Formulario Estadıstica de Relaciones Laborales • Mediana (caso

Formulario Estadı́stica de Relaciones Laborales
• Mediana (caso continuo): M e = ei−1 +
• Moda (caso continuo): M o = ei−1 +
k
X
• Media (caso continuo): x̄ =
(hi − hi−1 )
(ei − ei−1 ).
(hi − hi+1 ) + (hi − hi−1 )
fi xi =
i=1
• Percentil: Pα = ei−1 +
(N/2 − Ni−1 )
ai .
(Ni − Ni−1 )
k
1 X
ni xi .
N i=1
α
100
− Ni−1 )
(N
ai .
(Ni − Ni−1 )
• Percentil inverso: y −1 = Ni−1 +
• Varianza: V ar(x) = σ 2 =
k
X
(x − ei−1 )(Ni − Ni−1 )
.
ai
fi (xi − x̄)2 =
k
X
ni x2
i
i=1
s
• Desviación tı́pica: σ =
k
P
N
i=1
fi (xi − x̄)2 =
√
− x̄2 .
σ2 .
i=1
• Coeficiente de variación: C.V. =
σ
|x̄| .
k
P
• Momento de orden h respecto al origen: ah =
i=1
• Momento centrado de orden h: mh =
k
P
i=1
k−1
X
• Índice de Gini: Ig =
k−1
X
(Fi − qi )
i=1
k−1
X
ni
N (xi
=1−
Fi
i=1
i=1
k−1
X
ni h
N xi .
− x̄)h .
qi
i
donde qi =
Fi
X
Ti
yTi =
nj xj .
T
j=1
i=1
• Independencia: X e Y son independientes =⇒ fi/j = fi• ∀ i. Es decir, X e Y son independientes si y
n n
solamente si nij = i•N •j .
• Covarianza:
q
p X
X
fij xi yj − x̄ȳ.
i=1 j=1
• Estadı́stico de la χ2 : χ2 =
X (tij − nij )2
ni• n•j
.
con tij =
tij
N
i,j
• Recta de Y sobre X (Y /X): Y = a + bX:
Cov(XY )
V ar(X)
b=
a = ȳ − bx̄.
• Recta de X sobre Y (X/Y ): X = a0 + b0 Y :
b0 =
Cov(XY )
V ar(Y )
• Coeficiente de correlación lineal de Pearson: r = √
• Coeficiente de determinación: R2 =
VE
V (Y )
=
a0 = x̄ − b0 ȳ.
Cov(XY )
√
V ar(X)
P
fij (ŷi −ȳ)2
P ij
2
f
ij ij (yj −ȳ)
V ar(y)
=
V (Y )−V R
V (Y )
con − 1 < r < 1.
= 1−
VR
V (Y )
R2 ∈ [0, 1]. En el
caso lineal R2 = r2 .
• Índice elemental de la magnitud X en el periodo t respecto del 0: It/0 (x) =
xt
x0 .
• Propiedad circular de los ı́ndices: Sea t0 un instante dado, t el periodo corriente y 0 el periodo base, se
I
verifica que: It/t0 = I t/0
⇔ It/0 = It/t0 It0 /0 .
0
t /0
• Índice de Laspeyres de Precios: L1/0 (P ) =
P
P pi1 qi0 .
pi0 qi0
• Índice de Laspeyres de Cantidades: L1/0 (Q) =
P
P pi0 qi1 .
pi0 qi0
P
P pi1 qi1 .
pi0 qi1
P
qi1
.
P1/0 (Q) = P ppi1
i1 qi0
• Índice de Paasche de Precios: P1/0 (P ) =
• Índice de Paasche de Cantidades:
• Probabilidad:
– Leyes de Morgan: A ∪ B = Ā ∩ B̄
y
A ∩ B = Ā ∪ B̄
– Si A ∈ A, entonces P (A) = 1 − P (Ā)
– La probabilidad del conjunto vacı́o es 0, P (∅) = 0.
– Sean A y B ∈ A, entonces P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
– Regla de Laplace: P (A) = casos favorables .
casos posibles
– Dado un suceso B con probabilidad no nula, se llama probabilidad de A condicionado a B a la
probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B, y se calcula como: P (A/B) = P P(A∩B)
(B) .
Pn
– Teorema de la probabilidad total: en las condiciones del teorema se verifica que P (B) = i=1 P (B/Ai )P (Ai ).
– Teorema de Bayes: en las condiciones del teorema se verifica que P (Ai /B) =
PnP (Ai )P (B/Ai )
.
j=1 P (Aj )P (B/Aj )
• Variable Aleatoria:
∞
P
– Esperanza matemática: E[X] =
xi pi
i=1
h
2 i
– Varianza V ar(X) = E X − E[X]
= E[X 2 ] − E[X]2
• Distribuciones:
Bernoilli(p); P [exito] = p y P [f racaso] = q = 1 − p
n
n!
px (1 − p)n−x x =
– Distribución binomial: X
B(n, p), P [X = x] =
px (1 − p)x = x!(n−x)!
x
0, 1, . . . , n. Propiedades: µ = E[X] = np; σ 2 = V ar[X] = npq
x
P
k
– Distribución de Poisson: X
P (λ), P [X ≤ x] =
e−λ λk! . Propiedades µ = E[X] = λ;
– Distribución de Bernoilli: X
k=1
σ 2 = V ar[X] = λ.
– Normal: X
N (µ, σ) si y solamente si su función de densidad es: f (x/µ, σ) =
A la variable Z =
X−µ
σ ,
la cuál es Z
√1
2πσ
h
exp − 12
x−µ 2
σ
N (0, 1) se le denomina Normal tipificada.
• Aproximaciones:
1. Aproximación de una distribución Binomial mediante una distribución de Poisson: sea X
B(n, p) verificando que np < 5 o que n > 50 y p < 0.1; se puede realizar la siguiente aproximación
B(n, p) ' P (λ = np).
2. Aproximación de una distribución Binomial mediante una distribución Normal: sea X
B(n, p)
cuando np > 5 y p > 0.1 o np > 5 y n < 50; se puede realizar la siguiente aproximación
√
B(n, p) ' N np; npq . En este caso para calcular probabilidades puntuales hay que realizar
una corrección por continuidad.
• Estadı́sticos de contraste:
1. Sea X una v.a. proveniente de una población normal de media µ y varianza σ 2 , es decir, X
N (µ, σ), en donde tomamos una muestra aleatoria simple x1 , . . . , xn ;
(a) x̄
N µ; √σn
x̄ − µ
(b) T = √
tn−1
s/ n
(n − 1)s2
nσ̂ 2
(c)
=
χ2n−1
σ2
σ2
n (x − µ)2
P
i
(d)
χ2n
σ2
i=1
2. Sea X proveniente de una población binomial, X
B(n, p), con p desconocido, y sea un muestreo
aleatorio simple x1 , . . . , xn , tal que la proporción p̂ de la muestra será p̂ = nx con x el numero de
éxitos en la muestra, de tal manera que:
x
p̂ =
n
r pq
N p;
n
i
.