X - Uned

MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES
FINANCIERAS I
Facultad de Ciencias
Económicas
Convocatoria de Febrero – Primera Semana
Material Auxiliar: Calculadora financiera
1.
3 de Febrero de 2012 - 9 horas
Duración: 2 horas
a)
Leyes financieras multiplicativas de capitalización: Definición, expresión matemática, condición
necesaria y suficiente para que una ley financiera sea multiplicativa y propiedad fundamental de
estas leyes. (1 punto).
b)
Capitalización compuesta: Una entidad financiera necesita captar fondos y para ello ofrece un
depósito a plazo de 5 años a un tipo de interés efectivo anual del 4%. También se contempla la
posibilidad de que los depositantes puedan retirar hasta un 20% del montante constituido al
finalizar cada uno de esos 5 años. Un ahorrador que ha depositado 60.000 euros retira el citado
20% cuando han transcurrido 3 años porque necesita liquidez. Calcular razonadamente:
1.
Montante que tiene a su favor una vez finalizados esos 3 primeros años ( antes de retirar el 20%).
(0,5 puntos).
2.
3.
2.
3.
Montante que recibirá al finalizar los 5 años (tener en cuenta lo que ha retirado a los 3 años). (1 punto).
El rédito mensual i12 y el tanto nominal J12 equivalentes al 4% efectivo anual. (0,5 puntos).
a)
Rentas que se valoran con más de un tanto o tipo de interés: Explicar razonadamente cómo se
obtiene el valor actual de una renta de cuantía constante C, con duración de n años y tipos de
interés i1 para los s primeros años e i2 para los n-s últimos (s<n) (dibujar previamente un esquema gráfico
de esta renta). (1,5 puntos).
b)
Una entidad sin ánimo de lucro tiene derecho a percibir una renta perpetua, de periodicidad anual
y pospagable, creciente en progresión geométrica a razón de un 2% anual, siendo la cuantía del
primer año 100.000 euros. Negocia y, finalmente, acuerda con su banco sustituir esta renta por otra
equivalente, también perpetua pero con cuantías constantes mensuales y prepagables,
realizándose esta permuta a un tanto efectivo anual del 5%. Calcular razonadamente la cuantía
mensual que percibirá. (2 puntos).
a)
Letras del Tesoro: Explicar cómo se obtiene el tanto efectivo (rentabilidad efectiva real) para un
inversor que adquiere las letras a un precio P y ha de pagar una comisión de suscripción cs y otra de
amortización ca (ambas en tanto por mil), según que la letra tenga una duración menor o mayor que un
año. (1 punto).
b)
Descuento bancario: El 23 de junio del año pasado (2011) la empresa MLK ha presentado a
descuento en el banco ZYX la siguiente remesa de letras:
Concepto
L/ girada el 20/6 y vencimiento 9/10
L/ a 3 meses fecha, girada el 21/6
Nominal
3.500
4.500
Domiciliación
Sí
No
Aceptación
Sí
Sí
El tanto de descuento que aplica el banco es el 10%. Las comisiones de cobranza son: El 6‰ para
efectos domiciliados y aceptados, el 8‰ para efectos domiciliados sin aceptar y el 10‰ para
efectos no domiciliados. Obtener razonadamente:
1.
2.
3.
El importe efectivo que ingresa el banco en la cuenta del cliente. (1 punto).
La rentabilidad media obtenida por el banco utilizando la capitalización simple. (0,5 puntos).
El tanto efectivo anual de coste para el cliente utilizando la capitalización compuesta (TAEC)
sabiendo que el timbre de las letras entre 3.005,07 y 6.010,12 euros son 16,83€. (1 punto).
Solución Febrero 2012 - Primera Semana
1.
a)
Teoría
b1)
M = C L(1+i)z
b2)
M´= 67.491,84 (1- 0,2)·(1+0,04)2 = 58.399,34 €
M = 60.000 (1+0,04)3 = 67.491,84 €
b3)
i12 = (1+i)1/12 -1= (1+ 0,04)1/12 -1= 0,00327
i = 0,04
2.
3.
a)
J12 = 12 i12 = 12 0,00327 = 0,03924
Teoría
100.000
= X· a
1+ 0,05 -1,02
b)
V0I = V0II
a)
Teoría
b1)
E = N 1- d
n
-g
360
i12 =1,051/12 1=0,00407
E = 3.500 1- 0,1
100.000
1+ 0,05 -1,02
X=
= 13.511,67 €
1
1,00407·
0,00407
108
90
- 0,006 + 4.500 1- 0,1
- 0,01 = 7.716,50 €
360
360
b2)
Vencimiento medio =
E· 1+ib·
n
=N
365
108 3.500 + 90 4.500
= 97,875 días
3.500 + 4.500
97,875
(3.374 + 4.342,5)· 1+ib·
= 8.000
365
ib = 0,13701
b3)
Vencimiento medio =
L· 1+ic
97,875/365
=N
108 3.500 + 90 4.500
= 97,875 días
3.500 + 4.500
(3.374 -16,83 + 4.342,5 -16,83)· 1+ic
97,875/365
= 8.000
ic = 0,1628
MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES
FINANCIERAS I
Facultad de Ciencias
Económicas
Convocatoria de Febrero – Segunda Semana
Material Auxiliar: Calculadora financiera
1.
a)
Ley financiera de descuento compuesto: Definición y expresión matemática. Magnitudes derivadas. Valor
descontado y descuento. Representación gráfica. (1 punto).
b)
Capitalización Compuesta: Una entidad financiera ofrece Fondos de inversión garantizados, de tal manera
que si se coloca una cuantía C se obtiene una revalorización (unos intereses) del 15% en 3 años y medio y del
25% en 5 años y medio. Calcular razonadamente:
1.
2.
2.
3.
17 de Febrero de 2012 - 16,00 horas
Duración: 2 horas
Rentabilidad que ofrece cada una de las modalidades medida por el tanto efectivo anual. (1 punto).
Rédito semestral i2 y tanto nominal J2 equivalentes al tanto efectivo obtenido en el caso de la
colocación a 3 años y medio. (1 punto).
Una persona tiene derecho a percibir una renta de cuantía mensual constante de C euros, con carácter pospagable y
duración 2n años. Sin embargo, para mantener su poder adquisitivo, decide permutarla por otra también mensual
pero que crezca anualmente en progresión geométrica con razón q, y con una duración de solamente n años. Si el
tanto el tanto efectivo de valoración que se aplica a esta operación es i, obtener razonadamente:
a)
b)
La cuantía mensual X que percibirá durante el primer año tras realizar la permuta. (2 puntos).
Aplicación al caso: C = 2.500 euros; q = 1,03; n = 10 años; i = 5%. (1,5 puntos).
a)
Descuento financiero: Concepto y diferencia con el descuento de papel comercial. Explicar razonadamente
cómo se obtiene el importe líquido que el banco entrega a su cliente. (1 punto).
b)
El Tesoro Público español realiza mensualmente subastas de Letras del Tesoro. En la subasta de Letras a 3
meses, realizada en octubre de 2011, se obtuvieron los resultados que resumidamente se recogen en el
cuadro siguiente (tomados de la página web www.tesoro.es):
Las letras se pusieron en circulación el 28 de octubre de 2011 (fecha de liquidación) y la amortización se ha
efectuado el 20 de enero de este año (fecha de vencimiento). Obtener razonadamente:
1.
2.
El tipo de interés medio de esta subasta aplicando la normativa del Tesoro. (1 punto).
En el caso de un inversor que adquiere directamente en el Banco de España 50 letras al precio medio y
paga únicamente una comisión a la amortización del 1,5‰, calcular el importe que habrá
desembolsado a la compra y el que percibe a la amortización, así como la rentabilidad efectiva real
que obtiene (1,5 puntos).
Solución Febrero 2012 – Segunda Semana
1.
a)
b1)
2.
Teoría
I = 0,15·C
C· (1+i)3,5 1 = 0,15·C
(1+i)3,5 1= 0,15
i = (1+ 0,15)1/3,5 1 0,04074
I = 0,25·C
C· (1+i)5,5 1 = 0,25·C
(1+i)5,5 1= 0,25
i = (1+ 0,25)1/5,5 1 0,0414
b2)
i = 0,04
a)
Teoría
i2 = (1+i)1/2 -1= (1+ 0,04)1/2 -1= 0,020166
J2 = 2 i2 = 2 0,020166 = 0,04033
b1)
V0I = V0II
C·
C· a2n·12
i12 =(1+i)1/12 1
= A(12·X;q)n(12)
1- (1+i12 )-2n·12
i
= 12·X·
i12
12·[(1+i)1/12
i
q
11+i
·
1] 1+i - q
n
C·
X=
1- (1+i12 )-2n·12
i12
q
1i
1+i
·
i12 1+i - q
n
b2)
C·
X=
3.
a)
Teoría
b1)
P 1+i·
1- (1+i12 )-2n·12
i12
q
1i
1+i
·
i12 1+i - q
n
2.500·
=
n
=1.000
360
1- (1+ 0,004074)-2·10·12
0,004074
10
= 3.561,69 €
1,03
10,05
1+ 0,05
·
0,004074 1+ 0,05 -1,03
i=
1.000 - P 360 1.000 - 994,68 360
·
=
·
= 0,022921
P
n
994,68
84
b2)
Ec = 50 994,68 = 49.734 €
Ev = 50 1.000·(1- 0,0015) = 49.925 €
Rentabilidad real :
994,68 1+ir ·
994,68 1+ir
84
= 1.000·(1- 0,0015)
365
84/365
= 1.000·(1- 0,0015)
ir = 0,016688
ir = 0,016795
MATEMÁTICA DE LAS OPERACIONES
FINANCIERAS I
Facultad de Ciencias
Económicas
Convocatoria de Septiembre – Principal
Material Auxiliar: Calculadora financiera
1.
a)
3 de Septiembre de 2012 - 9,00 horas
Duración: 2 horas
Ley financiera de capitalización simple: Explicar: (1,5 puntos).
Expresiones matemáticas de esta ley financiera.
Cómo se obtiene el montante y el interés. Formas de expresar el interés.
Relaciones entre el interés para el año comercial y para el año civil o real.
Representación gráfica.
b)
Una empresa ha de pagar dos letras, la primera de 20.000 euros que vence dentro de 90 días y la
segunda de 30.000 euros que vence dentro de 210 días. Hoy se acuerda sustituir esas dos letras
por una sola letra que sea equivalente a las dos citadas. Calcular razonadamente: (1,5 puntos).
La cuantía de esa letra suma de las dos sabiendo que su vencimiento será dentro de 135 días
y que se utiliza la ley de descuento comercial al 9% anual. (Nota: Se utiliza el año comercial de 360
días)
La cuantía y el vencimiento de esa letra suma en el caso de que se hubiese aplicado la
ecuación del vencimiento medio.
2.
a)
Clasificación de las rentas atendiendo: (1 punto).
La duración.
Al vencimiento de los capitales dentro de cada periodo de maduración.
b)
Una empresa inmobiliaria vende pisos cuyo precio al contado es de 250.000 euros y ofrece distintas
modalidades de pago. Un comprador se acoge a una modalidad que consiste en efectuar una
entrega inicial del 10% (25.000 euros) y el resto, a pagar durante 20 años mediante cuantías
mensuales y pospagables, que irán creciendo anualmente en progresión geométrica a razón de un
4% anual, por acomodarse mejor a las retribuciones que espera recibir en el futuro. La primera
mensualidad la pagará al mes de la firma del contrato. Sabiendo que la empresa vendedora valora
los pagos aplazados a un tanto anual efectivo del 8%, obtener razonadamente:
Mensualidad que ha de pagar el citado comprador durante el primer año (2 puntos).
Mensualidad que habría de pagar si el tanto efectivo anual fuera el 4%. (1 punto).
3.
a)
Concepto de operación financiera y características que la definen. (1 punto).
b)
Una empresa envía a descuento hoy, 5 de septiembre, una letra de cambio de nominal 15.000
euros, con vencimiento el 14 de diciembre y el banco Z le entrega una cuantía efectiva de 14.597,50
euros. La comisión de cobranza que aplica el banco es el 6‰ del nominal de la letra con un mínimo
de 8 euros y el timbre de la letra importa 67,31 euros, obtener razonadamente:
El tanto de descuento que se ha aplicado y el líquido que le queda al cliente. (1 punto).
Tanto de coste para el cliente en capitalización compuesta (TAEC). (1 punto).
Solución Septiembre 2012 – Principal
1.
a)
Teoría
b1)
135
90
210
S· 1- d·
= 20.000· 1- d·
+30.000· 1- d·
360
360
360
S = 49.805,95
S = C1 + C2 = 20.000 + 30.000 = 50.000
b2)
2.
a)
t=
C1·t1 + C2 ·t 2 20.000·90 + 30.000·210
=
= 162 días
C1 + C2
20.000 + 30.000
Teoría
20
b)
3.
a)
b)
250.000 - 25.000 = A(12·X;1,04)(12)
20
0,08
250.000 - 25.000 = A(12·X;1,04)(12)
20
0,04
0,08
= 12·X·
12·[1,081/12
=12·X·(1+0,04)-1
1,04
1,08
·
1] 1+ 0,08 -1,04
1-
0,04
12·[1,041/12 1]
n
100
-g
14.597,5 =15.000 1- d
- 0,006
360
360
L = E - T =14.597,50 - 67,31=14,530,19 €
E = N 1- d
15.000 = 14.530,19· 1+ TAEC
100/365
TAEC =
15.000
14.530,19
X = 1.365,97
X = 957,56
d = 0,075
365/100
-1= 0,123163