Teoría de conjuntos

Teoría
de conjuntos
Conjuntos, relaciones y funciones
Cristina Steegmann Pascual
P06/75004/00652
Módulo 1
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Teoría de conjuntos
Índice
Introducción ............................................................................................
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Objetivos ...................................................................................................
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1. Teoría básica de conjuntos .............................................................
7
1.1. Conceptos básicos de conjuntos ....................................................
7
1.2. Operaciones entre conjuntos .........................................................
9
1.3. Conjunto de partes de un conjunto: partición .............................. 10
2. Relaciones ............................................................................................ 12
2.1. Relación binaria .............................................................................. 13
2.2. Posibles propiedades de las relaciones binarias
sobre un conjunto ......................................................................... 13
2.3. Visión formal de una relación. Aplicaciones de las relaciones:
bases de datos relacionales ............................................................. 14
3. Relación de equivalencia y relación de orden ........................... 16
3.1. Relación de equivalencia: clases de equivalencia ........................... 16
3.2. Teorema fundamental de las relaciones de equivalencia:
conjunto cociente .......................................................................... 16
3.3. Relación de orden ........................................................................... 21
4. Álgebra relacional ............................................................................ 23
4.1. Álgebra relacional: operaciones con relaciones .............................. 23
4.2. Representación de relaciones ......................................................... 28
5. Funciones ............................................................................................. 29
5.1. Correspondencia entre dos conjuntos y función ........................... 29
5.2. Tipos de funciones .......................................................................... 32
Anexo. Tabla de símbolos matemáticos ........................................... 35
Resumen .................................................................................................... 36
Ejercicios de autoevaluación ............................................................... 37
Solucionario ............................................................................................. 41
Glosario ..................................................................................................... 51
Bibliografía .............................................................................................. 52
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Teoría de conjuntos
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Introducción
La teoría de conjuntos tiene mucha aplicación en diversos campos tales como
la sociología, la genética, la biología, la informática e, incluso, el diseño de servicios y productos.
El contenido de este módulo pretende, por un lado, proporcionar al estudiante unas herramientas imprescindibles para comprender correctamente otras
asignaturas más específicas de la titulación. Y, por otro, intentar ayudar al
alumno a aumentar su capacidad de abstracción, esencial para abordar problemas en muchos otros campos de la informática y las telecomunicaciones, ya
que la abstracción conlleva un ahorro de tiempo (de ahí su importancia): no
tiene mucho sentido repetir n veces un mismo procedimiento, aunque éste
tenga diferentes apariencias, cuando es suficiente tratarlo una única vez bajo
un marco más general. Esta abstracción es la filosofía que hay detrás de, por
ejemplo, la programación orientada a objetos.
El lenguaje formal matemático es la herramienta indispensable que permite
llevar a cabo la abstracción. Por ello en este módulo empezamos introduciendo un nuevo idioma, el lenguaje formal matemático, partiendo de los conjuntos, de su escritura e interpretación.
Al principio del módulo repasaremos la teoría básica de conjuntos y se explican las relaciones binarias, sus operaciones y su representación. A continuación, veremos las relaciones de equivalencia y de orden, así como el concepto
derivado de éstas de conjunto cociente. Por último, introduciremos los conceptos de correspondencia entre dos conjuntos y de función y se muestran los
tipos de funciones existentes.
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Objetivos
Después de estudiar este módulo didáctico, los estudiantes deberíais haber alcanzado los objetivos siguientes:
1. Recordar los conceptos básicos y las operaciones de la teoría de conjuntos.
2. Conocer las particiones de un conjunto.
3. Entender las relaciones binarias, así como las posibles propiedades de éstas
sobre un conjunto. Conocer las relaciones de equivalencia y las de orden.
Saber operar con relaciones (el álgebra relacional) y representarlas.
4. Reconocer la relación existente entre una correspondencia entre dos conjuntos y una función, así como distinguir los tipos de funciones.
5. Saber utilizar las aplicaciones de la teoría de conjuntos y adquirir destreza
en el uso riguroso de su lenguaje formal.
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1. Teoría básica de conjuntos
1.1. Conceptos básicos de conjuntos
En este módulo didáctico partimos de la idea intuitiva de conjunto
como colección de objetos llamados elementos donde todos éstos son
diferentes entre sí.
Cualquier colección de objetos como los puntos de un segmento dado, las rectas que pasan por un punto, los números naturales menores que diez, los empleados de una empresa, los estudiantes de una escuela, las páginas de este
libro,... se denomina un conjunto. Los puntos, las rectas, los números, las páginas,... se denominan los elementos de los respectivos conjuntos.
Los conjuntos se representan en general por letras mayúsculas y sus elementos
por minúsculas. Los elementos del conjunto se especifican entre llaves.
Ejemplo 1
A ={a, b, c, d} representa un conjunto formado por 4 elementos.
Antes de continuar, previamente, haremos un breve recordatorio de los primeros símbolos necesarios en la formulación del lenguaje matemático y, en particular, de la teoría de conjuntos que son necesarios conocer en este módulo
y que seguramente os serán familiares:
Expresión de un conjunto
Un conjunto queda definido si conocemos todos los elementos. Esto se puede
hacer de dos maneras:
a) Extensiva: Enumerando todos los elementos del conjunto:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) Intensiva: Indicando alguna/s propiedad/es que cumplan todos los elementos del conjunto. Por ejemplo, podríamos escribir A como:
A = {x / x ∈ N; 1 ≤ x ≤ 6}
Recordad
a ∈ A significa que el
elemento a pertenece
al conjunto A.
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Igualdad de conjuntos
Dos conjuntos son iguales (A = B) si tienen los mismos elementos. La propiedad que utilizaremos para demostrar que dos conjuntos son iguales es la siguiente:
A=B⇔A⊂ByB⊂A
que se lee: A es igual a B si, y sólo si, A está incluido en B y B está incluido en A.
Recordad
A ⊂ B significa A contenido
en B.
Por tanto, para demostrar la igualdad entre dos conjuntos es necesario demostrar las dos inclusiones y lo llamaremos método de la doble inclusión.
Conjunto vacío
El conjunto vacío es el único conjunto que no tiene ningún elemento y se representa por ∅.
Subconjunto
Se dice que un conjunto B es un subconjunto de A si todo elemento
de B es elemento de A. Simbólicamente se expresa de la siguiente manera: B ⊂ A.
Ejemplo 2
Observemos que en el caso de los conjuntos numéricos habituales tenemos
que: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Cardinal de un conjunto
El número de elementos de un conjunto U se llama cardinal y se denota por
Card A o ⏐A⏐.
Conjunto universal
Se llama conjunto universal, que denotamos por U, a aquel conjunto de referencia en el cual estarán incluidos todos los conjuntos que intervendrán.
Conjunto complementario
Dado un conjunto universal U y un subconjunto A, llamamos complementario de A y se denota por A el conjunto formado por todos los elementos de U
que no pertenecen a A. A = {x ∈ U / x ∉ A}.
Recordad
N es el conjunto de los números naturales, Z el de los
enteros, Q el de los racionales,
R el de los reales y C el de los
complejos, respectivamente.
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Diagramas de Venn
Los diagramas de Venn son representaciones gráficas muy útiles en la representación de conjuntos. Los conjuntos se representan mediante áreas planas
dentro de un rectángulo que representa el conjunto universal.
El diagrama de Venn correspondiente al conjunto complementario (parte
sombreada en el gráfico) es el siguiente:
Figura 1
1.2. Operaciones entre conjuntos
Con un conjunto universal U y dos conjuntos A y B podemos definir las siguientes operaciones:
Reunión o unión de conjuntos
A ∪ B es el conjunto de elementos que pertenecen a A o a B.
A ∪ B = {x ∈ U / x ∈ A o x ∈ B}
Esta operación es:
– conmutativa: A ∪ B = B ∪ A
– asociativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Intersección de conjuntos
A ∩ B es el conjunto de elementos que pertenecen a A y a B.
A ∩ B = {x ∈ U / x ∈ A y x ∈ B}
Esta operación es:
– conmutativa: A ∩ B = B ∩ A
– asociativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
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Cuando A ∩ B no tiene ningún elemento, se expresa A ∩ B = ∅ y, entonces,
decimos que A y B son disjuntos.
Diferencia de conjuntos
A 3 B es el conjunto de elementos que pertenecen a A y no a B.
A3B={x∈U/x∈Ayx∉B}
Ejemplo 3
Si A = {a, b, c, d}, B = {a, c, g}. En este caso tenemos:
A ∪ B = {a, b, c, d, g}
A ∩ B = {a, c}
A 3 B = {b, d}
Producto cartesiano de conjuntos
Dados dos elementos a y b, llamamos par ordenado a la agrupación de estos
elementos en un cierto orden. Un par ordenado se denota por (a,b) donde a es
la primera componente y b la segunda componente.
Llamamos producto cartesiano de dos conjuntos A y B al conjunto A × B
formado por todos los pares ordenados que se obtienen tomando como
primera componente un elemento cualquiera de A y como segunda
componente un elemento de B.
A × B = {(a,b) / a ∈ A y b ∈ B}
Ejemplo 4
El producto cartesiano de los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {x, y} es A × B =
= {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y)}.
1.3. Conjunto de partes de un conjunto: partición
Dado un conjunto A, se llama conjunto de partes del conjunto A al
conjunto formado por todos los subconjuntos de A.
℘(A) ={X / X ⊂ A}
Ejemplo 5
El conjunto de partes del conjunto A = {a, b, c} es:
℘(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.
Este conjunto, con 3 elementos, tiene 8 subconjuntos.
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En general, el número de subconjuntos de un conjunto A con n elementos es 2n:
Card A = n ⇒ Card℘(A) = 2n
Decimos que los subconjuntos A1, A2, ..., Am de un conjunto S son una
partición de A si:
Ai ≠ ∅ (los subconjuntos no son vacíos)
Ai ∩ Aj = ∅ si i ≠ j (los subconjuntos son disjuntos)
A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Am = A (la unión de todos ellos es el conjunto A)
Ejemplo 6
Especifiquemos las posibles particiones del conjunto E = {1, 2, 3}
Una posible partición de E es la formada por los conjuntos:
A1 = {1}, A2 = {2}, A3 = {3}
Otras particiones de E serían las siguientes:
B1 = {1}, B2 = {2, 3}
C1 = {2}, C2 = {1, 3}
D1 = {3}, D2 = {1, 2}
La partición formada por un único subconjunto, es decir, el conjunto total
{1, 2, 3}, se dice que es la partición impropia.
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2. Relaciones
Las relaciones entre dos o más conjuntos son frecuentes tanto en las matemáticas como en sus aplicaciones, especialmente en informática. Ejemplos prácticos
de relaciones son las de orden y divisibilidad entre números, las relaciones de
equivalencia entre los datos de entrada de un programa en cuanto a la detección de posibles errores de programación (validación de programas), la relación
de dependencia entre las distintas fases de producción en una industria o la
agrupación de datos aislados en complejas bases de datos con relaciones de dependencia entre sus campos. Desde el punto de vista matemático, estas relaciones se pueden describir simplemente como subconjuntos de un cierto
producto cartesiano. De entre los diversos tipos de relaciones, las funciones
pueden considerarse un caso especial en donde se interpreta que uno de los
campos es el resultado de realizar una cierta operación con el resto. Asimismo,
las relaciones de equivalencia describen similitudes entre elementos con respecto a una propiedad particular, y las relaciones de orden establecen una jerarquía con respecto a un criterio fijado. Por último, las relaciones entre
múltiples conjuntos son el fundamento matemático del modelo relacional de
bases de datos, que es uno de los más extendidos por su simplicidad, su potencia y su coherencia teórica y práctica.
De entrada presentaremos el concepto de relación de manera informal. Este
concepto está continuamente presente en la sociedad.
Por ejemplo, podemos considerar que dos personas están relacionadas si han
coincidido alguna vez físicamente, o bien si han trabajado juntas, etc.
Las relaciones también surgen en aquellas partes del mundo que son dominio
de aplicaciones informáticas. Un ejemplo académico clásico es la gestión de
matrículas y notas. Existe una clara relación entre los alumnos de un centro
académico y las asignaturas impartidas, que aparece por el hecho de que los
primeros se matriculan en las segundas.
Asimismo, podemos hacernos una idea intuitiva de lo que es una relación si
la visualizamos como una tabla (o un fichero). En la figura siguiente se muestra la visualización, en forma de tabla, de una relación que contiene datos de
empleados.
Empleados
DNI
Nombre
Apellido
Sueldo
40444255
Juan
García
2000
33567711
Marta
Roca
2500
55898425
Carlos
Martínez
1500
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Observemos que cada fila de la tabla contiene una colección de valores de datos relacionados entre sí; son los datos correspondientes a un mismo empleado. La tabla tiene un nombre (Empleados) que es el nombre de la relación y
también tienen un nombre cada una de sus columnas (DNI, Nombre, Apellido,
Sueldo). Dichos nombres ayudan a entender el significado de los valores que
contiene la tabla.
Así, si definimos las relaciones de manera más precisa, nos daremos cuenta de
que éstas presentan algunas características importantes que, a primera vista,
quedan escondidas. Es por ello por lo que a continuación mostramos la definición matemática de relación, así como sus propiedades.
2.1. Relación binaria
Diremos que entre los conjuntos A y B existe una relación binaria R si todos
los elementos de A están ligados con los elementos de B por una propiedad
que puede ser cierta o falsa.
Ejemplo 7
En el conjunto de los números naturales, N, la relación “ser menor estricto” es una relación binaria. Simbólicamente se expresa como:
aR b ⇔ a < b
2.2. Posibles propiedades de las relaciones binarias
sobre un conjunto
Dado un conjunto A = {a, b, c, ...}, consideremos una relación binaria R
definida entre A y el mismo A. Algunas de las propiedades que puede
verificar R son:
– R es reflexiva si todo elemento está relacionado consigo mismo:
∀a ∈ A : a R a
– R es antirreflexiva si ningún elemento está relacionado consigo
mismo:
y a (no a R a)
∀a ∈ A : a R
– R es simétrica si cuando un elemento a está relacionado con otro b,
la relación también se verifica en el otro sentido:
aR b ⇒ bR a
En las asignaturas con contenidos de
Bases de datos se presenta el concepto
de relación, pero sobre dominios y
atributos.
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– R es antisimétrica si dos elementos diferentes no pueden estar relacionados en los dos sentidos:
Si a ≠ b y a R b ⇒ b R
y a (no b R a)
– R es transitiva si cuando un elemento a está relacionado con un elemento b y a la vez b está relacionado con un elemento c se verifica
que a también está relacionado con c:
aR b y bR c ⇒ aR c
Ejemplo 8
Dado el conjunto A = {−2, −1, 0, 1, 2} consideremos la relación:
aR b ⇔ a < b + 3
En este caso, los pares relacionados por R son:
{(−2, −2), (−2, −1), (−2, 0), (−2, 1), (−2, 2), (−1, −2), (−1, −1), (−1, 0), (−1, 1),
(−1, 2), (0, −2), (0, −1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, −1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0),
(2, 1), (2, 2)}
Esta relación sólo cumple la propiedad reflexiva: todos los elementos están relacionados consigo mismo, ya que hallamos todos los posibles pares
de la forma (a, a). No es simétrica, ya que, por ejemplo, encontramos el
par (−1, 2) y no aparece el par (2, −1). No es antisimétrica, ya que hallamos
pares que están relacionados en los dos sentidos: (−1, 1) y (1, −1). Y, por
último, no es transitiva, ya que encontramos que 1 R − 1 y −1 R −2 pero,
sin embargo, 1 R
y −2.
2.3. Visión formal de una relación. Aplicaciones de las relaciones:
bases de datos relacionales
El principal interés de la teoría de relaciones (tanto binarias como n-arias) es
su aplicación en la gestión de bases de datos. La idea esencial de una base de
datos es almacenar una serie de registros de estructura similar, compuestos por
una serie de atributos o campos, cada uno de los cuales muestra un tipo de información específica sobre un determinado objeto. Esto se representa de forma esquemática mediante una tabla, en donde cada registro corresponde a
una fila, y el contenido de los diferentes campos se desarrolla por columnas.
El tipo de dato de un determinado campo (por ejemplo, “EDAD”) viene determinado por un dominio (el conjunto de los enteros entre 0 y 100). El modelo
matemático para representar una tabla que forma parte de una base de datos
(que en principio es algo más complejo que una simple tabla) es justamente
una relación n-aria, donde las filas son los elementos de la relación y las columnas corresponden a los dominios. En consecuencia, el grado de la rela-
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ción se corresponde con el número de columnas, y la cardinalidad con el de
filas.
Ejemplo 9
Una base de datos sencilla puede constar de una tabla (o relación) correspondiente a las notas obtenidas por los alumnos en una asignatura de matemáticas. Por ejemplo:
Alumnos de matemáticas
DNI
NOMBRE
NOTA
10550321
José Sánchez
4.5
09576220
Ana García
6.5
11988787
Carlos López
7.2
...
...
...
También, como veremos en el siguiente apartado, las relaciones binarias tienen aplicación en el diseño de bases de datos:
• Las relaciones de equivalencias se usan para calcular las claves de la base de
datos, es decir, aquellos campos que nos permiten identificar un registro
de forma única (el DNI de una persona, por ejemplo).
• Las relaciones de orden se usan para optimizar las búsquedas y consultas
en la base de datos, ordenando previamente los registros con respecto a un
campo.
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3. Relación de equivalencia y relación de orden
3.1. Relación de equivalencia: clases de equivalencia
Una relación binaria R sobre un conjunto A se llama relación de equivalencia si ésta es reflexiva, simétrica y transitiva.
Ejemplo 10
En el conjunto A = {0,1, −2,4} se da la siguiente relación:
∀x, y ∈ A : x R y ⇒ x2 + x = y2 + y
Comprobemos que es de equivalencia. Para ello hay que mirar que la relación R cumple las propiedades:
1. Reflexiva: ∀x ∈ A : x R x ya que x2 + x = x2 + x
2. Simétrica: ∀x, y ∈ A : si x R y ⇒ y R x ya que x2 + x = y2 + y ⇒ y2 + y = x2 + x
3. Transitiva: ∀x, y, z ∈ A : x R y, y R z ⇒ x R z ya que x2 + x = y2 + y y y2 + y = z2 + z
entonces x2 + x = z2 + z
Toda relación de equivalencia define una partición en clases de equivalencia. Se llama clase de equivalencia de un elemento a ∈ A al conjunto de todos los elementos de A que están relacionados con a.
[a] = {x ∈ A / a R x} (otra notación para [a] es a)
Un ejemplo típico de relación de equivalencia es la relación “tener la misma
cardinalidad” entre conjuntos.
Propiedades de las clases de equivalencia
• Equivalencia de los elementos: todos los elementos de una misma clase son
equivalentes entre ellos.
• Independencia del representante: se puede tomar como representante de
la clase cualquiera de sus elementos.
3.2. Teorema fundamental de las relaciones de equivalencia:
conjunto cociente
1) Toda relación de equivalencia R define sobre un conjunto A una partición P[A] = {[a], [b], ···} donde [a] = {x ∈ A / a R x}, etc.
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2) Toda partición P[A] = {A1, A2, ···} define una relación de equivalencia
sobre A, donde dos elementos están relacionados si pertenecen al mismo subconjunto de la partición.
Este teorema afirma que una relación R en un conjunto A que es reflexiva, simétrica y transitiva produce, de forma natural, una partición en A y es importante porque muestra una forma muy cómoda de describir particiones. Así,
podemos afirmar que las relaciones de equivalencia son un buen instrumento
para definir particiones.
Asimismo, está claro que la relación asociada a la partición definida por las clases de equivalencia es precisamente la relación original R; éste es el sentido que
tiene el calificativo “de forma natural” empleado anteriormente.
El conjunto cociente es el conjunto de las clases de equivalencia en que
queda dividido el conjunto A cuando definimos una relación de equivalencia. El conjunto cociente de A respecto R se denota por A / R.
Congruencias módulo n
Sobre el conjunto de los números enteros Z se define una relación de equivalencia llamada congruencias módulo n de la siguiente manera:
Dos enteros a y b son congruentes módulo n si, y sólo si, su diferencia es múltiplo de n:
a R b ⇔ a − b = n · k (k ∈ Z)
Las clases de equivalencia de la relación de congruencia se llaman clases
residuales módulo n, ya que están formadas por los números que divididos por n dan el mismo residuo (resto de la división). El conjunto cociente se denota por Zn.
Ejemplo 11
Z4 = {[0], [1], [2], [3]}
[0] = {···, −12, −8, −4, 0, 4, 8, 12, 16, ···} (múltiplos de 4)
[1] = {···, −11, −7, −3, 1, 5, 9, 13, 17, ···} (múltiplos de 4, más 1)
[2] = {···, −10, −6, −2, 2, 6, 10, 14, 18, ···} (múltiplos de 4, más 2)
[3] = {···, −9, −5, −1, 3, 7, 11, 15, 19, ···} (múltiplos de 4, más 3)
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Ejemplo 12
Supongamos la relación: a R b ⇔ a − b = 3k (k ∈ Z).
Podemos comprobar las clases de equivalencia:
0 = {···, −6, −3, 0, 3, 6, 9, ···}
1 = {···, −5, −2, 1, 4, 7, 10, ···}
2 = {···, −4, −1, 2, 5, 8, 11, ···}
Éstas son las únicas clases de equivalencia posibles en Z definidas con la relación R anterior. Fijémonos en que 3 = 0, 4 = 1, 5 = 2, etc.
El conjunto cociente, en este caso, será Z / R = {0, 1, 2}; obsérvese que el
conjunto Z tiene infinitos elementos, en cambio, Z / R tan sólo tiene 3 elementos.
Si se observan los conjuntos anteriores, se comprueba que:
• 0 ≠ ∅, 1 ≠ ∅, 2 ≠ ∅
• 0 ∩ 1 = ∅, 0 ∩ 2 = ∅, 1 ∩ 2 = ∅
• 0∪1∪2=Z
Esto indica que 0, 1, 2 constituyen una partición de Z.
Actividad 1
En el conjunto R 3 {0} de los números reales no nulos se define la siguiente relación:
aRb ⇔ a+
1
1
=b+
a
b
1) ¿Es R una relación de equivalencia?
2) Hallad los elementos de la clase de equivalencia a.
3) ¿Cuál es el conjunto cociente R 3 {0} / R?
Ejemplo 13. De congruencias
Como se ha dicho, los números enteros, Z, pueden pensarse como puntos
dispuestos a lo largo de una recta que va desde el menos infinito y llega
hasta el infinito. Para hacer finito el espacio de estos números, la aritmética
modular corta la recta en un punto y a partir de ahí resulta un segmento
que se cierra sobre sí mismo, con lo que se tiene un “anillo”. Si tenemos un
anillo de, por ejemplo, 7 números, será que hemos cortado la recta por el
7 y hemos cerrado el segmento resultante sobre el 0. El número 7 se hace
equivalente al 0, el 8 al 1, el 9 al 2, ..., el 14 de nuevo al 0, y así sucesivamente: los únicos números que están en la aritmética del anillo de 7 son el
0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6. En esta aritmética la adición no es exactamente igual a
la usual, aquí 4 + 5 = 2, esto ocurre porque si se empieza en el 4 y se avanza
5 espacios en la esfera del anillo se llega al 2 (se representa 9 ≡ 2 (mod 7) y
se lee “9 es equivalente a 2 módulo 7”).
Sorprende que esta aritmética se utiliza a diario para hablar de la hora. Normalmente estamos acostumbrados a la aritmética modular gracias al uso de
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los relojes. Si son las catorce horas y debemos dejar pasar 17 horas nuestra
espera terminará a las 14 + 17 = 31 ≡ 6 (mod 24).
Asimismo, la aritmética modular es usada en codificación y criptografía.
Una de sus aplicaciones es el cifrado y descifrado de mensajes que ya se usaba durante el Imperio Romano cuando el emperador deseaba transmitir órdenes a sus legiones, pero sin que el enemigo, que podía interceptar a los
mensajeros, se enterara del contenido de las órdenes.
En este ejemplo se presenta un caso más complicado y seguro que el que
usaron los emperadores romanos, pero no tan sofisticado como los que se
utilizan hoy en día para realizar compras o actividades bancarias a través
de Internet.
Por ejemplo, supongamos que queremos enviar mensajes escritos que contengan palabras con letras minúsculas y espacios en blanco.
Para ello, asignamos números a cada uno de estos símbolos (asignamos la
letra α al espacio en blanco):
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
ñ
ç
α
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
0
En este caso se trabaja en la aritmética módulo 29. Primero buscamos un
número sencillo A que tenga inverso módulo 29 (un número, x, tiene inverso módulo z significa que existe otro número y tal que x · y ≡ 1 (mód z)),
por ejemplo A = 3 porque 3 × 10 = 30 ≡ 1 (mod 29); ahora tomamos otro
número B, por ejemplo, B = 12. Con estos números A y B podemos diseñar
lo que en criptografía se conoce como un cifrado afín.
Supongamos que vamos a enviar a Rosa el siguiente mensaje:
hola rosa
Seguimos los siguientes pasos para encriptar el mensaje:
Paso 1. Traducimos el mensaje en una lista de números, usando para ello
la asignación anterior:
hola rosa Æ (8, 15, 12, 1, 0, 18, 15, 19, 1).
Paso 2. Transformamos cada número x de la secuencia anterior por el número y entre 0 y 28 que verifica la siguiente congruencia:
(A · x) + B ≡ y (mod 29)
8
Æ
(3 · 8) + 12 = 36 ≡ 7 (mod 29)
15
Æ
(3 · 15) + 12 = 57 ≡ 28 (mod 29)
12
Æ
(3 · 12) + 12 = 48 ≡ 19 (mod 29)
1
Æ
(3 · 1) + 12 = 15 ≡ 15 (mod 29)
20
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0
Æ
(3 · 0) + 12 = 12 ≡ 12 (mod 29)
18
Æ
(3 · 18) + 12 = 66 ≡ 8 (mod 29)
15
Æ
(3 · 15) + 12 = 57 ≡ 28 (mod 29)
19
Æ
(3 · 19) + 12 = 69 ≡ 11 (mod 29)
1
Æ
(3 · 1) + 12 = 15 ≡ 15 (mod 29)
Estos cálculos se pueden realizar con la ayuda de la calculadora Wiris, tal
como se muestra a continuación:
Y se obtiene, así, una nueva colección de números:
(8, 15, 12, 1, 0, 18, 15, 19, 1) Æ (7, 28, 19, 15, 12, 8, 28, 11, 15).
Paso 3. Traducimos ahora la lista de números en símbolos:
(7, 28, 19, 15, 12, 8, 28, 11, 15) Æ gçsolhçko
y éste es el mensaje que enviamos a Rosa:
gçsolhçko
A continuación, para descifrar este mensaje, Rosa tiene que recorrer el camino inverso:
Paso 1. Traduce los símbolos a números:
gçsolhçko Æ (7, 28, 19, 15, 12, 8, 28, 11, 15).
Paso 2. Realiza, módulo 29, las operaciones inversas a cada número:
y Æ (y − B) : A
Para ello es muy importante que la cifra A = 3 tenga inverso, que es 10, ya
que, así, dividir por A equivale a multiplicar por 10 (módulo 29):
7
28
19
15
12
8
28
11
15
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
(7 − 12) · 10 = −50 ≡ 8 (mod 29)
(28 − 12) · 10 = 160 ≡ 15 (mod 29)
(19 − 12) · 10 = 70 ≡ 12 (mod 29)
(15 − 12) · 10 = 30 ≡ 1 (mod 29)
(12 − 12) · 10 = 0 ≡ 0 (mod 29)
( 8 − 12) · 10 = −40 ≡ 18 (mod 29)
(28 − 12) · 10 = 160 ≡ 15 (mod 29)
(11 − 12) · 10 = −10 ≡ 19 (mod 29)
(15 − 12) · 10 = 30 ≡ 1 (mod 29)
Teoría de conjuntos
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21
De la misma manera, sucede que estos cálculos se pueden realizar con la
ayuda de la calculadora Wiris, tal como se muestra a continuación:
Nuevamente, se obtiene la secuencia inicial:
(7, 28, 19, 15, 12, 8, 28, 11, 15) Æ (8, 15, 12, 1, 0, 18, 15, 19, 1).
Paso 3. Y finalmente traduce estos números a letras:
(8, 15, 12, 1, 0, 18, 15, 19, 1) Æ
hola rosa
De este modo, Rosa se entera del contenido del mensaje.
3.3. Relación de orden
Definimos una relación de orden estricto, en un conjunto A, como la
relación que cumple las propiedades antirreflexiva y transitiva. Como
consecuencia, se puede demostrar que toda relación de orden estricto
también cumple la propiedad antisimétrica.
Igualmente, definimos una relación de orden parcial en un conjunto A
como aquella relación que satisface las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Una relación de orden parcial se llama también relación de orden (sin especificar el tipo).
Finalmente, definimos una relación de orden total en un conjunto A
como aquella relación de orden parcial que además verifica que dos elementos de A están siempre relacionados (∀x, y ∈ A : x R y o y R x).
Como ejemplos típicos de relaciones de orden podemos citar la implicación
lógica entre proposiciones lógicas, la contención entre conjuntos, la desigualdad entre números o la relación de divisibilidad entre números naturales. Otro
ejemplo típico de orden total es el llamado “orden léxico-gráfico”, entre cadenas de caracteres y que funciona análogamente al orden en que están ordena-
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das las palabras en un diccionario (o los nombres en una guía de teléfonos), es
decir, se comparan los primeros símbolos, si son iguales se comparan los segundos, y así sucesivamente hasta encontrar el primer símbolo en que ambas
palabras difieran, y si esto no es posible, es que ambas palabras son iguales.
Ejemplo 14. De relación de orden (parcial) estricto
Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} y una relación: < = {(1, 3), (1, 4), (1, 5),
(2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 5)}. Demostremos que es de orden estricto.
Para ello hay que demostrar que cumple las propiedades:
• Antirreflexiva. Hay que ver que en tal relación no hay ningún par del
estilo (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) y efectivamente, no hay ningún
par de este estilo.
• Transitiva. Hay que comprobar que si, por ejemplo, el par (1, 3) y el par
(3, 5) pertenecen a la relación, entonces el par (1, 5) también pertenece
a la relación. Y así es. Ahora habría que comprobar esto con todos los
pares de la relación.
Por tanto, podemos concluir que este conjunto con la relación < está estrictamente ordenado.
Ejemplo 15. De relación de orden parcial
Dado un conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} y una relación: ≤ = {(1, 3), (1, 4), (1, 5),
(2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 5), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)}, demostremos que es de orden parcial.
Para ello hay que demostrar que cumple las propiedades:
• Reflexiva. Hay que ver que a tal relación pertenecen todos los pares del
estilo (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) y efectivamente, están todos ellos.
• Antisimétrica. El par (1, 3) pertenece a la relación pero el par (3, 1) no
pertenece a ésta. Igualmente se debería hacer con el resto de pares: (1, 4)
pertenece a la relación pero (4, 1) no pertenece. Lo mismo sucede con
el resto de pares.
• Transitiva. Cumple la propiedad transitiva porque dicha relación se ha
formado a partir de la anterior, añadiéndole tan sólo los pares del estilo
(x, x). Como la anterior cumplía la propiedad transitiva, podemos asegurar que ésta también la cumplirá pues los pares añadidos (x, x) no interfieren en la transitividad.
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4. Álgebra relacional
El álgebra relacional, inspirada en la teoría de conjuntos, proporciona una
colección de operadores que actúan sobre relaciones para obtener otras relaciones.
En informática, la obtención de los datos que responden a una consulta puede
requerir el análisis y la extracción de datos de una o más de las relaciones que
tiene la base de datos. Y, para especificar tal consulta, es necesario seguir uno
o más pasos que sirven para ir construyendo, mediante operaciones del álgebra relacional, una nueva relación que contenga los datos que responden a la
consulta a partir de las relaciones almacenadas. Los lenguajes basados en el álgebra relacional se llaman procedimentales, dado que los pasos que forman la
consulta describen un procedimiento. En este sentido, el álgebra relacional
presenta un interés especial porque ayuda a entender qué servicios de consulta
tiene que proporcionar un lenguaje relacional y facilita la comprensión de algunas de sus construcciones.
4.1. Álgebra relacional: operaciones con relaciones
Una característica destacable de todas las operaciones del álgebra relacional es
que tanto los operandos como el resultado son relaciones. Esta propiedad se
llama cierre relacional.
Las operaciones del álgebra relacional se pueden clasificar, según si se
parecen o no a las de la teoría de conjuntos, en:
Operaciones conjuntistas. Son las operaciones que se parecen a las de
la teoría de conjuntos. Y éstas son: la unión, la intersección, la diferencia y el producto cartesiano.
Operaciones específicamente relacionales. Son la selección, la proyección y la combinación.
Unión
La unión de dos relaciones es otra relación que estará constituida por los elementos que pertenezcan a una de las dos relaciones o a ambas (se eliminarán
los elementos duplicados puesto que se trata de una relación). Se denota mediante el símbolo ∪.
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24
Teoría de conjuntos
Ejemplo 16
Sea X = {1, 2, 3, 4, 5} un conjunto. En él se definen las relaciones R y S siguientes:
R = {(1, 2), (2, 4), (1, 4)}
S = {(2, 4), (4, 5), (2, 5)}
La unión de ambas relaciones es la relación siguiente:
R ∪ S = {(1, 2), (2, 4), (1, 4), (4, 5), (2, 5)}
Observemos que, en general, la unión de dos relaciones transitivas no tiene
por qué ser transitiva:
• La relación R es transitiva, ya que, siendo que (1, 2) ∈ R y (2, 4) ∈ R, se
da que (1, 4) ∈ R.
• La relación S también es transitiva, ya que, siendo que (2, 4) ∈ S y (4, 5) ∈ S,
se da que (2, 5) ∈ S.
• Sin embargo, la relación R ∪ S no es transitiva, pues (1, 2) ∈ R ∪ S y
(2, 5) ∈ R ∪ S y, en cambio, (1, 5) ∉ R ∪ S.
Intersección
La intersección de dos relaciones es otra relación que estará constituida por los
elementos que pertenezcan a ambas relaciones. Se denota por el símbolo ∩.
Diferencia
La diferencia de dos relaciones es otra relación que estará constituida por el
conjunto de elementos que pertenezcan a la primera relación, pero no a la segunda. Se denota mediante el símbolo 3.
Producto cartesiano
Producto cartesiano de dos relaciones de cardinalidades m y n es una relación
que estará constituida por los m × n elementos formados, concatenando cada
elemento de la primera relación con cada uno de los elementos de la segunda.
Se denota por el símbolo ×.
Selección o restricción
La selección, también llamada restricción, de una relación mediante una expresión lógica da como resultado una relación formada por el subconjunto de elementos que satisface dicha expresión lógica. Siendo C la condición de selección,
la selección de la relación T con la condición C se denota mediante T (C).
Observación
Para demostrar que un conjunto cumple una propiedad, hay
que demostrar que todos los
elementos del conjunto cumplen la propiedad. Sin embargo, para demostrar que un
conjunto no cumple una propiedad, basta con encontrar
un ejemplo en el que no se
cumpla la propiedad.
25
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Proyección
La proyección de una relación es una operación que, a partir de una relación T,
obtiene una nueva relación formada por todos los elementos de la relación de
partida que resulten de eliminar unos atributos especificados.
Combinación
La combinación de dos relaciones es una operación que, a partir de dos relaciones, obtiene una nueva relación formada por todos los elementos que
resulten de concatenar elementos de la primera relación con elementos de
la segunda relación y que cumplan una condición de combinación especificada.
Ejemplo 17
Supongamos que tenemos una base de datos relacional con las cuatro relaciones siguientes:
1) La relación EDIFICIOS_EMP que contiene los datos de diversos edificios
que posee una empresa para desarrollar sus actividades.
EDIFICIOS_EMP
Nom_edificio
Sup_med_desp
Marina
15
Diagonal
10
2) La relación DESPACHOS, que contienen los datos de cada uno de los
despachos que hay en los edificios anteriores.
DESPACHOS
Edificio
Número
Superficie
Marina
120
10
Marina
230
20
Diagonal
120
10
Diagonal
440
10
3) La relación EMPLEADOS_ADM, que contiene los datos de los empleados de la empresa que realizan tareas administrativas.
EMPLEADOS_ADM
DNI
Nombre
Apellido
Edificiodesp
Númerodesp
40444255
Juan
García
Marina
120
33567711
Marta
Roca
Marina
120
26
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Teoría de conjuntos
4) La relación EMPLEADOS_PROD, que contiene los datos de los empleados de la empresa que se ocupan de tareas de producción.
EMPLEADOS_PROD
DNI
Nombre
Apellido
Edificiodesp
Númerodesp
33567711
Marta
Roca
Marina
120
55898425
Carlos
Bonmartí
Diagonal
120
77232144
Elena
Pla
Marina
230
21335245
Jorge
Soler
Sin despacho
Sin despacho
88999210
Pedro
González
Sin despacho
Sin despacho
• Unión. La unión de EMPLEADOS_ADM y EMPLEADOS_PROD da una
nueva relación que contiene tanto los empleados de administración como
los empleados de producción y se indica así:
EMPLEADOS_ADM ∪ EMPLEADOS_PROD
Nota
DNI
Nombre
Apellido
Edificiodesp
Númerodesp
40444255
Juan
García
Marina
120
33567711
Marta
Roca
Marina
120
55898425
Carlos
Bonmartí
Diagonal
120
77232144
Elena
Pla
Marina
230
21335245
Jorge
Soler
Sin despacho
Sin despacho
88999210
Pedro
González
Sin despacho
Sin despacho
• Intersección. La intersección de las relaciones EMPLEADOS_ADM y
EMPLEADOS_PROD da una nueva relación que incluye los empleados
de administración que, a la vez, son de producción y se indica así:
EMPLEADOS_ADM ∩ EMPLEADOS_PROD
DNI
Nombre
Apellido
Edificiodesp
Númerodesp
33567711
Marta
Roca
Marina
120
• Diferencia. La diferencia EMPLEADOS_ADM menos EMPLEADOS_PROD
da una nueva relación que contienen los empleados de administración
que no son a la vez empleados de producción y se indica así:
EMPLEADOS_ADM 3 EMPLEADOS_PROD
DNI
Nombre
Apellido
Edificiodesp
Númerodesp
40444255
Juan
García
Marina
120
Fijémonos que en el caso de
que un elemento esté en las
dos relaciones que se unen,
el resultado de la unión no la
tendrá repetida. El resultado
de la unión es una nueva relación y no puede tener repeticiones de elementos.
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• Producto cartesiano. El producto cartesiano de EDIFICIOS_EMP por DESPACHOS es una nueva relación que contiene todas las concatenaciones
posibles de elementos de EDIFICIOS_EMP con elementos de DESPACHOS:
EDIFICIOS_EMP × DESPACHOS
Nom_edificio
Sup_med_desp
Edificio
Número
Superficie
Marina
15
Marina
120
10
Marina
15
Marina
230
20
Marina
15
Diagonal
120
10
Marina
15
Diagonal
440
10
Diagonal
10
Marina
120
10
Diagonal
10
Marina
230
20
Diagonal
10
Diagonal
120
10
Diagonal
10
Diagonal
440
10
• Selección. Para obtener una relación que tenga todos los despachos del
edificio Marina que tienen más de 12 metros cuadrados tenemos que
aplicar una selección a la relación DESPACHOS con esta condición de
selección.
DESPACHOS (Edificio = Marina y Superficie > 12)
Edificio
Número
Superficie
Marina
230
20
• Proyección. Si queremos obtener una relación con el nombre y el apellido de todos los empleados de administración, haremos la siguiente
proyección:
EMPLEADOS_ADM [Nombre, Apellido]
Nombre
Apellido
Juan
García
Marta
Roca
• Combinación. Supongamos que queremos encontrar los datos de los
despachos que tienen una superficie mayor o igual que la superficie media de los despachos del edificio donde están situados. La combinación
siguiente nos proporcionará los datos de estos despachos junto a los datos de su edificio:
EDIFICIOS_EMP × DESPACHOS
(Nom_edificio = Edificio, Sup_med_desp ≤ Superficie)
Nom_edificio
Sup_med_desp
Edificio
Número
Superficie
Marina
15
Marina
230
20
Diagonal
10
Diagonal
120
10
Diagonal
10
Diagonal
440
10
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Teoría de conjuntos
4.2. Representación de relaciones
Una relación binaria admite diferentes tipos de representaciones gráficas siempre y cuando sea una relación entre conjuntos finitos:
• Mediante una matriz donde las filas corresponden a los elementos de uno
de los dos conjuntos y las columnas a los del otro conjunto y se pone una
cruz (o un 1) en los pares que forman parte.
• También se puede, simplemente, tabular los pares de la relación.
• O bien mediante un gráfico de red donde representamos en una cuadrícula
todos los posibles pares ordenados posibles y se marca con un punto los pares que forman parte de la relación.
Ejemplo 18
Si A = {a1, a2, a3}, B = {b1, b2, b3, b4}, la relación de valor R = {(a1, b1), (a1, b4),
(a2, b1), (a2, b2), (a3, b4)} se puede representar por:
Figura 2.1 Matriz
Figura 2.2 Tabulación
Figura 2.3 Red
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29
5. Funciones
En informática, las funciones se usan con mucha frecuencia bajo determinadas formas. Por ejemplo:
• En el ámbito de los sistemas operativos, la llamada función de mapaje asocia
a cada página de un programa una página de memoria.
• En los compiladores, una función fundamental es la tabla de símbolos que
asocia a cada identificador que aparece en un programa una retahíla de informaciones relevantes: su categoría, su tipo, su dirección de memoria, etc.
El compilador inserta esta información cuando encuentra el identificador
y, a partir de ese momento, la consulta cuando el identificador es referenciado en otros puntos de su ámbito y, cuando acaba el tratamiento del bloque correspondiente al identificador, la borra.
Como veremos, las tablas de símbolos no son más que un ejemplo de aplicación a la informática del concepto matemático de función (que es el que en este
apartado se estudia).
5.1. Correspondencia entre dos conjuntos y función
Dados dos conjuntos A y B, llamamos correspondencia entre A y B a un
proceso tal que a elementos de A les hace corresponder elementos de B ;
es decir, establece una relación binaria R entre los conjuntos A y B .
Ejemplo 19
El siguiente diagrama establece una correspondencia entre los conjuntos A = {a, b, c, d} y B = {1, 2, 3, 4, 5}.
Figura 3
La relación dada por esta correspondencia es:
G = {(a, 2), (c, 1), (c, 3), (d, 3)} ⊂ A × B
Teoría de conjuntos
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Teoría de conjuntos
Diremos que una correspondencia ƒ es una función si, y sólo si, a todo
elemento del conjunto A le corresponde, a lo sumo, un elemento de B.
En general podemos decir que una función de n variables reales es una
regla ƒ que asocia a cada punto (x1, x2,..., xn) de un cierto subconjunto D
de R un único número real y = ƒ(x1, x2,..., xn). Representaremos esta funn
ción como:
ƒ:D → R
(x1, ..., xn) → y = ƒ(x1, x2,..., xn)
Ejemplo 20. De función de una variable
El gerente de una empresa ha llegado a la conclusión de que los beneficios
de ésta dependen fundamentalmente del salario del jefe, según la relación:
b( s) =
100 s − 5s2
1+ s
Donde s es el salario anual del jefe en millones de euros y b(s) son los beneficios. Esto es una función: la relación que hay entre el salario del jefe y
las ganancias de la empresa.
Podemos escribir la función de otras maneras, por ejemplo:
ƒ( x) =
100 x − 5x2
1+ x
La función ƒ relaciona x, el salario del jefe, con ƒ(x), los beneficios que la
empresa obtiene cuando el jefe cobra x.
Cuando tratamos con funciones que relacionan dos magnitudes, una de éstas
se llama variable independiente a la que podemos dar valores, y la otra se llama variable dependiente, que depende del valor que hayamos dado a la independiente. Los papeles de ambas variables pueden ser, a menudo,
intercambiables y, a veces, nos interesará cambiarlos. Podemos modificar la
variable independiente x, pero la variable dependiente y depende del valor
que hayamos dado a x.
Se llama dominio de la función ƒ: A → B al subconjunto de A para los elementos del cual existe una imagen en B: Dom(ƒ) = {x ∈ A / ∃y ∈ B, ƒ(x) = y}.
El conjunto de todos los elementos de B que son imagen de algún elemento
de A se llama conjunto imagen de ƒ o recorrido y se denota simbólicamente
por Im ƒ.
Observación
n
Rn = R × ... × R
31
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En este caso escribiremos ƒ: A → B donde A se llama conjunto origen (o de
salida) y B conjunto de llegada.
Una función ƒ en la que a todo elemento del conjunto A le corresponde
uno, y sólo un, elemento de B, y por consiguiente el dominio de ƒ coincida con el conjunto A, se llama aplicación.
En el ejemplo de los beneficios b(s), el salario del jefe no puede tomar cualquier valor. Podemos suponer que tiene que estar comprendido entre 0 y 6 millones de euros, por lo cual el dominio de la función b es el intervalo cerrado
[0, 6]. El recorrido de la función será el conjunto de los posibles beneficios
cuando el salario del jefe esté comprendido entre 0 y 6 millones de euros.
Intuitivamente, las aplicaciones son correspondencias que se pueden ilustrar
a través de esquemas como los siguientes con la característica: “de todos y cada
uno de los elementos del conjunto de partida sale una única flecha hacia un
elemento en el conjunto de llegada”:
Figura 4.1. Aplicación
Figura 4.2. Función
no aplicación
Figura 4.3. No función
no aplicación
Dicho de otro modo, una función asigna a cada elemento del conjunto de partida como mucho un único elemento del conjunto de llegada.
Y si se tiene una relación representada en un sistema de coordenadas cartesianas se debe observar si cualquier recta paralela al eje de las ordenadas (usualmente el eje “Y”, el vertical) corta a lo sumo una vez el gráfico. Por ejemplo,
una circunferencia no es una función y una parábola lo es si abre hacia arriba
(o abajo).
En informática, una función es una relación establecida entre dos dominios
de datos A y B tal que, a cada elemento de A, le corresponde como mucho un
elemento de B. El conjunto A se llama dominio de la función y B se llama
abasto. A los elementos de A se les llama claves, y a los de B, información.
Las operaciones de una función consisten, pues, en definir la función en un
punto, desdefinirla y aplicar la función en un punto.
Asimismo, en informática, al concepto de función muy a menudo se le llama
tabla por su representación gráfica, ya que muchas veces se representan las
funciones en forma de tablas con dos columnas que corresponden a cada uno
Teoría de conjuntos
32
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de los dominios A y B, con una fila para cada par de la función. Por ejemplo,
si tanto A como B son los enteros, una posible función que tiene como dominio real {3, 5, 7, 8} es la tabla que a continuación está representada:
Figura 5
5.2. Tipos de funciones
Una función ƒ entre dos conjuntos A y B, ƒ: A → B, puede ser de diferentes
tipos dependiendo de sus propiedades.
Funciones exhaustivas
A todo elemento del conjunto B le corresponde, como mínimo, un origen
(una antiimagen) en A:
∀y ∈ B : ∃x ∈ A tal que ƒ(x) = y
Funciones inyectivas
Los elementos del conjunto B tienen, como mucho, un origen (esto es, a dos
elementos diferentes de A les corresponden siempre dos imágenes diferentes
en B):
∀x1, x2 ∈ A tal que x1 ≠ x2 ⇒ ƒ(x1) ≠ ƒ(x2)
o bien
Si ƒ(x1) = ƒ(x2) ⇒ x1 = x2
Funciones biyectivas
Son, a la vez, exhaustivas e inyectivas; es decir, todo elemento del conjunto
imagen tiene un único origen:
∀y ∈ B: existe un único x ∈ A tal que ƒ(x) = y
Función identidad
Dado un conjunto A, se llama función identidad de A a la función de A en A
que no modifica los elementos; es decir:
IA : A → A tal que IA(x) = x, ∀x ∈ A
Teoría de conjuntos
33
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Teoría de conjuntos
Función inversa
Si ƒ: A → B es inyectiva, podemos definir una nueva función ƒ
versa a la anterior, de manera que ƒ
−1(y)
−1
: B → A, in-
= x ⇔ ƒ(x) = y. La función ƒ −1 se llama
función inversa de ƒ.
Función total
La función ƒ: A → B es total si Dom(ƒ) = A.
Función parcial
La función ƒ: A → B es parcial si Dom(ƒ) ⊂ A.
Ejemplo 21
Demostrar que la función ƒ: R → R tal que ƒ(x) = x3 − 1 es una función inyectiva.
Para probar que una función es inyectiva tenemos que probar que si ƒ(a) =
= ƒ(b) entonces a = b.
Si ƒ(a) = ƒ(b) ⇒ a3 − 1 = b3 − 1 entonces: a3 = b3 y a = 3 b 3 = b .
Ejemplo 22
Demostrar que la función del ejemplo 21 es exhaustiva.
Para demostrar que una función es exhaustiva, hemos de probar que para
todo y del conjunto final existe un x del conjunto inicial tal que: ƒ(x) = y.
Dado un y cualquiera perteneciente a R buscamos un x también de R que
verifique ƒ(x) = y.
Veamos si este x existe: ƒ(x) = y ⇒ x3 − 1 = y ⇒ x3 = y + 1 ⇒ x =
3
y +1 .
Como este x siempre existe para todo número real y, hemos encontrado x
que verifica ƒ(x) = y.
Ejemplo 23
Demostrar que la función del ejemplo 21 es una función biyectiva.
Para demostrar que una función es biyectiva, hemos de probar que es inyectiva y exhaustiva a la vez.
Ya está demostrado, pues ya hemos demostrado que esta función es inyectiva y que también es exhaustiva.
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34
Teoría de conjuntos
Ejemplo 24
Hallar la función inversa de la función ƒ: R → R tal que ƒ(x) = 2x + 3.
Recordemos que si y = ƒ(x) es una función inyectiva, la función inversa es
x = ƒ −1(y). Para encontrar la función inversa de una función dada, en este
caso y = 2x + 3, hay que despejar x:
−2 x = 3 − y ⇒ x =
−y + 3
y −3
⇒x=
−2
2
y de este modo se tiene que la función inversa es ƒ −1( x) =
x−3
.
2
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35
Teoría de conjuntos
Anexo. Tabla de símbolos matemáticos
:
∀
Para todo
∃
Existe
∃!
Existe y es único
⇔
Si, y sólo si (condición necesaria y suficiente)
≡
Equivalente
≈
Aproximado
>
Mayor
<
Menor
/ ∋
Tal que
∈
Pertenece (elementos)
∉
No pertenece (elementos)
⊂
Contenido estrictamente (conjuntos)
⊄
No contenido (conjuntos)
⊆
Contenido o igual (conjuntos)
U
Unión (conjuntos)
I
Intersección (conjuntos)
∅
Conjunto vacío
N
Z
Conjunto de los números naturales
Conjunto de los números enteros (Z+ enteros positivos,
Z− enteros negativos)
Q
Conjunto de los números racionales
R
Conjunto de los números reales
C
Conjunto de los números complejos
∞
Infinito
Valor absoluto (números)
Módulo o norma (vectores o números complejos)
[]
⎢⎣ ⎥⎦
∑
∏
i
Parte entera (números)
Sumatorio (números)
Producto (números)
π
Número pi
e
Número e
j
Número complejo unidad imaginaria (i = j =
−1 )
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Resumen
Al principio del módulo hemos partido de la idea intuitiva de conjunto como colección de objetos llamados elementos donde todos éstos son diferentes entre sí
y hemos realizado un repaso de los conceptos básicos de la teoría de conjuntos
(expresión de un conjunto, igualdad de conjuntos, conjunto complementario, vacío y universal y cardinal de un conjunto) así como de sus operaciones: unión, intersección, diferencia y producto cartesiano.
A continuación hemos definido las diferentes relaciones existentes entre dos
conjuntos. Hemos hecho especial hincapié en dos de ellas: las de equivalencia
(relación que cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva) y las de
orden estricto (relación que cumple las propiedades antirreflexiva y transitiva)
y orden parcial (si satisface las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva) y se muestran sus respectivas aplicaciones en el diseño de bases de datos:
Las relaciones de equivalencia se utilizan para calcular las claves de las bases
de datos y las de orden se usan para optimizar las búsquedas y consultas en
éstas, ordenando previamente los registros con respecto a un campo.
Una vez ya hemos tenido definidos los conjuntos y sus relaciones hemos pasado a operar con estas últimas. Para ello hemos presentado el álgebra relacional
que, inspirada en la teoría de conjuntos, proporciona una colección de operadores (unión, intersección, diferencia, producto cartesiano, selección, proyección, combinación) que actúan sobre relaciones para obtener otras relaciones.
Por último, hemos introducido el concepto de correspondencia entre dos conjuntos A y B (proceso que, a elementos de A, les hace corresponder elementos de B;
es decir, proceso que establece una relación entre los conjuntos A y B), función
(correspondencia en la que a todo elemento de A le corresponde como mucho
un elemento de B) y aplicación (función en la que su dominio coincide con el
conjunto de partida, A) y hemos presentado los diferentes tipos de funciones:
exhaustivas (a todo elemento del conjunto B le corresponde, como mínimo,
un origen o antiimagen en A); inyectivas (los elementos del conjunto B tienen, como mucho, un origen); biyectivas (son, a la vez, exhaustivas e inyectivas); función identidad (la que no modifica los elementos del conjunto de
partida), función inversa, total y parcial.
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Teoría de conjuntos
Ejercicios de autoevaluación
1. En un cierto problema, el universo de referencia es el conjunto U = {1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f, g}. En él se consideran los conjuntos: A = {1, 2, 4,
6, 8, b, c, d, f}, B = {1, 4, 7, a, d, g} y C = {3, 5, 9, a, e}. Calculad:
a) A ∪ B; B ∪ C; (A ∪ B) ∪ C
b) A ∩ C; (A ∩ B) ∩ C
c) A; A ∪ B; A ∩ C
d) ℘(C); ℘(A ∩ C)
2. Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f, g} el conjunto universal. Demostrad que:
a) Los conjuntos A1 = {1, 5, 9, a, d, g}
A2 = {3, 6, 8, b, c}
A3 = {2, 7, e, f}
A4 = {4}
forman una partición de U.
b) Los conjuntos B1 = {a, b, f, 2, 5, 9}
B2 = {1, 2, 4, 6, 7, b, c, e, g}
B3 = {c, d, g, 3, 4, 8}
no forman una partición de U pero que, no obstante, sí la forman los conjuntos:
B1 D B2, B1 ∩ B2, B3 − (B2 ∩ B3)
3. Estudiad las siguientes relaciones binarias definidas en el conjunto Z de los
números enteros:
a) x R y ⇔ x·y > 0
b) x S y ⇔ x·y ≥ 0
4. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}. Se define la relación, R, en A × A mediante:
(a, b) R (c, d) ⇔ a – b = c – d
Comprobad que se trata de una relación de equivalencia y obtened el conjunto cociente.
5. En el conjunto de los números naturales N definimos la relación binaria siguiente:
Si x, y ∈ N, x R y ⇔ x ⎪ y (x es un divisor de y)
Probad que R es una relación de orden parcial.
Nota
La operación D representa
la diferencia simétrica entre
conjuntos y se define como:
A D B = (A ∪ B) 3 (A ∩ B)
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6. En el conjunto A = {−2, −1, 0, 1} se define la siguiente relación binaria:
x R y ⇔ x < |y|. Se pide:
a) La representación gráfica que define la relación.
b) Estudiad sus propiedades.
7. En el conjunto A = {−2, −1, 0, 1, 2, 3} se define la relación:
x R y ⇔ ⏐x − y⏐ ≤ 1
Obtened el diagrama correspondiente y estudiad las propiedades.
8. Si A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c, d, e}. Decid cuáles de las siguientes correspondencias son aplicaciones y, de éstas, cuáles son inyectivas, exhaustivas y biyectivas.
a) G1 = {(1, a), (1, b), (2, c), (2, d), (3, e)}
b) G2 = {(1, a), (2, e), (3, c), (4, d)}
c) G3 = {(1, a), (2, a), (3, a), (4, a)}
9. Sea ƒ : R3 → R3 una aplicación definida por:
ƒ(x, y, z) = (x + y + 2z, x + y + z, −2x − y + z)
Demostrad que ƒ es inyectiva y exhaustiva.
10. Se considera una red de área extensa (WAN) compuesta por 5 routers. En la
actualidad, los routers están conectados entre sí de la siguiente manera: el 1
con el 2, el 2 con el 4, el 1 con el 4 y el 4 con el 3. Es decir, están conectados
según se muestra en el siguiente esquema:
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En el conjunto de los routers establecemos la relación R siguiente: se considera que el router u está relacionado según R con el router v si, y sólo si, ambos
están interconectados, ya sea de forma directa o indirecta.
Observaciones:
• Se entiende que cada router está conectado consigo mismo.
• Es equivalente decir “el router 1 está conectado con el 2” que decir “el router 2
está conectado con el router 1”.
• Aunque, por ejemplo, los routers 1 y 3 no están directamente conectados
entre sí, ambos están indirectamente conectados a través del router 4.
Se pide:
a) Escribid todos los pares que forman la relación.
b) Determinad si esta relación es de equivalencia, especificando en todo
momento qué partes del enunciado y/u observaciones utilizáis en vuestro
argumento.
c) En el caso de que R sea de equivalencia, hallad el conjunto cociente.
11. El programa informático PAL5LET genera palabras de cinco letras hechas
con el alfabeto español (de 29 letras). En el conjunto de las palabras generadas
por PAL5LET definimos la relación R “empezar por la misma letra”; esto es, dos
palabras de las generadas por el programa están relacionadas por la relación
anterior si empiezan por la misma letra (se entiende que cada palabra está relacionada con ella misma).
Se pide:
a) Escribid seis elementos de los generados por PAL5LET y representad tres
pares de palabras que formen parte de la relación R.
b) Comprobad que la relación anterior es de equivalencia.
c) Encontrad el conjunto cociente. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto
cociente?
12. Una empresa informática dispone de siete elementos: Cuatro servidores
miembros (no controladores de dominio): M1, M2, M3, M4 y tres servidores
controladores de dominio: C1, C2, C3. Entre estos elementos de la empresa,
se define la relación R, por la cual dados dos elementos (servidores miembros
y/o controladores de dominio) están relacionados si o bien los dos elementos
son servidores miembros, o bien los dos elementos son controladores de dominio. NOTA: Se entiende que cada servidor está relacionado con él mismo.
Se pide:
a) Representad el conjunto de elementos de la empresa y escribid dos pares que formen parte de la relación R.
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b) Comprobad que la relación R anterior es de equivalencia.
c) Encontrad el conjunto cociente. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto
cociente?
13. Tenemos una red de 25 ordenadores M = {1, 2, 3, ..., 25}. Una de las 25 máquinas tiene funciones de servidor (la máquina 25). El servidor distribuye programas para ejecutar a las otras 24 máquinas. Llegan 8 programas para ejecutar
P = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y el servidor los distribuye usando la función f: P → M
definida por f(n) = 3n − 2.
a) Calculad a qué máquinas han ido a ejecutarse los programas.
b) Calculad cuáles son los programas que se han ejecutado en máquinas que
tienen índice par.
c) Tal y como está definida, comprobad si esta función es inyectiva, exhaustiva o biyectiva. Razonar la respuesta.
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Solucionario
Actividades
Actividad 1
1) La relación R sí que es de equivalencia porque cumple las tres propiedades
necesarias para ello. Veámoslo:
• reflexiva: a R a, ya que se cumple que a +
1
1
=a+ .
a
a
• simétrica: Si a R b, entonces se cumple que a +
1
1
= b + , por tanto, tama
b
1
1
bién se cumple que b + = a + , con lo que llegamos a la conclusión de
b
a
que b R a.
• transitiva: Si a R b, entonces a +
1
1
1
1
y si b R c, tenemos b + = c + .
=b+
b
c
a
b
Si lo juntamos, obtenemos que a +
1
1
= c + por lo que obtenemos a R c.
a
c
Por tanto, R es una relación de equivalencia en el conjunto R 3 {0} de los números reales no nulos.
2) La clase de equivalencia a es el conjunto de números reales no nulos tales
que están relacionados: a R x. Busquemos cuáles son dichos números x:
Como, por definición, se tiene que a R x ⇒ x +
1
1
1 1
⇒ x−a+ − =0 ⇒
=a+
x
a
x a
a−x
= 0 ⇒ ax2 − a2x + a − x = 0 ⇒ ax2 − (a2 + 1)x + a = 0 y resolviendo
ax
1
la ecuación de 2º grado se obtiene como soluciones: x1 = a, x2 = .
a
⇒ x−a+
1
Por tanto, a = ⎧⎨a, ⎫⎬.
⎩ a⎭
3) El conjunto cociente R 3 {0} / R, por definición, es el conjunto formado por
las clases de equivalencia de R 3 {0} definidas por R; esto es:
1
⎧
⎫
R 3 {0} / R = {x / x ∈ R 3 {0}} = ⎨⎨⎧ x, ⎬⎫ / x ∈ R 3{0}⎬
⎩⎩ x ⎭
⎭
Ejercicios de autoevaluación
1.
a) Por ser la unión de dos conjuntos tendremos que:
A ∪ B = {1, 2, 4, 6, 7, 8, a, b, c, d, f, g}
B ∪ C = {1, 3, 4, 5, 7, 9, a, d, e, g}
Aprovechando que ya conocemos A ∪ B, calculamos (A ∪ B) ∪ C añadiendo
los elementos de C que aún no estaban en A ∪ B:
(A ∪ B) ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f, g} = U
Teoría de conjuntos
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b) La intersección de dos conjuntos es el conjunto de los elementos comunes
en ambos. Por tanto, A ∩ C = ∅, ya que no tienen ningún elemento en común.
Para calcular (A ∩ B) ∩ C determinamos primero la intersección entre A y B:
A ∩ B = {1, 4, d}
En consecuencia: (A ∩ B) ∩ C = {1, 4, d} ∩ {3, 5, 9, a, e} = ∅
c) Siempre que no se especifique el conjunto respecto al cual consideramos el
complementario supondremos que es el conjunto universal. Con esta hipótesis, el complementario de un conjunto será el conjunto de todos los elementos
del universal que no pertenezcan al conjunto dado. Así, pues, tendremos:
A = {3, 5, 7, 9, a, e, g}
A ∪ B = {3, 5, 9, e}
A∩C = ∅ = U
d) Dado que el conjunto de partes es el formado por todos los subconjuntos,
propios o no, del conjunto original, este conjunto lo obtendremos formando
todas las combinaciones posibles de sus elementos. Por tanto, en nuestro caso
tendremos:
℘(C) = {∅, {3}, {5}, {9}, {a}, {e}, {3, 5}, {3, 9}, {3, a}, {3, e}, {5, 9}, {5, a}, {5, e}, {9, a},
{9, e}, {a, e}, {3, 5, 9}, {3, 5, a}, {3, 5, e}, {3, 9, a}, {3, 9, e}, {3, a, e}, {5, 9, a}, {5, 9, e},
{5, a, e}, {9, a, e}, {3, 5, 9, a}, {3, 5, 9, e}, {3, 5, a, e}, {3, 9, a, e}, {5, 9, a, e}, {3, 5, 9, a, e}}
Por otro lado, tenemos que ℘(A ∩ C) = ℘(∅) = {∅}.
2.
a)
i. Vemos que todos los conjuntos son no vacíos, Ai ≠ ∅, para i = 1, 2, 3, 4.
ii. Todos son disjuntos (no tienen elementos en común):
A1 ∩ A2 = A1 ∩ A3 = A1 ∩ A4 = A2 ∩ A3 = A2 ∩ A4 = A3 ∩ A4 = ∅
iii. La unión de todos los subconjuntos da el conjunto total U:
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 = {1, 5, 9, a, d, g, 3, 6, 8, b, c, 2, 7, e, f, 4} =
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f, g} = U
b) B1, B2 y B3 no forman una partición de U ya que B1 ∩ B2 = {2, b} ≠ ∅
No obstante, los conjuntos:
B1 D B2 = (B1 ∪ B2) 3 (B1 ∩ B2) = {1, 4, 5, 6, 7, 9, a, c, e, f, g}
B1 ∩ B2 = {2, b}
B3 3 (B2 ∩ B3) = {3, 8, d}
Teoría de conjuntos
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sí que forman una partición, ya que:
i. No son vacíos: B1 D B2 ≠ ∅, B1 ∩ B2 ≠ ∅, B3 − (B2 ∩ B3) ≠ ∅
ii. Son disjuntos: (B1 D B2) ∩ (B1 ∩ B2) = ∅, (B1 D B2) ∩ (B3 − (B2 ∩ B3)) = ∅,
(B1 ∩ B2) ∩ (B3 − (B2 ∩ B3)) = ∅.
iii. la unión de todos ellos es el total: (B1 D B2) ∪ (B1 ∩ B2) ∪ (B3 − (B2 ∩ B3)) =
= (B1 ∪ B2) ∪ (B3 − (B2 ∩ B3)) = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, a, b, c, e, f, g} ∪ {3, 8, d} = U
3.
a)
• R no es reflexiva, ya que 0 R 0 ⇔ 0 · 0 > 0, lo cual no es cierto.
?
• R es simétrica: Si x R y ⇒ y R x. En efecto: x R y ⇒ x · y > 0 ⇒ y · x > 0 ⇒ y R x.
• R es transitiva: ∀ x, y, z ∈ Z si:
x R y⎫
⎪ ?
e
⎬⇒ x R z
y R z ⎪⎭
En efecto: x R y ⇒ x · y > 0, y R z ⇒ y · z > 0 ⇒ (x · y) · (y · z) > 0 ⇒
⇒ x · (y2) · z > 0 ⇒ x · z > 0 (por ser y2 > 0 ya que y ≠ 0) ⇒ x R z.
b)
• S es reflexiva: Ya que ∀ x ∈ Z se cumple x·x ≥ 0.
• S es simétrica: Si x S y ⇒ x·y ≥ 0 ⇒ y·x ≥ 0 ⇒ y S x.
• S no es transitiva: Ya que, por ejemplo:
−4 S 0 (ya que −4·0 ≥ 0) y 0 S 7 (ya que 0 · 7 ≥ 0), y no obstante −4 · 7 =
= −28 < 0 ⇒ −4 · 7 ‡ 0 ⇒ −4 S/ 7.
4. Veamos que satisface las propiedades:
• Reflexiva: ∀ (a, b) ∈ A × A, (a, b) R (a, b) ya que a – b = a – b.
• Simétrica: ∀ (a, b), (c, d) ∈ A × A, si (a, b) R (c, d) ⇒ a – b = c – d ⇒
⇒ c – d = a – b ⇒ (c, d) R (a, b).
• Transitiva: ∀ (a, b), (c, d), (e, f) ∈ A x A, si
(a, b) R (c , d )⎫
⎪ ?
y
⎬ ⇒(a, b) R (e , f ) .
(c , d ) R (e , f ) ⎪⎭
En efecto, (a, b) R (c, d) ⇒ a − b = c − d y (c, d) R (e, f) ⇒ c − d = e − f ⇒ a − b =
= c − d = e − f ⇒ a − b = e − f ⇒ (a, b) R (e, f) (como queríamos demostrar).
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En cuanto a las clases de equivalencia, diremos que una clase (a,b) estará constituida por todos los pares (x, y) ∈ A × A tales que a − b = x − y. Por ejemplo, la
clase (1,3) estará formada por todos los pares tales que la diferencia entre sus
componentes es −2. Así pues, tendremos las siguientes clases:
(1,1) = {(1, 1), (2, 2), (3,3), (4, 4), (5, 5)}
(1,2) = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}
(1,3) = {(1, 3), (2, 4), (3, 5)}
(1,4) = {(1, 4), (2, 5)}
(1,5) = {(1, 5)}
(2,1) = {(2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4)}
(3,1) = {(3, 1), (4, 2), (5, 3)}
(4,1) = {(4, 1), (5, 2)}
(5,1) = {(5, 1)}
5. Para ver que se trata de una relación de orden parcial, tenemos que ver que
se cumplen las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.
• Reflexiva: x R x ? ∃ n ∈ N tal que x = n · x ? Sí, n = 1 ∈ N
• Antisimétrica:
x R y⎫
y = n1 · x (1)
⎪
e ⎬⇒
⇒ Substituimos la y de (1) en (2) y tenemos:
x
= n2 · y (2)
⎪
y R x⎭
x = n2 · n1 · x ⇒ n2 · n1 = 1 ⇒ n1 = n2 = 1 ya que n1, n2 ∈ N
Si tomamos n1 = 1 y lo substituimos en (1) obtenemos: y = x
• Transitiva:
x R y⎫
y = n1 · x (1)
⎪
e ⎬⇒
⇒ Substituimos la y de (1) en (2) y tenemos:
z = n2 · y (2)
⎪
y R z⎭
z = n2 · n1 · x ⇒ (z es múltiplo de x) x|z ⇒ x R z
6.
a) Se comprueba si se verifica la relación para todos los pares posibles de números. Por ejemplo, −2 R −1 ya que −2 < |−1| = 1 ⇒ (−2, −1) ∈ R. De esta manera
la relación queda así:
R = {(−2, −2), (−2, −1), (−2, 0), (−2, 1), (−1, −2), (−1, −1), (−1, 0), (−1, 1), (0, −2),
(0, −1), (0, 1), (1, −2)}
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La gráfica de la relación queda así.
Figura 6
b) La relación binaria R no es:
• Reflexiva: ya que (0, 0) ∉ R
• Simétrica: ya que (0, 1) ∈ R y (1, 0) ∉ R
• Transitiva: ya que (1, −2) ∈ R, (−2, −1) ∈ R y, no obstante, (1, −1) ∉ R
• Antirreflexiva: ya que (−1, −1) ∈ R
• Antisimétrica: ya que 1 ≠ −2, (1, −2) ∈ R y (−2, 1) ∈ R
7. Se comprueba si se verifica la relación para todos los pares posibles de números. Por ejemplo, −1 R −2, ya que |−1 − (−2)| = |−1 + 2| = 1 ≤ 1.
De esta manera se obtiene el gráfico de la relación R :
R = {(−2, −2), (−2, −1), (−1, −2), (−1, −1), (−1, 0), (0, −1), (0, 0), (0, 1), (1, 0),
(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}
Figura 7
Por tanto, la relación es:
• Reflexiva: ya que contiene todos los elementos de la diagonal principal
(−2, −2), (−1, −1), ..., (3, 3).
• Simétrica: ya que (x, y) ∈ R ⇔ (y, x) ∈ R.
Teoría de conjuntos
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En este diagrama hay simetría respecto a la diagonal principal, por ejemplo: (−1, −2) ∈ R ⇒ (−2, −1) ∈ R ...
• No transitiva: sólo hay que observar que
(−1, 0) ∈ R, (0, 1) ∈ R y, sin embargo, (−1, 1) ∉ R
8.
a) G1 no es aplicación, ya que los elementos 1 y 2 tienen dos imágenes y, además, el elemento 4 no tiene ninguna.
b) G2 es aplicación, ya que cada elemento de A tiene una, y sólo una, imagen
en B.
G2 es inyectiva, ya que a diferentes elementos de A les corresponde imágenes diferentes en B.
G2 no es exhaustiva, ya que el elemento b ∈ B no tiene antiimagen. Por tanto, tampoco será biyectiva.
c) G3 es aplicación.
G3 no es inyectiva, ya que 1 ≠ 2 y, no obstante, G3 (1) = G3 (2) = a.
G3 no es exhaustiva, ya que los elementos b, c, d, e ∈ B no tienen antiimagen.
9.
• ƒ es inyectiva. En efecto, ƒ(x, y, z) = ƒ(a, b, c) ⇔ (x + y + 2z, x + y + z, −2x − y + z) =
= (a + b + 2c, a + b + c, −2a − b + c) ⇔
⎧x + y + 2 z = a + b + 2 c
⎪
⇔ ⎨x + y + z = a + b + c
⎪−2 x − y + z = −2a − b + c
⎩
⇔
⎧z = c
⎪
⎨ − x + 2 z = −a + 2 c
⎪x + y + z = a + b + c
⎩
⇔
⎧z = c
⎪
⎨− x = −a
⎪a + y + c = a + b + c
⎩
⇔
⎧x = a
⎪
⎨y = b
⎪z = c
⎩
• f es exhaustiva. Tenemos que resolver la ecuación f(x, y, z) = (a, b, c) y hallar
un elemento (x, y, z) del conjunto de salida:
f(x, y, z) = (a, b, c) ⇔ (x + y + 2z, x + y + z, −2x − y + z) = (a, b, c) ⇔
⎧x + y + 2 z = a
⎪
⇔ ⎨x + y + z = b
⎪− 2 x − y + z = c
⎩
⇔
⎧z = a − b
⎪
⎨− x + 2 z = b + c
⎪x + y + z = b
⎩
⇔
⎧z = a − b
⎪
⎨x = 2 z − b − c
⎪y = b − x − z
⎩
⇔
⎧x = 2 a − 3b − c
⎪
⎨y = b − x − z
⎪z = a − b
⎩
⎧x = 2a − 3b − c
⎪
⇔ ⎨y = −3a + 5b + c
⎪z = a − b
⎩
10.
a) Para escribir los pares de la relación, tenemos que fijarnos en la representación gráfica de la misma. Los pares que forman la relación son:
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (1, 4), (4, 1), (2, 3),
(3, 2), (2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3)}
⇔
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b) Para comprobar si la relación es de equivalencia, hay que mirar si cumple
las siguientes propiedades:
• Reflexiva: La relación R es reflexiva pues cada router está conectado consigo
mismo (según se hace constar en la observación 1)
• Simétrica: La relación es simétrica ya que, según se desprende de la observación 2, si hay una conexión entre el router u y el router v, también hay una conexión entre v y u.
• Transitiva: La relación también es transitiva pues si el router u está conectado
con el v y el v está conectado con el w, entonces, según la observación 3, el
router u está conectado con el w.
Por tanto, R es una relación de equivalencia.
c) Hallemos el conjunto cociente. Para ello, primero debemos encontrar las
clases de equivalencia de éste.
Sea V el conjunto de los 5 direccionadores y R la relación definida entre éstos.
La clase de equivalencia del router 1 es el conjunto de routers de V que están
relacionados con el router 1; es decir, que están conectados con el router 1. Por
tanto, mirando la relación, tenemos que: 1 = {1, 2, 3, 4} .
De igual manera tenemos que: 1 = 2 = 3 = 4 = {1, 2, 3, 4}
Por otro lado, tenemos la clase de equivalencia del router 5, que es el conjunto
de routers de V que están relacionados con el router 5. Y, en este caso, dado que
el router 5 sólo está conectado consigo mismo, tenemos que:
5 = {5}
Por tanto, el conjunto cociente está formado por dos clases de equivalencia: la
que está formada por los routers 1, 2, 3 y 4, y la que está formada por el router 5;
{ }
es decir, el conjunto cociente es: V/R = 1, 5 .
11.
a) A = {árbol, ámbar, barca, barco, carpa, costa,...}
R = {(árbol R ámbar), (barca R barco), (carpa R costa),...}
b) Para comprobar si la relación es de equivalencia, hay que mirar si cumple
las siguientes propiedades:
• Reflexiva: La relación R es reflexiva, pues cada palabra p empieza por la misma letra que la propia palabra p (según se hace constar en la NOTA).
Teoría de conjuntos
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• Simétrica: La relación es simétrica, ya que si p y q son palabras tales que p R q,
entonces la primera letra de la palabra p es igual a la primera letra de la palabra q, por tanto q R p pues sus primeras letras son iguales.
• Transitiva: La relación también es transitiva, pues si la primera letra de la
palabra p es igual que la primera letra de la palabra q y la primera letra de
la palabra q es igual que la primera letra de la palabra r, entonces la primera
letra de la palabra p es igual que la primera letra de la palabra r.
Por tanto, R es una relación de equivalencia.
c) Hallemos el conjunto cociente. Para ello, primero debemos encontrar las
clases de equivalencia de éste.
Sea A el conjunto de palabras generadas por el programa PAL5LET y R la relación definida entre éstas. Dentro del conjunto A, existen palabras que empiezan por la letra ‘a’, por la letra ‘b’, por la letra ‘c’, etc.
Como representante de las palabras que empiezan por la letra ‘a’, tomamos
la propia letra “a” (igualmente se podría haber tomado como representante la palabra ‘ámbar’, ‘altar’, etc...). La clase de equivalencia de las palabras que empiezan por la letra ‘a’ es el conjunto de palabras de A que están relacionados
con la letra ‘a’; es decir, que empiezan por la letra ‘a’. Por tanto, mirando la
relación, tenemos que:
[a] = {árbol, ámbar, ...}
o bien se podría haber indicado:
[árbol] = {árbol, ámbar, altar,...}
De igual manera, como representante de las palabras que empiezan por la letra
‘b’ tomamos a la propia letra “b” (igualmente se podría haber tomado como
representante la palabra “balón”, “barca”, etc...). La clase de equivalencia de
las palabras que empiezan por la letra ‘b’ es el conjunto de palabras de A que
están relacionadas con la letra ‘b’; es decir, que empiezan por la letra ‘b’. Por
tanto, mirando la relación, tenemos que:
[b] = {barca, balón, ...}
o bien se podría haber indicado:
[barca] = {barca, balón, balsa, ...}
Y así sucesivamente con el resto de letras del alfabeto español.
Por tanto, el conjunto cociente está formado por 29 clases de equivalencia y
el conjunto cociente es: A/R = {[a], [b], [c],...}
NOTA: Igualmente sería correcto decir: A/R = {[árbol], [barca], [casa],...}
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12.
a) A = {M1, M2, M3, M4, C1, C2, C3}
R = {(M1 R M2), (C1 R C3),...}
b) Para comprobar si la relación es de equivalencia, hay que mirar si cumple
las siguientes propiedades:
• Reflexiva: La relación R es reflexiva, ya que la calidad de ser servidor miembro o servidor controlador de dominio la comparte cada elemento de la
empresa consigo mismo (tal como se indica en la NOTA).
• Simétrica: La relación es simétrica, ya que si m y n –elementos de la empresa– son ambos servidores miembros (respectivamente servidores controladores de dominio) entonces la misma propiedad la tienen n y m.
• Transitiva: La relación también es transitiva, pues si m, n son dos servidores de
dominio (respectivamente servidores controladores de dominio), y n y p son
también servidores de dominio (respectivamente servidores controladores de
dominio), entonces, m y p son servidores de dominio (respectivamente servidores controladores de dominio).
Por tanto, R es una relación de equivalencia.
c) Hallemos el conjunto cociente. Para ello, primero debemos encontrar las
clases de equivalencia de éste.
Sea A el conjunto de elementos de la empresa y R la relación definida entre
éstos. Dentro del conjunto A, existen servidores miembro y servidores controladores de dominio.
Como representante de los servidores miembro, tomamos al M1 (igualmente
se podría haber tomado a cualquiera de los otros servidores miembro). La clase
de equivalencia de los servidores miembro es el conjunto de servidores de A
que están relacionados con M1; es decir, que son servidores miembro. Por tanto, mirando la relación, tenemos que:
[servidores miembro] = {M1, M2, M3, M4}
o bien se podría haber indicado:
[M1] = {M1, M2, M3, M4}
Igualmente, como representante de los servidores controladores de dominio
tomamos al C1 (igualmente se podría haber tomado cualquiera de los otros
servidores controladores de dominio). La clase de equivalencia de los servidores controladores de dominio es el conjunto de servidores de A que están relacionados con C1; es decir, que son servidores controladores de dominio. Por
tanto, mirando la relación, tenemos que:
[servidores controladores de dominio] = {C1, C2, C3}
Teoría de conjuntos
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o bien se podría haber indicado:
[C1] = {C1, C2, C3}
Por tanto, el conjunto cociente está formado por dos clases de equivalencia y
el conjunto cociente es: A/R = {[servidores miembros], [servidores controladores de dominio] }
NOTA: Igualmente estaría correcto decir: A/R = {[M1], [C1]}
13.
a) Dado que ƒ(n) = 3n − 2, vamos a ver cuáles son las imágenes de nuestra función.
ƒ(1) = 3 · 1 − 2 = 1
ƒ(2) = 3 · 2 − 2 = 4
ƒ(3) = 3 · 3 − 2 = 7
ƒ(4) = 3 · 4 − 2 = 10
ƒ(5) = 3 · 5 − 2 = 13
ƒ(6) = 3 · 6 − 2 = 16
ƒ(7) = 3 · 7 − 2 = 19
ƒ(8) = 3 · 8 − 2 = 22
de manera que las máquinas que han ejecutado alguno de los ocho programas
son:
{1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22}
b) Solamente tenemos que calcular ƒ−1({2, 4, ... 24}). Ahora debemos observar que
no todos los elementos tienen anti-imagen, ƒ−1(2), ƒ−1(8), ƒ−1(12), ƒ−1(14), ƒ−1(18),
ƒ−1(20) y ƒ−1(24) no existen. Entonces solamente tienen sentido ƒ−1(4), ƒ−1(10),
ƒ−1(16) y ƒ−1(22).
De manera que:
ƒ−1({2, 4, ... 24}) = {2, 4, 6, 8 } son los programas que se han ejecutado en máquinas que tienen índice par.
c) Es inyectiva, ya que ƒ(x) = ƒ(y) ⇔ 3x − 2 = 3y − 2 ⇔ x = y
No es exhaustiva, ya que por ejemplo no hay ningún x tal que ƒ(x) = 2.
No es biyectiva, puesto que no exhaustiva.
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Glosario
antirreflexiva f Propiedad (definida en un conjunto A) en la que ningún elemento a ∈ A
está relacionado consigo mismo.
antisimétrica f Propiedad (definida en un conjunto A) en la que dos elementos diferentes
de A no pueden estar relacionados en los dos sentidos.
aplicación f Correspondencia en la que a todo elemento del conjunto A le corresponde,
como mucho, un elemento de B y cumple que el dominio es A.
conjunto cociente m Dada una relación de equivalencia ~ en un conjunto no vacío A , el conjunto cociente A / ~ es el conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia módulo ~.
conjunto complementario m Respecto de un conjunto dado A, es el conjunto formado
por todos los elementos del conjunto universal que no pertenecen a A.
conjunto universal m Conjunto de referencia en el cual están incluidos todos los conjuntos que intervienen.
conjunto vacío m Único conjunto que no tiene ningún elemento.
correspondencia f Dados dos conjuntos A y B, una correspondencia entre los dos es un
subconjunto G del producto cartesiano A × B, en el que se establece una relación binaria entre
los conjuntos A y B.
equivalencia f Relación ~ en un conjunto A que cumple las propiedades reflexiva, simétrica
y transitiva.
función f Correspondencia en la que a todo elemento del conjunto de salida le corresponde
como mucho un elemento del conjunto de llegada.
función biyectiva f Función que es, a la vez, exhaustiva e inyectiva.
función exhaustiva f Función en la que a todo elemento del conjunto de llegada le corresponde, como mínimo, una antiimagen en el conjunto de salida.
función identidad f Función de un conjunto en sí mismo que no modifica los elementos.
función inversa f Dada la función ƒ : A → B inyectiva, la función inversa es ƒ-1 : B → A de
manera que ƒ−1(y) = x si ƒ(x) = y.
función inyectiva f Función en la que los elementos del conjunto de llegada tienen, como
mucho, un origen.
función parcial f Función en la que el dominio de ésta está contenido o es igual al conjunto de salida.
función total f Función en la que el dominio de ésta es igual al conjunto de salida.
intersección f Dados dos conjuntos A y B, su intersección es el conjunto, cuyos elementos
son aquellos que pertenecen simultáneamente a A y a B. Notación: A ∩ B.
orden (u orden parcial) m Dado un conjunto no vacío A, se trata de la relación ≤ que
cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.
orden estricto m Dado un conjunto no vacío A, se trata de la relación < que cumple las
propiedades antirreflexiva, antisimétrica y transitiva.
orden total m Dado un conjunto no vacío A, es la relación de orden parcial que verifica
que dos elementos están siempre relacionados.
par ordenado m Agrupación de dos elementos en un cierto orden.
partición f Dado un conjunto no vacío A, una partición de A es una familia de n subconjuntos de A, A1, A2, ..., Am, tales que:
Ai ≠ ∅ (los subconjuntos no son vacíos)
Ai ∩ Aj = ∅ si i ≠ j (los subconjuntos son disjuntos)
A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Am = A (la unión de todos ellos es el conjunto A)
producto cartesiano m Dados dos conjuntos no vacíos A y B, su producto cartesiano es el
conjunto A × B cuyos elementos son todos los pares ordenados (a, b) con a ∈ A y b ∈ B.
reflexiva f Propiedad (definida en un conjunto A) en la que todo elemento a ∈ A está relacionado consigo mismo.
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52
relación f Dado un conjunto no vacío A, una relación es un subconjunto del producto cartesiano A × A.
relación binaria f Dados los conjuntos A y B, es aquella relación en la que todos los elementos de A están ligados con los elementos de B por una propiedad que puede ser cierta o
falsa.
representante m Dado un conjunto no vacío A, sea ~ una relación de equivalencia definida
en él. Si designamos por a la clase de equivalencia de a ∈ A, entonces a es un representante
de a. Si b ∼ a entonces b es otro representante de a.
simétrica f Propiedad (definida en un conjunto A) en la que si un elemento a ∈ A está relacionado con otro b ∈ A, la relación también se verifica en el otro sentido.
transitiva f Propiedad (definida en un conjunto A) en la que si un elemento a ∈ A está relacionado con un elemento b ∈ A y, a la vez, b está relacionado con un elemento c ∈ A se
verifica que a también está relacionado con c.
unión f Dados dos conjuntos A y B, su unión es el conjunto cuyos elementos son exactamente los elementos que pertenecen a A o a B. Notación A ∪ B.
Bibliografía
Bibliografía básica
Anzola, M.; Caruncho, J.; Pérez-Canales, G. (1981). Problemas de Álgebra. Tomo 1: Conjuntos-Grupos. Madrid: Primer Ciclo.
Colección de tres volúmenes, el primero de los cuales trata la teoría de conjuntos, dedicados
a presentar en forma de problemas la matemática actual. Ofrece una selección de problemas
resueltos de diversos grados de dificultad, comenzando por un nivel muy elemental aumentando gradualmente hasta un nivel que en ningún caso sobrepasa el del primer ciclo de estudios universitarios.
De la Villa, A. (1998). Problemas de álgebra. Madrid: CLAGSA.
El libro contiene la mayoría de los conceptos de álgebra necesarios para estudiantes de Ingeniería. Se incluyen diferentes tipos de aplicaciones que pueden hacerle útil a cualquier alumno que estudie por primera vez estas materias. Su contenido teórico se expone al principio
de cada capítulo; se formulan, después, unas preguntas de autoevaluación, se prosigue con
una colección de problemas resueltos y finaliza con una colección de problemas propuestos.
Es de destacar el apéndice 1 sobre teoría de conjuntos y el apéndice 2 que trata las relaciones
de equivalencia y de orden.
Manzano, M.; Huertas, A. (2004). Lógica para principiantes. Madrid: Alianza Editorial.
Texto introductorio dirigido a estudiantes de Informática. La parte II, Conjuntos y Diagramas, consiste en una introducción a la teoría de conjuntos con numerosos ejemplos y ejercicios resueltos.
Bibliografía complementaria
Lipschutz, S. (1992). Álgebra lineal. Madrid: McGraw-Hill.
Texto dirigido a estudiantes de carreras técnicas. Posee un amplio capítulo introductorio. Incluye numerosos enunciados de ejercicios y problemas. Se proporcionan todas las soluciones
numéricas o cuantitativas de los ejercicios.
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