Problemas de Promoción - Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería

Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura
Universidad Nacional de Rosario
Identificación de Sistemas
Problemas de Promoción
Junio de 2001
Problemas de Promoción
Problema 1
En la figura 1 se representa un sistema de control feedforward donde
a la planta con transferencia
u es la variable manipulada (entrada
P(z ) ), d es una perturbación medible, y υ es una perturbación no
C F (z ) es la transferencia (estable) del controlador feedforward que actúa sobre la perturbación
medible. Asuma que u d , d , y υ son procesos estacionarios, con media cero, que no están
correlacionados, con densidad espectral de potencia Φ u d , Φ d , y Φ υ , respectivamente. Obtenga las
medible.
expresiones de los espectros
transferencias
Φ u , Φ y , y Φ yu en términos de los espectros de u d , d , y υ , y de las
C F (z ) , P(z ) , y Pd (z ) .
d
Pd (z )
C F (z )
ud
υ
_
y
P(z )
u
Figura 1: Sistema de Control Feedforward
Problema 2
Considere el sistema representado en la figura 2, donde u es la variable manipulada, d es una
perturbación medible, y υ es una perturbación no medible.
a. Use análisis de correlación para escribir un sistema lineal (cuadrado) de ecuaciones, en forma
matricial, que permita estimar los parámetros de sendos modelos FIR para P (z ) y Pd (z ) . Puede
b.
asumirse que los procesos u , d , y υ son estacionarios, y que la perturbación no medible υ no está
correlacionada con d , y u . No puede asumirse sin embargo que d y u no están correlacionados
entre si.
Cómo se simplifica el análisis, si d , y u son ruido blanco, independientes uno del otro ?
d
Pd (z )
u
υ
P(z )
y
Figura 2: Sistema en lazo abierto
ISIS – Problemas de Promoción - 2001
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Problema 3
Sea e(n) ruído blanco con media cero y varianza
e(n) con un filtro de primer orden
y( n ) =
a. Determine los espectros Φ e
σ 2 . Considere el siguiente proceso obtenido filtrando
1
e( n )
1 + aq −1
; a <1
(ω ) y Φ y (ω ) .
b. Calcule las covarianzas
E ( y( n ) y( n − l )) ; l = 0 ,1,L
de y(n).
Problema 4
Sean
θˆ j , j = 1,2 , dos estimas del mismo parámetro escalar θ . Asuma que
1
bias (θˆ j ) = E (θˆ j ) − θ =  N
0
(
( ))
var(θˆ j ) = E  θˆ j − E θˆ j

2
j =1
j=2
si
si
1
 =  N si
 3
 
si
 N
donde N denota el número de datos. Indique cuál de las estimas
sentido del Error Cuadratico Medio (MSE). Justifique su respuesta.
j =1
j=2
θˆ1 , θˆ2 es la mejor estima en el
NB: El Error Cuadrático medio está definido como
(
2
MSE = E (θˆ j − θ )
)
Problema 5
Para la mayoría de los estimadores consistentes de parámetros de un proceso estacionario, la varianza del
error de estimación tiende a cero como 1 N cuando N → ∞ (siendo N el número de datos). Para
procesos no estacionarios es de esperar encontrar una tasa de convergencia más rápida. Para ver esto
compute una expresión para la varianza de la estima de mínimos cuadrados del parámetro α , en la
estructura de modelo
y (n ) = αn + e(n ),
donde
n = 1,2,3, L , N
e(n ) es ruído blanco con media cero y varianza σ 2 . Comente el resultado obtenido.
Problema 6
Considere el siguiente modelo regresivo lineal
Y = Φθ + e
donde la salida
Y , la matriz de regresión Φ , y la perturbación e , pueden particionarse como
ISIS – Problemas de Promoción - 2001
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y 
Y =  1
 y2 
,
Φ 
Φ =  1
Φ 2 
e 
e =  1
e 2 
,
y1 , Φ 1 , y Φ 2 están disponibles, pero y 2 no lo está (es decir son datos de
donde se asume que los datos
medición que se perdieron: "missing data" ). Se asume además que
Determine la estima de mínimos cuadrados de θ e
{ }= I .
E{e1 } = 0 , y E e1e1
T
y 2 definida como:
{
}
T
θˆ, yˆ 2 = argmin (Y − Φ θ ) (Y − Φθ )
θ ,y 2
Problema 7
Suponga que un predictor de un paso en avance (one step ahead predictor) del sistema
y (n ) = G (q )u (n ) + H (q )e(n )
(1)
está dado por
yˆ (n n − 1) = L1 (q )u (n − 1) + L2 (q ) y (n − 1)
Calcule la descripción (1) de donde el predictor fue derivado.
Problema 8
Una forma de predecir una señal
smoothing), que viene dado por
y (n ) es con el denominado "alisador exponencial" (exponential
yˆ (n + 1 | n ) =
donde
a.
b.
α es un parámetro con 0 < α < 1 .
1−α
y (n )
1 − αq −1
Asumiendo que y (n ) = K , para todo n , muestre que en régimen estacionario el valor predicho será
exactamente igual al valor K .
Para qué modelo ARMA es este predictor un predictor óptimo ?
Problema 9
Considere el proceso dado por
y (n ) = e(n ) + 2e(n − 1)
que es un modelo MA de primer orden, donde e (n ) es ruido blanco con media cero y varianza unitaria.
Deduzca la expresión del predictor de un paso óptimo en media cuadrática y obtenga la varianza del error
de predicción.
Referencias
[1] Ljung, L. (1999). System Identification – Theory for the User, 2nd Edition, Prentice Hall, Englewood
Cliffs, N.J.
[2] Söderström, T. and P. Stoica (1989). System Identification, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J.
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