K - Unad

4 Control en el espacio de estado
4.1
Controlabilidad
Existen dos conceptos fundamentales de los sistemas de control: la
controlabilidad y la observabilidad. La controlabilidad se ocupa del problema de
poder dirigir un sistema de un estado inicial dado, a un estado arbitrario y la
observabilidad se ocupa del problema de determinar el estado de un sistema
dinámico a partir de observaciones de los vectores de salida y de control en un
número finito de periodos de muestreo.
Los conceptos de observabilidad y controlabilidad fueron introducidos por
R.E. Kalman. Estos tienen un papel importante en los sistemas de control
multivariables, de hecho a partir de ellos se hace posible obtener una solución
completa a un problema de control óptimo.
El concepto de controlabilidad es la base para solucionar el problema de la
ubicación de polos y el concepto de la observabilidad juega un papel importante
para el diseño de los observadores de estados.
Así, si el sistema es de estado completamente controlable, entonces es
posible seleccionar los polos en lazo cerrado deseados en el plano z (o las raíces de
la ecuación característica) y se podrá diseñar el sistema que proporcione estos polos
en lazo cerrado.
Definición de controlabilidad
Un sistema es controlable si cada variable de estado del proceso se puede
controlar para llegar a un cierto objetivo en un tiempo finito, a través de algún
control no restringido u(t). Por lo tanto el concepto de controlabilidad trata de la
existencia de un vector de control que puede causar que el estado del sistema llegue
a algún estado arbitrario.
En forma intuitiva, un sistema de control es controlable si todas las variables
de estado pueden ser controladas en un periodo finito, mediante alguna señal de
control no restringida. Así, si cualquiera de las variables de estado es independiente
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Control en el espacio de estado
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de la señal de control, entonces resulta imposible controlar esa variable de estado y,
por lo tanto, el sistema es no controlable.
4.1.1 Controlabilidad completa de estado para un sistema de control en
tiempo continuo lineal e invariante en el tiempo.
Considere el sistema lineal e invariante en el tiempo descrito con las
siguientes ecuaciones:
x& = Ax(t ) + Bu(t )
y (t ) = Cx(t ) + Du(t )
(4.1)
donde:
x(t): vector de estado de n x 1
u(t): vector de entrada de r x 1
y(t): vector de salida de p x 1.
A, B, C, D: son los coeficientes de las dimensiones apropiadas.
Se dice que el estado x(t) es controlable en t = to si existe una entrada
continua por intervalos u(t) que moverá el estado a cualquier estado final x(tf) en un
tiempo finito (tf - to) ≥ 0.
Si cada estado x(to) del sistema es controlable en un intervalo de tiempo
finito, se dice que es un sistema de estado completamente controlable o
simplemente controlable.
Condiciones para la controlabilidad de estado
Para que el sistema descrito por la ecuación (4.1) sea de estado
completamente controlable, es necesario y suficiente que la siguiente matriz de
controlabilidad de n x nr tenga rango n:
M = [B AB A 2 B ⋅ ⋅ ⋅ A n -1B]
(4.2)
Ya que las matrices A y B están involucradas, algunas veces se dice que el
par [A, B] es controlable, lo que implica que M es de rango n.
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Aunque este criterio es bastante directo, no es muy sencillo emplearlo en
forma manual para sistemas de orden superior o sistemas con muchas entradas. Si
M no es cuadrada, se puede formar la matriz MM’, que es de n x n; entonces si
MM’ es no singular M tiene rango n.
Existen otros métodos alternos para probar la controlabilidad entre los cuales
encontramos:
• Para un sistema SISO descrito por la ecuación (4.1), el par [A, B] es
completamente controlable si A y B están en la Forma Canónica Controlable o
FCC, o son transformables a la Forma Canónica Controlable mediante una
transformación de similitud. Esto dado que la transformación a la FCC requiere
que la matriz de controlabilidad M sea no singular.
• Para un sistema descrito por la ecuación de estado (4.1), si A está en la Forma
Canónica Diagonal o Forma Canónica de Jordan, el par [A, B] es
completamente controlable si todos los elementos en los renglones de B que
corresponden al último renglón de cada bloque de Jordan no son cero.
La prueba de este teorema se logra directamente de la definición de
controlabilidad. Se supone que A es diagonal y que tiene valores característicos
distintos. Entonces el par [A, B] es controlable si B no posee algún renglón de
ceros. La razón es que si A es diagonal, todos los estados están desacoplados, y
si cualquier renglón en B contiene todos los elementos en cero, el estado
correspondiente no se vería afectado por ninguna de las entradas, y el estado
sería no controlable.
Para un sistema en la Forma Canónica de Jordan con las matrices A y B:
⎡λ1 1
⎢0 λ
1
A=⎢
⎢0 0
⎢
⎣0 0
0⎤
1 0 ⎥⎥
λ1 0 ⎥
⎥
0 λ2 ⎦
0
⎡b11
⎢b
21
B=⎢
⎢b31
⎢
⎣b41
b12 ⎤
b22 ⎥⎥
b32 ⎥
⎥
b42 ⎦
(4.3)
Para que exista controlabilidad sólo los elementos en el renglón B que
corresponden al último renglón en el Bloque de Jordan deben ser diferentes de
cero. Por lo tanto la condición de controlabilidad para A y B de la ecuación
(4.3), es que b31 ≠ 0, b32 ≠ 0, b41 ≠ 0 y b42 ≠ 0.
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Ejemplo 4.1: Cálculo de la matriz de controlabilidad
Las ecuaciones de estado de un sistema están descritas de la siguiente
manera:
⎡− 2 1 ⎤
A=⎢
⎥
⎣ 0 -1 ⎦
⎡1 ⎤
B=⎢ ⎥
⎣0 ⎦
Por lo que según la ecuación (1), la matriz de controlabilidad es:
⎡1 - 2⎤
M = [B AB] = ⎢
⎥
⎣0 0 ⎦
Que es singular y por lo tanto el sistema es no controlable.
Ejemplo 4.2: Controlabilidad por el método de Jordan
Considere el sistema de tercer orden que tiene las matrices con coeficientes:
⎡0 ⎤
B = ⎢⎢0⎥⎥
⎢⎣1 ⎥⎦
⎡1 2 - 1 ⎤
A = ⎢⎢ 0 1 0⎥⎥
⎢⎣1 - 4 3⎥⎦
La matriz de controlabilidad es:
[
M = B AB
⎡0 - 1 - 4 ⎤
A B = ⎢⎢0 0 0 ⎥⎥
⎢⎣1 3 8 ⎥⎦
2
]
la cual es singular . Por lo que el sistema es no controlable.
Los valores característicos de A son λ1= 2, λ2 = 2, λ3 = 1. La forma Canónica
de Jordan de A y B se obtiene con la transformación:
x(t ) = T ⋅ x (t )
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en donde :
⎡1 0
T = ⎢⎢0 0
⎢⎣- 1 1
0⎤
1 ⎥⎥
2 ⎥⎦
Entonces:
⎡2
A = T −1 AT = ⎢⎢0
⎢⎣0
1
2
0
0⎤
0⎥⎥
1 ⎥⎦
⎡ 0⎤
B = T B = ⎢⎢− 1⎥⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
−1
Ya que el último renglón de ⎯B, que corresponde al bloque de Jordan para el
valor característico de λ3, es cero, la variable de estado transformada ⎯x3(t) es no
controlable. Y de la matriz de transformación T, x2 = ⎯x que significa que x2 es no
controlable en el sistema original.
Condición de controlabilidad de estado completo en el plano s
La condición de controlabilidad de estado completo, se puede establecer en
términos de la función de transferencia, o de matrices de transferencia. La
condición de controlabilidad necesaria es que no haya cancelación en la función de
transferencia, ya que si se produce cancelación el sistema no se podrá controlar en
la dirección del modo cancelado.
Ejemplo 4.3: Controlabilidad de un sistema dado por su función de
transferencia
G(s) =
( s + 2.5)
( s + 2.5)( s − 1)
Está claro que en el numerador y denominador de esta función de
transferencia se produce la cancelación del factor (s + 2.5). Debido a esta
cancelación el sistema no es de estado completamente controlable.
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Control en el espacio de estado
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4.1.2 Controlabilidad de salida
En el diseño práctico de un sistema de control se puede desear controlar la
salida, en lugar del estado del sistema. Por lo tanto, la controlabilidad de estado
completo no es necesaria ni suficiente para controlar la salida del sistema. Por esa
razón, es necesario definirla en forma separada.
Considere el sistema descrito por:
x& = Ax(t ) + Bu(t )
y (t ) = Cx(t ) + Du(t )
(4.4)
donde:
x(t): vector de estado (vector de dimensión n)
u(t): vector de control (vector de dimensión r)
y(t): vector de salida (vector de dimensión m)
A: matriz de n x n.
B: matriz de n x r.
C: matriz de m x n.
D: matriz de m x r.
El sistema es de salida completa controlable, si se puede construir un vector
de control no restringido u(t) que transfiere cualquier estado inicial y(to) a cualquier
salida final y(t1) en un intervalo de tiempo finito.
Condición de controlabilidad de salida
El sistema descrito por la ecuación (4.4) posee controlabilidad de salida
completa sí y sólo sí, la matriz de m x (n + 1) r :
[D CB CAB
CA 2 B ⋅ ⋅ ⋅ CA n -1B]
(4.5)
posee rango m.
Así, la presencia del término Du(t) en la ecuación de salida ayuda a
establecer la controlabilidad de la salida.
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Control en el espacio de estado
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4.1.3 Controlabilidad completa para un sistema de control en tiempo discreto
lineal e invariante en el tiempo
Considere el sistema de control de tiempo discreto definido por:
x((k + 1)T ) = A d x( kT ) + B d u (kT )
(4.6)
donde:
x(kT): vector de estado (vector de dimensión n) en el k-ésimo instante del
muestreo.
u(kT): señal de control en el k-ésimo instante de muestreo.
Ad: matriz de n x n.
Bd: matriz de n x r.
T: periodo de muestreo.
Se supone que u(kT) es constante para kT≤ t< (k + T)T.
Condición de controlabilidad para sistemas en tiempo discreto
El sistema de control en tiempo discreto dado por la ecuación (4.6) es de
estado completamente controlable, si existe una señal de control constante por
intervalos u(kT) definida a lo largo de un número finito de periodos de muestreo de
forma tal que al partir de cualquier estado inicial, el estado x(kT) pueda ser
transferido al estado deseado xf en n periodos de muestreo como máximo.
Al igual que para el tiempo continuo se tiene que para que un sistema posea
controlabilidad completa de estado la matriz de controlabilidad
[B d
n -1
AdBd ⋅ ⋅ ⋅ Ad Bd ]
(4.7)
debe poseer rango n. Lo cual debe cumplirse también en el caso de que u(kT) sea
un vector.
Forma alterna de condición para la controlabilidad de estado
Considere el sistema definido por:
x((k + 1)T ) = A d x( kT ) + B d u (kT )
(4.8)
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Control en el espacio de estado
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donde:
x(kT): vector de estado (vector de dimensión n) en el k-ésimo instante del
muestreo.
u(kT): señal de control en el k-ésimo instante de muestreo.
Ad: matriz de n x n.
Bd: matriz de n x r.
T: periodo de muestreo.
Si los vectores característicos de Ad son distintos, entonces se puede
encontrar una matriz de transformación P tal que:
0⎤
⎡λ1
⎥
⎢ λ
2
⎥
⎢
⎥
P −1 A d P = ⎢
⋅
⎥
⎢
⋅
⎥
⎢
⎢0
λn ⎥⎦
⎣
⎡ f11
⎢f
⎢ 21
−1
P Bd = F = ⎢ ⋅
⎢
⎢ ⋅
⎢ f n1
⎣
f12 ⋅ ⋅ ⋅ f1r ⎤
f 22 ⋅ ⋅ ⋅ f 2r ⎥⎥
⋅
⋅⎥
⎥
⋅
⋅⎥
f n2 ⋅ ⋅ ⋅ f nr ⎥⎦
Si los elementos de cualquiera de los renglones en la matriz F son cero,
entonces la variable de estado correspondiente no puede controlarse mediante
cualquiera de los u(kT). Por lo tanto la condición completa para la controlabilidad
de estado es que si los vectores característicos de Ad son distintos, entonces el
sistema es de estado completamente controlable, si y sólo si, ninguno de los
renglones de P-1Bd tienen elementos cero. Para aplicar esta condición se hace
necesario que P-1AdP se ponga en la forma diagonal. Por tanto si la matriz Ad no
tiene vectores característicos distintos es imposible su diagonalización. En tal caso,
se puede transformar Ad a una forma canónica diagonal de Jordan.
Así para un sistema con valores característicos λ1, λ1, λ1, λ4, λ4, λ6, ..., λn,
que posee n-3 vectores característicos distintos, la forma canónica de Jordan de Ad
es:
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Control en el espacio de estado
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⎡λ1 1 0
⎢0 λ 1
1
⎢
⎢0 0 λ1
⎢
λ4 1
⎢
J=⎢
0 λ4
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
⎥
⋅
⎥
⎥
λn ⎦
0
λ6
⋅
0
De donde las condiciones para la controlabilidad son:
1. Dos bloques de Jordan de la matriz J no deben estar asociados con
valores característicos iguales.
2. Los elementos de cualquier renglón que corresponden al último renglón
del bloque de Jordan no deben ser cero.
3. Los elementos de cada renglón que corresponden a valores característicos
no deben ser todos cero.
Ejemplo 4.4: Controlabilidad en tiempo discreto
Los sistemas siguientes son de estado completamente controlable:
⎡− 1
x(k + 1) = ⎢
⎣ 0
⎡ x1 (k + 1) ⎤ ⎡− 2 1
⎢ x (k + 1)⎥ ⎢
⎥ ⎢ 0 -2
⎢ 2
⎢ x3 (k + 1) ⎥ = ⎢ 0
0
⎥ ⎢
⎢
⎢ x 4 (k + 1)⎥ ⎢
⎢ x5 (k + 1) ⎥ ⎢⎣ 0
⎦
⎣
0 ⎤ ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎡2⎤
+
u( k )
- 2⎥⎦ ⎢⎣ x2 (k )⎥⎦ ⎢⎣3 ⎥⎦
0
1
-2
-5
0
0 ⎤ ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎡0
⎥ ⎢ x (k )⎥ ⎢0
⎥⎢ 2 ⎥ ⎢
⎥ ⎢ x 3 ( k ) ⎥ + ⎢3
⎥ ⎢
⎥⎢
1 ⎥ ⎢ x 4 (k )⎥ ⎢0
- 5 ⎥⎦ ⎢⎣ x5 (k ) ⎥⎦ ⎢⎣2
1⎤
0 ⎥⎥
⎡u (k ) ⎤
0⎥ ⎢ 1 ⎥
⎥ u (k )
0⎥ ⎣ 2 ⎦
1⎥⎦
______________________________________________________________________________________________
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Los sistemas siguientes no son de estado completamente controlable:
⎡− 1
x(k + 1) = ⎢
⎣ 0
⎡ x1 (k + 1) ⎤ ⎡− 2 1
⎢ x (k + 1)⎥ ⎢ 0 - 2
⎢ 2
⎥ ⎢
⎢ x3 (k + 1) ⎥ = ⎢ 0
0
⎢
⎥ ⎢
⎢ x 4 (k + 1)⎥ ⎢
⎢ x5 (k + 1) ⎥ ⎢⎣ 0
⎣
⎦
0 ⎤ ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎡2⎤
+
u(k )
- 2⎥⎦ ⎢⎣ x2 (k )⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦
0
1
-2
-5
0
0 ⎤ ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎡0
⎥ ⎢ x ( k ) ⎥ ⎢3
⎥⎢ 2 ⎥ ⎢
⎥ ⎢ x3 (k ) ⎥ + ⎢0
⎥ ⎢
⎥⎢
1 ⎥ ⎢ x 4 (k )⎥ ⎢2
- 5 ⎥⎦ ⎢⎣ x5 (k ) ⎥⎦ ⎢⎣0
1⎤
0 ⎥⎥
⎡u (k ) ⎤
0⎥ ⎢ 1 ⎥
⎥ u (k )
1⎥ ⎣ 2 ⎦
0 ⎥⎦
Condiciones para la controlabilidad de estado en el plano z
La condición de controlabilidad de estado completo, se puede establecer en
términos de la función de transferencia. La condición de controlabilidad necesaria
es que no haya cancelación en la función de transferencia, ya que si se produce
cancelación el sistema no se podrá controlar en la dirección del modo cancelado.
Ejemplo 4.5: Controlabilidad para una función de transferencia en tiempo
discreto
G( z) =
( z + 0.5)
( z + 0.5)( z + 0.8)
Está claro que en el numerador y denominador de esta función de
transferencia se produce la cancelación del factor (z + 0.5). Debido a esta
cancelación el sistema no es de estado completamente controlable.
4.1.4 Controlabilidad de salida en tiempo discreto
En el diseño práctico de un sistema de control se puede desear controlar la
salida, en lugar del estado del sistema. Por lo tanto, la controlabilidad de estado
completo no es necesaria ni suficiente para controlar la salida del sistema. Por esa
razón, es necesario definirla en forma separada.
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Ing. Eduardo Interiano
Considere el sistema descrito por:
x((k + 1)T ) = A d x(kT ) + B d u(kT )
y (kT ) = Cx(kT ) + Du(kT )
(4.9)
donde:
x(kT): vector de estado (vector de dimensión n) en el k-ésimo instante de
muestreo
u(kT): vector de control (escalar) en el k-ésimo instante de muestreo
y(kT): vector de salida (vector de dimensión m) en el k-ésimo instante de
muestreo
Ad: matriz de n x n.
Bd: matriz de n x r.
C: matriz de m x n.
D: matriz de m x r.
El sistema es de salida completa controlable, si es posible tener una señal de
control no restringida u(kT), definida a lo largo de un número finito de periodos de
muestreo 0 ≤ kT < nT tales que, empezando a partir de una salida inicial y(0), la
salida y(kT) pueda ser transferida al punto deseado en n periodos de muestreo
como máximo.
Condición de controlabilidad de salida
El sistema descrito por la ecuación (4.9) posee controlabilidad de salida
completa sí y sólo sí, la matriz de m x (n + 1) r
[D CB d
n -1
CA d B d ⋅ ⋅ ⋅ CA d B d ]
(4.10)
posee rango m.
Así, la presencia de la matriz D en la ecuación de salida del sistema ayuda a
establecer la controlabilidad completa de la salida.
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4.2
Observabilidad
Dado un sistema lineal e invariante en el tiempo que se describe mediante las
ecuaciones dinámicas (4.11) y (4.12):
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
(4.11)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
(4.12)
se dice que el estado x(t0) es observable si dada cualquier entrada u(t), existe un
tiempo finito tf ≥ t0 tal que el conocimiento de:
1) u(t) para t0 ≤ t < tf
2) las matrices A, B, C y D
3) la salida y(t) para t0 ≤ t < tf
sea suficiente para determinar x(t0). Si cada estado del sistema es observable para
un tiempo finito, se dice que el sistema es completamente observable, o
simplemente observable.
Para que el sistema descrito por las ecuaciones (4.11) y (4.12) sea
completamente observable, es necesario y suficiente que la siguiente matriz de
observabilidad de n x np tenga un rango n:
⎡ C ⎤
⎢ CA ⎥
⎢
⎥
S = ⎢ CA 2 ⎥
⎥
⎢
⎢ ... ⎥
⎢⎣CA n−1 ⎥⎦
(4.13)
La condición también se conoce como que el par [A,C] es observable. En
particular, si el sistema tiene solo una salida, C es una matriz de reglón de 1 x n, S
es una matriz cuadrada de n x n. Entonces, el sistema es completamente observable
si S es no singular (matriz cuadrada cuyo determinante es diferente de cero).
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Control en el espacio de estado
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Ing. Eduardo Interiano
4.2.1 Pruebas alternas sobre observabilidad.
1) Para un sistema SISO descrito por las ecuaciones (4.11) y (4.12), el par
[A,C] es completamente observable si A y C están en la forma canónica
observable (FCO) o son transformables a la FCO mediante una
transformación de similitud.
2) Si A está en la forma canónica diagonal (FCD) o en la forma canónica de
Jordan (FCJ), el par [A,C] es completamente observable si todos los
elementos en las columnas de C que corresponden al primer renglón de cada
bloque de Jordan son diferentes de cero.
4.2.2 Relación entre observabilidad y funciones de transferencia.
Si la función de transferencia entrada-salida de un sistema lineal tiene
cancelación de polos y ceros, el sistema será o no observable dependiendo de cómo
se definan las variables de estado. Por otra parte, si la función de transferencia
entrada-salida no tiene cancelación de polos y ceros, el sistema siempre se puede
representar mediante las ecuaciones dinámicas como un sistema totalmente
observable.
Ejemplo 4.6: Cálculo de la matriz de observabilidad
Considere la función de transferencia
Y ( s)
s+2
=
U ( s ) ( s + 1)( s + 2)
La cual se descompone en la FCC como sigue:
1⎤
⎡ 0
A=⎢
⎥
⎣− 2 − 3⎦
⎡0 ⎤
B=⎢ ⎥
⎣1 ⎦
C = [2 1]
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Control en el espacio de estado
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La matriz de observabilidad es:
1⎤
⎡C⎤ ⎡ 2
S=⎢ ⎥=⎢
⎥
⎣CA ⎦ ⎣− 2 − 1⎦
Que es singular, y el par [A, C] de la FCC es no observable.
Ahora se transforma a la FCO:
⎡0 − 2 ⎤
A=⎢
⎥
⎣1 − 3⎦
⎡ 2⎤
B=⎢ ⎥
⎣1 ⎦
C = [0 1]
Debido a que la FCO se puede realizar, el par [A, C] es observable.
La conclusión a la que se llega de este ejemplo es que dado un sistema
modelado mediante una función de transferencia, las condiciones de observabilidad
del sistema dependen de cómo se definan las variables de estado.
4.2.3 Teoremas sobre observabilidad de sistemas en lazo cerrado con
realimentación de estado.
Si un sistema en lazo abierto es controlable y observable, la realimentación
del estado puede destruir la observabilidad.
Ejemplo 4.7: Como la realimentación puede alterar la observabilidad
Sean las matrices de coeficientes de un sistema lineal:
1⎤
⎡0
A=⎢
⎥
⎣− 2 − 3⎦
⎡1⎤
B=⎢ ⎥
⎣1⎦
C = [1 2]
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Control en el espacio de estado
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Ing. Eduardo Interiano
Se puede mostrar que el par [A,C] es observable. La realimentación del
estado se define como:
u (t ) = r (t ) − Kx(t )
(4.14)
K = [k1 , k 2 ]
(4.15)
en donde
Entonces el sistema en lazo cerrado se describe por la ecuación de estado:
x(t ) = ( A − BK )x(t ) + Br (t )
(4.16)
1 − k2 ⎤
⎡ − k1
A − BK = ⎢
⎥
⎣− 2 − k1 − 3 − k 2 ⎦
(4.17)
La matriz de observabilidad del sistema en lazo cerrado es:
2 ⎤
C
⎡
⎤ ⎡ 1
S=⎢
=⎢
⎥
⎥
⎣C(A − BK)⎦ ⎣− 3k1 − 4 − 3k 2 − 5⎦
(4.18)
El determinante de S es:
S = 6k1 − 3k 2 + 3
Por lo que si k1 y k2 se seleccionan para que ⎥S⎪ = 0, el sistema en lazo cerrado
sería no observable.
4.2.4 Observabilidad completa de sistemas de tiempo discreto.
Sea el sistema descrito por:
x((k + 1)T ) = A d ⋅ x(kT )
(4.19)
y(kT ) = C ⋅ x(kT )
(4.20)
Donde
x(kT) = vector de estado (vector n-dimensional)
y(kT) = vector de salida (vector m-dimensional)
Ad = matriz de n x n.
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Control en el espacio de estado
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Ing. Eduardo Interiano
C = matriz de m x n.
T = período de muestreo.
Este sistema es completamente observable si, dada la salida y(kT) para
períodos de muestreo finitos, es posible determinar el vector de estado inicial x(0).
Como la solución x(kT) es
x(kT) = Adkx(0)
Se obtiene
y(kT) = CAdkx(0)
Observabilidad completa significa que, dadas y(0), y(T), ..., y(NT), se
pueden determinar x1(0), x2(0), ..., xn(0). Para determinar n incógnitas se necesitan
solamente n valores y(kT). Por tanto, N = n-1. Para un sistema completamente
observable, dadas
y(0) = Cx(0)
y(T) = CAdx(0)
.....
y((n-1)T) = CAdn-1x(0)
se deben poder determinar x1(0), x2(0), ..., xn(0). Notando que y es un vector de m,
las n ecuaciones simultáneas precedentes dan nm ecuaciones, todas involucrando
x1(0), x2(0), ..., xn(0). Para obtener de estas nm ecuaciones un conjunto único de
soluciones x1(0), x2(0), ..., xn(0), hay que poder escribir entre ellas exactamente n
ecuaciones linealmente independientes. Esto exige que la matriz de nm x n
⎡ C ⎤
⎢ CA ⎥
d ⎥
⎢
2
S = ⎢ CA d ⎥
⎥
⎢
⎢ ... ⎥
⎢⎣CAd n −1 ⎥⎦
(4.21)
sea de rango n.
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
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Ing. Eduardo Interiano
4.2.5 Forma canónica observable FCO
Es una forma dual de la forma canónica controlable (FCC). Dado el sistema
descrito en variables de estado:
xˆ = Q −1 x(t )
ˆ = Q −1 AQ
A
Bˆ = Q −1 B
(4.22)
(4.23)
(4.24)
ˆ = CQ
C
(4.25)
ˆ =D
D
(4.26)
en donde
⎡
⎢
⎢
ˆ =⎢
A
⎢
⎢
⎢⎣
0
0
.
.
0
1
0
.
.
0
0
1
.
.
0
.
.
.
.
.
0
0
.
.
0
ˆ = [0 0 . . 0 1]
C
− a0 ⎤
− a1 ⎥⎥
− a2 ⎥
⎥
. ⎥
− an −1 ⎥⎦
(4.27)
(4.28)
Los elementos de las matrices B̂ y D̂ no están restringidos a ninguna forma.
La matriz Q de transformación a FCO está dada por:
Q = (WS )
−1
(4.29)
en donde W está dado por:
⎡ a1
⎢a
⎢ 2
W=⎢ M
⎢
⎢an −1
⎢⎣ 1
a2 L an −1 1⎤
a3 L 1 0⎥⎥
M O M
M⎥
⎥
1 L 0 0⎥
0 L 0 0⎥⎦
(4.30)
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 167
Ing. Eduardo Interiano
y S por:
⎡ C ⎤
⎢ CA ⎥
d ⎥
⎢
2
S = ⎢ CA d ⎥
⎥
⎢
⎢ . ⎥
⎢⎣CA d n −1 ⎥⎦
(4.31)
La matriz S a menudo se define como la matriz de observabilidad, y S-1 debe
existir para que la transformación FCO sea posible.
Forma alterna de la condición de observabilidad completa.
Considere el sistema definido por las ecuaciones (4.19) y (4.20) que aquí se
repite:
x((k + 1)T ) = A d ⋅ x(kT )
(4.19)
y(kT ) = C ⋅ x(kT )
(4.20)
Suponga que los valores característicos de Ad son distintos, y que una matriz
de transformación P que transforma a Ad en una matriz diagonal, de tal forma que
P-1AdP es una matriz diagonal:
x(kT ) = P ⋅ xˆ (kT )
(4.32)
Entonces las ecuaciones (4.19) y (4.20) se pueden rescribir como sigue:
xˆ ((k + 1)T ) = P −1 A d P ⋅ xˆ (kT )
(4.33)
y (kT ) = CP ⋅ xˆ (k )T
(4.34)
y (nT ) = CP(P −1Ad P)n xˆ (0)
(4.35)
Por lo tanto
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 168
Ing. Eduardo Interiano
es decir,
⎡λ1n
⎢
y (nT ) = CP ⎢
⎢
⎢
⎣⎢
λn2
.
⎡ λ1n xˆ1 (0) ⎤
⎤
⎥
⎢ n
⎥
⎥ xˆ (0) = CP ⎢λ2 xˆ2 (0) ⎥
⎥
⎢ . ⎥
⎢ n
⎥
⎥
λn2 ⎦⎥
⎣⎢λn xˆn (0)⎦⎥
(4.36)
donde λ1, λ2, ... λn son n valores característicos de Ad. El sistema es completamente
observable, si y solo si ninguna de las columnas de la matriz CP (m x n) está
formada de elementos cero. Esto es debido a que si la i-ésima columna de CP está
formada de elementos cero, entonces la variable de estado xˆ i (0) no aparecerá en la
ecuación de salida y, por la tanto, no podrá ser determinada a partir de la
observación de y(kT). De este modo, x(0), que está relacionada con x̂(0) mediante
la matriz no singular P, no podrá ser determinada.
Si la matriz Ad implica valores característicos múltiples y no puede ser
transformada a una matriz diagonal, entonces si se utiliza una matriz de
transformación Ad a la forma canónica de Jordan:
S −1 A d S = J
(4.37)
donde J está en la forma canónica de Jordan. Se define
x( kT ) = S ⋅ xˆ ( kT )
(4.38)
Entonces las ecuaciones (4.19) y (4.20) se pueden rescribir como sigue:
xˆ (( k + 1)T ) = S −1 A d S ⋅ xˆ ( kT ) = J ⋅ xˆ ( kT )
(4.39)
y (kT ) = CS ⋅ xˆ (kT )
(4.40)
y ( nT ) = CS(S −1 A dS) n xˆ (0)
(4.41)
Dando así:
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 169
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El sistema es completamente observable, si y solo si:
1) dos bloques de Jordan en J no está asociados con el mismo valor
característico;
2) ninguna de las columnas de CS que corresponda al primer renglón del
bloque de Jordan está formada de elementos cero;
3) ninguna columna de CS que corresponda a valores característicos
distintos está formada de elementos cero.
Condición para la observabilidad completa en el plano z.
Una condición necesaria y suficiente para la observabilidad completa es que
no ocurra ninguna cancelación de polos y ceros en la función de transferencia de
pulso. Si ocurre esta cancelación, el modo cancelado no podrá observarse en la
salida.
Efecto de la discretización de un sistema de tiempo continuo sobre la
controlabilidad y la observabilidad.
Al pasar del tiempo continuo al tiempo discreto, puede ocurrir cancelación de
polos y ceros. El sistema puede perder controlabilidad y observabilidad.
Un sistema de estado completamente controlable y observable, en ausencia
de muestreo, permanece en tales condiciones después del muestreo, si y solo si para
cada valor característico de la ecuación característica para el sistema de control en
tiempo continuo, la relación:
Re{λi } = Re{λ j }
(4.42)
implica que
Im{λi − λ j } ≠
2 nπ
T
(4.43)
donde T es el período de muestreo y n = ±1, ±2... . Se hace notar que, a menos que
el sistema contenga polos complejos, no ocurrirá cancelación de polos y ceros al
pasar de tiempo continuo al caso del tiempo discreto.
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 170
Ing. Eduardo Interiano
Ejemplo 4.8: Considere el sistema de función de transferencia siguiente:
(
)
Y ( z)
z −1 1 + .08 z −1
=
; T = 0.2s
U ( z ) 1 + 1.3 z −1 + 0.4 z −2
(4.44)
Una representación en el espacio de estados para este sistema puede estar dada por
1 ⎤ ⎡ x1 (k )⎤ ⎡0⎤
⎡ x1 (k + 1)⎤ ⎡ 0
=
⎢ x (k + 1)⎥ ⎢− 0.4 − 1.3⎥ ⎢ x (k )⎥ + ⎢1⎥u (k )
⎦⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦
⎣ 2
⎦ ⎣
(4.45)
⎡ x (k )⎤
y (k ) = [0.8 1] ⎢ 1 ⎥
⎣ x2 (k )⎦
(4.46)
Para el mismo sistema se puede dar una representación en el espacio de estados
diferente mediante
⎡ x1 (k + 1)⎤ ⎡0 − 0.4⎤ ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎡0.8⎤
⎢ x (k + 1)⎥ = ⎢1 − 1.3 ⎥ ⎢ x (k )⎥ + ⎢ 1 ⎥u (k )
⎦⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦
⎣ 2
⎦ ⎣
(4.47)
⎡ x (k ) ⎤
y (k ) = [0 1]⎢ 1 ⎥
⎣ x2 ( k )⎦
(4.48)
Demuestre que la representación en el espacio de estados definida por las
ecuaciones (4.45) y (4.46) da un sistema que es de estado controlable, pero no
observable. Demuestre, por otra parte, que la representación en el espacio de estado
definido por las ecuaciones (4.47) y (4.48) y da un sistema que no es de estado
completamente controlable, pero sí observable. Explique lo que causa la diferencia
aparente en controlabilidad y observabilidad del mismo sistema.
Solución:
Considere el sistema en tiempo discreto definido por las ecuaciones (4.45) y
(4.46) y. El rango de la matriz de controlabilidad es dos.
⎡0 1 ⎤
Rango [B AB] = ⎢
⎥=2
⎣1 − 1.3⎦
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Control en el espacio de estado
Pág. 171
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Por lo tanto, el sistema es de estado completamente controlable. El rango de la
matriz de observabilidad es uno
1 ⎤
⎡ C ⎤ ⎡ 0.8
Rango ⎢ ⎥ = ⎢
⎥ =1
⎣CA ⎦ ⎣− 0.4 − 0.5⎦
De modo que el sistema no es observable.
A continuación considere el sistema definido por las ecuaciones (4.47) y (4.48). El
rango de la matriz de controlabilidad es uno.
⎡0.8 − 0.4 ⎤
Rango [B AB] = ⎢
⎥ =1
1
−
0
.
5
⎣
⎦
De manera que el sistema no es de estado completamente controlable. El rango de
la matriz de observabilidad es dos.
1 ⎤
⎡ C ⎤ ⎡0
Rango ⎢ ⎥ = ⎢
⎥=2
CA
1
−
1
.
3
⎣ ⎦ ⎣
⎦
En consecuencia el sistema es observable.
La diferencia aparente en controlabilidad y observabilidad del mismo sistema
está causada por el hecho de que el sistema original tiene una cancelación polo-cero
en la función de transferencia.
Y ( z)
z + 0.8
z + 0.8
= 2
=
U ( z ) z + 1.3 z + 0.4 ( z + 0.8)( z + 0.5)
Si ocurre una cancelación polo-cero en la función de transferencia, entonces
la controlabilidad y la observabilidad varían, dependiendo de cómo se escojan las
variables de estado.
Note que para que sea de estado completamente controlable y completamente
observable, la función de transferencia del sistema no debe tener ninguna
cancelación polo-cero.
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Control en el espacio de estado
Pág. 172
Ing. Eduardo Interiano
4.3
Realimentación de estado
4.3.1 Realimentación de estado en tiempo continuo
Diseño por ubicación de polos
La realimentación de variables de estado a través de ganancias constantes es
otra técnica utilizada para el diseño de control de sistemas, en lugar de diseñar
controladores con configuración fija. Si el sistema considerado tiene estado
completo controlable, los polos del sistema de lazo cerrado, se pueden ubicar en
cualquier lugar, por medio de la retroalimentación de estado, a través de una matriz
de ganancia de retroalimentación del estado adecuada.
Considerando que el sistema de control de lazo abierto (el estado x no se
realimenta a la señal de control u) se encuentra descrito por la ecuación:
x& = Ax + Bu
Donde:
(4.49)
x = vector de estado (de dimensión n)
u = señal de control (escalar)
A = matriz constante n x n
B = vector constante n x 1
Figura 4.1: Sistema
de control de lazo abierto.
El control mediante la realimentación del estado es:
u = −Kx
(4.50)
donde K =matriz de realimentación de estado de 1 x n con elementos de ganancia
constante
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 173
Ing. Eduardo Interiano
Sustituyendo la ecuación (4.50) en la (4.49), se tiene:
x& = ( A − BK )x(t )
(4.51)
La estabilidad y las características de respuesta transitoria se determinan a
partir de los valores propios (o polos reguladores) de la matriz A – BK.
Donde K es una matriz de 1 x n de ganancia de retroalimentación del estado
y el sistema se convierte en un sistema de control de lazo cerrado.
Figura 4.2: Sistema
de control de lazo cerrado con u = -K x.
Este es un sistema de lazo cerrado porque el estado x está realimentando a la
señal de control u.
Condición necesaria y suficiente para la ubicación arbitraria de polos.
La ubicación arbitraria de los polos para un determinado sistema, es posible
si y solo si, el sistema tiene estado completo controlable, es decir, la matriz M tiene
inversa. Los valores propios de la matriz A – BK (que se designan μ1, μ2, …μn)
son los polos de lazo cerrado deseados. Si un sistema es por completo controlable,
siempre se puede representar la ecuación de estado (4.49) en forma canónica
controlable
Se define la matriz de transformación T como:
T = MW
(4.52)
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Control en el espacio de estado
Pág. 174
Ing. Eduardo Interiano
donde M es la matriz de controlabilidad
M = [B AB L A n−1B]
(4.53)
y
⎡ a1
⎢a
⎢ 2
W=⎢ M
⎢
⎢an −1
⎢⎣ 1
a2 L an −1 1⎤
a3 L 1 0⎥⎥
M O M
M⎥
⎥
1 L 0 0⎥
0 L 0 0⎥⎦
(4.30) bis
donde las ai son los coeficientes característicos
λI − A = λn + an−1λn−1 + L + a1λ + a0
(4.54)
Se define x̂ como un nuevo vector de estado
x = Txˆ
(4.55)
Si el rango de M es n (lo que significa que el sistema tiene estado completo
controlable) la matriz T tiene inversa. Utilizando la matriz T se puede transformar
(4.49) a la forma canónica controlable:
x&ˆ = T −1 ATxˆ + T −1Bu
(4.56)
donde
⎡ 0
⎢ 0
⎢
⎢ •
−1
T AT = ⎢ •
⎢
⎢ •
⎢ 0
⎢
⎣− a0
1
0
0
1
•
•
•
•
•
•
0
0
− a1 − a2
• • •
• • •
0 ⎤
0 ⎥⎥
• ⎥
• ⎥
⎥
• ⎥
1 ⎥
• • •
⎥
• • • − an−1 ⎦
⎡0⎤
⎢0⎥
⎢• ⎥
⎢ ⎥
T −1B = ⎢• ⎥
⎢ ⎥
⎢• ⎥
⎢0⎥
⎢1 ⎥
⎣ ⎦
(4.57)
Nota: Ver el apéndice A de [1] para la comprobación de las matrices anteriores.
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 175
Ing. Eduardo Interiano
Para encontrar la ecuación característica de realimentación de estado del sistema
x& = Ax + Bu = ( A − BK )x
(4.58)
λI − ( A − BK ) = T −1 (λI − ( A − BK ))T = λI − T −1 AT + T −1BKT = 0
(4.59)
se desarrolla:
donde KT = es la matriz de coeficientes:
KT = [δ 0 δ1 L δ n−1 ]
(4.60)
Sustituyendo (4.60) en (4.59) se tiene:
λI − T −1 AT + T −1BKT =
⎡ 0
⎢ 0
⎢
⎢ •
= λI − ⎢ •
⎢
⎢ •
⎢ 0
⎢
⎢⎣− a0
=
1
0
0
1
•
•
•
•
•
•
0
0
− a1 − a2
• • •
• • •
0 ⎤ ⎡0 ⎤
0 ⎥⎥ ⎢0⎥
• ⎥ ⎢• ⎥
⎢ ⎥
• ⎥ + ⎢• ⎥[δ 0 δ1 • • • δ n−1 ] =
⎥ ⎢ ⎥
• ⎥ ⎢• ⎥
• • •
1 ⎥ ⎢0 ⎥
⎥
• • • − an−1 ⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
λ
−1
0
•
•
λ
•
•
0
1
•
•
•
•
•
•
•
•
a0 + δ 0
a1 + δ 1
a2 + δ 2
• • •
• • •
• • •
0
0
•
•
=
•
•
• • • λ + a n −1 + δ n −1
= λn + (an −1 + δ n −1 )λn −1 + L(a1 + δ1 )λ + (a0 + δ 0 ) = 0
(4.61)
Ecuación característica de realimentación de estado
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Control en el espacio de estado
Pág. 176
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Igualando los coeficientes del polinomio característico obtenido de los
valores propios de la matriz (A – BK), que se habían designado como μ1, μ2, …μn,
que son los polos de lazo cerrado deseados, con los coeficientes de potencias
iguales de λ de (4.61) se tiene:
(λ − μ1 )(λ − μ 2 )L(λ − μ n ) = λn + α n −1λn −1 + Lα1λ + α 0 = 0
(4.62)
a0 + δ 0 = α 0 ⇒ δ 0 = α 0 − a0
a1 + δ1 = α1 ⇒ δ1 = α1 − a1
(4.63)
M
an−1 + δ n−1 = α n−1 ⇒ δ n−1 = α n−1 − an−1
Con el resultado anterior se obtienen los valores de la matriz K que se expresan
como:
KT = [δ 0 δ1 L δ n−1 ]
K = [δ 0 δ1 L δ n−1 ]T −1
K = [α 0 − a0 α1 − a1 L α n−1 − an−1 ]T
(4.64)
−1
Así se ha comprobado que para que los polos se puedan ubicar en forma
arbitraria, es condición necesaria y suficiente que el sistema tenga estado completo
controlable.
Pasos para el diseño de la ubicación de los polos
Considerando el sistema descrito por (4.49) con la señal de control dada por (4.50).
Se puede determinar la matriz de ganancia de realimentación K que hace que
los valores propios de A sean los valores deseados μ1, μ2, …μn , por medio de los
pasos siguientes:
Paso 1.
Verifique la condición de controlabilidad del sistema.
Paso 2.
A partir del polinomio característico de la matriz A,
⏐λI – A⏐= λn + an-1 λn-1 + … + a1 λ + a0 = 0
(4.65)
determine los valores de a0, a1 , a2 , … , an-1 .
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 177
Ing. Eduardo Interiano
Paso 3.
Determine la matriz de transformación T que transforma la ecuación de
estado del sistema a la forma canónica controlable (si la ecuación del sistema ya
esta en dicha forma, entonces T = I).
Paso 4.
Utilizando los valores propios deseados (los polos de lazo cerrado buscados),
halle el polinomio característico deseado:
(λ − μ1 )(λ − μ 2 )L(λ − μ n ) = λn + α n −1λn −1 + Lα1λ + α 0
(4.62) bis
determine los valores de α0, α1 , α2 , …, αn-1
Paso 5.
Determinar la matriz K de ganancia de realimentación de estado, descrita
como:
K = [ α0 – a0
α1 – a1 … αn-1 – an-1 ] T-1
(4.66)
Ejemplo 4.9: Considere el sistema definido por:
1⎤
⎡ 0
x& = Ax + Bu donde A = ⎢
⎥,
⎣20.6 0⎦
⎡0 ⎤
B = ⎢ ⎥ , C = [1 0]
⎣1⎦
la ecuación característica para el sistema es:
− 1⎤
⎡ λ
λI − A = ⎢
= λ2 − 20.6 = 0
⎥
⎣− 20.6 λ ⎦
como las raíces características son λ = ± 4.539 , el sistema es inestable. Utilizando
el control de realimentación de estado: u = -K x se desea colocar arbitrariamente
los polos de lazo cerrado en λ = -1.8 ± j 2.4 es decir, los valores propios de A – BK
deben ser:
μ1 = -1.8 + j 2.4
μ2 = -1.8 – j 2.4
Determine la matriz de ganancia K de retroalimentación:
•
Primero se verifica el rango de la matriz de controlabilidad M:
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 178
Ing. Eduardo Interiano
⎡0 1 ⎤
M = [B AB] = ⎢
⎥
⎣1 0⎦
como el rango de la matriz M es 2 es posible la ubicación arbitraria de polos.
El problema planteado se resolverá por dos métodos.
Método 1
Como la ecuación de estado esta en la forma canónica controlable, la matriz de
transformación T es la matriz unidad, o sea, T = I
De la ecuación original se tiene:
a1 = 0,
a0 = -20.6
La ecuación característica deseada es:
(λ-μ1) (λ-μ2) = (λ + 1.8 - j2.4) (λ + 1.8 + j2.4) = λ2 + 3.6 λ + 9
α1 = 3.6 , α0 = 9
por lo tanto
K = [ α0 – a0
α1 – a1 ] T-1
K = [ 9 + 20.6
3.6 - 0 ] I-1
K = [ 29.6 3.6 ]
Método 2
El segundo método consiste en la sustitución directa de la matriz: K = [ k1 k2 ] en
el polinomio característico deseado. El polinomio es:
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 179
Ing. Eduardo Interiano
1 ⎤ ⎡0 ⎤
⎡λ 0 ⎤ ⎡ 0
−
λI − A + BK = ⎢
⎥ ⎢
⎥ + ⎢ ⎥ × [k1 k 2 ] =
⎣ 0 λ ⎦ ⎣20.6 0⎦ ⎣1⎦
λ
− 20.6 + k1
−1
= λ2 + k2λ − 20.6 + k1
λ + k2
El polinomio característico debe ser igual a:
(λ-μ1) (λ-μ2) = (λ + 1.8 - j2.4) (λ + 1.8 + j2.4) = λ2 + 3.6 λ + 9
igualando los coeficientes de los términos de la misma potencia en λ se obtiene
k1 = 29.6 ,
k2 = 3.6
o bien,
K = [ 29.6 3.6 ]
4.3.2
Tiempo Discreto
Tal como para los sistemas en tiempo continuo, el diseño de ubicación de
polos a través de la realimentación de estado se puede aplicar a sistemas en tiempo
discreto. Considere el sistema en tiempo discreto descrito por la ecuación de
estado:
x [ (k+1)T ] = Ax (kT) + Bu (kT)
(4.67)
donde x (kT) es un factor de estado n x 1
u (kT) es la entrada de la planta
El control mediante la realimentación de estado es:
u (kT) = - K x (kT) + r (kT)
(4.68)
donde K es la matriz de realimentación 1 x n con elementos de ganancia constante.
Al sustituir (4.68) en (4.67), el sistema en lazo cerrado se representa mediante la
ecuación de estado:
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 180
Ing. Eduardo Interiano
x = [ (k+1)T ] = (A-BK)x (kT)
(4.69)
Tal como en el caso continuo, si el sistema considerado tiene estado
completo controlable, existe una matriz K que puede dar una serie arbitraria de
valores característicos de (A-BK); esto es, las n raíces de la ecuación característica
pueden ser colocadas en forma arbitraria:
⏐zI – (A - BK)⏐= 0
(4.70)
Ejemplo 4.10: Obtener las representaciones de estado para el sistema siguiente
G( z) =
z +1
z + z + 0.16
(4.71)
2
Obtenga las representaciones en el espacio de estados para este sistema en las tres
configuraciones siguientes:
a. Forma canónica controlable.
b. Forma canónica observable.
c. Forma canónica diagonal.
a. Al comparar la ecuación (4.71) con
−1
C( z I − A d ) B d + D =
bq z q + bq −1 z q −1 + ... + b1 z + b0
z n + a n −1 z n −1 + ... + a1 z + a0
se obtiene,
a1 = 1, a0 = 0.16, b0 = 1, b1 = 1
Por lo tanto resulta
1 ⎤ ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎡0⎤
⎡ x1 (k + 1) ⎤ ⎡ 0
⎢ x (k + 1)⎥ = ⎢− 0.16 − 1⎥ ⎢ x (k )⎥ + ⎢1 ⎥u (k )
⎦⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦
⎣ 2
⎦ ⎣
⎡ x1 (k ) ⎤
y (k ) = [1 1] ⎢
⎥
⎣ x2 (k )⎦
b. Con los valores ya definidos para los coeficientes
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 181
Ing. Eduardo Interiano
⎡ x1 (k + 1) ⎤ ⎡0 − 0.16⎤ ⎡ x1 ( k ) ⎤ ⎡1⎤
⎢ x ( k + 1) ⎥ = ⎢1 − 1
⎥ ⎢ x (k ) ⎥ + ⎢1⎥u ( k )
⎦⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦
⎣ 2
⎦ ⎣
⎡ x (k ) ⎤
y (k ) = [0 1] ⎢ 1 ⎥
⎣ x 2 (k )⎦
c. Se observa que
−1 3
43
+
z + 0.2 z + 0.8
Al comparar con la función expandida se tiene que:
G( z) =
4
3
α 1 β1 = , α 2 β 2 =
−1
,
3
p1 = −0.2,
p 2 = −0.8,
D=0
Por lo tanto escogiendo arbitrariamente α1 = α2 = 1 se tiene
0 ⎤ ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎡1⎤
⎡ x1 (k + 1) ⎤ ⎡− 0.2
=
+ u (k )
⎢ x (k + 1)⎥ ⎢ 0
− 0.8⎥⎦ ⎢⎣ x 2 (k )⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
⎣ 2
⎦ ⎣
⎡ x1 (k ) ⎤
y (k ) = [4 3 − 1 3] ⎢
⎥
⎣ x 2 (k )⎦
Ejemplo 4.11: Diseñe un compensador dead beat para el sistema siguiente
x( k + 1) = Ax ( k ) + Bu ( k )
donde x(k) es un vector de dimensión 3. Se supone que el sistema es de estado
completamente controlable y se desea respuesta con oscilaciones muertas al estado
inicial x(0). (Polos en lazo cerrado deberán estar en z = 0; así que μ1 = μ2 = μ3 = 0).
Demuestre que la matriz de ganancia de realimentación del estado K deseada puede
darse mediante la fórmula
K = [1 0 0][ξ1 ξ 2
ξ 3 ]−1 donde
ξ1 = A −1B
ξ 2 = A − 2B
ξ 3 = A − 3B
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 182
Ing. Eduardo Interiano
Solución:
Refiriéndose a la ecuación
[
]
K = [0 0 1] B AB A 2B φ(A)
donde :
−1
φ(A) = A 3
Por lo que :
[
]
K = [0 0 1] B AB A 2B A 3
−1
Postmultiplicando ambos miembros de la ecuación por ξ1 = A-1B se obtiene:
[
1][B
]
A B] A B
Kξ1 = [0 0 1] B AB A 2B A 3 A −1B
= [0 0
−1
AB
[
2
= [0 0 1] B AB A B
2
−1
2
⎡0 ⎤
B AB A B ⎢⎢0⎥⎥
⎢⎣1 ⎥⎦
][
−1
2
]
⎡0 ⎤
= [0 0 1] ⎢⎢0⎥⎥ = 1
⎢⎣1 ⎥⎦
Kξ1 = 1
Postmultiplicando ambos miembros de la ecuación por ξ2 = A-2B se obtiene:
[
]
Kξ 2 = [0 0 1] B AB A 2B A 3 A − 2B
[
−1
]
= [0 0 1] B AB A 2B AB
[
−1
= [0 0 1] B AB A B
2
⎡0 ⎤
B AB A B ⎢⎢1 ⎥⎥
⎢⎣0⎥⎦
][
−1
2
]
⎡0⎤
= [0 0 1]⎢⎢1 ⎥⎥ = 0
⎢⎣0⎥⎦
Kξ 2 = 0
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 183
Ing. Eduardo Interiano
Postmultiplicando ambos miembros de la ecuación por ξ3 = A-3B se obtiene:
[
]
Kξ 3 = [0 0 1] B AB A 2B A 3 A −3B
[
−1
]
= [0 0 1] B AB A 2B B
[
−1
= [0 0 1] B AB A 2B
⎡1 ⎤
B AB A 2B ⎢⎢0⎥⎥
⎢⎣0⎥⎦
][
−1
]
⎡1 ⎤
= [0 0 1] ⎢⎢0⎥⎥ = 0
⎢⎣0⎥⎦
Kξ 3 = 0
En consecuencia se tiene que:
K [ξ1 ξ 2
ξ 3 ] = [1 0 0]
K = [1 0 0][ξ1 ξ 2
ξ3 ]
−1
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 184
Ing. Eduardo Interiano
4.4
Fórmula de Ackermann
4.4.1
Introducción
Describir sistemas dinámicos mediante variables de estado presenta varias
ventajas sobre el método de la función de transferencia. Es posible describir
sistemas de varias entradas y salidas de forma más natural y el método no se limita
a sistemas lineales e invariantes con el tiempo.
Cuando se tiene una planta descrita en variables de estado, interesa contar con
un método para controlarla. En los sistemas descritos mediante función de
transferencia, solamente se cuenta con la salida del sistema para controlar mediante
realimentación. En un sistema descrito en el espacio de estados se dispone además
de las variables de estado y se acostumbra utilizar éstas para re alimentar el sistema
con fines de control. Este método se conoce como realimentación del estado.
En el diseño de sistemas de control descritos mediante función de
transferencia, se realimenta la salida del sistema a un controlador que genera una
señal de control para la planta. El controlador se diseña de tal forma que los polos
del sistema en lazo cerrado se muevan lo más cerca posible de los lugares óptimos
que cumplen con los requerimientos del sistema de control.
En forma similar, en un sistema de control mediante realimentación del estado
se utiliza el vector de estado x(k) y una matriz de realimentación K para obtener el
vector de control u(k) que se utiliza para controlar la planta. Este control se diseña
a partir de la ubicación de los polos μl, μ2, ... , μn que se desea que el sistema tenga;
ubicación que es función de los requisitos puestos al sistema de control. Estos polos
determinan entonces una ecuación característica deseada φ(z) que es función de K.
La Fórmula de Ackermann consiste en un método sistemático para calcular la
matriz de realimentación K para sistemas SISO.
Sin embargo, el método de la realimentación del estado tiene algunas
limitantes. En primer lugar, se requiere que el sistema sea de estado completamente
controlable, esto es, que sea posible hacer cambiar el sistema de un estado inicial xi
a un estado final arbitrario xf en un tiempo finito. Además, debido a que el método
de realimentación del estado utiliza el vector de estado, se requiere que el sistema
sea observable, es decir, que sea posible determinar el vector de estado del sistema
a partir del conocimiento del historial de las señales de salida y(kT) y de control
u(kT).
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 185
Ing. Eduardo Interiano
4.4.2 Deducción de la Fórmula de Ackermann
Figura 4.3: Sistema
de control en lazo cerrado con u(k) = - K x(k)
A partir de la ecuación de un sistema de estado (4.72) donde se supone es
completamente controlable, se puede obtener la forma de calcular la ganancia de
realimentación de estado, K, y así ubicar los polos dentro del plano z tal como se
desee, según las características establecidas para el sistema.
x(k + 1) = Ax( k ) + Bu (k )
(4.72)
Para obtener el polinomio característico de la planta:
~
φ( z ) = zI − A = z n + α n −1 z n −1 + α n − 2 z n − 2 L + α 1 z + α 0
(4.73)
Donde:
φ(z): polinomio característico
à = A - BK
Al evaluar (4.73) en à el resultado es 0, (teorema de Cayley-Hamilton), de tal
forma que la ecuación se convierte en:
~
~
~
~
~
φ(A) = A n + α n −1 A n −1 + α n − 2 A n − 2 L + α 1 A + α 0 I = 0
(4.74)
Considerando las identidades siguientes:
~
A 0 = ( A − BK ) 0 = I
~
A 1 = ( A − BK )1 = A − BK
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 186
Ing. Eduardo Interiano
~
~
A 2 = ( A − BK ) 2 = A 2 − ABK − BKA
~
~
~
A 3 = ( A − BK ) 3 = A 3 − A 2 BK − ABK A − BKA 2
M
~
~
~
A n = ( Α − ΒΚ ) n = A n − A n −1 BK − A n − 2 BKA − L − BKA n −1
(4.75)
Con las identidades dadas por (4.75) podemos escribir si multiplicamos cada
identidad en orden por α0, α1, α2, …, αn, con αn = 1, y sumamos los resultados
podemos obtener:
~
~
~
~
α 0 I − α 1 A − α 2 A 2 − α 3 A 3 − L − A n = α 0 I + α 1 A + α 2 A 2 + ... + A n
~
~
− α 1BK − α 2 ABK − α 2 BKA − ... − A n −1 BK − ... − BKA n −1
por lo que (4.74) puede escribirse como
~
~
~
φ(A) = φ(A) − α 1BK − α 2 ABK − α 2 BKA − L − BKA n −1 − A n −1 BK = 0
(4.76)
La ecuación anterior, puede escribirse como la multiplicación de dos matrices:
[
φ(A) = B
~
~
⎡ α 1K + α 2 K A + L + K A n − 1 ⎤
⎢
~
~ n−2 ⎥
α
α
L
K
K
A
K
A
+
+
+
n −1
2
3
⎥
AB L A B ⋅ ⎢
⎥
⎢
M
⎥
⎢
K
⎥⎦
⎢⎣
]
(4.77)
Dado que el sistema es completamente controlable, la matriz de controlabilidad M
(4.2), aquí repetida, tiene rango n y su inversa existe; es decir, es no singular.
M = [B
AB L A n−1 B]
(4.2)
De la ecuación (4.77) se puede obtener una ecuación para calcular el valor de la
ganancia de realimentación. Esto se logra premultiplicando (4.77) por M-1, la
inversa de la matriz de controlabilidad:
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 187
Ing. Eduardo Interiano
[B
~
~
⎡ α 1K + α 2 K A + L + K A n − 1 ⎤
⎢
~
~ n−2 ⎥
−1
L
+
+
+
K
K
A
K
A
α
α
n −1
3
⎥
AB L A B φ(A) = ⎢ 2
⎢
⎥
M
⎢
⎥
K
⎢⎣
⎥⎦
]
(4.78)
Para obtener una ecuación para K se premultiplica la ecuación (4.78) por el vector
unitario [0 0 … 1].
~
~
⎡α1K + α 2 KA + L + KA n−1 ⎤
⎢
~
~ n−2 ⎥
[0 0 L 1]⋅ B AB L A n−1B −1 φ(A) = [0 0 L 1]⋅ ⎢⎢α 2K + α 3KA + L + KA ⎥⎥
M
⎢
⎥
K
⎣⎢
⎦⎥
[
]
[
K = [0 0 L 1]⋅ B
]
−1
AB L A n−1B φ(A)
(4.79)
La ecuación (4.79) proporciona la matriz K de ganancia de realimentación
requerida y se le conoce como la fórmula de Ackermann.
Ejemplo 4.12: Cálculo de K mediante la fórmula de Ackermann
Suponga que se tiene el siguiente sistema descrito en variables de estado:
⎡1.65 − 0.675⎤
⎡1 ⎤
x(k + 1) = ⎢
x
(
k
)
+
⎢0⎥u ( k ) , T = 0.01s
0 ⎥⎦
⎣ 1
⎣ ⎦
y ( k ) = [1 0.825]x( k )
el polinomio característico de este sistema es:
⎡ z − 1.65 0.675⎤
zI − A = ⎢
= z 2 − 1.65 z + 0.675
⎥
z ⎦
⎣ −1
con polos en:
z = 0.9 y z = 0.75
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 188
Ing. Eduardo Interiano
y su respuesta al escalón es
Figura 4.4: Respuesta
de lazo abierto al escalón para el ejemplo 4.13
Nótese el excesivo error de estado estacionario y el gran tiempo de asentamiento.
Para solucionar este problema se determina que los polos de lazo cerrado del
sistema deben encontrarse en:
μ1 = 0.25 + j 0.25 y μ 2 = 0.25 − j 0.25
lo que hace que el polinomio característico deseado para el sistema sea ahora:
φ ( z ) = z 2 − 0.5 z + 0.125
Se calcula K mediante la fórmula de Ackermann después de comprobar la
controlabilidad del sistema
K = [0 1]⋅ [B
AB ] φ(A)
−1
donde
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 189
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0 ⎤
⎡2.0475 - 1.1138 ⎤ ⎡0.825 − 0.3375 ⎤ ⎡0.125
φ(A) = A 2 − 0.5A + 0.125I = ⎢
−⎢
+⎢
⎥
⎥
- 0.675 ⎦ ⎣ 0.5
0
0.125⎥⎦
⎣ 1.65
⎦ ⎣ 0
⎡1.34 − 0.77625 ⎤
φ(A) = ⎢
− 0.55 ⎥⎦
⎣1.15
−1
⎡1 1.65⎤ ⎡1.34 − 0.77625 ⎤
K = [0 1]⋅ ⎢
= [1.15 − 0.55]
⋅
1 ⎥⎦ ⎢⎣1.15
− 0.55 ⎥⎦
⎣0
Figura 4.5: Lugar
de las raíces compensado y sin compensar para el ejemplo 4.13
~
~
De esta forma, las matrices A y B son ahora:
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 190
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⎡1.65 − 0.675 ⎤ ⎡1 ⎤
⎡0.5 − 0.125 ⎤
~
A = A − BK = ⎢
− ⎢ ⎥ ⋅ [1.15 − 0.55] = ⎢
⎥
0 ⎦ ⎣0⎦
0 ⎥⎦
⎣ 1
⎣1
~ ⎡K ⎤
B = ⎢ 0⎥
⎣0⎦
donde K0 es una ganancia que se calcula para que el error de estado estacionario
sea cero con u(k) = K0r(k) - Kx(k). Con el teorema del valor final encontramos que
ante un escalón para que ess = 0 entonces K0 = 0.625/1.825 = 0.3425
−1
⎡ z − 0.5 0.125 ⎤ ⎡ K 0 ⎤
(z + 0.825)
~ ~
G ( z ) = C ( zI − A ) −1 B = [1 0.825 ]⎢
= K0 ⋅ 2
⎥
⎢
⎥
z ⎦ ⎣0⎦
z - 0.5 z + 0.125
⎣ −1
Con K0 = 0.3425, la gráfica de la respuesta de lazo abierto del sistema controlado
ante un escalón es:
Figura 4.6: Respuesta
de lazo abierto al escalón para el ejemplo 4.13 compensado
Nótese la mejora en el tiempo de estabilización respecto al sistema sin
realimentación del estado. Además, el sistema tiene error de estado estacionario
igual a cero.
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 191
Ing. Eduardo Interiano
4.5
Observadores.
En el ejemplo anterior se presentó el método de diseño ubicación de polos.
Para lograr esto se hace una realimentación de las variables de estado. Una
limitación de este método es que no siempre podrán ser medidas todas las variables
de estado.
En un sistema práctico es necesario estimar las variables de estado no
medibles a partir de las variables de salida y las de control.
Figura 4.7: Entradas
y salidas del observador de estado
Por lo tanto, al utilizar un observador en un sistema de control, el vector de
estado no se va a realimentar directamente de la planta. Lo que se hace es tomar la
salida del estimador de estados para utilizarlo en la realimentación como lo muestra
el siguiente diagrama de bloques:
Figura 4.8: Diagrama
de bloques de un sistema con observador
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 192
Ing. Eduardo Interiano
Del diagrama se puede ver que la planta corresponde al modelo en variables de
estado:
x( k + 1) = Ax( k ) + Bu ( k )
y ( k ) = Cx ( k )
(4.80)
(4.81)
Es lógico pensar que las ecuaciones del observador son muy similares a las de
la planta. Esto porque el observador se implementa en un procesador que estima el
estado del sistema haciendo uso de las matrices A, B y C obtenidas a partir del
proceso de modelado de la planta.
~
x ( k + 1) = A ⋅ ~
x ( k ) + Bu ( k )
~y ( k ) = C ⋅ ~
x (k )
(4.82)
(4.83)
Hay 3 problemas que se dan a raíz de utilizar las ecuaciones (4.82) y (4.83)
como modelo del observador:
a. Las matrices A, B y C presentan errores ya que son el resultado del
proceso de modelado de la planta. Por lo tanto la precisión con que se
estimen los estados va a depender de estos errores.
b. Los sensores utilizados van a tener errores que a su vez generarán
incertidumbres a la hora de estimar el estado. Dentro de los errores se
pueden mencionar ruido, errores de cuantificación y problemas de
saturación.
c. Si la matriz A presenta valores propios que cuyas magnitudes son mayores
que 1, esto implica que no es estable. Esto hace que si las condiciones
iniciales de la planta y del observador son distintas entonces el estado
~
estimado x ( k ) y el estado real x(k) serán distintos, por lo que el
observador no cumpliría su función de predicción.
El desempeño del modelo puede mejorar si se utiliza la diferencia entre la
~
salida medida C x ( k ) y la estimada C x(k). Esta diferencia se multiplica por una
matriz columna o vector de constantes. A esta matriz se le llama Kf. Por lo tanto se
tiene el siguiente modelo para el observador
~
x ( k + 1) = A~
x ( k ) + Bu ( k ) + K f C[x( k ) − ~
x (k )]
(4.84)
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 193
Ing. Eduardo Interiano
La adición del último sumando en la expresión ayudará a reducir las
diferencias entre el modelo dinámico y el modelo real. La matriz constante Kf sirve
como matriz de ponderación. Ésta es la que posteriormente se puede calcular
empleando la fórmula de Ackermann.
Con respecto a la respuesta del observador una regla práctica es procurar que
la respuesta del observador sea por lo menos 5 veces más rápida que la respuesta de
la planta.
El diagrama de bloques completo con el observador se muestra en la Figura
4.9: a continuación:
Figura 4.9:
Diagrama de bloques completo de un sistema con observador
Si se resta la ecuación (4.80) menos la ecuación (4.84) se obtiene:
x( k + 1) − ~
x ( k + 1) = Ax( k ) + Bu ( k ) − A ⋅ ~
x ( k ) − Bu ( k ) − K f C[x( k ) − ~
x (k )]
(4.85)
~
Cancelando los términos iguales y sacando a factor común el término x( k ) − x ( k )
se tiene:
x( k + 1) − ~
x ( k + 1) = ( A − K f C)[x( k ) − ~
x (k )]
(4.86)
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 194
Ing. Eduardo Interiano
Se define el vector e(k) que corresponde al error que existe entre el estado de
la planta y el estado estimado por el observador:
e( k + 1) = x( k + 1) − ~
x ( k + 1) = ( A − K f C) ⋅ e( k )
(4.87)
La ecuación (4.87) anterior es muy similar a la que se obtuvo cuando se
analizó la realimentación de estado. Por lo tanto utilizando el método de
Ackermann se puede despejar la matriz constante Kf. La ecuación a utilizar es la
siguiente:
⎡ C ⎤
⎢ CA ⎥
⎥
K f = φ e (A) ⋅ ⎢
⎢ M ⎥
⎢
n −1 ⎥
⎣CA ⎦
−1
⎡0 ⎤
⎢0 ⎥
⎢ ⎥
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣1 ⎦
(4.88)
Ejemplo 4.13: Cálculo de Kf mediante la fórmula de Ackermann
Suponga que se tiene el siguiente sistema descrito en variables de estado:
⎡1 ⎤
⎡1.65 − 0.675⎤
(
)
k
x(k + 1) = ⎢
x
+
⎢0⎥u ( k ) , T = 0.01s
⎥
1
0
⎣ ⎦
⎣
⎦
y ( k ) = [1 0.825]x( k )
Se efectúa la realimentación de estado y el cálculo de la matriz de
realimentación K con el propósito de ubicar los polos del sistema en los puntos
μ1 = 0.5 + j 0.25 y μ 2 = 0.5 − j 0.25
K = [0.6500 -0.3625]
con K0 = 0.3125/1.825 = 0.1712 para que el error de estado estacionario sea cero.
Sin embargo, para poder realizar este sistema físicamente es necesario tener
acceso al vector de estado x(k). Para este fin, se diseña un observador de estados.
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 195
Ing. Eduardo Interiano
Debido a que se requiere que el observador de estados responda más rápido que la
planta, se procede a ubicar los polos del observador en los puntos
μ1 = 0.125 + j 0.25 y μ 2 = 0.125 − j 0.25
y por lo tanto, el polinomio característico del observador es
φe ( z ) = z 2 − 0.25 z + 0.07813
La matriz de realimentación de error Kf se calcula mediante la fórmula de
Ackermann después de comprobar la observabilidad del sistema:
⎡0 ⎤
⎢ ⎥
⎡ C ⎤ ⎢0 ⎥
K f = φ e (A) ⋅ ⎢
⎥
⎣CA ⎦ ⎢ M ⎥
⎢ ⎥
⎣1 ⎦
−1
donde
φ e (A) = A 2 − 0.25 A + 0.07813I
0 ⎤
⎡1.65 − 0.675⎤ ⎡0.07813
⎡ 2.0475 - 1.1138 ⎤
+
−
φ e (A) = ⎢
0
.
25
⎢ 1
- 0.675 ⎥⎦
0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
0.07813⎥⎦
⎣
⎣ 1.65
⎡1.7131 − 0.945 ⎤
φ e (A) = ⎢
− 0.5969 ⎥⎦
⎣ 1 .4
−1
0.825 ⎤ ⎡0⎤
⎡1.7131 − 0.945 ⎤ ⎡ 1
Kf = ⎢
⋅
− 0.5969 ⎥⎦ ⎢⎣ 2.475 − 0.675⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦
⎣ 1 .4
⎡ 0.868 ⎤
Kf = ⎢
⎥
⎣0.6448 ⎦
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 196
Ing. Eduardo Interiano
Figura 4.10: Respuesta
al escalón del sistema realimentado
Nótese que la respuesta del sistema compensado, y(k), es tal como se diseño.
El ligero sobreimpulso puede mejorarse utilizando un periodo de muestreo más
pequeño y ubicando más cerca del eje real la parte imaginaria de los polos del
observador.
En la figura 4.11 se puede observar el lugar de las raíces del sistema original, que
discurre más a la derecha. También pueden observarse los lugares de las raíces del
sistema compensado por realimentación de estado y del observador de estado.
Nótese que para estos sistemas el lugar de las raíces no tiene importancia, sino la
ubicación de sus polos de lazo cerrado. Se puede observar como los polos de lazo
cerrado escogidos para tales sistemas son el origen de sus respectivos lugares de las
raíces.
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Control en el espacio de estado
Pág. 197
Ing. Eduardo Interiano
Figura 4.11: Lugar
del las raíces para el ejemplo 4.14
En conclusión, para poder controlar un sistema por medio de realimentación
de estado con observador, es necesario que el sistema sea controlable y observable.
Podemos utilizar la fórmula de Ackermann para calcular tanto el vector de
ganancia K del sistema así como el vector de ganancia del observador Kf. para
sistemas SISO. Para sistemas MIMO se debe usar otros métodos similares.
Para lograr un error de estado estacionario cero en ambos subsistemas, es
necesario calcular una ganancia K0 para cada uno.
Finalmente, los polos del observador deben ubicarse de tal forma que sean
más rápidos que los del sistema controlado y que tengan poco o ningún
sobreimpulso.
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 198
Ing. Eduardo Interiano
4.6
La función de transferencia del compensador con observador
Para un sistema SISO como el mostrado en la figura 4.12, descrito por la
ecuación (4.89), que usa realimentación de estado para ubicar los polos; y un
observador para producir el estado ~x (k ) , el regulador completo, para r(k) = 0, que
debe ser aplicado usando realimentación positiva, se muestra en la ecuación (4.90).
Figura 4.12: Sistema
compensado con observador de estado
x( k + 1) = A ⋅ x(k ) + B ⋅ u (k )
y ( k ) = C ⋅ x( k ) + D ⋅ u ( k )
u (k ) = K ⋅ r (k ) − K ⋅ ~
x (k )
(4.89)
~
x (k + 1) = [ A − BK − K f C + K f DK ] ⋅ ~
x (k ) + K f y (k )
u ( k ) = −K ⋅ ~
x (k )
(4.90)
0
La función de transferencia de dicho regulador se calcula como siempre
aplicando la transformada Z o S, y resolviendo para G(z) o G(s) respectivamente.
G( z) =
U ( z)
= −K ⋅ [ zI − ( A − BK − K f C + K f DK )]−1 ⋅ K f
Y ( z)
(4.91)
Del mismo modo, las ecuaciones (4.90) y (4.91) se aplican a un sistema en
tiempo continuo.
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 199
Ing. Eduardo Interiano
Ejemplo 4.14: Demuestre la regla de Ackermann
Considere el siguiente sistema
x( k + 1) = Ax ( k ) + Bu ( k )
donde x(k) es un vector de dimensión 3. Se supone que el sistema es de estado
completamente controlable. Mediante la utilización de la técnica de ubicación de
polos, se desea diseñar el sistema con polos en lazo cerrado en z = μ1, z = μ2 y z =
μ3, donde la μ son distintas. Es decir, al usar el control con realimentación de
estado
u ( k ) = −Kx (k )
se desea obtener :
⏐zI – A + BK ⏐= ( z –μ1) (z- μ2) (z- μ3) = z3 + α2 z2 + α1 z + α0
Demuestre que la matriz de ganancia de realimentación del estado K deseada
puede darse por
−1
K = [1 1 1][ξ1 ξ 2 ξ 3 ]
donde
ξ i = ( A − μ i I )−1 B, i = 1,2,3
Solución:
Definimos
~
A = A− BK
Considerando las siguientes identidades:
I=I
~
A = A - BK
~ 2
~
A = (A - BK) 2 = A 2 - ABK - BK A
~ 3
~
~ 2
A = (A - BK) = A - A BK - ABK A- BK A
3
3
2
______________________________________________________________________________________________
Control en el espacio de estado
Pág. 200
Ing. Eduardo Interiano
Si se multiplica cada una de las ecuaciones precedentes por α3, α2, α1 y α0
(siendo α3 = 1 ) en este orden, y sumando los resultados se obtiene:
~
~ 2
~3
α 0 I + α 1 A+ α 2 A + A =
~
~
~ 2
α 0 I + α 1 A + α 2 A + A − α 1 BK − α 2 ABK − α 2 ABK A− A BK − ABK A− BK A
2
3
2
Al observar que el primer miembro de esta ultima ecuación es cero, esta última
ecuación se puede reducir a
[
0 = φ ( A) − B
~
~ 2⎤
⎡
⎢α 1 K + α 2 K A+ K A ⎥
~
⎢
⎥
A2 B ⎢
α2K + K A
⎥
⎢
⎥
K
⎢
⎥
⎢⎣
⎥⎦
]
AB
De modo que
~
~ 2⎤
⎡
⎢α 1 K + α 2 K A+ K A ⎥
~
⎢
⎥
α2K + K A
⎢
⎥= B
⎢
⎥
K
⎢
⎥
⎢⎣
⎥⎦
[
]
−1
A 2 B φ ( A)
AB
Premultiplicando ambos miembros de esta última ecuación por [0 0 1], se obtiene
~
~ 2⎤
⎡
α
K
+
α
K
A
+
K
A
⎢ 1
⎥
2
~
⎢
⎥
[0 0 1] ⎢ α 2 K + K A ⎥ = [0 0 1] B
⎢
⎥
K
⎢
⎥
⎥⎦
⎣⎢
[
AB
]
−1
A 2 B φ ( A)
o bien
[
K = [0 0 1] B
AB
]
−1
A 2 B φ ( A)
que es la fórmula de Ackerman. Observando que:
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Control en el espacio de estado
Pág. 201
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φ ( A) = A3 + α 2 A 2 + α 1 A + α 0 I
= ( A − μ1 I )( A − μ 2 I )( A − μ 3 I )
tenemos que
[
K = [0 0 1] B
AB
A2 B
]
−1
( A − μ 1 I )( A − μ 2 I )( A − μ 3 I )
Mediante la postmultiplicación de ambos miembros de esta última ecuación por el
valor ξ1 = (A-μ1I)-1B, resulta
[
Kξ 1 = [0 0 1] B
AB
A2 B
]
−1
( A − μ 2 I )( A − μ 3 I ) B
Definiendo
( A − μ 1 I )( A − μ 2 I ) = A 2 + β 12 A + β 13 I
( A − μ 2 I )( A − μ 3 I ) = A 2 + β 22 A + β 23 I
( A − μ 3 I )( A − μ 1 I ) = A 2 + β 32 A + β 33 I
Entonces la ecuación puede escribirse como sigue
[
AB
A2 B
[
AB
A B
Kξ1 = [0 0 1] B
= [0 0 1] B
2
]
−1
( A 2 + β 22 A + β 23 I ) B
] [B
−1
AB
⎡ β 23 ⎤
A B ⎢⎢ β 22 ⎥⎥
⎢⎣ 1 ⎥⎦
2
]
⎡ β 23 ⎤
= [0 0 1] ⎢⎢ β 22 ⎥⎥ = 1
⎢⎣ 1 ⎥⎦
Por lo tanto,
Kξ1 = 1, Kξ 2 = 1, Kξ 3 = 1
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Control en el espacio de estado
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En consecuencia
K [ξ1 ξ 2
ξ 3 ] = [1 1 1]
es decir,
K = [1 1 1][ξ1 ξ 2
ξ 3 ]−1
La ecuación anterior da la matriz de ganancia de realimentación de estado K
deseada en términos de ξ1, ξ2, y ξ3.
4.7
Referencias:
Ogata, Katsuhiko. „Ingeniería de Control Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª Ed.,
Madrid.
Ogata, Katsuhiko. „Sistemas de Control en tiempo discreto“, Prentice Hall, 1996, 2ª Ed.,
México.
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Control en el espacio de estado
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