conoce_tu_libro.

Conoce tu libro
Tu libro Álgebra I está organizado en cuatro partes,
cada una de las cuales corresponde a un bimestre académico.
PA RT E
1
Al inicio de cada
Parte encontrarás un
texto interesante, con
datos curiosos, cuya
finalidad es mostrarte
que la matemática
está presente en
los videojuegos, los
deportes y muchas
otras actividades que
te gustan y que
disfrutas a diario.
Las partes están
organizadas en
temas en los
que trabajarás
los conceptos,
procesos y
procedimientos
numéricos,
algebraicos,
geométricos,
métricoespaciales y
estadísticos que
integran los cinco
pensamientos
matemáticos, así:
Pensamientos numérico y variacional
Tema 1
Tema 2
Tema 3
Reconocimiento de patrones
La mayoría de las personas tienen la habilidad de reconocer
patrones en la información que reciben a través de sus sentidos.
Al escuchar, tocar, ver, oler o probar algo, se extrae información
sobre las cualidades o propiedades de cada situación y, a partir
de ello, se determina por ejemplo qué sonidos, texturas,
imágenes, olores o sabores resultan más o menos agradables.
Este proceso que resulta natural para el ser humano,
es la base de nuevas tecnologías como la inteligencia artificial,
la robótica y la visión computacional. Su desarrollo se apoya
en áreas como la lógica difusa, la minería de datos, las redes
neuronales, la estadística, la geometría, la teoría del lenguaje
y la lógica simbólica, entre otros.
Los números reales ....................................................................
Operaciones con los números reales...........................................
Polinomios .................................................................................
• Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando
propiedades y relaciones de los números reales
y de las relaciones y operaciones entre ellos.
• Construyo expresiones algebraicas equivalentes
a una expresión algebraica dada.
• Utilizo la notación científica para representar medidas
de cantidades de diferentes magnitudes.
• Identifico y utilizo la potenciación, la radicación
y la logaritmación para representar situaciones
matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas.
17
27
39
Pensamientos espacial y métrico
Tema 4
Tema 5
Tema 6
Rectas paralelas intersecadas por una transversal.......................
Triángulos. .................................................................................
Teorema de Pitágoras ................................................................
• Aplico y justifico criterios de congruencia y semejanza
entre triángulos en la solución y formulación de problemas.
• Reconozco y contrasto propiedades y relaciones
geométricas utilizadas en la demostración
de teoremas básicos (Pitágoras y Tales).
47
61
75
Pensamiento aleatorio
Tema 7
Variables estadísticas ................................................................. 82
• Reconozco cómo diferentes maneras de presentación
de la información pueden originar distintas interpretaciones.
• Resuelvo y formulo problemas seleccionando información
relevante en conjuntos de datos provenientes de fuentes
diversas (prensa, revistas, televisión, experimentos,
consultas, entrevistas).
• Selecciono y uso algunos métodos estadísticos adecuados
al tipo de problema o de información y al nivel de la escala
en la que ésta se representa (nominal, ordinal, de intervalo
o de razón).
14
15
Cada grupo de pensamientos está
acompañado por los Estándares básicos
de competencias propuestos por
el MEN.
Lectura de actualidad
El patrón de proporción phi
Armonía y belleza son dos características relacionadas con el número áureo, phi, nombre
dado en honor al escultor griego Phidias, porque utilizaba dicha proporción en sus obras.
Este número se relaciona con las proporciones
perfectas de muchas formas naturales como
el caparazón de los caracoles o las partes del
cuerpo humano y otras elaboradas por el ser
humano en obras de arte, construcciones arquitectónicas y diseño de elementos cotidianos
como tarjetas bancarias, empaques, tamaño de
pantallas LCD y diseño de espacio en una página web, entre muchos otros ejemplos. Según
estudios científicos, las formas que contienen
la “Divina proporción” son percibidas por las
personas como agradables y armónicas.
Esta lectura va acompañada de
la sección Reflexiona, la cual te
propone actividades de análisis,
interpretación, consulta y opinión que
te permitirán desarrollar competencias
matemáticas como:
- Pensar y razonar (argumentar)
- Comunicar (modelar y plantear
y resolver problemas)
Reflexiona
1. Explica con un ejemplo
dónde se evidencia
el patrón de proporción
áurea.
2. Intenta registrar durante
un día algunos patrones
que logras reconocer
en el entorno. Verifica si
alguno de ellos evidencia
la proporción phi.
Comparte tu trabajo
con tus compañeros
de clase.
3. Argumenta a favor o en
contra de la siguiente
afirmación:
Phi es una de las formas
básicas en las que se
organiza el mundo
natural.
4. Observa la película
mencionada en la
lectura y prepara una
reseña de los aspectos
que te causaron mayor
interés.
Cuando una recta se divide en dos partes desiguales de manera que la proporción del segmento mayor respecto del largo total de la línea es igual a la
proporción del menor respecto del mayor, nos referimos a la razón o proporción
áurea, cuyo valor es 1,61803398... (con infinitas cifras decimales no periódicas).
a
Pensamientos
numérico y
variacional
Pensamientos
espacial y
métrico
Pensamiento
aleatorio
La Lectura de actualidad es un
texto informativo que muestra
la aplicación de la matemática
en la vida diaria. A partir de ella
podrás reconocer la importancia,
conexión y aplicación de los
temas matemáticos que vas
a estudiar en la parte.
b
a1b
Los pitagóricos descubrieron esta relación numérica en diversas formas naturales de plantas y animales. Posteriormente, muchos artistas como Miguel
Ángel, Durero y Da Vinci aplicaron estos conocimientos en sus obras de escultura o pintura. Músicos como Mozart, Beethoven, Schubert y Debussy también
aplicaron la escala musical creada por los pitagóricos en varias de sus composiciones. Leonardo Da Vinci hizo, además, un estudio muy profundo sobre la proporción áurea en el cuerpo humano a partir del cual se encontró que al dividir la
altura total y la de su ombligo se obtiene el número phi.
Algunas figuras geométricas como los pentágonos y los rectángulos áureos
contienen infinitas formas áureas del mismo tipo.
En la película Donald en el país de las matemágicas, su protagonista hace
un viaje a través de la historia para destacar la conexión de las matemáticas con
la música, el arte y deportes como el fútbol o el juego de billar y el modo de
obtener carambolas sencillas usando algunas marcas en los bordes de la mesa
de billar y empleando la suma, la resta y las fracciones simples.
De otra parte, es importante destacar que en la actualidad algunos grupos
musicales como Tool, han empleado esta proporción pitagórica para dar armonía a sus composiciones; por ejemplo, en su trabajo discográfico Lateralus,
lanzado al mercado en el año 2001.
16
- Representar y ejercitar (utilizar el
lenguaje simbólico, formal y técnico
y las operaciones matemáticas).
9
Conoce tu libro
Cada tema inicia de la siguiente manera:
Nombre de los pensamientos al
cual corresponde el tema.
Nombre del tema
Idea principal, cuyo objetivo es
ofrecerte una idea general de los
conceptos principales que vas a
abordar a partir del estudio del tema.
Vocabulario clave, listado
que destaca los conceptos más
importantes del tema. A lo largo del
desarrollo del tema encontrarás estos
términos resaltados en negrilla y en
amarillo y si lo deseas, puedes ampliar
el significado cada uno de ellos
consultándolo en el glosario.
1
Idea principal
El conjunto de los números
reales está conformado por
dos conjuntos numéricos:
los racionales e irracionales
o decimales inconmensurables.
Los números reales permiten
determinar longitudes más
exactas, entre múltiples
aplicaciones.
Vocabulario
clave
Números naturales, 17
Enteros positivos, 17
Conjunto de los enteros, 17
Números racionales, 17
Decimales finitos, 18
Decimales periódicos
o recurrentes, 18
Números irracionales, 19
Números reales, 19
Porcentaje, 20
Recta de números reales, 22
Recta numérica, 22
Recta coordenada, 22
Coordenada, 22
Menor que, 22
Mayor que, 22
Desigualdades, 23
Símbolos de desigualdad, 23
Valor absoluto, 23
Descriptor de
desempeño
Propongo y soluciono
situaciones que involucran los
números reales y las relaciones
de orden entre los mismos.
Saberes previos, sección de
exploración que indaga acerca
de tus conocimientos previos o
preconceptos del tema. Te presenta
ejercicios, problemas u otro tipo de
actividades para evaluar lo que ya
conoces y lo que necesitas saber
antes de abordar el estudio de
los conceptos del tema.
Pensamientos numérico y variacional
Los números reales
Saberes previos
1. Construye un mapa conceptual a partir de los conceptos relacionados
con las diferentes clases de decimales.
2. Analiza y responde las siguientes preguntas:
a. ¿A qué conjunto numérico pertenecen los decimales finitos
y periódicos?
b. ¿Qué números pertenecen al conjunto de los números
racionales?
c. ¿Cuál es el procedimiento para encontrar la fracción equivalente
a un número decimal finito?
Saber saber
El conjunto de los números reales está conformado por el conjunto de los números naturales, enteros, racionales e irracionales.
Recuerda que el conjunto de números naturales, o enteros positivos, se
compone de:
N = {1, 2, 3, 4, …}
N es un subconjunto del conjunto de los enteros:
El desarrollo del tema está
enmarcado dentro del Saber saber
lo cual te brinda herramientas
necesarias para aprender los
conceptos matemáticos a partir
de explicaciones que evidencian
su rigurosidad matemática y la
interrelación lógica entre ellos.
Z = {... , − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, ...}
El conjunto Z incluye tanto los enteros positivos como los negativos y el
número cero, el cual no es ni negativo ni positivo. El conjunto de enteros es un
subconjunto del conjunto de los números racionales.
Números racionales e irracionales
El conjunto de los números racionales se define como:
Q={
p
 p y q son enteros, q  0}
q
El conjunto Q está compuesto por todos los cocientes entre dos enteros,
siempre que el denominador no sea cero, por ejemplo:
2
0
1 17 10
6
= 2 5,
= 6, = 0
,
,
2 5 −2
1
8
Descriptor de desempeño, hace
referencia a lo que vas a lograr
conocer y aplicar de manera adecuada
en relación con el tema que vas
a estudiar.
17
Los números racionales e irracionales tienen múltiples aplicaciones; una de
éstas son los porcentajes que se pueden representar en forma decimal o fraccionaria. Por ejemplo:
8% equivale a los números racionales 8 ⁄ 100 ó 0,08.
En general, b% significa “b partes de 100”, y es, simplemente, otra manera
de escribir b ⁄ 100. Por ejemplo:
42% significa 42 ⁄ 100; entonces, 42% = 0,42.
De igual manera, 0,005% = 0,005 ⁄ 100 = 0,00005.
Una forma simple de convertir un número decimal a porcentaje es multiplicar el decimal por 100 escrito en forma de 100%. Por ejemplo:
0,35 3 100 = 35%
De igual manera, 0,001 = 0,001 3 100 = 0,1%
Los porcentajes se utilizan con frecuencia para describir los incrementos
o reducciones en cantidades como población, salarios y precios, entre otros.
Cuando una cantidad aumenta, el porcentaje de incremento se da por:
Paso 1.
cantidad de aumento
3 100 %
cantidad original
Asimismo, cuando una cantidad disminuye, el porcentaje de decrecimiento es dado por:
Paso 2.
cantidad de decrecimiento
3 100 %
cantidad original
Emplear porcentajes
EJEMPLO 2
Como apoyo en este proceso
de aprendizaje en cada tema se
incluyen Ejemplos, los cuales te
permiten ejercitar y aplicar lo que
estás aprendiendo. Estos ejemplos
presentan un título que muestra lo
que vas a trabajar y su respectiva
solución.
La población de un pequeño pueblo disminuyó de 1.750 a 1.700 habitantes.
¿Cuál es el porcentaje de decrecimiento?
Solución
La cantidad de decrecimiento es 1.750 2 1.700 = 50 y la cantidad original es
1.750. Utilizando el paso (2), encontramos que:
50
< 0,0285714 = 0,0285714 3 100% < 2,86%
1.750
Luego, el porcentaje de decrecimiento es de aproximadamente 2,86%.
Nota que en el ejemplo utilizamos el símbolo < en lugar del signo igual para
indicar que el número es sólo una aproximación.
20
En algunas ocasiones estos ejemplos te presentan diversas estrategias para encontrar
la solución, así:
- Ejemplo de ejercitación con solución paso a paso.
- Ejemplo de ejercitación empleando dos o más métodos.
- Ejemplo de ejercitación y representación práctica.
- Ejemplo de aplicación con estrategias de resolución de problemas.
- Ejemplo de aplicación en situaciones reales con estrategias de resolución de problemas.
10
Distancia x
Distancia x
–2 –1 0 1 2
–x
x
Unidad de longitud
Figura 1.2
Escogemos un punto sobre la recta para representar el número 0. Este punto, en particular, se llama origen. Si ahora seleccionamos un segmento de recta de longitud unitaria, como se muestra en la figura 1.2, cada número real
positivo x puede representarse por un punto a una distancia x a la derecha del
origen. De igual forma, cada número real negativo 2x puede representarse con
un punto a una distancia x hacia la izquierda del origen.
Esta asociación produce una correspondencia uno a uno entre el conjunto
de números reales y el conjunto de puntos en una recta, llamada recta de números reales, recta numérica o recta coordenada. Para cualquier punto P
dado en la recta numérica, el número p que corresponde a este punto se llama
coordenada de P.
En general, no diferenciaremos entre un punto sobre la recta numérica y su
coordenada. Así, por ejemplo, algunas veces nos referiremos al punto en la recta
de números reales con coordenada 5 como “el punto 5”.
También para reforzar tu
aprendizaje te presentamos
Tips de estudio que son consejos,
ayudas o herramientas para facilitar
la comprensión del tema. Estas
pequeñas estrategias te sugieren
cómo usar o aprender un concepto
en forma más rápida y eficiente.
Menor que y mayor que
Dos números reales a y b, a  b, pueden compararse mediante la relación de
orden menor que, representada por el símbolo ,. Decimos que:
a es menor que b si y sólo si b 2 a es positivo.
Si a es menor que b, escribimos a , b.
De forma equivalente, podemos decir que b es mayor que a y escribir
b . a. Por ejemplo:
27 , 5, ya que 5 2 (27) = 12 positivo. Podemos escribir también 5 . 27.
a<b
a
b
Figura 1.3
La recta de números reales es útil para mostrar la relación de orden menor
que. Geométricamente, a , b significa que el punto que corresponde a a en la
recta numérica se halla a la izquierda del punto b. Observa la figura 1.3.
Establecer relaciones de orden
EJEMPLO 4
Utilizando la relación de orden mayor que, compara los números reales p y
22
.
7
Solución
22
De p = 3,1415… y
= 3,1428…, se puede encontrar que:
7
Tips de estudio
El número real que
representa el opuesto
de un número se
encuentra a la misma
distancia de cero que
el número.
22
2 p = (3,1428…) 2 (3,1415…)
7
= 0,001…
Debido a que la diferencia es positiva, se concluye que:
22
.p
7
22
En la sección Conexiones te
mostramos la importancia de las
matemáticas cuyos conceptos se
constituyen en la base esencial de
otras áreas del conocimiento, tales
como: medicina, biología, ecología,
filosofía, geografía, genética,
historia, lingüística, química, física,
informática, electrónica, economía,
demografía, industria, electricidad,
geología, tecnología entre otras.
Los números irracionales son aquellos decimales con cifras decimales infinitas no periódicas; algunos de estos números corresponden a raíces cuadradas
no exactas. Por ejemplo:
3 ≈ 1, 73205… es un número que no equivale a un número decimal finito
o periódico; estos números son llamados números irracionales.
La unión del conjunto de los números racionales e irracionales forma el conjunto de los números reales. Observa la figura 1.1.
Números reales
Números
irracionales
Números racionales
Enteros
Enteros
positivos y 0
Naturales
Figura 1.1
Conexiones
Deportes
Los números reales y el atletismo
Los números reales han sido empleados en el deporte desde hace mucho tiempo y, especialmente, en el siglo XX
para realizar cálculos y mediciones más exactas que las realizadas hasta el momento; esto hizo que científicos
de todo el mundo se concentraran en la creación de instrumentos de precisión que utilizaran como parámetro
de medida a los números reales. De manera particular, se inventaron los relojes digitales y los cronómetros que
emplean este tipo de números para determinar con más exactitud el tiempo transcurrido en una competencia
o el que se toma un deportista en superar una prueba, como aquellas que tienen que ver con algunas pruebas
en el atletismo, la natación, el ciclismo, la equitación, el triatlón, entre otras.
De la misma manera como es importante la lectura de los números expresados en el reloj o en el cronómetro
digital, también es importante realizar de forma adecuada las conversiones necesarias para evitar inconvenientes a los deportistas y a la disciplina en general. Uno de estos errores ocurrió, por ejemplo, en los campeonatos
mundiales de atletismo que se llevaron a cabo en Doha, Qatar, en mayo de 2006, cuando Justin Gatlin corrió
los 100 metros planos en apenas 9,766 segundos; con ello logró montarse en lo más alto del podio e igualó el
récord mundial impuesto un año atrás por el jamaiquino Asafa Powell. Pero la empresa relojera suiza responsable de la lectura del cronómetro en las competencias de ese año, cometió un error al aproximar el tiempo a 9,76
segundos y no a 9,77, como está previsto en los reglamentos de la disciplina. Este error hizo que una semana
después de la competencia se citara a una nueva contienda deportiva. Anular el récord tuvo como consecuencia
que Gatlin devolviera su premio de 100.000 dólares más los 30.000 dólares adicionales que le había otorgado
la Federación de Atletismo de Qatar.
✓ Comprensión de la lectura
1. ¿Qué tipos de números emplean los relojes digitales?
2. ¿Cuál es la manera apropiada para aproximar un número decimal?
3. En pesos colombianos, ¿cuánto dinero perdió Gatlin?
19
Nota que 5 • 4 • 3 es lo mismo que
5
•
4
•
3
•
2
•
1
2
•
1
Esta sección está acompañada de
una Comprensión de la lectura
a partir de la cual desarrollarás
competencias comunicativas que
te facilitarán la interpretación
y comprensión del contenido
del texto.
. Esta relación se expresa
en la siguiente fórmula de permutación:
Tips de estudio
En Personajes y contextos,
encontrarás una descripción de
un personajes o un contexto
matemáticos cuyos datos históricos
y aportes más significativos dan
cuenta de la evolución de la
matemática y su aporte a los avances
tecnológicos de la humanidad.
Notación.
El número de
permutaciones P (n, r)
de n objetos tomados
de r, también se puede
escribir como nPr.
El número de permutaciones de n objetos tomados de r en un tiempo es el
cociente de n! y (n  r)!
P(n, r) 
n!
(n − r )!
La clave para calcular una permutación es determinar la población n y la
muestra r.
EJEMPLO 4
Usar la fórmula de una permutación
Un bibliotecario quiere colocar 6 de 10 libros en un estante de un escaparate.
¿De cuántas maneras se pueden arreglar los libros en este caso?
Solución
n!
P (n, r) = n − r !
( )
P (10, 6) =
=
=
Usa la fórmula de la permutación.
10!
n =10 y r = 5.
(10 − 6)!
10!
4!
10
•
Simplifica.
9
•
8
•
7• 6•5• 4
4 • 3• 2•1
•
3
•
2
= 151.200
•
1
Divide entre factores iguales.
Simplifica.
Hay 151.200 formas diferentes para que el bibliotecario pueda arreglar los libros
sin repetir ninguno.
Personajes y contextos
José Rafael León (1951)
Matemático e investigador venezolano que nació en Maracay. Realizó sus estudios de
licenciatura en matemáticas en la Universidad de los Andes (1975) y obtuvo su doctorado
en la misma disciplina en la Universidad Central de Venezuela (1983). En la actualidad
es profesor titular de esta última universidad. En 1997 alcanzó el premio Lorenzo Mendoza
Fleury por utilizar procesos aleatorios, técnicas de conteo y funciones que dependen del azar,
para realizar modelos de la superficie del mar.
El profesor León es un especialista reconocido en el campo de la probabilidad
y la estadística matemática. Sus contribuciones se relacionan con el estudio fino de procesos
gaussianos y procesos empíricos; así como también en procesos aleatorios relacionados
con el estudio de la altura de una boya fija en un lugar de la superficie marina, descubriendo
que la altura varía a lo largo del tiempo y que no se puede predecir con exactitud la altura
de la boya en un instante del futuro; luego, la altura depende del azar.
314
11
Conoce tu libro
Al finalizar el desarrollo de cada tema te
presentamos la sección Comprueba tu
progreso, la cual está enmarcada dentro
de tres etapas que fortalecen tu aprendizaje
significativo:
Saber saber, allí encontrarás ejercicios para
desarrollar a partir de la teoría aprendida.
Saber hacer, allí te proponemos ejercicios
para desarrollar las habilidades
y competencias matemáticas.
Saber hacer en contexto, allí te
proponemos problemas contextualizados,
es decir de conexiones y aplicaciones dentro
y fuera de las matemáticas.
Los ejercicios y problemas propuestos tienen
como finalidad desarrollar tus procesos
matemáticos.
Matemática, tecnología,
sociedad y ambiente
El patronaje en la industria de las confecciones
A escala mundial, la industria de las confecciones es
de suma importancia pues suple una necesidad básica de las personas, como lo es el vestido y se relaciona íntimamente con la industria textil y el diseño de
modas y accesorios. A diferencia de la confección de
ropa sobre medidas, que hacen la mayoría de sastres
y modistas para una persona en particular, la producción industrial de ropa utiliza moldes o patrones
que se ajustan a las medidas estándar de los usuarios. Para la elaboración de estos moldes, los patronistas parten del conocimiento de las proporciones
del cuerpo humano. Una proporción es una medida
que nos sirve de orientación para que las modificaciones hechas en los patrones sean lo más estéticas
posible, basadas en la divina proporción.
Por ejemplo, para elaborar el patrón de una falda
en papel, se deben considerar cuatro medidas básicas: largo de la falda, contorno de la cintura, contorno de la cadera y ancho de la falda. Los contornos
de la cintura y la cadera se miden rodeando la parte
más ancha con la cinta métrica. La cinta debe estar
apenas lo suficientemente floja para que se deslice.
Luego, se hace un rectángulo sobre papel de molde
con el largo de la falda más cuatro centímetros para
el dobladillo y el ancho igual a la cuarta parte de la
medida de la cadera media más 2 cm para costuras.
Sobre el triángulo, se marcan las siguientes medidas:
• La cadera alta corresponde a la cuarta parte del
ancho de espalda.
• La cadera media corresponde a la mitad del ancho de espalda.
• La cadera baja corresponde al ancho de espalda.
Actualmente, existen softwares especializados
para el diseño de modas y el patronaje industrial,
así como para las transformaciones, escalados y obtención de tallas, los cuales contribuyen a garantizar
la competitividad de los fabricantes en un mercado
cada vez más globalizado.
Los beneficios sociales de la industria del patronaje se enfocan hacia la facilidad de acceso de las
personas a prendas de vestir bien confeccionadas,
en tejidos y diseños variados y en la talla y precios
que más se ajustan a sus necesidades.
Respecto al impacto ambiental del proceso de
producción de ropa en general, se observan mayores
problemas en las etapas iniciales del proceso. Una
vez se cosechan, las fibras naturales como el algodón
y la lana deben ser liberadas de sustancias extrañas
e impurezas para poderlas hilar. También deben ser
sometidas a procesos de blanqueo, tinte, estampado y acabado que requieren grandes cantidades de
agua y, en menor medida, disolventes como gas de
amoníaco licuado y otros químicos como colorantes
y agentes auxiliares, los cuales generan aguas residuales, que exigen implementar complejas instalaciones depuradoras en las industrias. De otra parte,
el esfuerzo mecánico durante diferentes fases de la
producción libera polvo y genera mucho ruido que
se convierte en otras formas de contaminación para
las cuales aún no existen soluciones óptimas.
Descubre el aporte matemático
1. Con base en la información de la lectura,
elabora el molde de una falda para una mujer
de tu familia. Luego, escribe un informe breve
sobre las dificultades que tuviste y la forma
de resolverlas, así como los aciertos de esta
experiencia.
2. Describe la relación costo-calidad de algunas
prendas de vestir con argumentos sólidos que
respalden tus afirmaciones.
3. Indaga cómo se aplica el sistema de patronaje
en el calzado u otro producto de uso cotidiano
y los beneficios personales y sociales de esta
dinámica de producción.
Comprueba tu progreso
En los ejercicios 39 a 50, escribe cada polinomio en
forma estándar. Identifica el coeficiente principal.
Razonar
En los ejercicios 1 a 16, determina si la expresión
es un polinomio. Si lo es, clasifica cada polinomio
como monomio, binomio o trinomio.
1.
7ab + 6b2 − 2a3
2. 2 y − 5 + 3 y 2
3.
3x 2
4.
+ 6q
6. 5q
7.
5y 3
+ 4x
x2
8. 21
9.
c 4 − 2c 2 + 1
10. d + 3d −c
2
4
41. 4 z − 2z − 5z
3
44. 8 y + 7 y
2
45. 4 − 3c − 5c
3
11. a − a
12. 5n + nq
2
13. 5 x y + 3 xy − 7
14. 0
5
− k2y
k
3
2
40. −y + 3 y − 3 y + 2
2
43. 5 x − 2 + 3 x
−4
5m2 p3 + 6
2
5
39. 2 x − 12 + 3 x
3
2
42. 2a + 4a − 5a − 1
4m
3p
5.
15.
5
3
58. −6 x + x + 4 x − 20
Comunicar
Saber saber
4
2
46. −4d + 1− d
3
1
x − 3x 4 + 7
2
2
6
50. −9b + 10b − b
49.
En los ejercicios 17 a 38, determina el grado de
cada polinomio:
3
17. −3
18. 6 p − p
19. −7z
20.
2
21. 12 − 7q t + 8r
4
3
4
2 5
22. 2a b + 5 − ab
3
2 2
23. 6df + 3d f + 2d + 1
2 3
2
2
Saber hacer
Resolver problemas
Modelar
En los ejercicios 63 a 66, usa la representación
gráfica mediante fichas algebraicas para
representar cada polinomio.
a. ¿Cuántos estudiantes se matricularon en el
año 2003?
64. 3 x − 5
b. ¿Cuántos estudiantes se matricularon en el
año 2005?
65. 2 x 2 − 3 x
66. x 2 + 2 x + 1
En los ejercicios 67 a 70, escribe una expresión
algebraica para cada modelo presentado.
67.
x2
x2
–x2
–x2
52. x 3 − x 2 + x − 1
26. 3 x − 8
27. −4
28. 17g2h
4
2
29. 10 + 2cd − 6d g
2 2
3
4
30. 2z y − 7 + 5 y w
31. a + 5c
3
32. 14abcd − 6d
x2 x 1
− +
3
2 5
36.
37. −6
2 3
3 2
38. a b − a b
a. ¿Cuál es la altura del fuego artificial luego
de 3 segundos?
–x –x –x –x –x
b. ¿Cuál es la altura del fuego artificial luego
de 5 segundos?
–x2
x
x
79. Una tienda de helados de crema quiere cambiar
el tamaño de su cono.
a. Si el volumen de un cono es el producto de
1
, p, el cuadrado del radio r y la altura
3
69.
–x2
x
x
x
x
h, escribe un polinomio que represente el
volumen.
–1 –1
b. ¿Cuál será el volumen de un cono cuyo
radio es 1,5 decímetros y su altura es de 4
decímetros?
70.
x2
2
53. 2a + 3ax − 4ax
–x
1
1
1
1
1
1
c. Si el volumen de un cono es de 63 decímetros
cúbicos y su radio es de 3 decímetros, ¿cuál
es la altura del cono?
54. −5bx 3 − 2bx + 4 x 2 − b3
55. x 8 + 2 x 2 − x 6 + 1
56. cdx 2 − c 2d 2 x + d 3
34. 10
35. −4h5
78. Un fuego artificial es puesto en marcha dos
decímetros desde el suelo a una velocidad de
150 decímetros por segundo. La altura H de un
fuego artificial está modelada por la ecuación
H = 2 16t 2 1 150t 1 2, donde t es el tiempo en
segundos.
68.
1
En los ejercicios 51 a 56, escribe los términos de
cada polinomio de manera ascendente con respecto
a x.
77. Supón que el número N (en centenas) proyecta
las matrículas de estudiantes en un colegio de
bachillerato desde el año 1998 hasta el año
2007, lo cual es modelado por la ecuación
N = t 2 1 1,5t 1 0,5, donde t es el número de
años desde 1998.
63. −4 x 2
Ejercitar
3
25. 13 − 4ab + 5a3b
a3
4
1 2 3
2
s x + 4x 4 − s4 x 2
3
5
51. 2 x 2 − 3 x + 4 x 3 − x 5
3
24. 9hjk − 4h j + 5 j k − h k
33.
Saber hacer en contexto
61. 3ax 2 − 6a2 x 3 + 7a3 − 8 x
62.
En los ejercicios 57 a 62, escribe los términos de
cada polinomio de manera descendente con
respecto a x.
57. 5 x 2 − 3 x 3 + 7 + 2 x
n 2
+ n
3 3
u
+ u2
2
76. 2u +
2
5
47. 11t + 2t − 3 + t
3
48. 2 + r − r
2
16. 3a x − 5a
75. n +
2
3 2
59. 5b + b x + bx
3
60. 21p2 x + 3px 3 + p4
Ejercitar
En los ejercicios 71 a 76, simplifica cada expresión.
80. Escribe dos expresiones para el perímetro y el
área del siguiente rectángulo:
71. 7b2 + 14b − 10b
4x2 + 2x – 1
72. 5t + 12t 2 − 8t
73. 3 y 4 + 2 y 4 + 2 y 5
5
5
74. 7h − 7 j + 8k
2x2 – x + 3
5
44
45
Al final de cada parte se presentan
las siguientes lecturas:
Matemática, tecnología, sociedad
y ambiente, cuya finalidad es que
reconozcas la importancia, el impacto y
el aporte de la matemática en los avances
tecnológicos, así como también que
reflexiones acerca del compromiso con
el desarrollo de la sociedad y el cuidado
del medio ambiente. Esta lectura está
acompañada de la sección Descubre
el aporte matemático la cual incluye
preguntas o actividades que desarrollan
procesos matemáticos y permiten
evidenciar cuál fue el aporte de la
matemática en el tema de la lectura.
88
Conoce tu país, cuya finalidad es mostrarte
aspectos de nuestro patrimonio cultural,
riquezas naturales, biodiversidad, avances
tecnológicos, talentos humanos, sitios turísticos,
industrias destacadas, investigaciones científicas,
potencialidades económicas, entre otras.
Esta lectura está acompañada de la sección
Competencias ciudadanas, cuyas preguntas
o actividades pretenden generar sentido patrio
y conciencia ciudadana respondiendo a los tres
niveles de competencia ciudadana propuesta
por el MEN:
- Convivencia y paz,
- Participación y responsabilidad democrática
- Pluralidad, identidad y valoración de
las diferencias
Sistemas de automatización visual en Colombia
Con la globalización, diferentes sectores de la industria, representados en empresas nacionales y
multinacionales, han tenido que automatizar sus
procesos y equipos industriales para responder a los
estándares o patrones de calidad internacionales.
Muchas industrias de productos masivos como
las bebidas refrescantes y los productos lácteos, así
como la industria farmacéutica, utilizan sistemas de
visión artificial durante su envasado o clasificación
por sabores, tamaños u otros parámetros. La industria automotriz también utiliza sistemas de inspección visual de soldadura y pintura que permiten una
óptima calidad de terminado. Las industrias de vidrio
y papel también han implementado estos sistemas
de inspección visual automatizada para hacer la inspección de las superficies y detectar imperfecciones
al máximo. Además, mucho más cerca del entorno
cotidiano, se ha extendido el uso de dispositivos de
vigilancia en los conjuntos residenciales y oficinas
para reforzar la seguridad.
Respecto al uso de la visión artificial en la tecnología médica, se destaca la adquisición reciente
del equipo de cirugía robótica Da Vinci en la Clínica
Marly, el cual permitirá a los médicos realizar cirugías
de urología, ginecología, cardiovasculares, bariátrica
y laparoscópicas avanzadas. Este equipo consta de
una consola de operación, desde la cual el cirujano controla los movimientos de un brazo robótico
que accede con mucha precisión a órganos, tejidos
y nervios. Los beneficios para los pacientes son entre
otros: cirugía menos traumática, menor sangrado
durante la operación y menor dolor postoperatorio,
así como un tiempo de recuperación más corto.
Competencias ciudadanas
En cuanto al desarrollo de sistemas biométricos
que se apoyan en la visión artificial, es importante resaltar el logro de la Registraduría Nacional del
Estado Civil, que pasó de los sistemas decadactilares
manuales a un sistema automático. Otras categorías
biométricas que son objeto de análisis en esta institución son: geometría facial y de la mano, escaneo
de retina y de iris, verificación de voz y de firma.
Todas ellas son consideradas parte de la seguridad
biométrica y su implementación exige una alta inversión del Estado y de otras entidades.
1. ¿Cuál de las aplicaciones de visión artificial o
automatización visual mencionadas en la lectura
crees que ofrece una mayor contribución a la
convivencia y paz del país?
2. Revisa algunos aspectos del curso virtual
de biometría ofrecido por la Registraduría
Nacional del Estado Civil en www.escuelavirtual.
registraduria.gov.co. Luego, describe la
importancia de implementar este recurso de
identificación personal en el país y su posible
efecto sobre la vida personal y social.
3. Elabora una cartelera sobre una de las
aplicaciones de la visión artificial mencionadas
en la lectura y un ejemplo de la industria
colombiana que la utiliza.
183
12
Carreras afines con la
matemática, cuya finalidad
es darte a conocer las carreras
profesionales, tecnológicas
o técnicas que tienen mayor
aplicación de las matemáticas,
describiendo cómo se
pueden desempeñar social
y laboralmente las personas
que se deciden a ejercerlas y
destacando las competencias
laborales que requiere cada una
de ellas. Asimismo, se incluyen
las oportunidades laborales que
se pueden tener dentro o fuera
del país para desempeñar estas
carreras.
Carreras afines con la matemática
Experto en administración y seguridad de redes informáticas
En torno a los temas de rompimiento de códigos de
seguridad, ataques de hackers y ciber crímenes, se
ha incrementado el requerimiento de administradores de redes, expertos en seguridad y especialistas
en informática forense, tanto a nivel gubernamental como de la empresa privada. Los riesgos de navegación en Internet, exigen nuestra participación
activa para enfrentar los actos ilegales que se han
realizado a través de la red como la malversación de
fondos, narcotráfico, terrorismo, pornografía, etc.
Actualmente no hay tantos profesionales en estas
áreas como se requiere y por eso resulta una alternativa con muchas oportunidades de acción laboral
en los próximos años.
Esta labor exige la actualización permanente, conforme a los cambios de la tecnología de la información
para identificar vulnerabilidades, amenazas, riesgos,
delitos informáticos y garantizar certificaciones en
seguridad, con base en la evaluación de los sistemas
de seguridad existentes, programas de control de la
seguridad y pruebas de integridad de sistemas.
• Diseñar sistemas de acceso a la información y registros de auditoría.
• Elaborar rutinas para automatizar la administración de la red.
• Crear políticas de seguridad para una estructura
computacional.
• Aplicar herramientas de software para servicios
de Intranet / Internet.
• Aplicar teorías y técnicas para resolver problemas
que implican alta responsabilidad y autonomía.
• Aplicar principios fundamentales y técnicas complejas de seguridad para realizar análisis y diagnósticos constantes.
• Diseñar, planificar y evaluar proyectos de seguridad informática.
Oportunidades laborales
Competencias laborales
El experto en seguridad de redes informáticas debe
desarrollar competencias para:
El administrador de redes computacionales tiene un
amplio campo de acción en actividades relacionadas con la configuración de servicios integrados de
red, monitoreo, administración y mantenimiento de
sistemas computacionales, además de técnicas de
cableado estructurado y certificación de redes.
249
Evaluación
factorización de la anterior expresión es:
a. −(t − 1)(5t + 1)
Prepárate para la prueba saber
Preguntas de selección múltiple
con única respuesta
Selecciona la respuesta adecuada para cada
enunciado.
Responde las preguntas 1 a 10 con base en la
siguiente información:
Observación
Expresión
Energía de un objeto
en movimiento
900m − mv 2
m : masa
v : velocidad
Velocidad
(en centímetros
por segundo) de la
sangre en una arteria
CR 2 − Cr 2
C : cantidad de
sangre
que fluye
R : radio mayor
de la arteria
r : radio menor
de la arteria
Altura de un objeto
en un tiempo t
después de dejarlo
caer libremente
t : tiempo
−5t 2 + v 0t + x0 v0 : velocidad inicial
x0 : posición inicial
Deflexión de un haz
a una distancia de x
pies de su extremo
b. −(2t − 2)(5t + 1)
m ( 450 − v )( 450 + v )
c.
(t − 2)(5t + 1)
d.
m (30 − v )(30 + v )
d.
(t − 1)(5t + 1)
2L − 3 xL + x
2
L : longitud del haz
x : distancia (en pies)
del extremo
c. 628 cm3
a.
b.
(CR − r )(CR + r )
C (R − r )(R + r )
c. C (R2 − r 2 )
d. C (R − r )(R − r )
5. La expresión que indica la altura de un objeto
que se ha dejado caer desde una altura de 10
metros y con una velocidad inicial de 5 metros
por segundo es:
b.
2L2 − 30L + 25
c. −5t 2 + 5t + 10
d.
2
2L − 15L + 100
6. Al factorizar, ¿cuál expresión requiere siempre
del algoritmo de factorización de trinomios de
la forma ax 2  bx  c ?
a. Energía de un objeto en movimiento.
c. Altura de un objeto que cae libremente.
d. Deflexión de un haz.
c. v 2
d. mv
m (900 − v 2 )
a. 62,8 dm3
b. 2
d. El factor común y la factorización de una
diferencia de cuadrados.
b. 900
d. No posee vértices.
a. 1/5
b. Velocidad de la sangre en una arteria.
2. La factorización de la expresión 900 m-mv2 es:
c. Tiene un sólido platónico.
12. El volumen de la parte cilíndrica es:
b. El factor común y la factorización de una
diferencia de cubos.
4. La factorización de la anterior expresión es:
a. m
b. Posee dos aristas.
8. Tomando en cuenta la anterior factorización,
encuentra después de cuántos segundos la
pelota alcanza el suelo, si 5t2  4t  1  0:
a. El factor común únicamente.
a. −5t 2 + 10t + 5
2
a. Utiliza un poliedro.
b. 251,2 dm3
c. La factorización de una diferencia de
cuadrados y del trinomio de la forma
x 2 + bx + c .
Magnitudes
1. El factor común de la expresión utilizada para la
energía de un objeto en movimiento es:
a.
mv (900 − v )
c.
3. Al factorizar la expresión que nos permite hallar
la velocidad de la sangre en una arteria se
utiliza:
Mediciones algebraicas
La física es una ciencia fundamental relacionada
con la comprensión de los fenómenos naturales
que ocurren en nuestro universo. Su principal
objetivo es utilizar las leyes que gobiernan los
fenómenos naturales para desarrollar teorías
que puedan predecir los resultados de futuros
experimentos. Algunas de estas observaciones
se ven reflejadas en la siguiente tabla:
b.
11. Con respecto al sólido que forma el zafacón
puedo afirmar que:
7. Se ha lanzado una pelota con una velocidad
inicial de 4 metros por segundo. Si se suelta a
1 metro sobre la tierra, la altura después de
t segundos está dada por 5t 2  4t  1. La
250
d. 25,1 cm3
c. 1
13. ¿Cuál es el volumen de la semiesfera?
d. 2/5
9. La deflexión de un haz a una distancia de 3 pies
de su extremo está dado por 2L2  9L  9. Al
factorizar esta expresión obtenemos:
a.
b.
c.
d.
(2L − 3)(2L − 3)
(L − 5)(2L − 3)
(L − 3)(3L − 2)
(L − 3)(2L − 3)
x (L − 1)(2L − 1)
b.
(L − x )(2L − x )
(L − x )(2L + x )
(L − 2x )(2L − 1)
c.
d.
b. 1.674,7 dm3
c. 267.946,7 cm3
d. 268 cm3
14. El volumen total del zafacón es:
a. 1.925,9 dm3
b. 79,6 dm3
10. La factorización de 2L2  3xL  x2 es:
a.
a. 16,8 dm3
c. 268.574,7 cm3
d. 293,1 cm3
15. La vista desde arriba de este sólido es:
a.
Responde las preguntas 11 a 17 con base en la
siguiente información:
b.
Zafacones
Uno de los recipientes más
comunes para la recolección
de basuras son los zafacones.
Su volumen consiste en dos
partes: el fondo cilíndrico
(en el caso de la figura,
con un diámetro de 40 cm
y una altura de 50 cm)
y la semiesfera.
c.
d.
Para los ejercicios utiliza 3,14 para  y aproxima
tu respuesta a la décima más cercana.
251
3. Arrastra cada número hasta el punto
que le corresponda en la recta numérica.
–2
4,5
– 17
– 37
0
– 5
5
37
26
2,25
7
–
3
3
–2
4,5
– 17
– 37
0
–2
––25
4,5
5
4,5
– 17
–3717
– 37
0
–2637
2,25
0
– 5 –2
5 4,5 ––7 5
3
37 – 17 3 5
26 – 37 37
2,25 0
26
7 – 5 2,25
–
3 5
7
–
3
3
37 3
26
2,25
7
–
3
3
–2
4,5
–2
4,5 –2 – 17
– 17 4,5 – 37
0
– 37 – 17
–2
– 5
0
– 37
4,5
–2
5
– 5 0
4,5 – 17
5 – 5 37
– 17 – 37
26
37 5
– 37 0
2,25
26 37 7
0
– 5
2,25 26 – 3
– 5
5
7 2,25 3
5
37 – 3
7
–
37
26 3
3
26 2,25
3
2,25 – 7
3
7
–
3
3
3
Cada parte presenta una Evaluación,
la cual cumple los requerimientos
del MEN y tiene como propósito
contribuir a que seas capaz de “saber
y saber hacer en Matemáticas”.
Asimismo esta evaluación pretende
ser un instrumento que permita hacer
seguimiento a tu proceso
de aprendizaje y facilitar el análisis
de los resultados para poder realizar
e implementar estrategias de
mejoramiento y así transformar o
reformar los procedimientos
y herramientas dentro y fuera
del salón de clases.
En la evaluación podrás encontrar
los siguientes tipos de pruebas:
Prepárate para la Prueba Saber
Relaciona tesis-hipótesis
Representa y aplica conceptos
Argumenta tus respuestas
Realiza representaciones múltiples
Tu libro Álgebra I está acompañado
de un CD interactivo de actividades
variadas e interesantes que te
permitirá reforzar los conceptos
estudiados en cada tema a partir
de la lúdica.
13