II JORNADAS SOBRE GEOGEBRA EN ANDALUCÍA
1 al 3 de Abril de 2011
Taller: RETOS GEOMÉTRICOS CON GEOGEBRA
BLOQUE 1: Para entrar en calor.
Actividad 1: Teorema de Viviani.
En un triángulo equilátero la suma de distancias, desde un punto interior, a los tres lados
se mantiene constante.
¿Qué mide esa constante en el triángulo equilátero?
Actividad 2: Triángulo órtico.
Dado un triángulo cualquiera, se llama triángulo órtico al que tiene de vértices los pies de
las alturas del triángulo anterior.
Comprueba que el ortocentro de un triángulo acutángulo es el incentro de su triángulo
órtico.
Actividad 3: Triángulo rectángulo.
En un triángulo rectángulo trazamos la altura y la mediana relativas a la hipotenusa. El
ángulo formado por estas dos líneas, ¿qué relación tiene con respecto a los ángulos no
rectos del triángulo?
Actividad 4: Centro de gravedad de un cuadrilátero.
Dibuja el centro de gravedad de un cuadrilátero.
Indicación: Dibuja una de sus diagonales y traza el segmento que une los dos baricentros
de los triángulos resultantes. Traza la otra diagonal y el segmento que une los baricentros
de los nuevos triángulos. El punto de corte de los dos segmentos es el centro buscado.
Bloque 2: Construcciones directas.
Actividad 5: Cuadrado a partir de la diagonal.
Dibuja un segmento cualquiera AB. Dibuja un cuadrado cuya diagonal sea el segmento
AB.
Actividad 6: Circunferencias tangentes.
Realiza la construcción que aparece en la figura 1, sabiendo que la
distancia entre B y C es triple que entre A y C, y comprueba que:
a) El cuadrilátero CEDF es un rectángulo.
Jesús Fernández Domínguez y José Muñoz Santonja
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b) La recta EF es tangente a las dos circunferencias interiores.
Actividad 7: Tres circunferencias tangentes.
Dibuja tres puntos cualesquiera del plano. Halla las tres circunferencias, con centros en
esos puntos, que sean tangente dos a dos.
Indicación: Para encontrar pistas sobre la construcción puedes consultar el ejemplo del
proyecto Gauss en la dirección
http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/eso/actividades/geometri
a/acertijos/tres_circulos/actividad.html
Actividad 8: Camino más corto.
Investiga cuál es el camino más corto que une los tres lados de un triángulo volviendo al
punto de partida. Para ello dibuja un triángulo con vértices en los lados del triángulo
original y, modificando esos puntos, estudia cuándo se obtiene el valor mínimo.
Actividad 9: Puntos simétricos.
Dibuja tres puntos fijos en el plano, A, B y C. Dibuja un punto variable P. Halla P’ el
simétrico de P respecto A, P’’ simétrico de P’ respecto de B y P’’’ simétrico de P’’ respecto
de C. Halla el punto medio PM del segmento que une P y P’’’. ¿Qué ocurre con PM
cuándo se mueve el punto P?
Bloque 3: Elementos con nombre.
Actividad 10: Triángulo de Napoleón.
Si sobre los lados de un triángulo cualquiera se dibujan triángulos equiláteros, los centros
de esos triángulos equiláteros también forman un triángulo equilátero. Se llama triángulo
de Napoleón exterior.
¿Qué ocurre si los triángulos equiláteros se dibujan hacia el interior del triángulo?
Actividad 11: Punto de Fermat.
Se conoce como punto de Fermat al punto interior a un triángulo acutángulo tal que la
suma de las distancias a los tres lados sea mínima.
Hay dos formas de encontrarlo.
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a) Se dibujan triángulos equiláteros sobre los tres lados. Se hallan las circunferencias
circunscritas a esos triángulos. Se comprueba que las tres se cortan en un punto.
b) Se dibujan triángulos equiláteros sobre los tres lados. Se unen cada uno de los
vértices exteriores de los triángulos equiláteros con el vértice opuesto del triángulo
original (el que no forma parte de ese triángulo equilátero). Las tres rectas se
cortan en un mismo punto.
Dibujar un triángulo, hallar su punto de Fermat y comprobar que es el que da la suma
mínima de distancias.
Actividad 12: Rectas de Simson y Steiner.
a) Sea P un punto cualquiera de la circunferencia circunscrita a un triángulo.
Comprueba que las proyecciones de ese punto sobre los tres lados del triángulo (o
sus prolongaciones) están alineadas y forman la llamada recta de Simson.
b) Sea P un punto cualquiera de la circunferencia circunscrita a un triángulo.
Comprueba que los simétricos de P respecto a los tres lados están en una recta
llamada de Steiner.
c) Comprueba que la recta de Steiner pasa por el ortocentro del triángulo.
d) La recta de Steiner es paralela a la recta de Simson.
Actividad 13: Paralelogramo de Wittenbauer.
Se dividen los lados de un cuadrilátero convexo cualquiera en tres partes. Al trazar las
líneas que unen las dos divisiones más cercanas de los lados que componen cada
vértice, con sus cruces se obtiene un paralelogramo llamado de Wittenbauer.
a) Comprueba que es un paralelogramo.
b) ¿Se seguirá manteniendo la propiedad si el cuadrilátero no es convexo?
c) Comprueba que el punto de corte de las dos diagonales del paralelogramo de
Wittenbauer coincide con el centro de gravedad del paralelogramo inicial.
d) Aprovechando las posibilidades dinámicas del dibujo estudia qué debe cumplir el
cuadrilátero original para que el de Wittenbauer sea un rombo.
e) ¿Y para qué sea un rectángulo?
Actividad 14: Teorema de Von Aubel.
Dado un cuadrilátero convexo, construye cuatro cuadrados exteriores sobre sus lados.
Une los centros de los cuadrados correspondientes a lados opuestos del triángulo. ¿Qué
relación hay entre los dos segmentos que se dibujan?
Actividad 15: Teorema de Feuerbach.
a) Dibuja un triángulo cualquiera. Comprueba que existe una circunferencia que pasa
por los puntos medios de los lados y por los pies de las tres alturas del triángulo.
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Su descubridor fue el matemático alemán Karl Feuerbach (1800, 1834) y es
conocida como la circunferencia de los seis puntos.
b) Comprueba que la circunferencia anterior pasa además por los puntos medios de
los segmentos que unen el ortocentro de un triángulo con los vértices. Esta
circunferencia la nombró el matemático J.V. Poncelet (1788, 1867) como la
circunferencia de los nueve puntos.
c) Demuestra el Teorema de Feuerbach que dice: La circunferencia inscrita a un
triángulo es tangente a la circunferencia de los nueve puntos.
Bloque 4: Cónicas y otras curvas famosas.
Actividad 16: Recta y punto exterior.
Sea P un punto de una recta r y A un punto exterior de r. Traza la circunferencia que pasa
por A y es tangente a la recta en el punto P. Activar el rastro del centro de la
circunferencia y mover el punto P por la recta. ¿Qué elemento se obtiene?
Actividad 17: Punto interior de una circunferencia.
Dado un punto interior a una circunferencia, hallar el lugar geométrico del centro de las
circunferencias que pasan por el punto y son tangentes a la circunferencia.
¿Qué ocurre si el punto P está fuera de la circunferencia?
Actividad 18: Estrofoide.
Tenemos una circunferencia de centro O. Tomamos A y B dos puntos de la
circunferencia. Halla el lugar geométrico descrito por el baricentro del triángulo OAB
cuando el punto B recorre la circunferencia.
Ver qué ocurre con el lugar geométrico del ortocentro. (Folium de Descartes, estrofoide).
¿Y con el incentro?
Estudiar también lo que ocurre con el circuncentro y el baricentro.
Actividad 19: Caracol de Pascal.
Sea Q un punto exterior a una circunferencia c. Traza una tangente a c en el punto A y
halla el punto P de corte de la perpendicular a la recta tangente trazada desde Q. Halla el
lugar geométrico de los puntos P cuando A recorre la circunferencia. Lo obtenido se llama
Caracol de Pascal.
Ver qué ocurre con el lugar geométrico si movemos el punto Q.
¿Qué ocurre si el punto queda dentro de la circunferencia?
Si el punto Q pertenece a la circunferencia se obtiene la cardioide.
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Actividad 20: Cisoide de Diocles.
Sea la circunferencia c y A, B dos puntos de la circunferencia que son extremos de un
diámetro. Se traza la tangente a c en B y sobre ella se coloca un punto P. Sea d la
distancia entre P y B. Se une P con A y se dibuja la circunferencia con centro en A y radio
d. La intersección con el segmento AP nos da un punto Q de este segmento que cumple
que d(AQ)=d(B,P). Halla el lugar geométrico del punto Q al mover P (Cisoide de Diocles).
Actividad 21: La Bruja de Agnesi.
Tenemos una circunferencia c de centro O que pasa por A. Sea B el extremo opuesto del
diámetro de extremo A. Se traza la tangente t a la circunferencia en A. Se dibuja un punto
P sobre c. Se traza la recta que pasa por B y P y sea Q el punto intersección con la
tangente t. Desde P se halla la paralela a la tangente t y desde Q la perpendicular a la
misma tangente. Sea M el punto intersección de la paralela y la perpendicular. Halla el
lugar geométrico del punto M cuando P recorre la circunferencia. Se obtiene la curva de
Agnesi.
Bloque 5: Activar el rastro para obtener envolventes.
Actividad 22: El rastro de la Recta de Simson.
Hallar el lugar geométrico de la recta de Simson de P cuando P recorre la circunferencia
circunscrita.
Actividad 23: Cónica 1 por envolvente.
Dibujar una circunferencia de centro O y que pasa por A (ambos en el eje). Situar un
punto F en el segmento OA. Situar un punto P en la circunferencia y hallar la
perpendicular r al segmento FP en el punto P. Activar el rastro de r y recorrer la
circunferencia con el punto P.
Actividad 24: Cónica 2 por envolvente.
Dibuja una recta y un punto exterior F cercano a ella. Sobre la recta se dibuja un punto A
y se halla la perpendicular r en A al segmento que FA. Activar el rastro de r y mover el
punto A sobre la recta.
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