Electrostática

Física 2º Bach.
Tema: Electrostática
DEPARTAMENTO DE
FÍSICA E QUÍMICA
02/03/06
Nombre:
Problemas
[3 PUNTOS / UNO]
1. Tres partículas con cargas iguales q = 4,00 µC están situadas en tres de los vértices de un
q
cuadrado de lado L = 20,0 cm. Calcula:
a) El campo eléctrico (módulo, dirección y sentido) en el vértice vacante, A.
b) El trabajo necesario para desplazar una carga de 5,00 nC desde el punto A hasta el
centro del cuadrado.
A
q
E
El campo eléctrico creado en el punto A corresponderá a la suma vectorial de
los campos eléctricos que originen las cargas situadas en los puntos B, C y D
(principio de superposición).
−6
 B=K q i =9,00×109 [ N·m 2 C−2 ]· 4,00×10 [C] i =9,00×105 i [ N/C]
E
L2
0,200[m ]2
C
E
ED
EA = EB + EC + ED
A
L
Solución:
EB
B
A
·
G
−6
 D=K q j =9,00×109 [ N·m 2 C−2 ]· 4,00×10 [C] j =9,00×105 j [ N/C]
E
2
2
L
0,200[m ]
C
D
 
i j
4,00×10−6 [C]
 C=K q i  j =9,00×109 [ N·m 2 C−2 ]·
E
=3,18×105 i 3,18×105 j [ N/C]
2
2
2
2
2L 
0,200[m]0,200[m] 
Realizando la suma vectorial, se obtiene:
EA = 1,22×106 i + 1,22×106 j N/C
que es un vector de módulo:
│E│ = 1,72×106 N/C
dirección en la diagonal que contiene al punto A en sentido hacia el exterior del cuadrado.
b) El trabajo del campo eléctrico, al ser un campo conservativo, sólo depende de los puntos inicial y final.
WA→G = -∆Ep = q (VA – VG)
El potencial en un punto A, debido a la influencia de varias cargas en los puntos B, C y D es la suma de los
potenciales V que crea cada carga en el punto A
V A =V BV CV D=K
9
2
−2
−6

V A =9,00×10 [ N·m C ] 4,00×10 [C]
q
r BA
K
q
q
K
r CA
r DA

1
1
1
5


=4,87×10 V
0,200[ m]  0,0800[ m] 0,200[m]
En el punto G

V G =9,00×109 [ N·m 2 C−2 ]4,00×10−6 [C]· 3·
El trabajo del campo eléctrico desde el punto A al G es:

1
=7,64×105 V
0,0200[m]
q
WA→G = q (VA – VG) = 5,00×10-9 [C] · (4,87×105 [V] – 7,64×105 [V]) = -1,38×10-3 J
Si el trabajo lo hace una fuerza exterior y la energía cinética no varía:
WEXTERIOR = -WCAMPO = 1,38×10-3 J
2. En un punto P exterior a una esfera fija y uniformemente cargada, el potencial eléctrico (con referencia
en ∞) es V = 45,0 V y el campo eléctrico tiene una intensidad E = 90,0 N/C.
P q
a) Determina la carga Q de la esfera y la distancia d entre su centro y el punto P.
b) Se abandona una partícula de carga q = -4,00 pC en el punto P. Calcula su energía cinética cuando choca con la superficie de la esfera, de radio R = 10,0 cm.
d
Solución:
a) En un punto P exterior a una distancia d del centro de una esfera uniformemente cargada con
una carga Q, la intensidad del campo eléctrico viene dada por la ecuación:
 =K Q 
E
ur
d2
Q
R
como si toda la carga de la esfera estuviese concentrada en su centro.
El potencial eléctrico en ese punto es:
V =K
Q
d
Sustituyendo los valores de los datos:
90,0[ N/C]=9,00×109 [ N·m 2 C−2 ]
9
2
−2
45,0[V ]=9,00×10 [ N·m C ]
Q
2
d
Q
d
Dividiendo la segunda entre la primera
d = 0,500 m
y sustituyendo en la segunda:
Q = 2,50×10-9 C
b) El campo eléctrico es un campo conservativo:
(Ec + Ep)P = (Ec + Ep)R
0 + q VP = Ec R + q VR
El potencial eléctrico en la superficie de la esfera es:
−9
V =K
Q
2,50×10 [C]
=9,00×109 [ N·m 2 C−2 ]·
=225V
R
0,10[m ]
-4,00×10-12 [C] · 45,0 [V] = Ec R + -4,00×10-12 [C] · 225 [V]
Ec R = 7,20×10-10 J
DATOS: K = 1/(4π ε0) = 9·109 N m2 C-2
Teoría
[1 PUNTO / UNO]
1. Aplica el teorema de Gauss para comprobar que el campo eléctrico creado por un plano infinito con una
distribución σ uniforme de carga no depende de la distancia al plano.
Solución:
El teorema de Gauss dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga encerrada por dicha superficie dividido entre ε0.
 ·d 
=∯ E
S=
Q ENCERRADA
0
Se dibuja un fragmento del plano infinito y el punto P donde se va a determinar el vector intensidad de campo eléctrico.
E
1. A partir de la simetría de la distribución de carga en el plano, se ve
que la dirección del campo eléctrico en el punto P es perpendicular al
plano.
d
S
P
+
2. Se toma como superficie cerrada, un cilindro de radio arbitrario con
una de sus bases que pase por el punto P y la otra colocada simétricamente con respecto al plano.
+
+
3. Se calcula el flujo a través de la superficie cerrada del cilindro, sumando las contribuciones de cada parte:
- Flujo a través de cada una de las bases del cilindro: el campo E y el
vector superficie S son paralelos, por lo que:
+
+
+
+
S
+
+
+
+
+
+
+
+
S
E
E · dS = │E│·│dS│ = E · dS
El campo eléctrico E es constante en todos los puntos de la base:
 ∬∣E
 · d S=
∣· d S =∣E
 ∣· S B
 B=∬ E
para cada una de las bases.
- Flujo a través de la superficie lateral del cilindro: el campo E es perpendicular al vector superficie dS superficie lateral, por lo que el producto escalar es nulo:
E · dS = 0
y el flujo a través de la superficie lateral es nulo.
- El flujo total es:
Φ = 2 │E│S
4. La carga que hay en el interior de la superficie cerrada es la que hay en una superficie S del plano igual al
area de las bases. Si hay una densidad de carga σ = Q / S constante,
QENCERRADA = σ · S
5. Aplicando el teorema de Gauss
Φ = QENCERRADA / ε0
igualando al flujo obtenido antes y despejando el módulo del campo eléctrico
│E│= σ / (2 ε0)
que es independiente de la distancia d del punto al plano.
2. Dos esferas conductoras huecas concéntricas están cargadas con una carga -Q la de radio R, y +Q la de radio
2R. ¿En que punto el potencial eléctrico es nulo?
A) exterior
B) entre ambas
C) interior.
+Q
Solución: A
-Q
V =K
2
R
En un punto A exterior a una distancia d del centro de una esfera
(hueca o maciza) conductora en equilibrio cargada con una carga Q,
A
el potencial eléctrico viene dado por la ecuación:
B
R
C
Q
d
como si toda la carga de la esfera estuviese concentrada en su centro.
En el punto A el potencial resultante es la suma de los potenciales creados en A por cada esfera.
V A =V R  A V 2 R  A =K
Q
−Q
K
=0
d
d
(La carga neta, vista desde el exterior de la esfera mayor, es nula, por lo que el potencial en el exterior también lo es).
En un punto C interior a una distancia d < R del centro de una esfera (hueca o maciza) conductora en equilibrio cargada con una carga Q, el potencial eléctrico es constante y vale lo mismo que en su superficie. Si la
esfera es de radio R
V =K
Q
R
En el punto B el potencial resultante es la suma de los potenciales creados en B por cada esfera, teniendo en
cuenta que el punto B es exterior a la esfera menor e interior a la esfera mayor
V B=V R  BV 2 R  B=K
Q
−Q
K
≠0
d
2R
que no es nulo porque d ≠ 2 R.
En el punto C el potencial resultante es la suma de los potenciales creados en C por cada esfera, siendo el
punto C interior a ambas esferas
V C=V R  C V 2 R  C=K
Q
−Q
K
≠0
R
2R
que no es nulo porque R ≠ 2 R.
3. ¿Es posible que en un punto del espacio la intensidad del campo eléctrico sea nula y el potencial eléctrico
tenga un valor finito distinto de cero? ¿Y que los dos sean nulos? Razona la respuesta.
Solución:
ED
C
E
La intensidad de campo eléctrico es nula y el potencial eléctrico también lo es:
- En un punto del infinito.
- En el centro de cualquier distribución simétrica de cargas alternas, por ejemplo en
un cuadrado. El campo es nulo por simetría y el potencial ahora también al haber las
A
misma cantidad de cargas positivas que negativas a la misma distancia del punto.
A
EB
E
La intensidad de campo eléctrico es nula y el potencial eléctrico no lo es:
- En un punto interior a una esfera (hueca o maciza) conductora en equilibrio cargada con una carga Q, el
potencial eléctrico es constante e igual al que hay en la superficie de la esfera.
C
- En el centro de cualquier distribución simétrica de cargas iguales, por ejemplo en un D
cuadrado. El campo es nulo por simetría y el potencial es cuatro veces el creado por
una de las cargas.
B
4. En la figura que corresponde a dos cargas
puntuales se representan:
A) las líneas equipotenciales
B) las líneas de campo eléctrico de dos
cargas iguales
C) las líneas de campo eléctrico de dos
cargas del mismo valor y distinto signo.
Solución: A
Las líneas o superficies equipotenciales son
aquellas que unen los puntos en los que el potencial vale lo mismo.
Para una carga puntual, son superficies esféricas concéntricas.
Las lineas de campo eléctrico salen de las cargas positivas (manantiales) y entran en las negativas y son perpendiculares a las superficies equipotenciales.
Si dibujamos las perpendiculares a estas superficies equipotenciales, vemos la siguiente distribución:
en la que se ve que las líneas de campo salen
de una de las cargas y entran en la otra: las
cargas son de signo opuesto.