energía nuclear representa casi una cuarta parte
de la generación de electricidad en el Reino Unido.
En Francia, el tipo inicial de reactor se reemplazó por el RAP de diseño estadounidense cuando las
plantas francesas de enriquecimiento isotópico empezaron a proporcionar uranio enriquecido. Rusia y los
otros Estados de la antigua URSS tienen un amplio programa nuclear, con sistemas moderados por grafito y
RAP. A principios de la década de 1990, estaban en construcción en todo el mundo más de 120 nuevas centrales nucleares.
En España, la tecnología adoptada en los reactores de las centrales nucleares es del tipo de agua
ligera; sólo la central de Vandellòs tiene reactor de grafito refrigerado con CO2.
Reactores autorregenerativos
Existen yacimientos de uranio, la materia prima en la que se basa la energía nuclear, en diversas
regiones del mundo. No se conoce con exactitud sus reservas totales, pero podrían ser limitadas a no ser que
se empleen fuentes de muy baja concentración, como granitos y esquistos. Un sistema ordinario de energía
nuclear tiene un periodo de vida relativamente breve debido a su muy baja eficiencia en el uso del uranio: sólo
aprovecha aproximadamente el 1% del contenido energético del uranio.
La característica fundamental de un “reactor autorregenerativo” es que produce más combustible del
que consume. Lo consigue fomentando la absorción de los neutrones sobrantes por un llamado material fértil.
Existen varios sistemas de reactor autorregenerativo técnicamente factibles. El que más interés ha suscitado
en todo el mundo emplea uranio 238 como material fértil. Cuando el uranio 238 absorbe neutrones en el reactor, se convierte en un nuevo material fisionable, el plutonio, a través de un proceso nuclear conocido como
desintegración beta. La secuencia de las reacciones nucleares se indica en la siguiente ecuación:
0
238
1
239
239
239
239
239
→ 94
Pu + 0−1 e
−1 e
92 U + 0 n →
92 U
92 U →
93 Np +
93 Np
En la desintegración beta, un neutrón del núcleo se desintegra para dar lugar a un protón y una partícula beta (β- ≈ -10e)
Cuando el plutonio 239 absorbe un neutrón, puede producirse su fisión, y se libera un promedio de
unos 2’8 neutrones. En un reactor en funcionamiento, uno de esos neutrones se necesita para producir la
siguiente fisión y mantener en marcha la reacción en cadena. Una media o promedio de 0,5 neutrones se
pierden por absorción en la estructura del reactor o el refrigerante. Los restantes 1,3 neutrones pueden ser
absorbidos por el uranio 238 para producir más plutonio a través de las reacciones indicadas en la ecuación
anterior.
El sistema autorregenerativo a cuyo desarrollo se ha dedicado más esfuerzo es el llamado reactor
autorregenerativo rápido de metal líquido (RARML). Para maximizar la producción de plutonio 239, la velocidad de los neutrones que causan la fisión debe mantenerse alta, con una energía igual o muy poco menor
que la que tenían al ser liberados. El reactor no puede contener ningún material moderador, como el agua,
que pueda frenar los neutrones. El líquido refrigerante preferido es un metal fundido como el sodio líquido. El
sodio tiene muy buenas propiedades de transferencia de calor, funde a unos 100 °C y no hierve hasta unos
900 °C. Sus principales desventajas son su reactividad química con el aire y el agua y el elevado nivel de
radiactividad que se induce en el sodio dentro del reactor.
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
418
En Estados Unidos, el desarrollo del sistema RARML comenzó antes de 1950, con la construcción del
primer reactor autorregenerativo experimental, el llamado EBR-1. Un programa estadounidense más amplio
en el río Clinch fue cancelado en 1983, y sólo se ha continuado el trabajo experimental. En Gran Bretaña,
Francia, Rusia y otros Estados de la antigua URSS funcionan reactores autorregenerativos, y en Alemania y
Japón prosiguen los trabajos experimentales.
En uno de los diseños para una central RARML de gran tamaño, el núcleo del reactor está formado
por miles de tubos delgados de acero inoxidable que contienen un combustible compuesto por una mezcla de
óxido de plutonio y uranio: un 15 o un 20% de plutonio 239 y el resto uranio. El núcleo está rodeado por una
zona llamada capa fértil, que contiene barras similares llenas exclusivamente de óxido de uranio. Todo el
conjunto de núcleo y capa fértil mide unos 3 m de alto por unos 5 m de diámetro, y está montado en una gran
vasija que contiene sodio líquido que sale del reactor a unos 500 °C. Esta vasija también contiene las bombas
y los intercambiadores de calor que ayudan a eliminar calor del núcleo. El vapor se genera en un circuito secundario de sodio, separado del circuito de refrigeración del reactor (radiactivo) por los intercambiadores de
calor intermedios de la vasija del reactor. Todo el sistema del reactor nuclear está situado dentro de un gran
edificio de contención de acero y hormigón.
La primera central a gran escala de este tipo empleada para la generación de electricidad, la llamada
Super-Phénix, comenzó a funcionar en Francia en 1984. En las costas del mar Caspio se ha construido una
central de escala media, la BN-600, para producción de energía y desalinización de agua. En Escocia existe
un prototipo de gran tamaño con 250 megavatios.
El RARML produce aproximadamente un 20% más de combustible del que consume. En un reactor
grande, a lo largo de 20 años se produce suficiente combustible para cargar otro reactor de energía similar.
En el sistema RARML se aprovecha aproximadamente el 75% de la energía contenida en el uranio natural,
frente al 1% del RAL.
• BOMBA ATÓMICA (A)
Es un dispositivo diseñado para producir una reacción de fisión en cadena, que se genera y
refuerza a velocidad explosiva.
El fundamento es el mismo que el del reactor nuclear, con la diferencia de que, en este caso, no se controla la reacción, haciéndose ésta explosiva.
Consta de dos trozos de uranio o plutonio cada uno de masa inferior a la crítica (mínima cantidad de material fisionable necesaria para que se inicie una reacción en cadena), que se mantienen separados y protegidos por materiales captadores de neutrones. De esta forma se evita la posible explosión durante el
transporte del artefacto.
Mediante la acción de un explosivo clásico (bomba de dinamita), que actúa de «espoleta», se empujan los trozos de uranio
uno contra otro, juntándolos. De este modo se consigue el «tamaño crítico», se inicia la reacción y ésta prosigue incontrolada.
La historia de las investigaciones relativas a las explosiones nucleares y utilización no pacífica de la energía nuclear, así como sus efectos demoledores y las consecuencias que se derivan
son conocidos de todos.
Es de esperar que la humanidad, consciente de las fuerzas que la naturaleza puso en su
mano, sepa aprovecharlas para su bien y progreso.
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
419
B.- FUSIÓN NUCLEAR
Otra posibilidad de obtener energía nuclear es mediante la unión de núcleos ligeros, de baja
energía de enlace, produciendo un núcleo más pesado, de mayor energía de ligadura por nucleón.
Por ejemplo, en la unión de dos núcleos de deuterio para dar uno de helio, resulta:
2
1
H +
2
1
H → 32He + 10 n + 3'29 MeV
Para iniciar el proceso de fusión hay que comunicar a los núcleos en interacción una energía
cinética muy elevada, necesaria para vencer la fuerte repulsión electrostática entre ellos, que
permita actuar a las fuerzas nucleares de corto alcance y se logre la fusión.
La energía cinética requerida para iniciar la reacción se logra mediante temperaturas muy
elevadas, del orden de 108 K, y conseguir, durante un tiempo de unos segundos, una densidad del
orden de 1020 partículas /m3. En estas condiciones, los átomos están prácticamente ionizados y la
materia consiste en una mezcla de núcleos positivos y electrones, que se denomina plasma.
Iniciada la reacción, la energía liberada en cada fusión sirve de energía de activación para
los núcleos restantes, y así se puede lograr una reacción automantenida, necesaria para generar
energía.
La energía de fusión presentará indudables ventajas: la materia prima es abundante y barata (en el agua del mar hay suficiente deuterio 12 H para abastecer a la humanidad durante miles de
millones de años y el tritio 13 H se obtiene al bombardear litio con neutrones), los reactores de fusión presentarán menos problemas con los residuos radiactivos que los de fisión y serán más seguros.
Sin embargo, las dificultades científicas y tecnológicas que hay que resolver son enormes.
Su uso a corto plazo parece imposible; nadie se atreve a aventurar cuándo se obtendrá energía a
gran escala por fusión nuclear controlada.
Los físicos nucleares R. Taleyarkhan y F. Becchetti comunicaron en la revista Science (8 de
marzo de 2002) la consecución de una forma controlada de fusión fría. La tecnología que utilizan
ha sido acogida con escepticismo en el mundo científico debido al fracaso que supuso un anuncio
similar realizado anteriormente por otros científicos.
La mayor dificultad del proceso es obtener y mantener el plasma, ya que los materiales convencionales no resisten estas elevadas temperaturas.
En 1952 se consiguió realizar la primera explosión de una bomba de hidrógeno (bomba-H),
que opera mediante un proceso de fusión nuclear, pero la fusión controlada es un problema que
aún no se ha resuelto a escala industrial como fuente de energía.
Paradójicamente, la fusión nuclear, no dominada aún por el hombre, se realiza continuamente en el Sol y en las estrellas, donde existe la temperatura requerida para realizar las reacciones de fusión. En el Sol predomina el ciclo protón-protón, que en su conjunto es:
4 11 H →
4
2
He + 2 positrones + 24’7 MeV
Esta reacción y otras similares tuvieron lugar en el origen del Universo para proporcionar la
materia en su estado inicial.
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
420
• BOMBA DE HIDRÓGENO (H)
La bomba H, o de hidrógeno, es la aplicación bélica de una reacción de fusión. Consiste en
un dispositivo constituido por una masa de deuterio ( 12 H ) y otra de tritio ( 13 H), y provisto de un
detonador conveniente capaz de acelerar los núcleos y desencadenar la siguiente reacción:
2
1H
+
3
1
H →
4
2
He +
1
0
n + 17’6 MeV
Para iniciar esta reacción se necesita una temperatura del orden de los 600000 °C actuando
durante una millonésima de segundo. Esto se consigue utilizando como detonador ¡una bomba
atómica de fisión!
FISIÓN
235
92
U + 01 n →
144
56
Ba +
89
36
Kr + 3 01 n
+
200 MeV
FUSIÓN
2
1
H + 21 H → 23 He + 01 n
+
3'2 MeV
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
421
6.- ENERGÍA NUCLEAR: VENTAJAS E INCONVENIENTES
Las fuentes de energía actualmente, en el mundo (CIEPAC, octubre del 2002) son:
+ 38% proviene del petróleo
+ 22% es del gas natural equivalente a 46 millones de barriles
+ 26% proviene del carbón
+ 7% proviene de la energía nuclear
+ 7% proviene de la energía hidráulica, solar, eólica, entre otras.
Vemos que los combustibles fósiles (carbón, petróleo y gas natural), como fuente de energía, cuentan hoy en día con una mayor implantación en la sociedad que el resto de las fuentes,
debido a la sencillez de la tecnología necesaria para su aprovechamiento. La forma de conseguirlo
es mediante la combustión de sus hidrocarburos, una reacción química exotérmica (desprende
calor) en la que un elemento combustible se combina con otro comburente (generalmente oxígeno), desprendiendo calor, luz, y produciendo dióxido de carbono CO2 y monóxido de carbono CO,
causantes del efecto invernadero.
El inconveniente de esta fuente es que es un recurso limitado. Se estima que al ritmo de
consumo del año 2002, las reservas mundiales durarían aproximadamente 42 años, ante la escasez de yacimientos petrolíferos rentables, siendo así que la previsión es que su consumo aumente
en un 50%.
Las centrales nucleares emplean la fisión nuclear para producir electricidad.
En total, existen 438 reactores nucleares comerciales, que proporcionan el 30% de la energía eléctrica mundial (OIEA, diciembre 2006).
El país con mayor implantación de esta tecnología es Estados Unidos, con 103 reactores, lo
que supone el 19’3% de su generación eléctrica, mientras que Francia, con 59 reactores, es el
que cuenta con un mayor porcentaje, un 78’5%. China, que actualmente posee 10 unidades, construirá 32 en los próximos años 15 años, convirtiéndose así en un gran consumidor del escaso
combustible nuclear, disponible, según estimaciones, para unos 150 años.
La prisa por utilizar esta fuente de energía es porque es la de mayor rendimiento energético
frente a otras fuentes. Por ejemplo, 1 Kg de uranio natural produce 164 Mw.hora, mientras que
1 Kg de fueloil proporciona 4 Mw.hora y 1 Kg de carbón sólo 3 Mw.hora, con gran cantidad de
contaminación de CO2.
En la actualidad existen 30 centrales en construcción y 247 están ya planificados o propuestos, encabezando la lista China, que planea construir 63 reactores nucleares, seguida de Rusia
con 42 reactores, Estados Unidos con 32, Sudáfrica con 25 y la India con 23. En menor cantidad,
Japón construirá 12 reactores, Corea del Sur 7 y el criticado Irán construirá 5 nuevos reactores.
En Europa, se planean construir 11 nuevos reactores.
Sin embargo, poco se sabe del número de reactores con fines militares o misiles con cabezas nucleares existentes. Sólo salen a la luz los accidentes que provocan, como por ejemplo,
los cinco submarinos soviéticos que descansan sobre el lecho marino.
El peligro de este tipo de reactores radica en el tipo de reacción que se produce en su interior, con una gran cantidad de energía liberada, así como el material residual que genera (cenizas
radiactivas).
Entre los elementos que contiene se cuenta el plutonio-239 cuya vida media es de casi
25000 años, es decir, durante estos años seguirá siendo radiactivo.
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
422
Los diferentes residuos se clasifican en:
+ residuos de baja actividad (periodo de semidesintegración es inferior a 30 años)
+ residuos de media actividad (periodo de semidesintegración sea inferior a 30 años pero
de mayor actividad que los anteriores)
+ residuos de alta actividad (periodo de semidesintegración supere los 30 años y elevada
actividad)
La vida media de un central está en 40 años, siendo su desmantelamiento también complejo, al haber sido contaminado radiactivamente todo aquel material que ha estado en contacto
con los materiales radiactivos, debiendo ser almacenados en los denominados cementerios nucleares para siempre o hasta que una futura tecnología pueda eliminarlos. Algunos materiales
pueden ser tratados para reducir su actividad mediante el bombardeo de neutrones o utilizarse
como combustible en otros procesos o en otras instalaciones, ya que el combustible es desechado
cuando su actividad se ha reducido en un 7%.
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
423
7.- MODELO ESTÁNDAR DE LAS PARTÍCULAS ELEMENTALES
Hasta 1932 podía explicarse la constitución de la materia sólo con cuatro partículas elementales: el electrón, el protón, el neutrón y el fotón. Sin embargo, pronto se comprobó que el número de partículas elementales era mucho mayor.
En muchos casos las teorías cuánticas se adelantan a predecir partículas “deducidas” que
luego la experimentación encuentra en los laboratorios o centros de investigación de altas energías. Otras aparecen experimentalmente y son confirmadas por una teoría coherente. En otros casos estas teorías piden reajustes al verse incompletas, o piden la formulación de modelos más
generales y más amplios, aún en vías de desarrollo.
A partir de 1940 se descubrieron cientos de partículas elementales y además las correspondientes antipartículas, idénticas en masa y vida media, pero con carga opuesta. Esta proliferación
de partículas hizo que los físicos desarrollasen unos criterios para clasificarlas y llegar a comprender tanto la estructura interna de la materia como la naturaleza de las interacciones que existen
entre ellas.
Todos estos descubrimientos llevaron, en los años 70, a la formulación de una teoría: el Modelo Estándar de la Física de Partículas (MEFP),que establece qué partículas y fuerzas existen en
la naturaleza y cuáles son sus propiedades.
El MEFP incorpora lo que se supone es el conjunto total de partículas que forman nuestro
universo y todos sus datos numéricos, a partir de los que utilizando la teoría cuántica de campos
se puedan calcular. Los valores numéricos del MEFP, como son la masa de las partículas y sus
cargas, son datos que se han obtenido experimentalmente. En total, se han tenido que medir unas
20 cantidades para que la descripción del MEFP sea completa.
Actualmente hay dos criterios básicos para la clasificación de partículas subatómicas: según
el valor de su spin y según su estructura. El spin (o espín) es una característica interna de las
partículas, (como su masa, su carga eléctrica, ...)
+ Clasificación según el valor de su spin
Según el valor de su spin las partículas subatómicas se clasifican en:
a) Bosones, que son partículas con spin entero (s = 0, 1, 2, ...). Estas partículas no
están sometidas al principio de exclusión de Pauli. Esto quiere decir que pueden existir
muchos bosones que se encuentren en el mismo estado cuántico. Son bosones: el fotón
(γ), cuyo spin es cero, los bosones W+ ,W- y Z0, con spin 1.
b) Fermiones, que son partículas con spin semientero (s = 1/2, 3/2, ...).Cumplen el
principio de exclusión de Pauli, por lo que no pueden existir dos fermiones en el mismo estado cuántico. El electrón, el protón y el neutrón son ejemplos típicos de fermiones.
+ Clasificación según su estructura interna
Atendiendo a la estructura interna las partículas subatómicas se clasifican en:
A.- PARTÍCULAS DE MATERIA
a) Partículas elementales. Son auténticamente partículas elementales en el sentido de carecer de estructura interna. Son fermiones. Se clasifican en leptones y quarks.
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
424
Leptones:
Hay seis leptones:
el muón (µ-),
el electrón (e-),
el neutrino electrónico (νe), el neutrino muónico (νµ)
el tauón (τ-),
el neutrino tauónico(ττ).
Cada partícula leptónica tiene su correspondiente antipartícula, cuyas cargas eléctricas son opuestas a las de las parículas:
el positrón (e+), el antimuón ( µ + ), el antitauón ( τ + ),
y los tres antineutrinos: el eléctrónico ( ν e ), el muónico ( ν µ ) y el tauónico ( ν τ ).
Los leptones no toman parte en la interacción fuerte, pero interaccionan gravitatoriamente, electromagnéticamente y débilmente.
De ellos sólo el electrón y los tres neutrinos son estables, mientras que el muón y el
tauón son partículas inestables, cuyas vidas medias son muy pequeñas (la del muón es de
2x10-6s y la del tauón 3x10-13s), y que se desintegran en electrones y neutrinos.
CARACTERÍSTICAS DE LOS LEPTONES
NOMBRE
SÍMBOLO MASA CARGA SPIN ANTIPARTÍCULA
Electrón
e-
0'51
-1
1/2
e+
Muón
µ-
105’7
-1
1/2
µ+
Tauón
τ-
1771
-1
1/2
τ+
Neutrino electrónico
νe
∼0
0
1/2
Neutrino muónico
νµ
∼0
0
1/2
Neutrino tauónico
ντ
∼0
0
1/2
En la tabla anterior los valores de masa vienen dados como masa-energía, en MeV, y se
refieren a la masa en reposo. Para pasar al S.I., se ha de tener en cuenta la fórmula de
J
1'60x10 −13
Einstein E = m c2. Así, m = 1 MeV/c2 =
= 1’78x10-30 kg
8 2
2
(3x10 ) (m / s)
Los valores de la carga eléctrica se expresan en múltiplos de la carga elemental e
(e = 1'60x10-19 C) y los del spin en unidades h/2π (= 1'06x10-34 J.s).
La comprobación de la existencia de los tres tipos de neutrinos culminó en el año
2000 cuando un equipo de científicos del Fermilab, uno de los laboratorios de partículas
más importantes del mundo, comprobó la existencia del neutrino tauónico. Hasta la década
de 1960 sólo se habían identificado los otros dos tipos de neutrinos. El Modelo Estándar
para clasificar las partículas elementales requería la existencia de un tercer tipo de neutrino, el neutrino tauónico, como se demostró teóricamente en 1989. Actualmente se trabaja
en la determinación de la masa de los neutrinos, así como en la mejora de su detección, ya
que en su estudio puede estar una de las claves del conocimiento de la actividad estelar.
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
425
Quaks:
Existen seis quarks diferentes, a los que se han dado nombres arbitrarios: up (arriba),
down (abajo), strange (extraño), charm (encanto), top (cima) y bottom (fondo), y por
supuesto, sus seis antipartículas (una por cada quark, antiup, antidown…). Cada tipo de
quark se denomina sabor. Hay pues seis "sabores" de quarks, cuyos nombres se han señalado.
Tres de ellos (up, charm y top) tienen carga eléctrica +2/3e, y los otros tres (down, strange y bottom) tienen carga -1/3e, donde e es la carga elemental.
Todos los quarks tienen espín 1/2, es decir, son fermiones (de spin semientero).
Cuadro de los quarks, con sus características más importantes:
NOMBRE
SÍMBOLO
MASA
CARGA SPIN ANTIPARTÍCULA
Up (arriba)
u
5
+ 2/3
1/2
Down (abajo)
d
10
- 1/3
1/2
Charm (encanto)
c
1600
+ 2/3
1/2
Strange (extraño)
s
180
- 1/3
1/2
Top (cima)
t
180000
+ 2/3
1/2
Bottom (fondo)
b
4500
- 1/3
1/2
Los quarks están fuertemente ligados entre sí y confinados dentro de los hadrones
(es el caso de los protones y neutrones). No se han logrado aislar, aunque sí se han detectado indicios de su existencia mediante aceleradores de partículas de muy alta energía.
Los quarks tienen además otras propiedades interesantes, como la de poseer carga de color. Puesto que los quaks son fermiones, han de cumplir el principio de exclusión
de Pauli: no pueden coexistir en un hadrón, por ejemplo en un protón, dos quaks iguales. Y
sin embargo un protón consta de la combinación [Up Up Down]. Para que ambos quarks
Up idénticos puedan estar confinados en el protón es preciso que difieran en alguna propiedad: difieren en su color: es como un nuevo tipo de propiedad, la carga de color. Hay
tres variedades de color de quarks, rojo verde y azul.
Evidentemente esto no tiene nada que ver con los colores naturales, y se ha denominado así metafóricamente.
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
426
Así por ejemplo, los dos quarks Up del protón han de poseer color diferente. Cada quark
tiene su antipartícula con el correspondientes anticolor: antirrojo antiverde o antiazul. En
las figuras de la página anterior se ha tenido en cuenta esta propiedad. Cuando los quarks
se “combinan” para formar un hadrón, cada uno de ellos debe tener un color diferente de
modo que la suma de color dé el color blanco.
Hay pues doce partículas elementales constituyentes de la materia: seis leptones y seis
quarks. Además existen sus correspondientes antipartículas, constituyentes de la antimateria, con
lo que en total tendríamos veinticuatro partículas elementales. Todos los hadrones son combinaciones de quarks, como veremos.
En la materia ordinaria sólo hay cuatro partículas elementales: dos leptones (el electrón y
el neutrino electrónico) y dos quarks (u y d). Las demás partículas sólo se observan en la radiación cósmica que alcanza la Tierra o producidos en laboratorios de alta energía.
b) Hadrones: No son partículas elementales sino que tienen una estructura interna y pueden desintegrarse dando como productos otras partículas. Los podemos clasificar en dos
tipos:
+ Mesones que son bosones (spin entero) e incluyen a los piones entre ellos.
Los piones son tres:
+ el pión π+ : Spin 0
Carga eléctrica +e
Carga de color 0
Consta de 2 quarks: Up-Antidown (u d )
+ el pión π- : Spin 0
Carga eléctrica –e
Carga de color 0
Consta de 2 quarks: Down-Antiup (d u )
+ el pión π0 : Spin 0
Carga eléctrica 0
Carga de color 0
Consta de 2 quarks: Un quark y su antiquark, (u u ) o (d d )
Cuando se desintegran dan leptones y fotones.
+ Bariones que son fermiones (spin semientero) e incluyen a los protones y los
neutrones, entre otras partículas.
Los protones:
Constan de 3 quarks: Up Up Down de colores R V A
Carga eléctrica +e, porque: (2/3 + 2/3 -1/3)e = +e
Carga de color 0, porque: R + V + A = 0
Los neutrones: Constan de 3 quarks: Up Down Down de colores R V A
Carga eléctrica 0, porque: (2/3 - 1/3 -1/3)e = 0
Carga de color 0, porque: R + V + A = 0
Excepto el protón y el neutrón, los hadrones tienen una vida media muy pequeña y
son difíciles de detectar y estudiar en el laboratorio. Así, mientras que el protón es estable
(vida media > 1035 años) y el neutrón también (vida media ∼ 15 minutos, en estado libre),
la vida media de la partícula lambda es aproximadamente 10-10 segundos.
Veamos algunas características de algunos hadrones:
(En la tabla los valores de masa vienen dados en MeV/c2, y se refieren a la masa
en reposo; los de la carga en múltiplos de la carga elemental e (1'60x10-19 C) y los del spin
en unidades h/2π (= 1'06x10-34 J.s)).
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
NOMBRE
427
SÍMBOLO MASA CARGA SPIN ANTIPARTÍCULA
Protón
p
938'28
+1
1/2
Neutrón
n
939'57
0
1/2
Partícula Lambda
Λo
1115'6
0
1/2
Partícula Sigma +
Σ+
1189'4
+1
1/2
Σ−
Partícula Sigma 0
Σ0
1192'5
0
1/2
Σ0
Partícula Sigma -
Σ−
1197'3
-1
1/2
Σ+
Partícula Xi 0
Ξ0
1314'7
0
1/2
Ξ0
Partícula Xi -
Ξ−
1321'3
-1
1/2
Ξ+
Partícula Omega -
Ω−
1672'2
-1
3/2
Ω+
Pión negativo
π-
140
-1
0
π+
Pión neutro
πo
135
0
0
πo
Pión positivo
π+
140
+1
0
π-
B.- PARTÍCULAS PORTADORAS DE FUERZA
Cuando se aplican los principios de la Física Cuántica al estudio de las partículas subatómicas la interacción entre dos partículas se explica por el intercambio de una tercera, que
recibe el nombre de partícula de campo o bosón de gauge. Es esta partícula la que origina la fuerza o interacción entre las dos partículas materiales. Según esta hipótesis, cada
partícula material está emitiendo y reabsorbiendo continuamente estas bosones virtuales,
los cuales lo rodean como un enjambre. Cuando están cerca, dos partículas de materia intercambian un bosón que transporta el momento lineal transferido
en la interacción; y éste
r
r
intercambio produce un efecto de fuerza. (Recuérdese: F = d p /dt. La fuerza de interacción
representa la transferencia de momento lineal, por unidad de tiempo).
Se cree que todas las fuerzas fundamentales son transportadas por partículas de intercambio: partícula intermediaria, partícula portadora de fuerza o bosón de gauge.
El fotón es la partícula intermediaria de las fuerzas electromagnéticas; la fuerza entre dos partículas cargadas se produce por intercambio de fotones entre ellas. Así, los electrones se repelen unos a otros intercambiando fotones virtuales. Este proceso se puede representar utilizando un diagrama de Feynman, como el siguiente. Para que existan fotones
"reales" se debe suministrar energía.
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
428
En el caso de la interacción débil las partículas intermediarias son los denominados
bosones vectoriales W-, W+ y Z0, detectados por primera vez en el CERN, por Carlo Rubbia y Simon Van der Meer en 1983. El esquema siguiente representa una desintegración
β– : un quark d setransforma en un quark u, emitiendo un bosón vectorial W–, el cual se desintegra en un par electrón y antineutrino.
Las partículas intermedias responsables de la interacción fuerte se denominan
gluones. En el siguiente esquema se muestra como un quark u rojo se convierte en un
quark u azul y viceversa, mediante un gluón; mediante este proceso se explica la interacción fuerte.
En el caso de la atracción gravitatoria la partícula mediadora sería el gravitón, pero
no existen evidencias concluyentes de su existencia y su existencia sólo es una hipótesis de
trabajo.
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
429
________________________________________________________
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
430
8.- UNIFICACIÓN DE LAS INTERACCIONES FUNDAMENTALES
En Física, a las cuatro interacciones básicas existentes en nuestro Universo se las denomina interacciones fundamentales: interacción nuclear fuerte, interacción nuclear débil,
interacción electromagnética e interacción gravitatoria.
¿Por qué cuatro interacciones y no cinco, o seis ...? ¿Por qué no dos, o tres,...o quizá una
sola? Casi toda la historia de la Física Moderna se ha centrado en los intentos de establecer una
teoría que unifique estas interacciones: que todas ellas aparezcan como facetas de una única
interacción, en un intento de compendiar en un mínimo de leyes todos los fenómenos de la Naturaleza.
La idea que preside este intento es la suposición de que en un comienzo (Big Bang) todas
estaban unificadas en la gran singularidad espacio-temporal inicial, de densidad, temperatura y
energía inconcebiblemente grandes. Con la expansión posterior del Universo, y enfriamiento del
plasma de quarks y leptones primordiales, se fueron separando dichas interacciones, la primera
de las cuales fue la gravitatoria, de alcance universal.
Para poder investigar, hoy día sería preciso acercarnos lo más posible a unas condiciones
de altas energías, e investigar qué ocurren con las partículas elementales. Se puede pensar que
las interacciones confluyen hacia una única interacción cuando las partículas afectadas se encuentran con unas energías suficientemente altas, recreando, por decirlo así, las condiciones lo
más próximas posibles a las del inicio del Universo (Big Bang).
El esquema inferior representan cómo se desenvolverían algunas interacciones, según las
energías en juego:
La historia de la Física ha ido acompañada de la idea de unificación, de encontrar un conjunto de leyes simples que describan el universo. Galileo hizo una completa descripción de los
efectos de la gravedad en la Tierra y Kepler describió por primera vez el movimiento planetario.
Por aquella época se creía que ambos fenómenos eran distantes hasta que Isaac Newton en su
Principia de 1668 los describió bajo el mismo concepto, la fuerza gravitatoria.
Por otro lado, antes del siglo XIX, varios científicos como Stephen Gray, Joseph Priestley,
Charles Coulomb y Alessandro Volta habían ya descrito casi en su totalidad el fenómeno
eléctrico. En 1820, Hans Christian Oersted fue el primero en descubrir perturbaciones magnéticas cercanas a corrientes eléctricas. A partir de este descubrimiento los experimentos no cesaron
hasta que finalmente James Clerk Maxwell en 1861 fue el primero en derivar una ecuación de
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
431
onda electromagnética, quedando unificados estos otros dos fenómenos en el electromagnetismo.
Con el desarrollo de la Mecánica Cuántica se descubrieron dos tipos de fuerzas más a las
que no se las podía incluir en las dos ya existentes: la fuerza nuclear fuerte y la fuerza nuclear
débil. Con el posterior desarrollo del Modelo Estándar de la Física de Partículas se encontraron alas partículas portadoras de dichas fuerzas, los bosones.
Interacción gravitatoria
Es la más conocida de las interacciones debido a que a grandes distancias, por su efecto
acumulativo con la masa, tiene mayor efecto que las demás. Junto al electromagnetismo, son las
interacciones que actúan a grandes distancias y contrariamente al electromagnetismo, sólo tiene
carácter atractivo. A distancias atómicas, y en comparación con el resto de interacciones es la
más débil de todas.
La interacción gravitatoria, hace que cualquier tipo de materia provista de energía interaccione entre sí con carácter atractivo. La Teoría de la Relatividad General estudia el comportamiento de esta interacción describiéndola como una curvatura del espacio-tiempo. En otras palabras, la interacción gravitatoria es una manifestación de la deformación que sufre el espaciotiempo por la presencia de grandes masas. La teoría newtoniana de la gravitación es una
aproximación no-relativista a la interacción gravitatoria.
Según la hipótesis del Modelo Estándar, la interacción gravitatoria, gravitación o fuerza de
la gravedad, es transmitida por el gravitón. Cabe indicar que la teoría de la gravitación, en su
formulación actual, no es una interacción que sea muy consistente con la descripción usual del
Modelo Estándar de la Física de Partículas. Sin embargo, debido a que la gravitación aparece
sólo en distancias muy por encima del radio atómico, en la práctica se pueden usar ambas teorías simultáneamente sin encontrar conflicto, en la mayoría de situaciones prácticas.
Interacción electromagnética
El electromagnetismo es la interacción que actúa entre partículas con carga eléctrica. Este
fenómeno incluye a la fuerza electrostática, que actúa entre cargas en reposo, y el efecto combinado de las fuerzas eléctrica y magnética que actúan entre cargas que se mueven una respecto a
la otra.
El electromagnetismo también tiene un alcance infinito y como es mucho más fuerte que la
gravedad describe casi todos los fenómenos de nuestra experiencia cotidiana, desde el rayo láser
y la radio, a la estructura atómica y a fenómenos tales como la fricción y el arco iris.
Los fenómenos eléctricos y magnéticos han sido observados desde la antigüedad, pero fue
a partir de 1800 que los científicos descubrieron que la electricidad y el magnetismo son dos aspectos fundamentales de la misma interacción. En 1864, las ecuaciones de Maxwell había unificado rigurosamente ambos fenómenos. En 1905, la teoría de Einstein de la Relatividad Especial
resolvió la cuestión de la constancia de la velocidad de la luz. También Einstein explicó el efecto
fotoeléctrico al teorizar que la luz se transmitía también en forma de cuantos, que ahora llamamos
fotones. A partir de 1927, Paul Dirac unifica la Mecánica Cuántica con la Teoría Relativista del
electromagnetismo, dando lugar a la Teoría de la Electrodinámica Cuántica (QED), que se completó en la década de 1940.
Interacción nuclear fuerte
La interacción nuclear fuerte, es la interacción que permite a los quarks unirse para formar
hadrones. En esta interacción, las partículas, además de tener carga eléctrica, también tienen
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
432
carga de color. Su acción a pesar de ser la más fuerte, sólo se aprecia a muy cortas distancias,
del orden del radio atómico.
Según el Modelo Estándar, la partícula mediadora de esta fuerza es el gluón. La teoría que
describe a esta interacción se denomina Cromodinámica Cuántica (QCD) y fue propuesta por
David Politzer, Frank Wilczek y David Gross en la década de 1980.
Como resultado colateral de la interacción entre quarks, existe una manifestación de la
fuerza nuclear fuerte que implica la interacción dentro del núcleo atómico a los protones y
neutrones. Debido a la carga positiva de los protones, para que éstos se encuentren estables en
el núcleo debía existir una fuerza más fuerte que la electromagnética para retenerlos. Ahora sabemos que la verdadera causa de que los protones y neutrones no se desestabilicen es la llamada interacción fuerte residual. Esta interacción entre nucleones (protones y neutrones) se produce
a través de parejas de quark-antiquark en forma de piones.
Interacción nuclear débil
Según el modelo estándar, la interacción débil es mediada por los bosones W y Z que son
partículas muy masivas. Su intensidad es menor que la intensidad de la electromagnética y su
alcance es menor que el de la interacción fuerte. Al igual que la interacción fuerte y la gravitatoria
es esta una interacción únicamente atractiva.
La interacción nuclear débil se acopla a un tipo de carga llamada sabor, que la poseen los
quarks y los leptones. Esta interacción es la causante de los cambios de sabor en estas partículas. En otras palabras, es la responsable que de quarks y leptones decaigan en partículas más
livianas. Además es la que produce desintegraciones beta.
La teoría de Glashow-Weinberg-Salam estudia la interacción débil y la electrodinámica
cuántica de manera unificada, en lo que se llama Teoría o Modelo electrodébil. En efecto, en
1960, estos científicos postularon que la fuerza nuclear débil podía unificarse a la electromagnética en una sola interacción electrodébil. Estas dos interacciones a bajas energías parecen dos
diferentes tipos de interacciones, pero a temperaturas tan altas como las del Big Bang ambas
corresponden a una sola.
El siguiente paso hacia la unificación de las fuerzas fundamentales de la naturaleza fue el
incluir la interacción fuerte (Cromodinámica cuántica) con las fuerzas electrodébiles (Modelo electrodébil) en una teoría llamada Gran Teoría Unificada o Teoría de la Gran Unificación ("Grand
Unification Theory").
La fuerza de gravedad no es considerada en la teoría de Gran Unificación, pero sí en una
eventual Teoría de la Unificación Total, que consideraría las cuatro interacciones fundamentales. Hasta el momento no se ha encontrado una teoría contundente.
En efecto, los físicos teóricos han sido incapaces hasta ahora de formular una teoría consistente que combine la relatividad general y la mecánica cuántica. Las dos teorías han mostrado
ser incompatibles y la cuantización de la gravedad continúa siendo un serio problema en el campo de la física. En los años recientes, la búsqueda por una teoría de campo unificada se ha focalizado en las teoría de cuerdas (String Theory, en inglés) y en la teoría M que pretende unificarlas.
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433
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
434
9.- TEORÍA DEL BIG BANG Lectura Final, (Extraído de Wikipedia, 2009)
Según la teoría del Big Bang, el Universo se originó en una singularidad espacio-temporal
de densidad infinita, matemáticamente paradójica. El espacio se ha expandido desde entonces,
por lo que los objetos astrofísicos se han alejado unos respecto de los otros.
En Cosmología Física, la Teoría del Big Bang o teoría de la gran explosión es un modelo
científico que trata de explicar el origen del Universo y su desarrollo posterior a partir de una
singularidad espacio-temporal. Técnicamente, se trata del concepto de expansión del Universo
desde una singularidad primigenia, inicial, donde la expansión de éste se deduce de una colección
de soluciones de las ecuaciones de la Relatividad General.
El término "Big Bang" se utiliza tanto para referirse específicamente al momento en el que se
inició la expansión observable del Universo, como en un sentido más general para referirse al
paradigma cosmológico que explica el origen y la evolución del mismo.
Introducción
Big Bang, gran explosión, pero ... hay que tener en cuenta que en el inicio del Universo ni
hubo explosión ni fue grande, pues en rigor surgió de una «singularidad» infinitamente pequeña,
seguida de la expansión del propio espacio.
La idea central del Big Bang es que la teoría de la Relatividad General puede combinarse
con las observaciones en la distribución de galaxias y los cambios de posición entre ellas, permitiendo extrapolar las condiciones del Universo antes o después, en el tiempo.
Una consecuencia es que, en el pasado, el Universo tenía una temperatura más alta y de
mayor densidad y, por tanto, las condiciones del Universo actual son muy diferentes de las condiciones del Universo pasado. A partir de este modelo, en 1948 se pudo predecir que debería de
haber evidencias de un fenómeno que más tarde sería bautizado como radiación de fondo de microondas (CMB, Cosmic microwave background).
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
435
Breve historia de su génesis y desarrollo
Para llegar al modelo del Big Bang, muchos científicos, desarrollando muy diversos estudios,
han ido construyendo el camino que lleva a la génesis de esta explicación. Los trabajos de
Alexander Friedman, del año 1922, y de Georges Lemaître, de 1927, utilizaron la Teoría de la
Relatividad para demostrar que el universo estaba en movimiento constante.
Poco después, en 1929, el astrónomo estadounidense Edwin Hubble descubrió galaxias
más allá de la Vía Láctea que se alejaban de nosotros, como si el Universo se expandiera constantemente.
En 1948, el físico ruso nacionalizado estadounidense, George Gamow, planteó la hipótesis
de que el universo se creó a partir de una gran explosión (Big Bang).
Recientemente, ingenios espaciales puestos en órbita (En 1989, la NASA lanzó el COBE
(“Cosmic background Explorer”) han conseguido "oír" los vestigios de esta gigantesca explosión
primigenia.
Dependiendo de la cantidad de materia en el Universo, éste puede expandirse indefinidamente o frenar su expansión lentamente, hasta producirse una contracción universal. El fin de esa
contracción se conoce con un término contrario al Big Bang: el Big Crunch o Gran Colapso. Si el
Universo se encuentra en un punto crítico, puede mantenerse estable ad eternum.
La teoría del Big Bang se desarrolló a partir de observaciones y avances teóricos. Por medio
de observaciones, en la década de 1910, el astrónomo estadounidense Vesto Slipher y, después
de él, Carl Wilhelm Wirtz, de Estrasburgo, determinaron que la mayor parte de las nebulosas espirales se alejan de la Tierra. Pero no llegaron a darse cuenta de las implicaciones cosmológicas de
esta observación, ni tampoco del hecho de que las supuestas nebulosas eran en realidad galaxias
exteriores a nuestra Vía Láctea.
Además, la teoría de Albert Einstein sobre la Relatividad General (segunda década del siglo
XX) no admite soluciones estáticas (es decir, el Universo debe estar en expansión o en contracción). Este resultado Einstein mismo lo consideró equivocado, y trató de corregirlo agregando la
constante cosmológica.
El primero en aplicar formalmente la Relatividad a la Cosmología, sin considerar la constante
cosmológica, fue Alexander Friedman, cuyas ecuaciones describen un Universo que puede expandirse o contraerse.
Entre 1927 y 1930, el padre jesuita belga Georges Lemaître propuso, sobre la base de la
recesión de las nebulosas espirales, que el Universo se inició con la “explosión de un átomo primigenio”, lo que más tarde se denominó "Big Bang".
En 1929, Edwin Hubble realizó observaciones que sirvieron de fundamento para comprobar
la teoría de Lemaître. Hubble probó que las nebulosas espirales son galaxias y midió sus distancias observando las estrellas variables Cefeidas en galaxias distantes. Descubrió que las galaxias
se alejan unas de otras a velocidades (relativas a la Tierra) directamente proporcionales a su distancia. Este hecho se conoce ahora como la ley de Hubble .
Con el pasar de los años, los resultados de las observaciones experimentales apoyaron la
idea de que el Universo evolucionó a partir de un estado denso y caliente. Desde el descubrimiento de la radiación de fondo de microondas, en 1965, ésta ha sido considerada la mejor teoría para
explicar el origen y evolución del cosmos.
Antes de finales de los años sesenta, muchos cosmólogos pensaban que la singularidad infinitamente densa del tiempo inicial en el modelo cosmológico de Friedman era una sobreidealización, y que el Universo se contraería antes de empezar a expandirse nuevamente. Ésta es la teoría de un Universo oscilante.
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
436
En los años 1960, Stephen Hawking y otros demostraron que esta idea no era factible, y
que la singularidad es un componente esencial de la gravedad de Einstein. Esto llevó a la mayoría
de los cosmólogos a aceptar la teoría del Big Bang, según la cual el Universo que observamos se
inició hace un tiempo finito.
Prácticamente todos los trabajos teóricos actuales en cosmología tratan de ampliar o concretar aspectos de la teoría del Big Bang. Gran parte del trabajo actual en Cosmología trata de entender cómo se formaron las galaxias en el contexto del Big Bang, comprender lo que allí ocurrió y
cotejar nuevas observaciones con la teoría fundamental.
A finales de los años 1990 y principios del siglo XXI, se lograron grandes avances en la
Cosmología del Big Bang, como resultado de importantes adelantos en telescopía, en combinación con grandes cantidades de datos satelitales del COBE, el telescopio espacial Hubble y
WMAP (Sonda Wilkinson de Anisotropías de fondo de Microondas, en inglés: Wilkinson Microwave Anisotropy Probe o WMAP). Estos datos han permitido a los cosmólogos calcular muchos de
los parámetros del Big Bang hasta un nuevo nivel de precisión, y han conducido al descubrimiento
inesperado de que el Universo está en expansión acelerada.
Descripción del Big Bang:
Se ha señalado cierta paradoja en la denominación Big Bang (gran explosión): en cierto modo no puede haber sido grande ya que se produjo exactamente antes del surgimiento del espaciotiempo. Habría sido el mismo Big Bang el que habría generado las dimensiones desde una
singularidad; tampoco es exactamente una explosión en el sentido propio del término ya que no se
propagó fuera de sí mismo.
Basándose en medidas de la expansión del Universo utilizando observaciones numerosas e
independientes, se ha determinado la edad del Universo: aproximadamente 13’7 ± 0’2 miles de
millones de años [= (4’32 ± 0’06)x1017 s ∼ 15 mil millones de años]. El universo en sus primeros
momentos estaba lleno homogénea e isótropamente de una energía muy densa y tenía una temperatura y presión concomitantes. Se expandió y se enfrió, experimentando cambios de fase análogos a la condensación del vapor o a la congelación del agua, pero relacionados con las
partículas elementales.
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
437
Época de Planck: De 0 a 10-35s. Aproximadamente 10-35 segundos después de la época de
Planck, un cambio de fase causó que el Universo se expandiese de forma exponencial durante un
período llamado inflación cósmica.
Al terminar la inflación, los componentes materiales del Universo quedaron en la forma de un
plasma de quarks-gluones, en donde todas las partes que lo formaban estaban en movimiento en
forma relativista.
Con el crecimiento en tamaño del Universo, la temperatura descendió. A cierta temperatura,
y debido a un cambio aún desconocido denominado bariogénesis, los quarks y los gluones se
combinaron en bariones tales como el protón y el neutrón, produciendo de alguna manera la
asimetría observada actualmente entre la materia y la antimateria.
Las temperaturas aún más bajas condujeron a nuevos cambios de fase, que rompieron la
simetría, así que les dieron su forma actual a las Fuerzas Fundamentales de la Física y a las
Partículas Elementales.
Más tarde, protones y neutrones se combinaron para formar los núcleos de deuterio y de
helio, en un proceso llamado nucleosíntesis primordial.
Al enfriarse el Universo, la materia gradualmente dejó de moverse de forma relativista y su
densidad de energía comenzó a dominar gravitacionalmente sobre la radiación.
Pasados 300000 años, los electrones y los núcleos se combinaron para formar los átomos
(mayoritariamente de hidrógeno). Por eso, la radiación se desacopló de los átomos y continuó por
el espacio prácticamente sin obstáculos. Ésta es la radiación de fondo de microondas.
Al pasar el tiempo, algunas regiones ligeramente más densas de la materia casi uniformemente distribuida crecieron gravitacionalmente, haciéndose más densas, formando nubes, estrellas, galaxias y el resto de las estructuras astronómicas que actualmente se observan.
Los detalles de este proceso dependen de la cantidad y tipo de materia que hay en el Universo. Los tres tipos posibles se denominan materia oscura fría, materia oscura caliente y
materia bariónica. Las mejores medidas disponibles (provenientes del WMAP) muestran que la
forma más común de materia en el universo es la materia oscura fría. Los otros dos tipos de materia sólo representarían el 20 por ciento de la materia del Universo.
El Universo actual parece estar dominado por una forma misteriosa de energía conocida
como energía oscura. Aproximadamente el 70 por ciento de la densidad de energía del Universo
actual está en esa forma. Una de las propiedades características de este componente del Universo es el hecho de que provoca que la expansión del Universo varíe en una relación lineal entre
velocidad y distancia, haciendo que el espacio-tiempo se expanda más rápidamente que lo esperado a grandes distancias. La energía oscura toma la forma de una constante cosmológica en las
ecuaciones de campo de Einstein de la Relatividad General, pero los detalles de esta ecuación de
estado y su relación con el Modelo Estándar de la Física de Partículas continúan siendo investigados tanto en el ámbito de la física teórica como por medio de observaciones.
Más misterios aparecen cuando se investiga más cerca del principio, cuando las energías de
las partículas eran más altas de lo que ahora se puede estudiar mediante experimentos. No hay
ningún modelo físico convincente para el primer 10-33 segundo del universo, antes del cambio de
fase que forma parte de la Teoría de Gran Unificación. En el "primer instante", la teoría gravitacional de Einstein predice una singularidad gravitacional en donde las densidades son infinitas. Para
resolver esta paradoja física, hace falta una Teoría Cuántica de la Gravedad. La comprensión de
este período de la historia del universo figura entre los mayores problemas no resueltos de la Física.
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
438
ACTIVIDADES DESARROLLADAS
1.- Calcular la energía de ligadura y la energía de ligadura por nucleón en el átomo de litio
(A = 7; Z = 3).- Datos: Masa atómica del 73 Li : 7’01645 u.- Masa del protón: 1’00756 u.- Masa
del neutrón: 1’00893 u.- Masa del electrón: 0’00055 u. Nota: resolver el problema sin despreciar la masa del electrón.
La masa del 73 Li es MLi = 7’01645 u
La masa de los nucleones y electrones es M’Li = 3x1’00756 + 4x1’00893 + 3x0’00055 = 7’06005 u
El defecto de masa es ∆M = 7’06005 – 7’01645 = 0’0436 u
1
1
= 0'0436ux
= 7'240 x10 − 26 g =
NA
6'022 x10 23 u / g
∆M = 7’240x10-29 kg
El defecto de masa, en kg, es ∆M = 0’0436 u x
La energía de ligadura es ∆E = ∆M c2 = 7’240x10-29 kg x (3x108 m/s)2 = 6’516x10-12 J
La energía de ligadura, en MeV, es teniendo en cuenta que 1 Mev = 1’6021x10-13J,
∆E = 6’516x10-12 J /1’6021x10-13J/MeV = 40’67 Mev
La energía por nucleón es
∆E 40'67
=
= 5'81 MeV/nucleón
A
7
2.- Un gramo de radio emite 13’8x1010partículas α por segundo. En una experiencia realizada durante 1 año se observó que con 1 g de radio, en ese tiempo, se recogieron 0’158 cm3
de helio, medidos en condiciones normales. Se sabe que 1 litro de helio, en condiciones
normales, pesa 0’179 g y que la masa atómica del helio es 4’003. A partir de estos datos
deducir el número de Avogadro (nº de partículas que hay en 1 mol).
Masa de helio recogida en 1 año: m(He) = 0’158x10-3litrosx0’179 g/litro = 2’8282x10-5 g
g
m(He) 2'8282 x10 −5
= 7'065 x 10-6 mol
=
Moles de helio: n =
g / mol
4'003
M(He)
Por otro lado, el nº de partículas α (núcleos de helio) emitidas en un año (3,1536x107 s) es:
N = 13’8x1010 part/s x 3’1536x107s = 4’355x1018 part = 4’355x1018 átomos de helio
El nº de átomos de helio que corresponden a I mol serán:
N = n . NA → NA =
N 4'355x1018
=
= 6'16x10 23 átomos/mol
n 7'065x10 −6
3.- Calcular la vida media de un átomo de uranio si su periodo de semidesintegración es de
4500 millones de años
De acuerdo con la expresión T1/2 = 0’693 τ se tiene τ =
T1 / 2
4'5x109
=
años = 6’5x109 años
0'693
0'693
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
439
4.- Una cierta cantidad de sustancia radiactiva se reduce a la cuarta parte al cabo de 10 días. Calcular su periodo de semidesintegración.
ln 2
−
.t
ln 2
ln 2
Por un lado, T =
→ λ=
Por otro lado, N = N0 e − λ.t = N0 e T
λ
T
Sustituyendo datos, simplificando y tomando logaritmos neperianos en los dos miembros de la
ecuación. resulta:
−
No
= N0 .e
4
ln 2
10 días
T
−
1
=e
4
→
ln 2
10 días
T
→
- ln 4 = -
ln 2
.10 días
T
→ T=
ln 2
.10 días = 5 días
2. ln 2
Esta respuesta cabía encontrarla, sin necesidad de operación alguna. En efecto, si en 10 días la
muestra se reduce a la cuarta parte, en cinco días se reduce a la mitad; pero éste es justamente el
significado de periodo de semidesintegración.
5.- La vida media del torio 234
90Th es de 24 días. ¿Qué cantidad de torio permanecerá sin desintegrarse al cabo de 96 días?
La vida media τ se relaciona con el periodo de semidesintegración T1/2 y con la constante radiacti1 T
va λ así:
τ = = 1/ 2
λ ln 2
−
La ley de desintegración es: N = N0 e λ.t = N0 .e − t / τ
Por tanto, N = N0 e
−
96
24
= N0 .e − 4 ⇒
N
= e − 4 = 0'0183
N0
→
El 1,83 % de la muestra de torio
queda aún por desintegrarse.
6.- Calcular la masa de deuterio que requeriría cada día una hipotética central de fusión de
500 MW de potencia eléctrica en la que la energía se obtuviese del proceso 2 12 H → 24 He ,
suponiendo un rendimiento del 30% .
Masa atómica del deuterio: 2’01474 u
Masa atómica del helio: 4’00387 u
1 u = 1’66x10-27 kg
Número de Avogadro: N = 6’02x1023 átomos/mol
Para conseguir, con un rendimiento del 30%, una potencia de 500 MW se precisaría producir
energía con una potencia de
100
P=
.500 = 1666'7 MW = 1’667x109 W
30
que supone una energía por día de E = P.t = 1’667x109x24x3600 = 1’44x1014 J. Esta energía ha
de provenir del “defecto de masa” que se opera en la formación de los núcleos de helio a partir de
núcleos de deuterio, según la reacción nuclear señalada en el enunciado: 2 21H → 42 He
∆m = 2.mdeut – mHe = (2x2’01474 – 4’00387)u = 0’02561 u x1’66x10-27 kg/u = 4’25x10-29 kg
La energía liberada, por núcleo de helio formado, es
∆E = ∆m.c2 = 4’25x10-29 x(3x108)2 = 3’83x10-12 J
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
440
El nº de núcleos de helio que se han de formar, por día, es
E
1'44x1014
=
= 3'76x10 25 núcleos de helio
N(He) =
∆E
3'83x10 −12
que corresponden a un nº doble de núcleos de deuterio, según la reacción, o sea
N(deut) = 2 N(He) = 7’53x1025 núcleos de deuterio.
Su masa es la siguiente:
Nº de moles de deuterio: n(deut) =
N( deut ) 7'53x10 25
=
= 125 mol deut.
NA
6'02x10 23
m(deut) = n(deut).M(deut) = 125 mol x 2’01474 g/mol = 251’9 g deut.
Así pues, se requieren 251’9 gramos de deuterio por día para obtener la potencia deseada.
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
441
ACTIVIDADES PROPUESTAS
1.- Calcular la energía de enlace por nucleón del uranio-235 ( 235
92 U ) sabiendo que la masa del núcleo es 234'994 u. Datos adicionales: masa del protón, mp = 1'6725x10-27kg.- masa del neutrón, mn = 1'6748x10-27kg.- Nº de Avogadro, NA = 6'0225x1023mol-1
R.: 7'60 MeV/nucleón
2.- Idem para el
35
17 Cl ,
cuya masa nuclear es 34'96885 u.- Idem para el 94 Be , cuya masa nuclear
es 9'01219 u.- Idem para el
R.:
35
17 Cl
→ 8'45 MeV/nucl
32
16 S , cuya masa nuclear es
9
6'23 MeV/nucl
4 Be
→
31'97207 u.
32
16 S
→ 8'23 MeV/nucl
3.- La vida media del 210
84 Po es de 138 días. Si se dispone inicialmente de 1 g de polonio, ¿al cabo
de cuántos días quedarán únicamente 0’25 g? R.: 191’3 días
4.- El
222
86 Rn
se desintegra con un periodo de 3’9 días. Si inicialmente se dispone de 20 µg de radón, ¿cuánto queda al cabo de 6 días? R.: 6’9 µg
5.- El periodo de un elemento radiactivo es de 28 años. La constante de Abogadro vale
NA = 6’023x1023 y la masa atómica del elemento es 238.
a) ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que su cantidad se reduzca al 75 % de la
muestra inicial?
b) Si en un momento dado la masa es de 0,1 mg de átomos que emiten partículas α, ¿qué
cantidad de átomos de helio se formarán, por unidad de tiempo, en ese instante? ¿Y al cabo
de 5000 días?
R.: a) 11’6 años.- b) 2x108 part.α/s.- 1’4x108 part.α/s
6.- Una partícula α puede desintegrarse, entre otras, de las siguientes formas:
α → 32 He + n
α→ 2p + 2n
¿Son posibles espontáneamente estos procesos o requieren energía? En tal caso, determinarla. Datos: Masa del neutrón: 939’55 MeV/c2.- Masa del protón: 938’26 MeV/c2.- Energía
de enlace por nucleón para el 32 He : 2’60 MeV/nucl.- Energía de enlace por nucleón para la
partícula α: 7’07 MeV/nucl. R.: Las desintegraciones no pueden ser espontáneas. En el
caso 1º se requiere 20’48 MeV/part.α.- En el 2º, 28’28 MeV/part.α
95
139
7.- La fisión de 235
92 U , al capturar un neutrón, produce 38 Sr,
54 Xe y dos neutrones. Escribir la
reacción y calcular la energía liberada por núcleo de uranio fisionado Datos de masas ató95
139
micas: M( 235
92 U ) = 235’0439 u.- M( 38 Sr ) = 94’9403 u.- M( 54 Xe ) = 138’9301 u.- Masa del
neutrón, 1,0087 u.
1
Dato: 1 u =
gramos/áto mo siendo NA = 6’02x1023 átomos/mol
NA
R.: Energía liberada, 153’5 MeV/nucl.
8.- Una muestra de madera procedente de la caja de una momia egipcia da 13536 desintegraciones por día, por cada gramo de carbono. Establecer la edad de la caja, de la momia. Datos:
Un gramo de una muestra actual de carbono experimenta 920 desintegraciones por hora; lal
vida media del carbono-14 es 5730 años.
R.: 4045 años
9.- Una central nuclear de una potencia de 1 GW (gigavatio) utiliza como combustible uranio natural que contiene un 0’7 % del isótopo fisible 238
92 U . ¿Cuántos kilogramos de uranio natural se
consumirán en un día de funcionamiento, si la energía total liberada con ocasión de la fisión
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
442
de un átomo de 238
92 U es de 200 MeV y se supone que no hay pérdidas energéticas apreciables en la central?
-13
J NA = 6’02x1023 at/mol
Datos: Masa atómica del 238
92 U , 238’03 g/mol. 1MeV = 1’6x10
R.: 152’5 kg
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
443
U V.- T 17: Introducción a la Física del Núcleo
444
APÉNDICE: Pruebas de Acceso a la Universidad
445
FÍSICA
2º Bachillerato
. Ciencias de la Naturaleza y de
la Salud
. Tecnología
APÉNDICE :
Pruebas de Acceso a la Universidad
Pruebas de Acceso
1995 – 2009:
+ Problemas y Cuestiones
ordenados por años
+ Problemas y Cuestiones
ordenados por temas
Marianistas – Compañía de María
Bachillerato
Valentín Laconcha Abecia, S.M.
Doctor en C. Físicas
2009 - 2010
APÉNDICE: PAU por Años/Materias
446
A P É N D I C E:
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
1995 - 2009
presentadas en el distrito de la U.P.V.
APÉNDICE: PAU por Años
447
Junio 95
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1. Un cohete de 1.000 kg se pone en órbita a 800 km de la superficie de la Tierra. Calcular:
a) Su energía potencial.
b) Su energía cinética.
c) El período de revolución del satélite.
Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 – 10-11 N . m2 .kg-2 .
Masa de la Tierra: MT = 5,98 x 1024 Kg. Radio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m.
2. Un haz de protones se mueve a lo largo del eje X en su sentido positivo con una velocidad
constante de 10 km/seg a través de una región de campos cruzados (eléctrico y magnético).
a) Si existe un campo magnético de valor 1,0 T en el sentido positivo de las Y, hallar el valor
y dirección del campo eléctrico.
b) Representar mediante un esquema los vectores implicados.
c) ¿Se verán desviados los electrones de la misma velocidad y sentido por estos campos?
Si es así, ¿en qué dirección y sentido?
Masa del electrón: 9,10 X 10-31 kg. Masa del Protón: 1,67 x 10-27 kg.
BLOQUE B
1. Sobre el cátodo de una célula fotoeléctrica incide luz ultravioleta de 2536 Å de longitud de onda.
Sabiendo que el umbral fotoeléctrico del cobre metálico está en λ = 3200 Å, calcular:
a) El valor del trabajo de extracción en Julios.
b) La energía cinética máxima de los electrones expulsados.
c) La velocidad máxima de los fotoelectrones.
Masa del Electrón: m = 9, 10 x 10-31 kg.
Carga del Electrón: e = 1,60 x 10-19 Culombios.
Constante de Plank: h = 6,62 x 10-34 Julios. Seg. - 1 Angstrom: 10-10 m.
2. Un proyector de diapositivas con una lente de 10 cm de distancia focal proyecta una imagen
sobre la pantalla que se encuentra a 2,5 m de la lente.
a) ¿De qué tipo de lente se trata?
b) Dibuja un esquema de la formación de la imagen.
c) ¿Cómo es la imagen?
d) ¿Cuál es la distancia entre la diapositiva y la imagen?
e) ¿Cuál es el aumento?
f) ¿Cuál es la anchura de la imagen de una diapositiva de 35 mm?
CUESTIONES
1. Describir la analogías y diferencias entre las ondas sonoras y las luminosas.
2. Reacciones de fusión. ¿De dónde procede la energía que se desprende? Ventajas y dificultades para obtener energía procedente de la fusión.
3. Describir el fundamento de un generador de corriente alterna. ¿Cuál es la diferencia entre
las distintas centrales de producción de energía eléctrica? (térmicas, hidroeléctricas, nucleares, etc...
4. Dualidad Onda-Corpúsculo. Hipótesis de De Broglie.
APÉNDICE: PAU por Años
448
Septiembre 95
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1. Se lleva un cuerpo mediante un cohete hasta una altura de 500 km sobre el nivel del mar.
a) ¿Cuál es la intensidad del campo gravitatorio terrestre a esa altura?
b) ¿Con qué velocidad debería lanzarse este cuerpo en una dirección perpendicular al radio
de la tierra de tal forma que describiese una órbita circular?
c) ¿Cuál sería el período de revolución del cuerpo alrededor de la Tierra?
d) Si la masa del cuerpo es de 100 Kg. ¿Cuál sería su energía mecánica?
Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10-11 N.m2 kg-2.
Masa de la Tierra: MT = 5,98 x 1024 kg. Radio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m.
2. Las longitudes de onda del espectro visible están comprendidas entre los 4000 y 7000 Å.
a) Calcula el intervalo de frecuencias.
b) Calcula el intervalo de energías fotónicas.
c) ¿Cuál es la longitud de onda de un fotón cuya energía es de 5 eV? ¿En qué parte del
espectro electromagnético se encuentra?
d) En las transiciones moleculares tiene lugar la absorción o emisión de fotones de energía
menor de 1 eV. ¿Pertenece esta radiación a la parte infrarroja o a la ultravioleta del espectro
electro- magnético?
Constante de Plank: h = 6,62 x 10-34 J. seg.
Carga del electrón: e = -1,60 x 10-19 C.
1 Angstrom: 10-10 m.
BLOQUE B
1.- En tres de los cuatro vértices de un cuadrado de 10 cm de lado hay una carga de +5µC. Calcular: a) La intensidad del campo en el cuarto vértice
b) El trabajo necesario para llevar una carga de -10µC desde el cuarto vértice hasta el centro del cuadrado. Interpretar el resultado
1/4πε0 = 9 x 109 N.m2.C-2
2. Un electrón de energía cinética de 25 keV. se mueve en una órbita circular en el interior de un
campo magnético de 0,2 T.
a) ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre el electrón?
b) Representa mediante un esquema los vectores implicados.
c) ¿Cuál es el radio de la órbita?
d) ¿Cuál es la frecuencia angular y el período?
Masa del Electrón: m = 9,10 X 10-31 kg.
Carga del Electrón: e = -1,60 x 10-19 Culombios.
CUESTIONES
1. Diferencias entre ondas transversales y longitudinales. Ejemplos de cada uno de los tipos.
2. Momento angular de un sólido rígido. Describir algún ejemplo de movimiento en que se
cumpla el teorema de la conservación del momento angular.
3. Energía de origen nuclear. Describir las diferencias entra las reacciones de fisión y fusión.
4. Describir el funcionamiento de un microscopio y analizar las características de sus imágenes.
APÉNDICE: PAU por Años
449
Junio 96
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOOUE A
1. Dos esferas muy pequeñas de 10 gr. de masa y cargadas con idéntica carga se encuentran en
los extremos de dos hilos inextensibles y sin masa de 1 m. de longitud, suspendidos del
mismo punto. Si el ángulo que forma cada hilo con la vertical en la posición de equilibrio es
de 45", calcular:
a) La carga de cada esfera.
b) La tensión de los hilos en la posición de equilibrio.
k = 1/4πε0 = 9 x 109 N.m2.C-2.
2. Dentro de un estanque y a un metro de profundidad hay un punto luminoso que emite rayos en
todas direcciones. En la superficie del estanque se ve un círculo luminoso debido a los rayos
de luz que se refractan al pasar al aire.
a) Dibujar la marcha de los rayos luminosos razonando su trayectoria.
b) Calcular el radio del círculo.
Índice de refracción del agua = 4/ 3.
BLOQUE B
1. Un hilo vertical transporta una corriente de 20 amperios en sentido ascendente. Un electrón
distante 10 cm del hilo se está moviendo hacia arriba con una velocidad de 5 x 106 m/s.
a) ¿Cuál es el módulo, dirección y sentido del campo magnético que actúa sobre el electrón?
b) ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre el electrón? Dibuja el esquema de los vectores que
intervienen.
c) ¿Como será la trayectoria del electrón?
µ0 = 4π x 10-7 Tesla.m/Amperio. Masa del electrón = 9, 10 x 10-31 kg.
Carga del electrón = -1,60 x 10-19 C.
2. Cuando chocan un electrón y un positrón en determinadas condiciones, la masa total de ambos
se transforma en energía radiante en forma de dos fotones de igual energía. Calcular:
a) La energía total producida expresada en electrón-voltios.
b) La longitud de onda de la misma.
Constante de Plank: h = 6,26 x 10-32 J.s Masa positrón = masa electrón.
CUESTIONES
1. Una fuente emite fotoelectrones cuando se ilumina con luz azul, pero no emite cuando se
ilumina con luz verde. ¿Qué ocurrirá al iluminarla con luz roja?¿Y con luz ultravioleta? Razonar las respuestas.
2. Una partícula cargada positivamente penetra en una región donde existe un campo electrostático uniforme. Describir el movimiento de la partícula si la velocidad inicial está dirigida
en: a) la dirección y sentido del campo.- b) en sentido opuesto.- c) formando un cierto ángulo
con el campo.
3. Escribir las leyes de Kepler del movimiento de rotación de los planetas alrededor del Sol.
A partir de la Ley de Gravitación de Newton, demostrar la tercera ley de Kepler para una órbita circular.
4. Describir el fenómeno de la radioactividad natural y definir: constante radioactiva, vida
media y período de semidesintegracion. ¿Cuál es la relación entre estas magnitudes?
APÉNDICE: PAU por Años
450
Septiembre 96
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1. Dos cargas puntuales de -5 x 10-8 C están fijas en los puntos (0,0) cm. y (5,0) cm. Hallar:
a) El módulo, dirección y sentido del campo eléctrico en el punto (10, 0) cm.
b) La velocidad con que llega al punto (8, 0) cm. una partícula de carga 10-9 C y 5 mg de
masa que se abandona libremente en el punto (10, 0) mm.
K = l/4πε0 = 9 x 109 N.m2.C-2.
2. Fenómenos interferenciales demuestran que la longitud de onda asociada a un haz de electrones es 3,2 x 10-8 cm.
a) ¿Cuál es la velocidad de los electrones del haz?
b) ¿Cuál es su energía cinética en electrón-voltios?
c) ¿Qué diferencia de potencial es necesaria para comunicar a los electrones esa energía?
Constante de Plank: h = 6,26x10-34J.s
Masa del electrón, 9,10x10-31kg.- Carga del electrón, -1,60x10-19 C.
BLOQUE B
1. Considerando a la Tierra y la Luna aisladas de toda influencia exterior:
a) ¿En qué punto entre la Tierra y la Luna el campo gravitatorio es nulo?
b) ¿Qué valor tendrá el potencial gravitatorio creado por ambas masas en ese punto?
c) Dibujar las líneas de fuerza del campo creado por ambos cuerpos.
ML = 0,0123 MT
Distancia de la Tierra a la Luna = 3,84 x 105 km.
2. Una onda transversal se propaga por una cuerda según la ecuación:
y = 0,4 sen 2π (100t – 0.5x)
en unidades del S.I. Calcular:
a) La velocidad y sentido de propagación de la onda.
b) La velocidad máxima de vibración.
c) La distancia que separa dos puntos de la cuerda que oscilan en fase.
CUESTIONES
1. ¿Cómo se ha de aplicar un campo eléctrico y otro magnético uniformes para que sus
fuerzas respectivas sobre una carga con velocidad v se anulen? ¿Cuál ha de ser la relación
entre sus módulos?
2. ¿Cuál es la hipótesis básica de la teoría de Plank? ¿Qué dimensiones tiene la constante
de Plank?
3. Enunciar la ley de Lenz-Faraday de la inducción electromagnética. ¿Puede inducirse
f.e.m. en una espira en un campo magnético constante?
4. Describir el funcionamiento de una lupa y analizar las características de sus imágenes.
¿Se pueden recoger estas imágenes en una pantalla?
APÉNDICE: PAU por Años
451
Junio 97
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1. Se sueltan, partiendo del reposo, protones desde un potencial eléctrico de 5 MV en un acelerador de Van der Graaff y se mueven por el vacío hasta una región de potencial cero. Suponiendo que esta variación de potencial tiene lugar a lo largo de 2m, hallar:
a) El campo eléctrico, indicando su sentido.
b) La velocidad con que llegan los protones a la región de potencial cero.
Masa del protón = 1,67 x 10-27 kg.- Carga del protón = 1,60 x 10-19 C.
2. Una onda luminosa cuya frecuencia es de 6 x 1014 s-1 pasa a través de un líquido. Dentro de
éste la longitud de onda resulta ser de 3 x 10-5 cm.
a) ¿Cuál es la velocidad de la luz en este líquido?
b) ¿Cuál es la longitud de onda en el vacío?
c) ¿Cuál es el índice de refracción del líquido para esta frecuencia
BLOQUE B
1. Considerando la Tierra una esfera homogénea de radio RT = 6.370 km.
a) Calcular la aceleración de la gravedad en un punto P situado a 630 Km. sobre su superficie.
b) Si desde el punto P se abandonase una partícula sin velocidad inicial, ¿con qué velocidad
llegaría a la superficie de la Tierra? (Se considera nula la fricción con la atmósfera).
Constante de gravitación universal G = 6,67 x 10-11 N.m2.kg-2 .
Masa de la Tierra, MT = 5,98 X 1024 Kg
2. Un carrete de hilo conductor de 500 espiras de 0,005 m de radio está colocado en un campo
magnético uniforme de 0,1 T de modo que el flujo que lo atraviesa es máximo.
a) Halla la f.e.m. media inducida en el carrete si en un intervalo de 0,02 segundos el campo
duplica su valor.
b) Halla la f.e.m. media inducida si el carrete gira 180º con respecto a un eje que pasa por
su centro y es perpendicular al campo magnético, en un intervalo de 0,02 seg.
CUESTIONES
1. Describir el funcionamiento óptico del ojo humano. ¿En que consisten la miopía y la
hipermetropía? ¿Cómo se corrigen?
2. Explicar el efecto fotoeléctrico. Si se duplica la frecuencia de la radiación que incide sobre
la superficie de un metal ¿se duplica la velocidad de los electrones extraídos? Razonar la
contestación.
3. La masa de un núcleo atómico ¿es mayor o menor que la suma de las masas de los nucleones que lo integran? Explicar el concepto de energía de enlace en el núcleo, y su relación con la estabilidad del mismo.
4. En un instante dado un electrón se mueve con velocidadr v, sobre el eje x en sentido positivo en una región en que existe un campo magnético B , en sentido negativo del eje z.
¿Cuál es la dirección y sentido de la fuerza magnética? ¿Cuánto vale? ¿Qué tipo de movimiento describirá el electrón?
APÉNDICE: PAU por Años
452
Septiembre 97
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1. Se pretende situar un satélite artificial de 50 kg de masa en una órbita circular a 630 km de altura sobre la superficie terrestre. Calcular:
a) La velocidad que debe poseer el satélite para girar en esa órbita.
b) La energía que fue preciso comunicarle desde la superficie terrestre para ponerlo en órbita.
c) El valor de la intensidad del campo gravitatorio terrestre a esa altura.
Constante de gravitación universal, G = 6,67x10-11 N.m2.kg-2
Masa de la Tierra, MT = 5,98x1024 kg.
Radio de la Tierra, RT = 6,37 x106 m.
2. Cuando incide sobre el potasio luz de longitud de onda de 3 x 10-7 m, los electrones emitidos
tienen una energía cinética máxima de 2,03 eV
a) ¿Cuál es la energía del fotón incidente?
b) ¿Cuál es la energía de extracción para el potasio?
c) ¿Cuál es el potencial de detención para los fotoelectrones si la luz incidente tiene una
longitud de onda de 4 x 10-7 m.
Constante de Plank = 6,62x10-34 J.s.- Carga del electrón: 1,60 x10-19 C.
BLOQUE B
1. En una cuerda tensa se propaga una onda transversal de ecuación:
y(x,t) = 2 sen [2π (10t – 0.1x)]
en unidades del S.I. Determinar:
a) Periodo, longitud de onda y velocidad de propagación.
b) Velocidad y aceleración máximas de un punto de la cuerda.
c) Ecuación de otra onda idéntica que se propague en sentido contrario.
2. Una partícula cuya masa es 0,5 gr. transporta una carga negativa de 2,5 x 10-8C dentro del
campo gravitatorio terrestre (g = 9,8 m/s2).
Se comunica a la partícula una velocidad horizontal inicial de 6 x 104 m.seg-1.
¿Cuál es el valor, dirección y sentido del campo magnético que mantendrá a la partícula
moviéndose en dirección horizontal?
CUESTIONES
1. Explicar el concepto de ángulo límite y reflexión total. Describir alguna aplicación de este
fenómeno.
2. Definir un campo de fuerzas conservativo y analizar sus diferencias con los nos conservativos. Poner algún ejemplo de cada uno de ellos.
3. Ley de Lenz de la inducción electromagnética. Aplicaciones.
4. Describir la fusión nuclear. ¿A qué se debe que los reactores de fusión no sean aún una
realidad como lo son los reactores de fisión? ¿Qué ventajas e inconvenientes presenta la
energía nuclear procedente de la fisión frente a la procedente de la fusión?
APÉNDICE: PAU por Años
453
Junio 98
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- Una pequeña esfera de 0.2 g cuelga de un hilo de masa despreciable entre dos láminas verticales paralelas separadas 5 cm. La esfera tiene una carga positiva de 6 x10-9 C.
a) ¿Qué diferencia de potencial entre las láminas hará que el hilo forme un ángulo de 45°
con la vertical?
b) ¿Cuál será la intensidad del campo eléctrico entre las láminas?
c) Representar gráficamente las fuerzas que actúan sobre la carga en posición de equilibrio.
2.- a) ¿Cuanta energía transporta un fotón "medio" de luz visible con una longitud de onda de
5 x10-7 m?
b) ¿Cuál será el número de fotones de luz visible emitidos por segundo por una lámpara de
100 W que emite el 1% de su potencia en la región visible?
Constante de Planck, h = 6,62 x10-34 J. s
BLOQUE B
1.- Se desea situar un satélite artificial de 50 kg de masa, en una órbita circular situada en el plano
del ecuador y con un radio igual al doble del terrestre.
Calcular: a) Energía que hay que comunicar al satélite y velocidad orbital del mismo.
b) Energía adicional que habría que aportar al satélite en órbita para que escape de la acción del campo gravitatorio terrestre.
G=6,67x10-11 N.m2. Kg-2
RT = 6.37x106 m.
MT = 5.98x1024 Kg
2.- Una masa de 20 g realiza un movimiento vibratorio armónico en el extremo de un resorte que
da dos oscilaciones por segundo, siendo la amplitud del mismo 5 cm. Calcular:
a) La velocidad máxima de la masa que oscila.
b) La aceleración de la masa en el extremo de su movimiento.
c) La constante k del resorte.
CUESTIONES
1.- Describir el fenómeno de polarización de las ondas. ¿Qué tipo de ondas pueden ser polarizadas? ¿Puede polarizarse el sonido? ¿y la luz? Razonar.
2.- Describir el fenómeno de la radiactividad natural. ¿Qué efectos tiene la radiación sobre el
organismo? ¿Que tipo de radiación es la más nociva? Razonar la contestación.
3.- Describir el funcionamiento de un proyector de diapositivas incluyendo un esquema gráfico de la formación de la imagen.
4.- Efecto fotoeléctrico. Leyes experimentales. Teoría de Einstein del efecto fotoeléctrico.
APÉNDICE: PAU por Años
454
Septiembre 98
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- El periodo de una onda transversal que se propaga a lo largo del eje X es de 6.37x10-3 s y la
distancia entre los dos puntos más próximos cuya diferencia de fase es π/2 es 20 cm. Calcular:
a) La longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda.
b) La velocidad máxima de vibración sabiendo que la amplitud es de 4 cm.
2.- Un largo hilo rectilíneo transporta una corriente de 1.5 A. Un electrón se desplaza paralelamente al hilo a una distancia de 10 cm de él en el mismo sentido de la corriente y con una velocidad de 5x106 cm/s.
a) ¿Qué fuerza ejerce sobre el electrón móvil rel campo
magnético creado por la corriente?
r
r
b) Representar gráficamente los vectores v, B y F
µ0 =4π.10-7 N.A-2 e = 1.6x10-19 C
BLOQUE B
1.- Un astronauta se encuentra en un satélite que describe una órbita circular de radio 2RT y, en
un instante dado, ve pasar un objeto de 20 kg en dirección a la Tierra, a una velocidad de 40
m/s respecto de la Tierra. Calcular:
a) Velocidad del objeto al llegar a la superficie terrestre.
b) Velocidad y aceleración del satélite en su órbita.
RT = 6.37x106 m.
MT = 5.98x1024 Kg.
G =6.67x10-11 N.m2.Kg-2
2.- ¿Qué potencial debe aplicarse para detener los fotoelectrones más rápidos emitidos por una
superficie de cobre bajo la acción de una radiación de longitud de onda de 1500 Å, sabiendo
que la energía umbral para el cobre es de 4.4 eV ?
Constante de Planck = 6.62x10-34 J.s. Carga del electrón = 1.60x10-19 C
1 angstrom = 10-10 m.
CUESTIONES
1.- Teorías sobre la naturaleza de la luz. Hechos experimentales que avalan esas teorías.
2.- Ley de Faraday-Lenz de la inducción electromagnética. ¿Qué corriente inducida aparece
en una espira conductora cuando se le acerca el polo de un imán? ¿y cuando se le aleja?
Razonar .
3.- Comentar qué ocurre si un protón se abandona en reposo en una región donde hay un
campo eléctrico E y un campo magnético B de sentidos opuestos.
4.- Describir la fisión nuclear. Origen de la energía que se produce. Ventajas y problemas
que plantea la energía nuclear.
APÉNDICE: PAU por Años
455
Junio 99
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- En el centro de una piscina circular de 6 m de radio se produce una perturbación que origina
un movimiento ondulatorio en la superficie del agua. La longitud de la onda es de 0.50 m y
tarda 12 segundos en llegar a la orilla. Calcular:
a) La frecuencia del movimiento ondulatorio.
b) La amplitud del mismo si al cabo de 0.25 s la elongación en el origen es de 4 cm.
c) La elongación en el instante t = 12 s en un punto situado a 6 m del foco emisor.
2.- En el espacio comprendido entre dos láminas planas y paralelas con cargas iguales y opuestas
existe un campo eléctrico uniforme. Un electrón abandonado en reposo sobre la lámina cargada negativamente, llega a la superficie de la lámina opuesta, situada a 2 cm de distancia
de la primera, al cabo de 1.5x10-8 seg. Despreciando los efectos gravitatorios, calcular:
a) La intensidad del campo eléctrico entre las láminas.
b) La velocidad con que llega el electrón a la segunda lámina.
c) La diferencia de potencial entre las láminas.
Carga del electrón: e = 1.6x10-19 C
Masa del electrón : m = 9.10x10-31 kg.
BLOQUE B
1.- El radio de la Tierra es aproximadamente 6370 km. Si elevamos un objeto de masa 20 kg a
una altura de 300 km sobre la superficie de la Tierra:
a) ¿Cuánto pesa el objeto a esa altura?
b) ¿Cuál será el incremento de su energía potencial?
c) Si se le dejara caer desde esa altura, ¿con qué velocidad llegaría a la superficie de la
Tierra? Constante de gravitación universal: G = 6.67x 10-11 N.m2.kg-2
Masa de la Tierra: MT = 5.98x1024 kg.
2.- El bismuto -210 (Z=83) emite una partícula β y se transforma en polonio, el cual emite una partícula α y se transforma en un isótopo del plomo.
a) Escribe las correspondientes reacciones de desintegración.
b) Si el periodo de su semidesintegración del bismuto-210 es de 5 días y si inicialmente se
tiene 1 mol de átomos de bismuto, ¿cuántos núcleos se han desintegrado en 10 días? .
Número de Avogadro: N = 60.22 x1022 átomos. mol-1
CUESTIONES
1.- Explicar el funcionamiento óptico de una lupa.
2.- ¿Cómo deben ser las direcciones y sentidos de un campo eléctrico y otro magnético uniformes para que la fuerza resultante sobre una carga con velocidad v sea cero? ¿Cuál ha de
ser la relación entre sus módulos? Razonar.
3.- Describir el efecto fotoeléctrico explicando su aportación al conocimiento de la naturaleza
de la luz.
4.- Deducir, para una órbita circular. la tercera.Jey de Kepler que relaciona el periodo con el
radio de las órbitas de los planetas.
APÉNDICE: PAU por Años
456
Septiembre 99
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- Suponiendo que la Luna gira alrededor de la Tierra con un periodo de 27 días, a una distancia
de 3.8x108 m de su centro. Calcular:
a) La masa de la Tierra.
b) ¿Cuánta energía se necesita para separar una distancia infinita la Luna de la tierra?
Constante de gravitación universal: G = 6.67x10-11 N.m2.kg-2
Masa de la Luna: ML = 7.34x1022 kg.
2.- Un electrón que parte del reposo se acelera a través de una diferencia de potencial de 100
voltios.
a) ¿Qué energía cinética adquiere?
b) Calcular la longitud de la onda asociada al mismo.
Carga del electrón: e = -1.60x10-19 C
Masa del electrón: m = 9.10x10-31 kg.
-34
Constante de Planck : h = 6.62x10 J .s.
BLOQUE B
1.- Una bobina compuesta por 30 espiras cuadradas de 10 cm de lado se encuentra en un campo
magnético variable con el tiempo, de inducción B = 3t2 - 5 (T). El plano de la espira y el
campo forman un ángulo de 90°. Hallar:
a) El flujo magnético a través de la bobina.
b) La intensidad de la corriente eléctrica que circula por la bobina en el instante t = 2 s, sabiendo que su resistencia eléctrica es de 5 ohmios.
2.- Una cámara fotográfica tiene como objetivo una lente de 10 dioptrías.
a) ¿A que distancia del negativo (donde se ha de obtener la imagen) debe estar el objetivo
para fotografiar un objeto situado a 12 m?
b) Si el negativo tiene un tamaño de 3 cm, ¿cuál es el máximo tamaño del objeto?
c) Dibujar un esquema con la marcha de los rayos.
CUESTIONES
1.- Defecto de masa y energía de enlace. Estabilidad de los núcleos.
2.- Analogías y diferencias entre las ondas sonoras y luminosas.
3.- Analogías y diferencias entre los campos gravitatorio y eléctrico.
4.- Un protón se mueve con velocidad v, de módulo constante, en una zona del espacio sin
sufrir desviación en su trayectoria. ¿Puede asegurarse que no existe campo magnético en
esa zona?
Si existiera un campo magnético perpendicular a la velocidad del protón, ¿cómo sería la
trayectoria de éste? Razonar las contestaciones.
APÉNDICE: PAU por Años
457
Junio 00
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- Una partícula de polvo de 1,0x10-11 g de masa posee una carga total equivalente a la de 20
electrones y se encuentra en equilibrio entre dos placas paralelas, horizontales con una diferencia de potencial de 153 V. Suponiendo el campo uniforme,
a) ¿Cuánto distan las placas?
b) ¿En qué sentido y con qué aceleración se moverá la partícula de polvo si se aumenta la
diferencia de potencial entre las placas en 2 V ?
Carga del electrón: e = 1,6x10-19 C
2.- La aguja de una máquina de coser se mueve con un movimiento que puede considerarse vibratorio armónico. Si el desplazamiento vertical total es 8 mm y realiza 20 puntadas en 10
segundos,
a) ¿Cuál será la máxima velocidad de la aguja y en qué punto la alcanzará?
b) ¿Cuál será su máxima aceleración y en qué punto la alcanzará?
BLOQUE B
1.- Una bobina de 50 vueltas y 10 cm2 de sección está situada con su eje paralelo a las líneas de
un campo magnético de 1 T.
a) Si el campo disminuye linealmente con el tiempo hasta anularse en dos segundos, calcular la fuerza electromotriz inducida.
b) Representar gráficamente el campo magnético y la fuerza electromotriz inducida en función del tiempo.
c) Si la bobina gira alrededor de un eje normal al campo magnético inicial, a la velocidad
constante de 10 rad.s-1, ¿cuál será la expresión de la fuerza electromotriz inducida? ¿Cuál
será su valor máximo?
2.- En la desintegración del 226
88 Ra para formar radón, cada átomo emite una partícula alfa y también un rayo gamma de longitud de onda 6,52x10-12 m.
a) Escribir la reacción de desintegración del radio.
b) Calcular la energía máxima de cada fotón de rayos gamma en MeV
c) Calcular la pérdida de masa de la reacción anterior debida a la emisión gamma.
Constante de Planck : h = 6,62. 10-34J.s.- Carga del electrón: e = 1,6x10-19 C
CUESTIONES
1.- Ondas estacionarias. ¿Qué diferencias existen entre una onda progresiva o viajera y una
onda estacionaria?
2.- Efecto fotoeléctrico. En el efecto fotoeléctrico se habla de frecuencia umbral ¿qué significado tiene? ¿Puede definirse también una intensidad umbral? ¿y una longitud de onda umbral? Razonar las contestaciones.
3.- Energía mecánica de un satélite artificial que gira alrededor de la Tierra a una altura h de
su superficie.
4.- Explicar los fenómenos de reflexión y refracción de una onda y las leyes que los rigen.
De las siguientes magnitudes, v, λ, f, T ¿Cuáles cambian y cuáles no varían ?
APÉNDICE: PAU por Años
458
Julio 00
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- En la superficie de un planeta de 1000 km. de radio la aceleración de la gravedad es de 2 m.s-2
Calcular .
a) La masa del planeta.
b) La energía potencial gravitatoria de un objeto de 50 kg de masa situado en la superficie
del planeta.
c) La velocidad de escape desde la superficie del planeta.
Constante de gravitación universal: G = 6,67.10-11N.m2.kg-2
2.- a) ¿Cuál es la longitud de onda de los rayos X si cada fotón transporta una energía de 40000
eV?
b) ¿Cuál sería la energía cinética de los electrones con una longitud de onda de Broglie
igual a la de los rayos X de la pregunta anterior ? .
Carga del electrón: e = 1,6x10-19C.- Constante de Planck : h = 6,62.10-34 J.s.- Masa del
electrón : m = 9,10x10-31kg.
BLOQUE B
1.- En el modelo de Bohr correspondiente al átomo de hidrógeno, un electrón describe una órbita
circular alrededor del núcleo que contiene un solo electrón. Si el radio de la órbita es de
5’28 .10-9cm, calcular:
a) La energía cinética del electrón.
b) El número de revoluciones que da el electrón por segundo.
Carga del protón: 1,60x10-19 C.- Masa del electrón: m = 9,10x10-31kg.- k = 9x109 N.m2.C-2
2.- Una partícula inicia un movimiento armónico simple en el extremo de su trayectoria y tarda 0,1
s en ir al centro de la misma. Si la distancia entra ambas posiciones es de 0’2 m, calcular:
a) El periodo y la pulsación (ω) del movimiento.
b) La posición de la partícula 1 segundo después de iniciar el movimiento.
c) La velocidad de la partícula en ese momento.
CUESTIONES
1.- La fusión nuclear. ¿Por qué se produce espontáneamente la fusión en el Sol pero no en
la Tierra? .
2.- Diferencias entre las ondas sonoras y las ondas luminosas. ¿Se puede transmitir el sonido a través del vacío? ¿y la luz? ¿Razonar la contestación? .
3.- Un imán se acerca por su polo sur a una bobina cuyos extremos se encuentran unidos a
un galvanómetro. ¿Cómo será el sentido de la corriente inducida? ¿y si se aleja el imán?
Razonar: ¿Cómo se afectará a dicha corriente inducida?
a) Si se utiliza un imán más potente.
b) Si se aumenta la velocidad con que el imán se aproxima a la bobina.
c) Si se aumenta el número de vueltas de la bobina.
4.- Describir el funcionamiento de un proyector de diapositivas representando gráficamente
la formación de la imagen.
APÉNDICE: PAU por Años
459
Junio 01
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- Un meteorito de 100 kg de masa se encuentra inicialmente en reposo a una distancia sobre la
superficie terrestre igual a 6 veces el radio de la Tierra.
a) ¿Cuánto pesa en ese punto?
b) ¿Cuánta energía mecánica posee?
c) Si cae a la Tierra, ¿con qué velocidad llegará a la superficie?
Constante de gravitación universal, G =6,67x10-11 N.m2.kg-2
Masa de la Tierra, M = 5,98x1024 kg
Radio de la Tierra, R = 6,37x106 m
2.- Calcular la masa de deuterio que requeriría cada día una hipotética central de fusión de 500
MW de potencia eléctrica en la que la energía se obtuviese del proceso 2 21H → 42 He , suponiendo un rendimiento del 30% .
Masa atómica del deuterio: 2,01474 u
Masa atómica del helio: 4,00387 u
1 u = 1,66x10-27 kg
Número de Avogadro: N = 6,02x1023 átomos/mol
BLOQUE B
1.- La intensidad de la luz solar en la superficie terrestre es aproximadamente 1400 W.m-2. Suponiendo que la energía media de los fotones sea 2 e V,
a) calcular el número de fotones que inciden por minuto en una superficie de 1 m2 .
b) ¿a qué longitud de onda corresponde esa energía media de los fotones?
Carga del electrón:
e = 1,6x10-19 C
Constante de Planck : h = 6,62x10-34 J.s
2.- Una barra de 25 cm de longitud se mueve a 8 m.s-1 en un plano perpendicular a un campo
magnético de 6x10-2 T. Su velocidad es perpendicular a la barra.
a) ¿Cuál será el módulo, dirección y sentido de la fuerza magnética que se ejerce sobre un
electrón de la barra?. Representación gráfica
b) ¿Cuál será la diferencia de potencial entre los extremos de la barra?
Carga del electrón: e = 1,6x10-19 C
CUESTIONES
1.- Enuncia el teorema del momento angular para un punto material y describir algún ejemplo de movimiento en que se cumpla el teorema de conservación del momento angular.
2.- Describir el funcionamiento óptico del ojo humano. ¿En que consisten la miopía y la
hipermetropía? ¿Cómo se corrigen?
3.- Energía e intensidad del movimiento ondulatorio. Variación con la distancia a la fuente
emisora.
4.- ¿Cómo se ha de aplicar un campo eléctrico y otro magnético, perpendiculares y uniformes para que sus fuerzas respectivas sobre una carga con velocidad v se anulen? ¿Cuál ha
de ser la relación entre sus módulos?
APÉNDICE: PAU por Años
460
Julio 01
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- La luna posee una masa de 7,35x1022 kg y un radio de 1,74x106 m. Un satélite de 5000 kg gira
a su alrededor en una órbita circular de radio igual a 5 veces el radio de la luna. Despreciando la influencia de la Tierra, calcular:
a) El periodo de giro del satélite.
b) La energía total del satélite.
c) La velocidad de escape desde la superficie de la luna.
Constante de gravitación universal, G =6,67x10-11 N.m2.kg-2
2.- Un ión con una sola carga y de masa desconocida se mueve en una circunferencia de 12 cm
de radio en un campo magnético de 1,2 Teslas. El ion fue acelerado por una diferencia de
potencial de 7000 V ¿Cuál es la masa del ion?
Carga del electrón:
e = 1,6x10-19 C
BLOQUE B
1.- En un punto del espacio x = 2 m el potencial eléctrico tiene el valor de V = 200 voltios, y en x =
10 m el potencial vale V = 600 voltios.
a) Hallar el módulo, dirección y sentido del campo eléctrico, suponiéndolo uniforme.
b) Calcular la velocidad con que llegará al punto x = 2 m un electrón que se abandona en el
punto x = 10 m.
Carga del electrón:
e = 1,6x10-19 C
Masa del electrón:
m = 9,10x10-31kg
(Es evidente el error en el enunciado: el electrón, abandonado en x = 10m, no puede ir a x
=2 m; la fuerza eléctrica lo lleva hacia valores crecientes de x.- Corrijamos entonces: “... al
punto x = 10 m ......que se abandona en el punto x = 2 m”)
2.- La lente convergente de un proyector de diapositivas, que tiene una distancia focal de +15,0
cm, proyecta la imagen emitida de una diapositiva (de 3,5 cm. de ancho) sobre una pantalla
que se encuentra a 4,00 m de la lente.
a) ¿A que distancia de la lente está colocada la diapositiva? .
b) ¿Cuál es el aumento de la imagen formada por el proyector en la pantalla?
c) Representar gráficamente la formación de la imagen.
CUESTIONES
1.- La fisión nuclear. Ventajas e inconvenientes de la energía de origen nuclear.
2.- Teorías sobre la naturaleza de la luz. Hechos experimentales que avalan estas teorías.
3.- Ley de Lenz-Faraday de la inducción electromagnética. El generador de corriente alterna.
4.- Describir las analogías y diferencias entre las ondas sonoras y luminosas.
APÉNDICE: PAU por Años
461
Junio 02
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- Con la misión de observar la superficie de la Luna, se coloca un satélite de 500 kg en órbita
lunar de modo que su altura sobre la superficie de la luna es de 260 km. Calcular:
a) la velocidad orbital de satélite.
b) el periodo de revolución del satélite.
c) la energía potencial del satélite debida al campo gravitatorio de la Luna.
d) la energía total del satélite si se considera sólo la interacción con la Luna.
Datos: Masa de la Luna: ML = 7,34x1022 kg. Radio de la Luna: RL = 1740 km
G = 6,67x10-11 N. m2. kg-2
2.- Una superficie de vidrio (nv = 1,50) tiene sobre ella una capa de agua (na = 1,33). Un rayo luminoso monocromático que se propaga por el vidrio incide sobre la superficie vidrio-agua.
a) Hallar el ángulo de incidencia para que se produzca la reflexión total. Ayúdate de un dibujo.
b) ¿Cuál será la velocidad de la luz en cada medio?
BLOQUE B
1.- Un hilo conductor de 10 cm de longitud tiene una masa de 5 g y está conectado a un generador de fem mediante hilos flexibles y ligeros de peso despreciable. El hilo, en posición horizontal, está situado en un campo magnético de 0,5 T, también horizontal y perpendicular al
hilo.
Hallar la intensidad de corriente necesaria para hacer flotar el hilo, es decir, para que la
fuerza magnética equilibre al peso del hilo.
2.- Un haz de luz de longitud de onda de 400 nm tiene una intensidad de 100 W.m-2.A
a) ¿Cuál es la energía de cada fotón del haz?
b) ¿Cuánta energía llega en un minuto a una superficie de 1 cm2, perpendicular al haz?
c) ¿Cuántos fotones llegan por segundo a esta superficie?
Datos: 1 nm = 10-9 m Constante de Planck: h = 6,62x10-34 J.s
CUEST[ONES
1.- Reacciones de Fusión Nuclear. ¿De donde procede la energía que se desprende? Ventajas y dificultades para obtener energía procedente de la fusión.
2.- Describir el funcionamiento de una lupa y analizar las características de sus imágenes.
¿Se pueden recoger estas imágenes en una pantalla?
3.- Ley de Lenz de la inducción electromagnética. Aplicaciones.
4.- Ecuación del movimiento armónico simple. Indicar el significado de cada término. Poner
algún ejemplo.
APÉNDICE: PAU por Años
462
Julio 02
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- Dos cargas negativas puntuales de –5x10-8 C, están fijas en el eje OX en los puntos x1 = 0 y
x2 = 5, donde las distancias se expresan en mm. Hallar:
a) El campo eléctrico en el punto x3 = 10, indicando su dirección y sentido.
b) La velocidad con que llega al punto x4 = 8, una partícula de carga 8x10-9 C y 5 mg de masa, que se abandona libremente en el punto x5 = 10.
Dato: k = 1/4πε0 = 9x109 N. m2.C-2
2.- Una onda armónica se propaga por un medio elástico siguiendo la ecuación
y = 24 sen(2000t - 5x) en unidades del S.I. Determinar:
a) Amplitud, frecuencia y longitud de onda de la misma.
b) El desfase que existirá entre dos puntos separados 0,2 m entre si a lo largo de la dirección de propagación de la onda.
c) La ecuación de otra onda idéntica a la anterior que se propague en sentido contrario a la
dada.
BLOQUE B
1.- Un cohete de 1000 kg se pone en órbita circular a 800 km de la superficie de la Tierra. Calcular:
a) Su energía potencial
b) Su energía cinética
c) El período de revolución del satélite
d) La velocidad que debiera tener a esa altura para escapar del campo gravitatorio terrestre
Datos:
Constante de gravitación universal, G = 6,67x10-11 N.m2.Kg- 2
Masa de la Tierra, MT = 5,98x1024 Kg
Radio de la Tierra, RT = 6,37x106 m
2.- Sobre el cátodo de una célula fotoeléctrica incide luz ultravioleta de 2536 Å de longitud de onda. Sabiendo que el umbral fotoeléctrico del cobre metálico está en λ0 = 3200 Å, calcular:
a) El valor del trabajo de extracción, en Julios.
b) La energía cinética máxima de los electrones expulsados.
c) La velocidad máxima de los fotoelectrones.
Datos: Masa del electrón, me = 9,10x10-31 Kg. Carga del electrón, e = -1,60x10-19 Culombios
Constante de Planck, h = 6,62x10-34Julios. segundo. 1 angstrom, 1Å = 10-10 m.
CUESTIONES
1.- Describir el funcionamiento del ojo humano. ¿En que consisten la miopía y la hipermetropía? ¿Cómo se corrigen?
2.- Analogías y diferencias entre las fuerzas gravitatorias y electrostáticas
3.- Ley de Lenz de la inducción electromagnética. Aplicaciones
4.- Reacciones de Fisión Nuclear. ¿De dónde procede la energía desprendida? Ventajas e
inconvenientes para obtener energía procedente de la Fisión.
APÉNDICE: PAU por Años
463
Junio 03
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- La energía de extracción del cesio es 1 ,9 e V.
a) Hallar la frecuencia umbral y la longitud de onda umbral del efecto fotoeléctrico.
b) Hallar el potencial de detención de los electrones para una longitud de onda incidente de
300 nm.
1nm = 10-9 m.-1 eV = 1,6xI0-19 Julios.- Constante de Planck, h = 6,62 x 10-34 J.s.- Carga del
electrón, e = – 1,6 x 10-19 C
2.- Se lleva un cuerpo, mediante un cohete, hasta una altura de 630 km. sobre el nivel del mar.
a) ¿Cuál es la intensidad del campo gravitatorio terrestre a esa altura?
b) ¿Con qué velocidad debería lanzarse este cuerpo (colocado a esa altura) en una dirección perpendicular al radio de la Tierra de tal forma que describiese una órbita circular?
c) ¿Cuál sería el periodo de revolución del cuerpo alrededor de la Tierra?
Constante de gravitación universal: G = 6,67x10-11 N.m2.kg-2.Masa de la Tierra: MT = 5,98 x1024 kg.- Radio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m.
BLOQUE B
1.- Una descripción simple del átomo de Hidrógeno (modelo de Bohr) consiste en un único electrón girando en una órbita circular alrededor de un núcleo que contiene un solo protón, bajo
la acción de una fuerza atractiva dada por la Ley de Coulomb.
Si el radio de la órbita es 5,28 x 10-9 cm, calcular:
a) El número de revoluciones que da el electrón por segundo.
b) La energía potencial electrostática del electrón.
c) Su energía total.
Carga del electrón, e = – 1,6 x 10-19 C.- Masa del electrón, me= 9,10x 10-31kg.k = 1/4πε0 = 9 x 109 N.m2.C-2
2.- En una cuerda tensa se propaga una onda transversal de ecuación
y(x,t) = 2 sen2π(10 t - 0,1 x)
en unidades de S.I. Determinar:
a) Periodo, longitud de onda y velocidad de propagación.
b) Velocidad y aceleración máximas de un punto de la cuerda.
c) Ecuación de otra onda idéntica que se propague en sentido contrario.
CUESTIONES
1.- Describir el funcionamiento de una cámara fotográfica, representando gráficamente la
formación de la imagen.
2.- Acción de un campo magnético sobre una carga eléctrica. Explicar los distintos casos
que pueden darse, con ayuda de representación gráfica.
3.- Describir el fundamento de un generador de corriente alterna. ¿Cuál es la diferencia entre las distintas centrales de producción de energía eléctrica? (térmicas, hidroeléctricas, nucleares ...).
4.- Enunciar las leyes de Kepler del movimiento de rotación de los planetas alrededor del
sol.
A partir de la Ley de Gravitación de Newton, demostrar la tercera ley de Kepler para una
órbita circular .
APÉNDICE: PAU por Años
464
Julio 03
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- Un satélite artificial de 1000 kg describe una órbita circular terrestre situada a 6000 km sobre la
superficie de la Tierra.
a) ¿Cuál ha sido la energía mínima necesaria para situarlo en esa órbita, partiendo de un
punto de la superficie terrestre?
b) ¿Cuál es su velocidad lineal?
c) ¿Cuál sería el periodo de revolución del satélite alrededor de la Tierra? .
Constante de gravitación universal, G = 6,67x10-11 N m2 kg-2
Masa de la Tierra, MT = 5,98 x 1024 kg.
Radio de la Tierra, RT = 6,37 x 106 m.
2.- Una partícula transmite al medio elástico, homogéneo, isótropo y no absorbente que le rodea
una energía de 10 J durante 5 s de forma continua. La amplitud de la vibración es de 2 cm a
una distancia de 10 cm del foco. Calcular:
a) La intensidad del movimiento ondulatorio en un punto que dista 50 cm del foco.
b) ¿A qué distancia, medida desde el foco, la intensidad del movimiento ondulatorio es la
mitad de la obtenida en el apartado anterior?
BLOQUE B
1.- Un segmento horizontal de conductor de 25 cm de longitud y 20 gr de masa por el que circular
una corriente de 10 A se encuentra en equilibrio en un campo magnético uniforme, también
horizontal y perpendicular al conductor.
a) Hallar el valor de la inducción magnética.
b) Representar gráficamente la corriente, la inducción magnética y las fuerzas que actúan
sobre el conductor.
2.- Un microondas doméstico proporciona 500 W a una frecuencia de 2450 MHz.
a) ¿Cuál es la longitud de onda de esta radiación?
b) ¿Cuál es la energía de cada fotón emitido?
c) ¿Cuántos fotones por segundo emite el magnetrón?
Constante de Planck, h = 6,62x10-34 J.s
CUESTIONES
1.- Acción de un campo magnético sobre una carga eléctrica. Explicar los distintos casos
que pueden darse y representar gráficamente cuando sea necesario.
2.- Estabilidad de los núcleos. Defecto de masa y energía de enlace.
3.- Explicar el fenómeno de la difracción de las ondas. En nuestra experiencia cotidiana es
más frecuente la difracción de las ondas sonoras que la de las luminosas. ¿A que se debe
esto?
4.- Describir el funcionamiento de la cámara fotográfica.
APÉNDICE: PAU por Años
465
Junio 04
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- En la superficie de un planeta de 2000 km de radio la aceleración de la gravedad vale 3 m/s2.
Calcular:
a) la masa del planeta.
b) la energía potencial gravitatoria de un objeto de 5 kg de masa situado en la superficie del
planeta.
c) la velocidad de escape desde la superficie del planeta.
2.- a) ¿Cuánta energía transporta un fotón "medio" de luz visible con una longitud de onda de
5x10-7 m?
b) Hallar el número de fotones de luz visible emitidos por segundo por una lámpara de 100
W que emite el 1 % de su potencia en la región visible?
BLOQUE B
1.- Una pequeña esfera de 0'2 g cuelga de un hilo de masa de masa despreciable entre dos láminas verticales paralelas separadas 5 cm ente las que el campo eléctrico es uniforme y perpendicular a las mismas. La esfera tiene una carga positiva de 6x10-9C.
a) Representa las fuerzas que actúan sobre la esfera en la posición de equilibrio.
b) ¿Qué diferencia de potencial entre las láminas hará que el hilo, en equilibrio, forme un
ángulo de 45º con la vertical?
2.- Una espira de 10 cm2 de sección está situada en un campo magnético uniforme de 4 T, perpendicular al plano de la espira.
a) ¿Cuánto vale el flujo magnético que la atraviesa?
b) Si el campo magnético disminuye hasta anularse en 0'2 s, ¿cuánto valdrá la f.e.m. media
inducida?
CUESTIONES
1.- Describir el fenómeno de polarización de las ondas. ¿Qué tipo de ondas pueden ser polarizadas?¿Puede polarizarse el sonido?¿Y la luz?¿Razonar la contestación.
2.- Describir el fenómeno de la radiactividad natural. ¿Qué efectos tiene la radiación sobre el
organismo?¿Qué tipo de radiación de la más nociva? Razonar la contestación.
3.- Un electrón se mueve con velocidad v de módulo constante en una zona del espacio sin
sufrir desviación en su trayectoria. ¿Puede asegurarse que no existe campo magnético en
esa zona?¿Y campo eléctrico? Razonar las contestaciones.
4.- Describe el efecto fotoeléctrico. ¿De qué características de la luz depende la intensidad
de la corriente fotoeléctrica cuando ésta se produce? Razonar la contestación.
APÉNDICE: PAU por Años
466
Julio 04
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- Se lleva un cuerpo mediante un cohete hasta una altura de 500 km sobre el nivel del mar.
a) ¿Cuál es la intensidad del campo gravitatorio terrestre a esa altura?
b) Desde esta posición, ¿con qué velocidad debería lanzarse este cuerpo en una dirección perpendicular al
radio de la Tierra para describir una órbita circular?
c) ¿Cuál sería el periodo de revolución del cuerpo alrededor de la Tierra?
d) Si la masa del cuerpo es de 100 kg, ¿cuál sería su energía mecánica?
Constante de gravitación universal: G = 6’67x10-11 N.m2.kg-2
Masa de la Tierra: MT = 5’98 x1024 kg
Radio de la Tierra: RT = 6’37 x 106 m
2.- a) Determinar la frecuencia de un fotón de 200 MeV de energía e indicar a qué zona del espectro electromagnético pertenece.
b) Calcular su longitud de onda y su momento lineal.
Constante de Planck: h = 6’62x10-34 J.s
Carga del electrón: e = 1’60x10-19 C
BLOQUE B
1.- a) ¿Cuál es la velocidad de un haz de electrones si la influencia simultánea de un campo eléctrico de 3 x104 V/m y de un campo magnético de 2x10-2 T no produce desviación en los electrones
cuando ambos campos son perpendiculares entre sí
y al haz.
r r r r
b) Representar un esquema con los vectores v, E, B y F.
c) ¿Cuál es el radio de la órbita del electrón cuando se suprime el campo eléctrico, sabiendo
que la relación e/m vale aproximadamente 1’76x10 11 C/kg?
2.- Una central nuclear de 800 MW de potencia utiliza como combustible uranio enriquecido hasta el
3% del isótopo fisionable (U-235),
a) ¿Cuántas fisiones por segundo deben producirse?
b) ¿Cuántas toneladas de combustible consumirá en un año?
Datos: En cada fisión de un núcleo de U-235 se liberan 200 MeV
Carga del electrón: e = -1’60x10-19 C
Número de Avogadro: NA = 6’023x1023 átomos/mol
CUESTIONES
1. Si de alguna manera el radio de la Tierra se redujese a la mitad sin alterar su masa., ¿cuál sería el valor
de g sobre la nueva superficie? ¿Cuál sería el valor de g a una distancia de la superficie igual al radio inicial?
2. Analogías y diferencias entre ondas armónicas longitudinales y transversales. Poner algún ejemplo de
cada clase.
3. Describir el fundamento de un generador de corriente alterna. ¿Cuál es la diferencia entre las distintas
centrales de producción de energía eléctrica? (térmicas, hidroeléctricas, nucleares, etc...).
4. Naturaleza ondulatoria y corpuscular de la luz. Indicar fenómenos en los que se manifieste cada una de
ellas.
APÉNDICE: PAU por Años
467
Junio 05
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- La distancia media entre los centros de la Tierra y de la Luna es de 384000 km. Es fácil ver
que, entre ambos cuerpos, existe un punto (P) situado en la recta que los une, en el que la
gravedad aparente es nula ya que ambas fuerzas de atracción se anulan. Sabiendo que la
masa de la Tierra es aproximadamente 80 veces la de la Luna:
a) Determinar la distancia de P al centro terrestre. ¿Existe algún otro punto sobre esa recta
en el que las fuerzas también se anulen?
b) Calcular el Potencial Gravitatorio en ese punto, debido a la acción conjunta de la Tierra y
de la Luna.
c) Calcular la velocidad que debe imprimirse a un cuerpo situado sobre la superficie terrestre
para que alcance el punto P con velocidad nula. (Despreciar en este caso el potencial gravitatorio lunar en la superficie terrestre).
Constante de gravitación universal: G = 6’67x1011
2
2
N m kgMasa de la Tierra: MT = 5’98xl024 kg
Radio terrestre: RT = 6370 km.
2.- Un rayo de luz que se propaga por el agua, cuyo índice de refracción es n2 = 1’33, llega a su
superficie (plana). Si el medio exterior es el aire (n1 = 1):
a) Calcular el ángulo mínimo de incidencia para que se produzca la reflexión total.
b) Para este ángulo de incidencia, calcular el ángulo de refracción si el medio exterior es un
vidrio de índice n3 = 1’5. ¿Podría existir reflexión total en este caso?
c) Determinar el valor de la velocidad de la luz en el agua y en él vidrio.
Nota: suponemos que las propiedades ópticas del aire son las mismas que las del vacío:
c = 300000 km/s
BLOQUE B
1.- Dos pequeñas esferas, de igual masa m y cargas eléctricas +q y -q, cuelgan de sendos hilos
de igual longitud. Debido a la atracción electrostática, los hilos forman un ángulo α = 30° con
la vertical y la distancia de equilibrio entre ambas esferas vale d = 1 metro.
a) Dibujar las fuerzas que actúan sobre cada esfera.
b) Calcular el valor de q.
c) Calcular los valores de las fuerzas.
Datos: m = 1 g.- g = 10 m/s2.- k = (1/4πε0) = 9x109 N m2 C-2.sen30º =1/2
2.- Un protón (p), de masa mp = 1’67x10-27 kg y carga qp = 1’6x10-19
C, entra en una región del espacio en el que existe un campo
magnético
uniforme paralelo al eje OX y de intensidad
r
r
B = B î con una velocidad paralela al eje OY, v = v ĵ , donde v =
104 m/s ( î y ĵ son los vectores unitarios a lo largo de los ejes
OX y OY, respectivamente).
a) Si el radio de la trayectoria vale R = 10 cm, calcula la intensidad B.
b) Determina la fuerza que actúa sobre el protón (módulo, dirección y sentido).
APÉNDICE: PAU por Años
468
c) Explica por qué el protón describe una trayectoria circular.
d) Si en vez del protón se trata de una partícula α, de carga doble a la del protón y con la
misma velocidad, se observa que el radio de su trayectoria es doble. Calcular la masa de la
partícula α.
CUESTIONES
1.- Reacciones de Fusión Nuclear y de Fisión Nuclear. Analogías y diferencias. Ventajas e
inconvenientes ¿De dónde procede la energía que se desprende en estas reacciones?
2.- Describir el funcionamiento del ojo humano. Miopía e hipermetropía.
3.- Leyes de Faraday y de Lenz, de la inducción electromagnética. Aplicaciones,
4.- Ecuación del movimiento armónico simple. Indicar el significado de cada término. Poner
algún ejemplo.
APÉNDICE: PAU por Años
469
Julio 05
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- Umbriel, un satélite de Urano, describe una órbita prácticamente circular, de radio
R1 = 267x106 m y su periodo de revolución vale T1 = 3’58x105 segundos. Oberón, otro satélite de Urano, gira en órbita también circular, de radio R2 = 586xl06m.
a) Calcular la masa de Urano
b) Calcular el periodo de revolución de Oberón
Dato: Constante de gravitación universal, G = 6’67 .10-11 N. m2 / kg2
2.- Un electrón entra en una región del
r espacio en la que existe un campo eléctrico uniforme, paralelo al eje OX y de intensidad E = E î . La velocidad del electrón es paralela al eje OY:
r
v = v ĵ . E = 103 voltios/metro, v = 103m/s
a) Calcular la fuerza eléctrica sobre electrón. ¿Cómo será
Z
la trayectoria descrita?
er
b) La fuerza eléctrica sobre el electrón puede anularse
v
r
mediante una fuerza producida por un campo magnético
E
superpuesto al anterior en esa región del espacio. DeterY
minar el módulo, dirección y sentido de la intensidad (B)
de este campo.
X
c) Cuál será la fuerza neta (módulo, dirección y sentido)
sobre un protón que llega con el doble de velocidad que
el electrón, a esa misma superposición de campos.
Datos: Carga del electrón, e = -1’60x10-19C
Masa del electrón, me = 9’1x10-31 kg
Masa del protón, mp = 1800 me
BLOQUE B
1.- Una sucesión de olas rectas y paralelas que se propagan en la dirección del eje OX sobre la
superficie del mar, se puede representar mediante un movimiento ondulatorio de ecuación:
z = 3 sen (0’2 π t – 0’l7 π t x). Las magnitudes de esta expresión están dadas en el Sistema
Internacional de unidades. En esta ecuación, z representa la altura de cada punto de la superficie respecto del nivel medio, en el punto x y en el instante t. Calcular:
a) la altura máxima de esas olas sobre el nivel medio.
b) el número de olas que pasan por un punto en cada minuto.
c) la distancia entre 2 olas.
d) la velocidad de las olas.
e) Si en un instante dado, en la posición x = 0 hay un mínimo de la ola, cuánto vale en ese
instante la altura z en el punto x = 15 m.
2.- Una espira formada por un hilo conductor de forma cuadrada y de lado 10 cm se sitúa sobre el
plano horizontal
XOY perpendicular a un campo magnético en la dirección del eje OZ, de inr
tensidad B = B k̂ Si el campo magnético varía con el tiempo según la ley B = B0 sen ωt,
donde B0 = 0’5 T y ω =10π s-1. Calcular:
a) el valor de la fuerza electromotriz ( E ) inducida en la espira en función del tiempo. ¿Cuál
es el valor deE y el sentido de la corriente cuando t = 0?
b) Si el campo magnético es constante en el tiempo, también puede conseguirse una corriente inducida moviendo la espira adecuadamente. Describe algún movimiento de la espira
que produzca corriente inducida y otro que no lo haga. ¿Por qué?
APÉNDICE: PAU por Años
470
CUESTIONES
1.- Describir el funcionamiento de una cámara fotográfica
2.- Estabilidad de los núcleos atómicos. Defecto de masa y energía de enlace.
3.-Ondas polarizadas. Poner algún ejemplo.
4.- Describir el Efecto Fotoeléctrico. Explicación cuántica. Hipótesis de De Broglie.
APÉNDICE: PAU por Años
471
Junio 06
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- Un satélite artificial de 500 kg gira en una órbita circular a 5000 km de altura sobre la superficie
terrestre. Calcular:
a) su velocidad
b) su energía total
c) la energía necesaria para que, partiendo de esa órbita, se coloque en otra órbita circular a
una altura de 10000 km
d) En este proceso ¿cuánto cambia su momento angular?
Datos: Radio terrestre, R = 6’37x106m
Masa de la Tierra, M = 5’98xl024 kg
Constante de gravitación universal, G = 6’67x10-11 N m2 kg-2
2.- Una fuente de radiación electromagnética monocromática emite una luz de frecuencia
f = 5’88xl014 Hz con una potencia de 10 W. Calcular:
a) la longitud de onda
b) la energía de cada fotón
c) el número de fotones emitidos por segundo.
Datos: Constante de Planck, h = 6,63xlO-34 J.s
Velocidad de la luz en el vacío y en el aire, c = 3x108 ms-1
BLOQUE B
1.- Dos placas paralelas separadas una distancia de 0’03 m, están conectadas a los bornes
de una batería de 900 voltios. Si suponemos que el campo eléctrico entre ambas placas es
uniforme, calcular la intensidad de campo entre ellas.
Si se abandona un electrón en reposo en la placa negativa, ¿cuál será su velocidad al llegar
a la placa positiva?
Y si se abandona un protón en la placa positiva, ¿cuál será su velocidad al llegar a la placa
negativa?
¿Qué relación existe entre las energías cinéticas finales de ambas partículas?
Datos: Carga del electrón = Carga del protón, e = 1’6x10-19 C
Masa del electrón, me = 9’1x10-31 kg
Masa del protón, mp = 1’67x10-27 kg
2.- Una onda armónica transversal se propaga por una cuerda en la dirección positiva del eje OX.
La amplitud es A = 0’06 m, la frecuencia vale f = 10 Hz y su velocidad es de 15 m.s-1.
a) Determinar su longitud de onda
b) Escribir la ecuación de la onda
c) calcular la velocidad y aceleración máximas de un punto de la cuerda
CUESTIONES
1- Inducción electromagnética. Leyes de Faraday y Lenz. Ejemplo.
2- Movimiento armónico simple. Definir: amplitud, elongación, frecuencia y periodo. Escribir
la ecuación del movimiento y deducir las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración.
3- Describir el funcionamiento de un microscopio óptico. ¿Cómo se calculan los aumentos?
4- Describir el fenómeno de la radiactividad natural. Rayos α, β y γ . Leyes de Soddy y Fajans sobre la desintegración radiactiva.
APÉNDICE: PAU por Años
472
Julio 06
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- La Tierra gira alrededor del Sol en una órbita que circular, de radio r = 1'5x1011 m y da una vuelta
cada año. Calcular:
a) la velocidad de traslación de la Tierra
b) su momento angular
c) la masa del Sol.
Datos: Masa de la Tierra, M = 5'98x1024 kg
Constante de gravitación universal, G = 6'67x10 -11 N. m2 .kg -2
2.- Un haz de luz monocromática de 6'5x1014 Hz ilumina una superficie metálica que emite electrones
con una energía cinética de 1'5x10 -19 J. Calcular:
a) la frecuencia de cada fotón
b) el trabajo de extracción del metal,
c) el valor de la frecuencia umbral.
Datos: Constante de Planck, h = 6,63x10-34 J.s
Velocidad de la luz en el vacío y en el aire, c = 3x108 m.s -1
BLOQUE B
1.- Un protón inicialmente en reposo se acelera bajo una diferencia de potencial de 105 voltios.
A continuación entra en un campo magnético uniforme, perpendicular a la velocidad, y describe
una trayectoria circular de 0'3 m de radio. Calcular el valor de la intensidad del campo magnético.
Si se duplica el valor de esta intensidad, ¿cuál será el radio de la trayectoria?
Datos: Carga del protón, e = 1,6x10-19 C Masa del protón, mp = 1,67x10-27 kg
2.- La ecuación de una onda transversal que se propaga por una cuerda es:
y = 4 cos(100 π t - 75 πx)
donde x se mide en metros y t en segundos.
Calcular:
a) la frecuencia
b) la longitud de la onda
c) la velocidad de propagación
d) Escribir la ecuación del movimiento del punto de la cuerda situado en el origen de coordenada
d) ¿Cuáles son su velocidad y su aceleración máximas?
e) ¿En qué instantes de tiempo se alcanzan?
CUESTIONES
1.- Definir la intensidad del campo eléctrico y el potencial electrostático. Ley de Coulomb. Ejemplo.
2.- Leyes de la reflexión y de la refracción de ondas.
3.- Producción de corrientes eléctricas mediante la inducción electromagnética Describa un generador elemental de corriente alterna.
4.- Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario.
APÉNDICE: PAU por Años
473
Junio 07
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- La Estación Espacial Internacional (ISS) gira alrededor de la Tierra en una órbita que consideramos circular, a una altura de 380 km sobre la superficie terrestre. Calcular
a) la velocidad lineal de la Estación y el tiempo que tarda en dar una vuelta a la Tierra (período)
b) la energía mínima necesaria para colocar en esa órbita una masa de 1 kg partiendo de un
punto de la superficie terrestre*.
c) la velocidad necesaria para escapar de la atracción terrestre desde esa órbita.
Datos: Radio terrestre, R = 6,37xl06m.- Masa de la Tierra, M = 5,98xl024 kg
Constante de gravitación universal, G = 6,67x10-11 N.m2.kg-2.
* Prescindir de la velocidad de rotación de la Tierra
2.- Una onda armónica transversal, y = f(x, t), se propaga por una cuerda en la dirección negativa
del eje OX. La frecuencia vale 0,5 Hz y la velocidad de propagación es vp = 20 m/s. En el
instante t = 0, la elongación (y) del punto situado en x = 0 vale 0 y su velocidad es de +2
m/s. Calcular:
a) la amplitud (elongación máxima)
b) el periodo
c) la longitud de onda
d) la ecuación de onda
e) la ecuación de la velocidad transversal (dy/dt) de cada punto de la cuerda,
f) la velocidad del punto de la cuerda situado en x = 80 m cuando t = 5 s.
BLOQUE B
1.- Cuatro hilos conductores paralelos y de longitud infinita transportan, cada uno de ellos, una corriente de 5 amperios. En el dibujo se representa la sección transversal del problema, donde se
indica que la intensidad de los dos hilos de arriba es perpendicular al papel y su sentido hacia adentro, mientras que en los
dos de abajo el sentido de la corriente es el opuesto. La distancia de separación de cada par de hilos contiguos es a = 10 cm.
Determinar:
a) la intensidad del campo magnético B en el punto P, que
equidista de los cuatro hilos.
b) Si en ese punto hay un electrón que avanza con velocidad
v = 1000 km/s hacia arriba, determinar en ese instante la fuerza que actúa sobre el electrón.
Nota: el módulo de la intensidad del campo magnético (B) creado por un hilo conductor de
longitud infinita a una distancia r del mismo es: B = µ0I / 2πr, donde I es la intensidad de la
corriente.
Datos: Carga del electrón, e = 1,6x10-19 C
µ0 = 4 π 10 -7N.A-2
2.- Por término medio, la longitud de onda de la luz visible es de 550 nanómetros. Determinar la
energía transportada por cada fotón.
Si una lámpara eléctrica de 50 W emite el 2% de su energía en la región visible del espectro
electromagnético, ¿cuántos fotones se emiten por segundo? ¿Qué ocurre con el resto de la
energía disipada por la lámpara?
APÉNDICE: PAU por Años
474
Datos: 1 nanómetro = 10 -9
Constante de Planck, h = 6,63x1 0 -34 J.s
CUESTIONES
1.- Explicar el funcionamiento óptico de una lupa.
2.- Una carga eléctrica con velocidad v entra en una región del espacio en la que coexisten
un campo magnético de intensidad B y otro eléctrico de intensidad E, ambos uniformes. Si
en el instante inicial v es perpendicular a B, determinar el módulo, dirección y sentido de E,
para que la fuerza resultante sobre la carga sea nula.
3.- Describir el fenómeno de la radiactividad natural. Rayos α, β y γ. Leyes de Soddy y de
Fajans sobre la desintegración radiactiva.
4.- Deducir, para órbitas circulares, la tercera ley de Kepler que relaciona los períodos con
los radios de las órbitas de los planetas.
APÉNDICE: PAU por Años
475
Julio 07
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- En una primera aproximación, la relación de distancias al Sol de los 4 primeros planetas del
sistema solar es muy simple. Suponiendo que las órbitas son circulares y llamando R al radio de
la órbita de Mercurio, los radios orbitales de los demás planetas son: Venus, 2R; la Tierra,3R; y
Marte, 4R. La tercera ley de Kepler para el movimiento planetario dice que el cuadrado del
periodo de revolucion de un planeta es proporcional al cubo de su distancia al Sol: T2 = Cr3.
Conociendo el periodo de la Tierra, determinar:
a) los periodos de los demás planetas (en días terrestres).
b) la constante de proporcionalidad C.
c) ¿Cómo cambiarían esos periodos si la masa del Sol fuera 4 veces mayor?
2.- Dos cargas puntuales de -5x10-8 C estan fijas en los puntos x = 0 y x = 5 cm del eje OX. Calcular
el módulo, la dirección y el sentido de la intensidad del campo eléctrico E, además del
potencial electrostático V, en los puntos x = 8 cm y x = 10 cm. Si se abandona en reposo una
particula de masa m = 5 mg y carga positiva q = +10-9 C en el punto x = 10 cm, ¿cuál será su
velocidad al pasar por x = 8 cm?
BLOQUE B
1.- Una espira conductora cuadrada, de lado a = 20 cm, y cuya resistencia eléctrica vale 30 Ω, se
situa perpendicularmente a un campo magnético de intensidad B, que varía con el tiempo.
Cuando t = 0 su valor es B = 0’5 T y decrece uniformemente hasta valer cero cuando t = 0,001
s. Determinar el valor de la fuerza electromotriz inducida en la espira y la intensidad de la
corriente. Haga un esquema donde aparezca el campo magnético, la espira y el sentido de la
corriente inducida.
2.- Sobre el cátodo de cobre de una celula fotoeléctrica incide una luz ultravioleta monocromática, cuya longitud de onda es de 200 nanometros. Sabiendo que el umbral fotoeléctrico del cobre corresponde a una frecuencia de 8’3x1014Hz, calcular:
a) el valor del trabajo de extracción (función trabajo) en Julios
b) la energía cinética de los electrones expulsados.
c) la velocidad de los electrones.
Masa del electrón, 9’10xl0-31 kg Constante de Planck:, 6’63xl0-34 J.s
CUESTIONES
1.- Explicar cómo es la fuerza que experimenta una particula cargada cuando se mueve en
el seno de un campo magnético (Ley o "Fuerza" de Lorentz). Poner algun ejemplo.
2.- Explicar por qué la masa de un nucleo atómico es menor que la suma de las masas de
los nucleones (protones y neutrones) que lo integran. Concepto de energia de enlace y su
relacion con la estabilidad del nucleo.
3.- Ondas transversales y longitudinales. Descripcion y ejemplos.
4.- Campos de fuerza conservativas y no conservativas. Definición y ejemplos.
APÉNDICE: PAU por Años
476
Junio 08
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- Calcular la máxima altura que alcanzará un objeto de 10 kg situado sobre la superficie de Venus, si se le comunica una velocidad inicial hacia arriba de 5 km/s. A esa altura:
a) ¿cuánto valdrá su energía potencial?
b) ¿cuál será su peso?
c) ¿cuál será la velocidad de escape a esa altura?
Constante de gravitación universal: G = 6’67x10-11 N.m2kg-2.
Radio de Venus = 6’52x106 m Masa de Venus = 4’87x1024 kg
2.- Un electrón, acelerado mediante una diferencia de potencial de 200 voltios, se mueve en el
campo magnético terrestre, cuya intensidad es 7x10-5 T. Hallar el radio de la circunferencia
que describe, si su velocidad es perpendicular al campo magnético de laTierra.
Masa del electrón = 9’1x10-31 kg.
Carga del electrón: -1’6x10-19 C
BLOQUE B
1.- Un electrón y su antipartícula, el positrón, se encuentran a una distancia de 1m.
a) Calcular la fuerza de atracción electrostática, la fuerza de atracción gravitatoria y el cociente entre ambas.
Considérese ahora que ambas partículas se unen en reposo y que la masa total se transforma en energía radiante en forma de dos fotones idénticos.
b) Calcular la energía total de cada fotón
c) su longitud de onda y su frecuencia.
Constante de gravitación universal: G = 6’67x10-11 N.m2kg-2.
Constante de Coulomb: 9x109N.m2.C-2
Constante de Planck: h = 6’26x10-34 J.s
Masa del positrón = masa del electrón = 9’1x10-31 kg.
Carga del electrón:-1’6x10-19 C
Carga del positrón = carga del electrón, pero con signo positivo
2.- Una onda transversal se propaga por una cuerda situada sobre el eje OX, según la ecuación:
y = 6 sen 2π(100t - 0,5x)
en unidades del Sistema Internacional.
Calcular:
a) la velocidad y el sentido de propagación de la onda
b) la velocidad máxima de vibración de un punto de la cuerda.
c) la distancia que separa dos puntos de la cuerda que oscilan en fase.
CUESTIONES
1.- Enunciar la Ley de Faraday-Lenz de la inducción electromagnética. Poner un ejemplo
sencillo. ¿Puede inducirse una fuerza electromotriz en una espira, dentro de un campo
magnético constante?
2.- Ley de Planck. ¿Qué dimensiones tiene la constante de Planck?.
3.- Describir el funcionamiento de un microscopio y analizar las características de sus imágenes.
4.-La masa de un núcleo atómico ¿es mayor o menor que la suma de las masa de los nucleones (protones y neutrones) que lo forman?. Explicar el concepto de energía de enlace y
su relación con la estabilidad del núcleo.
APÉNDICE: PAU por Años
477
Julio 08
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- Un satélite terrestre de 500 kg, en órbita circular sincrónica (o geoestacionaria*) se detiene
bruscamente. Calcular:
a) la energía necesaria para pararlo.
b) la velocidad con la que llegará a la superficie terrestre.
“geoestacionaria”: es una órbita ecuatorial en la que la velocidad angular del satélite es la
misma que la de la Tierra, por lo que parece que siempre está situado sobre el mismo punto
de la superficie.
Constante de gravitación universal: G = 6’67x10-11 N.m2 kg-2.
Masa de la Tierra : 5’99x1024 kg Radio terrestre: 6370 km
2.- Una onda luminosa de frecuencia 6x1014 s-1 pasa a través de un líquido. Dentro de éste, la lon
gitud de onda es 3x10-5 cm.
a) ¿Cuál es la velocidad de la luz en ese líquido?
b) ¿Cuál será su longitud de onda en el vacío?
c) ¿Cuál es el índice de refracción del líquido para esa frecuencia?
BLOQUE B
1.- Determinar la intensidad y sentido de un campo eléctrico de dirección vertical, necesario para
que una pequeña bola de masa 1g con una carga negativa q = -10-4 C se mantenga suspendida, sin caer bajo la acción de la gravedad. Si la intensidad y la dirección del campo
eléctrico se mantienen pero se invierte su sentido, ¿cuál será la aceleración de la bola?. Si
con la misma intensidad, el campo eléctrico es perpendicular a la gravedad, ¿cuál será la
aceleración de la bola?
2.- Una cámara fotográfica tiene como objetivo una lente de 12 dioptrías.
a) Calcular la distancia del objetivo hasta la imagen, si el objeto está a 20 m
b) Si el objeto mide 1’5 m de altura, ¿cuál es el tamaño de la imagen?
c) Dibujar un esquema con la marcha de los rayos.
CUESTIONES
1. Describir el fenómeno de la polarización de las ondas. ¿Qué tipo de ondas pueden ser
polarizadas?. ¿Puede polarizarse el sonido? ¿Y la luz?
2. Fuerza que experimenta una carga en movimiento bajo un campo magnético. Fuerza de
Lorentz. Poner algún ejemplo.
3. Efecto fotoeléctrico. Teoría de Einstein.
4. Explicar el concepto de ángulo límite. Reflexión total. Poner algún ejemplo.
APÉNDICE: PAU por Años
478
Junio 09
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- Dos satélites terrestres de igual masa describen sendas órbitas circulares de radios RA y RB.
Si RB vale el doble que RA, determinar la relación (cociente) entre:
a) sus periodos de revolución,
b) sus velocidades lineales,
c) sus velocidades angulares,
d) sus energías totales,
e) los valores de la aceleración de la gravedad (g) en RA y en RB.
[Datos: RA= 10000 km; Constante de gravitación universal: G = 6’67x10-11 N m2 kg-2 ;
Masa de la Tierra: 5’99x1024 kg; Radio de la Tierra: 6370 km]
2.- Un haz luminoso monocromático de frecuencia 5x1014 s-1 se propaga por el interior de un vidrio
de índice de refracción nv = 1’55 e incide sobre una superficie plana de separación vidrioagua. El índice de refracción del agua es na = 1’33.
a) Determinar el ángulo de incidencia del haz con la superficie para que se produzca una
reflexión total. Haz un dibujo,
b) Calcular la velocidad de la luz y la longitud de onda en cada medio.
BLOQUE B
1.- Mediante un hilo conductor se forma una espira plana rectangular, de lados a = 5 cm y b = 8 cm. El plano de la espira se coloca perpendicular a un campo magnético de
intensidad B y que varía con el tiempo del modo descrito
en la gráfica. Determinar la fuerza electromotriz inducida
en los distintos intervalos de tiempo. Haz un gráfico.
2.- Un punto móvil describe un movimiento armónico simple a lo largo del eje Ox según la ecuación x = 3 sen(ωt), donde ω es una constante, x es la posición en metros y t es el tiempo en
segundos. Calcular:
a) el periodo del movimiento,
b) la frecuencia,
c) ¿Para qué valores de x la velocidad es máxima? ¿Cuánto vale esa velocidad?
d) ¿Para qué valores de x la aceleración es máxima? ¿Cuánto vale?
e) Demostrar que la aceleración es siempre proporcional a la posición.
CUESTIONES
1.- Describir los fenómenos de la fisión nuclear y de la fusión nuclear.
2.- Teorías sobre la naturaleza de la luz. Ondas y corpúsculos. Hechos experimentales que avalan estas teorías.
3.- Fuerza que experimenta una carga en movimiento bajo un campo magnético. Fuerza de Lorentz. Poner algún ejemplo.
4.- Ondas sonoras y ondas luminosas. Diferencias y analogías-.
APÉNDICE: PAU por Años
479
Julio 09
Nota: Elegir un bloque de problemas y dos cuestiones
Cada problema, correctamente resuelto y debidamente razonado, se valorará con un máximo de 3 puntos.
Cada cuestión se valorará con un máximo de 2 puntos.
BLOQUE A
1.- Se lanza un objeto de masa M verticalmente hacia arriba con una velocidad v0 y alcanza una
altura h sobre la superficie terrestre. ¿Cuánto debe valer v0 para que esa altura sea el doble
del radio terrestre?
Si ahora se lanza una masa doble, con doble velocidad, ¿qué altura alcanzará?
En ambos casos, ¿cuál es la relación de sus energías potenciales en el punto más alto? ¿Cuál es
la relación de energías cinéticas iniciales?
Datos: m =100 kg; Constante de gravitación universal: G = 6,67x10-11 N m2 kg-2 ; Masa de la Tierra: M = 5,99x1024 kg; Radio de la Tierra: R = 6370 km.
2.- Una onda armónica transversal de amplitud 10 cm y frecuencia 2 Hz se propaga por una cuerda en la dirección positiva del eje OX. La velocidad de propagación vale 10 m/s.
a) Escribir la ecuación de la onda,
b) determinar la longitud de onda,
c) calcular la velocidad y aceleración transversales máximas de un punto de la cuerda.
BLOQUE B
1.- Un fotón tiene una energía de 2 eV.
a) Calcular su frecuencia,
b) determinar su longitud de onda en el vacío y en un medio material de índice de refracción
n = 1’45.
c) ¿A qué zona del espectro electromagnético pertenece?
Datos: Constante de Planck: h = 6,62x10-34 J.s.- Carga eléctrica del electrón: e- = -1’6x10-19 C.
2.- En una región del espacio existe un campo eléctrico uniforme cuya intensidad E es paralela al
eje OX. En el punto x1 = 10 cm, el potencial electrostático vale V1 = 500 voltios y en x2 = 30
cm, V2 = 800 voltios,
a) Determinar el módulo y el sentido de E.
b) Si se abandona un electrón en reposo en el punto x1, ¿cuál será su velocidad al llegar a x2?
-19 -31
Datos: Carga del electrón: e- = -1’6x10-19 C.- Masa del electrón: me = 9’1x10-31 kg.
CUESTIONES
1. Describir la ley de Faraday y Lenz sobre la inducción electromagnética.
2. Describir las leyes de la desintegración radiactiva en partículas α, β y γ (Leyes de Soddy y
Fajans).
3. Ondas polarizadas.
4. Leyes de Kepler.
APÉNDICE: PAU por Materias
480
PROBLEMAS Y CUESTIONES
DE
C. GRAVITATORIO
(extraídos de las PAU.- P.Vasco.)
1995 junio
A1.- Un cohete de 1000 kg se pone en órbita a 800 km de la superficie de la Tierra. Calcular:
a) Su energía potencial.
b) Su energía cinética.
c) El período de revolución del
satélite.
Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 – 10-11 N . m2 .kg-2 . Masa de la Tierra: MT =
5,98 x 1024 Kg. Radio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m.
1995 septiembre
A1.- Se lleva un cuerpo mediante un cohete hasta una altura de 500 km sobre el nivel del mar.
a) ¿Cuál es la intensidad del campo gravitatorio terrestre a esa altura?
b) ¿Con qué velocidad debería lanzarse este cuerpo en una dirección perpendicular al radio
de la tierra de tal forma que describiese una órbita circular?
c) ¿Cuál sería el período de revolución del cuerpo alrededor de la Tierra?
d) Si la masa del cuerpo es de 100 Kg. ¿Cuál sería su energía mecánica?
Constante de Gravitación Universal: G = 6,67 x 10-11 N.m2 kg-2.
Masa de la Tierra: MT = 5,98 x 1024 kg. Radio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m.
C2.- Momento angular de un sólido rígido. Describir algún ejemplo de movimiento en que se cumpla el teorema de la conservación del momento angular.
1996 junio
C3.- Escribir las leyes de Kepler del movimiento de rotación de los planetas alrededor del Sol. A
partir de la Ley de Gravitación de Newton, demostrar la tercera ley de Kepler para una órbita
circular.
1996 septiembre
B1.- Considerando a la Tierra y la Luna aisladas de toda influencia exterior:
a) ¿En qué punto entre la Tierra y la Luna el campo gravitatorio es nulo?
b) ¿Qué valor tendrá el potencial gravitatorio creado por ambas masas en ese punto?
c) Dibujar las líneas de fuerza del campo creado por ambos cuerpos.
ML = 0,0123 MT
Distancia de la Tierra a la Luna = 3,84 x 105 km.
1997 junio
B1.- Considerando la Tierra una esfera homogénea de radio RT = 6.370 km.
a) Calcular la aceleración de la gravedad en un punto P situado a 630 Km. sobre su superficie.
b) Si desde el punto P se abandonase una partícula sin velocidad inicial, ¿con qué velocidad
llegaría a la superficie de la Tierra? (Se considera nula la fricción con la atmósfera).
Constante de gravitación universal G = 6,67 x 10-11 N.m2.kg-2 .
Masa de la Tierra, MT = 5,98 X 1024 Kg
1997 septiembre
A1.- Se pretende situar un satélite artificial de 50 kg de masa en una órbita circular a 630 km de
altura sobre la superficie terrestre. Calcular:
a) La velocidad que debe poseer el satélite para girar en esa órbita.
b) La energía que fue preciso comunicarle desde la superficie terrestre para ponerlo en órbita.
c) El valor de la intensidad del campo gravitatorio terrestre a esa altura.
Constante de gravitación universal, G = 6,67x10-11 N.m2.kg-2
Masa de la Tierra, MT = 5,98x1024 kg.
Radio de la Tierra, RT = 6,37 x106 m.
APÉNDICE: PAU por Materias
481
C2.- Definir un campo de fuerzas conservativo y analizar sus diferencias con los nos conservativos. Poner algún ejemplo de cada uno de ellos.
1998 junio
B1.- Se desea situar un satélite artificial de 50 kg de masa, en una órbita circular situada en el
plano del ecuador y con un radio igual al doble del terrestre.
Calcular: a) Energía que hay que comunicar al satélite y velocidad orbital del mismo. b)
Energía adicional que habría que aportar al satélite en órbita para que escape de la acción
del campo gravitatorio terrestre.
G=6,67x10-11 N.m2. Kg-2
RT = 6.37x106 m.
MT = 5.98x1024 Kg
1998 septiembre
B1.- Un astronauta se encuentra en un satélite que describe una órbita circular de radio 2RT y, en
un instante dado, ve pasar un objeto de 20 kg en dirección a la Tierra, a una velocidad de 40
m/s respecto de la Tierra. Calcular:
a) Velocidad del objeto al llegar a la superficie terrestre.
b) Velocidad y aceleración del satélite en su órbita.
RT = 6.37x106 m.
MT = 5.98x1024 Kg.
G =6.67x10-11 N.m2.Kg-2
1999 junio
B1.- El radio de la Tierra es aproximadamente 6370 km. Si elevamos un objeto de masa 20 kg a
una altura de 300 km sobre la superficie de la Tierra:
a) ¿Cuánto pesa el objeto a esa altura?
b) ¿Cuál será el incremento de su energía potencial?
c) Si se le dejara caer desde esa altura, ¿con qué velocidad llegaría a la superficie de la
Tierra? Constante de gravitación universal: G = 6.67x 10-11 N.m2.kg-2
Masa de la Tierra: MT = 5.98x1024 kg.
C4.- Deducir, para una órbita circular, la tercera.Jey de Kepler que relaciona el periodo con el radio de las órbitas de los planetas.
1999 septiembre
A1.- Suponiendo que la Luna gira alrededor de la Tierra con un periodo de 27 días, a una distancia de 3.8x108 m de su centro. Calcular:
a) La masa de la Tierra.
b) ¿Cuánta energía se necesita para separar una distancia infinita la Luna de la tierra?
Constante de gravitación universal: G = 6.67x10-11 N.m2.kg-2
Masa de la Luna: ML = 7.34x1022 kg.
C3.- Analogías y diferencias entre los campos gravitatorio y eléctrico.
2000 junio
C3.- Energía mecánica de un satélite artificial que gira alrededor de la Tierra a una altura h de su
superficie.
2000 julio
A1.- En la superficie de un planeta de 1000 km. de radio la aceleración de la gravedad es de
2 m.s-2 Calcular .
a) La masa del planeta.
b) La energía potencial gravitatoria de un objeto de 50 kg de masa situado en la superficie
del planeta.
c) La velocidad de escape desde la superficie del planeta.
Constante de gravitación universal: G = 6,67.10-11N.m2.kg-2
APÉNDICE: PAU por Materias
482
2001 junio
A1.- Un meteorito de 100 kg de masa se encuentra inicialmente en reposo a una distancia so bre
la superficie terrestre igual a 6 veces el radio de la Tierra.
a) ¿Cuánto pesa en ese punto?
b) ¿Cuánta energía mecánica posee?
c) Si cae a la Tierra, ¿con qué velocidad llegará a la superficie?
Constante de gravitación universal, G =6,67x10-11 N.m2.kg-2
Masa de la Tierra, M = 5,98x1024 kg
Radio de la Tierra, R = 6,37x106 m
C1.- Enuncia el teorema del momento angular para un punto material y describir algún ejemplo de
movimiento en que se cumpla el teorema de conservación del momento angular.
2001 julio
A1.- La luna posee una masa de 7,35x1022 kg y un radio de 1,74x106 m. Un satélite de 5000 kg
gira a su alrededor en una órbita circular de radio igual a 5 veces el radio de la luna. Despreciando la influencia de la Tierra, calcular:
a) El periodo de giro del satélite.
b) La energía total del satélite.
c) La velocidad de escape desde la superficie de la luna.
Constante de gravitación universal, G =6,67x10-11 N.m2.kg-2
2002 junio
A1.- Con la misión de observar la superficie de la Luna, se coloca un satélite de 500 kg en órbita
lunar de modo que su altura sobre la superficie de la luna es de 260 km. Calcular:
a) la velocidad orbital de satélite.
b) el periodo de revolución del satélite.
c) la energía potencial del satélite debida al campo gravitatorio de la Luna.
d) la energía total del satélite si se considera sólo la interacción con la Luna.
Datos: Masa de la Luna: ML = 7,34x1022 kg. Radio de la Luna: RL = 1740 km
G = 6,67x10-11 N. m2. kg-2
2002 julio
B1.- Un cohete de 1000 kg se pone en órbita circular a 800 km de la superficie de la Tierra. Calcular:
a) Su energía potencial
b) Su energía cinética
c) El período de revolución del satélite
d) La velocidad que debiera tener a esa altura para escapar del campo gravitatorio terrestre
Datos:
Constante de gravitación universal, G = 6,67x10-11 N.m2.Kg- 2
Masa de la Tierra, MT = 5,98x1024 Kg
Radio de la Tierra, RT = 6,37x106 m
C2.- Analogías y diferencias entre las fuerzas gravitatorias y electrostáticas
2003 junio
A2.- Se lleva un cuerpo, mediante un cohete, hasta una altura de 630 km. sobre el nivel del mar.
a) ¿Cuál es la intensidad del campo gravitatorio terrestre a esa altura?
b) ¿Con qué velocidad debería lanzarse este cuerpo (colocado a esa altura) en una dirección perpendicular al radio de la Tierra de tal forma que describiese una órbita circular?
c) ¿Cuál sería el periodo de revolución del cuerpo alrededor de la Tierra?
Constante de gravitación universal: G = 6,67x10-11 N.m2.kg-2.Masa de la Tierra: MT = 5,98 x1024 kg.- Radio de la Tierra: RT = 6,37 x 106 m.
APÉNDICE: PAU por Materias
483
C4.- Enunciar las leyes de Kepler del movimiento de rotación de los planetas alrededor del sol.
A partir de la Ley de Gravitación de Newton, demostrar la tercera ley de Kepler para una
órbita circular .
2003 julio
A1.- Un satélite artificial de 1000 kg describe una órbita circular terrestre situada a 6000 km sobre
la superficie de la Tierra.
a) ¿Cuál ha sido la energía mínima necesaria para situarlo en esa órbita, partiendo de un
punto de la superficie terrestre?
b) ¿Cuál es su velocidad lineal?
c) ¿Cuál sería el periodo de revolución del satélite alrededor de la Tierra? .
Constante de gravitación universal, G = 6,67x10-11 N m2 kg-2
Masa de la Tierra, MT = 5,98 x 1024 kg.
Radio de la Tierra, RT = 6,37 x 106 m.
2004 junio
A1.- En la superficie de un planeta de 2000 km de radio la aceleración de la gravedad vale 3 m/s2.
Calcular:
a) la masa del planeta.
b) la energía potencial gravitatoria de un objeto de 5 kg de masa situado en la superficie del
planeta.
c) la velocidad de escape desde la superficie del planeta.
2004 julio
A1.- Se lleva un cuerpo mediante un cohete hasta una altura de 500 km sobre el nivel del mar.
a) ¿Cuál es la intensidad del campo gravitatorio terrestre a esa altura?
b) Desde esta posición, ¿con qué velocidad debería lanzarse este cuerpo en una dirección perpendicular al
radio de la Tierra para describir una órbita circular?
c) ¿Cuál sería el periodo de revolución del cuerpo alrededor de la Tierra?
d) Si la masa del cuerpo es de 100 kg, ¿cuál sería su energía mecánica?
Constante de gravitación universal: G = 6’67x10-11 N.m2.kg-2
Masa de la Tierra: MT = 5’98 x1024 kg
Radio de la Tierra: RT = 6’37 x 106 m
C1. Si de alguna manera el radio de la Tierra se redujese a la mitad sin alterar su masa., ¿cuál sería el valor de g
sobre la nueva superficie? ¿Cuál sería el valor de g a una distancia de la superficie igual al radio inicial?
2005 junio
A1.- La distancia media entre los centros de la Tierra y de la Luna es de 384000 km. Es fácil ver
que, entre ambos cuerpos, existe un punto (P) situado en la recta que los une, en el que la
gravedad aparente es nula ya que ambas fuerzas de atracción se anulan. Sabiendo que la
masa de la Tierra es aproximadamente 80 veces la de la Luna:
a) Determinar la distancia de P al centro terrestre. ¿Existe algún otro punto sobre esa recta
en el que las fuerzas también se anulen?
b) Calcular el Potencial Gravitatorio en ese punto, debido a la acción conjunta de la Tierra y
de la Luna.
c) Calcular la velocidad que debe imprimirse a un cuerpo situado sobre la superficie terrestre
para que alcance el punto P con velocidad nula. (Despreciar en este caso el potencial gravitatorio lunar en la superficie terrestre).
Constante de gravitación universal:
G = 6’67x10-11 N m2 kg-2
Masa de la Tierra: MT = 5’98xl024 kg
Radio terrestre: RT = 6370 km.
APÉNDICE: PAU por Materias
484
2005 julio
A1.- Umbriel, un satélite de Urano, describe una órbita prácticamente circular, de radio
R1 = 267x106 m y su periodo de revolución vale T1 = 3’58x105 segundos. Oberón, otro satélite de Urano, gira en órbita también circular, de radio R2 = 586xl06m.
a) Calcular la masa de Urano
b) Calcular el periodo de revolución de Oberón
Dato: Constante de gravitación universal, G = 6’67 .10-11 N. m2 / kg2
2006 junio
A1.- Un satélite artificial de 500 kg gira en una órbita circular a 5000 km de altura sobre la superficie terrestre. Calcular:
a) su velocidad
b) su energía total
c) la energía necesaria para que, partiendo de esa órbita, se coloque en otra órbita circular a
una altura de 10000 km
d) En este proceso ¿cuánto cambia su momento angular?
Datos: Radio terrestre, R = 6’37x106m
Masa de la Tierra, M = 5’98xl024 kg
Constante de gravitación universal, G = 6’67x10-11 N m2 kg-2
2006 julio
A1.- La Tierra gira alrededor del Sol en una órbita que circular, de radio r = 1'5x1011 m y da una vuelta
cada año. Calcular:
a) la velocidad de traslación de la Tierra
b) su momento angular
c) la masa del Sol.
Datos: Masa de la Tierra, M = 5'98x1024 kg
Constante de gravitación universal, G = 6'67x10 -11 N. m2 .kg -2
C4.- Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario.
2007 junio
A1.- La Estación Espacial Internacional (ISS) gira alrededor de la Tierra en una órbita que consideramos circular, a una altura de 380 km sobre la superficie terrestre. Calcular
a) la velocidad lineal de la Estación y el tiempo que tarda en dar una vuelta a la Tierra (período)
b) la energía mínima necesaria para colocar en esa órbita una masa de 1 kg partiendo de un
punto de la superficie terrestre*.
c) la velocidad necesaria para escapar de la atracción terrestre desde esa órbita.
Datos: Radio terrestre, R = 6,37xl06m.- Masa de la Tierra, M = 5,98xl024 kg
Constante de gravitación universal, G = 6,67x10-11 N.m2.kg-2.
* Prescindir de la velocidad de rotación de la Tierra
C4.- Deducir, para órbitas circulares, la tercera ley de Kepler que relaciona los períodos con los
radios de las órbitas de los planetas.
2007 julio
A1.- En una primera aproximación, la relación de distancias al Sol de los 4 primeros planetas del
sistema solar es muy simple. Suponiendo que las órbitas son circulares y llamando R al radio de
la órbita de Mercurio, los radios orbitales de los demás planetas son: Venus, 2R; la Tierra,3R; y
Marte, 4R. La tercera ley de Kepler para el movimiento planetario dice que el cuadrado del
periodo de revolucion de un planeta es proporcional al cubo de su distancia al Sol:
T2 = Cr3. Conociendo el periodo de la Tierra, determinar:
a) los periodos de los demás planetas (en días terrestres).
b) la constante de proporcionalidad C.
c) ¿Cómo cambiarían esos periodos si la masa del Sol fuera 4 veces mayor?
APÉNDICE: PAU por Materias
485
C4.- Campos de fuerza conservativas y no conservativas. Definición y ejemplos.
2008 junio
A1.- Calcular la máxima altura que alcanzará un objeto de 10 kg situado sobre la superficie de
Venus, si se le comunica una velocidad inicial hacia arriba de 5 km/s. A esa altura:
a) ¿cuánto valdrá su energía potencial?
b) ¿cuál será su peso?
c) ¿cuál será la velocidad de escape a esa altura?
Constante de gravitación universal: G = 6’67x10-11 N.m2kg-2.
Radio de Venus = 6’52x106 m Masa de Venus = 4’87x1024 kg
2008 julio
A1.- Un satélite terrestre de 500 kg, en órbita circular sincrónica (o geoestacionaria*) se detiene
bruscamente. Calcular:
a) la energía necesaria para pararlo.
b) la velocidad con la que llegará a la superficie terrestre.
“geoestacionaria”: es una órbita ecuatorial en la que la velocidad angular del satélite es la
misma que la de la Tierra, por lo que parece que siempre está situado sobre el mismo punto
de la superficie.
Constante de gravitación universal: G = 6’67x10-11 N.m2 kg-2.
Masa de la Tierra : 5’99x1024 kg Radio terrestre: 6370 km
2009 junio
A1.- Dos satélites terrestres de igual masa describen sendas órbitas circulares de radios RA y RB.
Si RB vale el doble que RA, determinar la relación (cociente) entre:
a) sus periodos de revolución,
b) sus velocidades lineales,
c) sus velocidades angulares,
d) sus energías totales,
e) los valores de la aceleración de la gravedad (g) en RA y en RB.
[Datos: RA= 10000 km; Constante de gravitación universal: G = 6’67x10-11 N m2 kg-2 ;
Masa de la Tierra: 5’99x1024 kg; Radio de la Tierra: 6370 km]
2009 julio
A1.- Se lanza un objeto de masa M verticalmente hacia arriba con una velocidad v0 y alcanza una
altura h sobre la superficie terrestre. ¿Cuánto debe valer v0 para que esa altura sea el doble
del radio terrestre?
Si ahora se lanza una masa doble, con doble velocidad, ¿qué altura alcanzará?
En ambos casos, ¿cuál es la relación de sus energías potenciales en el punto más alto? ¿Cuál es
la relación de energías cinéticas iniciales?
Datos: m =100 kg; Constante de gravitación universal: G = 6,67x10-11 N m2 kg-2 ; Masa de la Tierra: M = 5,99x1024 kg; Radio de la Tierra: R = 6370 km.
C4. Leyes de Kepler.
APÉNDICE: PAU por Materias
486
PROBLEMAS Y CUESTIONES
DE
C. ELÉCTRICO
(extraídos de las PAU - P.Vasco.)
1995 septiembre
A1.- En tres de los cuatro vértices de un cuadrado de 10 cm de lado hay una carga de +5µC. Calcular:
a) La intensidad del campo en el cuarto vértice
b) El trabajo necesario para llevar una carga de -10µC desde el cuarto vértice hasta el centro del cuadrado. Interpretar el resultado
1/4πε0 = 9 x 109 N.m2.C-2
1996 junio
A1.- Dos esferas muy pequeñas de 10 gr. de masa y cargadas con idéntica carga se encuentran
en los extremos de dos hilos inextensibles y sin masa de 1 m. de longitud, suspendidos del
mismo punto. Si el ángulo que forma cada hilo con la vertical en la posición de equilibrio es
de 45", calcular:
a) La carga de cada esfera.
b) La tensión de los hilos en la posición de equilibrio.
k = 1/4πε0 = 9 x 109 N.m2.C-2.
C2.- Una partícula cargada positivamente penetra en una región donde existe un campo electrostático uniforme. Describir el movimiento de la partícula si la velocidad inicial está dirigida en:
a) la dirección y sentido del campo.- b) en sentido opuesto.- c) formando un cierto ángulo
con el campo.
1996 septiembre
A1.- Dos cargas puntuales de -5 x 10-8 C están fijas en los puntos (0, 0) cm. y (5, 0) cm. Hallar:
a) El módulo, dirección y sentido del campo eléctrico en el punto (10, 0) cm.
b) La velocidad con que llega al punto (8, 0) cm. una partícula de carga 10-9 C y 5 mg de
masa que se abandona libremente en el punto (10, 0) mm.
K = l/4πε0 = 9 x 109 N.m2.C-2.
1997 junio
A1.- Se sueltan, partiendo del reposo, protones desde un potencial eléctrico de 5 MV en un acelerador de Van der Graaff y se mueven por el vacío hasta una región de potencial cero. Suponiendo que esta variación de potencial tiene lugar a lo largo de 2m, hallar:
a) El campo eléctrico, indicando su sentido.
b) La velocidad con que llegan los protones a la región de potencial cero.
Masa del protón = 1,67 x 10-27 kg.- Carga del protón = 1,60 x 10-19 C.
1997 septiembre
C2.- Definir un campo de fuerzas conservativo y analizar sus diferencias con los nos conservativos. Poner algún ejemplo de cada uno de ellos
1998 junio
A1.- Una pequeña esfera de 0.2 g cuelga de un hilo de masa despreciable entre dos láminas verticales paralelas separadas 5 cm. La esfera tiene una carga positiva de 6 x10-9 C.
a) ¿Qué diferencia de potencial entre las láminas hará que el hilo forme un ángulo de 45°
con la vertical?
b) ¿Cuál será la intensidad del campo eléctrico entre las láminas?
c) Representar gráficamente las fuerzas que actúan sobre la carga en posición de equilibrio
APÉNDICE: PAU por Materias
487
1999 junio
A2.- En el espacio comprendido entre dos láminas planas y paralelas con cargas iguales y opuestas existe un campo eléctrico uniforme. Un electrón abandonado en reposo sobre la lámina
cargada negativamente, llega a la superficie de la lámina opuesta, situada a 2 cm de distancia de la primera, al cabo de 1.5x10-8 seg. Despreciando los efectos gravitatorios, calcular:
a) La intensidad del campo eléctrico entre las láminas.
b) La velocidad con que llega el electrón a la segunda lámina.
c) La diferencia de potencial entre las láminas.
Carga del electrón: e = 1.6x10-19 C
Masa del electrón : m = 9.10x10-31 kg.
1999 septiembre
A2.- Un electrón que parte del reposo se acelera a través de una diferencia de potencial de 100
voltios.
a) ¿Qué energía cinética adquiere?
b) Calcular la longitud de la onda asociada al mismo.
Carga del electrón: e = -1.60x10-19 C
Masa del electrón: m = 9.10x10-31 kg.
-34
Constante de Planck : h = 6.62x10 J .s.
C3.- Analogías y diferencias entre los campos gravitatorio y eléctrico.
2000 junio
A1.- Una partícula de polvo de 1,0x10-11 g de masa posee una carga total equivalente a la de 20
electrones y se encuentra en equilibrio entre dos placas paralelas, horizontales con una diferencia de potencial de 153 V. Suponiendo el campo uniforme,
a) ¿Cuánto distan las placas?
b) ¿En qué sentido y con qué aceleración se moverá la partícula de polvo si se aumenta la
diferencia de potencial entre las placas en 2 V ?
Carga del electrón: e = 1,6x10-19 C
2000 julio
B1.- En el modelo de Bohr correspondiente al átomo de hidrógeno, un electrón describe una órbita
circular alrededor del núcleo que contiene un solo electrón.
Si el radio de la órbita es de 5,28 .10-9cm, calcular:
a) La energía cinética del electrón.
b) El número de revoluciones que da el electrón por segundo.
Carga del protón: 1,60x10-19 C.- Masa del electrón: m = 9,10x10-31kg.- k = 9x109 N.m2.C-2
2001 julio
B1.- En un punto del espacio x = 2 m el potencial eléctrico tiene el valor de V = 200 voltios, y en
x = 10 m el potencial vale V = 600 voltios.
a) Hallar el módulo, dirección y sentido del campo eléctrico, suponiéndolo uniforme.
b) Calcular la velocidad con que llegará al punto x = 2 m un electrón que se abandona en el
punto x = 10 m.
Carga del electrón:
e = 1,6x10-19 C
Masa del electrón:
m = 9,10x10-31kg
2002 julio
A1.- Dos cargas negativas puntuales de –5x10-8 C, están fijas en el eje OX en los puntos
x1 = 0
y x2 = 5, donde las distancias se expresan en mm. Hallar:
a) El campo eléctrico en el punto x3 = 10, indicando su dirección y sentido.
b) La velocidad con que llega al punto x4 = 8, una partícula de carga 8x10-9 C y 5 mg de masa, que se abandona libremente en el punto x5 = 10.
Dato: k = 1/4πε0 = 9x109 N. m2.C-2
APÉNDICE: PAU por Materias
488
C2.- Analogías y diferencias entre las fuerzas gravitatorias y electrostáticas
2003 junio
B1.- Una descripción simple del átomo de Hidrógeno (modelo de Bohr) consiste en un único electrón girando en una órbita circular alrededor de un núcleo que contiene un solo protón, bajo
la acción de una fuerza atractiva dada por la Ley de Coulomb.
Si el radio de la órbita es 5,28 x 10-9 cm, calcular:
a) El número de revoluciones que da el electrón por segundo.
b) La energía potencial electrostática del electrón.
c) Su energía total.
Carga del electrón, e = – 1,6 x 10-19 C.- Masa del electrón, me= 9,10x 10-31kg.k = 1/4πε0 = 9 x 109 N.m2.C-2
2004 julio
B1.- Una pequeña esfera de 0'2 g cuelga de un hilo de masa de masa despreciable entre dos láminas verticales paralelas separadas 5 cm ente las que el campo eléctrico es uniforme y
perpendicular a las mismas. La esfera tiene una carga positiva de 6x10-9C.
a) Representa las fuerzas que actúan sobre la esfera en la posición de equilibrio.
b) ¿Qué diferencia de potencial entre las láminas hará que el hilo, en equilibrio, forme un
ángulo de 45º con la vertical?
2005 junio
B1.- Dos pequeñas esferas, de igual masa m y cargas eléctricas +q y -q, cuelgan de sendos
hilos de igual longitud. Debido a la atracción electrostática, los hilos forman un ángulo α =
30° con la vertical y la distancia de equilibrio entre ambas esferas vale d = 1 metro.
a) Dibujar las fuerzas que actúan sobre cada esfera.
b) Calcular el valor de q.
c) Calcular los valores de las fuerzas.
Datos: m = 1 g.- g = 10 m/s2.- k = (1/4πε0) = 9x109 N m2 C-2.sen30º =1/2
2006 junio
B1.- Dos placas paralelas separadas una distancia de 0’03 m, están conectadas a los bornes de
una batería de 900 voltios. Si suponemos que el campo eléctrico entre ambas placas es uniforme, calcular la intensidad de campo entre ellas.
Si se abandona un electrón en reposo en la placa negativa, ¿cuál será su velocidad al llegar
a la placa positiva?
Y si se abandona un protón en la placa positiva, ¿cuál será su velocidad al llegar a la placa
negativa?
¿Qué relación existe entre las energías cinéticas finales de ambas partículas?
Datos: Carga del electrón = Carga del protón, e = 1’6x10-19 C
Masa del electrón, me = 9’1x10-31 kg
Masa del protón, mp = 1’67x10-27 kg
2006 julio
C1.- Definir la intensidad del campo eléctrico y el potencial electrostático. Ley de Coulomb. Ejemplo.
2007 julio
A2.- Dos cargas puntuales de -5x10-8 C estan fijas en los puntos x = 0 y x = 5 cm del eje OX.
Calcular el módulo, la dirección y el sentido de la intensidad del campo eléctrico E, además del
potencial electrostático V, en los puntos x = 8 cm y x = 10 cm. Si se abandona en reposo una
particula de masa m = 5 mg y carga positiva q = +10-9 C en el punto x = 10 cm, ¿cuál será su
velocidad al pasar por x = 8 cm?
4.- Campos de fuerza conservativas y no conservativas. Definición y ejemplos.
APÉNDICE: PAU por Materias
489
2008 julio
B1.- Determinar la intensidad y sentido de un campo eléctrico de dirección vertical, necesario para
que una pequeña bola de masa 1g con una carga negativa q = -10-4 C se mantenga suspendida, sin caer bajo la acción de la gravedad. Si la intensidad y la dirección del campo
eléctrico se mantienen pero se invierte su sentido, ¿cuál será la aceleración de la bola?. Si
con la misma intensidad, el campo eléctrico es perpendicular a la gravedad, ¿cuál será la
aceleración de la bola?
2009 julio
B2.- En una región del espacio existe un campo eléctrico uniforme cuya intensidad E es paralela al
eje OX. En el punto x1 = 10 cm, el potencial electrostático vale V1 = 500 voltios y en x2 = 30
cm, V2 = 800 voltios,
a) Determinar el módulo y el sentido de E.
b) Si se abandona un electrón en reposo en el punto x1, ¿cuál será su velocidad al llegar a x2?
-19 -31
Datos: Carga del electrón: e- = -1’6x10-19 C.- Masa del electrón: me = 9’1x10-31 kg.
APÉNDICE: PAU por Materias
490
PROBLEMAS Y CUESTIONES
DE
C. MAGNÉTICO
(extraídos de las PAU P.Vasco.)
1995 junio
A2.- Un haz de protones se mueve a lo largo del eje X en su sentido positivo con una velocidad
constante de 10 km/seg a través de una región de campos cruzados (eléctrico y magnético).
a) Si existe un campo magnético de valor 1,0 T en el sentido positivo de las Y, hallar el valor
y dirección del campo eléctrico.
b) Representar mediante un esquema los vectores implicados.
c) ¿Se verán desviados los electrones de la misma velocidad y sentido por estos campos?
Si es así, ¿en qué dirección y sentido?
Masa del electrón: 9,10 X 10-31 kg. Masa del Protón: 1,67 x 10-27 kg.
C3. Describir el fundamento de un generador de corriente alterna. ¿Cuál es la diferencia entre las
distintas centrales de producción de energía eléctrica? (térmicas, hidroeléctricas, nucleares,
etc...
1995 septiembre
B2. Un electrón de energía cinética de 25 keV. se mueve en una órbita circular en el interior de un
campo magnético de 0,2 T.
a) ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre el electrón?
b) Representa mediante un esquema los vectores implicados.
c) ¿Cuál es el radio de la órbita?
d) ¿Cuál es la frecuencia angular y el período?
Masa del Electrón: m = 9,10 X 10-31 kg.
Carga del Electrón: e = -1,60 x 10-19 Culombios.
1996 junio
B1. Un hilo vertical transporta una corriente de 20 amperios en sentido ascendente. Un electrón
distante 10 cm del hilo se está moviendo hacia arriba con una velocidad de 5 x 106 m/s.
a) ¿Cuál es el módulo, dirección y sentido del campo magnético que actúa sobre el electrón?
b) ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre el electrón? Dibuja el esquema de los vectores que
intervienen.
c) ¿Como será la trayectoria del electrón?
µ0 = 4π x 10-7 Tesla.m/Amperio. Masa del electrón = 9, 10 x 10-31 kg.
Carga del electrón = -1,60 x 10-19 C.
1996 septiembre
C1. ¿Cómo se ha de aplicar un campo eléctrico y otro magnético uniformes para que sus fuerzas
respectivas sobre una carga con velocidad v se anulen? ¿Cuál ha de ser la relación entre
sus módulos?
C3. Enunciar la ley de Lenz-Faraday de la inducción electromagnética. ¿Puede inducirse f.e.m. en
una espira en un campo magnético constante?
1997 junio
B2. Un carrete de hilo conductor de 500 espiras de 0,005 m de radio está colocado en un campo
magnético uniforme de 0,1 T de modo que el flujo que lo atraviesa es máximo.
a) Halla la f.e.m. media inducida en el carrete si en un intervalo de 0,02 segundos el campo
duplica su valor.
b) Halla la f.e.m. media inducida si el carrete gira 180º con respecto a un eje que pasa por
su centro y es perpendicular al campo magnético, en un intervalo de 0,02 seg.
APÉNDICE: PAU por Materias
491
C4. En un instante dado un electrón se mueve con velocidad
v, sobre el eje x en sentido positivo
r
en una región en que existe un campo magnético B , en sentido negativo del eje z. ¿Cuál es
la dirección y sentido de la fuerza magnética? ¿Cuánto vale? ¿Qué tipo de movimiento describirá el electrón?
1997 septiembre
B2. Una partícula cuya masa es 0,5 gr. transporta una carga negativa de 2,5 x 10-8C dentro del
campo gravitatorio terrestre (g = 9,8 m/s2).
Se comunica a la partícula una velocidad horizontal inicial de 6 x 104 m.seg-1.
¿Cuál es el valor, dirección y sentido del campo magnético que mantendrá a la partícula
moviéndose en dirección horizontal?
C3. Ley de Lenz de la inducción electromagnética. Aplicaciones.
1998 septiembre
A2.- Un largo hilo rectilíneo transporta una corriente de 1.5 A. Un electrón se desplaza paralelamente al hilo a una distancia de 10 cm de él en el mismo sentido de la corriente y con una
velocidad de 5x106 cm/s.
a) ¿Qué fuerza ejerce sobre el electrón móvil el campo magnético creado por la corriente?
r r r
b) Representar gráficamente los vectores v, B y F
µ0 =4π.10-7 N.A-2 e = 1.6x10-19 C
C2.- Ley de Faraday-Lenz de la inducción electromagnética. ¿Qué corriente inducida aparece en
una espira conductora cuando se le acerca el polo de un imán? ¿y cuando se le aleja? Razonar .
C3.- Comentar qué ocurre si un protón se abandona en reposo en una región donde hay un campo eléctrico E y un campo magnético B de sentidos opuestos.
1999 junio
C2.- ¿Cómo deben ser las direcciones y sentidos de un campo eléctrico y otro magnético uniformes para que la fuerza resultante sobre una carga con velocidad v sea cero? ¿Cuál ha de
ser la relación entre sus módulos? Razonar.
1999 septiembre
B1.- Una bobina compuesta por 30 espiras cuadradas de 10 cm de lado se encuentra en un campo magnético variable con el tiempo, de inducción B = 3t2 - 5 (T). El plano de la espira y el
campo forman un ángulo de 90°. Hallar:
a) El flujo magnético a través de la bobina.
b) La intensidad de la corriente eléctrica que circula por la bobina en el instante t = 2 s, sabiendo que su resistencia eléctrica es de 5 ohmios.
C4.- Un protón se mueve con velocidad v, de módulo constante, en una zona del espacio sin sufrir
desviación en su trayectoria. ¿Puede asegurarse que no existe campo magnético en esa
zona?
Si existiera un campo magnético perpendicular a la velocidad del protón, ¿cómo sería la
trayectoria de éste? Razonar las contestaciones.
2000 junio
B1.- Una bobina de 50 vueltas y 10 cm2 de sección está situada con su eje paralelo a las líneas de
un campo magnético de 1 T.
a) Si el campo disminuye linealmente con el tiempo hasta anularse en dos segundos, calcular la fuerza electromotriz inducida.
APÉNDICE: PAU por Materias
492
b) Representar gráficamente el campo magnético y la fuerza electromotriz inducida en función del tiempo.
c) Si la bobina gira alrededor de un eje normal al campo magnético inicial, a la velocidad
constante de 10 rad.s-1, ¿cuál será la expresión de la fuerza electromotriz inducida? ¿Cuál
será su valor máximo?
2000 julio
C3.- Un imán se acerca por su polo sur a una bobina cuyos extremos se encuentran unidos a un
galvanómetro. ¿Cómo será el sentido de la corriente inducida? ¿y si se aleja el imán? Razonar: ¿Cómo se afectará a dicha corriente inducida?
a) Si se utiliza un imán más potente.
b) Si se aumenta la velocidad con que el imán se aproxima a la bobina.
c) Si se aumenta el número de vueltas de la bobina.
2001 junio
B2.- Una barra de 25 cm de longitud se mueve a 8 m.s-1 en un plano perpendicular a un campo
magnético de 6x10-2 T. Su velocidad es perpendicular a la barra.
a) ¿Cuál será el módulo, dirección y sentido de la fuerza magnética que se ejerce sobre un
electrón de la barra?. Representación gráfica
b) ¿Cuál será la diferencia de potencial entre los extremos de la barra?
Carga del electrón: e = 1,6x10-19 C
C4.- ¿Cómo se ha de aplicar un campo eléctrico y otro magnético, perpendiculares y uniformes
para que sus fuerzas respectivas sobre una carga con velocidad v se anulen? ¿Cuál ha de
ser la relación entre sus módulos?
2001 julio
A2.- Un ión con una sola carga y de masa desconocida se mueve en una circunferencia de 12 cm
de radio en un campo magnético de 1’2 Teslas. El ion fue acelerado por una diferencia de
potencial de 7000 V ¿Cuál es la masa del ion?
Carga del electrón:
e = 1,6x10-19 C
C3.- Ley de Lenz-Faraday de la inducción electromagnética. El generador de corriente alterna.
2002 junio
B 1.- Un hilo conductor de 10 cm de longitud tiene una masa de 5 g y está conectado a un generador de fem mediante hilos flexibles y ligeros de peso despreciable. El hilo, en posición
horizontal, está situado en un campo magnético de 0,5 T, también horizontal y perpendicular
al hilo.
Hallar la intensidad de corriente necesaria para hacer flotar el hilo, es decir, para que la
fuerza magnética equilibre al peso del hilo.
C3.- Ley de Lenz de la inducción electromagnética. Aplicaciones.
2002 julio
C3.- Ley de Lenz de la inducción electromagnética. Aplicaciones
2003 junio
C2.- Acción de un campo magnético sobre una carga eléctrica. Explicar los distintos casos que
pueden darse, con ayuda de representación gráfica.
C3.- Describir el fundamento de un generador de corriente alterna. ¿Cuál es la diferencia entre las
distintas centrales de producción de energía eléctrica? (térmicas, hidroeléctricas, nucleares,
etc...)
APÉNDICE: PAU por Materias
493
2003 julio
B1.- Un segmento horizontal de conductor de 25 cm de longitud y 20 gr de masa por el que circular una corriente de 10 A se encuentra en equilibrio en un campo magnético uniforme, también horizontal y perpendicular al conductor.
a) Hallar el valor de la inducción magnética.
b) Representar gráficamente la corriente, la inducción magnética y las fuerzas que actúan
sobre el conductor.
C1.- Acción de un campo magnético sobre una carga eléctrica. Explicar los distintos casos que
pueden darse y representar gráficamente cuando sea necesario.
2004 junio
B2.- Una espira de 10 cm2 de sección está situada en un campo magnético uniforme de 4 T, perpendicular al plano de la espira.
a) ¿Cuánto vale el flujo magnético que la atraviesa?
b) Si el campo magnético disminuye hasta anularse en 0'2 s, ¿cuánto valdrá la f.e.m. media
inducida?
C3.- Un electrón se mueve con velocidad v de módulo constante en una zona del espacio sin sufrir
desviación en su trayectoria. ¿Puede asegurarse que no existe campo magnético en esa
zona?¿Y campo eléctrico? Razonar las contestaciones.
2004 julio
B1.- a) ¿Cuál es la velocidad de un haz de electrones si la influencia simultánea de un campo eléctrico de 3 x104 V/m y de un campo magnético de 2x10-2 T no produce desviación en los electrones cuando ambos campos son perpendiculares entre
sí y al haz.
r r r r
b) Representar un esquema con los vectores v, E, B y F.
c) ¿Cuál es el radio de la órbita del electrón cuando se suprime el campo eléctrico, sabiendo
que la relación e/m vale aproximadamente 1’76x10 11 C/kg?
C3. Describir el fundamento de un generador de corriente alterna. ¿Cuál es la diferencia entre las distintas centrales de producción de energía eléctrica? (térmicas, hidroeléctricas, nucleares, etc...).
2005 junio
B2.- Un protón (p), de masa mp = 1’67x10-27 kg y carga qp = 1’6x10-19
C, entra en una región del espacio en el que existe un campo
magnético
uniforme paralelo al eje OX y de intensidad
r
r
B = B î con una velocidad paralela al eje OY, v = v ĵ , donde
v = 104 m/s ( î y ĵ son los vectores unitarios a lo largo de los
ejes OX y OY, respectivamente).
a) Si el radio de la trayectoria vale R = 10 cm, calcula la intensidad B.
b) Determina la fuerza que actúa sobre el protón (módulo, dirección y sentido).
c) Explica por qué el protón describe una trayectoria circular.
d) Si en vez del protón se trata de una partícula α, de carga doble a la del protón y con la
misma velocidad, se observa que el radio de su trayectoria es doble. Calcular la masa de la
partícula α.
C3.- Leyes de Faraday y de Lenz, de la inducción electromagnética. Aplicaciones,
2005 julio
A2.- Un electrón entra en una región delr espacio en la que existe un campo eléctrico uniforme,
paralelo al eje OX y de intensidad E = E î . La velocidad del electrón es paralela al eje OY:
APÉNDICE: PAU por Materias
494
r
v = v ĵ . E = 103 voltios/metro, v = 103m/s
a) Calcular la fuerza eléctrica sobre electrón. ¿Cómo será
Z
la trayectoria descrita?
b) La fuerza eléctrica sobre el electrón puede anularse
r
mediante una fuerza producida por un campo magnético
E
superpuesto al anterior en esa región del espacio. Determinar el módulo, dirección y sentido de la intensidad
(B) de este campo.
X
c) Cuál será la fuerza neta (módulo, dirección y sentido)
sobre un protón que llega con el doble de velocidad que
el electrón, a esa misma superposición de campos.
Datos: Carga del electrón, e = -1’60x10-19C
Masa del electrón, me = 9’1x10-31 kg
Masa del protón, mp = 1800 me
e-
r
v
Y
B2.- Una espira formada por un hilo conductor de forma cuadrada y de lado 10 cm se sitúa sobre
el plano horizontal
XOY perpendicular a un campo magnético en la dirección del eje OZ, de
r
intensidad B = B k̂ Si el campo magnético varía con el tiempo según la ley B = B0 sen ωt,
donde B0 = 0’5 T y ω =10π s-1. Calcular:
a) el valor de la fuerza electromotriz ( E ) inducida en la espira en función del tiempo. ¿Cuál
es el valor deE y el sentido de la corriente cuando t = 0?
b) Si el campo magnético es constante en el tiempo, también puede conseguirse una corriente inducida moviendo la espira adecuadamente. Describe algún movimiento de la espira
que produzca corriente inducida y otro que no lo haga. ¿Por qué?
2006 junio
C1- Inducción electromagnética. Leyes de Faraday y Lenz. Ejemplo.
2006 julio
B1.- Un protón inicialmente en reposo se acelera bajo una diferencia de potencial de 105 voltios.
A continuación entra en un campo magnético uniforme, perpendicular a la velocidad, y describe
una trayectoria circular de 0'3 m de radio. Calcular el valor de la intensidad del campo magnético.
Si se duplica el valor de esta intensidad, ¿cuál será el radio de la trayectoria?
Datos: Carga del protón, e = 1,6x10-19 C Masa del protón, mp = 1,67x10-27 kg
C3.- Producción de corrientes eléctricas mediante la inducción electromagnética Describa un generador
elemental de corriente alterna.
2007 junio
B1.- Cuatro hilos conductores paralelos y de longitud infinita transportan, cada uno de ellos, una
corriente de 5 amperios. En el dibujo se representa la sección transversal del problema,
donde se indica que la intensidad de los dos hilos de arriba es perpendicular al papel y su
sentido hacia adentro, mientras que en los dos de abajo el sentido de la corriente es el
opuesto. La distancia de separación de cada par de hilos contiguos es a = 10 cm. Determinar:
a) la intensidad del campo magnético B en el punto P, que equidista de los cuatro hilos.
b) Si en ese punto hay un electrón que avanza con velocidad
v = 1000 km/s hacia arriba, determinar en ese instante la fuerza
que actúa sobre el electrón.
Nota: el módulo de la intensidad del campo magnético (B) creado por un hilo conductor de longitud infinita a una distancia r del
mismo es: B = µ0I / 2πr, donde I es la intensidad de la corriente.
Datos: Carga del electrón, e = 1,6x10-19 C
µ0 = 4 π 10 -7N.A-2
APÉNDICE: PAU por Materias
495
C2.- Una carga eléctrica con velocidad v entra en una región del espacio en la que coexisten un
campo magnético de intensidad B y otro eléctrico de intensidad E, ambos uniformes. Si en
el instante inicial v es perpendicular a B, determinar el módulo, dirección y sentido de E, para que la fuerza resultante sobre la carga sea nula.
2007julio
B1.- Una espira conductora cuadrada, de lado a = 20 cm, y cuya resistencia eléctrica vale 30 Ω, se
situa perpendicularmente a un campo magnético de intensidad B, que varía con el tiempo.
Cuando t = 0 su valor es B = 0’5 T y decrece uniformemente hasta valer cero cuando t = 0,001
s. Determinar el valor de la fuerza electromotriz inducida en la espira y la intensidad de la
corriente. Haga un esquema donde aparezca el campo magnético, la espira y el sentido de la
corriente inducida.
C1.- Explicar cómo es la fuerza que experimenta una particula cargada cuando se mueve en el
seno de un campo magnético (Ley o "Fuerza" de Lorentz). Poner algun ejemplo.
2008 junio
A2.- Un electrón, acelerado mediante una diferencia de potencial de 200 voltios, se mueve en el
campo magnético terrestre, cuya intensidad es 7x10-5 T. Hallar el radio de la circunferencia
que describe, si su velocidad es perpendicular al campo magnético de laTierra.
Masa del electrón = 9’1x10-31 kg.
Carga del electrón: -1’6x10-19 C
C1.- Enunciar la Ley de Faraday-Lenz de la inducción electromagnética. Poner un ejemplo sencillo. ¿Puede inducirse una fuerza electromotriz en una espira, dentro de un campo magnético
constante?
2008 julio
C2.- Fuerza que experimenta una carga en movimiento bajo un campo magnético. Fuerza de Lorentz. Poner algún ejemplo.
2009 junio
1.- Mediante un hilo conductor se forma una espira plana rectangular, de lados a = 5 cm y b = 8 cm. El plano de la espira se coloca perpendicular a un campo magnético de
intensidad B y que varía con el tiempo del modo descrito
en la gráfica. Determinar la fuerza electromotriz inducida
en los distintos intervalos de tiempo. Haz un gráfico.
C3.-
Fuerza que experimenta una carga en movimiento bajo un campo magnético. Fuerza de
Lorentz. Poner algún ejemplo.
2009 julio
C1. Describir la ley de Faraday y Lenz sobre la inducción electromagnética.
APÉNDICE: PAU por Materias
496
PROBLEMAS Y CUESTIONES
DE
VIBRACIONES Y ONDAS
(extraídos de las PAU - P.Vasco.)
1995 junio
C1.- Describir las analogías y diferencias entre las ondas sonoras y las luminosas.
1995 septiembre
C1.- Diferencias entre ondas trasversales y longitudinales. Ejemplos de cada uno de los tipos.
1996 septiembre
B2.- Una onda transversal se propaga por una cuerda según la ecuación:
y = 0,4 sen 2π (100t – 0.5x)
en unidades del S.I. Calcular:
a) La velocidad y sentido de propagación de la onda.
b) La velocidad máxima de vibración.
c) La distancia que separa dos puntos de la cuerda que oscilan en fase.
1997 septiembre
B1.- En una cuerda tensa se propaga una onda transversal de ecuación:
y(x,t) = 2 sen [2π (10t – 0.1x)]
en unidades del S.I. Determinar:
a) Periodo, longitud de onda y velocidad de propagación.
b) Velocidad y aceleración máximas de un punto de la cuerda.
c) Ecuación de otra onda idéntica que se propague en sentido contrario.
1998 junio
B2.- Una masa de 20 g realiza un movimiento vibratorio armónico en el extremo de un resorte que
da dos oscilaciones por segundo, siendo la amplitud del mismo 5 cm. Calcular:
a) La velocidad máxima de la masa que oscila.
b) La aceleración de la masa en el extremo de su movimiento.
c) La constante k del resorte.
C1.- Describir el fenómeno de polarización de las ondas. ¿Qué tipo de ondas pueden ser
polarizadas? ¿Puede polarizarse el sonido? ¿y la luz? Razonar.
1998 septiembre
A1.- El periodo de una onda transversal que se propaga a lo largo del eje X es de 6.37x10-3 s y la
distancia entre los dos puntos más próximos cuya diferencia de fase es π/2 es 20 cm. Calcular:
a) La longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda.
b) La velocidad máxima de vibración sabiendo que la amplitud es de 4 cm.
1999 junio
A1.- En el centro de una piscina circular de 6 m de radio se produce una perturbación que origina
un movimiento ondulatorio en la superficie del agua. La longitud de la onda es de 0.50 m y
tarda 12 segundos en llegar a la orilla. Calcular:
a) La frecuencia del movimiento ondulatorio.
b) La amplitud del mismo si al cabo de 0.25 s la elongación en el origen es de 4 cm.
c) La elongación en el instante t = 12 s en un punto situado a 6 m del foco emisor.
1999 septiembre
C2.- Analogías y diferencias entre las ondas sonoras y luminosas.
APÉNDICE: PAU por Materias
497
2000 junio
A2.- La aguja de una máquina de coser se mueve con un movimiento que puede considerarse
vibratorio armónico. Si el desplazamiento vertical total es 8 mm y realiza 20 puntadas en 10
segundos,
a) ¿Cuál será la máxima velocidad de la aguja y en qué punto la alcanzará?
b) ¿Cuál será su máxima aceleración y en qué punto la alcanzará?
C1.- Ondas estacionarias. ¿Qué diferencias existen entre una onda progresiva o viajera y una
onda estacionaria?
C4.- Explicar los fenómenos de reflexión y refracción de una onda y las leyes que los rigen. De las
siguientes magnitudes, v, λ, f, T ¿Cuáles cambian y cuáles no varían ?
2000 julio
B2.- Una partícula inicia un movimiento armónico simple en el extremo de su trayectoria y tarda
0,1 s en ir al centro de la misma.
Si la distancia entra ambas posiciones es de 0’2 m, calcular:
a) El periodo y la pulsación (ω) del movimiento.
b) La posición de la partícula 1 segundo después de iniciar el movimiento.
c) La velocidad de la partícula en ese momento.
C2.- Diferencias entre las ondas sonoras y las ondas luminosas. ¿Se puede transmitir el sonido a
través del vacío? ¿y la luz? ¿Razonar la contestación?
2001 junio
C3.- Energía e intensidad del movimiento ondulatorio. Variación con la distancia a la fuente emisora.
2001 julio
C4.- Describir las analogías y diferencias entre las ondas sonoras y luminosas.
2002 junio
C4.- Ecuación del movimiento armónico simple. Indicar el significado de cada término. Poner algún ejemplo.
2002 julio
A2.- Una onda armónica se propaga por un medio elástico siguiendo la ecuación
y = 24 sen(2000t - 5x) en unidades del S.I. Determinar:
a) Amplitud, frecuencia y longitud de onda de la misma.
b) El desfase que existirá entre dos puntos separados 0,2 m entre si a lo largo de la dirección de propagación de la onda.
c) La ecuación de otra onda idéntica a la anterior que se propague en sentido contrario a la
dada.
2003 junio
B2.- En una cuerda tensa se propaga una onda transversal de ecuación
y(x,t) = 2 sen2π(10 t - 0,1 x)
en unidades de S.I. Determinar:
a) Periodo, longitud de onda y velocidad de propagación.
b) Velocidad y aceleración máximas de un punto de la cuerda.
c) Ecuación de otra onda idéntica que se propague en sentido contrario.
APÉNDICE: PAU por Materias
498
2003 julio
A2.- Una partícula transmite al medio elástico, homogéneo, isótropo y no absorbente que le rodea
una energía de 10 J durante 5 s de forma continua. La amplitud de la vibración es de 2 cm a
una distancia de 10 cm del foco. Calcular:
a) La intensidad del movimiento ondulatorio en un punto que dista 50 cm del foco.
b) ¿A qué distancia, medida desde el foco, la intensidad del movimiento ondulatorio es la
mitad de la obtenida en el apartado anterior?
C3.- Explicar el fenómeno de la difracción de las ondas. En nuestra experiencia cotidiana es más
frecuente la difracción de las ondas sonoras que la de las luminosas. ¿A que se debe esto?
2004 junio
C1.- Describir el fenómeno de polarización de las ondas. ¿Qué tipo de ondas pueden ser polarizadas?¿Puede polarizarse el sonido?¿Y la luz?¿Razonar la contestación.
2004 julio
C2.- Analogías y diferencias entre ondas armónicas longitudinales y transversales. Poner algún ejemplo de cada
clase.
2005 junio
C4.- Ecuación del movimiento armónico simple. Indicar el significado de cada término. Poner algún ejemplo.
2005 julio
B1.- Una sucesión de olas rectas y paralelas que se propagan en la dirección del eje OX sobre la
superficie del mar, se puede representar mediante un movimiento ondulatorio de ecuación:
z = 3 sen (0’2 π t – 0’l7 π t x).
Las magnitudes de esta expresión están dadas en el Sistema Internacional de unidades.
En esta ecuación, z representa la altura de cada punto de la superficie respecto del nivel
medio, en el punto x y en el instante t. Calcular:
a) la altura máxima de esas olas sobre el nivel medio.
b) el número de olas que pasan por un punto en cada minuto.
c) la distancia entre 2 olas.
d) la velocidad de las olas.
e) Si en un instante dado, en la posición x = 0 hay un mínimo de la ola, cuánto vale en ese
instante la altura z en el punto x = 15 m.
C3.- Ondas polarizadas. Poner algún ejemplo.
2006 junio
B2.- Una onda armónica transversal se propaga por una cuerda en la dirección positiva del eje
OX. La amplitud es A = 0’06 m, la frecuencia vale f = 10 Hz y su velocidad es de 15 m.s-1.
a) Determinar su longitud de onda
b) Escribir la ecuación de la onda
c) calcular la velocidad y aceleración máximas de un punto de la cuerda
C2.- Movimiento armónico simple. Definir: amplitud, elongación, frecuencia y periodo. Escribir la
ecuación del movimiento y deducir las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración.
2006 julio
B2.- La ecuación de una onda transversal que se propaga por una cuerda es:
y = 4 cos(100 π t - 75 πx)
donde x se mide en metros y t en segundos.
Calcular:
a) la frecuencia
b) la longitud de la onda
APÉNDICE: PAU por Materias
499
c) la velocidad de propagación
d) Escribir la ecuación del movimiento del punto de la cuerda situado en el origen de coordenada
d) ¿Cuáles son su velocidad y su aceleración máximas?
e) ¿En qué instantes de tiempo se alcanzan?
2007 junio
A2.- Una onda armónica transversal, y = f(x, t), se propaga por una cuerda en la dirección negativa del eje OX. La frecuencia vale 0,5 Hz y la velocidad de propagación es vp = 20 m/s. En el
instante t = 0, la elongación (y) del punto situado en x = 0 vale 0 y su velocidad es de +2
m/s. Calcular:
a) la amplitud (elongación máxima)
b) el periodo
c) la longitud de onda
d) la ecuación de onda
e) la ecuación de la velocidad transversal (dy/dt) de cada punto de la cuerda,
f) la velocidad del punto de la cuerda situado en x = 80 m cuando t = 5 s.
2007 julio
C3.- Ondas trasversales y longitudinales. Descripción y ejemplos.
2008 junio
B2.- Una onda transversal se propaga por una cuerda situada sobre el eje OX, según la ecuación:
y = 6 sen 2π(100t - 0,5x)
en unidades del Sistema Internacional.
Calcular:
a) la velocidad y el sentido de propagación de la onda
b) la velocidad máxima de vibración de un punto de la cuerda.
c) la distancia que separa dos puntos de la cuerda que oscilan en fase.
2008 julio
C1.- Describir el fenómeno de la polarización de las ondas. ¿Qué tipo de ondas pueden ser polarizadas?. ¿Puede polarizarse el sonido? ¿Y la luz?
2009 junio
B2.- Un punto móvil describe un movimiento armónico simple a lo largo del eje Ox según la ecuación x = 3 sen(ωt), donde ω es una constante, x es la posición en metros y t es el tiempo en
segundos. Calcular:
a) el periodo del movimiento,
b) la frecuencia,
c) ¿Para qué valores de x la velocidad es máxima? ¿Cuánto vale esa velocidad?
d) ¿Para qué valores de x la aceleración es máxima? ¿Cuánto vale?
e) Demostrar que la aceleración es siempre proporcional a la posición.
C2.-
Teorías sobre la naturaleza de la luz. Ondas y corpúsculos. Hechos experimentales que
avalan estas teorías.
C4.- Ondas sonoras y ondas luminosas. Diferencias y analogías-.
2009 julio
A2.- Una onda armónica transversal de amplitud 10 cm y frecuencia 2 Hz se propaga por una
cuerda en la dirección positiva del eje OX. La velocidad de propagación vale 10 m/s.
a) Escribir la ecuación de la onda,
b) determinar la longitud de onda,
c) calcular la velocidad y aceleración transversales máximas de un punto de la cuerda.
C3. Ondas polarizadas.
APÉNDICE: PAU por Materias
500
PROBLEMAS Y CUESTIONES
DE
ÓPTICA
(extraídos de las PAU - P.Vasco.)
1995 junio
B2.- Un proyector de diapositivas con una lente de 10 cm de distancia focal proyecta una imagen
sobre la pantalla que se encuentra a 2,5 m de la lente.
a) ¿De qué tipo de lente se trata?
b) Dibuja un esquema de la formación de la imagen.
c) ¿Cómo es la imagen?
d) ¿Cuál es la distancia entre la diapositiva y la imagen?
e) ¿Cuál es el aumento?
f) ¿Cuál es la anchura de la imagen de una diapositiva de 35 mm?
1995 septiembre
C4.- Describir el funcionamiento de un microscopio y analizar las características de sus imágenes.
1996 junio
A2.- Dentro de un estanque y a un metro de profundidad hay un punto luminoso que emite rayos
en todas direcciones. En la superficie del estanque se ve un círculo luminoso debido a los
rayos de luz que se refractan al pasar al aire.
a) Dibujar la marcha de los rayos luminosos razonando su trayectoria.
b) Calcular el radio del círculo.
Índice de refracción del agua = 4/ 3.
1996 septiembre
C4.- Describir el funcionamiento de una lupa y analizar las características de sus imágenes. ¿Se
pueden recoger estas imágenes en una pantalla?
1997 junio
A2.- Una onda luminosa cuya frecuencia es de 6 x 1014 s-1 pasa a través de un líquido. Dentro de
éste la longitud de onda resulta ser de 3 x 10-5 cm.
a) ¿Cuál es la velocidad de la luz en este líquido?
b) ¿Cuál es la longitud de onda en el vacío?
c) ¿Cuál es el índice de refracción del líquido para esta frecuencia
C1.- Describir el funcionamiento óptico del ojo humano. ¿En que consisten la miopía y la hipermetropía? ¿Cómo se corrigen?
1997 septiembre
C1.- Explicar el concepto de ángulo límite y reflexión total. Describir alguna aplicación de este fenómeno.
1998 junio
C3.- Describir el funcionamiento de un proyector de diapositivas incluyendo un esquema gráfico
de la formación de la imagen.
1998 septiembre
C1.- Teorías sobre la naturaleza de la luz. Hechos experimentales que avalan esas teorías.
1999 junio
C1.- Explicar el funcionamiento óptico de la lupa
APÉNDICE: PAU por Materias
501
1999 septiembre
B2.- Una cámara fotográfica tiene como objetivo una lente de 10 dioptrías.
a) ¿A que distancia del negativo (donde se ha de obtener la imagen) debe estar el objetivo
para fotografiar un objeto situado a 12 m?
b) Si el negativo tiene un tamaño de 3 cm, ¿cuál es el máximo tamaño del objeto?
c) Dibujar un esquema con la marcha de los rayos.
2000 junio
C4.- Explicar los fenómenos de reflexión y refracción de una onda y las leyes que los rigen. De las
siguientes magnitudes, v, λ, f, T ¿Cuáles cambian y cuáles no varían ?
2000 julio
C4.- Describir el funcionamiento de un proyector de diapositivas representando gráficamente la
formación de la imagen.
2001 junio
C2.- Describir el funcionamiento óptico del ojo humano. ¿En que consisten la miopía y la hipermetropía? ¿Cómo se corrigen?
2001 julio
B2.- La lente convergente de un proyector de diapositivas, que tiene una distancia focal de
+15,0 cm, proyecta la imagen emitida de una diapositiva (de 3,5 cm. de ancho) sobre una
pantalla que se encuentra a 4,00 m de la lente.
a) ¿A que distancia de la lente está colocada la diapositiva? .
b) ¿Cuál es el aumento de la imagen formada por el proyector en la pantalla?
c) Representar gráficamente la formación de la imagen.
C2.- Teorías sobre la naturaleza de la luz. Hechos experimentales que avalan estas teorías.
2002 junio
A2.- Una superficie de vidrio (nv = 1,50) tiene sobre ella una capa de agua (na = 1,33). Un rayo
luminoso monocromático que se propaga por el vidrio incide sobre la superficie vidrio-agua.
a) Hallar el ángulo de incidencia para que se produzca la reflexión total. Ayúdate de un dibujo.
b) ¿Cuál será la velocidad de la luz en cada medio?
C2.- Describir el funcionamiento de una lupa y analizar las características de sus imágenes. ¿Se
pueden recoger estas imágenes en una pantalla?
2002 julio
C1.- Describir el funcionamiento del ojo humano. ¿En que consisten la miopía y la hipermetropía?
¿Cómo se corrigen?
2003 junio
C1.- Describir el funcionamiento de una cámara fotográfica, representando gráficamente la formación de la imagen.
2003 julio
C4.- Describir el funcionamiento de una cámara fotográfica.
2004 julio
C4.- Naturaleza ondulatoria y corpuscular de la luz. Indicar fenómenos en los que se manifieste cada una de ellas.
2005 junio
A2.- Un rayo de luz que se propaga por el agua, cuyo índice de refracción es n2 = 1’33, llega a su
superficie (plana). Si el medio exterior es el aire (n1 = 1):
APÉNDICE: PAU por Materias
502
a) Calcular el ángulo mínimo de incidencia para que se produzca la reflexión total.
b) Para este ángulo de incidencia, calcular el ángulo de refracción si el medio exterior es un
vidrio de índice n3 = 1’5. ¿Podría existir reflexión total en este caso?
c) Determinar el valor de la velocidad de la luz en el agua y en él vidrio.
Nota: suponemos que las propiedades ópticas del aire son las mismas que las del vacío: c =
300000 km/s
C2.- Describir el funcionamiento del ojo humano. Miopía e hipermetropía.
2005 julio
C1.- Describir el funcionamiento de una cámara fotográfica
2006 junio
C3.- Describir el funcionamiento de un microscopio óptico. ¿Cómo se calculan los aumentos?
2006 julio
C2.- Leyes de la reflexión y de la refracción de ondas.
2007 junio
C1.- Explicar el funcionamiento óptico de una lupa.
2008 junio
C3.- Describir el funcionamiento de un microscopio y analizar las características de sus imágenes.
2008 julio
A2.- Una onda luminosa de frecuencia 6x1014 s-1 pasa a través de un líquido. Dentro de éste, la
lon
gitud de onda es 3x10-5 cm.
a) ¿Cuál es la velocidad de la luz en ese líquido?
b) ¿Cuál será su longitud de onda en el vacío?
c) ¿Cuál es el índice de refracción del líquido para esa frecuencia?
B2.- Una cámara fotográfica tiene como objetivo una lente de 12 dioptrías.
a) Calcular la distancia del objetivo hasta la imagen, si el objeto está a 20 m
b) Si el objeto mide 1’5 m de altura, ¿cuál es el tamaño de la imagen?
c) Dibujar un esquema con la marcha de los rayos.
C4.- Explicar el concepto de ángulo límite. Reflexión total. Poner algún ejemplo.
2009 junio
B2.- Un haz luminoso monocromático de frecuencia 5x1014 s-1 se propaga por el interior de un
vidrio de índice de refracción nv = 1’55 e incide sobre una superficie plana de separación vidrio-agua. El índice de refracción del agua es na = 1’33.
a) Determinar el ángulo de incidencia del haz con la superficie para que se produzca una
reflexión total. Haz un dibujo,
b) Calcular la velocidad de la luz y la longitud de onda en cada medio.
2009 julio
B1.- Un fotón tiene una energía de 2 eV.
a) Calcular su frecuencia,
b) determinar su longitud de onda en el vacío y en un medio material de índice de refracción
n = 1’45.
c) ¿A qué zona del espectro electromagnético pertenece?
Datos: Constante de Planck: h = 6,62x10-34 J.s.- Carga eléctrica del electrón: e- = -1’6x10-19 C.
APÉNDICE: PAU por Materias
503
PROBLEMAS Y CUESTIONES
DE
FÍSICA MODERNA
(extraídos de las PAU - P.Vasco.)
1995 junio
B1. Sobre el cátodo de una célula fotoeléctrica incide luz ultravioleta de 2536 Å de longitud de
onda. Sabiendo que el umbral fotoeléctrico del cobre metálico está en λ = 3200 Å, calcular:
a) El valor del trabajo de extracción en Julios.
b) La energía cinética máxima de los electrones expulsados.
c) La velocidad máxima de los fotoelectrones.
Masa del Electrón: m = 9, 10 x 10-31 kg.
Carga del Electrón: e = 1,60 x 10-19 Culombios.
Constante de Plank: h = 6,62 x 10-34 Julios. Seg. - 1 Angstrom: 10-10 m.
C2. Reacciones de fusión. ¿De dónde procede la energía que se desprende? Ventajas y dificultades para obtener energía procedente de la fusión.
C4. Dualidad Onda-Corpúsculo. Hipótesis de De Broglie.
1995 septiembre
A2. Las longitudes de onda del espectro visible están comprendidas entre los 4000 y 7000 Å.
a) Calcula el intervalo de frecuencias.
b) Calcula el intervalo de energías fotónicas.
c) ¿Cuál es la longitud de onda de un fotón cuya energía es de 5 eV? ¿En qué parte del
espectro electromagnético se encuentra?
d) En las transiciones moleculares tiene lugar la absorción o emisión de fotones de energía
menor de 1 eV. ¿Pertenece esta radiación a la parte infrarroja o a la ultravioleta del espectro
electro- magnético?
Constante de Plank: h = 6,62 x 10-34 J. seg.
1 Angstrom: 10-10 m.
C3. Energía de origen nuclear. Describir las diferencias entra las reacciones de fisión y fusión.
1996 junio
B2.- Cuando chocan un electrón y un positrón en determinadas condiciones, la masa total de ambos se transforma en energía radiante en forma de dos fotones de igual energía. Calcular:
a) La energía total producida expresada en electrón-voltios.
b) La longitud de onda de la misma.
Constante de Plank: h = 6,26 x 10-32 J.s Masa positrón = masa electrón.
C1.- Una fuente emite fotoelectrones cuando se ilumina con luz azul, pero no emite cuando se
ilumina con luz verde. ¿Qué ocurrirá al iluminarla con luz roja?¿Y con luz ultravioleta? Razonar las respuestas
C4.- Describir el fenómeno de la radioactividad natural y definir: constante radioactiva, vida media
y período de semidesintegracion. ¿Cuál es la relación entre estas magnitudes?
1996 septiembre
C2.- ¿Cuál es la hipótesis básica de la teoría de Plank? ¿Qué dimensiones tiene la constante de
Plank?
1997 junio
C2.- Explicar el efecto fotoeléctrico. Si se duplica la frecuencia de la radiación que incide sobre la
superficie de un metal ¿se duplica la velocidad de los electrones extraídos? Razonar la contestación.
APÉNDICE: PAU por Materias
504
C3.- La masa de un núcleo atómico ¿es mayor o menor que la suma de las masas de los nucleones que lo integran? Explicar el concepto de energía de enlace en el núcleo, y su relación
con la estabilidad del mismo.
1997 septiembre
A2.- Cuando incide sobre el potasio luz de longitud de onda de 3 x 10-7 m, los electrones emitidos
tienen una energía cinética máxima de 2,03 eV
a) ¿Cuál es la energía del fotón incidente?
b) ¿Cuál es la energía de extracción para el potasio?
c) ¿Cuál es el potencial de detención para los fotoelectrones si la luz incidente tiene una
longitud de onda de 4 x 10-7 m.
Constante de Plank = 6,62x10-34 J.s.- Carga del electrón: 1,60 x10-19 C.
C4.- Describir la fusión nuclear. ¿A qué se debe que los reactores de fusión no sean aún una realidad como lo son los reactores de fisión? ¿Qué ventajas e inconvenientes presenta la energía nuclear procedente de la fisión frente a la procedente de la fusión?
1998 junio
A2.- a) ¿Cuanta energía transporta un fotón "medio" de luz visible con una longitud de onda de
5 x10-7 m?
b) ¿Cuál será el número de fotones de luz visible emitidos por segundo por una lámpara de
100 W que emite el 1% de su potencia en la región visible?
Constante de Planck, h = 6,62 x10-34 J. s
C2.- Describir el fenómeno de la radiactividad natural. ¿Qué efectos tiene la radiación sobre el
organismo? ¿Que tipo de radiación es la más nociva? Razonar la contestación.
C4.- Efecto fotoeléctrico. Leyes experimentales. Teoría de Einstein del efecto fotoeléctrico.
1998 septimbre
B2.- ¿Qué potencial debe aplicarse para detener los fotoelectrones más rápidos emitidos por una
superficie de cobre bajo la acción de una radiación de longitud de onda de 1500 Å, sabiendo
que la energía umbral para el cobre es de 4.4 eV ?
Constante de Planck = 6.62x10-34 J.s. Carga del electrón = 1.60x10-19 C
1 angstrom = 10-10 m.
C4.- Describir la fisión nuclear. Origen de la energía que se produce. Ventajas y problemas que
plantea la energía nuclear.
1999 junio
B2.- El bismuto -210 (Z=83) emite una partícula β y se transforma en polonio, el cual emite una
partícula α y se transforma en un isótopo del plomo.
a) Escribe las correspondientes reacciones de desintegración.
b) Si el periodo de su semidesintegración del bismuto-210 es de 5 días y si inicialmente se
tiene 1 mol de átomos de bismuto, ¿cuántos núcleos se han desintegrado en 10 días? .
Número de Avogadro: N = 60.22 x1022 átomos. mol-1
C3.- Describir el efecto fotoeléctrico explicando su aportación al conocimiento de la naturaleza de
la luz.
1999 septiembre
1.- Defecto de masa y energía de enlace. Estabilidad de los núcleos.
APÉNDICE: PAU por Materias
505
2000 junio
B2.- En la desintegración del 226
88 Ra para formar radón, cada átomo emite una partícula alfa y
también un rayo gamma de longitud de onda 6,52x10-12 m.
a) Escribir la reacción de desintegración del radio.
b) Calcular la energía máxima de cada fotón de rayos gamma en MeV
c) Calcular la pérdida de masa de la reacción anterior debida a la emisión gamma.
Constante de Planck : h = 6,62. 10-34J.s.- Carga del electrón: e = 1,6x10-19 C
C2.- Efecto fotoeléctrico. En el efecto fotoeléctrico se habla de frecuencia umbral ¿qué significado
tiene? ¿Puede definirse también una intensidad umbral? ¿y una longitud de onda umbral?
Razonar las contestaciones.
2000 julio
A2.- a) ¿Cuál es la longitud de onda de los rayos X si cada fotón transporta una energía de 40000
eV?
b) ¿Cuál sería la energía cinética de los electrones con una longitud de onda de Broglie
igual a la de los rayos X de la pregunta anterior ? .
Carga del electrón: e = 1,6x10-19C.- Constante de Planck : h = 6,62.10-34 J.s.- Masa del
electrón : m = 9,10x10-31kg.
C1.- La fusión nuclear. ¿Por qué se produce espontáneamente la fusión en el Sol pero no en la
Tierra? .
2001 junio
A2.- Calcular la masa de deuterio que requeriría cada día una hipotética central de fusión de 500
MW de potencia eléctrica en la que la energía se obtuviese del proceso 2 21H → 42 He , suponiendo un rendimiento del 30% .
Masa atómica del deuterio: 2,01474 u
Masa atómica del helio: 4,00387 u
1 u = 1,66x10-27 kg
Número de Avogadro: N = 6,02x1023 átomos/mol
B1.- La intensidad de la luz solar en la superficie terrestre es aproximadamente 1400 W.m-2. Suponiendo que la energía media de los fotones sea 2 e V,
a) calcular el número de fotones que inciden por minuto en una superficie de 1 m2 .
b) ¿a qué longitud de onda corresponde esa energía media de los fotones?
Carga del electrón:
e = 1,6x10-19 C
Constante de Planck : h = 6,62x10-34 J.s
2001 julio
C1.- La fisión nuclear. Ventajas e inconvenientes de la energía de origen nuclear.
2002 junio
B2.- Un haz de luz de longitud de onda de 400 nm tiene una intensidad de 100 W.m-2.A
a) ¿Cuál es la energía de cada fotón del haz?
b) ¿Cuánta energía llega en un minuto a una superficie de 1 cm2, perpendicular al haz?
c) ¿Cuántos fotones llegan por segundo a esta superficie?
Datos: 1 nm = 10-9 m
Constante de Planck: h = 6,62x10-34 J.s
C1.- Reacciones de Fusión Nuclear. ¿De donde procede la energía que se desprende? Ventajas y
dificultades para obtener energía procedente de la fusión.
APÉNDICE: PAU por Materias
506
2002 julio
B2.- Sobre el cátodo de una célula fotoeléctrica incide luz ultravioleta de 2536 Å de longitud de
onda. Sabiendo que el umbral fotoeléctrico del cobre metálico está en λ0 = 3200 Å, calcular:
a) El valor del trabajo de extracción, en Julios.
b) La energía cinética máxima de los electrones expulsados.
c) La velocidad máxima de los fotoelectrones.
Datos: Masa del electrón, me = 9,10x10-31 Kg. Carga del electrón, e = -1,60x10-19 Culombios
Constante de Planck, h = 6,62x10-34Julios. segundo. 1 angstrom, 1Å = 10-10 m.
C4.- Reacciones de Fisión Nuclear. ¿De dónde procede la energía desprendida? Ventajas e inconvenientes para obtener energía procedente de la Fisión.
2003 junio
A1.- La energía de extracción del cesio es 1 ,9 e V.
a) Hallar la frecuencia umbral y la longitud de onda umbral del efecto fotoeléctrico.
b) Hallar el potencial de detención de los electrones para una longitud de onda incidente de
300 nm.
1nm = 10-9 m.-1 eV = 1,6xI0-19 Julios.- Constante de Planck, h = 6,62 x 10-34 J.s.- Carga del
electrón, e = – 1,6 x 10-19 C
2003 julio
B2.- Un microondas doméstico proporciona 500 W a una frecuencia de 2450 MHz.
a) ¿Cuál es la longitud de onda de esta radiación?
b) ¿Cuál es la energía de cada fotón emitido?
c) ¿Cuántos fotones por segundo emite el magnetrón?
Constante de Planck, h = 6,62x10-34 J.s
C2.- Estabilidad de los núcleos. Defecto de masa y energía de enlace.
2004 junio
A2.- a) ¿Cuánta energía transporta un fotón "medio" de luz visible con una longitud de onda de
5x10-7 m?
b) Hallar el número de fotones de luz visible emitidos por segundo por una lámpara de 100
W que emite el 1 % de su potencia en la región visible?
C2.- Describir el fenómeno de la radiactividad natural. ¿Qué efectos tiene la radiación sobre el
organismo?¿Qué tipo de radiación de la más nociva? Razonar la contestación.
C4.- Describe el efecto fotoeléctrico. ¿De qué características de la luz depende la intensidad de la
corriente fotoeléctrica cuando ésta se produce? Razonar la contestación.
2004 julio
A2.- a) Determinar la frecuencia de un fotón de 200 MeV de energía e indicar a qué zona del espectro electromagnético pertenece.
b) Calcular su longitud de onda y su momento lineal.
Constante de Planck: h = 6’62x10-34 J.s
Carga del electrón: e = 1’60x10-19 C
B2.- Una central nuclear de 800 MW de potencia utiliza como combustible uranio enriquecido hasta
el 3% del isótopo fisionable (U-235),
a) ¿Cuántas fisiones por segundo deben producirse?
b) ¿Cuántas toneladas de combustible consumirá en un año?
Datos: En cada fisión de un núcleo de U-235 se liberan 200 MeV
Carga del electrón: e = -1’60x10-19 C
Número de Avogadro: NA = 6’023x1023 átomos/mol
APÉNDICE: PAU por Materias
507
C4.- Naturaleza ondulatoria y corpuscular de la luz. Indicar fenómenos en los que se manifieste cada una de ellas.
2005 junio
C1.- Reacciones de Fusión Nuclear y de Fisión Nuclear. Analogías y diferencias. Ventajas e inconvenientes ¿De dónde procede la energía que se desprende en estas reacciones?
2005 julio
C2.- Estabilidad de los núcleos atómicos. Defecto de masa y energía de enlace.
C4.- Describir el Efecto Fotoeléctrico. Explicación cuántica. Hipótesis de De Broglie.
2006 junio
A2.- Una fuente de radiación electromagnética monocromática emite una luz de frecuencia
f = 5’88xl014 Hz con una potencia de 10 W. Calcular:
a) la longitud de onda
b) la energía de cada fotón
c) el número de fotones emitidos por segundo.
Datos: Constante de Planck, h = 6,63xlO-34 J.s
Velocidad de la luz en el vacío y en el aire, c = 3x108 ms-1
C4- Describir el fenómeno de la radiactividad natural. Rayos α, β y γ . Leyes de Soddy y Fajans
sobre la desintegración radiactiva.
2006 julio
A2.- Un haz de luz monocromática de 6'5x1014 Hz ilumina una superficie metálica que emite electrones
con una energía cinética de 1'5x10 -19 J. Calcular:
a) la frecuencia de cada fotón
b) el trabajo de extracción del metal,
c) el valor de la frecuencia umbral.
Datos: Constante de Planck, h = 6,63x10-34 J.s
Velocidad de la luz en el vacío y en el aire, c = 3x108 m.s -1
2007 junio
B2.- Por término medio, la longitud de onda de la luz visible es de 550 nanómetros. Determinar la
energía transportada por cada fotón.
Si una lámpara eléctrica de 50 W emite el 2% de su energía en la región visible del espectro
electromagnético, ¿cuántos fotones se emiten por segundo? ¿Qué ocurre con el resto de la
energía disipada por la lámpara?
Datos: 1 nanómetro = 10 -9 m
Constante de Planck, h = 6,63x1 0 -34 J.s
C3.- Describir el fenómeno de la radiactividad natural. Rayos α, β y γ. Leyes de Soddy y de Fajans
sobre la desintegración radiactiva.
2007 julio
B2.- Sobre el cátodo de cobre de una célula fotoeléctrica incide una luz ultravioleta monocromática, cuya longitud de onda es de 200 nanómetros. Sabiendo que el umbral fotoeléctrico del
cobre corresponde a una frecuencia de 8,3xl0I4 Hz, calcular:
a) el valor del trabajo de extracción en Julios.
b) la energía cinética de los electrones expulsados.
c) la velocidad de los electrones.
Masa del electrón: 9’10xl0-31 kg Constante de Planck: 6’63x10-34 J s
APÉNDICE: PAU por Materias
508
C2.- Explicar por qué la masa de un núcleo atómico es menor que la suma de las masas de los
nucleones (protones y neutrones) que lo integran. Concepto de energía de enlace y su relación con la estabilidad del núcleo.
2008 junio
B1.- Un electrón y su antipartícula, el positrón, se encuentran a una distancia de 1m.
a) Calcular la fuerza de atracción electrostática, la fuerza de atracción gravitatoria y el cociente entre ambas.
Considérese ahora que ambas partículas se unen en reposo y que la masa total se transforma en energía radiante en forma de dos fotones idénticos.
b) Calcular la energía total de cada fotón
c) su longitud de onda y su frecuencia.
Constante de gravitación universal: G = 6’67x10-11 N.m2kg-2.
Constante de Coulomb: 9x109N.m2.C-2
Constante de Planck: h = 6’26x10-34 J.s
Masa del positrón = masa del electrón = 9’1x10-31 kg.
Carga del electrón:-1’6x10-19 C
Carga del positrón = carga del electrón, pero con signo positivo
C2.- Ley de Planck. ¿Qué dimensiones tiene la constante de Planck?.
C4.- La masa de un núcleo atómico ¿es mayor o menor que la suma de las masa de los nucleones (protones y neutrones) que lo forman?. Explicar el concepto de energía de enlace y su
relación con la estabilidad del núcleo.
2008 julio
C3.- Efecto fotoeléctrico. Teoría de Einstein.
2009 junio
C1.- Describir los fenómenos de la fisión nuclear y de la fusión nuclear.
2009 julio
C2. Describir las leyes de la desintegración radiactiva en partículas α, β y γ (Leyes de Soddy y
Fajans).
FÍSICA 2.- 2º BACHILLERATO 15 de Febrero de 2010
Colegio Católico de Santa María (Marianistas)
Valentín Laconcha Abecia.- Dr. en C. Físicas
San Sebastián