Tema 4: Diferenciación e integración numérica

1
Tema 4: Diferenciación e integración numérica
1. Si f (x) = ex , calcular la derivada en x0 = 0 con h = 1 usando las fórmulas centrada, progresiva
y regresiva. Calcular el error absoluto y relativo en cada caso.
2. Si f (x) = ex entonces f 0 (1.5) ⇡ 4.4817. Aproximamos el valor de esta derivada usando la
fórmula regresiva. Si comenzamos con el paso h = 0.05 y lo vamos dividiendo cada vez a la
mitad ¿cuál es el paso mayor para el que la aproximación tiene dos dı́gitos significativos?
3. Supongamos que tenemos tres puntos (x0 , y0 ), (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) de una función f , de forma
que x1 = x0 + h y x2 = x0 + 2h con 0 < h < 1. Construir una fórmula que aproxime f 0 (x0 )
que utilice sólo estos tres puntos y que sea de orden 2.
4. Supongamos que tenemos tres puntos (x0 , y0 ), (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) de una función f , de forma
que x1 = x0 + h y x2 = x0 + 2h con 0 < h < 1. Construir una fórmula que aproxime f 00 (x1 )
que utilice estos tres puntos y que sea de orden 2.
5. Calcular el orden de precisión con respecto a h de las siguientes fórmulas para la aproximación
numérica de f 0 (xi ):
(a)
11f (xi ) + 18f (xi+1 ) 9f (xi+2 ) + 2f (xi+3 )
,
6h
(b)
f (xi
2)
6f (xi
1)
+ 3f (xi ) + 2f (xi+1 )
,
6h
f (xi
2)
12f (xi ) + 16f (xi+1 )
12h
(c)
3f (xi+2 )
.
6. Dada la función f (x, y) = x3 + y 3 , calcular una aproximación de rf (x, y) y
(x, y) = (1, 2) con hx = hy = 0.1.
f (x, y) para
7. Dada la función F(x, y) = x2 + y 2 , x2 y 2 calcular una aproximación de la divergencia
divF(x, y) para (x, y) = (1, 2) con hx = hy = 0.1.
8. Deducir:
(a) La regla del punto medio simple.
(b) La regla del trapecio simple.
9. Calcular la integral I =
´3
0
ex dx usando
(a) La regla del punto medio simple.
(b) La regla del trapecio simple.
(c) La regla de Simpson simple.
¿Cuál es el error en cada caso?¿Cuál es la precisión de cada fórmula?
2
10. Deducir:
(a) La regla del punto medio compuesta.
(b) La regla del trapecio compuesta.
(c) La regla de Simpson compuesta.
´3
11. Calcular la integral 0 ex dx usando cinco nodos con
(a) La regla del punto medio compuesta.
(b) La regla del trapecio compuesta.
(c) La regla de Simpson compuesta.
¿Cual es el error en cada caso?
12. Calcular usando la fórmula del punto medio simple la integral:
ˆ 1
xdx.
0
Calcular la integral exacta y obtener el error. Dibujar el área exacta y aproximada y explicar
el error.
13. Usando la regla del trapecio compuesta con tres subintervalos, calcular:
ˆ 1
x2 dx.
0
Calcular la integral exacta y el error. Hacer un dibujo del área exacta y la aproximada.
14. Usando la regla de Simpson calcular:
ˆ
1
x3 dx.
0
Calcular la integral exacta y calcular el error. ¿Qué curva utiliza para aproximar la función
la regla de Simpson? ¿Cómo explicarı́as el error?
15. Hallar el número mı́nimo n de subintervalos necesario para aproximar con un error absoluto
menor que 10 4 las integrales de las siguientes funciones:
(a)
f1 (x) =
1
1 + (x ⇡)2
en
[0, 5],
(b)
f2 (x) = ex cos(x)
en
[0, ⇡],
(c)
f3 (x) =
p
x(1
x)
en
[0, 1],
mediante la fórmula del punto medio compuesta.
16. Para las funciones f1 y f2 del ejercicio anterior, calcular el número mı́nimo de intervalos tales
que el error de cuadratura de la fórmula de Simpson compuesta es menor que 10 4 .
3
17. Calcular
2
ˆ
x2
e
dx
0
usando las fórmulas de Simpson y de Gauss con el mismo número de nodos y comparar los
resultados obtenidos.
18. Sea f una función continua:
(a) Obtener !0 y x0 para que la fórmula de cuadratura
ˆ 1
f (x)dx ' !0 f (x0 )
1
tenga grado de precisión al menos uno.
(b) ¿Cuál es su grado de precisión?
19. Obtener x0 y x1 para que la fórmula de cuadratura
ˆ 1
f (x)dx ' f (x0 ) + f (x1 )
1
tenga grado de precisión al menos dos ¿Cuál es su grado de precisión? Usar la fórmula
obtenida para calcular un valor aproximado de:
ˆ 2
(x3 + x2 + 10)dx
2
realizando previamente un cambio de variable adecuado ¿Qué error se comete al aplicar dicha
fórmula en este ejercicio? Justificar la respuesta sin hacer la integral exacta.
20. Dada la integral
I=
ˆ
3
(x3 + 1)dx
0
(a) Aproximar su valor mediante las reglas del trapecio y de Simpson simples.
(b) Comparar los valores aproximados con el valor exacto ¿Se podrı́a haber predicho alguno
de los errores?
(c) Utilizar la regla del trapecio compuesta para aproximar I ¿qué número de subintervalos
será suficiente para que el error sea menor que 10 6 ?
21. Dada la integral
I=
ˆ
1
ex dx,
0
(a) Obtener su valor aproximado mediante la regla del trapecio compuesta con dos subintervalos.
(b) Acotar el error en valor absoluto.
(c) Determinar el número n de subintervalos suficientes para que el error sea menor que
10 6 .
22. Sabemos que
ln 2 =
ˆ
1
2
1
dx.
x
4
(a) Aproximar el valor de ln 2 mediante la fórmula de Simpson compuesta que utiliza dos
subintervalos (es decir, cinco nodos).
(b) Acotar el error en valor absoluto usando la fórmula del error.
(c) Determinar el número de nodos suficientes para que la fórmula de Simpson compuesta
proporcione un valor aproximado de ln 2 con un error menor que 10 4 .
23. Si se utiliza la regla del trapecio compuesta para aproximar
ˆ 2
ln(x)dx
1
¿Qué número de subintervalos será suficiente elegir para que el error sea menor que 10
3
?