GUÍA 1: ONDAS

GUÍA 1: ONDAS
25 de agosto de 2014
Movimientos Periódicos
Problema 1
Una masa al extremo de un muelle oscila con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 1 Hz (ciclos
por segundo). Para t = 0, la masa esta en la posición de equilibrio (x = 0).
1. Hallar las ecuaciones posibles que describen la posición de la masa en función del tiempo, en la
forma x = Acos(wt + α), dando lo valores numéricos de A, w y α.
2. Determinar los valores de x,
dx dx2
y
para t= 83 seg.
dt dt2
Resp: 1) A = 5 cm, w = 2π rad
seg , α = ±π/2. 2)x =
5
2
√
3 cm,
√ cm
dx
dx2
cm
= 5π seg
y 2 = −10π 2 3 seg
2
dt
dt
Problema 2
La ecuación de una cierta onda es:
A (x, t) = 10sin (2π (2x − 100t))
donde x se mide en metros y t se mide en seg. Hallar la amplitud, longitud de onda, frecuencia y
velocidad de propagación. Dibujar la onda mostrando estos parámetros.
m
Resp:10m,0.5m, 100Hz, 50 seg
.
Superposición de Movimientos Periódicos
Problema 3
Dos vibraciones sobre la misma recta vienen descriptas por las ecuaciones:
y1 = A cos (10πt)
y2 = A cos (12πt)
Hallar el periodo de batido y dibujar un esquema cuidadoso de la perturbación resultante durante
un periodo de pulsación.
Resp: 2 seg.
Vibraciones libres de los sistemas físicos
Problema 4
Se cuelga de un muelle un objeto de 1 g de masa y se le deja oscilar. Para t = 0, el desplazamiento era
cm
de 43, 785 cm y la aceleración era de −1, 7514 seg
2 . ¿ Cual es la constante del muelle?
g
Resp: 0, 04 seg
2.
Problema 5
Una masa m cuelga de un muelle uniforme de constante k.
1. ¿ Cual es el periodo de las oscilaciones del sistema?
2. ¿ Cual seria el periodo si la masa m se colgase de modo que:
2
a) Estuviese sujeta a dos muelles idénticos situados uno junto al otro?
b) Estuviese sujeta al extremo inferior de dos muelles idénticos conectados uno a continuación
del otro?
Resp: 1) T0 = 2π
pm
k
2) a)
T0
√
2
b)
√
2T0 .
Ley de Hooke
Problema 6
Un objeto de 0,5 Kg de masa se cuelga del extremo de un alambre de acero de 2 m de longitud y 0,5
mm de diámetro (modulo de Young = 2.1011 mN2 ). ¿ Cual es el alargamiento del alambre?. Luego se
levanta el objeto una distancia h, de modo que el alambre deja de estar tirante, y después se deja caer
de modo que el alambre recibe un tirón súbito. La carga de la rotura es de 1,1.109 mN2 . ¿ Cual es el valor
posible de h que resiste el alambre sin romperse?
Resp: 0, 25mm.
Problema 7
Una varilla metálica de 0,5 m de larga tiene una sección recta rectangular de 2 mm2 de área.
1. Puesta vertical la varilla y teniendo colgada una masa de 60 Kg en su extremo inferior, se produce
N
un alargamiento de 0,25 mm. ¿ Cual es el modulo de Young ( m
2 ) del material de la varilla?
2. Se sujeta firmemente la varilla por su parte inferior, como se muestra en la figura, y en su parte
superior se aplica una fuerza F en la dirección y, como esta indicado (paralela a la arista de
3F
longitud b). El resultado es una flexión elástica dado por y = 4L
. Si se suprime la fuerza F y
Y ab3
se sujeta a la parte superior de la varilla una masa m, mucho mayor que la masa de la varilla,
¿Cual es el cociente de las frecuencias de vibración en las direcciones y y x (es decir, paralelas a
las aristas de longitud b y a ?
N
Resp: 1) γ = 6 × 1011 m
2 . 2) b/a .
3
Problema 8
Una barra de aluminio de 200 mm de longitud y con una sección cuadrada de 10 mm de lado se somete a una fuerza de tracción de 12300 N y experimenta un alargamiento de 0,34 mm. Suponiendo que
el comportamiento de la barra es totalmente elástico, calcular el módulo de elasticidad del aluminio.
Resp: γ = 7, 23 × 1010 mN2 .
Problema 9
Calcular observando la figura el modulo de Young, siendo 400 mm la longitud inicial de la barra y su
área 25 mm2 . Calcular la longitud de la barra cuando la fuerza es 115 N y la fuerza para la cual se
produce la rotura de la barra.
Punto P
Punto E
Punto R
Estirammiento unitario
Tensión
4.5.10-4
90.106 pa
130.106 pa
260.106 pa
6.3.10-4
48.9.10-4
Resp: γ = 20 × 1010 Pa, l = 92 mm, F = 6,5kN.
Problema 10
Estimar la velocidad de propagación de las ondas elásticas en una barra de acero.
m
Resp: 5, 06 × 103 seg
.
4
Problema 11
Encontrar el equivalente entre el sistema del resorte y la barra cilindrica.
Resp: k =
AE
l .
Problema 12
Calcular la constante del resorte equivalente de la siguiente figura.
Resp: En notación compacta: ((2k1
P
k2
P
2k3 )kk4 )
P
k5 .
Problema 13
Encontrar la frecuencia de vibracion natural en la direccion vertical del sistema de la figura. Datos:
Peso=2000 N, l1 = l2 = l3 = 3 m, A1 = 20cm2 , A2 = 10cm2 , A3 = 5cm2 y E = 2,1 × 1011 N/m.
Resp: 265,91 rad/seg.
Vibraciones Amortiguadas
Problema 14
Comprobar que x = A exp−αt cos(wt) es una posible solución de la ecuación:
dx2
dx
+ w02 x = 0
+γ
dt2
dt
5
Hallar α y w en función de γ y w0 .
Resp: γ = 2α, w02 = w2 + α2 .
Problema 15
Se cuelga un objeto de masa 0,2 Kg de un muelle cuya constante es de 80 N
m . Se somete el objeto a
m
una fuerza resistente dada por −bv, siendo v su velocidad en seg
. Plantear la ecuación diferencial del
movimiento
en el caso de oscilaciones libres del sistema. Si la frecuencia de amortiguamiento es de
√
3
2 de la frecuencia sin amortiguamiento. ¿ Cual es el valor de la constante b?
Kg
Resp: 3,46 seg
.
Problema 16
El esquema de un cañon se muestra en la figura. El mecanismo de barras y el cañon posee un peso de
500 Kg. La contanste del resorte para realizar el impulso del cañon es de 10000 N/m. La altura maxima
de la que parte el cañon es 0.4 m. Calcular:
1. El coeficiente critico de amortiguamiento.
2. La velocidad inicial del cañon.
3. El tiempo en el que cañon llega a la posición 0,1 m desde la poscición inicial.
Resp: 1) 4472,1 N.seg/m, 2) 4,86 m/seg, 3) 0,82 seg.
Vibraciones forzadas
Problema 17
Si en el problema 16, b es igual a 4 N.seg
m y se somete a una fuerza impulsora dada por F (t) = F0 sin(wt),
1
siendo F0 = 2N y w = 30 seg
, en el estado estacionario, determinar la amplitud de la oscilación forzada.
Resp: 1, 28 cm.
Problema 18
N
Consideramos un oscilador amortiguado de masa 0,2 Kg, b = 4 N.seg
m y k = 80 m . Si la fuerza impulsora
1
es F = F0 cos(wt) siendo F0 = 2N y w = 30 seg . Determinar los valores de A y δ de la respuesta
descripta por x = Acos(wt − δ).
6
Resp: A = 1, 28 cm, δ = 130o .
Problema 19
Se tiene un sistema fisico con viscocidad como el de la figura. Este posee una constante de amortiguacion c y una constante del resorte k. El mecanismo de amortiguacion y resorte estan conectados en los
puntos AB sobre la barra de masa despreciable. Sobre la barra se ejerce una fuerza de 500 N a 0.1 m
a tiempo cero. Si el desplazamiento de los puntos AB es de 0.01 m en 10 seg , encuentre c y k.
Resp:
Problema 20
Encuentre las soluciones de los sistemas representados por las siguientes ecuaciones. Las condiciones
iniciales son ẋ(0) = 1 y x(0) = 0.
1. 2ẍ + 8ẋ + 16x = 0.
2. 3ẍ + 12ẋ + 9x = 0.
3. 2ẍ + 8ẋ + 8x = 0.
Problema 21
Se tiene un sistema masa-resorte con una fuerza externa armonica. La constante del resorte es 5000
N/m. La amplitud maxima de la fuerza externa es de 30 N con una frecuencia de 20 Hz. La vibracion
de la masa es de 0,2 m. Asumiendo que las condiciones iniclaes son ẋ(0) = 0 y x(0) = 0, determinar
la masa del sistema.
Resp: 0,29 Kg.
Problema 22
Encontrar todos los parametros caracteristicos de un sistema amortiguado con una fuerza impulsora
armonica con una masa de 10 kg, c = 20 N.seg/m (constante de amortiguacion), k = 4000 N/m,
x0 = 0,01 m, y ẋ(0) = 0.
1. Si F (t) = F0 cos(ωt) es la fuerza impulsora con F0 = 100 N y ω = 10 rad/ses.
2. Si la vibracion es libre, es decir, F (t) = 0.
7
Resp: x(t) = χ0 exp(−γωn t) cos(ωd t − φ0 ) + χ cos(ωt − φ) con 1) χ0 = 0,02 m , γ = 0,05 , ωn =
20rad/seg , ωd = 19,97 rad/seg , φ0 = 5,58o , χ = 0,03m , φ = 3,81o . 2) x(t) = χ0 exp(−γωn t) cos(ωd t−
φ0 ) con χ0 = 0,01 m y φ0 = −2,86o .
Osciladores Acoplados y modos normales
Problema 23
Se acoplan dos osciladores idénticos sin amortiguar A y B, de masa m y constantes kb y ka , respecti0
vamente, se acoplan juntos mediante un muelle de constante kc . Hallar las frecuencias normales w y
00
w y describir los modos normales de oscilación si kc2 = ka .kb .
q
q
Resp: w1 = ka +kmb +kc , w2 = kmc .
Oscilaciones en una cuerda
Problema 24
Una cuerda uniforme de 2,5 m de longitud y 0,01 Kg de masa se somete a una tension de 10 N. ¿ Cual
es la frecuencia?
Resp: 10 Hz.
Problema 25
Una cuerda de longitud L y masa total M se estira mediante una tension T . ¿ Cuales son las frecuencias de los tres modos normales inferiores de oscilación de la cuerda cuando estas son transversales?
q
T
Resp:wn = nπ LM
.
Problema 26
Una cuerda estirada de masa m, longitud l y tension T se ve impulsada por dos fuentes una en cada
extremo. Ambas fuentes tienen la misma frecuencia ν y una amplitud A pero están desfasadas 180o
entre si. Determinar el valor mas pequeño posible de w consistente con las vibraciones estacionarias
de una cuerda.
q
T
Resp: ν = π ml
.
Problema 27
Calcular la energía total de vibración de una cuerda de longitud L fija en los extremos, que oscila en
el modo n con una amplitud A. La tensión de la cuerda es T y la masa es M .
sin2 (wt)
.
4L
2 n2 π 2
Resp: T A
Problema 28
Una cuerda de 4 m de longitud se fija por sus extremos y se le hace vibrar. La rapidez de las ondas
sobre la cuerda es de 20 m/s. Hallar la frecuencia.
Resp: 2, 5 Hz.
8
Problema 29
La longitud de la cuerda de una guitarra es 60 cm y vibra a 245 Hz.
(a) ¿ Cual es la rapidez de las ondas transversales sobre la cuerda?
(b) Si la densidad lineal es de 0.001 kg/m, ¿ Cual es la tensión?
m
Resp:a) 294 seg
, b) 86, 6N.
Problema 30
Una cuerda con una densidad de masa 0.004 kg/m se encuentra sometida a una tension de 360 N y
está fija en ambos extremos. Una de sus frecuencias es de 375 Hz. La siguiente frecuencia más alta es
450 Hz. ¿ Cuál es la frecuencia?
Resp: 75 Hz.
Problema 31
Encuentre las frecuencias naturales de una cuerda sujeta en sus dos extremos. Escriba la expresion del
desplazamiento de la cuerdo en funcion de x y t. Resuelva los mismo, para el caso en que la cuerda
tiene uno de sus extramos libres.
Resp:
Problema 32
Las cuerdas de una guitarra como la de la figura poseen un diametro de 0,05 m, su peso por unidad
de volumen es es de 76,5 kN/m3 , y su modulo de young es 207 GPa. Si la longitud de dos cuerdas
consecutivas es de 0,6 m y 0,65 m, determine la frecuencia de la cuerda de la guitarra si la tension en
cada una de ellas es de 5,104 N.
Resp:
9