La aceleración de la gravedad obtenida a través del péndulo simple

Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce
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La aceleración de la gravedad obtenida a través del péndulo simple.
Un estudio experimental en el laboratorio de física.
Por: Carlos Malagón y Orlando Planchart
Universidad Interamericana de Puerto Rico en el Recinto de Ponce
Introducción
Los cursos de Física de secundaria y de niveles básicos universitarios son apropiados para
fomentar ambientes de modelación y simulación. La física por su ontogénesis genera
posibilidades para la construcción experimental de conocimiento tanto físico como para la
aplicación matemática. Es decir, es un buen recurso para desarrollar la matemática en contexto.
Hasta hace poco tiempo los procesos experimentales incluían en su mayoría instrumentos
manuales para realizar las actividades, entre ellos pesas, resortes, reglas, cronómetro, etc. Es
evidente que se han producido cambios en este campo de la enseñanza. La tecnología ha
impactado de manera notable los laboratorios de física. Ahora es posible “producir” situaciones
físicas, simular los fenómenos, recoger datos, graficar y proporcionar una expresión simbólica
algebraica con medios tecnológicos como las calculadoras gráficas, las computadoras, los
censores, las interfaces (VERNIER, CBL) los programas (Logger Pro, Data Studio, Physics, etc.) con
los cuales se pueden trasladar situaciones físicas al medio electrónico computarizado para su
análisis matemático.
Todas estas herramientas pueden fomentar la creación de los laboratorios virtuales que
pueden ser elementos importantes para los cursos de física y otras áreas. Con estas “ayudas” le
resta al estudiante aportar cuestiones importantes como la capacidad de leer las gráficas,
relacionarlas e interpretar el fenómeno en su totalidad. Es decir, que creado este ambiente
donde se relacionan diferentes medios tecnológicos que a su vez producen distintas
representaciones de los objetos físicos y matemático. En este proceso es favorable para
la obtención del conocimiento conceptual por parte del estudiante. En el diagrama 1 se presenta
a grosso modo tres fases del proceso de modelación y como se relacionan estas tres fases. Se
observa en este diagrama que el fenómeno físico es el punto de partida, se indica que puede
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dirigirse directamente a la modelación o pasar primero por un proceso de análisis como resultado
de la obtención de datos, selección de variables y conjeturas. El proceso de análisis y la
interpretación conducirá a la modelación expresada como graficas y ecuaciones experimentales
obtenidas en el experimento.
Este estudio consistió en elaborar un experimento que relacionará las variables como el
periodo y la longitud con la aceleración de la gravedad. Se enmarcó en los siguientes objetivos:
a) Hallar experimentalmente la aceleración de gravedad a través del péndulo simple y b)
comparar la ecuación teórica con la ecuación experimental para observar la motivación y los
grados de dificultad en que incurrían los estudiantes en este proceso de enseñanza aprendizaje
en este ambiente tecnológico.
En este experimento, se utilizaron instrumentos manuales y otros medios tecnológicos que
permitieron llevar el proceso más dinámico. El período del péndulo fue medido con el uso de un
foto censor y con la ayuda de una interfase y un programa de computadora se recogieron los
datos y se analizaron mediante una hoja electrónica donde los datos se graficaron y se hizo una
regresión sobre los mismos, para luego obtener una ecuación lineal. El salón fue dividido en tres
estaciones lo que permitió comparar y llegar a un valor promedio para el periodo de oscilación
del péndulo simple.
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Este proceso semi-manual se complementó y se comparó con el realizado con el programa
“Logger Pro” que permite analizar videos, realizar gráficas, obtener curvas y representar el
comportamiento de los datos simbólicamente.
Procedimiento
El estudio consistió en elaborar un experimento que relacionara las cantidades período,
longitud y aceleración de la gravedad (ver diagrama 2). Este se hizo con un péndulo simple como
se muestra en la figura 1 y en la figura 2. Primeramente los estudiantes en grupos de ocho
instalaron tres estaciones que consistían de un péndulo simple, una regla, un soporte, un foto
censor, una interfase y una computadora.
FIGURA 1
FIGURA 2
A continuación se ajustó el programa para que la interfase recogiera los datos del foto censor:
el tiempo que tarda el péndulo en realizar una oscilación completa. Seguidamente los
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estudiantes pusieron en funcionamiento el péndulo y comenzaron a recoger la información en
forma de tabla. En el cuarto paso del proceso, los datos provistos se trasladaron a la hoja
electrónica y procedieron a graficar el periodo T en función de la longitud del péndulo L. En este
momento se ajustó una curva (una curva apropiada) con las herramientas que proporciona
EXCEL, se utilizó “power” para ajustar la curva. En quinto paso se linealizó la gráfica producida en
el paso anterior y esta vez se graficó el cuadrado del periodo T2 en función de la longitud del
péndulo L. En este caso se hizo el ajuste como en el paso anterior pero utilizando el modelo lineal.
Finalmente se procedió al proceso algebraico y numérico para comparar las ecuaciones y calcular
la aceleración de la gravedad.
Cuando se utiliza el cronómetro para medir el tiempo el experimento produce un margen de
error “muy grande”. El péndulo se soltaba y al volverlo a capturar se determinaba el tiempo para
la oscilación completa (período).
Datos, Resultados y Análisis
Los datos obtenidos por los tres diferentes grupos se resumen en la tabla siguiente:
Tabla 1
Longitud (cm) Periodo 1 (s) Periodo 2 (s) Periodo 3 (s) Periodo Promedio, T (s) (Periodo Promedio)2 T2 (s2)
15
0.791
0.800
0.703
0.765
0.585
30
1.112
1.114
1.015
1.080
1.167
45
1.355
1.356
1.292
1.335
1.781
60
1.563
1.563
1.503
1.543
2.380
75
1.758
1.746
1.694
1.732
3.001
90
1.928
1.916
1.866
1.903
3.622
En dicha tabla se observa los tres grupos (Periodo 1, Periodo 2 y Periodo 3) de 8 estudiantes
correspondientes a tres estaciones. Cada grupo logró obtener datos con seis medidas diferentes
para el largo del péndulo (ver columna 1, columna 2 columna 3 y columna 4). En la columna 5 se
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presentan los promedios de las medidas recogidas por los tres grupos. En la última columna se
escriben los valore3s correspondientes a T2 la cual sirve para hallar T2 Vs. L.
T = 0.1919 L0.5094
T vs L
2.0
1.8
1.6
1.4
Periodo, T (s)
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Longitud, L(cm)
La ecuación teórica que relaciona la variable periodo, la
longitud
T  2
gravedad
encontrada
en
los
libros
de
y
aceleración
L 2

g
g
de
L
texto es
.
La
0.5094
ecuación experimental obtenida para este caso es T  0.1919 L
y la gráfica de esta ecuación
se puede observar en la figura 3.
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Si se comparan estas dos ecuaciones se obtiene lo siguiente:
6
2
 0.1919
g
.
FIGURA 3
cm
 2 
g 
  1072 2
s . El error en este caso es de 9.39%.
 0.1919 
Despejando g resulta lo siguiente:
2
En cuanto a la segunda gráfica T2 contra L se obtuvo lo siguiente:
T2 = 0.0399 L
T2 vs L
4.0
3.5
3.0
(Periodo)2, T2 (s2)
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Longitud, L(cm)
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2
 L
L

T  2  
T 2  4 2  

 g  lo que resulta
 g  . La ecuación experimental es T 2  0.0399 L y
está representada gráficamente en la figura 4. Al comparar las ecuaciones de T2 resulta lo
siguiente:
2
2
0.0399 
2
4 2
cm
g  989 2
g . Entonces se concluye que
s con un error de 0.96%.
FIGURA 4
Conclusiones

El periodo del péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud. Esto
puede observarse de la gráfica T vs. L donde el modelo matemático utilizado conduce a
T  0.1919 L0.5094 . Esto es muy cercano al resultado teórico que se señala en los libros de
texto de Física.

Se encontró 0.96 % de error entre la aceleración de gravedad teórica y la aceleración
encontrada por el método experimental. La aceleración de gravedad teórica es 980 cm/s2 y
la aceleración de gravedad encontrada en este experimento fue 989 cm/s2.
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




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Se observó que los estudiantes aunque conocían previamente la relación teórica entre el
L
T  2
g
periodo y la longitud del péndulo
, no lograron establecer la correspondencia
0.5094
con la ecuación experimental T  0.1919 L
que les permitiría hallar la aceleración de
gravedad.
Los estudiantes utilizaron con mucha destreza la hoja electrónica EXCEL que permitió
organizar, manipular y analizar los datos experimentales obtenidos a través del foto censor
y la interfase VERNIER. Estos datos se convirtieron en formato “.xls” para hacer efectivo
el uso de la hoja electrónica en una estación computarizada. Los componentes tecnológicos
como foto censor, interfase VERNIER, programa Logger Pro y computadora crean un
ambiente de enseñanza y aprendizaje donde se estimula la participación del estudiante.
Se observa que la incorporación de esta nueva tecnología en los laboratorios de física
minimiza el error sistemático en la medida del periodo del péndulo y propicia que se
puedan crear modelos matemáticos a fines. Aunque la aproximación a la curva es muy
cercana, sin embargo el error en el cálculo de aceleración de gravedad es 9.39%. (T vs. L)
Es recomendable que se haga la linealización de la curva ya que se obtiene un valor de
aceleración de gravedad más aproximado que con la curva T contra L, muy a pesar de que
la curva que logro con la herramienta de EXCEL pasa por todos los puntos.
Estos modelos matemáticos producto de estos experimentos pueden ser revertidos en los
cursos de física y aplicados en los cursos de precálculo y cálculo, y así impactar la
enseñanza de la matemática con un carácter más realista.
Carlos Malagón, cmalagó[email protected] Catedrático Auxilar, Universidad Interamericana de Puerto
Rico, Recinto de Ponce. MS en Física, UPR, Mayagúez, es estudiante doctoral en el área de Currículo y
Enseñanza en Especialidad en Física en la Universidad de Puerto Rico, Recinto de Río Piedras.
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